Welty Momentum, Calor y Masa

7/13/2019 Welty Momentum, Calor y Masa

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"Fundamentosdet ransferencia demomento, calor

Profesor & DIrecfor del Departamento"de Ingeniera MecnicaUniversidad Estatal de OregdnCHARLES. WICKSProfesor y Director del Departamentode Ingeniera QumicaUniversidad Estatal de OregnROBERTE. WILSONProfesor de Ingeniera MecAnicaUniversidad Estatal de Oregn

NORIEGA EDITORES-~MXICO Espalla Venezuela Colombia


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VERSIN AUTORIZADA EN ESPANOL DE LA OBRAPUBLICADA EN INGLS POR JOHNWILEY &SONS,NC.,ON EL T~TULO:FUNDAMENTALS OF MOM ENTUM,HEAT & MASS TRANSFERO JOHNWILEY& SONS,NC.COLABORADORN LA TRADUCCI~N:CONCEPC16N CALDER6N ACOSTAIDIOMAS BERLITZ.INTRPRETE TRADUCTORA DE LA ESCUELA DE

R E V I S I ~ N :JOSC LUIS FERNANDEZ ZAYASDOCTORN INGENIER~A DE LA UNIVERSIDADDE BRISTOL,NGLATERRA.ROFESORNVES-LA UNIVERSIDADACIONALU T ~ N O M AEM x l c o .TIGADOR DE LA FACULTADE INGENIERA DE

LAPRESENTACION DISPOSICI~N EN CONJUNTO DEFUNDAMENTOS DETRANSFERENCIA DE16 50$ MOMENTO , CALOR Y MASASON PROPIEDAD DEL EDITOR. NINGUNAARTE DETIDA, MEDIANTE NINGN SISTEMA o MTODO,ESTA OBRA PUEDE SER REPROWCIDA O TRANSMI-ELECTRNICO O MECNICO (INCLUYEN00 EL FOTO-COPIADO, LA GRABACIN O CUALQUIERSISTEMADE RECUPERACINY ALMACENAMIENTODE IN-FORMACI~N),SIN CONSENTIMIENTO POR ESCRITODEL EDITOR.DERECHOSESERVADOS:O 1994,EDITORIALLIMUSA,S.A. DEC.V.GRUPO NORIEGA EDITORESBALDERAS5, M x l co , D.F.C.P. 06040

TELFONO 521 21 05FAX 512-29-03CANIEM NM. 121SEXTAEIMPRESI~N

HECHON M x l c oISBN 968-18-1306-5


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PROLOG01

Los objetivos bsicos de esta edicin son los mismos que los de la primera. lproceso de transferencia sigue siendo el tema biisico a tratar , para el cual estelibro es el instrumento de estudio.En esta edicin hemos actualizado el material, introduciendo aplicacio-nes de la tecnologa actual. Tambin hemos modificado la presentacin paraincluir un estudio adicional y ms detallado en aquellas reas que parecenpresentar mayor grado de dificultad para el est.udiante. Creemos?y, verdade-ramente confiamos en que esta edicin mantendr los aci&-tb$:&$.ofciide 10sque tantas personas han comentado.Realmente el cambio ms obvio en esta edicin es la incorporacin deunidades SI. Hemos introducido un tratamiento equilibrado de unidades SIy sistema ingls, tan to en los problemas que se presentan como ejemplo, co-mo en los que aparecen al final de cada captulo. Tambin hemos modificadolas tablas de propiedades fsicas para incluir en ellas datos en SI correspon-dientes a slidos y gases. N o existe, a nuestro juicio, ninguna buena ecopila-cin de ras propiedades de los lquidos en unidades SI. Por esta razn, siguesiendo necesario que tanto el profesor como el estudiante efecten as conver-siones pertinentes para los lquidos, cuando las propiedades se requieran enunidades SI. En cada uno de os problemas de ejemplose ha agregado el valorcorrespondiente entre parntesis y seguido del resultado final, en el sistemaalterno, ya sea que se haya trabajado en sistema ingls o SI. Estamos conven-cidos de que la buena comprensins como la facilidad para resolver proble-mas en el rea delproceso de transferencia, sonndispensables para el ingenierocompetente sin importar su campo fundamental dentro de la ingeniera. Elcurso para el cual se ha utilizado como texto durante os ltimos seis aos enla Universidad Estatal de Oregn, ha tenido c,ada vez mayor aceptacin en

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6 Prlogotodos los campos de la ingeniera. Esperamos que el tratamiento unificadode los procesos de transferencia se popularice cada vez ms tambin en otrasinstituciones.

Laasistencia y loscomentarioscrticosdenumerososestudiantesenaos pasados nos han sido de gran ayuda en la preparacin de esta edicin.En especial, queremos agradecer el apoyo que nos han brindado varios denuestros colegas, quienes la han utilizado en sus ctedras. Esperamos haberincorporado todo aquello que contribuya a mejorarl texto.Corvallis, Oregn J. R. W el t y

C. E . W i c k sR. E. Wilson


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P ROLOG0 A LAPRIMERA EDICIONEN INGLES

Trad icionalm ente los programas de estudio de ingen iera incluancursosacerca de la transferencia de m om ento en mecn ica de f luidos, por lo generalen los dep artam entos de Ingeniera Civil o Mecnica. Los programas de estu-dios de Ing eniera Qum ica y M ecnica han abarcado cursos de transferenciade energa o calor y el tem a de la transferencia de masa o difusin ha sidocasi del dom inio exclusivo de los ingenieros qu laico s. Cuando se les estudiaen esta forma fragm entada, las semejanzas en las descripciones tanto cualita-tivas comocuantitativasentre ambos temas,am enudo o se ignoran o sepiensa que son coincidencias.E n 1960, con la publicacin de Transpor t Phenomena, de R. . B i rd , W .E. Stewart y E. N. Li gh tfo ot, de la Universidad de W isconsin, estos tres te-mas, previamente fragmentados, se un iero n en urr solo volumen con un enfo-que un if icado hacia el proceso de transferencia. As, los estudiantes puedenaprender una sola disciplina en lugar de tres y utilizar las semejanzas en d es-cripcin y clculo para reforzar su con ocim ien to de los procesos individualesde transferencia. Una razn adicional para la popularidad del enfoqu e unifi-cado es el inters creciente en situaciones en las que aparecen implicadas enun solo proceso dos o a veces hasta tre s clases de transferen cia. Es invaluableunadescripcin undamental y sistemticadelprocesode ransferencia,aeste respecto.La gradual evolucin de los programas de estudio de ingenieraparaincluir ms reas impo rtantes de temas bsicos ha llevado a mu chas institu-cione s a ofrecer cursos de transferencia de mo m'ento, calor y masa. En estoscasos, el procesode ransferencia e onsidera an undam entalpara osconocimientosbsico s del estudiante de ingen iera om o amecn ica, atermodinm ica, la ciencia de los m a t e r i s e s y la electricidad y el magnetismobsicos. Fue en este co nt ex to en el que evolucion a presente obra. Desde1 9 6 3 este material ha sido desarrollado y utilizado, en pa rte, po r grupos de

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8 Prlogo a la prim era ed icin en inglsalum nos a nivelde segundo ao de la Universidad Estata l de Oregn , en elcurso titulado Procesos de Transferencia y Cam bio. Este libro es el resultadode los apuntes de clase, que se han revisado y reescrito al me nos una vez du-rante cada uno de los cin co aos anteriores. Las opiniones y crticas de losestudiantes y pro fesores, han sido de gran ayuda para los autores.Es necesario hacer ciertas concesiones para escribir un libro de esta na-turaleza. El inters primordial de los autores ha sido escribir un tex to b sicopara aum entar la com prensin del estudiante de la transferencia de mom en-to , energay masa. Hem osma ntenido las aplicacionesespecficasdeestematerial en un m n im o; esperamos que los cursos de laboratorio planeadospara impa rtirlos posteriormen te, tratarn las aplicaciones e specficas as co m olas tcnicas para la solucin de problemas. En este texto hem os incluid o trescaptulos de aplicaciones (captulos 14, 2 2 y 3 1 ) . Estos aparecen cerca delfinaldecadaseccin con el ob jeto de proporcionar nformacinsobre elequipo y para indicar la clase de problem as que se pueden tratar de resolvercon el material contenido en el tex to. Estos cap tulos se han incluido con elfinde motivar al alumno,dando sin embargo, un mnim odeaplicacionespara aquellos estudiantes para quienes ste sea un estudio final acerca de latransferencia de mom ento, ene rga y masa.

La ob ra se ha es crito a nivel de segundo ao de ingeniera. Se presuponeque el estudiante ha tomado anteriormente cursos de mecnica y matemticas,en lo referente a ecuaciones diferenciales , as com o cursos de introduccin ala qum ica y a la f s ica. Adems sera mu y til que hubiera tomad o un cursode termodinmica anterior o simultneamente al uso de es te te xto .El nivel matemtico de la obra h a preocup ado m ucho a los autores . He-mosempleado lanotacinvectorialprin cipalm ente en el desarrollode asecuaciones fundamentales. L a compacidad, generalidad y exactitud de la no-tacinvectorialnosparecieronsuficientespararechazar las objeciones deaquellosquehan sugerido qu eeste ratam iento es dem asiado ofisticado.Ot ros, aunque en peque o nm ero, han sugerido que hab ra sido m ejor usartanto notac in com o ope racian es tensoriales ms generales. La seleccin hasido un trm ino medio, estimado por los autores como el mejor. Es necesarioun conocimiento de las ecuaciones diferenciales en lo que se refiere a la solu-cin de ecuaciones de segund o orden. Se incluyen, a ma nera de ejemplo, tresproblemasquecomprenden la solucinaecuacionesdiferencialesparcialespor el mtodo deseparacindevariables; sin emb argo,puedeomitirse SUestudio sin ocasionar ningn perjuicio en cuanto a la comprensin.Puedenemplearsedosdiferentes enfoq ues en elusodeestematerial.Am bos son diagramticamente opuestos. El tex to est organizado en form avertical. Los temasde ransferenciad e m o m e n t o ,energ ay masa,estnpresentados en ese orden. El enfoque horizontal alterno, aparece indicadoen el diagrama. Este enfo que im plica el estudio de temas semejantes para 10stres tipo s de transferencia, considerand o un meca nismo de transferencias a lavez. Los autores estam os conscientes de que os profesores pued en preferir


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Prlogo a la primera edicin 9

r z1 r-* r---h 1-4,I I I I I I I IIIIIIIIIIIIIIII1

1 1I 1I _ 1 1

TII


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10 Prlogo a la pr im era edic in en nglscualquiera de estos enfoques y hemos organizado el libro para que se acomo-de a ambas escuelas de pensamiento.Los primeros tres captulos pueden estudiarse u omitirse, a criterio delprofesor. Probablemente el material contenido en ellos ya se haya estudiadoen cursos previos, pero puede ayudar a igualar el nivel de conocimientos delos estudiantes de diversas ramas, antes de empezar el estudio de los procesosde transferencia.Los captulos 4, 5 y 6 son fundamentales para la comprensin de todoel texto, por lo que debe profundizarse en su estudio y asegurarse su compren-sin total antes de proceder l estudio de los subsecuentes. El concepto de vo-lumen de control que se introduce en este punto,es bsico para la compren-sin de los siguientes captulos. Esta forma de estudiar los procesos de trans-ferencia es una de las principales diferencias entre este texto el de Bir, Ste -wart y Lightfoot.

Los captulosdel 7 al 14 tratanexclusivamentede ransferenciademomento, del 15 al 23, de transferencia de energa y del 24 al 31 de trans-ferencia de masa. Todos pueden considerarse en secuencia horizontal comose mencionit anteriormente. La nica parte separada es el captulo 23 quetrata de la transferencia de energa radiante que no tiene paralelo en la trans-ferencia de momentoni en la de masa.Los autoresestamosfirmementeconvencidosde que losprocesos de

cambio son fundamentales para os estudios ingenieriles. Creemos que la faltade un texto ampliamente aceptado ha obstaculizado la adopcin de este puntode vista en numerosas instituciones. Esperamos que este texto pueda persua-dir a algunas escuelas a aceptar, como parte deus programas, latransferenciade momento,energa y masa, dotando as a us egresados de un conocimientovital.Corvallis, Oregn J. R. W e l t y

C. E. W i c k sR.E. Wilson


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CONTENIDO

Cap tu lo 1 CONCEPTOS Y D E F I N I C I ON E S1. 1 Fluidos y el continuo, 211.2 Propiedades en un pu nto , 221.3 Variacin de las propiedades de un fluido de un punto1.4nidades, 30

a otro, 27

Cap tulo 2 E S T A T I C AD E LU I D OS2.1 Variacin de presin en un fluidoesttico, 352.2Aceleracin recti1nea uniforme, 392.3 Fuerzassobre las superficiessumergidas, 402.4lotacin,42.5onclusin,6

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3 5

Cap tulo 3 DESCRIPCION DE UN F L U I D O NM O V I M I E N T O 5 33.1 Leyessicas fundamentales,533.2 Cam pos de flujo de fluidos : representaciones agrangiana y3. 3 Flujos permanentes y no permanentes, 553.4Lneas de corriente,563.5 Sistemas y volmenes de control, 57

euleriana, 54

Cap tu lo 4 O B S E R V A C I O ND EL AM A S A :E N F OQU ED EV O L U M E ND E 594.1 Relacin integral, 5 94.2 Form as especficas de a expresin integ ral,604.3onclusin,511


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12 ContenidoCaptu lo 5 S E G U N D AL E YD EN E W T O ND E LM O V I M I E N T O :E N F O Q U EEO L U M E NEO N T R O L 71

5.1 Relacin integralpara el mom ento ineal, 715. 2 Aplicaciones de la expresin ntegralpara el momento5.3 Re lacin integralpara el mom ento de m omento,835.4 Aplicaciones a las bombas y turbinas, 855.5onclusin,0

lineal, 76

Cap tu lo 6 C O N S E R V A C I O ND EL AE N E R G I A :E N F O Q U ED EV O L U M E NEO N T R O L 1016.1 Relacin integralpara aconservacin de la energa, 1016.2 Aplicaciones de la expresin integral, 1096.3La ecuacin de Bernou lli,1136.4onclusin,18

Cap tu lo 7 E S F U E R Z OC O R TA N T E N L L U J O A M I N A R 1277.1 Relacin de Newto n paraa viscosidad,1277.2Fluidosnonewtonianos,1297.3 Viscosidad,307.4Esfuerzocortante en los flujos laminares mu ltidime nsionales7.5onclusin,40de un fluido new toniano, 135

Cap tu lo 8 A N A L I S I SD EU NE L E M E N T OD I F E R E N C I A LD EF L U I D ONLL U J OA M I N A R 1438.1 Flu jo laminar otalmente desarrollad o enun conducto8.2 Flu jo laminar de un fluid o new toniano haciaabajo por8.3onclusin, 150

circu lar de seccin transversal constan te, 1 4 4una superficie plana inclinada , 14 7

Cap tu lo 9 ECUACI O NESDI F ERENCI AL ESDEF L U J ODEF L U I D O S 1539.1 La ecuacin de continuidaddiferencial,1539.2Ecuac iones de Nav ier-Stokes,1579.3Ecua cin de Bern ou lli,1679.4onclusin,69

Cap tu lo 10 F L U J OEL U I D O SO VISCOSOS 17310.1 Rotac in de un fluido en un pu nto ,17310.2 L a funcin de corriente,17510.3Flujono rotacional,noviscoso,alrededordeuncilindro10.4Flujonorotacional. El poten cial de la velocidad ,180

infinito, 177


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Contenido 1310.510.610.7

Cap tu lo 1 111.111.211.311.411.511.6

Cap tu lo 1212.112.212.312.412.512.612.712.8

Cap tulo 1313.113.213.313.413.513.613.713.813.9

Cap tu lo 1414.114.2

14.314.4

Carga total en el flujo no ro tacional, 182Utilizacin del flujo potencial, 182Conclusin, 184A N A L I S I SI M E N S I O N A L 187Dimensiones, 187Semejanzas geomtrica y cinemtica,, 188Anlisis dimensional de la ecua cin de Navier-Stokes, 189El mtod o de Buckingh am, 191Teora de modelos, 194Conclusin, 196

203LUJO VISCOSOExperim ento de R eynolds, 20 3Arrastre, 205E l concepto de capa I mite, 208Las ecuaciones de capa I mite, 21 1So luci n de Blasius para la capa laminar lim ite en una placaplana, 212Flujo con un gradiente de presin , 2'18Anlisis integral de von Krmn del momento, 220Conclusin, 225E L E F E C TO D E L AT U R B U LE N C 1. A E N L AT R A N S F E R E N C IA D E M O M E N T ODescripcin de la turbulencia, 22 9Esfuerzos cortantes turbulentos, 231Hiptesis de la longitud de me zclado, 234Distribu cin de la veloc idad a partir de la teora de lalongitud de mezclado , 23 5Distribucin universal de velosidades, 236Relaciones emp ricas adicionales para un flu joturbulento, 239La capa lmite turbulen ta en una placa plana, 24 0Facto res que afectan la transicin de flujo laminar aturbulento, 242Conclusin, 243

229

FLUJO EN CONDUCTOS CERRADOSAnlisis dimensional del flujo en los conductos, 24 5Factores de friccin para flujos laminar, turbulentoyde transicin totalmente desarrollados en conductoscirculares, 247Facto r de friccin y determ ina ci n dle la prdida de cargaen el flujo de un tub o, 252Anlisis del flujo en u n tub o, 256

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14 Contenido14.514.6

Cap tu lo 1 515.115.215.315.415.515.6

Factores de fricc in correspondientes a un flujo a la entradade un cond ucto circular, 25 9Conclusin, 263F U N D A M E N T O SD EL A T R A N S F E R E N C I A Y / pDE 269Conduccin, 270Condu ctividad trm ica, 271Conveccin, 278Radiacin, 279Mecanismos com binados de transferencia de calor , 28 0Conclusin, 286

Cnp tu lo 16 E C U A C IO N E SD IFE R E N C IA LE SD EL A /TR A N S FE R E N C IA D E C A LO R16.1 La ecuacindiferencial generalde

transferencia de energa, 29 316.2Formas especialesde la ecuacindiferencial

de energ a, 29 716.3Condiciones de fronteracomnmente

encontradas, 29916.4onclusin,00

Captulo 17 CONDUCCIONENELE S TA D O bP E R MA N E N TE17.1 Condu ccin nidimensiona l, 30317.2Conduccinunidim ensio nal on generacin17 .3 Transferencia de calor de superficies

interna de energa, 312extendidas, 317Sistemas en dos y tres dimensiones, 325

7.5onclusin,39Captulo 18 C O N D U C C IO NE NE S T A D ON O L/P E R MA N E N TE

18.1 Soluciones nalticas, 35118 .2 Tablas de temperatura y tiempo correspondientes18 .3 Soluc in grficadel flujotransitoriounidimensional18.4Un m todo integral de conduccinunidimensional18.5onclusin,75

.a formas geomtricas simples, 362de e nerga, grfica S chm idt, 366no permanente,370

293

303

35 1


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Cap tu o 1919.119.219.319.419.5

19.619.7

T R A N S F E R E N C I AC O N V E C T I V AD E JC A L O RConsideraciones fundamentales acercade la transferencia convectiva de calor, 381Parmetros impo rtantes en la transferenciaconvectiva de calor, 382Anlisis dimensional de la transferenciaconvectiva de energ a, 38 4Anlisis exacto de la capa laminar I limite, 388Anlisis integral aprox ima do de la c:apatrmica I mite, 393Analogas entre transferencias de energay mom ento, 396Con sideracione s acerca del flujo turbulento, 398

Contenido 15

38 1

Cap tu lo 20 CORRELACIONES EN L A TRANSFERENCIA JC O N V E C T I V AEA L O R 41320.1 on veccin atural, 1320.2Conveccinforzada enel flujo ntern o,42220.3Conveccin forzada en el flujoexterno,42920 .4 Transferencia de calor en el punto de estanca miento , 43720.5onclusin, 441

Cap tu lo 21 EBULLICION Y CONDENSACIOIU /' 44721.1 Ebu llicin, 44721.2ondensacin, 45421.3onclusin, 461

Cap tu lo 22 EQUIPOP A R AL A TRANSFEREINCIADEC A L O R22.1ipos deambiadorese ca lor , 46Ei / 6522 .2 Anlisis de cambiadores de calor de un solo paso: diferencialogar tmica media de tem pera tura , 46822.3 Anlisis de cambiadores de calor de con traflujo y detubo y coraza, 474

22.4 El mtodo de nmero de unidades de transferencia ( N U T )de anlisis y diseo de cambiadores; de ca lor, 47 722.5 Consideracionesadicionalesacercadeldiseo decambiadores de calor , 48722.6onclusin,88

Cap tu lo 2 3 T R A N S F E R E N C I AD EC A L O R PO R R A D l A C l O N ' 49323.1Naturaleza dea radiacin, 49 323.2Radiacinrmica, 9423.3La intensidad de la radiacin,497


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16 Contenido23.423.523.623.723.823.923.1023.1 123.1223.13

Captulo 2 424.1

" h 4 . 224.324.4

Cap tulo 2 525.125.225 .325.4

Captulo 2626.126.226.326.426.5

"+ea tulo 2 727.127.227.327.4

Ley de Planck de la radiacin, 49 8Ley de Stefan-Boltzmann, 500Emitancia y absorbencia de las superficies slidas, 50 2Transferencia de calor radiante entre cuerpos negros, 50 8Intercam bio de energa rad iante en cavidades negrascerradas, 51 3Intercambio de energa radiante habiendo superficiesrerradiantes presentes,516Transferencia de energa radiante entre superficiesgrises, 517Rad iacin de los gases, 521El coeficiente de transferencia de calor radiante, 525 ..'Conclusin, 526

' \

FUNDAMENTOS DE LA TRANSFERENCIADE MASATransferencia de masa molecular, 53 4E l coeficiente de difusi n, 5 46Transferencia convectiva de masa, 562Conclusin, 563

5 3 3

ECUACIONES DIFERENCIALES DE LATRANSFERENCIAEASA 571La ecuacin diferencial de transferencia de masa, 571Form as especiales de la ecuacin diferencial de transferenciade masa, 57 5Con diciones de frontera encontradas usualmente, 57 8Con clusin, 581DlFUSlON MOLECULAR EN ESTADOPERMANENTE 587Transferencia unidimensional de masa, independiente dereacciones qum icas, 588Sistemas unidimensionales asociados con la reaccinqum ica, 601Sistemas bidimensionales y tridimensionales, 610Transferencia simultnea de m om ento , calor y masa, 617Conclusin, 627DlFUSlON MOLECULAR EN ESTADONOPERMANENTE 6 3 9Soluciones anal ticas, 640Tablas de tiempos de concentracin correspondientes aalgunas formas geom tricas simples, 64 4So lucin grfica correspondiente al flujo u nidirecciona ltransitorio de m asa: la grfica mo dificada de Schm idt, 64 7Con clusin, 651


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4 aptulo2828.128.228.328.428.528.628.728.8

Contenido 17

T R A N S F E R E N C I AO N V E C TIV AEA S A 657Consideraciones fundamentales acerca de latransferencia convectiva de masa, 657Parm etros importantes en la transferencia convectiva demasa, 659Anlisis dimensional de la transferencia convectivade masa, 661Anlisis exacto de la con cen tracin laminar de la capaI mite, 664Anlisis ap roxim ado de la capa I mite de concentracin, 672An alogas de transferencia de masal, energa ymomento, 67 5Mo delos de coeficientes de transferencia de masa,684Conclusin, 687

,&Captulo29 T R A N S F E R E N C I AD EMA SA ENi UN AIN TE R FA S E

29.1 Equilibrio,9729.2Teora deas dosresistencias, 70129.3onclusin,09

697

30.130.230.330.4

30.530.630.7

Cap tu o 3 131.131.231.331.431.531.631.7

C O R R E LA C IO N E S D E TR A N S FE R EN C IAC O N V E C TIV AEA S A 717Transferencia de masa a placas, cilind ros y esferas, 717Transferencia de masa para flujo tu rbu lento a travsde tubos, 727Transferencia de masa en columnas de pared mojada ,727Transferencia de masa en camas empacadas yfluidificadas, 73 0Transferencia de masa con reaccin qumica, 731Coe ficientes de capacidad para torres industria les, 7 32Conclusin, 733EQUIPO DER A N S F E R E N C I AEA S A 739Tipos de equipos de transferencia (le masa,740Tanques o estanques de transferencia de masaintermitentes,743Balance de masas correspondiente a torres de contactocon tinu o: ecuaciones de la lnea de opera cin, 746Balances de entalpia correspondierltes a las torres decontacto coqtinuo, 757Coe ficientes de capacidad de transferencia de m asa, 75 8Anlisis de equipo de contacto conltinuo,760Cortclu sin , 771


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18 ContenidoN O M E N C L A T U R AAPENDICES

ABCDE

FGHIJKLMN

783

Transformaciones de los operadores V y V z a coordenadascilndrica s, 791Sum ario de operaciones d iferenciales vectoriales en diversossistemas de coordenadas, 7 95Simetra del tensor de esfuerzo, 799La con tribuc in viscosa al esfuerzo no rm al, 801Las ecuaciones de Navier-Stokes correspondientes a p y pconstantes en coordenadas cartesianas cilndr icas yesfricas, 803Tablas para la solu cin de problemas de transferencia enestado n o permanente, 805Propiedades de la atmsfera estndar, 819Propiedades fsicas de los slidos, 82 3Propiedades fsicas de gases y I quidos, 827Coeficientes de transferencia de masa po r difu sin ensistemas binarios, 855Constantes de Lenn ard-Jon es, 859L a funcin error, 863Tamaos estndar de tubera, 865Medidas estndar de tu bera, 867

RESPUESTAS A PROB LEMA S SEL ECCIONADOSINDICE

869879


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Fun dam entos detrans ferenc ia dem om ento, calory masa


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CONCEPTOS Y DEFINICIONES

La transferencia de momento en un fluida incluye el estudio del movi-miento de los fluidos asi como de as fuerzas que producen dicho movimiento.A partir de la segunda ley de Newton del movimiento, se sabe que la fuerzase relaciona directamente con la rapidez de cambio del momento de un siste-ma. Excluyendo a as fuerzas de accin a distancia, tales como a gravedad, sepuede demostrar que las que actan sobre un fluido, comoa presin y el es-fuerzo cortante, sonl resultado de una transferencia microscpica (molecular)de momento. As pues, al tema que estamos estudiando,l que histricamentese le ha llamado mecnica de fluidos,se le puede denominar tambin transfe-rencia de momento.La historia de la mecnica de fluidos nos muestra la hbil combinacindel trabajo analtico realizado en hidrodinmica en los siglos XI X y XX, y elconocimiento emprico acerca de la hidrulica (que el hombre ha acumuladoa lo largo del iempo. Launin de estasisciplinas desarrolladas separadamentefue realizada por primeravez por Ludwig Prandtl.en 1904, con su teora deacapa lmite, que fueverificada por medio de la experimentacih . La mecnicade fluidos o moderna transferencia de momento es tanto analtica, como ex-perimental.

Cada rea de estudio tiene su fraseologa y su nomenclatura propias. Yaque la transferencia de momento es tpica, introduciremos las definiciones yconceptos bsicos para tener una base de comunicacin.1.1 F L U I D O S Y E L C O N T I N U O- -

i Un fluido se definecomounasubstanciaque se deformacontinuamente";bajo la accin de un esfuerzo cortante. Una consecuencia importante de estadefinicin es que cuando un fluido se encuentra. en reposo, no pueden existir21


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22 Conceptos y def inic ionesesfuerzos cortantes. lanto l o s lquidos como los gases son fluidos. Algunassubstancias, como el vidrio, se clasifican tcnicamente como fluidos. Sin em-bargo, la rapidez con la que se deforma el vidrio a temperaturas normales estan pequea que noes prctico considerarlo como fluido.

Concepto de Cont inuo. 1,os fluidos, a l igual que el resto de la materia, estinformados por molculas, cuya cantidad supera a la imaginaciOn. En una pul-gada cbica de aire a temperatura arnbimte, hay apro>timadamente 102o mo-lculas. Para poder predecir el movimiento ndividual de tales moli-culas senecesitara una teora extremadamente complicada, que estara ~ n i s lli denuestra capacidad actual. Y a que tanto la teora cintica de l o s gases como lamecnica estadstica estudian el movimiento dc las molculas, este estudio serealiza en trminos de grupos estadsticos y no de molculas individuales.En ingeniera, la mayor parte del traba,(> e rclacionacon el compor-tamiento por lotes o rnacroscbpico y no con el molecular o microscpico.En muchos casos, es conveniente imaginar un fluido como una d is tr ib uc ihcontinua de materia,o un continuo. llestle luego, n algunos casos no es vilidoutilizar dicho concepto. Consideremos, por ejemplo, el nmero de moltculasque hay en un pequeo volumen de gas en reposo. Si el volumen se toma su-ficientemente pequeo,el nmero de molculas por unidad e volumen depen-der del tiempo para el volumen macroscilpico aunque este ltimo contengaun nmero constante demolculas. El concepto de continuo blo sera vilidoen el ltimo caso. As pues, se ve que la validez de este concepto depende deltipo de informacin que desee obtenerse y no de la naturaleza del fluido. 1%vlido tratar a los fluidos como continuos siempre que el menor volumen defluido del cual nos ocupemos contenga un nmero suficiente de molculaspara que tenga sentidohacer promedios estadsticos.Se considera que las pro-piedades macroscbpicas de un continuo varan continuamente de uno a otropunto del fluido. Procederemos ahora aefinir estas propiedadesen un punto.

1.2 P R O P I ED A D ES E NU N P U N T OCuando un fluido se encuentra en movimiento variarn las cantidadesque se asocian con el estado y con el movimiento de dicho fluido, de un untoa otro. A continuacin daremos la definicin de algunas variables de los flui-dos en un punto.Densidad en un Punto. La densidad de un fluido se define como lamasa por

unidad de volumen. Bajo condiciones de flujo, particularmente en los gases.la densidad puede variar considerablementeen todo el fluido. Se define ladensidad, p , como:


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Propiedadesen un pun to 23donde Am es la masa contenida en un volumen AV, y S V es el volumen m-nimo, para el cual tienen sentido los promedios estadsticos que circunda alpunto. El lmite se muestra en lafigura 1.1.

El concepto de densidad en un punto matemtico, esto es, enV = O ob-viamente es ficticio. Sin embargo, tomar p = limAv+,,Arn/AV) es muy tilya que nos permite describir el flujo de un fluido en trminos de funcionescontinuas. En general, la densidad puedeariar de uno a otro punto el fluidoas como con respecto al tiempo, como en un neumtico perforado de auto-mvil.

A VFigura 1.1 Densidad en un punto

Propiedades de los Fluidos y del Flujo. Algunos rluidos, especialmente o s l-quidos, poseen densidades que permanecen constantes dentro de un ampliorango de temperatura y presibn. Los fluidos que tienen esta cualidad usual-mente se tratan como fluidos incomprensibles; sin embargo los efectos de lacompresibilidad son una propiedad de la situacin ms que del fluido. Porejemplo, el flujo de aire a bajas velocidades se describe exactamente mediantelas mismas ecuaciones que describenl flujo del agua. Desde un punto devistaest tico, el aire es un fluido compresible y el agua es un fluido incompresible.En lugar de clasificarlos de acuerdo con el fluido, los efectos de la compresi-bilidad se consideran como una propiedad del flujo. A menudo se hace unadistinciGn sutil entre las propiedades del fluido y las del flujo, y el estudiantedebe estar consciente de a importancia de este concepto.

Esfuerzo en un Punto. Consideremos la fuerza AF , la cual actha s o b r c unelemento AA delcuerpo que se observa en la figura 1.2. La fuerza AF se des-compone en sus componentes normal y paralela a la superficie del elemento.

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24 Conceptos y definiciones

Figura 1.2 Fuerza ejercida sobre un elemento de fluido

La fuerza por unidad de rea o esfuerzo en un punto, se define como el l-mite de hF/AA cuando AA -+ 6 A , donde 6A es el rea mnima para la cualtienen sentido los promedios estadsticos:

Aqu o;, se llama esfuerzo normal ~ i , sfuerzo cortante. En este texto seutilizar la notacin de subndice doble como en la mecnica de slidos. Elestudiante recordar que el esfuerzo normal es positivo en la tensi6n. El pro-ceso lmite para el esfuerzo normal aparece en l a figura 1.3.

AAFigura 1.3 Esfuerzo normal en un punto

Las fuerzas que se ejercensobreunfluidopuedenclasificarseendosgrupos: fuerzas que actan sobrel cuerpo y fuerzas superficiales. Las primeras


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Propiedades en un pun to 25son las ejercidas sin contacto fsico; por ejemplo, laravedad y las fuerzas elec-trostticas. Por el contrario, la presin y las fuerzias de friccin requieren delcontacto fsico para su transmisin. Ya que se requiere de una superficie parala accin de estas fuerzas, se llaman fuerzas superficiales. Por lo tanto, el es-fuerzo es una fuerza superficial por unidad de rea.*

Presin en un Punto en un Fluido Esttico. Para un fluido esttico, puede de-terminarse el esfuerzo normal en un punto a partir dea aplicacin de as leyesde Newton a un elemento del fluido haciendo que este elemento tiendacero.Debe recordarse que n o puede existir esfuerzo cortante en uTfluido esttico.Por esto, las nicas fuerzas superficiales presentes sernas debidas a esfuerzosnormales. Analcese el elemento de la figura 1.4. Mientras este elemento per-manece en reposo, la gravedad y los esfuerzos nclrmales actan sobre l. Elpeso de un elemento de fluidoes p g ( A x A y A z / 2 ) .Para un cuerpo en reposo,C = 0.En la direccin de x,AFx-AF , sin 6 = O

A;;;Figura 1.4 Elemento de un fluido 1:sttico

Ya que sen O = Ay/As, la ecuacin anterior se convierte en:AFx -AF,-=OYA s

Dividiendo toda la ecuacin por A y A z y tornando el lmite cuando elvolumen del elemento tiende a cero,se obtiene:

*M atemticam ente, el esfuerzo est clasificado c om o tenso r de segundo orden , ya que requiere magni-tud, direccin y orientacin con respecto a un plano para quedar perfectamente determinado.


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26 Conceptos y definicionesRecordando que el esfuerzo normal es positivo en la tensin, evaluandola ecuacin anterior, se obtiene:

o;,= u s , (1-1)En la direccin dey, al aplicar1F =O queda:

AF y-AFs COS 0- g =ox Ay AZ2Como el cos e = A x j A s , se tiene:

AFy-AF,- - g = oxxyzA s 2Dividiendo toda la ecuacin por AxAZ y tomando el mismo lmite que to-mamos anteriormente, se obtiene:

lo cual se reduce a:-uyy+a,, q o ) = o2

u y y = a s sO

Se notar que el ngulo 8 no aparece en la ecuacin ( 1-11ni en la ( I - Z ) ,por esto el esfuerzo normal en un punto de un fluido estticos independientede la direccin y , por lo tanto, es una cantidad escalar.. I

Como el elemento se encuentra en reposo, las nicas fuerzas superficialesque actan son las debidas al esfuerzo normal. Si se fuera a medir l a fuerzapor unidad de rea que estuviera actuando sobre un elemento sumergido, seobservara que, o actuara hacia adentro, o colocara al elemento en compre-sin. L a cantidad que se medira sera, desde luego, la presibn, la cual debidoal desarrollo anterior, debeer el negativo del esfuerzonormal. Esta importantesimplificacin, la reduccin del esfuerzo que es un tensor, a la presin que e sun escalar, tambin puede observarse para l caso en que el esfuerzo constantees nulo en un fluido en movimiento. Cuando se encuentran presentes los es-fuerzos cortantes, las componentes del esfuerzo normal en un punto puedenno ser iguales, sin embargo, la presin sigue siendo igual al esfuerzo normalpromedio. Esto es:

P = - ( u x x U y y + u z z )


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Variacin de las \propiedadesde un fluido 27con muy pocas excepciones, una dellas, el flujo en las ondas de choque.Ahora se han estudiado algunas de las propiedades que existen en unpunto, investiguemos la forma en que varan las propiedades de un fluido deun punto a otro.

1.3 V A R I A C I O N D E L A S P R O P I E D A D E S D E U N F L U I D OD E U N P U N T O A O T R OEn el enfoque del continuo a la transferencia de momento, se usarncampos de presin, temperatura, densidad, velocidad y esfuerzo. Ya en estu-

dios previos se ha introducidoel concepto de campo ravitacional. L a gravedades desde luego un vector, y por lo tanto el campo gravitacional es un campovectorial. En este libro se escribirn los vectores en letras negritas. Todos losdas se publican en los diarios de este pas, mapas 'que describen las variacio-nes de presin. Y a que la presin es una cantidad escalar, dichos mapas re-presentan un campo escalar. Los escalares se encontrarn en tipo normal eneste libro.En la figura 1.5, las lneas trazadas representan el lugar geomtrico delos puntos con igual presin. Desde luego, la presikln vara continuamente entoda la regin y podemos observar sus niveles y deducir la forma en que varala presin, examinando uno de estos mapas.La descripcin de la variacin de la presin d,e un punto a otro es inte-resante especialmente en la transferencia de momento. Llamado x e y a lasdireccioneseste y norte de a figura 1.5, respectivamente, podemos repre-sentar la presin en toda la regin por medio de la funcin general P ( x , y ) .

Figura 1.5 Mapa climatolgico, ejemplo de un campo escalar


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28 Conceptos y def in ic ionesEl cambio en P entre dos puntos cualesquiera dentro de la regibn (quese escribe dP), eparados por las distancias dx y d y , est dado por la diferen-cial total:

En la ecuacin (1-3), as derivadas parciales representan l a forma en laA lo largo de la trayectoria arbitrarias n el plano x y , a derivada total es:que cambiaP a lo largo de los ejes x e y , espectivamente.

d PP d xP d yds ax ds a y ds

+- -En la ecuaciim (1-4),el trmino dp/ds es l a derivada direccional y su relacihnfuncional describe a rapidez de cambio deP en la direccin s.En la figura 1.6 se ha representado una pequea porcin del campo depresin. Puede observarse la trayectoria arbitrariaS y fcilmente se ve que lostrminos: d x / d s y

X

Figura 1.6 'TrayectoriaS en el plano x y

dy/ds son el coseno y el seno del ngulo de trayectoria, 01, con respecto al ejex. La derivada direccional, por lo tanto, puedeescribirse:

dP aPP-=-cos CY +-senads ax (1-5)Existe un nmero infinito de trayectorias que pueden escogerse en elplano xy. Sin embargo, hay dos trayectorias que sone especial inters: aquellapara l a cual d P / d s es igual a cero y aquella para l a que d P / d s es un miximo.Es muy fcil de encontrar l a trayectoria para la cual la derivada direc-cinal es igual a cero. Haciendo d p l d s igual a cero, se tiene:


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Variaci n de las lpropiedades de un f lu id o 29

o, ya que tan 01 = d y / d x , tenemos

A lo largo de a trayectoria cuya pendiente est definida ena ecuacin (1-6),tenemos d P = O , y por lo tanto P es constante. Las trayectorias a lo largo delas cuales una cantidad escalar es constante se llaman isolineas.Para encontrar la direccin para la que dP/ ds e s un mximo, la derivada( d l & ) ( d P / d s ) debe ser igual a cero, o sea:

d dP aP aPda ds - sena-+cos (Y- = Oax a y

O

tan al -P / d s e s mx dP/dx . ( 4 - 7 )

Comparando las relaciones (1-6) y ( 1 - 7 ) se puede observar que las dosdirecciones definidas por estas ecuaciones son perpendiculares. La magnitudde la derivada direccional, cuando es mrixima, es:

donde c o s 01 y sen 01 se evalan a lo largo de la trayectoria representada por l aecuacin (1 -7) . Ya que el coseno se relaciona con la tangente por medio de:

1cos a = JTGzse tiene:

Calculando sen 01 en forma semejante, se obtiene:


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30 Conceptos y def in ic ionesLas ecuaciones ( 1 - 7 ) y (1-8) sugieren que la mixima derivada directional e sun vector de la forma:

dP aPax ay-e , +- eydonde e x y ey son vectores unitarios en las direcciones x e y , respectivamente.

L a derivada direccional a lo largo de la trayectoria de mximo valor seencuentra con frecuencia enl anlisis de los procesos de transferencia ye le dael nombre degradiente . A s , el gradiente deP, sea, grad P, s:aP apax ay

grad P= - - , + - e e ,donde P = P (x, y). Este concepto se puede extender para incluir casos en l o sque P =P (x ,y, z ) . En este caso ms general,

ap ap apax ay azradP=-e ,+ -ee ,+ -ee ,La ecuaci6n (1-9) puede escribirse de manera ms compacta por medio deloperador (llamado nabla), en l a forma siguiente:

ap aP a~ax ay azP= -ee , + - e y+ - ee ,donde:

a a aV= - e , + - e y + - e e ,ax ay az (1-10)L a ecuacin (1-10) es l a relacin que defineal operador en coordenadascartesianas. Este smbolo indica que se va a realizar una diferenciacin en una

forma prescrita. En otros sistemas de coordenadas, tales como el de coorde-nadas cilndricas o el de esfricas, el gradiente adopta una forma diferente.*Sin embargo, el significado geomtrico del gradiente permanece idntico, esun vector cuyas direccin y magnitud son las de l a mxima rapidez de cambiode la variable dependiente con respecto a l a distancia.

1.4 U N I D A D E SAdems del sistema internacional estgndar de unidades hay dos diferen-tes sistemas ingleses de unidades que se utilizan comnmente en ingeniera.Estos sistemas tienen su origen en la segunda ley de Newton del movimiento:

*Las form as del operador gradienteen sistemasde coo rden adas rectangulares,cilndricas y esfricas,aparecen en el Apndice B.


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Unidades 31L a fuerza es igual a la rapidez de cambio del momento con respectol tiempo.Al definir cada uno de o s trminos de esta ley e ha establecido una relacindirecta entre las cuatro cantidades fsicas bsicas usadasen mecnica, que son:la fuerza, la masa, la longitud y el tiempo. I\ causa de esta seleccicin arbitrariadedimensionesfundamentales, se hanoriginadoalgunasconfusionesen eluso de los sistemas ingleses de unidades. La adopcibn del sistema de unidadesSI como norma en todo el mundo servir para superar estas dificultades.La relacin entre fuerza ymasa se puede expresar por medio del siguienteenunciado de la segunda ley de Newton del movimiento:

donde g, es un factor de conversibn que se incluy para hacer la ecuacinconsistente en cuanto a dimensiones.En el sistema SI, la masa, la longitud y el tiempo, se toman como unida-des bsicas. Las unidades bsicas son: la masa en kilogramos (kg), la longituden metros (m) yel tiempo en segundos (seg).L a unidad correspondiente parala fuerza es el newton (N ) . Un newton es la fuerza quese necesita para aceleraruna masa de un kilogramo cona rapidez deun metro por segundo por segundo( lm/seg ). E1 factor de conversin,g,, es entonces,gual a un kilogramo metropor newton por segundo por segundo 1 kg. m/n s e g 2 ).En la prctica ingenieril, la fuerza, la longitud y el tiempo se escogenrecuentemente como unidades fundamentales. Usando este sistema,a fuerzase expresa en libras fuerza (lbf), a longitud en pies ( t ) y el tiempo en segun-dos. La unidad correspondiente para la masa ser aquella que sea aceleradacon la rapidez de 1 ft/(seg) por 1 lb,.Estaunidadde masacuyasdimensionesson(lb,) (seg)2/(ft) e llamaslug. Entonces el factor de conversibn g , es un factor de multiplicacin paraconvertir slugs en (lb,) (seg)2/(Et), s u valor es 1 (slug) (ft)/(lb,)(seg)2.Tambin se encuentra un tercer sistema en la prctica ingenieril, que in-cluye las cuatro unidades fundamentales. L a unidad de fuerza es 1 lb,, la demasa 1 lb,, la longitud yel tiempo estn dadas en unidades deies y segundos,respectivamente. Cuando 1 lb, al nivel del mar se deja caer bajo la influenciade la gravedad, su aceleracihn ser de 32.1 74 (ft)/(s:eg). La fuerza que la gra-vedad ejerce sobre 1 lb,al nivel del mar se define como 1 lb,. Por lo tanto,el factor de conversibng,, para este sistema, es 32.1 74 (lb, )(ft)/(lb,)(seg)2.*En la Tabla 1.1 se proporciona un sumario de los valores de gc para estostres sistemas ingleses de unidades ingenieriles, junto con las unidades de lon-gitud, tiempo, fuerza ymasa.

*E n clculos subsecuentes com prendidos en este l ibro,& ser redondeado al valor de 3 2 .2 lb, ftlsegzlbf.


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32 Conceptos y def inic ionesYa que los tres sistemas son de uso comn en la literatura tcnica, elestudiante debe ser capaz de utilizar las frmulas en cualquier situacin par-ticular. En t o d o s los clculos se requiere de una verificacin cuidadosa de la

consistencia en cuanto a las dimensiones. El fac tor de conversin g,, relacio-nar correctamente las unidades que correspondan a un sistema. Los autoresno tratarn de incorporar el factor de conversin n ninguna de as ecuaciones;en cambio, se deja al lector la responsabilidad de utilizar unidades que seanconsistentes con todos os trminos de la ecu ac ih .T A B L A 1 . 1

Sis tema L o n g i tu d T i e m p o I>uerza Masa &1 Metro Segundoewton Kilogramo I k g . mN .S2 Pie Segundo lb f Slug

32.174 (Ib,)(ft)3 Pie Segundo lbfb, (Ib,)(s)*

P R O B L E M A S1.1 El nmero de molculas que atraviesa una unidad de rea por unidad detiempo en una direccibn est dado por:

N=' -I nvdonde n es el nmero de molculas por unidad de volumen y 77 la velo-cidad molecular promedio. Como la velocidad molecular es aproximada-mente igual a la velociad del sonido en ungas perfecto, calcule el nmerode molculas que atraviesaun hoyo circular de n. de dimetro. Su-pngase que el gas se encuentra en condiciones estndar. En condicionesestndar hay 4 X 1O2' molculas por in3.

1.2 Encuentre el gradiente de l a presiim en el punto (a, b ) , cuando el campode presiones est dado por:

donde val, a y b son constantes.1.3 Fhcuentre el gradiente de temperatura en el punto (a, 6 ) en el tiempo

t = (4L2/a)ln e cuando el campo de temperaturas est dado por


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Problemas 33T = ,,e w1/4I.J xsen- cosh:-'Ya li

donde To, , d y b son constantes.1.4 Son dimensionalmente homogneos los catmpos descritos en los pro-blemas 1.2 y 1.3?;Cules deben ser las unidades de p,, para que la presin est dada enlibras por pie cuadrado cuando u r nest dado en pies por segundo (pro-blema 1.2)?1.5 Guiles de las cantidades enumeradas a continuacin son propiedades

de flujo y cuiiles son propiedades de fluido?presin temperatura velocidaddensidadsfuerzoelocidad calorspecficoradientee p res ih

1.6 Demuestre que los vectores unitarios e , y e, en un sistema de coorde-nadas cilndricas estn relacionados con los; vectores unitarios e, y e ypor medio de:e , = e, cos 8 + e , sen I3e, = -e, sen@+e,COS 8

1 .7 Usando los resultados del problema 1.6, dernuestre que d e , / & ) = e o y d e1.8 Usando las relaciones geomtricas que aparecen continuacin y la regla, / d e = -er .de la cadena para l a diferenciacin, demuestrce que:

a sen8 a a-=-- -+cos 6-ax r a8 a rY

a cos 8 a aay r 30-+ seno-- a r

1.9 Transforme el operador V a coordenadas cilndricas (r, 8, z ) usando losresultados de los problemas 1.6 y 1.8.1.10 Para un fluido cuya densidad es p y en el cual se encuentran uniforme-mente dispersadas algunas partculas slidas cuya densidad es p,, demues-


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34 Conceptos y def inic ionest r e que si x es la fraccihn de masa de s6l ido en l a mezcla, l a densidad e s t idada por:

1 . I 1 En campo escalar est dado por la funcibn 4 = 3 x 2 y + 4 y 2 .(a) Encuentre V4 en el punto (3,j).(b) Encuentre la componente de V + que forme un ngulo de -60" conel eje x sobre el e.je x.1.12 Si el fluido del problema 1.lo, cuya densidad es p , obedece la ley de

l o s gases perfectos, obtenga l a ecuacin de estado de la mezcla, o seaP = ~ ( P , ~ ,R T I M ) , mr ) . ;Ser vAlido este resultado si se encuentra pre-sente un lquido en lugar de un slido?1.13 Usando l a expresin para el gradiente en coordenadas polares, (ApndiceA), encuntrese el gradiente de +(r, 0 ) cuando

LDnde es mximo el gradiente? Los trminos A y a son constantes.


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2ESTATICA DE FLUIIDOS

Ya en el Captulo 1 se v io la definicin de 'una variable de fluido en unpunto. En este captulo se estudiar la variacin de una variable particular, lapresin, de un punto a otro, de un fluido en reposo.Con frecuencia, en un fluido estacionario que se encuentre sobre la su-perficie terrestre, se hallar una situacin esttica. Aunque la Tierra tiene mo-vimiento propio, es correc to, dentro de los lmites normales de la exactitud,despreciar la aceleracin absoluta del sistema de coordenadas que, en esta si-tuacin, permanece fijo con respecto a la Tierra. Un sistema de coordenadascomo ste se denomina sistema inercial de referencia. Si por el contrario, elfluido es estacionario con respecto a un sistema de coordenadas que posea unaaceleracin se llama no inercial. Un ejemplo de este ltimo sera l fluido con-tenido en un carro tanque de ferrocarril alviajar a. lo largo de una parte curva

de la va.La aplicacin de la segunda l e y de Newton del movimiento a una masafluida fija, se reduce a la expresin que establece: que la suma de las fuerzasexternas es igual al producto de la masa y la aceleracin. En el caso de un sis-tema inercial, desde luego se tendra la relacin: x F = O ; en tanto que la re-lacin ms general,x F = ma debe usarse para el caso n o inercial.2.1 V A R l A C l O R l D E P R E S I O N E N U N FLUIDO1 E S T A T I C O

A partir de la definicin de fluido, se sabe que no se puede existir nin-gn esfuerzo cortante en un fluido en reposo. Esto significa que las nicasfuerzas que actan sobre el fluido sonas debidas :2 a gravedad y a la presin.Como la suma de las fuerzas debe ser igual a cero en todo el fluido, se puedesatisfacer la ley de Newton aplicndola a un cuerpo arbitrario libre, de fluido35


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36 Esttica de f luido sde tamaiio diferencial. E1 cuerpo libre que se seleccioni) aparece en la l ig ura2 - 1 J. es el elemento de fluido AxAyAz que tiene uno de s u s vbrtices en elpunto xyz. I.:l s i s t e m a x ~ ~ zs inercial.

Figura 2.1 l uerz a s de presi6n sob re un elemento esttico fluidoL a s presiones q u e actan sobre las di\.ersas caras del elemento estn nu-mera c la s tlel l al 6 . Para encontrar la suma de l a s I'uerzas que actan sobre el

elemento, se debe primero evaluar la presihn sobre cada una de las caras.Designaremos a la presihn de acuerdo con la cara tlel elemento sobre lacual cta. Por e j e m p I o , P , P I P2= J. as ucesinmente. Calculandolas fuerzas que actan sobre cada una de las caras, ademis de la fuerza debidaa la gravedad que acta sobr e el elemento p g Ax Ay Az, se 1.w; que la suma delas fuerzas es :

Si se divide entre el volumen del elemento AX Ay Az, se observa que laecuacicin anterior se convierte en:

donde se ha invertido el orden de los trminos que indican presibn. A l tender;I cero el tamao del elemento, A, , A,, y 4 tambidn tienden a cero J. el clc-mento tiende a l punto (x, , 2 ) . 1.h el lmite:


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Variacin de presin en un f lu ido estt ico 37aP aP aPax ay a2pg=-e,+-e, + - e , (2-1)

Al recordar la forma del gradiente, se puede escribir la ecuacibn ( 2 - 1 ) en laforma:p g = V P ( 2 - 2 )

La ecuacin (2-2) s la ecuacin bsica de la esttica de fluidos estableceque la mxima rapidez de cambio de la presibn ocurre en la direccibn del vec-tor pv i t ac ibn . Adems, ya que as isolneas son perpendicularesal gradiente,las lneas de presi6n constante son perpendiculares al vector gravitacibn. L avariacin de presibn de un punto a otr o se puede obtener integrando la ecua-cibn (2-2).EJEMPLO 1

I:.l manmetro, instrumento que se utiliza para medir la presin, puede analizarse apartir del estudio previo. C1 tipo de manmetro ms sencillo es el d e tub o U , que apareceen la figura 2-2 .

Fluidocontenido en el tanque - p T Fluido del rnanmetro -p,Figura 2 . 2 Un manmetro de tubo U.

Se va a medir la presin del tanque en el punto . 1-1 fluido del tanque llega al manmetrohasta el punto R. Si escogemos el eje 1' en la direccin marcada en la figura, observamosque la ecuacin ( 2 - 2 ) se convierte en:d P-ey = -pge,dY

Si se integra en el fluido del manmetro entre los puntos C y n, e obtendr


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38 Esttica de fluidosY despus integrando entre los puntos H y A que se encuentran en el tanque de fluido, re-sultar:

Ya que el principio de Pascal establece que la presin en un mismo fluido en reposoes la misma en todos los puntos que enga la misma elevacin, podemos combinar la ecua-cin anterior para obtener:

El manmet ro de tubo U mide la diferencia que existe entre as presiones absolutay atmos-frica. Esta diferencia se denomina p res i bn rnanomtrica y con frecuencia se utiliza en lamedicin d e presiones.

EJEMPLO 2En la esttica de fluidos de los gases se necesita una relacin entre la presin y ladensidad para integrar la ecuacin ( 2 - 2 ) . El caso ms sencillo es el del g a s perfecto isotr-mico,donde P= p R T / M . Aqu, R es la constante universal de los gases,M el peso moleculardel gas y T la temperatura, que en este caso es constante. Escogiendo el eje y paralelo a g,se observar que la ecuacin (2-2) se transforma en:

Si se separan as variables, se observar que la ecuacin diferencial anterior queda:

Al integrar entre y = O (dondeP = patm) y = y (dond e la presin es P ) , e obtiene

O

En los ejemplos anteriores aparecieron en los resultados la presin at-mosfrica y un modelo de variacin de la presin con la elevacibn. Ya que eldesempeo de los aviones, cohetes y diversos tipos de maquinaria industrialvara con la presibn, la temperatura y la densidad ambientales, e ha fijado unaatmsfera estndar para poder evaluar correctamente dicho desempeo. Alnivel del mar las condiciones atmosfricas estndar son:


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Acelleracin rectlineauniforme 39P = 29.92 in. Hg= 21 16.2 Ibf/ft2 14.696 1bf/in.*= 101 325N/mZT=519"R=59"F=288Kp = 0.07651 lb,/ft3 = 0.002378 slug/ft3= 1 ; 26 k g / m 3

En el Apndice G * aparece una tabla de 1a.s propiedades atmosfricasestndar en funcin de la altitud.

2 . 2 A C E L E R A C I O NR E C T l L l N E A U N I F O R M EEn el caso en el queel istemadecoordenadasqueapareceen la

figura 2.1 no sea inercial, l a ecuacin (2-2) no ser vlida. En el caso de la ace-leracin rectilnea uniforme; sin embargo, el fluido se encontrar en reposocon respecto al sistema acelerado de coordenadas.. Si se tiene una aceleracincocstante se podr aplicar el mismo anlisis que en el caso del sistema inercialdecoordenada,exceptoporque C F = m a = p n x n y n z a , como la estipula lasegunda le . de Newton del movimiento. El resultado ser:V P = p ( g - a ) ( 2 - 3 )

La mxima rapidez de cambio de la presin se encuentra ahora en la di-La variacihn de la presin de un punto a otro se obtiene integrando lareccii~n -a y las lncas de presi6n constante sonperpcndiculares a g-a.ecuacin (2-3).

EJEhlPLO 3En a figura (2-3) apareceun anqueconcom bustible. Si se aplicaal anque unaaceleracin constante hacia la derecha 2Cul ser la presin en el pun to B? D e la ecuacin

( 2 - 3 ) se deduce que el gradiente de la presin est en la direccin g-a por lo tan to la su-perficie de l fluido ser perpendicular a esta direccin.V e n t i l a

I

Figura 2.3 Tanque de comb ustible en reposo*Estas cond iciones estndar de desempeo al nivel del ma r no deben confundirse con las condicionesestndarde la ley de losgases, de: P=29.92 in; Hg= 14.696 lb/in* =lo1 325 Pa;T=492 R=3Z0F = 2 7 3 O k .


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40 Esttica de fluidos1;scogiendo el eje , I ' de tal manera que quede paralelo a g- a se observa que la ecuacicin(2-3) se puede integrar entre el punto H y la superficie. E.l gradiente de la presin se con-vierte en d p / d y e y, seleccionando el e,je y paralelo a g--a conlo puedeverse en l a figura 2.4.As:

d P-ey = -p lg-ale, = - p & G F e ,dYLa integracin entre los puntos = O e 1' = a ' , da:

OPH P a , , = pJRz+a'(d)

Figura 2.4 Tanque de combustible uniformemente aceleradoLa profundidad del fluido d , en el punto H, e determina a partir de la geometra del tan-que y del ngulo 6.

2.3 F U E R Z A S S O B R E L A S S U P E R F I C I E S S U M E R G I D A S-La determinacihn de las fuerzas q u e actan sobre las superficies sumer-gidas se realiza frecuentemente en estitica de fluidos. \-a que estas I'uerzas sedeben a l a presin, se usarn las relaciones que describen la v-ariacibn d e lapresin de un punto a otro y que se han desarrollado en secciones anteriores.

L a superficie plana mostrada en laigura 2.5 est inclinada formando un nguloa con la superficie del fluido. E l rea del plano inclinado es A y l a densidaddel fluido, p.

I,a magnitud de la fuerza sobre el elemento d A es P,dA, donde 1% c s 1:1presihn manomtrica ;PC = -pgy =pgq sen O , dando como resultado:d F = pgr) sin CY d A


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Fuerzas sobre las superficies sumergidas 41

Figura 2.5 Superficie plana sumergidaSi se integra sobre la superficie d e la placa, se obtiene

La ttefinicibn de centroide deArea es:

Por e s t o , la fuerza debidaa la prcsi6n e s igual a la prcsihn cvaluacla c n elcentroide del rea sumergida, multiplicada por el rea sumergida. 1 1 punto enel que acta esta fuerza (centro de presiim) no es el centroide del Arca. Paraencontrar el centro de presihn, deber encontrarso el punto en cl que debeestar concentrada a fuerza total e,jercida sobre laplaca para producir el m i s m omomento que a presibn disrr ibui t la , o sea:

Substituyendo la presihn, queda:

FqC+ /A pg sin CY q 2dA


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42 Esttica de fluidos

1%p. =- 7) dA=-I a a'477f A (2 -5 )

El momento del rea cerca de la superficie se puede trasladar de un eje aa lo-calizado en la superficie del fluido, a un eje bb que pase por el centroide, pormedio de:Z a a = Ibb i-j Ay as:

12l centro de presi6nse encuentra bajo el centroide a una distanciaE J E MP L O 4

S e va a coloc ar una ventana circular de observac in a 1.5 ft . bajo la superficie de untanque tal co m o aparecen en la figura 2.6. Encu entre la magnitud y la localizacin de lafuerza que acta sobre la ventana.

Figura 2.6 Ve ntan a sumergida

La fue rza qu e acta so bre la ventana es:

donde :F'= p g sen cy A7)

(Y =IT/? Y 7 ) = 1 . S f t ;la fuerza es:

F = p g A r ) = - (62.3 lb,/ft')(32.2 ft/s')(rr/4 f 1 . S ft)3 2 . 2 Ib,ft/s2 lb,= 7 3 . 5 lb, ( 3 2 7 N)


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Fuerzas sobre las superficies sumergidas 43EJEMPLO 5

Se ha ido almacenando el agua de lluvia detrs de l muro de concentracin que apa-rece en la figura 2.7. Si la tierra saturada con agua (gravedad especfica 2.2) acta comofluido, determine la fuerza y el centro de presin en una porcin de un metro dea pared.

Figura 2.7 Muro de contencin

S O L U C IO NL a fuerza ejercida sobre a pared se obtiene integrando la presin. Tomando el origenen la parte superior de la pared, la fuerza de la presin es:

de manera que:- 1

F = [ ; Y P d l ) d Y = P H d [ ld Y + 2 . 2 l ; Y d Y ]F = ( 1 0 0 0 k g / m ) ( Y . 8 0 7 m / s ) ( l m)(17m2)= 166700N(374801bs)

E1 centro de presin de la pared se obtiene tomando los momentos cercanos a laparte superior de la pared.

= L 7 0 0 N ( I O 0 0 kg/m3)(Y.8O7 m/s)(l m)(-47.27 m)=-2.78 m( - C) .12 f t )Se puede encontrar la fuerza que acta sobre una superficieurva surner-gida a partir del conocimiento que se tiene acerca de l a fuerza sobre una S U -pericie plana y de las leyes de la estlitica. Ilstudiemos la superficie curva B C ,de la figura 2.8.


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44 E s t i t i c a de fluidos

Figura 2 . 8 Superficie curva sumergida

I , a fuerza del lquido sobre la placa curva e s el ncgati\-o de l a expresihn ante-rior, o sea: W + F,, . Por l o tanto, la I'uerza ejercida sobre una superficie curvasumergida pucde obtenerse ;I pa r t i r del peso s o b r e el \,olumt.nHCO y la fuerzae, jercida sobre una superficie plana ulnergida.

d F = (P i- P2)d A e, -p,gh d A e,.


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F l o ta c i n 451,a integraci0n sobre el volumen del cuerpo, suporliendo q u e las densidadess o n constantes, da como resultado:

I;igura 2 . 9 I'uerzas que actlan en un volumen sumergidodonde I.'c's el voluruen del cuerpo. l,a I'uerm resul t ante , I:, e s t & l'ormatla pordos partes: el peso - -p ,gVe , y la l'uerza hoyante pgve, . l l cuerpo sure la ac-cibn de una l'ucrza hacia arriba igual al peso del f l u i d o cksplazado. liste es elconocido principio dc .Irqumcdcs. Cuando p >pB. la I'uerza resultante harhque el cuerpo Ilote en la superlicie. 1:n el caso t ie un cuerpo que est; Ilotando,la fuerza boyante es pgV,e,, donde 1.: es el volumen sumergido.

Un cubo de 1 ft por lad o e encuentra sumergido de t:xl manera que su cara superiorest a 10 ft bajo la superficie libre del agua. Determnese la magni tud y direccin de lafuerza necesaria para mantener el cubo en esta posicin, si dicho cubo est hecho de:

(a) corcho ( p = 1 0 b,,,/ft3)(b) acero ( p = 490 Ib,,/ft')Las fuerzas debidas a la presin se cancelan en todas las superficies aterales del cubo,pero las que actan en las caras superior e inferior no se cancelan porque stas se encuen-tran a diferentes profundidades.Sumando las fuerzas que actan en direccin vertical, e obtiene:

donde k , es la fuerza adicional requerida para rnantcner en posicin al cubo.tiene, para el equilibrio de nuestras fuerzas,kixpresando cada una de las presiones en la forma Pa , ,+p wg h , y W como p,gV, se ob-


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46 Esttica de fluidos-pcgv+p,g ( 1 1 ft)(l ft2)-pwg (lOft)(l ft2)+Fy = o

S e ve que el primer trmin o es una fu erza boy ante igual al peso d el agua desplazada.Fin alm en te, resolviendo la ecuaci n para Fy,e obt iene :

(a) pc= 10 lb,/ft3F = - (6 2. 4 lb,/ft3)(32.2 ft/s2)(1 ft)+(101b,,,ft3)(32.2 ft/s2)(1 ft)32 .2 Ib,,,ft/sz b, 32 .2 lb,,, ft/s2 lb,

= -52.4 lb, (hacia aba jo) (-233 N)(b) pc= 490 Ib,/ft3

= -( 62 .4 lb,/ft3)(32.2 ft/s2)(1 ft) (4 90 lb,,,/ft3)(32.2 ft/s2)(1 t)Y +32.2 lb, ft/s2 lb, 32 .2 lb, ft/s2 lb,

= +427.6 lb, (hacia arriba) (1902 N)I-nel caso (a), la fuerza boyan te fue ma yor que elpesodel cub o, demanera que, paramantenerlo sumergido a 10 ft ba jo la superficie, se requiri una fuerza hacia abajo ma yorde 5 2 lb. En el segundo ca so, el peso fue superior a la fuerza boya nte y se necesit unafuerza que actuara h acia arriba.

2 . 5 C O N C L U S I O NEn esta captulo hemos examinado el funcionamiento de la esttica defluidos. La aplicacin de las leyes de Newton del movimiento llev a la des-cripcin de la variacin de presihn en un fluido, de un punto a otro , a par tirde la cual se obtuvieron relaciones de fuerza. Se han estudiado aplicacionesespecficas, incluyendo los manhmetros, las fuerzas en un plano, las super-ficies curvas sumergidas y la flotacin de los objetos susceptibles de flotar.Los anlisis estticos que se han realizado se vern despus como casosespeciales de relaciones ms generales que rigen el comportamiento de l o sfluidos. Nuestra pr6xima tarea ser examinarel comportamiento deos fluidosen movimiento y describir el efecto de dicho movimiento.Se necesitarn otras leves fundamentales adems de las de Xewton paraeste anlisis.

P R O B L E M A S2.1 ?,Cud sera la altura de l a atmOsfe1-a si fuera incompresible? Utilice con-2.2 El mdulo global, p, de una substancia, est dado por p = dP / (dp /p ) .diciones estndar para determinar a densidad del aire.Calcule 0correspondiente a un gas perfecto.


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Problemas 472.3 En el agua, el mdulo 0,definido en el problema 2.2 es casi constante ytiene un valor de 300,000 psi. Determine el porcentaje de cambio devo-lumen en elagua debido a una presin de 2000psi.2.4 Encuentre la presin enel punto A

M e r c u r i o'2.5 El carro que aparece en la figura est uniformemente acelerado haciala derecha. 2Hacia dnde se mover el globo con relacin al carro?Agua

2.6 El tanque est uniformemente acelerado hacia arriba. 2Subir o bajarel nivel del manmetro?

2.7 Se van a instalar en un acuario ventanas de vidrio para poder observarlos peces. Cada ventana ser de 0.6 m de dimetroestar centrada a 2mpor debajo del nivel del agua. Encuentre la fuerza que acta sobrea ven-tana y diga en qu lugar acta.2.8 Cierto da la presin baromtrica al nivel del mar es de 30.1 in de Hg. yla temperatura es de 70 F. El manmetro de un aviGn en vuelo indica


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48 Esttica de fluidosque hay una presibn de 10.6 psia y la lectura tiel term0metro e s -1.6" I .Calcule, l o mis exactamente posible, la altitud del a\zihn sobre el niveldel mar.

2.9 Seutiliza un manOmet1-o diferencial para medir el cambio d e presiGnocasionado p o r una rcduccihn de flu.jo en el sistema cle tubos que spa-rece cn la I'igura. Determine la dil'erencia de presihn entre l o s puntos AJ. B en libras por pulgada cuadrada. ;Cui1 secciOn tiene l a presihn m isalta?

2.1 O E1 extremo abierto d c un tanque cilndrico de 2 't de tliimetro y 3 f t dealtura est5 sumergidoen agua, como puede \ .erst en la figura. Si el tanquepesa 2 3 0 I t ) , ?.a qu6 prol'undidad, 12, se sumcrgirri el tanque? 1,a presihnharomtrica local es de 14.7 psia. Se tlespreciari el grosor de la pared d e ltanque. 2Qu uerzaadicional se requiereparaque la partesuperiordel tanque quede al mismo ni\.el que la superficie del agua?

2.1 1 En el problema anterior, 2.1 O, encuentre la prol'undidada la cual la fuer-za neta sobre el tanque es nula.2.1 2 Encuentre el valor mnitno de h para el cual la compuerta que se v e enla figura girar en direccihn contraria a las rnanecillas del reloj, si la sec-ci6n transversal de la compuerta es (a) rectangular, de 4 ft X 4 i t ; (b)triangular, de 4 ft de base X 4 f t de altura. Desprecie l a fricci6n.


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Problemas 49

2.13 Un trozo cbico de madera cuyo permetro tiene una longitud L , lotaen agua. La gravedad especfica de la madera es de 0.90. 2Qu momentoM se requiere para sostener al cubo en la posicin que se ve en la figura?La arista derecha del cubo est al nivel del agua.

2.14 Se va a usar un tronco circular como barrera, en la forma que muestrala figura. Si el punto de contacto es O, determine la densidad que debetener el tronco.

2.15 Un cubo rectangular de concreto de ft X 4 ft.X 6 in tiene su lado de 6 insemi enterrado en el fondo de un ago de 23 pies de profundidad. ZCuIes la fuerza que se necesita para liberar al cubo del fondo? iQu fuerzase requiere para mantener el bloque en esta posicin? (El concreto pesa150 Ib/ft3)2.16 La compuerta del vertedor de una presa contiene agua con una profun-didad h. L a compuerta pesa 500 Ib/ft y tiene una bisagra en A . iA quprofundidad delagua subir la compuerta permitiendoa salidad del agua?


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50 Esttica de fluidos

t+ o t " 42.17 Se ,$esea utilizar una pelota de playa de 0.75 m de dimetro para tapar

tl desage de una piscina. Obtenga una expresin que relacione el di-metro, D, el desage y la altura mnima, h , del agua para la cual la pe-lota permanezca en su ugar.

2.1 8 Si la densidad del agua de mar se logra calcular aproximadamente pormedio de la ecuacin de estado p = po exp [(p patm)/p)] , donde (.? es lacompresibilidad, determnese la presin y la densidad en un punto loca-lizado a30,000 ft bajo a superficie del mar. Suponga que.?=00,000 psi.2.19 El cambio en la densidad debido a la temperatura hace que las velocida-des de despegue y aterrizaje de l o s vehculos areos y ms pesados que elaire aumenten en proporcin al cuadrado de la temperatura 2Qu efec-to tienen los cambios de densidad inducidos por la temperatura sobrela potencia de despegue de os vehculos rgidos ms igeros que el aire?2.20 Encuntrese una expresin que corresponda a la fuerza boyante que ac-tasobreunobjetosumergido en un luidoque ieneunadensidad

2.21 La materia es atrada hacia el centro de la tierra con una fuerza propor-cional a su distancia radial del centro. Usando el valor conocido deg enla superficie, donde l radio es de 6,330 km, calcule la presin en el cen-tro de la tierra, suponiendo que el materiale comporta como un lquidoy que la gravedad media especfica es 5.67 (para comodidad se puedeconsiderar un tubo de dimetro constante en lugar de un segmento es-frico). Obtngase primero una frmula en smbolos antes de substituirvalores numricos.

P = d Y ) .


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Problemas 512.22 Un muro de contencin a prueba de agua, de 22 ft de altura, sirve dedique para un trabajo de construccin. Los 1 2 f t superiores que se en-cuentran detrs del muro consisten en agua de mar, cuya densidad es de

2 slugs/ft3 pero los 0 ftnferiores estn formados por una mezcla de lodoy agua, que puede ser considerada como un. fluido cuya densidad es de4 slugs/ft3. Calclese la carga horizontal total por unidad de ancho y alocalizacin del centro de presin medidodesde el fondo.


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3DESCRIPCION DE U N FLUIDOEN MOVIMIENTO

El desarrollo de una descripcin analtica de un fluido en movimientoebasa en la expresin de as leyes fsicas relacionadas con l flujo de fluidos, enuna forma matemtica apropiada. Por lo tanto, se expondrn las leyes fsicasnecesarias y se presentarn los mtodos utilizados para describir un fluido enmovimiento.

3.1 L E Y E S F l S l C A S F U N D A M E N T A L E SHay tres leyes fsicas fundamentales que, a excepcin de os fenmenosrelativistas y nucleares, se aplican a todos y cada uno de los flujos, indepen-dientemente de la naturaleza del fluido que se e:;t considerando. Estas leyesse encuentran en la lista que se proporciona a continuacin, con las denomi-

naciones de sus formulaciones matemticas.Ley' Ecua c i n

1. Ley de conservacin de la masa ecuacin de continuidad2. Segunda ley de Newton del movimiento teorema del momento3. Primera ley de la termodinmica ecuacin de la energaLos tres captulos siguientes estn dedicados exclusivamentel desarrollo

de una forma de estas leyes que resultepropiadal para suuso.*Adems de las leyes arriba citadas,e emplean ciertas relaciones auxiliareso secundarias en la descripcin de un fluido. Estas relaciones dependen de la*La segunda ley de a termo dinm ica tamb in es fund ame ntal para el anlisis $el movim iento de 10sfluidos, pero su consideracin analtica est ms all del alcance de la presen te obra .

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5 4 Descripcin de un fluido en movim ientonaturaleza del fluido bajo estudio. Desafortunadamente,a la mayora deestasrelaciones auxiliares tambin se les ha llamado leyes. Ya en nuestros estu-dios anter iores nos hemos topado con las leyes de Hooke, cog la ley de losgases ideales y con algunas otras, y aunque son precisas, slo son vlidas den-tro de un lmite restringido; su validez depende totalmente de la naturalezadel material del que se est tratando. As, en tanto que a algunas de las rela-ciones auxiliares que se utilizarn se les llamar eyes, el estudiante deberdistinguir la diferencia de alcance entre las leyes fsicas fundamentales y lasrelaciones auxiliares.

3.2 C A M P O S D E F L U J O D E F L U I D O S : R E P R E S E N T A C I O N E SL A G R A N G I A N A Y E U L E R I A N AEl trmino c am p o se refiere a una cantidad definida como funcin, antode la posicin, como del tiempo, en una regin dada. Existen dos formas di-ferentes de representar campos en la mecnica de fluidos: la representacinde Lag range y la de Eu l e r . La diferencia entre ambos enfoques est en la for-ma de identificar la posicin enel campo.En el enfoque Lagrangian0 se describen las variables fsicas para un ele-mento particular de dicho fluidol moverse a lo largo del flujo. Esta s la nota-

cin con la que estamos familiarizados en dinmica de partculas y de cuerposrgidos. En la representacin Lagrangiana, las coordenadas ( x , y, z ) son varia-bles dependientes. El elemento de fluido e identifica por medio de su posicinen el campo en un tiempo arbitrario, usualmente t = O. El campo de veloci-dad en este caso, e escribe en forma funcional , de la iguiente manera:v = v(a, b, c, t ) (3-1)

donde las coordenadas ( a , b, c ) se refieren a la posicin i n i c i a l del elementode fluido. Las otras variables de flujo de fluido, siendo funcin de as mismascoordenadas, se pueden representar de modo semejante. La notacin Lagran-giana se utiliza rara vez en mecnica de fluidos ya ue el tiempo de informacindeseado es usualmente elvalor de una ariable particular del fluido n un pu ntofijo de ste y no el valor de una variable experimentado por un elemento defluido a lo largo de su trayectoria.Por ejemplo: La determinacin de la fuerzaejercida sobre un campo estacionario en un campo de flujo, requiere del co-nocimiento de la presin el esfuerzo cortante en todosos puntos del cuerpo.La representacin Euleriana proporciona este tipo de informacin.

El enfoque Euleriano nos da el valor de la variable de un fluido en unpunto y en un tiempo determinados.El campo develocidad, en forma funcio-nal, se escribe de la siguiente manera:v = v(x, y, 2 , ) ( 3 - 2 )


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Flujos permanentes y no permanentes 55donde x, y , z , t , son tod as e llas variables independientes. En un punto par-ticular ( x * , ,, z , ) y en un tiempo t l , la ecuacin (3 -2 ) nos proporciona lavelocidad del fluido en ese lugar en el tiempo t , . En este texto se utilizarexclusivamente la notacin Euleriana.3 . 3 F L U J O S P E R M A N E N T E S Y NO PE R MANE .NT E S

Al adoptar la notacin Euleriana se percata. uno de que, en general, elflujo del fluido ser una funcin de las cuatro variables independientes (x, ,2, t ) .

Figura 3 . 1 Flujo variable con respecto a un sistema fijo de coordenadas.Si el flujo en todos los puntos del fluido e s independiente del tiempo,se le llama flujo p e r m a n e n t e . Si el flujo en un punto vara con el tiempo sele llama pujo no p e r m a n e t e . En algunos casos es posible reducir un flujo nopermanente a flujo permanente cambiando el marco de referencia. Tmese

como ejemplo un aeroplano que vuela con una velocidad constante vo , comopuede verse en la figura 3.1. Cuando se le observa desde el sistema fijo decoordenadas x , y, z , el patrn de flujo es no permlanente. El flujo en el puntoP, ue se ilustra, por ejemplo, variar al aproximrsele un vehculo.Ahora consideremos la misma situacin cuando se le observa desde elsistema de coordenadas x , , , el cualse mueve con una velocidad constanteu,, ,como se muestra en la figura 3.2.Ahora las condiciones de flujo son indepen'dientes del tiempo en todoslos puntos del campo de flujo y as, el flujo es permanente cuando se le ob-serva desde el sistema de coordenadas en movimiento. Siempre que un cuerpose mueve a travs de un fluido con una elocidad constante, el campo de flujo,puede transformarse de flujo no permanen te en flujo permanente, seleccio-nando unsistema de coordenadas que e encuentre fijo con respectol cuerpoen movimiento.

I l l


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5 6 Esttica de fluidos

't

Figura 3.2 Flujo constante con respecto a un sistema de coordenadas en mo-vimiento.E n las pruebas de m odelos que se realizan en el tne l del vien to, se uti-l iza este conc epto . Los dato s obte nido s en relacin con un mod elo estticoen un fluido en mo vim iento sern los mismos que los de un m ode lo mvil en unfluido esttico. Las simplificaciones f s icas, as com o las analticas que esta

transformacin logra, son considerables.Se utilizari esta transformacin cuan-do sea posible.

3.4 L l N E A S D E C O R R I E N T EUn concepto m uy til para describir el movim iento de un fluido es el de

l inea de corriente. Esta se d efin e com o a tangente al vector velocidad en cadauno d e los puntos del cam po de flujo. La f igura 3.3 mu estra el patrn de l -neas de corrien te para un flujo ideal que pasa por un o bje to cu ya figuraseasemeja a la de un baln de futb ol. En un flujo perm anente, ya que todos losvectores velocidad n o varian con el tiempo , la trayec toria de una particuladel f luido sigue una lnea de c orrien te, por lo tan to , una l nea de corriente es

Figura 3.3 Ejemplo de lneas de flujo.


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Sistemias y volmenes de control 57

la trayecto ria de un elem ento de fluido en la situacin descrita. E n un flujono permanente , los patrones que siguen las lneas de corrien te cam bian de uninstante a otro . As, la trayectoria de un ele m en to de fluido ser diferente dela de u na lnea de corriente en cualquier mom ento dado. La trayecto ria realde un elem ento de fluido al moverse a l o largo del flujo se den om ina l nea det rayector ia .Obv iamente, las l ne as de tray ecto ria y las l neas de corriente coincidennicamTnte en los flujos permanentes.Las lneas de corrien te son tiles para relacionar las comp onentes de lavelocidad del fluido con la geom etra del cam po de flujo. En un flujo bidime n-sional. la relacin es:

ya que la l neade corrien te es tangente al vector velocidad y sus com pon entesen x y en y son u , y u y . E n tres dimensiones resulta esta relacin:

L a utilidad de las relaciones anteriores es la ob ten cin de una relacinana ltica ent re las com pon entes de la velocidad y las del patrn de lneas decorriente.3.5 S I S T E M A S Y V O L U M E M E S D E C O N T R O L

Las tres leyes f s icas bsicas enunciadas en la seccin 3.1 se definen entrminos de un s is tema. Un sistema se define corr~o na porcin de materiacuya identidad permanece fija. Las leyes bsicassta.blecen la inte racc in de unsistema con sus alrededores. La sele cci n de l istema para la a plicacin d e estasleyes es m uy flexible y , en algunos casos, representa un problema complejo.CuaIquier anlisis que se realice utilizando una ley fundam ental debe estar deacuerdo con la designacin de un sistema esp ecfic o y la dificultad para en-contrar la solucin vara enorme men te con relacin al s istema escogido.Com o ejem plo, analcese la segunda ley de Ne wto n, F = ma. Los trmi-nos que sta incluye son los siguientes:

F = fuerza resultante ejercida sobre el sistema por los alrededores.m = masa del sistema.a = aceleracin del centr o de masa del sistema.En el sistema, que consta deun pistn y un cilindro , de l a figura 3 . 4 ,un sistema conveniente para ser a nalizad o, fcilm ente identifica ble en virtud


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58 Esttic: de fluidosde su aislamiento, es lamasademateriaencerrada por el pistn den tro delcilindro.E n el caso de la tober a de la figura 3.5 , el fluido que se encuentra dentrode sta cam bia cad a instante. D e este mod o, n diferentes m om entos, distintosfluidos ocupan la tobera.

Figura 3.4 Un sistema fcilmente identificable,

Fibmra 3.5 Volumen de control para el anlisis de flujo a travs de l a tobera.Un mtodo ms conveniente para nalizar la tobera sera el e considerarla regin limitada por la l nea puntead a. Dicha regin se denom ina vo lumen

de colttrol. Un volumende contro l es una regin del espacio a travs de lacual circula un fluido." L a movilidad ex trem a de los fluidos convierte en untrabajo tedioso a la identificacin de un sistema particular. El anlisis del m o-vimiento de un fluido se simp lifica grandem ente si se desarrollan las ley es f-sicas aplicables a un volumen de con trol (en el cual cam bie el sistema en cadam om ent o). El m to do del volumen de contro l salva los obstculos para iden-tificar el sistema. En los captu los subse cuen tes las leyes fsicas fundam entalesse convertirn del mtododel sistema al del volum en decontrol. El volumen decon trol que se seleccione puede ser tanto f inito como infinitesimal. De hech o,se obte ndr n las ecuaciones diferenciales de flujo de un fluido aplicando lasleyes fundam entales, utilizando olmenes de control infinitesimales.

* Unvolumen de contro l puede perman ecer fijo o moverse uniformem ente inercial) , o puede estaracelerad o (no inercial) . Aqu se conc eder la mayor impo rtancia a los volmenes inerciales controlados.


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OB SERVACION DE LA, MA SA:E,NFOQUE DE VOL UMEN DECONTROL

L a aplicacin inicial de las leyes fundam entales de la m ecnica de fluidosincluye la ley de la conservacin de la masa. E n este captu lo se obte ndr unarelacin integral que exprese la ley de la conservacin de la masa para un vo-lumen general de c ontrol. La relacin integral obten ida se aplicar a algunassituaciones que encontraremos a men udo en el flujo de fluidos.4.1 R E L A C I O N I N T E G R A L-. -

La ley de la conservacin de la masa establece que la masa no puede serni creada ni destruida. Con respecto a un volumen de control, se puede enun-ciar la le y de la conservacin de la masa en la forma siguiente:Rapidezelujoapidez de flujoapidezecumu-de salida de ma-easa al volu- lacin de laasasa, del volumenene controlentro delolu-de contro l men de control

= O

Va se ahora el volumen general de contro l localizad o en un camp o deflujo de un fluido, que aparece en la figura 4.1.Para el pequeo elemento de rea d A que se en cuen tra en la superficiede con trol, la rapidez de flujo de salida de la masa = ( p u ) ( d A cos B),donde d Acos 6' es la proy eccin del rea dA en un plano normal al vector velocidad, v,y 6 es el ngulo form ad o po r el vector v elocidad, v I el vector unitario norm ala dA y dirigido h acia afuera , n.Recordand o el lgebra vectorial, reconoceremos el prod ucto:p~ dA COS 8 = p d A v In1 COS 8

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60 Observa cin de amasa

como el producto escalar o punto:p ( v n) d A

que es la forma que se utilizar para designar la rapidez de flujo de salida atravs de d A . 1 o 0 , y el cos 8 es, por o tanto, negativo. As ,si la integral es:positiva, hay un llujo neto de salida de masa;negativa, hay un flujo neto de entrada de masa;cero, la masa que se encuentra dentro del volumen de control es cons-tante.La rapidez de acumulacin de masa dentro del volumen de control, sepuede expresar como:

y la expresibn integral que corresponde l equilibrio de a masa en un volumengeneral de control, se convierte en:

4.2 F O R M A S E S P E C I F I C A S D E L A E X P R E S I O N I N T E G R A LLa ecuaciiln (4-1) representa el equilibrio de la masa en su forma m isgeneral. Ahora se estudiarn algunas situaciones frecuentemente encontradasy en las que se puede aplicar la ecuacibn (4-1).


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Formas especficas de la expresin intregral 61

Figura 4.1 Flujo de un fluido a travs de un volumen d e con trol.Si el flujo es permanente en relacin con las coordenadas fijadas al volu-men de control, el trmino de acumulacin d / d t fjjC. ,dV, ser igual a cero.Esto se puede ver fcilmente cuando se 'recuerda que, debido a la definicinde flujo permanente, las propiedades de un campo de flujo no varan en eltiempo, de ah que la derivada parcial con respecto .al tiempo sea igual a cero.Por esto, para esta situaciim, la forma conveniente de la expresin de conti-nuidad es:

Otro caso importante es el de un flu.jo incompresible donde el volumendecontrolest lenodefluido. En unflujo ncompresible, l a densidad, esconstante, por lo que el tirmino de acumulacin que incluye a la derivadaparcial con respecto al tiempo, es , de nuevo, igual a cero. Adems, el trminode la densidad 'que aparece en la integral de superfi.cie, se puede cancelar. Laexpresin correspondiente a la conservacihn de la ]nasa para un flujo incom-presible de esta naturaleza, se convierte entonces,en:, I , . (v * n)dA = 0 (4-3)

Los siguientes ejemplos servirn para explicara aplicacibn de la ecuacibn(4-1) a algunos casos que se repiten con frecuencia, en la transferencia de mo-mento.EJEMPLO 1

Com o primer ejem plo , considrese la situacin ordinaria de un volumen de controlpara el cual los flujos de salida y entrada son permanentes y unidimensionales. Especfica-m en te, considrese el volumen de control indicad o por med io de lneas pun teadas en lafigura 4.2.Se puede usar la ecuacin (4-2). Com o la masa atraviesa la superficie de control sola-men te en las posiciones (1) y (2), la expresin es:


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62 Observac in de l a masa

Figura 4.2 Flujo perma nente unidimensional hacia adentro y hacia afuera deun volumen de control.El valor absoluto del pro ducto escalar, (v n) s igual a la magnitud de la ve locidad en cadauna de las integrales ya que los vectores velocidad, as com o los vectore snormales dirigidoshacia afuera, son colineales, tanto en ( 1 ) como en (2). E n (2 ) ambos vectores tienen elmismo sentido, por lo que este producto es positivo, como debe ser para un f lujo haciaafxera de masa. En (l), donde la masa f luye hacia el volumen de control , ambos vectorestienen sentido s opue stos, por lo que el signo es negativo. Ahora se puede expresar la ecua-cin de continuidad en form a escalar:

La integracin prod uce el resultado:

que nos es familiarAl obte ner la ecuacin (4 -4 ) puede verse que no se especific la situacin del flujodentro del volumen de control. De hech o, en esto consiste la belleza del enfoque de volu-me n de con trol, en que se puede analizar el flujo que est dentro del volumen de controla partir de la inform acin (medidas) obte nida en la superficie del volumen de control. Elvolumen de control de forma de ceja , que aparecen la figura 4.2 , se define con prop sitosana ltico s; el sistema real que se encue ntra contenido en esta caja pod ra ser tan sencillocomo un tubo o tan co mp lejo com o un sistema de propulsin o una to rre de destilacin.Para resolver el ejemplo 1 , se supuso que exi sta una velocidad constante en las sec-ciones ( 1 ) y (2). Esta situacin se pued e enfocar fsicamen te, pero el caso en que la velo-cidad vara en la seccin transversal del rea es un caso ms general.

EJEMPLO 2Estdieseahoraelcasode un flujo incompresibleparaelcualelrea de flujo escircular y el perfil de la velocidad es parablico (ver la figura 4.3) y vara de acuerdo conla e x p r e s i h :

= urnax [ - (31donde u,& es la velocidad mxima que exist e en el ce ntro del cond ucto circular (esto es,en r = O ) y R es la distancia radial hacia la supe rficie interior del rea circular bajo consi-deracin.


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Formas especficas de la expresin integral 63

Figura 4.3 Perfil parablico de velocidad en un conducto de flujo circular.La expresin anterior para el perfil de velocidad se puede obtener en forma experi-mental. Tamibn se obtendr tericamente en el Captulo para el caso de un flujoaminaren un conducto circular. Esta expresin representa la velocidad a una distancia radial r,

medida desde el centro de la seccin de flujo. Ya que la velocidad media es de particularinters en los problemas de ingeniera, ahora e estudiar la forma de obtener la velocidadmedia a partir de esta expresin.En la posicin en la que existe este perfil de velocidad, a rapidez de flujo de a masaes:

Para este Caso del flujo incompresible la densidad es constante. Despejando la velocidadpromedio tenemos:

En los ejemplos anteriores no nos interesabala composicin de las corrien-tes de fluido. La ecuacin (4-1)es vlida para corrientes de fluido que tenganms de un constituyente as como para los constituyentes individuales sepa-rados. Esta aplicacin tpica es comn a los procesos qumicos en especial. Elltimo ejemplo har uso de la ley de conservacin de la masa tanto para lamasa total como para una substancia particular, en este caso,al.EJEMPLO 3

Examinemos ahora la situacin que aparece en la figura 4.4. UTI tanque contieneinicialmente 1,000 kg de una solucin salina que contiene 10%de sal por unidad de masa.Una corriente incidente de solucinalina que contiene20% de sal por unidad de masa, fluyehacia el tanque con una rapidez de 20 kg/min. La mezcla que se encuentra dentro del tan-que se mantiene uniforme agitndola. Se extrae la solucin salina del tanque por medio eun tubo desalida con unarapidez de O kglmin. Encuntrese la cantidad de al que cont ieneel tanque en el tiempo t asi como el tiempo transcurrido cu:xndo a cantidad desal que hayen el tanque es de 200 kg.


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6 4 Observacin de la masa

Tanque, contenido inicial 1 0 0 0 k g

Figura 4.4 Proceso de mezclado.Primero se aplicar la ecuacin (4-1)para expresar la cantidad to ta l de solucin salinacontenida en el tanque, como funcin del t iempo.Para el volumen d e contro l en cu esti n:

[I.,. ( v . n ) d A = 1 0 - 2 0 = - 1 0 k g / m i ndM =- M - 1000)dt

donde IZI es la masa tot al de solucin salina que se encuentra en el tanque en cualquiermom ento. Escribiendo la ecuacin completa se tendr:

Separando variables y despejando a M , se obtiene:M = 000+10t (kg)

Ahora, sea S la cantidad de sal que hay en el tanque en cualquier mom ento. La con-centracin de sal por p eso se p ued e expresar en la siguiente form a:S S kg salM - 1000+ 1 kg solucin

Usando esta definicin, podemo s ahora ap licar la ecuacin(4-1)a la

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