ZAVRSNI RAD (MODELI PARALELNE VEZE OVISNIH KOMPONENTI )

SVEUČILIŠTE U SPLITU

FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

ZAVRŠNI RAD

MODELI PARALELNE VEZE OVISNIH KOMPONENTI

Duje Markov

Split, srpanj 2015.

S V E U Č I L I Š T E U S P L I T U

FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I

BRODOGRADNJE

Preddiplomski studij: Strojarstvo – stručni studij

Smjer/Usmjerenje: Strojarstvo

Oznaka programa: 530

Akademska godina: 2014./2015.

Ime i prezime: Duje Markov

Broj indeksa: 622-2010

ZADATAK ZAVRŠNOG RADA

Naslov: MODELI PARALELNE VEZE OVISNIH KOMPONENTI

Zadatak: Dati kratak pregled vrsta paralelnih veza komponenti u tehničkom sustavu. Osvrnuti

se na temeljne postavke različitih modela. Opisati Markov modele paralelnih veza

koji se navode u standardu IEC 61508. Prikazati kako se ti modeli rješavaju.

Prijava rada: Split, 05.03.2015.

Rok za predaju rada: 14.07.2015.

Rad predan: 14.07.2015.

Mentor:

Dr. sc. Jani Barle, red. prof.

SADRŽAJ:

1. UVOD ................................................................................................................................. 1

2. VRSTE PARALELNIH VEZA KOMPONENTI U TEHNIČKOM SUSTAVU ........ 5

2.1. Visoka i niska redudancija ........................................................................................ 7

2.2. k od n paralelna veza ................................................................................................. 9

2.3. Neobnovljivi sustavi koji djele opterećenje ........................................................... 11

2.3.1. Sustavi koji dijele opterećenje sa dvijema istim komponentama ................ 12

2.3.2. Sustavi koji dijele opterećenje sa dvijema različitim komponentama ........ 15

2.4. Obnovljivi sustavi koji dijele opterećenje ............................................................. 18

2.5. Sustavi u pripremi koji su neobnovljivi ................................................................. 21

2.5.1. Paralelni sustavi u pripremi sa pravovremenim priključivanjem ............... 22

2.5.2. Paralelni sustavi u pripremi sa pogreškama u priključivanju ..................... 25

2.6. Sustavi u pripremi koji su obnovljivi ..................................................................... 29

2.6.1. Obnovljivi paralelni sustav u pričuvi sa pravovremenim priključivanjem........................30

2.6.2. Obnovljivi paralelni sustav u pričuvi sa pravovremenim priključivanjem ...................... 34

2.6.3. Obnovljivi paralelni sustav u pričuvi sa zakašnjelim priključivanjem ............................ 37

2.6.4. Obnovljivi paralelni sustav u pričuvi koji djeli opterećenje sa pravovremenim priključivanjem ... 40

3. ZAKLJUČAK ................................................................................................................. 43

LITERAURA

POPIS OZNAKA I KRATICA

SAŽETAK

PRILOG

1

1. UVOD

Razvitkom tehnike počeli su se graditi sve veći i složeniji tehnički sustavi, strojevi, aparati i

druge tehničke naprave. U vezi s tim je vrlo brzo uočeno da s povećanjem složenosti tehničkog

sustava njegova pouzdanost brzo pada. Strojevi s puno elemenata i složenom strukturom imali

su više zastoja od onih s jednostavnom strukturom i malo elemenata. Promatrajući takve sustave

oko sebe, može se primjetiti da oni izvršavaju određenu funkciju kroz određeno vremensko

razdoblje. Nerijetko se možemo uvjeriti da se oni kvare, odnosno ne izvršavaju funkciju ili je

ne izvršavaju na zadovoljavajući način. Jasno nam je da će svi takvi sustavi prije ili poslije

pretrpjeti kvar, bilo neki neočekivani, bilo očekivani, zbog trošenja dijelova sustava. [1]

Da bi bilo moguće razumjeti zadanu temu završnog rada trebalo bi se bolje upoznati sa nekim

stanjima sustava te posljedicama koje one nose (slika 1.1). Prvo od njih je oštećenje (engl.

Damage) tj. promjena stanja tehničkom sustava ili njegovih djelova koja još ne smeta

funkcioniranje tehničkog sustava. To znači da će taj sustav biti funkcionalan iako su mu neki

podsustavi ili neke komponente neispravne. A ako oštećenje prijeđe u kvar (engl. Failure,

Breakdown) tj. promjenu stanja tehničkog sustava ili njegovih dijelova koja bitno ometa ili

onemogućava njegovo funkcioniranje, tada takav sustav nebi smio raditi. Najgore stanje koje

se može dogoditi je havarija tj. teži oblik kvara tehničkog sustava kod kojega dolazi do

njegovog potpunog oštećenja (ili do potpunog oštećenja vitalnih komponenti) i/ili dolazi do

pogubnog utjecaja na sigurnost ili na okoliš.

Slika 1.1 Oštećenje,kvar i neispravnost [2]

2

Da nebi došlo do „havarije“ ili bilo kojeg drugog stanja gdje bi se mogli ugrozili ljudski životi,

prouzročiti velike materijalne štete ili štete na okoliš tu su standardi i razni pravilnici koji

omogućuju sigurnost. U ovom radu razrađene su paralelne veze ovisnih komponenti i njezine

podjele, Markov modele poudanosti te prikazane paralelne veze koje se navode u standardu

IEC 61 508. Razina integriteta sigurnosti (SIL) je temeljni koncept u IEC 61508 standardu i on

je definiran kao vjerojatnost usko povezane sigurnosti sustava koje na zadovoljavjući način

obavlja potrebne sigurnosne funkcije pod svim navedenim uvjetima u određenom vremenskom

razdoblju. Definirane su četiri razine sigurnosti, sa SIL 4 kao najovisniji i SIL 1 kao najmanje

ovisan. U tablici 1.1 prikazani su integriteti razine sigurnosti kod niskih i visokih zahtjeva te na

slici 1.2 primjer izračunavanja SIL-a.

Slika 1.2 Primjer određivanja SIL-a [2]

Tablica 1.1 Integritet razine sigurnosti kod niskog i visokog zahtjeva

Integritet razine sigurnosti

(SIL) Niski zahtjevi Visoki zahtjevi

4 ≥ 10−5 𝑧𝑎 < 10−4 ≥ 10−9 𝑧𝑎 < 10−8

3 ≥ 10−4 𝑧𝑎 < 10−3 ≥ 10−8 𝑧𝑎 < 10−7

2 ≥ 10−3 𝑧𝑎 < 10−2 ≥ 10−7 𝑧𝑎 < 10−6

1 ≥ 10−2 𝑧𝑎 < 10−1 ≥ 10−6 𝑧𝑎 < 10−5

U tehničkom sustavu, potrebno je dizajnirati takve sustave i podsustave bilo one mehaničke,

električne, hidrauličke, pneumatičke ili računalne i sl., koje će raditi na zadovoljavajući način

3

te koje je moguće dovesti u ispravno stanje kako bi se nastavio rad, a također je potrebno moći

procjeniti koliko sustav može raditi i kada se statistički može očekivati da sustav više neće

raditi.

Slika 1.3 Podjela redudancije

Zato postavljanjem sustava u paralelnu vezu povećava se pouzdanost jer je mnogo bolja od

serijske, zato što, kod serijske veze, ako se jedna komponenta pokvari cijeli sustav dolazi u

neipravnost, drugim riječima sve komponente moraju raditi da bi sustav bio ispravan, dok u

paralelnoj vezi sve komponente moraju otkazati da sustav nebi funkcionirao. Iz tog razloga

komponente se u sustavu postavljaju u paralenu ili redudantnu vezu. Dakle, redudancija je

pojam koji označava da se s povećanjem broja komponenti u paralelnoj vezi, sustav ima veću

pouzdanost. Taj najefikasniji način povećanja pouzdanosti prikazan na slici 1.3 može se dobiti

na dva načina. Prvi način je da svaka komponenta uključena u sustav može imati jednu ili više

paralelnih komponenti dok druga je opcija da se cijeli sustav može staviti u paralelu sa jednim

ili više paralelnih sustava. Prvi slučaj naziva se niska redudancija, a druga visoka redudancija.

Još jedan od načina kako poboljšati pouzdanost je k od n paralelna veza. To je posebna

konfiguracija sustava od n elemenata kod koje da bi sustav funkcionirao treba raditi 1 od n

elemenata. Stim da se serijska konfiguracija može prikazati kao n od n, a paralelna je 1 od n.

Jako je pouzdana metoda te se koristi kod dizajniranja sustava motora, pumpi, generatora, gdje

nam sustav mora biti u funkciji iako su neke komponente neispravne. [2]

4

Takve veze prikazuju se pomoću blok dijagrama pouzdanosti (RBD)1 ili sa analizom stabla

kvarova (FTA)2. U mnogim praktičnim aplikacijama preporuča se raditi sa analizom stabla

kvarova umjesto blok dijagrama pouzdanosti. Kod konstruiranja stabla kvara tražu se

potencijalni uzroci specifičnih kvarova sustava. Misli se u smislu propusta i često se otkriva

potencijalni uzroci kvarova nego ako se misli u smislu funkcioniranja sustava, kao kada

postavljamo blok dijagram pouzdanosti. Konstrukcija stabla kvara dati će bolje razumijevanje

potencijalnih uzroka kvarova. Ako se analiza izvodi u fazi projektiranja, analitičar može vidjeti

dizajn sustava u funkciji te poduzeti akcije kako bi se uklonile potecijalne opasnosti.

Postavljanjem blok dijagram pouzdanosti, misli se u smislu funcioniranja toga sustava te se

često zaboravlja pomoćna uloga opreme koja, ili bi trebala biti, postavljena da zaštiti ostalu

opremu, ljude ili okoliš. Ove dvije metode samo pružaju statičnu sliku uzroka kvara odnosno

zahtjeve za funkciju sustava i stoga nisu napravljene za analizu s dinamičnim značajkama, kao

što su sustavi koji podliježu održavanju ili popravcima. Zbog tog razloga, kao i kada su

komponente u jednu ruku ovisne jedna o drugoj, jedna od najmočnijih metoda je Markovljeva

analiza pouzdanosti. Markovljeva analiza sustav razmatra preko njegovih diskretnih stanja i

tranzicija koje su među njima moguće. Temeljna pretpostavka u Markovljevim modelima

pouzdanosti je vjerojatnost sustava da prelazi iz jednog stanja u drugo ovisi samo o trenutnom

stanju ali ne i o prijašnjim stanjima kroz koje je prošao. Drugim riječima, vjerojatnost tranzicije

ne ovisi o prošlom stanju sustava. To je ekvivalentno zaboravljivosti eksponencijalne

distribucije, dakle ne iznenađuje činjenica da eksponencijalna vremena do kvara zadovoljava

Markovljevo svojstvo. Osim redudancija koja su pikazana u prethodnim odlomcima postoji još

dva načina kako poboljšati sustav koje se rješavaju pomoću Markov modela pouzdanosti, a to

su sustavi koje dijele opterećenje i sustavi u pričuvi. Prvi navedeni sustavi dijele opterećenje

tako da su postavljeni u paralelnu vezu te kada se dogodi kvar jedne komponente druga

preuzima cijelo opterećenje te se više troši i smanjuje joj se vijek trajanja. Takve komponente

ovisne su jedano o drugom. Drugi sustavi koji su navedeni, su mnogo prikladniji. Dok je jedna

komponenta u funkciji druga je u pričuvi. Nastankom kvara u prvoj komponenti druga

komponenta koja je u pričuvi preuzima funkciju. Ovisno da li se radi o obnovljivim sustavima

u tom slučaju druga komponenta je u funkciji dok se prva komponenta ne popravi. Popravci se

vrše korektivno iz razloga tog što je učestalost kvarova konstatna.

1 RBD – blok dijagrami pouzdanosti (engl. Reliability Block Diagrams) 2 FTA – analiza stabla kvarova (engl. Fault Tree Analysis) ; za ostale pojmove pogledati u popis oznaka i kratica

5

2. VRSTE PARALELNIH VEZA KOMPONENTI U TEHNIČKOM

SUSTAVU

Redudancija je pojam koji označava da se s povećanjem broja komponenti u paralelnoj

vezi, sustav ima veću pouzdanost. Ako se za primjer uzmu dvije ili više komponenti u paralelnoj

ili redudantnoj vezi prikazano na slici 2.1, sve komponente moraju otkazati da sustav bude u

kvaru, dok u serijskoj vezi, ako jedna komponenta nije ispravna cijeli sustav prestaje

funkcionirati. Kod pouzdanosti sustava od n neovisnih komponenti uzima se kao vjerojatnost

da barem jedna komponenta je neispravna (1 minus vjerojatnost da svih n komponenata budu

neispravne). [4]

1

2

n

Slika 2.1 Paralelna veza komponenata prikazana pomoću RBD - a

Redudancija je prikazana pomoću RBD-a jer daje najbolji uvid u fizički izgled sustava

tj.raspodjelu komponenti u sustavu.

𝑅𝑆(𝑡) = 𝑃(𝐸1 ∪ 𝐸2) =

= 1 − 𝑃(𝐸1 ∪ 𝐸2)𝐶 =

= 1 − 𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2)𝐶 = (2.1)

= 1 − 𝑃(𝐸1𝐶) ∙ (𝐸2

𝐶) =

Generalizirano,

𝑅𝑠(𝑡) = 1 − (1 − 𝑅1)(1 − 𝑅2)… (1 − 𝑅𝑛) = 1 − ∏ (1 − 𝑅𝑖)𝑛𝑖=1 (2.2)

𝑅𝑠(𝑡) ≥ 𝑚𝑎𝑥{𝑅1(𝑡), 𝑅2(𝑡), … , 𝑅𝑛(𝑡)} (2.3)

s tim da član 1 − ∏ (1 − 𝑅𝑖)𝑛𝑖=1 mora biti manji od vjerojatnosti kvara od najpouzdanije

komponente.

6

Slika 2.2 Pouzdanost komponente u relaciji sa pouzdanosti sustava u paralelnoj vezi

Dakle, zaključno. Povećanjem broja komponenata n tj. redudancijom, pouzdanost sustava raste

kao što je prikazano na slici 2.2. [2]

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Po

uzd

ano

st s

ust

ava

Pouzdanost komponente

n=1

n=2

n=3

n=4

n=6

n=10

n=15

n=20

7

2.1. Visoka i niska redudancija

Najbolje rješenje za povećanje pouzdanosti sustava je postavljanje u redudantnu vezu, koja se

djeli na visoku ili nisku. Dakle, redudantan sustav može se dobiti na dva načina. Prvi način je

da svaka komponenta uključena u sustav može imati jednu ili više paralelnih komponenti, a

drugi način je da se cijeli sustav može staviti u paralelu sa jednim ili više identičnih sustava.

Kod niske redudancije sustav je sastavljen od dvije serijske komponente A i B koje imaju

pouzdanost R:

𝑅𝐿𝑂𝑊 = [1 − (1 − 𝑅)2]2 = [1 − (1 − 2𝑅 + 𝑅2)]2 = (2𝑅 − 𝑅2)2 (2.4)

Na slici 2.3 prikazana je primjena jednadžbe (2.4) koja duplicira pouzdanost tj. četiri opcije

rada su moguće ako zakažu određeni elementi a to su:

Opcija 1 – Ako je donja komponenta označena sa A u kvaru, sustav će biti ispravan i

veza će se održavati sa gornjom komponentom A te sa komponentom B koja može biti

gornja ili donja.

Opcija 2 – Ako je gornja komponenta označena sa A u kvaru, sustav će biti ispravan i

veza će se održavati sa donjom komponentom A te sa komponentom B koja može biti

gornja ili donja.

Opcija 3 - Ako gornja komponenta označena sa B u kvaru, sustav biti ispravan i veza će

se održavati sa donjom komponentom B te sa komponentom A koja može biti gornja ili

donja.

Opcija 4 - Ako je donja komponenta označena sa B u kvaru, sustav će biti ispravan i

veza će se održavati sa gornjom komponentom B te sa komponentom A koja može biti

gornja ili donja.

Zaključak je da sustav neće raditi ako su obje komponente A ili obje komponente B

neispravne.[2]

A B

A B

Slika 2.3 Dvije komponente u niskoj redudanciji (RBD)

8

Za visoku redudanciju, pouzdanost sustava predstavlja:

𝑅𝐻𝐼𝐺𝐻 = 1 − (1 − 𝑅2)2 = 1 − [1 − 2𝑅2 + 𝑅4] = 2𝑅2 − 𝑅4 (2.5)

Iz dobivene jednadžbe (2.5) koja je pokazana na slici 2.4 visoko redudantni sustav može

zakazati i ako jedna komponenta A i jedna komponenta B zakažu na različitim granama.

A B

A B

Slika 2.4 Dvije komponente u visokoj redudanciji (RBD)

Uspoređivanjem jednadžbi (2.4) i (2.5) može se pokazati da je pouzdanost sa niskom

redudancijom veća od pouzdanosti sustava visoke redudancije.

𝑅𝐿𝑂𝑊 − 𝑅𝐻𝐼𝐺𝐻 = (2𝑅 − 𝑅2)2 − (2𝑅2 − 𝑅4) =

= 𝑅2(2 − 𝑅)2 − 𝑅2(2 − 𝑅2) =

= 𝑅2(4 − 4𝑅 + 𝑅2 − 2 + 𝑅2) = (2.6)

= 2𝑅2(𝑅2 − 2𝑅 + 1) =

= 2𝑅2(𝑅 − 1)2 ≥ 0

Primjer:

Radio uređaj sastoji se od tri osnovne komponente: napajanja, prijemnika, pojačala sa

odgovarajućim pouzdanostima 0.8, 0.9, 0.85. Izračunati pouzdanost sustava za visoku i nisku

redudanciju sa dvije paralelno spojene komponente.

Visoka redudancija:

𝑅𝐻𝐼𝐺𝐻 = 1 − [1 − (0.8) ∙ (0.9) ∙ (0.85)]2 = 0.849

Niska redudancija:

𝑅𝐿𝑂𝑊 = [1 − (1 − 0.8)2] ∙ [1 − (1 − 0.9)2] ∙ [1 − (1 − 0.85)2] = 0.929

9

2.2. k od n paralelna veza

Sustav kojemu radi k od zadanih n elemenata zove se k od n paralelna veza. Serijska se veza

može prikazati kao n od n dok paralelna 1 od n. Paralelna veza k od n može se prikazati kao na

funkcija:

𝑅𝑆(𝑡) = {1 𝑎𝑘𝑜 𝑗𝑒 ∑ 𝑅𝑖 ≥ 𝑘𝑛

𝑖=1

0 𝑎𝑘𝑜 𝑗𝑒 ∑ 𝑅𝑖 < 𝑘𝑛𝑖=1

(2.7)

Ako za primjer odaberemo 2 od 3 paralelnu vezu prikazana na slici 2.5 u tom slučaju kvar

jedne komponente se tolerira stim da 2 ili više komponenti u kvaru dovode cijeli sustav u

neispravnost. Blok dijagram 2 od 3 paralelne veze prikazan na slici 2.6 je u alternativnom

obliku. [4]

1 2

1 3

2 3

Slika 2.5 Paralelna veza 2 od 3 (RBD)

1

2

3

2/3

Slika 2.6 Paralelna veza 2 od 3 (alternativni prikaz - RBD)

10

Binomnom distribucijom dobijena su riješenja k od n paralelnog sustava. U seriji diskretnih

pokušaja dva su rezultata, ispravnost ili kvar. Ako je vjerojatnost uspjeha p=1-q, a kvara q=1-

p i ako je provedeno n pokušaja, potpuna vjerojatnost je:

(𝑝 + 𝑛)𝑛 = ∑ (𝑛𝑘) ∙ 𝑝𝑖 ∙ 𝑞𝑛−𝑖 = 1𝑛

𝑖=0 (2.8)

gdje je k-ti član P(k,n) vjerojatnost točno k uspjeha od n pokušaja.

𝑃(𝑘, 𝑛) = (𝑛𝑘) ∙ 𝑝𝑘 ∙ 𝑞𝑛−𝑘 (2.9)

Iz toga se može zaključiti da je vjerojatnost uspjeha više nego isto od k komponenti:

𝑃(𝑘 ≥ 𝑖 ≥ 𝑛, 𝑛) = 𝑅(𝑘, 𝑛) = ∑ (𝑛𝑖) ∙ 𝑝𝑘 ∙ (1 − 𝑝)𝑛−𝑖𝑛

𝑖=𝑘 (2.10)

Primjer:

Zrakoplov da bi se održao na određenoj visini mora imati 3 od 4 glavna motora u funkcionalnom

stanju, ako je pouzdanost svakoga motora p=0.97. Odrediti pouzdanost sustava.

𝑅𝑠 = 𝑅(𝑘, 𝑛) = ∑ (𝑛𝑖) ∙ 𝑝𝑘 ∙ (1 − 𝑝)𝑛−𝑖𝑛

𝑖=𝑘 (2.10)

𝑅(3,4) = ∑(4

3) ∙ 0.973 ∙ (1 − 0.97)4−3

4

𝑖=3

+ (4

4) ∙ 0.974 ∙ (1 − 0.97)4−4

= 4 ∙ 0.974 ∙ 0.03 + 0.974 = 0.9948

11

2.3. Neobnovljivi sustavi koji djele opterećenje

Do sada načini poboljšavanja pouzdanosti bili su prikazani pomoću blok dijagrama ali u ovom

i u daljnim poglavljima detaljnije će biti govora o sustavima koje dijele opterećenje upotrebom

Markovljevih modela pouzdanosti. Dok blok dijagrami pouzdanosti prikazuju sustav kao

njegov fizički oblik raspodjele komponenata, Markov modeli pouzdanosti prikazuju sustav kroz

njegova stanja i kojem se stanju trenutno nalazi. Uzme li se u obzir paralelni sustav sa dvije

jednake komponente koje dijele zajedničko opterećenje. Ako se jedna komponenta pokvari,

druga preuzima cijelo opterećenje na sebe te joj se vjerojatnost kvara naglo povećava, što u ni

u kojem slučaju nije dobro niti poželjno. Zato se kaže da su to ovisne komponente jer neuspjeh

ovisi jedno o drugom. Takvih primjera koje dijele opterećenje ima mnogo u tehničkoj praksi,

a to mogu biti pumpe, kompresori, električni generatori itd. [4]

12

2.3.1. Sustavi koji dijele opterećenje sa dvijema istim komponentama

Pretpostavkom da svaka komponenta ima konstatnu učestalost kvarova λi, može se prikazati

sustav sa dvije komponente koristeći dijagram stanja na slici 2.7 koja predstavlja sustav sa 4

stanja dok strelice predstavljaju tranzicije (λi) iz jednog stanja u drugo.

Slika 2.7 Dijagram stanja sa dvije iste komponente koje dijele opterećenje

Tablica 2.1 Moguća stanja dvije iste komponente u paralelnoj vezi koja dijele opterećenje

Stanje Komponenta A Komponenta B Sustav

0 ispravan ispravan ispravan

1 neispravan ispravan ispravan

2 ispravan neispravan ispravan

3 neispravan neispravan neispravan

Iz dijagrama stanja mogu se složiti elemente matrice tranzicija koji su van dijagonale:

𝐴 = [

𝑎00 𝜆𝐴 𝜆𝐵 00 𝑎11 0 𝜆𝐵

0 0 𝑎22 𝜆𝐴

0 0 0 𝑎33

] (2.11)

U jednadžbi (2.11) prikazana je matrica sa četiri retka i četiri stupca. Stanje 0 prestavlja stanje

u kojem su sve komponente ispravne. Tranzicije λA, λB, u stanje 1 i 2 prestavljaju stanje gdje su

jedna komponenta neispravna a druga ispravna što je u tablici 2.1 jasno prikazano. U matrici

tranzicija negativan predznak opisuje tranziciju iz stanja čija se vjerojatnost izračunava, drugim

riječima dio se može pokvariti samo ako je funkcionalan.

Zatim se dobiju dijagonalni elementi:

13

𝐴 = [

−(𝜆𝐴 + 𝜆𝐵) 𝜆𝐴 𝜆𝐵 00 −𝜆𝐵 0 𝜆𝐵

0 0 −𝜆𝐴 𝜆𝐴

0 0 0 0

] (2.12)

Sustav je neispravan kada su mu sve komponente u kvaru (u stanju 3). Tada se definira stanje

3 kao absorbirajuće te se uklanja red i stupac u matrici tranzicija prikazano u jednadžbi (2.13).

𝐴𝑅 = [−(𝜆𝐴 + 𝜆𝐵) 𝜆𝐴 𝜆𝐵

0 −𝜆𝐵 00 0 −𝜆𝐴

] (2.13)

Za trajno rješenje Markovljeva modela nije potrebno tražiti rješenje sustava diferencijalnih

jednadžbi jer je sustav sa protokom vremena sve manje ovisan o početnom stanju,

lim𝑡→∞

�̇�(𝑡) = {0} i lim𝑡→∞

𝑃(𝑡) = 𝑃 , te se uz pomoć jednadžbe �̇�(𝑡) = 𝑃(𝑡) ∙ 𝐴𝑅 dobije homogeni

sustav linearnih jednadžbi:

{𝑃0, 𝑃1, 𝑃2, } = [−(𝜆𝐴 + 𝜆𝐵) 𝜆𝐴 𝜆𝐵

0 −𝜆𝐵 00 0 −𝜆𝐴

] = {0, 0, 0} (2.14)

Pomoću programog alata MATLAB dobiju se simbolička rješenja:

𝑃0(𝑡) = 𝑒−(𝜆𝐴+𝜆𝐵)𝑡 (2.15)

𝑃1(𝑡) = 𝑒−𝜆𝐵𝑡 − 𝑒−(𝜆𝐴+𝜆𝐵)𝑡 (2.16)

𝑃2(𝑡) = 𝑒−𝜆𝐴𝑡 − 𝑒−(𝜆𝐴+𝜆𝐵)𝑡 (2.17)

Uvrštavanjem zadanih učestalosti kvarova u jednadžbe (2.15), (2.16) i (2.17) moguće je dobiti

tranzijetna rješenja prikazana na slici 2-8, ako je 𝜆𝐴 = 0.001, 𝜆𝐵 = 0.002.

14

Slika 2.8 Dijagram rješenja dvije iste komponente koje dijele opterećenje

Za paralelni sustav funkcija pouzdanosti je,

𝑅(𝑡) = 𝑃0(𝑡) + 𝑃1(𝑡) + 𝑃2(𝑡) = 𝑒−𝜆𝐴𝑡 + 𝑒−𝜆𝐵𝑡−𝑒−(𝜆𝐴+𝜆𝐵)𝑡 (2.18)

te nepouzdanosti,

𝑄(𝑡) = 𝑃3(𝑡) = 1 − 𝑃0(𝑡) − 𝑃1(𝑡) − 𝑃2(𝑡) (2.19)

15

2.3.2. Sustavi koji dijele opterećenje sa dvijema različitim komponentama

Prikazana su četiri stanja sustava kao i prije. Dijagram stanja na slici 2.9, gdje λ3A i λ4B

predstavljaju intezitete kvara komponente A i komponente B, odnosno, kao rezultat povećanog

opterećenja.

Slika 2.9 Dijagram stanja sa dvije različite komponente koje dijele opterećenje

Tablica 2.2 Moguća stanja dvije različite komponente u paralelnoj vezi koja dijele

opterećenje

Stanje Komponenta A Komponenta B Sustav

0 ispravan ispravan ispravan



3 neispravan neispravan neispravan

Iz dijagrama stanja možemo složiti elemente matrice tranzicija koji su van dijagonale:

𝐴 = [

𝑎00 𝜆1𝐴 𝜆2𝐵 00 𝑎11 0 𝜆4𝐵

0 0 𝑎22 𝜆3𝐴

0 0 0 𝑎33

] (2.20)


u kojem su sve komponente ispravne. Tranzicije λ1A, λ2B, u stanje 1 i 2 prestavljaju stanje gdje

su jedna komponenta neispravna a druga ispravna što se u tablici 2.2 jasno vidi, te tranzicije

λ3A, λ4B u stanje 3 koje se definira kad je sustav u kvaru. U matrici tranzicija negativan predznak

16

opisuje tranziciju iz stanja čija se vjerojatnost izračunava, drugim riječima dio se može pokvariti

samo ako je funkcionalan.


𝐴 = [

−(𝜆1𝐴 + 𝜆2𝐵) 𝜆1𝐴 𝜆2𝐵 00 −𝜆4𝐵 0 𝜆4𝐵

0 0 −𝜆3𝐴 𝜆3𝐴

0 0 0 0

] (2.21)


3 kao absorbirajuće te se uklanja red i stupac u matrici tranzicija koje je prikazano u jednadžbi

(2.22).

𝐴𝑅 = [−(𝜆1𝐴 + 𝜆2𝐵) 𝜆1𝐴 𝜆2𝐵

0 −𝜆4𝐵 00 0 −𝜆3𝐴

] (2.22)



lim𝑡→∞

�̇�(𝑡) = {0} i lim𝑡→∞



{𝑃0, 𝑃1, 𝑃2, } ∙ [−(𝜆1𝐴 + 𝜆2𝐵) 𝜆1𝐴 𝜆2𝐵

0 −𝜆4𝐵 00 0 −𝜆3𝐴

] = {0, 0, 0} (2.23)


𝑃0(𝑡) = 𝑒−(𝜆1𝐴+𝜆2𝐵)𝑡 (2.24)

𝑃1(𝑡) =𝜆1

𝜆1+𝜆2−𝜆4𝐵[𝑒−𝜆4𝐵 − 𝑒−(𝜆1𝐴+𝜆2𝐵)𝑡] (2.25)

𝑃2(𝑡) =𝜆2

𝜆1+𝜆2−𝜆3𝐴[𝑒−𝜆3𝐴 − 𝑒−(𝜆1𝐴+𝜆2𝐵)𝑡] (2.26)


tranzijetna rješenja koja su prikazana na slici 2.10, ako je 𝜆1𝐴 = 0.001, 𝜆2𝐵 = 0.002, 𝜆3𝐴 =

0.008 𝑖 𝜆4𝐵 = 0.006.

17

Slika 2.10 Dijagram rješenja dvije različite komponente koje dijele opterećenje


𝑅(𝑡) = 𝑃0(𝑡) + 𝑃1(𝑡) + 𝑃2(𝑡)=

= 𝑒−(𝜆1𝐴+𝜆2𝐵)𝑡 +𝜆1

𝜆1+𝜆2−𝜆4𝐵[𝑒−𝜆4𝐵 − 𝑒−(𝜆1𝐴+𝜆2𝐵)𝑡] +

𝜆2

𝜆1+𝜆2−𝜆3𝐴[𝑒−𝜆3𝐴 − 𝑒−(𝜆1𝐴+𝜆2𝐵)𝑡] (2.27)

te nepouzdanosti,

𝑄(𝑡) = 𝑃3(𝑡) = 1 − 𝑃0(𝑡) − 𝑃1(𝑡) − 𝑃2(𝑡) (2.28)

18

2.4. Obnovljivi sustavi koji dijele opterećenje

Ako se uzme u obzir paralelni sustav sa dvije identične kompnente koje dijele zajedničko

opterećenje. Vrsta redudancije u kojoj dvije ili više komponenata dijele opterećenje u paralelnoj

vezi zove se aktivna redudancija. Ove komponente dijele opterećenje od samog početka sve

dok jedna od njih ne dođe u stanje kvara. Kada zakaže jedna komponenta druga preuzima

opterećenje cijelog sustava, što u ovom slučaju nije dobro jer joj se naglo povećava vjerojatnost

kvara u kratkom vremenu.

Pretpostavljene su sljedeći inteziteti kvarova:

λn = intezitet kvara pri normalnom opterećenju (kada su obje komponente u funkciji)

λf = intezitet kvara pri punom opterećenju (kada je jedna komponenta neispravna)

Slika 2.11 Dijagram stanja sa dvije ovisne komponente koje dijele opterećenje

Neka μn predstavlja intezitet popravka komponente kada je samo jedna u kvaru i neka μf

predstavlja intezitet popravka kada su obje komponente u kvaru. Neka broj komponenata koje

funkcioniraju predastavljaju stanje sustava a to su (0,1,2). Kada se sustav pokvari (stanje 2),

sva moguća raspoloživa sredstva se uključe da poprave jednu od komponenti (obično

komponentu koja se pokvari prva). Sustav se podiže (u stanje 1) ponovo kada se komponenta

popravi.

19

Tablica 2.3 Moguća stanja dvije ovisne komponente u paralelnoj vezi koja dijele opterećenje

Stanje Sustav

0 ispravan (obje komponente ispravne)

1 ispravan (samo jedna komponenta ispravna, druga se

popravlja)

2 neispravan (popravljaju se oba dijela)

Iz dijagrama stanja sa slike 2.11 moguće je napisati matricu tranzicija

𝐴 = [

𝑎00 2𝜆𝑛 0𝜇𝑛 𝑎11 𝜆𝑓

0 𝜇𝑓 𝑎22

] (2.29)


𝐴 = [

−2𝜆𝑛 2𝜆𝑛 0

𝜇𝑛 −(𝜆𝑓 + 𝜇𝑛) 𝜆𝑓

0 𝜇𝑓 𝜇𝑓

] (2.30)


2 kao absorbirajuće te se uklanja red i stupac koje sadrži to stanje 2 u matrici tranzicija.

𝐴𝑅 = [−2𝜆𝑛 2𝜆𝑛

𝜇𝑛 −(𝜆𝑓 + 𝜇𝑛)] (2.31)

Postavi se sustav jednadžbi koje se lako riješavaju.

[𝑃0(0), 𝑃1(0)] ∙ (−2𝜆𝑛 2𝜆𝑛

𝜇𝑛 −(𝜆𝑓 + 𝜇𝑛)) = [0,1] (2.32)


𝑃0(𝑡) =1

𝜆𝑓 (2.33)

𝑃1(𝑡) =𝜆𝑓+𝜇𝑛

2𝜆𝑛𝜆𝑓 (2.34)

20


𝑅(𝑡) = 𝑃0(𝑡) + 𝑃1(𝑡) =1

𝜆𝑓+

𝜆𝑓+𝜇𝑛

2𝜆𝑛𝜆𝑓 (2.35)

te nepouzdanosti,

𝑄(𝑡) = 𝑃2(𝑡) = 1 − 𝑃0(𝑡) − 𝑃1(𝑡) (2.36)

Uvrštavanjem zadanih učestalosti kvarova i učestalosti popravka u jednadžbe (2.33), (2.34)

moguće je dobiti tranzijetna rješenja koja su prikazana na slici 2.12, ako je 𝜆𝑛 = 0.001, 𝜆𝑓 =

0.002, 𝜇𝑛 = 0.008.

Slika 2.12 Dijagram rješenja sa dvije ovisne komponente koje dijele opterećenje

21

2.5. Sustavi u pričuvi koji su neobnovljivi

Sustavi u pričuvi su važno područje proučavanja u pouzdanosti. Ovisno o vjerojatnosti kvara

koji je nastao kada se prebacuje na komponentu u pričuvi, ovi sustavi su općenito mnogo

pouzdaniji od aktivno redudantnog sustava. Sustav u pričuvi sa dvije komponente razlikuje se

od aktivnog redudantong sustava o kojemu je ranije bilo riječi, o komponeti u pričuvi koja neće

imati nikakvih kvarova dok je u pričuvi. Jednom kad je aktivna, rezervna komponenta može

doživjeti isti intezitet kvara kao glavni sustav (ako su jednake komponente) ili ako ima različit

intezitet rada. Ovisnost raste zato što intezitet kvara od komponente u pričuvi ovisi o stanju

glavne komponente.Sustav u pričuvi sa n komponenata prikazane pomoću blok dijagrama

pouzdanosti može se vidjeti na slici 2.14.

Slika 2.13 Sustav u pripremi sa dvije komponente (RBD)

1

2

n

s

Slika 2.14 Sustav u pripremi sa n komponenata (RBD)

22

2.5.1. Paralelni sustavi u pričuvi sa pravovremenim priključivanjem

Ako se uzme u obzir paralelni sustav u pričuvi sa slike 2-13.prikazan pomoću blok dijagrama

pouzdanosti.

Slika 2.15 Dijagram stanja sustava u pričuvi sa dvije komponente koji ima kvarove u pričuvi

Iz dijagrama stanja prikazanog na slici 2.15 moguće je dobiti elemente matrice tranzicija koje

su van dijagonale:

𝐴 = [

𝑎00 𝜆1 𝜆2′ 0

0 𝑎11 0 𝜆2

0 0 𝑎22 𝜆1

0 0 0 𝑎33

] (2.37)

Tablica 2.4 Moguća stanja sustava u pričuvi sa dvije komponente koji ima kvarove u pričuvi

Stanje Komponenta A

(glavni)

Komponenta B

(u pričuvi) Sustav

0 ispravan (nije uključen)

ispravan ispravan

1 neispravan (uključen)

ispravan ispravan


neispravan ispravan

23


u kojem su sve komponente ispravne. Tranzicije λ1, 𝜆2′ , u stanje 1 i 2 prestavljaju stanje gdje su

jedna komponenta neispravna a druga ispravna što u tablici 2.2 se jasno vidi, te tranzicije λ1 i

λ2 predstavljaju u stanje 3 koje je definirano kao da je sustav cijeli u kvaru. U matrici tranzicija

negativan predznak opisuje tranziciju iz stanja čija se vjerojatnost izračunava, drugim riječima

dio se može pokvariti samo ako je funkcionalan.


𝐴 = [

−(𝜆1 + 𝜆2′ ) 𝜆1 𝜆2

′ 00 −𝜆2 0 𝜆2

0 0 −𝜆1 𝜆1

0 0 0 0

] (2.37)



(2-38).

𝐴𝑅 = [−(𝜆1 + 𝜆2

′ ) 𝜆1 𝜆2′

0 −𝜆2 00 0 −𝜆1

] (2.38)



lim𝑡→∞

�̇�(𝑡) = {0} i lim𝑡→∞



{𝑃0, 𝑃1, 𝑃2, } ∙ [−(𝜆1 + 𝜆2

′ ) 𝜆1 𝜆2′

0 −𝜆2 00 0 −𝜆1

] = {0, 0, 0} (2.39)


𝑃0(𝑡) = 𝑒−(𝜆1+𝜆2′ )𝑡 (2.40)

𝑃1(𝑡) =𝜆1

𝜆1+𝜆2′ −𝜆2

[𝑒−(𝜆2)𝑡𝑒−(𝜆1+𝜆2′ )𝑡] (2.41)

𝑃2(𝑡) = 𝑒−(𝜆1)𝑡−𝑒−(𝜆1+𝜆2′ )𝑡 (2.42)

24

Za paralelni sustav funkcija pouzdanost je,

𝑅(𝑡) = 𝑃0(𝑡) + 𝑃1(𝑡) + 𝑃2(𝑡) =

= 𝑒−(𝜆1)𝑡 +𝜆1

𝜆1+𝜆2′ −𝜆2

[𝑒−(𝜆2)𝑡𝑒−(𝜆1+𝜆2′ )𝑡] (2.43)

te nepouzdanosti,

𝑄(𝑡) = 𝑃3(𝑡) = 1 − 𝑃0(𝑡) − 𝑃1(𝑡) − 𝑃2(𝑡) (2.44)


tranzijetna rješenja koja su prikazana na slici 2.16, ako je 𝜆1 = 0.001, 𝜆2 = 0.002, 𝜆2′ = 0.008

.

Slika 2.16 Dijagram rješenja paralelnog sustava u pričuvi s pravovremenim priključivanjem

25

2.5.2. Paralelni sustavi u pričuvi sa pogreškama u priključivanju

Nije rijedak slučaj u sustavima u pričuvi da ima vjerojatnost p kao zahtjev da se kvar od

prekidača stavi u funkciju. Ako se uzme u obzir paralelni sustav u pričuvi sa slike 2.13 te

dijagram promjene stanja je prikazan na slici 2.17. koji je malo modificiraniji oblik od

dijagrama stanja na slici 2.15.

Gdje je:

𝑝 = vjerojatnost pogreške ukapčanja B

𝜆1 = učestalost kvara A (B nema utjecaja)

𝜆2′ = učestalost kvara B kada nije u pogonu

𝜆2 = učestalost kvara B kada je u pogonu

Slika 2.17 Dijagram stanja dviju komponenti s kvarovima u pričuvi i pogreškama

priključivanja

Iz dijagrama stanja mogu se složiti elementi matrice tranzicija koji su van dijagonale:

𝐴 = [

𝑎00 (1 − 𝑝)𝜆1 𝜆2′ 𝑝𝜆1

0 𝑎11 0 𝜆2

0 0 𝑎22 𝜆1

0 0 0 𝑎33

] (2.45)

26

Tablica 2.5 Moguća stanja dviju komponenti s kvarovima u pričuvi i pogreškama

priključivanja

Stanje Komponenta A

(glavni)

Komponenta B

(u pričuvi) Sustav


ispravan ispravan

1 neispravan (uključen)

ispravan ispravan


neispravan ispravan

3 neispravan (nije uključen)

neispravan neispravan


𝐴 = [

−[(1 − 𝑝)𝜆1 + 𝜆2′ + 𝑝𝜆1] (1 − 𝑝)𝜆1 𝜆2

′ 𝑝𝜆1

0 −𝜆2 0 𝜆2

0 0 −𝜆1 𝜆1

0 0 0 0

] (2.46)

Sustav je neispravan kada su mu sve komponente neispravne (u stanju 3). Tada definiramo

stanje 3 kao absorbirajuće te se uklanja red i stupac u matrici tranzicija koje je prikazano u

jednadžbi (2-47).

𝐴𝑅 = [−[(1 − 𝑝)𝜆1 + 𝜆2

′ + 𝑝𝜆1] (1 − 𝑝)𝜆1 𝜆2′

0 −𝜆2 00 0 −𝜆1

] (2.47)



lim𝑡→∞

�̇�(𝑡) = {0} i lim𝑡→∞



{𝑃0, 𝑃1, 𝑃2, } ∙ [−[(1 − 𝑝)𝜆1 + 𝜆2

′ + 𝑝𝜆1] (1 − 𝑝)𝜆1 𝜆2′

0 −𝜆2 00 0 −𝜆1

] = {0, 0, 0} (2.48)

27


𝑃0(𝑡) = 𝑒−(𝜆1+𝜆2′ )𝑡 (2.49)

𝑃1(𝑡) =(1−𝑝)𝜆1

𝜆1+𝜆2′ −𝜆2

[𝑒−(𝜆2)𝑡 − 𝑒−(𝜆1+𝜆2′ )𝑡] (2.50)

𝑃2(𝑡) = 𝑒−(𝜆1)𝑡−𝑒−(𝜆1+𝜆2′ )𝑡 (2.51)

U prilogu A prikazan je programski kod rješavanja simbolički zatim numerički. Zamjenom

učestalosti kvarova i popravaka stim i broj stupaca i redatka matrice moguće je riješiti istim

načinom više primjera.

Funkcija pouzdanosti je

𝑅(𝑡) = 𝑃0(𝑡) + 𝑃1(𝑡) + 𝑃2(𝑡) =

= 𝑒−(𝜆1)𝑡 +(1−𝑝)𝜆1

𝜆1+𝜆2′ −𝜆2

[𝑒−(𝜆2)𝑡𝑒−(𝜆1+𝜆2′ )𝑡] (2.52)

te nepouzdanosti,

𝑄(𝑡) = 𝑃3(𝑡) = 1 − 𝑃0(𝑡) − 𝑃1(𝑡) − 𝑃2(𝑡) (2.53)

Uvrštavanjem zadanih učestalosti kvarova i popravaka u jednadžbe (2.49), (2.50) i (2.51)

moguće je dobiti tranzijetna rješenja koja su prikazana na slici 2.12, ako je 𝜆1 = 0.001, 𝜆2 =

0.002, 𝜆2′ = 0.008, 𝑝 = 0.006 (vidi prilog A). Ako je p=1, sustav u pričuvi nema nikakvu

ulogu nego je cijela pouzdanost sustava na glavnoj komponenti samo.

28

Slika 2.18 Dijagram rješenja paralelnog sustava u pričuvi s pogreškama u priključivanju

29

2.6. Sustavi u pričuvi koji su obnovljivi

U nekim strukturama, pojedinačni dijelovi, bile one komponente ili neki podsustav, mogu imati

puno veću sposobnost da funkcioniraju bolje od drugih. U ovom poglavlju biti će rečeno nešto

o sustavima u pričuvi koje rade na principu da jedna od dvije ili više komponenti stoji u pričuvi

sve dok komponente koje su u funkciji ne zakažu. Takva redudancija zove se pasivna. Za

komponentu koja je u pričuvi kaže se da je u „hladnom čekanju“. Ako je komponenta koja je u

pričuvi, opterećena sa jako malim opterećenjem u periodu u kojem čeka, tada se to može nazvati

djelomično opterećena redudancija. U sljedećih nekoliko podnaslova biti će prikazano nekoliko

tipova ovih redudancija pomoću Markovljevih modela pouzdanosti uzimajući u obzir

jednostavne primjere. [4]

Sustavi u pričuvi koji su prikazani u poglavlju 2.5 su neobnovljivi. U ovom poglavlju govoriti

će se o obnovljivim sustavima u pričuvi.

Sustav u pričuvi može biti u funkciji i popravljan na mnogo načina:

može biti u „hladnom čekanju“ ili u dijelomično opterećenom stanju.

prekidač za prebacivanje može biti u više faza kvara, prvi je da se dogodi kvar da uopće

ne prebaci, drugo je da lažno prebaci i treće da je isključen.

kvar komponente u pričuvi može biti skriven (neotkriven) ili otkriven. [4]

30

2.6.1. Obnovljivi paralelni sustav u pričuvi sa pravovremenim priključivanjem

Kada je komponenta u pričuvi pasivna pretpostavlja se da ne zakaže dok je u tom stanju.

Priključivanje mora biti pravovremeno. Kvar aktivne komponente istog trena se otkriva te se

komponenta u pričuvi aktivira sa vjerojatnosti od 1. Intezitet kvara komonente i u

funkcionalnom stanju obilježen sa λi za i=A,B. Kada aktivna komponenta dođe u neispravno

stanje, popravak se pokreće odmah. Vrijeme popravka je eksponencijalno raspoređeno sa

intezitetom popravka mi za i=A,B. Kada se popravak izvrši, komponenta se postavlja u pričuvno

stanje. Moguća stanja sustava prikazana su u tablici 2.6. Kvar sustava se događa kada se

operativna komponenta pokvari prije nego se druga komponenta popravila. Stanje sustava kada

je u kvaru (stanje 4) prikazano je u tablici 2.6. Kada su obje komponente u kvaru, obnavljaju

se istovremeno te se vraćaju ponovo u stanje 0. Intezitet popravka u ovom slučaju je m.

Dijagram stanja obnovljivog sustava u pričuvi sa pravovremenim priključivanjem prikazan je

na slici 2.19.

Slika 2.19 Dijagram stanja dviju komponenti u pričuvi s pravovremenim priključivanjem

Iz dijagrama stanja moguće je složiti elemente matrice tranzicija koji su van dijagonale:

𝐴 =

[ 𝑎00 𝜆𝐴 0 0 00 𝑎11 𝜇𝐴 0 𝜆𝐵

0 0 𝑎22 𝜆𝐵 0𝜇𝐵 0 0 𝑎33 𝜆𝐴

𝜇 0 0 0 𝑎44]

(2.54)

31


𝐴 =

[ −𝜆𝐴 𝜆𝐴 0 0 00 −(𝜆𝐵 + 𝜇𝐴) 𝜇𝐴 0 𝜆𝐵

0 0 −𝜆𝐵 𝜆𝐵 0𝜇𝐵 0 0 −𝜆𝐴 𝜆𝐴

𝜇 0 0 0 −𝜇]

(2.55)

Tablica 2- 6 Moguća stanja dviju komponenti u pričuvi sa pravovremenim priključivanjem

Stanje Komponenta A

(glavna)

Komponenta B

(u pričuvi) Sustav


ispravan ispravan


2 (nije uključen)

ispravan ispravan ispravan


4 neispravan neispravan (oba se obnavljaju)

neispravan



(2-56).

𝐴𝑅 = [

−𝜆𝐴 𝜆𝐴 0 00 −(𝜆𝐵 + 𝜇𝐴) 𝜇𝐴 00 0 −𝜆𝐵 𝜆𝐵

𝜇𝐵 0 0 −𝜆𝐴

] (2.56)



lim𝑡→∞

�̇�(𝑡) = {0} i lim𝑡→∞



{𝑃0, 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3} ∙ [

−𝜆𝐴 𝜆𝐴 0 00 −(𝜆𝐵 + 𝜇𝐴) 𝜇𝐴 00 0 −𝜆𝐵 𝜆𝐵

𝜇𝐵 0 0 −𝜆𝐴

] = {1,0, 0, 0} (2.57)

32


𝑃0(𝑡) =1+𝜇𝐵

𝜆𝐴∙

𝜇𝐴

𝜆𝐴𝜆𝐵+𝜆𝐴𝜇𝐴+𝜆𝐵𝜇𝐵 (2.58)

𝑃1(𝑡) =𝜆𝐴+𝜇𝐵

𝜇𝐴∙

𝜇𝐴


𝑃2(𝑡) =𝜆𝐴+𝜇𝐵

𝜆𝐵∙

𝜇𝐴


𝑃3(𝑡) =𝜇𝐴



𝑅(𝑡) = 𝑃0(𝑡) + 𝑃1(𝑡) + 𝑃2(𝑡) + 𝑃3(𝑡) =

=1 + 𝜇𝐵

𝜆𝐴∙

𝜇𝐴

𝜆𝐴𝜆𝐵 + 𝜆𝐴𝜇𝐴 + 𝜆𝐵𝜇𝐵+

𝜆𝐴 + 𝜇𝐵

𝜇𝐴∙

𝜇𝐴

𝜆𝐴𝜆𝐵 + 𝜆𝐴𝜇𝐴 + 𝜆𝐵𝜇𝐵

+𝜆𝐴+𝜇𝐵

𝜆𝐵∙

𝜇𝐴

𝜆𝐴𝜆𝐵+𝜆𝐴𝜇𝐴+𝜆𝐵𝜇𝐵+

𝜇𝐴


te nepouzdanosti,

𝑄(𝑡) = 𝑃4(𝑡) = 1 − 𝑃0(𝑡) − 𝑃1(𝑡) − 𝑃2(𝑡) − 𝑃3(𝑡) (2.63)

Uvrštavanjem zadanih učestalosti kvarova i popravaka u jednadžbe (2.58), (2.59), (2.60) i

(2.61) moguće je dobiti tranzijetna rješenja koja su prikazana na slici 2-20, ako je 𝜆𝐴 =

0.001, 𝜆𝐵 = 0.002, 𝜇𝐴 = 0.008, 𝜇𝐵 = 0.006.

33

Slika 2.20 Dijagram rješenja dviju komponenti u pričuvi s pravovremenim priključivanjem

34

2.6.2. Obnovljivi paralelni sustav u pričuvi sa pravovremenim priključivanjem

Ako se razmotri sustav u pričuvi sa slike 2.13 te pretpostavi da je dio A glavna operativna

komponenta. To znači da se dio B jedino koristi kada je glavna komponenta u stanju kvara i

pod popravkom. Dio A će biti stavljen u operativno stanje kada se popravi. Kvar sustava se

događa kada se operativna komponenta B pokvari prije nego se druga komponenta popravila.

Kvar sustava je prikazan u tablici 2.6 kao stanje 4. Kada su obje komponente u kvaru,

obnavljaju se istovremeno te se vraćaju ponovo u stanje 0. Intezitet popravka u ovom slučaju

je m.Stanje 1 i stanje 2 u tablici 2.6 su dakle neznatni za sustav. Dijagram stanja obnovljivog

sustava u pričuvi sa pravovremenim priključivanjem gdje je dio A glavna operativna

komponenta prikazan je na slici 2.21.

Slika 2.21 Dijagram stanja dviju komponenti u pričuvi s pravovremenim priključivanjem


𝐴 = [𝑎00 𝜆𝐴 0𝜇𝐴 𝑎11 𝜆𝐵

𝜇 0 𝑎44

] (2.64)


𝐴 = [−𝜆𝐴 𝜆𝐴 0𝜇𝐴 −(𝜆𝐵 + 𝜇𝐴) 𝜆𝐵

𝜇 0 −𝜇] (2.65)

35



(2-56).

𝐴𝑅 = [−𝜆𝐴 𝜆𝐴

𝜇𝐴 −(𝜆𝐵 + 𝜇𝐴)] (2.66)

Za trajna rješenja Markovljeva modela nije potrebno tražiti rješenje sustava diferencijalnih


lim𝑡→∞

�̇�(𝑡) = {0} i lim𝑡→∞

𝑃(𝑡) = 𝑃, te se uz pomoć jednadžbe �̇�(𝑡) = 𝑃(𝑡) ∙ 𝐴𝑅 dobije homogeni


{𝑃0, 𝑃1} ∙ [−𝜆𝐴 𝜆𝐴

𝜇𝐴 −(𝜆𝐵 + 𝜇𝐴)] = {1,0} (2.67)


𝑃0(𝑡) =1

𝜆𝐴+

𝜇𝐴

𝜆𝐴𝜆𝐵 (2.68)

𝑃1(𝑡) =1

𝜆𝐵 (2.69)


𝑅(𝑡) = 𝑃0(𝑡) + 𝑃1(𝑡) =

=1

𝜆𝐴+

𝜇𝐴

𝜆𝐴𝜆𝐵+

1

𝜆𝐵 (2.70)

te nepouzdanosti,

𝑄(𝑡) = 𝑃4(𝑡) = 1 − 𝑃0(𝑡) − 𝑃1(𝑡) (2.71)

36

Uvrštavanjem zadanih učestalosti kvarova i popravaka u jednadžbe (2.68), (2.69) moguće je

dobiti tranzijetna rješenja koja su prikazana na slici 2-22, ako je 𝜆𝐴 = 0.001, 𝜆𝐵 = 0.002, 𝜇𝐴 =

0.008.

Slika 2.22 Dijagram rješenja dviju komponenti u pričuvi s pravovremenim priključivanjem

37

2.6.3. Obnovljivi paralelni sustav u pričuvi sa zakašnjelim priključivanjem

Ako se razmotri sustav u pručuvi sa slike 2.13 te pretpostavimo da prebacivanje više nije

pravovremneno. Kada se aktivna komponenta A pokvari, komponenta B u pričuvi će se

aktivirati valjano sa vjerojatnosti (1-p). Vjerojatnost p isto sadržava vjerojatnost „zakašnjelog

priključivanja“ komponente u pričuvi. Dijagram stanja obnovljivog sustava u pričuvi sa

zakašnjelim priključivanjem gdje je dio A glavna operativna komponenta prikazan je na slici

2.23. Tranzicija iz stanja 0 u stanje 1 prestavljena je sa stopom prijelaza (1-p)λA i u stanje 4 sa

stopom prijelaza pλA.

Slika 2.23 Dijagram stanja dviju komponenti u pričuvi s zakašnjelim priključivanjem


𝐴 = [𝑎00 (1 − 𝑝)𝜆𝐴 𝑝𝜆𝐴

𝜇𝐴 𝑎11 𝜆𝐵

𝜇 0 𝑎44

] (2.72)


𝐴 = [−((1 − 𝑝)𝜆𝐴 + 𝑝𝜆𝐴) (1 − 𝑝)𝜆𝐴 𝑝𝜆𝐴

𝜇𝐴 −(𝜆𝐵 + 𝜇𝐴) 𝜆𝐵

𝜇 0 −𝜇] (2.73)

38



(2-74).

𝐴𝑅 = [−((1 − 𝑝)𝜆𝐴 + 𝑝𝜆𝐴) (1 − 𝑝)𝜆𝐴

𝜇𝐴 −(𝜆𝐵 + 𝜇𝐴)] (2.74)



lim𝑡→∞

�̇�(𝑡) = {0} i lim𝑡→∞



{𝑃0, 𝑃1} ∙ [−((1 − 𝑝)𝜆𝐴 + 𝑝𝜆𝐴) (1 − 𝑝)𝜆𝐴

𝜇𝐴 −(𝜆𝐵 + 𝜇𝐴)] = {1,0} (2.75)


𝑃0(𝑡) =𝜆𝐵+𝜇𝐴

𝜆𝐴(𝜆𝐵+𝑝𝜇𝐴) (2.76)

𝑃1(𝑡) =1−𝑝

𝜆𝐵+𝑝𝜇𝐴 (2.77)

Za paralelni sustav funkcija pouzadanosti je,

𝑅(𝑡) = 𝑃0(𝑡) + 𝑃1(𝑡) =

=𝜆𝐵+𝜇𝐴

𝜆𝐴(𝜆𝐵+𝑝𝜇𝐴)+

1−𝑝

𝜆𝐵+𝑝𝜇𝐴 (2.78)

te nepouzdanosti,

𝑄(𝑡) = 𝑃4(𝑡) = 1 − 𝑃0(𝑡) − 𝑃1(𝑡) (2.79)

39

Uvrštavanjem zadanih učestalosti kvarova i popravaka u jednadžbe (2.76), (2.77) moguće je

dobiti tranzijetna rješenja koja su prikazana na slici 2-24, ako je 𝜆𝐴 = 0.001, 𝜆𝐵 = 0.002, 𝜇𝐴 =

0.008, 𝑝 = 0.006.

Slika 2.24 Dijagram rješenja dviju komponenti u pričuvi s zakašnjelim priključivanjem

40

2.6.4. Obnovljivi paralelni sustav u pričuvi koji djeli opterećenje sa pravovremenim

priključivanjem

Ako se razmotri sustav sa slike 2.13 i pretpostavi da se komponenta B može pokvariti dok je u

pričuvi te da ima skrivenu grešku dok se aktivira. Intezitet kvara u tom u tom slučaju je 𝜆𝐵𝑆 te

je obično manja odgovarajuća stopa neuspjeha tijekom rada. Dodatak na sliku 2.16 dijagrama

stanja,ovaj sustav ima još dvije tranzicije stanja iz stanja 0 u stanje 3 te iz stanja 3 u stanje 4

gdje se obnavlja. Dijagram stanja je prikazan na slici 2.25.

Slika 2.25 Dijagram stanja dviju komponenti u pričuvi koje dijele opterećenje s

pravovremenim priključivanjem


𝐴 =

[ 𝑎00 𝜆𝐴 𝜆𝐵

𝑆 0𝜇𝐴 𝑎11 0 𝜆𝐵

0 0 𝑎33 𝜆𝐴

𝜇 0 0 𝑎44] (2.80)


𝐴 =

[ −(𝜆𝐴 + 𝜆𝐵

𝑆 ) 𝜆𝐴 𝜆𝐵𝑆 0

𝜇𝐴 −(𝜆𝐵 + 𝜇𝐴) 0 𝜆𝐵

0 0 −𝜆𝐴 𝜆𝐴

𝜇 0 0 −𝜇] (2.81)

41



(2-56).

𝐴𝑅 = [−(𝜆𝐴 + 𝜆𝐵

𝑆 ) 𝜆𝐴 𝜆𝐵𝑆

𝜇𝐴 −(𝜆𝐵 + 𝜇𝐴) 00 0 −𝜆𝐴

] (2.82)



lim𝑡→∞

�̇�(𝑡) = {0} i lim𝑡→∞



{𝑃0, 𝑃1, 𝑃3} ∙ [−(𝜆𝐴 + 𝜆𝐵

𝑆 ) 𝜆𝐴 𝜆𝐵𝑆

𝜇𝐴 −(𝜆𝐵 + 𝜇𝐴) 00 0 −𝜆𝐴

] = {1,0,0} (2.83)


𝑃0(𝑡) =𝜆𝐵+𝜇𝐴

𝜆𝐴𝜆𝐵+𝜆𝐵𝜆𝐵𝑆+𝜆𝐵

𝑆 𝜇𝐴 (2.84)

𝑃1(𝑡) =𝜆𝐴

𝜆𝐴𝜆𝐵+𝜆𝐵𝜆𝐵𝑆 +𝜆𝐵

𝑆𝜇𝐴 (2.85)

𝑃3(𝑡) =

𝜆𝐵𝑆

𝜆𝐴(𝜆𝐵+𝜇𝐴)

𝜆𝐴𝜆𝐵+𝜆𝐵𝜆𝐵𝑆+𝜆𝐵

𝑆 𝜇𝐴 (2.86)


𝑅(𝑡) = 𝑃0(𝑡) + 𝑃1(𝑡) + 𝑃3(𝑡) =

=(

𝜆𝐵𝑆

𝜆𝐴+1)(𝜆𝐵+𝜇𝐴)+𝜆𝐴

𝜆𝐴𝜆𝐵+𝜆𝐵𝜆𝐵𝑆 +𝜆𝐵

𝑆 𝜇𝐴 (2.87)

te nepouzdanosti,

𝑄(𝑡) = 𝑃4(𝑡) = 1 − 𝑃0(𝑡) − 𝑃1(𝑡) − 𝑃3(𝑡) (2.88)

42

Uvrštavanjem zadanih učestalosti kvarova i popravaka u jednadžbe (2.84), (2.85) i (2.86)

moguće je dobiti tranzijetna rješenja koja su prikazana na slici 2-26, ako je 𝜆𝐴 = 0.001, 𝜆𝐵 =

0.002, 𝜇𝐴 = 0.008, 𝜆𝐵𝑆 = 0.006 .

Slika 2.26 Dijagram rješenja dviju komponenti u pričuvi koje dijele opterećenje s

pravovremenim priključivanjem

43

3. ZAKLJUČAK

U ovo doba visoke tehnologije većina industrijskih procesa je sigurnosno čuvano cijelo vrijeme.

Ako važni parametri nisu postavljeni pravilno, procesi bi mogli prouzročiti ozbiljne probleme

i opasnost za okolinu. Glavni cilj takvih sustava je da se stave pod konrolu te da ne ugrožavaju

sigurnost ljudi i okoliša. Kako bi se kategorilizirali faktori za smanjenje rizika tu su razni

sigurnosni standardi. U ovom radu korišten je IEC 61508 standard koji ima definirane razine

sigurnosti kao što je SIL. SIL 4 kao najviše ovisan te SIL 1 kao najmanje ovisan. Pokazalo se

da je iznimno teško potvrditi SIL sigurnosne funkcije. Za to napraviti nužno je izračunati

vjerojatnost kvarova. Razni broj tehnika nam je na raspolaganju za obavaljanje tih izračuna,

uključujući FTA, RBD te Markovljeve modele pouzdanosti. Ovaj završni rad bazira se na

Markovljevim modelima pouzdanosti koje pomažu da se dobiju rezultati koje se kasnije mogu

analizirati te određenim formulama kao na primjer preko MTTF doći do SIL-a. Kako

povećanjem komponenti sustava, rapidno raste broj stanja, korišten je kompjutorski alat

MATLAB koji uz pomoć odgovarajućeg kôda bilo simbolički ili numerički daje rezultat u

analitičkoj ili grafičkoj formi. Postavljanjem sustava u paralelnu ili redudantnu vezu pokazalo

se da je vrlo korisno jer daje sigurnost. Ako se radi o vrlo ozbiljnom sustavu koji mora raditi

24 sata dnevno i 365 dana u godini bitno je da ne dođe cijeli sustav u kvar. Vrlo su korisne

tehnike postavljanja u k od n redudantne veze, sustave koje dijele opterećenje i sustave u pričuvi

jer omogućavaju da druga komponenta preuzima opterećenje dok se prva koja je u kvaru,

popravlja. To daje veliku fleksibilnost i sigurnost.

44

LITERATURA

[1] V. Mikuličić, Z. Šimić: “Modeli pouzdanosti i raspoloživosti rizika u

elektroenergetskom sustavu“, Kigen, Zagreb, 2008

[2] Jani Barle: “Pouzdanost i održavanje tehničkih sustava „ FESB, Split 2006.

[3] Marvin Rausand: ''System reliability theory: models, statistical methods, and

applications, Wiley – interscience, New Jersey, 2003

[4] Charles E. Ebeling: ''An Introduction to Reliability and Maintainability Engineering'',

McGraw-Hill, Boston i dr., 1997

POPIS OZNAKA I KRATICA

OZNAKE

A− matrica tranzicija

AR− matrica tranzicija bez absorbirajućeg stanja

P(t) − vjerojatnost (engl. Probability)

𝑝 − vjerojatnost pogreške ukapčanja B komponente

R(t) − funkcija pouzdanosti (engl. Reliability)

RHIGH – pouzdanost sustava za visoku redudanciju

RLOW – pouzdanost sustava za nisku redudanciju

RS – pouzdanost sustava

Q(t) – funkcija nepouzdanosti (engl. Unreliability)

λ(t) – učestalost kvara

λn – intezitet kvara pri normalnom opterećenju (kada su obje komponente u funkciji)

λf – intezitet kvara pri punom opterećenju (kada je jedna komponenta neispravna)

μ(t) – učestalost popravka

45

μf – učestalost popravka kada su obje komponente neispravne

μn – učetalost popravka kada je jedna komponenta neispravna

KRATICE

FTA – analiza stabla kvara (engl. Fault Tree Analysis)

MTTF – srednje vrijeme do kvara (engl. Mean Time To Failure)

RBD – blok dijagram pouzdanosti (engl. Reliability block diagram)

SIL – razina integriteta sigurnosti (engl. Safety Integrity Level)

SAŽETAK

U radu je prikazan kratak pregled vrsta paralelnih veza komponenti u tehničkom sustavu uz

pomoć blok dijagrama te Markovljevih modela pouzdanosti koje se navode u standardu IEC

61508. Sustave koje dijele opterećenje i sustave u pričuvi riješeni su pomoću Markovljevih

modela pouzdanosti sa programskim alatom MATLAB.

Ključne riječi: Markovljevi modeli pouzdanosti, pouzdanost sustava, paralelna veza,

redudancija

46

PRILOG A

Programski kôd riješenja neobnovljivog paralelnog sustava u pričuvi s pogreškama u

priključivanju uz pomoć programskog alata MATLAB. Zadani primjer je prikazan u poglavlju

2.5.2.

Simbolički

Gdje je 𝜆1 = 𝐿1, 𝜆2 = 𝐿2, 𝜆2′ = 𝐿3, 𝑝 = 𝑃

syms L1 L2 L3 P t

A = sym([-((1-P)*L1+L3+P*L1), (1-P)*L1 , L3 ;...

0 , -L2 , 0 ;...

0, 0 , -L1]');

x0 = [1; 0 ; 0];

x = expm(t*A)*x0

pretty (x)

Numerički

Gdje je 𝜆1 = 𝐿1 = 0.001, 𝜆2 = 𝐿2 = 0.002, 𝜆2′ = 𝐿3 = 0.008, 𝑝 = 𝑃 = 0.006

L1 = 0.001; L2 = 0.002; L3 = 0.008; P = 0.006;

A = [-((1-P)*L1+L3+P*L1), (1-P)*L1 , L3 ;...

0 , -L2 , 0 ;...

0, 0 , -L1]';

x0 = [1; 0 ; 0];

tt = [0:1:700];

p = poly(A);

r = roots(p);

v = [];

ima = size(A,1);

for i = 1: ima

v = [v, null(A - r(i)*eye(ima),'r')];

end

[V,E] = eig(A);

eb = diag(E);

c = V\x0;

pp = zeros(ima,size(tt,2));

for i = 1: ima

pp = pp + V(:,i)*c(i)*exp(eb(i)*tt);

end

plot(tt, 1-sum(pp,1), '-r','LineWidth',3)

hold on

plot(tt, pp(1,:), '-b','LineWidth',3)

plot(tt, pp(2,:), '-c','LineWidth',3)

plot(tt, pp(3,:), '-g','LineWidth',3)

ZAVRSNI RAD (MODELI PARALELNE VEZE OVISNIH KOMPONENTI )

Documents

Transcript of ZAVRSNI RAD (MODELI PARALELNE VEZE OVISNIH KOMPONENTI )