XI CONCURSO 'FOTOGRAFÍA Y MATEMÁTICAS' · Web viewEl otro teorema se cita en el lema “Teorema...

1XXVII CONCURSO "FOTOGRAFÍA Y MATEMÁTICAS" XX CONCURSO “IMÁGENES MATEMÁTICAS”

SOCIEDAD ANDALUZA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA "THALES". SEVILLA

“La esencia de las matemáticas no es hacer las cosas simples complicadas, sino hacer las cosas complicadas simples”

Stan GudderProfesor de Matemáticas. Universidad de Denver

“Las matemáticas son un lugar donde puedes hacer cosas que no puedes hacer en el mundo real.”Marcus du Sautoy.

Escritor, presentador y profesor de matemáticas de la Universidad de Oxford.

INTRODUCCIÓN

Se considera que el sentido de la vista es el medio con el que el ser humano recibe más información de nuestro entorno. Muchas veces estamos convencidos de algo porque lo hemos visto “con nuestros propios ojos”, pero a pesar de que ser se le considera el más especializado y complejo de todos los sentidos un medio al que se le puede engañar con facilidad, baste pensar en las ilusiones ópticas.

A pesar de la importancia que le damos a ese sentido, Por otro lado, muchas veces con frecuencia vemos más cosas de las que el cerebro procesa. Solemos pasar por multitud de lugares donde captamos información pero, al no ser en ese momento importantes para nosotros, no nos queda constancia en la memoria, si acaso en la de corto plazo. Hay Otras veces en que somos conscientes de esa información que capturamos y sin embargo no asimilamos completamente. A todos nos ha pasado que cuando decidimos comprarnos una moto o un coche, de pronto, una vez elegido el modelo, vemos ese vehículo circulando por las calles, cuando antes no éramos conscientes de ello. De igual modo, si esperamos un hijo o un hermanito, de pronto nos damos cuenta de la cantidad de personas con bebées que circulan por nuestras calles.

Algo similar puede pasar con las matemáticas. Seguramente cuando damos un paseo por la ciudad o el campo no somos conscientes de que estamos viendo matemáticas en nuestro entorno que, como se suele decir de las meigas, “existir, existen”. Las matemáticas son están omnipresentes en nuestra sociedad. No sólo vivimos rodeados de multitud de geometría, tanto en las ciudades como en la naturaleza, sino que constantemente trabajamos con números, vemos elementos creados mediante funciones o el azar interviene en nuestras vidas de multitud de maneras.

Posiblemente ocurra que no retenemos la información matemática que vemos por nuestros ojos, pues es parte de lo que no procesamos para incluirlo en la memoria a largo plazo. Por ello, el tipo de actividad que hoy te presentamos, es una excelente

XXVII Concurso "Fotografía y Matemáticas" y XX Concurso “Imágenes Matemáticas”

2forma de preparar tu vista y la zona de tu cerebro correspondiente para captar completamente la riqueza matemática que nos rodea. Hay personas que, después de haber visto la exposición, van reconociendo a su alrededor muchos de los conceptos que han visto en las imágenes que la componen.

Y una vez que se ha modificado tu visión puedes pensar en participar en este concurso de forma que tu imagen pueda formar el año próximo parte de esta exposición o incluso conseguir un premio o una mención. Hoy en día es muy fácil captar la imagen que encontramos gracias a los teléfonos móviles que permiten guardar una fotografía con una buena calidad de imagen.

Pero una vez que nuestra concepción matemática se ha ampliado en nuestra visión y nuestro cerebro puedes ir más allá. Como verás en la exposición, hay referencias matemáticas que puedes crear tú mismo o con ayuda de amigos y compañeros, de forma que un concepto más abstracto o más difícil de encontrar en el entorno cotidiano pueda ser recreado mediante una imagen. Así, existen elementos en esta exposición que han sido montajes ideados por sus creadores para mostrar esos elementos matemáticos más difíciles de localizar en “su estado natural”.

Una vez que te has creado una “vista matemática” observaráas que ves matemáticas en muchos lugares. Así hojeando una revista o un periódico, puedes localizar imágenes donde encuentres simetrías, paralelismos, proporcionalidad, etc. … Por ello, este concurso de fotografías se amplió hace años para abarcar a aquellas personas que, o bien no tienen en su momento una cámara a mano para captar la imagen que se encuentran, o tienen dificultad para realizar las copias en las condiciones que se especifican. De esta manera se complementa el concurso de fotografías con uno de imágenes donde tienen cabida expresiones de lo más variopintaso, desde una imagen recortada de la publicidad de una revista, pasando por un collage o un montaje formado por pequeños recortes de diversas fotos, hasta llegar a un dibujo realizado por el autor, como se ven a veces en las aportaciones de los alumnos de Primaria.

Finalista fotografía Primaria.“¿Qué fracción ves en el círculo?”

Clara Miñón Cintado. CEIP San Roque (El Arahal).

Finalista fotografía Primaria.“Curva encadenada.”

Gonzalo Navarro Rivero. CEIP San Roque (El Arahal).

Para recoger toda esa creatividad que va a brotar de tu nueva visión, todos los años, la comisióndelegación provincial de Sevilla de la sociedad de profesores de matemáticas


3THALES, organiza un concurso de fotos e imágenes matemáticas. Se premian a las mejores de cada modalidad (Primaria, Secundaria, Libre) y con esos premios y una selección de todas las presentadas se realiza una exposición y este cuadernillo de actividades preparado para visitarla de forma activa.

Todas las imágenes que podrás observar van complementadas con una frase o lema que sirve para anclar la idea matemática que en ella destaca su autor o autora y, en algunas ocasiones, es una frase de doble sentido que te permitirá ver la imagen con otro enfoque y descubrir la matemática que encierra.

Es posible que en algunas de las fotografías o imágenes que veas no entiendas el lema ya que en la exposición puede haber conceptos o elementos matemáticos que aún no conozcas. No te preocupes y dedícale un momento a la foto, ya que es posible que cuando más adelante lo estudies en clase te acuerdes de la foto y te sirva para entenderlo mejor. También puedes encontrar algún concepto que sí conoces y puedas ponerle otro lema.

Desde aquí te invitamos a que visites de forma activa la exposición, prestando mucha atención a las imágenes que lao forman y, sobretodo, a los lemas que indican qué matemática ha querido el autor presentar el autor, a responder a las preguntas que te señale tu profesor o profesora y a pensar en participar el año próximo en el concurso. ¡Ánimo!

ACTIVIDADES

En estos días puedes ver fotos e imágenes que se presentaron al XXVII Concurso Provincial de "Fotografía y Matemáticas" y al XX Concurso Provincial de “Imágenes Matemáticas”, organizados por la Sociedad Andaluza de Educación Matemática "Thales" de Sevilla. Cada foto o imagen está acompañada de un lema o frase que hace referencia a algún concepto matemático reflejado en la fotografía. Como ves, las fotografías del concurso se complementan con fotos sacadas de periódicos y revistas, con dibujos o montajes, que demuestran que aunque no se tengan conocimientos fotográficos, también se pueden relacionar, si se quiere, imágenes y matemáticas.

Ahora vas a visitar la exposición y después tendrás que contestar individualmente a las siguientes cuestiones, que hemos agrupado en distintos bloques temáticos.

Primer premio fotografía PrimariaLibre.“Circunferencia. Oblicuo. Radio. Cilindro. Horizontal. Ortogonal.Abuelo, enséñame a contar”.

Alba Andrade Romero. CEIP Argantonio (Castilleja de Guzmán).María José Gil Pachón.


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Generales

Elige de la exposición las tres fotografías o imágenes de la exposición que más te gusten y explica la razón de tu elección.

Elige ahora las dos que menos te gusten e indica los motivos de ello. Escógelas entre aquellas cuyo contenido sí conoces, pero que no te parezca bien representado.

Escoge dos imágenes o fotografías, escribe sus lemas e invéntate otros distintos que tengan contenido matemático. Explica la relación de los lemas que has puesto con las imágenes o fotografías que has elegido.

Elige alguna foto que creas que puede representar dos conceptos distintos e indica, a través de los títulos que te inventes, cuáles serían.

Si te fijas con cuidado en los títulos de las fotos e imágenes, encontrarás algunos que no son correctos, bien porque tengan algún error matemático o porque el concepto matemático del que hablan no aparece exactamente en la foto. Intenta encontrar alguna foto o imagen con esa condición. Si la encuentras, indica cuál es y por qué crees que es incorrecto el lema que la acompaña. Escribe otro título que sea apropiado.

Finalista Fotografía Secundaria.“Amor por las mates.”

Mª José Fernández de Córdoba Granado.IES El Molinillo (Guillena).

Finalista Fotografía Secundaria.“Un tercio de la tercera parte.”Ángela Fernández Gutiérrez.

Colegio Highlands School Sevilla.

Números y medida

Visita la exposición y haz una lista con los distintos tipos de números que aparecen (naturales, enteros, racionales, irracionales o imaginarios) indicando el menor de los conjuntos a los que pertenecen y en qué foto o imagen están.

La aritmética es una parte de las matemáticas que estudia los números y las operaciones entre ellos. Una de dichas operaciones aparece en la imagen de lema “Una operación muy apetitosa”. Indica cuáles son las cuatro operaciones básicas y qué relación hay entre ellas.


5 Hay veces que una operación es repetición de otra diferente. Por ejemplo, la multiplicación es la repetición de la suma. ¿Qué operación es la repetición de la multiplicación?

En una de las fotografías de la exposición se hace referencia a esta operación, búscala, copia su lema e indica qué relación tiene con el concepto.

También hay una referencia a la operación inversa de la anterior, la raíz cuadrada. Define lo que es una raíz como operación inversa a la potencia.

Busca raíces en la exposición. Encontrarás una foto en cuyo lema se cita esa operación y donde se juega con la operación y con las calculadoras científicas. ¿Serías capaz de explicar qué es lo que aparece en la imagen ella?

En la fotografía “Primos surtidores” podemos observar una fuente en cuyas paredes hay un número primo de caños. Define lo que son números primos y, aparte de los anteriores, escribe todos los números primos menores que 15.

En la imagen aparecen los números primos 3 y 5, que se llaman primos gemelos. Dos primos son gemelos si se diferencian sólo en dos unidades, es decir, entre ellos sólo hay un número par. Localiza todos los pares de primos gemelos menores de 100.

Busca fracciones que aparecen en la exposición y escríbelas ordenadas de menor a mayor.

Una de las fotografías lleva por título “Un tercio de la tercera parte”. En ella, se ven varios trozos de un pastelito, ¿quién representa la fracción indicada en el lema de la foto? Escribe como una sola fracción el lema anterior. ¿Qué fracción del pastelito nos habremos comido?

Escribe como una sola fracción el lema anterior. ¿Qué fracción del pastelito nos habremos comido? ¿Qué significa simplificar o reducir una fracción? ¿Qué significa simplificar o reducir una fracción? El concepto anterior puedes verlo

representado en la fotografía de título “Equivalencia frutal”. Escribe las fracciones que ves en la imagen y escribe dos fracciones más que sean equivalentes a las anteriores.

¿Qué fracción del total correspondería a cada uno de los gajos cortados que se ven en la naranja que aparece en la fotografía “¿Qué fracción ves en el círculo?”?

Las fracciones forman parte de un conjunto numérico llamado números racionales. A ese conjunto no pertenecen otros números llamados irracionales. Explica cómo se distinguen los números que pertenecen a uno y otro conjunto.

Dentro de los números irracionales, seguramente el número más famoso es ., Een la exposición hay varias imágenes donde se hace referencia a ese número, unas veces por su símbolo característico y otras por su valor aproximado. Indica qué relación tiene ese número con la circunferencia.

Finalista Fotografía Secundaria.


6“La choza de Thales.”Jesús Gutiérrez Falcón. IES El Molinillo (Guillena).

Busca en la exposición imágenes donde aparezca el número e indica de qué forma aparece reflejado.

En la foto con el título “Pi, Pi, ¡Que viene el tren!” aparece un valor aproximado de dicho número, en concreto sólo aparecen las dos primeras cifras decimales, busca, al menos, las tres cifras siguientes a ellas.

S se ha escrito el valor de aproximado a 3,14. Cuando en lugar de escribir un número mediante su expresión exacta se escribe una aproximación de él, se produce un error. Define error absoluto y error relativo de una aproximación, indica cómo se calculan y pon un ejemplo concreto con un valor que tú elijas.

Aparte de existen otros números irracionales que tienen nombre propio, uno de ellos es el número de oro, cuyo símbolo aparece en la foto de título “Número de plata”. En la foto se juega con el doble sentido, ya que aparece el símbolo del número áureo, pero el estar hecho en plata es lo que lleva al título de la foto. Sin embargo, también existe un número de plata, incluso un número de bronce y algunos más. Investiga y escribe cuál es el número de oro, cóomo se obtiene y dóonde se utiliza usualmente. Haz lo mismo con el número de plata.

En la fotografía que tiene de lema “Números mágicos” se puede apreciar un cuadrado mágico de orden 4x4. En un cuadrado mágico, la suma de los elementos números de cada fila, cada columna y las dos diagonales principales suman siempre lo mismo, es lo que se conoce como número mágico. ¿Cuál es el número mágico en este caso? Comprueba que realmente es un cuadrado mágico.

El cuadrado que se ve está en la fachada de la Sagrada Familia de Barcelona y en él se repiten dos números. El autor lo hizo para que el número mágico coincidiera con la edad de Cristo. Si hubiésemos colocado los números del 1 al 16 en las 16 casillas del cuadradoo, ¿cuál sería en ese caso el número mágico?

Intenta conseguir un cuadrado mágico de orden 3x3 colocando utilizando los números del 1 al 9 sin repetir. en las casillas.

Si estás con fuerza, intenta modificar el cuadrado de la foto para conseguir un cuadrado mágico donde aparezcan todos los números, sin repetir, del 1 al 16.

En una fotografía cuyo lema es “Por fin, ¡un capidromo!” aparece una matrícula de coche con dos características: en primer lugar tenemos un número capicúa y en segundo lugar un palíndromo, que sería el equivalente, en palabra, a un número capicúa. Define que es son un capicúa y un palíndromo.

Calcula cuántos números capicúas hay que tengan tres cifras. Escribe cinco palabras de tres letras que sean palíndromos y que tengan sentido en

nuestra habla cotidiana.


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Finalista Fotografía Secundaria.“Círculos tangentes.”

Paula Simavilla López. IES Martínez Montañés.

Finalista Fotografía Secundaria.“Arco capaz.”

Claudia Moreno Gil. Escuelas Francesas.

Álgebra

Uno de los elementos característicos del álgebra es la variable. Define lo que es. Puedes ver una representación usual de ese concepto en la fotografía “Los cilindros sabrosos”, ¿qué letras se suelen utilizan para representar a las variables?

En la imagen “Despejando la x” aparece de nuevo la representación más corriente de una variable. Explica quée significa despejar la x.

Para encontrar el valor que se asigna corresponde a una variable es usual construir plantear ecuaciones que, al resolverlas, nos dan ese valor. Dependiendo de la cantidad de variables o incógnitas que tengamos se utilizan más o menos ecuaciones. En la imagen “Sistema de ecuaciones” aparece un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Escribe el sistema y resuélvelo.

Escribe otro sistema de dos ecuaciones cuyas incógnitas tengan el los mismos valores que las que has calculado en el sistema anterior.

Uno de los aspectos algebraicos más corrientes que podemos encontrar es el de las sucesiones. Explica en qué consiste una sucesión y que elementos la caracterizan.

Hay otra referencia a este tipo de elementos en la fotografía “Serie de campanillas”. Explica qué es una serie y como sería la formada por las campanillas de la imagen.

En la fotografía “El arte de las pirámides” aparecen unas pirámides formadas por cristales en forma de rombo, terminando en triángulos. Fíjate en la pirámide más grande y observa que sus paredes están formadas por una sucesión de cristales que forman cada una de las filas que construyen la cara triangular. Halla la suma de todos los cristales que forman la cara de la pirámide grande.

Unas sucesiones muy particulares son las progresiones. Explica qué es una progresión e indica los tipos que conozcas.

En la fotografía “Progresión magnética” aparece una de estas sucesiones. Indica de qué tipo es, cuál es su término general, cuáles serían los tres términos que siguen en la progresión y cuánto valdría la suma de los 20 primeros términos.

En la imagen con el lema “El potencial de las potencias” se ve una imagen que recuerda a la leyenda de la invención del ajedrez, relacionándola con una progresión. Busca información sobre esta leyenda y explica cóomo seu utilizan las progresiones en ella.

Una fórmula muy especial la tenemos en la imagen “Jaque de mates, Fermat” en la que aparece un famoso teorema de uno de los mayores aficionados a las


8matemáticas en el siglo XVII, Pierre de Fermat conocido como el “Príncipe de los Aficionados”, quien por cierto no era matemático sino jurista. El enunciado que aparece en la imagen tiene un fallo, ya que la fórmula que aparece no se cumple para unos determinados valores de n, en concreto para n>2, pero sí para n=2 si se cumple. Busca tres números que cumplan x² + y² = z².

Por cierto, ¿con qué famoso teorema geométrico está relacionada la expresión anterior?

Finalista Fotografía Secundaria.“La espiral de Fibonacci.”

Manuel Losada Ruiz. Colegio Highlands School Sevilla.

Finalista Fotografía Secundaria.“Diámetro.”

Alejandro Burgo Rivero. Colegio Internacional Alminar.

Funciones y gráficas

Las gráficas tienen la ventaja de representar mucha información en una sola imagen. En la exposición hay varias referencias a gráficas, búscalas e indica los lemas de las imágenes donde aparecen.

Uno de los elementos fundamentales de una función matemática es el conjunto con el que se trabaja. Ese conjunto se cita en una de las fotos en la que se hacejuega con un divertido juego de palabras para formar el nombre de ese elemento. ¿Cómo se llama el elemento y cóomo se representa en la exposición?

Un tipo de función que se estudia en educación secundaria es la función cuadrática, cuya gráfica es una parábola. En la imagen “Parábola budista” se recrea la gráfica de esa función, explica cómo.

Indica cómo son las expresiones algebraicas de las funciones cuadráticas. Otra función que suele verse en secundaria es la que aparece simulada en la

fotografía “La función más sana”. Indica cuál sería la expresión algebraica de esa función y quée nombre suele recibir su gráfica.

En la imagen “ArcoirisArcoíris de paralelas” la perspectiva hace que esa verja simule una función, ¿a qué función crees que se asemeja la parte superior de la verja?

En la imagen de título “Semicírculo secantes” vemos varias semicircunferencias que intersecan. Si consideramos las semicircunferencias como funciones, ¿a qué función se asemeja la intersección?

A veces, encontramos en nuestro entorno elementos que simulan funciones y que nos puede llevar a confundirlas con otras. Por ejemplo, en la imagen “Curva encadenada” vemos una cadena típica de nuestras arquitecturas que a simple vista puede dar la impresión de ser una parábola y que, sin embargo, es otro tipo de función. Busca información sobre ella y explica cómo se produce.

La curva anterior puede considerarse englobada dentro de lo que se conoce como curvas mecánicas, que fueron muy importantes en la historia de la matemática. Busca la definición de lo que es una curva mecánica.


9 Un ejemplo típico de una curva mecánica es la espiral. En la exposición hay varias referencias a esa curva, busca sus referencias y escribe los lemas que aparecen en ellas.

Un tipo de espiral es la que se nombra en la foto “La espiral de Fibonacci”, donde aparece un caracol. Busca información sobre el matemático Fibonacci y sobre este tipo de espiral e indica si la que aparece en la foto es en realidad una espiral de Fibonacci.

A ese tipo de espiral también se le conoce como espiral áurea, haciendo referencia al número de oro del que hablamos en la sección de números. La imagen “Ronroneo áureo” tiene dibujada esa espiral, busca cómo se genera.

Es muy corriente cometer la equivocación de llamar espiral a una curva que gira de forma similar a ella, pero que se desplaza en el espacio. Es lo que

Primer premio fotografía Secundaria.“Espiral doble de la naturaleza.” Manuel Amodeo Cobos. IES Tartessos (Camas).

aparece en “Espiral doble de la naturaleza”. Sin embargo, esa curva no se llama espiral, sino que en realidad su nombre es hélice. Busca información sobre la curva hélice y explícala. Una representación muy corriente de esa función puedes verla en la fotografía “Escalera helicoidal”, ¿se te ocurre algún otro lugar cotidiano donde puedas encontrar esa función?

Primer premio fotografía Libre.“Discontinuidad de salto finito.”

José Mª Vázquez de la Torre Prieto.

Un concepto fácil de entender, y relacionado con las funciones, es el de la continuidad. Explica con tus palabras qué se entiende por una función continua.

Cuando la función no tiene esa característica se dice que es discontinua o que presenta alguna discontinuidad. A ese concepto se refiere el lema “Discontinuidad de salto finito”. Indica qué quiere decir ese aspecto de la función y cómo está representado en la imagen.

Hay otra referencia en la imagen “Salto a la discontinuidad”. En este caso, ¿cuántas discontinuidades habría?

La escalera que aparece en la imagen anterior puede darnos una idea de la función parte entera de un número y tiene una gráfica característica. ¿Cómo se llama ese tipo de función? Construye la gráfica de la función “”parte entera de x”.

Para terminar con este apartado de funciones podemoshacer referencia a una curva muy especial Un ejemplo típico de una curva mecánica es la espiral. En la exposición hay varias referencias a esa curva, busca sus referencias y escribe los lemas que aparecen en ellas.Un tipo de espiral es la que se nombra en la foto “La espiral de Fibonacci”, donde aparece un caracol. Busca información sobre este tipo de espiral e indica si la que aparece en la foto es en realidad una espiral de Fibonacci.A ese tipo de espiral también se le conoce como espiral áureo, haciendo referencia al número de oro del que hablamos en la parte de números. En la imagen “Ronroneo áureo” tiene dibujada esa espiral, busca como se genera.Es muy corriente cometer la equivocación de llamar espiral a una curva que gira de forma similar a ella, pero que se desplaza en el espacio. Es lo que aparece en “Espiral


10doble de la naturaleza”. Sin embargo, esa curva no se llama espiral, sino que en realidad su nombre es hélice. Busca información sobre la curva hélice y explícala.Una representación muy corriente de esa función puedes verla en la fotografía “Escalera helicoidal”, ¿se te ocurre algún otro lugar cotidiano donde puedas encontrar esa función?Un concepto fácil de entender, y relacionado con las funciones, es el de la continuidad. Explica con tus palabras que se entiende por una función continua.Cuando la función no tiene esa característica se dice que es discontinua o que presenta alguna discontinuidad. A ese concepto se refiere el lema “Discontinuidad de salto finito”. Indica qué quiere decir ese aspecto de la función y como está representado en la imagen.Hay otra referencia en la imagen “Salto a la discontinuidad”. En este caso, ¿Cuántas discontinuidades habría?La escalera que aparece en la imagen anterior puede darnos una idea de la función parte entera de un número y tiene una gráfica característica. ¿Cómo se llama ese tipo de función?Para terminar con este apartado de funciones podemos hacer referencia a una curva muy especial que se simula en la fotografía “Amor por las mates”, en la que aparece una curva formando un corazón. Esa curva está formada por varias funciones, pero se puede encontrar en internet referencias de cómo construirla. Busca esa información y copia las expresiones que dan lugar a la imagen.

Geometría

Haz un vocabulario con al menos diez palabras que encuentres en la exposición relacionadas con la Geometría e indica su significado.

Uno de los conceptos geométricos que aparecen en la exposición es el de ángulo. Explica qué es para ti un ángulo. ¿Qué unidades conoces para medir los ángulos?

En la imagen de título “Ángulos naturales”, ¿qué es lo que aparecen?, ¿cómo se representa el concepto?

Uno de los lemas es “Nos vemos a las 105º”. ¿Cómo se llaman los ángulos que son mayores de 90º? ¿Y los que son menores?

En la imagen anterior, ¿es correcta la representación del ángulo de 105º? Hay una imagen de título “Ángulos cóncavos y convexos” ¿Qué diferencia hay entre

un ángulo cóncavo y uno convexo? Escribe el valor de dos ángulos, uno de cada tipo. Uno de los conceptos relacionados con ángulos puedes verlo representado en la

fotografía “Bisectrices parisinas”. Define qué es la bisectriz de un ángulo. La bisectriz de un ángulo es una de las llamadas rectas notables de un triángulo.

Nombra y define las otras tres rectas notables e indica con qué elementos del triángulo se relacionan.

Las tres bisectrices de los ángulos de un triángulo cualquiera se cortan siempre en un mismo punto. Indica cómo se llama ese punto y qué característica principal tiene.

Dos rectas en el plano pueden ser paralelas. Busca fotos e imágenes donde aparezcan líneas paralelas y escribe sus títulos.

A veces, el punto de vista con el que está hecha la fotografía hace que líneas que son paralelas no se vean como tal. Algo así ocurre en la imagen “Las paralelas también saben hacer música”. Lo que aparece en la imagen, ¿son realmente líneas paralelas?, más en concreto, ¿en el mástil de una guitarra las cuerdas ¿son siempre líneas paralelas?, ¿en qué consiste el punto de fuga en una imagen de ese tipo?


11 En otra imagen encontramos de nuevo la referencia a este concepto, en concreto en “Punto a la fuga”, define qué es el punto de fuga.

¿Cómo se denominan dos rectas en el plano cuando no son paralelas? ¿Qué son rectas perpendiculares? Localiza alguna imagen de la exposición donde haya rectas perpendiculares y escribe

su lema. En la exposición existen polígonos de distinto número de lados. Haz una lista de los

que encuentres, junto con el lema de su foto, clasificándolos según el número de lados. ¿Cuál es el polígono con mayor número de lados que has encontrado?

Una de las imágenes nos plantea un reto. Su título es “¿Y tú cuántos rombos ves?” Contesta a la pregunta, pero antes explícaexplicanos qué es un rombo.

Una foto tiene el lema “Iluminación hexagonal”. ¿Crees que es correcto el lema? Indica cuál crees que sería un lema más adecuado.

Una de las figuras más corrientes a nuestro alrededor es el triángulo. Busca imágenes donde aparezcan y escribe sus lemas indicando de qué tipo de triángulo estamos hablando en cada caso.

Una de las fotos lleva por nombre “Reflejo equilátero”. En ella, utilizando la simetría, de la que hablaremos más adelante, se construye un triángulo supuestamente equilátero. Define qué es un triángulo equilátero.

Define los otros tipos de triángulos, según los lados, que no sean equiláteros. Para que, en la fotografía de la que hablábamos antes, el triángulo fuese realmente

equilátero, ¿a qué distancia de la pared deberíamos colocar la base del lápiz? En la imagen “Pentágono inscrito en una circunferencia” aparece un pentágono

dibujado en un plano y tiene dos circunferencias, una exterior y otra interior, ¿cómo se llaman esas dos circunferencias?

Cuando pensamos en polígonos, lo usual es pensar en polígonos convexos. Pero también podemos encontrar polígonos que son cóncavos. Indica qué es un polígono cóncavo.

Un ejemplo típico de polígono cóncavo son los polígonos estrellados. ¿Qué tipo de estrellas ves en la imagen “La puerta de las estrellas”? ¿Son en realidad estrellas geométricas u otro tipo de polígono?

Hay un par de imágenes donde se construye un hexágono uniendo elementos geométricos. Una de ellas lleva por lema “Hexágono circular”. Nuestra pregunta es si los elementos que la forman son realmente círculos.

En la imagen “Panal metálico” aparece otro hexágono, en este caso construido a base de hexágonos más pequeños. ¿Qué diferencia hay entre las dos imágenes a la hora de cubrir toda la figura del hexágono?

Los polígonos anteriores, como el hexágono, tienen la característica de recubrir el plano, es decir, repitiendo uno de esos polígonos se puede cubrir completamente el plano sin dejar huecos. De esa manera se pueden formar mosaicos. Define lo que se entiende por mosaico.

El plano puede recubrirse repitiendo diversos tipos de elementos. En la imagen “Patrón infinito” se ve un mosaico en el que se va repitiendo un motivo. Localiza y dibuja en tu cuaderno cuál es la tesela básica, es decir, el elemento mínimo que, al repetirse, da lugar a ese mosaico.


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Finalista Fotografía Secundaria.“Corona circular.”

Miguel Romero Martínez. IES El Majuelo (Gines).

Mención Fotografía Secundaria.“Rueda Goniométrica.”

Andrés Velázquez Mudarra. IES Martínez Montañés.

En la exposición aparecen otras figuras geométricas planas, por ejemplo la circunferencia. Localiza alguna imagen donde se encuentre esta figura. ¿Cuál es la definición de circunferencia? ¿Qué elementos conoces relacionados con la circunferencia? Di sus nombres y defínelos.

¿Cuál es la definición de circunferencia? ¿Qué elementos conoces relacionados con la circunferencia? Di sus nombres y

defínelos. Uno de esos elementos aparece reflejado en la foto llamada “Diámetro”. Indica qué es

un diámetro y qué relación tiene con otros elementos de la circunferencia. A veces puedes encontrar unas circunferencias dentro de otras, como ocurre en la

foto “Círculos cerámicos concéntricos”. ¿Cómo se llaman las circunferencias que tienen el mismo centro?

¿Cómo se llama la región comprendida entre dos circunferencias concéntricas que tienen el mismo centro? ¿Cómo se representa ese concepto en la foto “Corona circular”?

Busca más referencias en la exposición a circunferencias concéntricas y anota sus lemas.

Dos circunferencias concéntricas no tienen puntos en común, pero dos circunferencias pueden estar en otras posiciones de forma que sí tengan algún punto común. ¿Cuántos puntos en común pueden tener como máximo dos circunferencias distintas? ¿Cómo se denominan esas circunferencias? Busca ejemplos en la exposición.

En la foto “Circunferencias cruzando el rio” aparecen circunferencias que son tangentes unas con otras. Explica qué se entiende por tangencia.

En “Semicírculos tangentes” aparecen elementos geométricos que corresponden a una parte de una circunferencia. ¿Cómo se llama esa figura? ¿Por qué se suele llamar hemiciclo a la distribución de los políticos en el Congreso de los Diputados?

Si tenemos una semicircunferencia quizás sepas que si dibujamos un triángulo uniendo los extremos del diámetro que forma la semicircunferencia con cualquier punto de ella se obtiene un ángulo recto. Basado en algo similar existe el concepto de arco capaz, que es el título de una imagen de la exposición. Busca información sobre ese elemento y explica en qué consiste un arco capaz

Existen varias imágenes en las que aparece el concepto de simetría. Define lo que entendemos en matemáticas por simetría.


13 ¿Qué es un eje de simetría? Busca alguna imagen donde aparezcan objetos simétricos e indica cuál sería el eje de simetría.

En la fotografía “Simetría especular en los baños de María de Padilla”, puedes observar una forma natural de tener una simetría especular, pero ¿qué es una simetría especular?

Indica cuántos ejes de simetría hay en la imagen anterior, no sólo la correspondiente al agua.

Algunos de los polígonos que encontraste en preguntas anteriores tienen al menos un eje de simetría. Represéntalos en tu hoja de respuestas y dibuja sus ejes.

Vamos ahora a dar el salto al espacio. Fijémonos en cuerpos de tres dimensiones. Indica qué cuerpos geométricos aparecen en la exposición.

Uno de los que encontrarás más corrientemente frecuentemente son las pirámides. Busca imágenes donde aparezcan e indica dóonde podemos encontrarlas con facilidad a nuestro alrededor.

Quizás, en la naturaleza, el cuerpo geométrico más corriente sea la esfera. Indica dónde puedes encontrar esferas en la exposición.

Primer premio Imagen Primaria.“La esfera acuática.”

Alejandra Benítez Yoldi. Compañía de María.

¿Cuál es la característica que tienen todos los puntos que forman la superficie de una esfera?

La esfera es un caso particular de cuerpo de revolución. Explica por qué se llaman así. ¿Cómo se obtiene la esfera por revolución?

Otro cuerpo de revolución es el cilindro, como al que se hace referencia en la foto “Los cilindros sabrosos”. Explica qué es un cilindro y cómo se obtiene.

¿En qué situaciones cotidianas encuentras ese cuerpo geométrico? Un tercer cuerpo de revolución que se ve en la enseñanza secundaria esn el cono.

Define lo que es un cono y cómo se genera. Indica dóonde podemos encontrar conos en nuestro entorno cotidiano. Una de las imágenes se llama “Tronco de cono de Sevilla”. Explica lo que es un

tronco de cono. El autor de la fotografía que hemos llamado “C.O.R.C.H.O.” había escrito un lema

mucho más extenso, imposible de reproducir en la exposición, donde explicaba qué elemento geométrico correspondía a cada inicial. Intenta tú asignar un elemento geométrico de la imagen a cada una de las 6 iniciales que forman el título que hemos puesto.


14 En la imagen “Intersección navideña” la perspectiva nos hace ver la intersección de dos esferas. ¿Qué figura geométrica saldría de esa intersección?

Una fotografía lleva como lema “Pirámides de toroides”. El toroide, o más generalmente toro, es una figura cotidiana pues seguro que, si no lo has comido, es seguro que habrás visto en varias ocasiones un donutonuts. Explica quée es, geométricamente hablando, un toro y cóomo se forma a partir de una circunferencia.

En la imagen “Esfera triangulada” aparece la típica esfera climática de la Expo 92 de Sevilla. En ella, la esfera aparece construida con triángulos, aunque eso es sólo una aproximación. Con triángulos síi es posible construir poliedros regulares, indica cuáles.

Con triángulos también puede construirse una figura que se conoce como cúpula geodésica, y que puedes ver al fondo de la imagen “Matemática invisible”. Investiga y explica qué es este tipo de construcción geométrica.

Uno de los elementos más curiosos que podemos encontrar son las ilusiones ópticas, dibujos o figuras que nos hacen ver algo que no existe. Eso puede verse en la imagen “Suelo tridimensional” en el que unos elementos planos nos dan la idea de convertirse se en una imagen tridimensional. Explica qué es lo que se ve en la imagen.

La circunferencia, de la que hemos hablado antes, forma parte de un grupo de elementos matemáticos llamados cónicas. Investiga por qué se llaman así.

Indica cuáles son las cuatro cónicas que se estudian en secundaria. Una de las cónicas más corrientes en nuestra vida es la parábola y puedes ver cóomo

se crea con facilidad en la imagen “Parábola luminosa”, investiga cómo es posible, también con un foco, crear otras cónicas.

Un concepto muy corriente es el de semejanza. Indica cuáando dos elementos geométricos se dicen que son semejantes. Explica qué es la razón de semejanza.

En la imagen “El arte de las pirámides” puedes observar dos pirámides formadas por cristales. ¿Serían semejantes esas dos pirámides?

Son fáciles de contar los cristales que las forman. Por ello, calcula cuál sería la razón de semejanza entre las dos pirámides.

Para acabar este apartado vamos a hacer referencia a dos teoremas muy importantes que se suelen ver en secundaria. El primero sería el Teorema de Pitágoras. ¿Dónde se aplica este teorema? Quizás te sirva de pista la imagen llamada “Pitágoras en el mar”. Enuncia con precisión ese teorema.

El otro teorema se cita en el lema “Teorema de Thales gigante” que acompaña a una fotografía. Explica en qué consiste el teorema de Thales y en qué situaciones cotidianas se utiliza, si tienes clara alguna de ellas.

Varios

Existe una fotografía con el título “¿Matemáticas en la cocina?” en la que aparece un tipo de col que en realidad además es un elemento fractal. El concepto de fractal es reciente en la historia de las matemáticas. Investiga qué es un fractal y quién propuso ese nombre.

Explica por qué es un fractal lo que aparece en la foto. Hay muchos lugares de la naturaleza en los que también se pueden encontrar

fractales, intenta localizar algunos e indícalos. Una parte de las matemáticas muy importante en nuestra sociedad es la Estadística.

Rara es la información donde no se utilicen estadísticas para presentar de forma concisa y clara datos de un estudio. En la exposición puedes ver referencias a una de


15las gráficas más corrientes en esa información, el diagrama de barras. Explica qué es este tipo de diagramas y cóomo se construye.

En la fotografía “Gráfico de barras ahorros” se simula un diagrama de barras que además hace referencia al creador de este gráfico, que no era matemático sino comerciante. Busca información sobre esta persona y como se le ocurrió esa forma de representación.

Primer premio Imagen Secundaria.“Diagrama de barras.”

Alejandro Burgo Rivero. Colegio Internacional Alminar.

En la fotografía “Diagrama de barras” se hace un chiste construyendo uno de estos tipos de diagramas utilizando precisamente barras de pan y señalando las divisiones mediante picos. Si en el eje vertical, los picos están separados mediante una unidad, ¿cuáles serían, aproximadamente, las medidas de las frecuencias que están representadas?

Otro apartado de las matemáticas que se suele relacionar bastante con la Estadística es la Probabilidad, al menos en los planes escolares suelen ir juntas. El aspecto más fundamental, y muy cotidiano, donde se aplica la probabilidad es el azar, explica con tus palabras que entiendes por azar.

En la fotografía “Diagrama de barras” se hace un chiste construyendo uno de estos tipos de diagramas utilizando precisamente barras de pan y señalando las divisiones mediante picos. Si en el eje vertical, los picos están separados mediante una unidad, ¿cuáles serían, aproximadamente, la medida de las frecuencias que están representadas?

Otro apartado de las matemáticas que se suele relacionar bastante con la Estadística es la Probabilidad, al menos en los planes escolares suelen ir juntas. El aspecto más fundamental, y muy cotidiano, donde se aplica la probabilidad es el azar, explica con tus palabras que entiendes por azar.

Los elementos alrededor del cual se orquesta el azar son los sucesos. Explica quée es un suceso y quée tipo de sucesos conoces.

En la imagen “Sucesos compatibles” se representan, mediante conjuntos, dos sucesos que son compatibles. ¿Cuándo son compatibles dos sucesos? En la imagen ¿cómo se muestra la compatibilidad?

Hay una imagen con el lema “Probabilidades infinitas”, ¿tiene sentido? ¿Puede una probabilidad ser infinita?

Define lo que es la probabilidad e indica entre qué valores se encuentra.

Una parte de la matemática que se estudia en secundaria es la trigonometría. Indica qué es lo que estudia esa parte.

Un elemento importante en la trigonometría es la circunferencia goniométrica a la que se hace referencia en la imagen llamada “Rueda goniométrica”. Explica qué es esa

Finalista Fotografía Secundaria.“Probabilidades infinitas.”

Estrella García García. Escuelas Francesas.


16circunferencia y como se relaciona con laslas razones trigonométricas.

razones trigonométricas.

Hay una imagen con el lema “Probabilidades infinitas”, ¿tiene sentido? ¿Puede una probabilidad ser infinita?

Define lo que es la probabilidad e indica entre qué valores se encuentra. Una parte de la matemática que se estudia en secundaria es la trigonometría. Indica

qué es lo que estudia esa parte. Un elemento importante en la trigonometría es la circunferencia goniométrica a la que

se hace referencia en la imagen llamada “Rueda goniométrica”. Explica qué es esa circunferencia y como se relaciona con las razones trigonométricas.

¿Tiene relación esa circunferencia con lo que aparece en la imagen? En la fotografía “Calculadora ecológica”, se simula la primera máquina de calcular que

existió en la historia, el ábaco. Al menos, desde el tiempo de los romanos se conocen ábacos que permitían al hombre realizar cálculos aritméticos ayudándose de sus elementos. Investiga sobre ese instrumento y explica cuáles son sus partes y cómo se utiliza. Explica también la diferencia entre los distintos ábacos que han existido en la historia de la matemática: romano, chino, ruso, japonés, etc.

Otro lema que acompaña a una de las fotos es “Matriz de 4x3”. El concepto de matriz está relacionado con la llamada álgebra matricial, unida a la resolución de ecuaciones. Define qué es una matriz y cuáles son sus características más importantes.

La geometría del plano y la del espacio suelen ser elementos muy característicos de están constantemente en nuestro entorno. En el plano sabemos que por un punto pueden pasar muchas rectas, que se cortan entre sí en ese punto. ¿Pero qué pasa en el espacio? Lo que ocurre lo tienes simulado en la imagen de nombre “Haz de rectas tropical”. Define lo que es un haz de rectas en el espacio.

Como complemento de lo anterior, indica las distintas posiciones relativas que pueden tener dos rectas en el espacio.

Otro aspecto muy corriente, que podemos ver con facilidad en las calzadas de nuestras calles o en algunas señales de tráfico son los vectores, representados normalmente por una flecha. Define lo que es un vector y cuáles son los elementos que lo caracterizan.

En la foto de lema “Regata de vectores” ¿cómo están representados esos elementos? Vivimos rodeados de superficies de todo tipo. En la exposición existe la referencia a

un tipo de superficie muy particular. Se encuentra en la foto del panel de presentación llamada “Superficie reglada”, explica en qué consiste este tipo de superficie y cóomo se crea.

Busca alguna imagen de la exposición en donde surja algún caso más simple de superficie reglada.

Para terminar vamos a hablar de la historia de las matemáticas y en concreto de las personas que la han engrandecido. En la exposición se cita el nombre de cuatro matemáticas de siglos diferentes. Busca sus nombres y escribe los lemas donde aparecen. Ahora elige uno de ellos y escribe una breve biografía sobre ellos, haciendo especial hincapié en las matemáticas que desarrollaron.

CUESTIONARIO


17Una vez realizadas las actividades anteriores, contesta las siguientes cuestiones:

¿Te ha gustado la exposición? ¿Por qué? Destaca algún aspecto que te parezca interesante de la experiencia de hacer

fotografías matemáticas o de descubrir matemáticas en imágenes extraídas de los medios de comunicación.

¿Te ha servido la exposición para tener una idea distinta de las matemáticas? ¿Por qué?

¿Te has fijado en que hay muchas cosas en tu entorno que esconden matemáticas que antes no veías? En caso afirmativo indica alguna.

"Después de ver la exposición nos damos cuenta de que las matemáticas están omnipresentes en nuestro entorno", ¿estás de acuerdo con esta frase? ¿Por qué?

¿Eres capaz de hacer fotografías o buscarlas en periódicos y revistas y ponerles un lema matemático, igual que has visto en la exposición?

¿Te animarías a participar en el próximo concurso de "Fotografía y Matemáticas" o en el de "Imágenes Matemáticas"?

Autores: José Muñoz Santonja; Mª Jesús Serván Thomas; Antonio Fernández-Aliseda Redondo; Juan Antonio Hans Martín. S.A.E.M. Thales. Sevilla. 2018.


XI CONCURSO 'FOTOGRAFÍA Y MATEMÁTICAS' · Web viewEl otro teorema se cita en el lema “Teorema...

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