Voved vo matematika za in«â€eneri - ukim.edu.mk na golem broj...

download Voved vo matematika za in«â€eneri - ukim.edu.mk na golem broj in«â€enerski disciplini. Pri podgotovkata

of 305

  • date post

    20-Oct-2019
  • Category

    Documents

  • view

    15
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Voved vo matematika za in«â€eneri - ukim.edu.mk na golem broj...

  • Univerzitet ,,Sv. Kiril i Metodij”, Skopje Fakultet za elektrotehnika i informaciski

    tehnologii

    Sonja Gegovska-Zajkova, Katerina Ha i-Velkova Saneva, Elena Ha ieva, Marija Kujum ieva-Nikoloska, Aneta Buqkovska, Biljana Jolevska-Tuneska Biljana Naqevska-Nastovska, Vesna Andova,

    Sanja Atanasova

    Voved vo matematika za in�eneri

    Skopje, 2017

  • Izdavaq:

    Univerzitet ,,Sv. Kiril i Metodij” vo Skopje Bul. Goce Delqev, br. 9, 1000 Skopje

    www.ukim@ukim.edu.mk

    Urednik za izdavaqka dejnost na UKIM:

    prof. d-r Nikola Jankulovski, rektor

    Urednik na publikacijata: S. Gegovska-Zajkova, K. Ha i-Velkova Saneva,

    E. Ha ieva, M. Kujum ieva-Nikoloska, A. Buqkovska, B. Jolevska-Tuneska,

    B. Naqevska-Nastovska, V. Andova, S. Atanasova,

    Fakultet za elektrotehnika i informaciski tehnologii, Skopje

    Recenzenti:

    1. D-r Boro Piperevski, redoven profesor vo penzija

    2. D-r Lazo Dimov, redoven profesor vo penzija

    Tehniqka obrabotka: Avtorite

    Lektura na makedonski jazik: Lenka Panqevska

    CIP - Katalogizacija vo publikacija Nacionalna i univerzitetska biblioteka ,,Sv. Kliment Ohridski”, Skopje

    51-74(075.8)(076)

    VOVED vo matematika za in�eneri / [avtori Sonja Gegovska-Zajkova . . . i dr.]. - Skopje : Univerzitet ,,Sv. Kiril i Metodij” vo Skopje, 2018. - 302 str. : ilustr. ; 25 cm

    Avtori: Sonja Gegovska-Zajkova, Katerina Ha i-Velkova Saneva, Elena Ha ieva,

    Marija Kujum ieva-Nikoloska, Aneta Buqkovska, Biljana Jolevska-Tuneska,

    Biljana Naqevska-Nastovska, Vesna Andova, Sanja Atanasova

    ISBN 978-9989-43-408-2 1. Gegovska-Zajkova, Sonja [avtor] 2. Ha i-Velkova Saneva, Katerina [avtor] 3. Ha ieva,

    Elena [avtor] 4. Kujum ieva-Nikoloska, Marija [avtor] 5. Buqkovska, Aneta [avtor]

    6. Jolevska-Tuneska, Biljana [avtor] 7. Naqevska-Nastovska,Biljana [avtor]

    8. Andova, Vesna [avtor] 9. Atanasova, Sanja [avtor]

    a) Matematika - In�enerstvo - Visokoxkolski uqebnici - Ve�bi

    COBISS.MK-ID 107056138

  • Predgovor

    Ovaa zbirka rexeni zadaqi e nameneta za srednoxkolci i studenti

    od tehniqkite i prirodno-matematiqkite fakulteti, no mo�at da ja ko-

    ristat i in�eneri i qitateli koi imaat potreba i interes od povtoru-

    vanje i izuquvanje na najgolem del od srednoxkolskata matematika preku

    zadaqi.

    Vo zbirkata se obraboteni golem del od oblastite koi se izuqu-

    vaat vo srednoxkolskite matematiqki kursevi, a koi smetavme deka se

    najpotrebni za uspexno vkluquvanje vo nastavata na idnite studenti

    na tehniqkite i prirodno-matematiqkite fakulteti. Posebno vnimanie

    posvetivme na osnovnite funkcii: linearna, kvadratna, eksponencijalna,

    logaritamska i trigonometriski funkcii, kako i rexavanjeto ravenki,

    neravenki i sistemi od ravenki i neravenki, koi smetame deka se osnova

    na golem broj in�enerski disciplini.

    Pri podgotovkata na zbirkata, se obidovme zadaqite da gi podred-

    ime metodoloxki, a nivnite rexenija da gi izlo�ime detalno, xto ḱe

    ovozmo�i sekoj qitatel da gi sovlada bez pogolemi texkotii. So cel

    uspexno da se sledat rexenijata na zadaqite, na poqetokot na sekoja

    glava e daden kratok pregled od teorijata, kako xto se definicii, os-

    obini i poznati rezultati. Pokraj rexenite zadaqi, na krajot od sekoja

    glava se dadeni dopolnitelni nerexeni zadaqi so koneqni rexenija ili

    upatstvo za rexavanje, koi se nameneti za samostojna rabota na sred-

    noxkolcite, studentite i qitatelite. Zbirkata sodr�i i golem broj

    grafici so cel da se olesni izuquvanjeto na osnovnite funkcii.

    Im blagodarime na recenzentite prof. d-r Boro Piperevski i prof.

    d-r Lazo Dimov koi so svoite dobronamerni sugestii i zabelexki po-

    mognaa vo podobruvanjeto na ovaa zbirka zadaqi, kako i na m-r Jasmina

    Angelevska koja so vnimatelnoto qitanje na materijalot pridonese za

    otstranuvanje na nekoi grexki.

    Odnapred im blagodarime na site qitateli koi so svoi komentari,

    sugestii, posoquvanje na eventualni grexki i pofalbi ḱe pridonesat za

  • podobruvanje na ovaa zbirka rexeni zadaqi pri nejzinoto preizdavanje.

    Skopje, april 2017 godina

    Avtorite

  • Sodr�ina

    1 Broevi 6

    1.1 Realni broevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Kompleksni broevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2 Algebarski izrazi 40

    3 Linearni ravenki i neravenki Linearna funkcija 67

    3.1 Linearni ravenki. Sistemi od dve linearni ra- venki so dve nepoznati . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    3.2 Linearni neravenki. Sistemi od dve linearni neravenki so edna nepoznata . . . . . . . . . . . . . . 76

    3.3 Linearna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    4 Kvadratni ravenki i neravenki Kvadratna funkcija 90

    4.1 Kvadratni ravenki. Sistemi od edna linearna i edna kvadratna ravenka so dve nepoznati . . . . 90

    4.2 Kvadratna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.3 Kvadratni neravenki. Sistemi neravenki so edna

    nepoznata od koi barem edna e kvadratna . . . . . 103

    5 Iracionalni ravenki 112

    4

  • 6 Eksponencijalni i logaritamski funkcii, ravenki i neravenki 122 6.1 Eksponencijalna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.2 Eksponencijalni ravenki i neravenki . . . . . . . 125 6.3 Sistemi eksponencijalni ravenki i neravenki . 131 6.4 Logaritmi. Logaritamska funkcija . . . . . . . . 132 6.5 Logaritamski ravenki i neravenki . . . . . . . . . 138 6.6 Sistemi ravenki od koi barem edna e

    logaritamska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

    7 Trigonometrija 153

    8 Analitiqka geometrija vo ramnina 187 8.1 Dekartov pravoagolen koordinaten sistem . . . . 187 8.2 Prava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 8.3 Kru�nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 8.4 Elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 8.5 Hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 8.6 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

    9 Planimetrija i stereometrija 241 9.1 Planimetrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 9.2 Stereometrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

    10 Aritmetiqka i geometriska progresija 278

    11 Skiciranje grafici na funkcii so pomox na graficite na elementarnite funkcii 288

  • 1 Broevi

    1.1 Realni broevi

    Prirodni broevi. Princip na matematiqka indukcija

    Mno�estvoto prirodni broevi {1, 2, 3, 4, . . . } se oznaquva so N, a mno�estvoto N0 = N ∪ {0} = {0, 1, 2, 3, 4, . . . } se narekuva proxireno mno�estvo prirodni broevi.

    Broevite: 2, 4, 6, 8, . . . se parni broevi, a broevite: 3, 5, 7, 9, . . . se neparni broevi. Sekoj paren broj mo�e da se pretstavi vo oblik 2k, k ∈ N, a sekoj neparen broj vo oblik 2k − 1, k ∈ N ili 2k + 1, k ∈ N0.

    Proizvodot od prvite n prirodni broevi go oznaquvame so n! (se qita n faktoriel), t.e.

    n! = n(n− 1)(n − 2) · · · 3 · 2 · 1.

    Po definicija, 0! = 1. Jasno e deka va�i:

    n! = n(n− 1)! = n(n− 1)(n − 2)! = n(n− 1)(n − 2) · · · 3 · 2 · 1!.

    So principot na matematiqka indukcija mo�e da se doka- �e toqnosta na edno matematiqko tvrdenje za sekoj priroden broj n ≥ n0, n0 ∈ N, ako: 1) se poka�e deka tvrdenjeto e toqno za n = n0;

  • 1. Broevi 7

    2) od pretpostavkata deka tvrdenjeto va�i za n = k, k > n0, se poka�e deka va�i i za n = k + 1.

    Celi, racionalni i iracionalni broevi

    Mno�estvoto celi broevi {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . } se oz- naquva so Z.

    Mno�estvoto racionalni broevi gi sodr�i site koneqni decimalni broevi i site beskoneqni periodiqni decimalni broevi, t.e. broevite koi mo�at da se zapixat vo vid na dropka. Mno�estvoto racionalni broevi se oznaquva so Q. Znaqi,

    Q = { m

    n

    ∣ ∣ ∣ m,n ∈ Z, n 6= 0

    }

    .

    Vo mno�estvoto racionalni broevi se definira ednakvost, zbir (razlika), proizvod i koliqnik na sledniov naqin:

    1) m

    n =

    p

    q ako i samo ako mq = np, n 6= 0, q 6= 0;

    2) m

    n ± p

    n =

    m± p n

    , n 6= 0;

    3) m

    n ± p

    q =

    mq ± np nq

    , n 6= 0, q 6= 0;

    4) m

    n · p q =

    mp

    nq , n 6= 0, q 6= 0;

    5) m

    n : p

    q =

    m

    n · q p =

    mq

    np , n 6= 0, p 6= 0, q 6= 0.

    Mno�estvoto iracionalni broevi gi sodr�i site besko- neqni neperiodiqni decimalni broevi i se oznaquva so I. Pritoa va�i: Q ∩ I = ∅.

  • 8 Voved vo matematika za in�eneri

    Mno�estvoto ralni broevi se oznaquva so R i gi sodr�i site racionalni i iracionalni broevi, t.e. va�i:

    R = Q ∪ I.

    Za mno�estva N, Z, Q i R va�i:

    N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

    Za operacijata sobiranje na realni broevi ispolneti se slednive osobini:

    1) (komutativen zakon) (∀x, y ∈ R) x+ y = y + x;

    2) (asocijativen zakon) (∀x, y, z ∈ R) x+ (y + z) = (x+ y) + z;

    3) (postoenje neutralen element) (∃ 0 ∈ R)(∀x ∈ R) x+ 0 = 0 + x = x;

    4) (postoenje na inverzen element) (∀x ∈ R)(∃(−x) ∈ R) x+ (−x) = (−x) + x = 0.

    Neka x, y, z, v ∈ R. Ako x < y togax x+ z < y + z. Isto taka, ako x < y i z < v togax x+ z < y + v.

    Za operacijata