Aula 16 Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio.

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Aula 16 Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio

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Aula 16

Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio

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Teorema de Rolle

Seja uma função que satisfaça as

seguintes hipóteses:

1. é contínua no intervalo fechado

2. é derivável no intervalo aberto

3.

Então existe um número em tal que

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Ilustração

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Ilustração

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Exemplo 1

Considere a função posição de umobjeto em movimento. Se o objeto estiverno mesmo lugar em dois instante diferentes e então PeloTeorema de Rolle algum entre e no qual isto é, a velocidade é0.

Obs.: Em particular, vc pode ver que isto éverdadeiro quando uma bola é atiradadiretamente para cima.

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Exemplo 2

Demonstre que a equaçãotem exatamente uma raiz real?

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Solução

Seja Entãoe Note que é contínuapois é um polinômio; assim pelo Teorema doValor Intermediário a equação dada, tem uma raiz.Suponhamos que se tenha duas raízes pelo Teorema de Rolle Mas

0 1 tal que ( ) 0.c f c

e .a b( ) ( ) 0f a f b

tal que ( ) 0.a c b f c 2( ) 3 1 1 ( ) nunca pode ser zero.

Contradição!!!

f x x x f x

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O Teorema do Valor Médio

Seja uma função que satisfaça as

seguintes hipóteses:

1. é contínua no intervalo fechado

2. é derivável no intervalo aberto

Então existe um número em tal que

ou, equivalentemente,

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Interpretação Geométrica

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Exemplo 3

é um polinômio é contínua e derivávelPelo T.V.M. tal que

Mas

isto é, Porém, como

temos então

(0,2)c

(0,2)c

,x

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Gráfico

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Observação

A grande importância do Teorema do Valor

Médio reside no fato de ele nos possibilitar

obter informações sobre uma função a

partir de dados sobre sua derivada. O

próximo exemplo mostra esse princípio.

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Exemplo 5

Suponha que e

Quão grande pode ser?

.x

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Solução

Pelo T.V.M. tal que

LogoComo temosDaí, logo

o maior valor possível para é 7.

(0,2)c

,x

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Alguns fatos básicos

Teorema. Se em um intervalo então é constante em

x

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Demonstração

Sejam e em , sendoPelo T.V.M. obtemos tal que e

Como daí ou

tem o mesmo valor em e quaisquer em . Isto significa queé constante em .

x

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Alguns fatos básicos

Corolário. Se em um

intervalo então é constante em isto é, em que é

uma constante.

x

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Demonstração

Seja Então

em .

Assim, pelo Teorema anterior é

constante, isto é, é constante.

x

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Observação

Note que o domínio de ée em

Mas claramente não é uma funçãoconstante. Isso não contradiz o Teoremaanterior pois não é um intervalo.

x

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Exemplo 6

Demonstre a identidade

1 1tg cotg / 2.x x

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Solução

uma constante.Fazendo temos

x

1 1( ) tg cotgf x x x

1 1(1) tg 1 cotg 14 4 2

C f

1 1tg cotg2

x x

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Obrigado !


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