Vectores en El Plano
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Vectores en el plano
Un vector, , es un segmento con una
dirección que va del punto A (origen) al punto B
(extremo).
Un vector es un segmento orientado que
va del punto A (origen) al punto B (extremo).
Todo vector se compone de un módulo ,
una dirección y un sentido .
Dirección de un vector
Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier
recta paralela a ella.
Sentido de un vector
El sentido del vector es que va del origen A al extremo B .
Módulo de un vector
El módulo del vector
longitud del segmento AB , se
representa por .
El módulo de un vector es
un número siempre positivo o cero.
Módulo a partir de las
coordenadas de los puntos
Ejercicios
Calcular el módulo del vector:
Calcula el valor de k sabiendo que el módulo del vector = (k, 3) es 5.
Vectores y coordenadas
Coordenadas de un vector
Si las coordenadas de los puntos
extremos, A y B, son:
Las coordenadas del
vector son las coordenadas del
extremo menos las coordenadas
del origen .
Ejemplos
Calcular las coordenadas de un vector cuyos extremos son:
Un vector tienen de coordenadas (5, −2). Hallar
las coordenadas de A si se conoce el extremo B(12, −3).
Punto medio de un segmento
Ejemplo
Calcular las coordenadas del punto medio del segmento AB.
Tres puntos alineados
Los puntos A (x1, y1), B(x2,
y2) y C(x3, y3) están
alineadossiempre que los
vectores tengan
la misma dirección . Es decir si
sus coordenadas son
proporcionales .
Ejemplo
Hallar el valor de a para que los puntos estén alineados .
Simétrico de un punto
Si A' es
el simétrico de A respecto
de M, entonces M es elpunto
medio del segmento AA' .
Calcular el simétrico del punto A(7, 4) respecto de M(3, −11).
Ejemplo
Baricentro
Las coordenadas del
baricentro son:
Ejemplo
Dados los vértices de un triángulo A(-3, -2), B(7, 1) y C(2, 7), calcular
las coordenadas del baricentro .
División de un segmento
Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un
punto P de la recta que contiene al segmento AB , de modo que las dos
partes, PA y PB, están en una relación r:
Ejemplo
Calcular los puntos P y Q que dividen al segmento de extremos A(-1, -
3) y B(5, 6) en tres partes iguales?
Ejercicios
1. Dados los vértices de un triángulo A(1, 2), B(-3, 4) y C(-1, 3), hallar
las coordenadas del baricentro .
2. Hallar las coordenadas del punto C, sabiendo que B(2, −2) es
el punto medio de AC, A(−3, 1).
3. Averiguar si están alineados los puntos: A (- 2, - 3), B(1, 0) y C(6,
5).
4. Las coordenadas de los extremos del segmento AB son: A (2, - 1) y
B(8, - 4). Hallar las coordenadas del punto C que divide al segmento AB
en dos partes tales que AC es la mitadde CB.
5. Si el segmento AB de extremos A(1,3), B(7, 5), se divide en cuatro
partes iguales , ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de división?
6. Hallar el simétrico del punto A(4, -2) respecto de M(2, 6).
7. Dados dos vértices de un triángulo A(2, 1), B(1, 0) y
el baricentro G(2/3, 0), calcular eltercer vértice .
8. Dados los puntos A (3, 2) y B(5, 4) halla un punto C , alineado con A
y B, de manera que se obtenga
Tipos de vectoresVectores equipolentes
Dos vectores
son equipolentes cuando tienen
igual módulo, dirección y sentido .
Vectores libres
El conjunto de todos
los vectores
equipolentes entre sí se
llama vector libre . Es decir
los vectores libres tienen el
mismomódulo , dirección y
sentido .
Vectores fijos
Un vector fijo es un
representante del vector libre .
Es decir, los vectores fijos
tienen el
mismo módulo , dirección ,
sentido yorigen.
Vectores ligados
Los vectores ligados son
vectores equipolentes que
actúan en la misma recta. Es
decir, los vectores fijos tienen el
mismomódulo , dirección ,
sentido y se encuentran en la
misma recta.
Vectores opuestos
Los vectores
opuestos tienen el
mismo módulo , dirección , y
distinto sentido .
Vectores unitarios
Los vectores
untario tienen de módulo ,
la unidad.
Para obtener un vector
unitario, de la misma
dirección ysentido que
el vector dado se divide éste
por su módulo .
Vectores concurrentes
Los vectores
concurrentes tienen el
mismo origen.
Vector de posición
El vector
que une
el origen de
coordenadas Ocon
un punto P se
llama vector de
posición del punto
P.
Vectores linealmente independientes
Varios
vectores libres del
plano
son linealmente
independientes si
existe
una combinación
lineal de ellos que
sea igual al vector
cero, sin que
sean cerotodos
los coeficientes de
la combinación
lineal.
Vectores linealmente independientes
Varios
vectores
libres son
linealmente
independientes si
ninguno de ellos se
puede expresar
como combinación
lineal de los otros.
a1 = a2 = ···
= an = 0
Vectores ortogonales
Dos vectores
son ortogonales o
perpendicularessi
su producto
escalar es cero.
Vectores ortonormales
Dos vectores
son ortonormales s
i:
1. Su
producto
escalar es cero.
2. Los
dos vectores son
unitarios .
Ejercicios
Dado el vector = (2, - 1), determinar dos vectores equipolentes a
, , sabiendo que A(1, -3) y D(2, 0).
Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(-1,
-2), B(4, -1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.
Si es un vector de componentes (3,4), hallar un vector unitario de su
misma dirección y sentido.
Hallar un vector unitario de la misma dirección que el vector =(8, -6).
Hallar un vector unitario de la misma dirección del
vector .
Suma analitica y gráfica de vectores
Suma gráfica de vectores
Para sumar dos
vectores l ibres y se toman como
representantes dos vectores tales que
el extremo de uno coincida con
elorigen del otro vector.
Regla del paralelogramo
Se toman como representantes
dos vectores concurrentes , se
trazan rectas paralelas a los
vectores obteniéndose
un paralelogramocuya diagonal
coincide con la suma de los vectores.
Suma analítica de vectores
En la suma analítica de vectores se suman sus
respectivas componentes .
Resta de vectores
Para restar dos vectores
libres y se suma con el
opuesto de .
Ejemplo
Multiplicación de un escalar por un vector
La multiplicación de un número k por un vector es otro vector:
Con igual dirección que el vector .
Con el mismo sentido que el vector si k es positivo .
Con sentido contrario del vector si k es negativo .
De módulo
Las componentes del
vector resultante se
obtienenmultiplicando por
el escalar , k, por
las componentes del vector .
Ejemplos
Propiedades de la mutiplicación de un vector por un número
Asociativa
k · (k' · ) = (k · k') ·
Distributiva I
k · ( + ) = k · + k ·
Distributiva II
(k + k') · = k · + k' ·
Elemento neutro
1 · =
Distancia entre dos puntos
Ejemplo
Calcular la distancia entre los puntos : A(2, 1) y B(-3, 2).
Ejercicios
Determinar a con la condición de que los puntos A(0, a) y B(1, 2) disten
una unidad.
Probar que los puntos: A(1, 7), B(4,6) y C(1, -3) pertenecen a una
circunferencia de centro (1, 2).
Si O es el centro de la circunferencia las distancias de O a A, B, C y D
deben ser iguales
Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3, 0) y
C(0, 1).
Si:
Dependencia e independencia lineal
Combinación lineal de vectores
Dados los números a1, a2, ..., an y los vectores v1, v2, ..., vn, se
llama combinación lineala cada uno de los vectores de la forma:
Cualquie
r vector se
puede poner
com
ocombinació
n lineal de
otros dos que
tenga
ndistinta
dirección .
Dados los vectores , calcular el vector
combinación lineal
El vector , ¿se puede expresar como combinación lineal de
los vectores ?
Vectores linealmente dependientes
Varios vectores libres del plano son linealmente dependientes si
existe una combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero , sin que
sean cero todos los coeficientes de lacombinación lineal .
Propiedades
1. Si varios vectores son linealmente dependientes , entonces al
menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros.
Si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos
los vectores son linealmente dependientes .
2.Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si,
son paralelos .
3.Dos vectores del plano = (u1, u2) y = (v1, v2) son linealmente
dependientes si sus componentes son proporcionales .
Vectores linealmente independientes
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de
ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros.
a1 = a2 = ··· = an = 0
Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección .
Ejercicios
Estudiar la dependencia lineal de los vectores:
= (3, 1) y = (2, 3)
Linealmente independientes
Estudiar la dependencia lineal de los vectores:
= (x − 1, 3) y = (x + 1, 5)
Son linealmente dependientes para x = 4.
Estudiar la dependencia lineal de los vectores:
= (5, 3 − x ) y = (x + 9, 3x + 1)
Son linealmente dependientes para x = 1 y x = -22
Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados AB y
AC del triángulo: A(3,5), B(-2,0), C(0,-3), es paralelo al lado BC e igual a su
mitad.
Sistemas de referencia
Base
Dos vectores y linealmente independientes , con distinta
dirección , forman unabase, porque cualquier vector del plano se puede
poner como combinación lineal de ellos.
Las coordenadas del
vector respecto a la base son:
Ejemplos
Qué pares de los siguientes vectores forman una base:
Sistema de referencia
En el plano, un sistema
de referencia está formado por
unpunto O del plano y
una base ( , ).
El punto O del sistema
de referencia se llama origen.
Los vectores
linealmente
independientes , forman
la base.
Sistema de referencia ortogonal
Los vectores base son
perpendiculares y
tienen distinto módulo .
Sistema de referencia ortonormal
Los vectores de la base
son perpendiculares y
unitarios .
Se representan por las
letras .
Las rectas OX, OY se llaman ejes de coordenadas o ejes coordenados
cartesianos.
Ejecicios
Dados los vectores = (1, 4), = (1, 3) que constituyen una base.
Expresar en esta base el vector = (−1. −1).
(−1. −1) = a (1, 4) + b (1, 3)
−1 = a +b a = −1 −b a= 2
−1 = 4a +3b −1 = 4( −1 −b) +3b b = −3
= 2 − 3
Sean los vectores libres = (2, 1), = (1, 4) y = (5, 6).
Determinar:
1. Si forman una base y .
2. Expresar como combinación lineal de los de la base
3. Calcular las coordenadas de C respecto a la base.
Las coordenadas de respecto a la base son: (2, 1)
Dados los vectores:
= 3 + 2
= − 3
= 3 − 2
Calcular las coordenadas del vector respecto de la base ( , ).
= 3 − 2
= 3 + 2
= − 3
3 − 2 = 3 (3 + 2 ) − 2 ( − 3 ) =
= 9 + 6 − 2 + 6 = 7 + 12
Las coordenadas de en la base B son (7, 3) .
Un vector tiene de coordenadas (3, 5) en la base canónica. ¿Qué
coordenadas tendrá referido a la base = (1, 2), = (2, 1)?
(3, 5) = a (1, 2) + b (2, 1)
3 = a + 2b a = 3 - 2b a = 7/3
5 = 2a + b 5 = 2 (3 - 2b) + b b = 1/3
Las coordenadas de en la base B son (7/3, 1/3) .
Dados los vectores = (1, 4), = (1, 3) que constituyen una base.
Expresar en esta base el vector = (−1. −1).
(−1. −1) = a (1, 4) + b (1, 3)
−1 = a +b a = −1 −b a= 2
−1 = 4a +3b −1 = 4( −1 −b) +3b b = −3
= 2 − 3
Coordenadas cartesianas y polares
Coordenadas cartesianas
En un sistema de referencia
ortonormal , a cada punto P del plano
le corresponde un vector , tal
que:
A los coeficientes x e y de la
combinación lineal se les
llamacoordenadas del punto P.
La primera, x, es la abscisa .
La segunda, y, es la ordenada .
Como la combinación lineal es única, a cada punto le corresponde
un par de números y a cada par de números un punto.
Coordenadas polares
Cuando se conoce el módulo del vector = y el ángulo α que
forma con el eje OX, lascoordenadas de P son:
x = | | · cos α
y = | | · sen α
De coordenadas polares a cartesianas
Coordenada x
x = | | · cos α
Coordenada y
y = | | · sen α
Ejercicios
Pasar a coordenadas cartesianas :
2120º
10º = (1, 0)
1180º = (−1, 0)
190º = (0, 1)
1270º = −(0, −1)
De coordenadas cartesianas a polares
Módulo
Argumento o ángulo
Ejercicios
Pasar a coordenadas polares :
260º
2120º
2240º
2300º
(2, 0)
20º
(−2, 0)
2180º
(0, 2)
290º
(0, −2)
2270º
Producto escalar
El producto escalar de dos vectores y es igual a:
Ejemplo
Expresión analítica del producto escalar
Ejemplo
Expresión analítica del módulo de un vector
Ejemplo
Propiedades del producto escalar
1Conmutativa
2 Asociativa
3 Distributiva
4 Positividad del producto escalar
Ejercicios
Calcular el producto escalar de los siguientes vectores:
1. = (3, 4) y =(-8, 6)
· = 3 · (-8) + 4 · 6 = 0
2. = (5, 6) y =(-1, 4)
· = 5 · (-1) + 6 · 4 = 19
3. = (3, 5) y =(-1, 6)
· = 3 · (-1) + 5 · 6 = 27
Sea B = { , } una base de los vectores del plano, tal que | | = | |
= 2 y cos ( , ) = 1/2 y sean:
= 3 + 2 e = + 2 .
Calcular · .
El producto escalar es conmutativo.
cos( , ) = cos ( , ) = 1
Interpretación geométrica del producto escalar
El producto escalar de dos vectores no nulos es igual al módulo
de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
OA' es la proyección escalar de sobre el vector .
El vector proyección se calcula multiplicando la proyección escalar por
un vector unitario de , de modo que obtenemos otro vector con la misma
dirección.
La proyección escalar del vector u sobre v es el módulo de la proyección
vectorial de u sobre v.
Ejercicios
Hallar la proyección del vector = (2, 1) sobre el vector = (−3,
4).
Calcula la proyección del vector sobre
el vector .
Calcula la proyección del vector sobre el , siendo A(6,0),
B(3,5), C(-1,-1).
Siendo A(6, 0), B(3, 5) y C(-1, -1) los vértices de un triángulo ,
calcular las proyeccionesde los lados AB y CB sobre AC y comprobar que su
suma es igual al módulo de AC.
= (-3, 5) = (3, -5)
= (-7, -1) = (7,
1)
= (-4, -6) = (4,
6)
· = (-3)· (-7) + 5 · (-1) = 16
· = 7· 4 + 1 · 6 = 34
Ángulo de dos vectores
El ángulo que forman dos vectores y viene dado por la
expresión:
Ejemplo
Ejercicios
Calcular el producto escalar y el ángulo que forman los siguientes
vectores:
1. = (3, 4) y = (−8, 6)
· = 3 · (−8) + 4 · 6 = 0
2. = (5, 6) y = (−1, 4)
· = 5 · (−1) + 6 · 4 = 19
3. = (3, 5) y = (−1, 6)
· = 3 · (−1) + 5 · 6 = 27
Dados los vectores = (2, k) y = (3, − 2), calcula k para que los
vectores y sean:
1 Perpendiculares.
2 Paralelos.
3 Formen un ángulo de 60°.
Hallar k si el ángulo que forma = (3, k) con = (2, −1) vale:
1 90°
2 0°
3 45°
Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados AB y
AC del triángulo: A(3,5), B(−2,0), C(0,−3), es paralelo al lado BC e igual a su
mitad.
Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6,0), B(3,5),
C(−1,−1).
Vectores ortogonales y ortonormales
Vectores ortogonales
Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero.
Ejemplo
Vectores ortonormales
Dos vectores son ortonormales si:
1. Su producto escalar es cero.
2. Los dos vectores son unitarios .
Ejercicios
Calcular el valor de k para que los vectores = (1, m) y = (-4, m)
sean ortogonales .
· = 0 -4 + m2 = 0; m = ± 2
Si { , } forma una base ortonormal, calcular:
1 · = 1 · 1 · cos 0° = 1
2 · = 1 · 1 · cos 90° = 0
3 · = 1 · 1 · cos 90° = 0
4 · = 1 · 1 · cos 0° = 1
Suponiendo que respecto de la base ortonormal { , } del plano los
vectores tienen como expresiones:
Calcular el valor de k sabiendo que .
Suponiendo que respecto de la base ortonormal { , } del plano los
vectores tienen como expresiones:
Calcular el valor de k para que los dos vectores sean ortogonales.
Ecuación de la recta
Definición de pendiente
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma
la recta con la dirección positiva del eje de abscisas .
Se denota con la letra m.
Cálculo de la pendiente
Pendiente
dado el ángulo
Pendiente
dado el vector
director de la
recta
Pendiente
dados dos puntos
Pendiente
dada la ecuación
de la recta.
Ejemplos
La pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2, 1), B(4, 7) es:
La recta que pasa por los puntos A(1, 2), B(1, 7) no tiene pendiente, ya
que la división por 0 no está definida.
Si el ángulo que forma la
recta con la parte positiva del
eje de abscisas es agudo,
la pendiente es positiva y
crece al crecer el ángulo.
Si el ángulo que forma la
recta con la parte positiva del
eje de abscisas es obtuso,
la pendiente es negativa y
decrece al crecer el ángulo.
Ecuación de la rectaDefinición de recta
Definimos una recta r
como el conjunto de los
puntos del plano, alineados
con un punto P y con una
dirección dada .
Ecuación vectorial de la recta
Si P(x1, y1) es
un punto de la recta
r, el vector
tiene igual dirección
que , luego es
igual a
multiplicado por un
escalar:
Ejemplos
Una recta pasa por el punto A(−1, 3) y tiene un vector director =
(2,5). Escribir su ecuación vectorial .
Escribe la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A(1,
2) y B(−2, 5).
Ecuaciones paramétricas de la recta
Realizando las operaciones indicadas en la ecuación vectorial se
obtiene:
Igualando, obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta .
Ejemplos
Una recta pasa por el punto A(−1, 3) y tiene un vector director =
(2,5). Escribir susecuaciones paramétricas .
Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los
puntos A(1, 2) y B(−2, 5).
Ecuación continua de la recta
Si despejamos el parámetro k de las ecuaciones paramétricas e
igualamos, obtenemos laecuación continua de la recta .
Ejemplos
Una recta pasa por el punto A(−1, 3) y tiene un vector director =
(2,5). Escribir su ecuación continua .
Escribe la ecuación continua de la recta que pasa por los puntos A(1,
2) y B(−2, 5).
Ecuación punto-pendiente
Partimos de la ecuación continua la recta, quitamos denominadores y
despejamos:
Como
Se obtiene:
Ejemplos
Calcular la ecuación de la recta que pasan por los puntos A(−2, −3) y
B(4,2).
Calcular la ecuación de la recta que pasan por A(−2, −3) y tenga una
inclinación de 45°.
Ecuación general o implícita de la recta
Partimos de la ecuación continua la recta
Quitamos denominadores:
Trasponemos términos:
Transformamos:
Y obtenemos la ecuación general de la recta .
Las componentes del vector director son:
La pendiente de la recta es:
Escribe la ecuación general de la recta que pasa por los puntos A(1,
2) y B(−2, 5).
Calcular la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente
m = −2.
Ecuación de la recta en forma explícita
Si despejamos y en la ecuación general de la recta , se obtiene
la ecuación explícita de la recta :
El coeficiente de la x es la pendiente , m.
El término independiente, b, se llama ordenada en el origen de una
recta, siendo (O, b) el punto de corte con el eje de ordenadas.
Calcular la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A
(1,5) y tiene comopendiente m=−2.
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Si los puntos A (x 1, y 1) y B (x 2, y 2) determina una recta r. el vector
director de la recta es:
cuyas componentes son:
Sustituyendo estos valores en la ecuación continua, obtenemos la
ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
La ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(−2, 5) es:
Ecuación canónica o segmentaria
Hallar la ecuación canónica de la recta que pasa por P(−2, 1) y tiene por
vector director v = (3, −4).
−4x −8 = 3y −3 4x + 3y + 5 = 0
Si y = 0 x = −5/4 = a .
Si x = 0 y = −5/3 = b .
Ecuación normal de la recta. Cosenos directores
Ecuación normal de la recta
Los puntos A y X de la
recta r determinan el
vector:
= (x - a1, y -
a2)
El vector es un
vector unitario y
perpendicular a r.
Si las componentes
del vector director de r
son (-B, A), las
componentes de su vector
perpendicular
correspondiente son: (A,
B).
Por tanto las
componentes del vector
unitario y perpendicular
serán
Como y son perpendiculares, su producto
escalar es cero:
Si en la ecuación general sustituimos las
coordenadas del punto A, obtenemos:
Ejemplo
Hallar la ecuación normal de la recta r ≡ 12x -
5y +26 = 0.
Otra forma de expresar la ecuación normal de
la recta es:
Ejemplo
Hallar la ecuación de una recta perpendicular al
segmento de extremos A(5, 6) y B(1,8) en su punto
medio.
Este vector es perpendicular a la recta buscada.
Cosenos directores
Las componentes de un vector unitario en una
base ortonormal , son el coseno y el seno que
forma con el vector de la base.
Estas expresiones se llaman cosenos directores
de la recta, ya que la segunda puede escribirse
como: sen α = cos(90º - α).
Ecuación de los ejes coordenados
Ecuación del eje OX
El eje OX es una recta que pasa por el origen,
O(O, 0), y el vector director es = (1, 0).
(x, y) = (0, 0) + k(1, 0)
y = 0
Ecuación del eje OY
El eje OY es una recta que pasa por el origen,
O(O, 0), y el vector director es = (0, 1).
(x, y) = (0, 0) + k(0, 1)
x = 0
Ecuación de una recta paralela al eje OX
Sea la recta r, paralela al eje OX, que pasa por el
punto, P(x1, y1), y su vector director es = (1, 0).
(x, y) = (x1, y1) + k(1, 0)
y = y1
Todos los puntos de la recta tienen la misma
ordenada.
Ecuación de una recta paralela al eje OY
Sea la recta r, paralela al eje OY, que pasa por el
punto, P(x1, y1), y su vector director es = (0, 1).
(x, y) = (x1, y1) + k(0, 1)
x = x1
Todos los puntos de la recta tienen la misma
abscisa.
Posiciones relativas de dos rectas en el plano
Dos rectas en el plano pueden ser:
Secantes
Dos rectas son
secantes si sólo
tienen un punto en
común .
El sistema de
ecuaciones formado por
las dos rectas tieneuna
solución .
Paralelas
Dos rectas son
paralelas si no
tienen ningún punto en
común .
El sistema de
ecuaciones formado por
las dos
rectas notiene solución .
Coincidentes
Dos rectas son
coincidentes si
tienen todos los
puntosson comunes.
El sistema de
ecuaciones formado por
las dos rectas
tieneinfinitas
soluciones .
Ecuaci
ón explícita
r ≡ y
= mx +n
s ≡ y
= m'x +n'
Ecuaci
ón general
r ≡ Ax
+By +C =0
r ≡ Ax
+By +C =0
r y s secantes m ≠ m'
r y s paralelas m = m'n ≠ n'
r y s
coincidentesm = m'n = n'
Estudia las posiciones relativas de los siguientes pares de rectas:
Estudiar la posición relativa de las rectas de ecuaciones:
1 2x + 3y - 4 =0
2 x - 2y + 1= 0
3 3x - 2y -9 = 0
4 4x + 6 y - 8 = 0
5 2x - 4y - 6 = 0
6 2x + 3y + 9 = 0
Las rectas 1 y 4 son coincidentes , porque todos sus coeficientes
son proporcionales:
Las rectas 2 y 5 y las 1 y 6 son paralelas respectivamente , ya
que existe proporcionalidad entre los coeficientes de x y de y, pero no en el
término independiente.
¿Son secantes las rectas r ≡ x +y -2 = 0 y s ≡ x - 2 y + 4 = 0? En caso
afirmativo halar el punto de corte.
Dadas las rectas r ≡ x +3y + m = 0 y s ≡ 2x -ny + 5 = 0, calcula m y n,
para que :
1Sean paralelas.
2Se corten en el punto P(2, 1).
2 +3 · 1 + m = 0 m = -5
2 · 2 - n · 1 + 5 = 0 n= 9
3Sean coincidentes.
Incidencia de puntos y rectas
Incidencia de puntos
Un punto P(p1, p2) es incidente, o el punto P
pertenece a la recta de ecuación Ax + By + C = 0,
cuando las coordenadas del punto satisfacen la
igualdad:
Ap1 + Bp2 + C = 0
Si un punto P pertenece a una recta r se dice que
r incide en P o que r pasa por P.
Determina si los puntos A (3, 5) y B(0, 1)
pertenecen o no a la recta r ≡ x + 2 y - 13 = 0.
3 + 2 · 5 - 13 = 0 A r
0 + 2 · 1 - 13 ≠ 0 B r
Incidencia de rectas
Si dos rectas r y s son secantes,
su intersección es un punto.
Para hallar las coordenadas del punto de
intersección de dos rectas, se resuelve el sistema
formado por las dos ecuaciones de las rectas.
Hallar el punto de intersección de las rectas de
ecuaciones r ≡ 2 x - y - 1 = 0 y s ≡ x - y + 1 = 0.
Demostrar que son secantes las rectas r y s.
Hallar el punto de intersección.
Haz de rectas
El conjunto de rectas
del plano que pasan por
el punto P se llamahaz
de rectas de vértice P.
Su ecuación es:
El haz de rectas de vértice P(x1, y1) también se
puede expresar por la ecuación:
Ejemplo
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el
origen y pertenece al haz de rectas de vértice P(2,, -
1).
Sustituimos por el punto (0, 0).
Haz de rectas definido por dos rectas
Para cada par de valores α, β, esta ecuación
representa una recta que pasa por el punto de
intersección de las rectas r y s.
Ejemplo
Dadas las rectas: r ≡ 3x + y - 11 = 0 y s ≡ x + 2y
- 7 = 0. Calcular el rayo del hazdeterminado por
ellas, que pasa por el punto A(-1, 2) y el vértice de
haz.
Haz de rectas paralelas
El haz de rectas paralelas a la recta r ≡ Ax +
By + C= 0 es el conjunto de todas las rectas del plano
que son paralelas a r:
Para cada valor de k se obtiene una recta
paralela.
Ejemplos
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el
punto de intersección de las rectas r y s y es paralela
a la recta t.
Hallamos r en forma general:
Calculamos el punto de intersección de r y s:
Pasamos t a la forma general:
Sustituimos P en la ecuación de todas las rectas
paralelas:
Paralelismo de rectas
Dos rectas son paralelas si sus vectores
directores son paralelos , es decir, si éstos
son linealmente dependientes .
Dos rectas son paralelas si tienen sus pendientes o vectores
directores iguales .
Dos rectas son paralelas si los coeficientes de x e y respectivos
son proporcionales .
Dos rectas son paralelas si forman un ángulo de 0º.
Ejemplos
Calcula k para que las rectas r ≡ x + 2y - 3 = 0 y s ≡ x - ky + 4 = 0,
sean paralelas .
Calcular una recta paralela a r ≡ x + 2 y + 3 = 0, que pasen por el
punto A(3,5).
Hallar la ecuación de la recta paralela a r ≡ 3x + 2y − 4 = 0, que pasa
por el punto A(2, 3).
3 · 2 + 2· 3 + k = 0 k = −12
3x + 2y - 12= 0
La recta r ≡ 3x + ny − 7 = 0 pasa por el punto A(3,2) y es paralela a la
recta s ≡ mx + 2y − 13 = 0. Calcula m y n.
Rectas perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares si
sus vectores directores son
perpendiculares.
Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes
inversas y cambiadas de signo .
Ejemplos
Calcular una recta perpendicular a r ≡ x + 2 y + 3 = 0, que pase por
el punto A(3,5).
Hallar la ecuación de la recta perpendicular a r ≡ 3x - 2y - 1 = 0, que
pasa por el punto A(-2, -3).
Sean las rectas r ≡ 3x + 5y - 13 = 0 y s ≡ 4x - 3y + 2 = 0. Determinar
la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de ellas y
es perpendicular a la recta t ≡ 5x - 8y + 12 = 0
Calcula k para que las rectas r ≡ x + 2y - 3 = 0 y s ≡ x - ky + 4 = 0,
seanperpendiculares .
Distancia y ángulo entre rectas
Distancia de un punto a una recta
La distancia de un punto a una
recta es la longitud del segmento
perpendicular a la recta, trazada desde el
punto.
Hallar la distancia del punto P(2,- 1) a la recta r ≡ 3 x + 4 y = 0.
Distancia al origen
Hallar la distancia al origen de la recta r ≡ 3x - 4y - 25 = 0.
Una recta es paralela a la que tiene por ecuación r ≡ 5x + 8y - 12 = 0, y
dista 6 unidades del origen. ¿Cuál es su ecuación?
Una recta es perpendicular a la que tiene por ecuación r ≡ 5x - 7y + 12
= 0 y dista 4 unidades del origen. ¿Cuál es su ecuación?
Distancia entre rectas
Para hallar la distancia
entre dos en rectas
paralelas, se toma un punto
cualquiera, P, de una de ellas
y calcular su distancia a la
otra recta.
Hallar la distancia entre las rectas : r ≡ 3 x - 4 y + 4 = 0 y s ≡ 9 x −
12 y − 4 = 0.
La distancia entre dos rectas también se puede expresar del del
siguiente modo:
Calcular la distancia entre las rectas:
Ángulo entre dos rectas
Se llama ángulo
entre dos
rectas al menor de
losángulos que forman
éstas. Se pueden obtener
a partir de:
1 Sus vectores
directores
2 Sus pendientes
Hallar el ángulo que forman las rectas r y s, si sus vectores directores
son: = (−2, 1) y =(2, −3).
Dadas las rectas r ≡ 3x + y - 1 = 0 y s ≡ 2x + my - 8 = 0, determinar m
para que formen un ángulo de 45°.
Lugares geométricos
Definición de lugar geométrico
Se llama lugar geométrico a un conjunto de
puntos que cumplen una determinada propiedad.
La propiedad geométrica que define el lugar
geométrico, tiene que traducirse a lenguaje
algebraico de ecuaciones.
Ejemplos de lugares geométricos
Mediatriz
Mediatriz de un
segmento es el lugar
geométrico de
los puntos del
plano que equidistan de
los extremos.
Ejemplo
Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento
de extremos A(2 , 5) y B(4, -7).
Bisectrices
Bisectriz de
un ángulo es
el lugar
geométrico de
lospuntos del
plano que
equidistan de
las rectas que
forman el
ángulo.
Las dos
bisectrices son
perpendiculares
entre sí.
Ejemplo
Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los
ángulos que determinan las rectas r ≡ 3x - 4y + 5 = 0
y s ≡ 6x + 8y + 1 = 0.
Hallar las bisectrices de los ángulos que la recta r
≡ 3x - 4y + 3 = 0 forma con los ejes coordenados
Elementos de un triángulo
Medianas de un triángulo
Las medianas de un triángulo son
las rectas que unen el punto medio de un lado del
triángulo con el vértice opuesto.
Baricentro
El baricentro es el punto de corte de las tres
medianas.
El baricentro se expresa con la letra G.
El baricentro divide a
cada mediana en dos
segmentos, el segmento que
une el baricentro con el
vértice mide el doble que el
segmento que une baricentro
con el punto medio del lado
opuesto.
BG = 2GA
Coordenadas del baricentro
A(x1, y1), B(x2, y2),
C(x3, y3),
Las coordenadas
del baricentro son:
Ejercicio
Hallar las ecuaciones de las medianas y
el baricentro del triángulo de vértices: A(2, 0), B(0,
1) y C(-3, -2).
Ecuación de la mediana que pasa por A y el punto medio de BC
En primer lugar hallamos el punto medio de Bc
Calculamos la ecuación de la recta que pasa por
dos puntos.
Ecuación de la mediana que pasa por B y el punto medio de AC
Ecuación de la mediana que pasa por C y el punto medio de AB
Baricentro
Mediatrices de un triángulo
Las mediatrices de un triángulo son las rectas
perpendiculares trazadas por los puntos
medios de sus lados.
Circuncentro
El circuncentro es el punto
de corte de las tres
mediatrices.
El circuncentro se expresa
con la letra O.
El circuncentro es
el centro de una circunferencia
circunscrita al triángulo.
Ejercicio
Hallar las ecuaciones de las mediatrices y
el circuncentro del triángulo de vértices: A(2, 0),
B(0, 1) y C(-3, -2).
Ecuación de la mediatriz que pasa por el punto medio de BC
En primer lugar hallamos el punto medio de BC
Hallamos la pendiente de la perpendicular al lado
BC.
Aplicamos la ecuación punto-pendiente
Ecuación de la mediatriz que pasa por el punto medio de AC
Ecuación de la mediatriz que pasa por el punto medio de AB
Circuncentro
El circuncentro es el punto de corte de las
tres mediatrices. Para calcularlo, se resuelve el
sistema formado por dos de las ecuaciones.
Área de la circunferencia circunscrita
El circuncentro es el centro de la de
la circunferencia circunscrita, es decir, la que pasa
por los tres vértices.
El radio de la circunferencia circunscrita es
la distancia entre dos puntos: el incentro y
cualquier vértice del triángulo.
Alturas de un triángulo
Las alturas de un triángulo son las rectas
perpendiculares trazadas desde un vértice al
lado opuesto (o su prolongación).
Ortocentro
El ortocentro es el punto de
corte de las tres alturas.
El ortocentro se expresa con
la letra H.
Recta de Euler
El ortocentro,
el baricentro y
el circuncentro de un
triángulo no
equilátero están
alineados, es decir,
pertenecen a una misma
recta, llamada recta de
Euler.
Ejercicio
Hallar las ecuaciones de las alturas y
elortocentro del triángulo de vértices: A(2, 0), B(0,
1) y C(-3, -2).
Ecuación de la altura que pasa por el vétice A
Hallamos la pendiente de la perpendicular al lado
BC.
Aplicamos la ecuación punto-pendiente
Ecuación de la altura que pasa por el vétice B
Ecuación de la altura que pasa por el vétice C
Ortocentro
El ortocentro es el punto de corte de las tres
alturas. Para calcularlo, se resuelve el sistema
formado por dos de las ecuaciones.
Bisectrices de un triángulo
Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen a
cada ángulo , de los ángulos del triángulo, en dos ángulos iguales .
Incentro
El incentro es el punto de corte de las
tres bisectrices .
El incentro se expresa con la letra I.
El incentro es el centro de
una circunferencia inscrita en el triángulo .
Ejercicio
Hallar las ecuaciones de las bisectrices y el incentro del triángulo de
vértices: A(2, 0), B(0, 1) y C(-3, -2).
En primer lugar hallamos las ecuaciones de los lados del triángulo.
Cálculo de la bisectriz que pasa por A.
Cálculo de la bisectriz que pasa por B.
Cálculo de la bisectriz que pasa por C.
Incentro
El Incentro es el punto de corte de las tres bisectrices interiores .
Para calcularlo, se resuelve el sistema formado por dos de las ecuaciones.
Área de la circunferencia inscrita
El incentro es centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, es
decir, tangente a los tres lados del triángulo. Por tanto el radio es la distancia
del incentro a cualquier lado.
Área de un triángulo
Conociendo la base y la altura
Conociendo dos lados y el ángulo que forman.
Circunferencia circunscrita a un triángulo
R = radio de
la circunferencia
circunscrita
Circunferencia inscrita en un triángulo
r = radio de
la circunferencia
inscrita
p =
semiperímetro
Fórmula de Herón
p = semiperímetro
Área de un triángulo conociendo las coordenadas de los vértices
El área de un triángulo es igual al la mitad del producto escalar, en
valor absoluto, del vector perpendicular a por el vector .
Ejemplo
Calcular el área de un triángulo cuyos vértices son: A(2, 0), B(3,4) y
C(-2,5).
Área de un triángulo por determinantes
Para resolver el determinante de orden tres utilizamos la regla de
Sarrus .
El determinante está en valor absoluto
Ejemplo
Calcular el área de un triángulo cuyos vértices son: A(2, 0), B(3,4) y
C(-2,5).
Área de un triángulo por vectores
Ejemplo
Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1,
3), B(2, −1, 5) y C(−3, 3, 1).
Área del paralelogramo
Geométricamente, el módulo del producto cruz de dos vectores
coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.
Ejemplo
Dados los vectores y , hallar el área del
paralelogramo que tiene por lados los vectores y ·
Área de un cuadrilátero conociendo las coordenadas de los vértices
Para hallar el área de un cuadrilátero cualquiera, lo dividimos en dos
triángulos cuya suma de áreas será la pedida.
Ejemplo
Calcular el área del cuadrilátero de vértices A(1, 0), B(3, 1), C(2, -1) y
D(0, 4).
Área de un paralelogramo conociendo las coordenadas de los vértices
Como una diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos
iguales, basta hallar el área de un triángulo y multiplicarla por dos.
Ejemplo
Calcular el área del paralelogramo que tiene de vértices: A(1, 3), B(5,
1), C(-2, 0) y D(-6, 2).
El área es igual a dos veces el área del triángulo ABC.
Tres puntos alineados
Tres puntos están alineados cuando el área del triángulo es igual
a cero.
Ejemplo
Averiguar si están alineados los puntos: A(-2, -3), B(1, 0) y C(6, 5).
Los tres puntos están alineados.
Cónicas
Una superficie cónica esta
engendrada por el giro de una
recta g, generatriz, alrededor de
otra recta e, eje, con el cual se
corta en un punto V, vértice.
Se denomina sección
cónica a la curva intersección de un
cono con un plano que no pasa por
su vértice. En función de la relación
existente entre el ángulo de
conicidad (α) y la inclinación del
plano respecto del eje del cono
(β), pueden obtenerse diferentes
secciones cónicas.
Elipse
α < β <90º
Si el plano corta a todas
las generatrices (deberá cortar a
una sola hoja) sin ser
perpendicular al eje .
Circunferencia
Cuando β = 90° , es decir
el plano es perpendicular al eje
obtenemos una circunferencia que
es un caso particular de elipse.
Parábola
α = β
Si el plano es paralelo a
una generatriz.
Hipérbola
α > β
Si el plano corta a las dos
hojas.
Ecuación general de la circunferencia
La circunferencia es el lugar geométrico de los
puntos del plano que equidistan de un punto fijo
llamado centro.
Elevando al
cuadrado
obtenemos la
ecuación:
Si desarrollamos:
y realizamos estos cambios:
Obtenemos otra forma de escribir la ecuación:
Donde el centro es:
y el radio cumple la relación:
Para que una expresión del
tipo: sea una circunferencia debe
cumplir que:
1. Los coeficientes de x2 e y2 sean iguales a
la unidad. Si tuvieran ambos un mismo coeficiente
distinto de 1, podríamos dividir por él todos los
términos de la ecuación.
2. No tenga término en xy.
3.
Ecuación reducida de la circunferencia
Si el centro de la circunferencia coincide con el
origen de coordenadas la ecuación queda reducida a:
Ejercicios
Escribir la ecuación de la circunferencia de centro
(3, 4) y radio 2.
Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x +
4y - 4 = 0, hallar el centro y el radio.
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa
por los puntos A(2,0), B(2,3), C(1, 3).
Si sustituimos x e y en la
ecuación por las coordenadas de
los puntos se obtiene el sistema:
Indicar si la ecuación: 4x2 + 4y2 - 4x - 8y - 11 = 0,
corresponde a una circunferencia, y en caso
afirmativo, calcular el centro y el radio.
1. Como los coeficientes de x2 e y2 son distintos
a la unidad, dividimos por 4:
2. No tiene término en xy.
3.
Es una circunferencia, ya que se cumplen las tres
condiciones.
Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene
su centro en (2,-3) y es tangente al eje de abscisas.
Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene
su centro en (-1, 4) y es tangente al eje de
ordenadas.
Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene
su centro en el punto de intersección de la rectas x +
3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.
Hallar la ecuación de la circunferencia
concéntrica con la ecuación , y
que pasa por el punto (-3,4).
Por ser concéntricas tienen el mismo centro.
Los extremos del diámetro de una circunferencia
son los puntos A(-5,3) y B(3,1). ¿Cuál es la ecuación
de esta circunferencia?
Hallar la ecuación de la circunferencia
concéntrica a la circunferencia
que sea tangente a la recta 3x - 4y + 7 = 0.
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa
por los puntos A(2,1) y B(-2,3) y tiene su centro sobre
la recta: x + y + 4 = 0.
Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa
por el punto (0,-3), cuyo radio es y cuyo centro se
halla en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.
Elipse
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de
distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
Componentes de la elipse
Focos
Son los puntos fijos F y F' .
Eje focal
Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario
Es la mediatriz del segmento FF'.
Centro
Es el punto de intersección de los ejes.
Radios vectores
Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los
focos: PF y PF'.
Distancia focal
Es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia
focal .
Vértices
Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.
Eje mayor
Es el segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor .
Eje menor
Es el segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor .
Ejes de simetría
Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
Centro de simetría
Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de
los ejes de simetría.
Relación entre la distancia focal y los semiejes
Excentricidad de la elipse
La excentricidad es un número que mide el mayor o menor
achatamiento de la elipse. Y es igual al cociente entre su semidistancia focal y
su semieje mayor.
Ecuación de la elipse
Ecuación reducida de la elipse
Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes
de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:
F'(-c, 0) y F(c, 0)
Cualquier punto
de la elipse cumple:
Esta expresión da lugar a:
Realizando las operaciones llegamos a:
Ejemplo
Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse
de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.
Semieje
mayor
Semidistanci
a focal
Semieje
menor
Ecuación
reducida
Excentricidad
Ecuación reducida de eje vertical de la elipse
Si el eje principal
está en el de
ordenadas se obtendrá la
siguiente ecuación:
Las coordenadas de
los focos son:
F'(0, -c) y F(0, c)
Ejemplo
Dada la ecuación reducida de la elipse , hallar las
coordenadas de los vértices de los focos y la excentricidad.
Ecuación de la elipse
Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OX, los
focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la
elipse será:
Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una
ecuación de la forma:
Donde A y B tienen el mismo signo .
Ejemplos
Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de
centro C(4, 2).
Dada la elipse de ecuación , hallar su centro,
semiejes, vértices y focos.
Ecuación de eje vertical de la elipse
Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OY, los
focos tienen de coordenadas F(X0, y+c) y F'(X0, y0-c). Y la ecuación de la
elipse será:
Ejercicios
Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de
los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses.
1
2
3
4
Halla la ecuación de la elipse conociendo:
1
2
3
4
Escribe la ecuación reducida de la elipse que pasa por el punto (2, 1) y
cuyo eje menor mide 4.
La distancia focal de una elipse es 4. Un punto de la elipse dista de sus
focos 2 y 6, respectivamente. Calcular la ecuación reducida de dicha elipse.
Determina la ecuación reducida de un elipse cuya distancia focal
es y el área del rectángulo construidos sobre los ejes 80 u 2.
Determina la ecuación reducida de una elipse sabiendo que uno de los
vértices dista 8 de un foco y 18 del otro.
Halla la ecuación reducida de una elipse sabiendo que pasa por el punto
(0, 4) y su excentricidad es 3/5.
Hipérbola
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia
de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante.
Componentes de la hipérbola
Focos
Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal
Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario o imaginario
Es la mediatriz del segmento .
Centro
Es el punto de intersección de los ejes.
Vértices
Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje
focal.
Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la
circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.
Radios vectores
Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y
PF'.
Distancia focal
Es el segmento de longitud 2c.
Eje mayor
Es el segmento de longitud 2a.
Eje menor
Es el segmento de longitud 2b.
Ejes de simetría
Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.
Asíntotas
Son las rectas de ecuaciones:
Relación entre los semiejes
Excentricidad de la hipérbola
La excentricidad mide la abertura mayor o menor de las ramas de la
hipérbola.
Ecuación de la hipérbola
Se llama ecuación reducida a la
ecuación de la hipérbola cuyos ejes
coinciden con los ejes coordenadas, y,
por tanto, el centro de hipérbola con el
origen de coordenadas.
Si el eje real está en el eje de
abscisas las coordenadas de los focos
son:
F'(−c,0) y F(c,0)
Cualquier punto de la hipérbola cumple:
Esta expresión da lugar a:
Realizando las operaciones y teniendo en cuenta que ,
llegamos a:
Ejemplos
Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(4, 0), de vértice A(2, 0) y de
centro C(0, 0).
Hallar la ecuación y la excentricidad de la hipérbola que tiene como
focos los puntos F'(-5, 0) y F(5, 0), y 6 como diferencia de los radios vectores.
Hallar las coordenadas de los vértices y de los focos, las ecuaciones de
las asíntotas y la excentricidad de la hipérbola 9x 2 - 16y2 = 144.
Ecuación reducida de eje vertical de la hipérbola
F'(0,
−c) y F(0, c)
La
ecuación será:
Ejemplo
Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(0, 5), de vértice A(0, 3) y de
centro C(0, 0).
Ecuación de la hipérbola
Si el centro de la hipérbola es C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a
OX, los focos tienen de coordenadas F(x0+c, y0) y F'(x0− c, y0). Y la
ecuación de la hipérbola será:
Ejemplos
Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(7, 2), de vértice A (5,2) y de
centro C(3, 2).
Ecuación de la hipérbola de eje vertical
Si el centro de la hipérbola C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OY,
los focos tienen de coordenadas F(x0, y0+c) y F'(x0, y0− c). Y la ecuación de
la hipérbola será:
Ejemplo
Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en
general, una ecuación de la forma:
Donde A y B tienen signos opuestos .
Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(-2, 5), de vértice A (-2, 3) y
de centro C(-2, -5).
Ejercicios
Representa gráficamente y determina las coordenadas del centro, de los
focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes hipérbolas:
1
2
Hallar la ecuación de una hipérbola de eje focal 8 y distancia focal 10.
El eje focal de una hipérbola mide 12, y la curva pasa por el punto P(8,
14). Hallar su ecuación.
Calcular la ecuación reducida de la hipérbola cuya distancia focal es 34
y la distancia de un foco al vértice más próximo es 2.
Determina la ecuación reducida de una hipérbola que pasa por el
punto y su excentricidad es .
Determina la ecuación reducida de una hipérbola sabiendo que un foco
dista de los vértices de la hipérbola 50 y 2.
El eje focal de una hipérbola mide 12 y la excentricidad es 4/3. Calcular
la ecuación de la hipérbola.
Calcular la ecuación de una hipérbola equilátera sabiendo que su
distancia focal es .
El eje no focal de una hipérbola mide 8 y las ecuaciones de las asíntotas
son: . Calcular la ecuación de la hipérbola, sus ejes, focos y
vértices.
Hipérbola equilátera
Las
hipérbolas en las
que los semiejes
son iguales se
llaman
equiláteras, por
tanto a = b . Y su
ecuación es:
Las asíntotas
tienen por ecuación:
,
Es decir,
las bisectrices de
los cuadrantes.
La
excentricidad es:
Ecuación de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas
Para pasar de los ejes OX, OY a los determinados por las asíntotas,
bastará dar un giro de -45° alrededor del origen de coordenadas. Quedando
la ecuación como:
Si
efectuamos
un giro de
45° en los
ejes, la
hipérbola que
queda en el
segundo y
cuarto
cuadrante y su
ecuación será:
Ejemplos
La ecuación representa una hipérbola equilátera, calcular
vértices y sus focos.
Como las coordenadas de los vértices se encuentran en la bisectriz del
primer y tercer cuadrante, la primera componente y la segunda componente
coinciden, es decir, x = y. Y como además el punto A pertenece a la curva,
tendremos:
Una hipérbola equilátera pasa por el punto (4, 1/2). Haya su ecuación
referida a sus asíntotas como ejes, y las coordenadas de los vértices y los
focos.
Parábola
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
Componentes de la
parábola
Foco
Es el punto
fijo F.
Directriz
Es la recta fija
d.
Parámetro
Es la distancia
del foco a la
directriz, se designa
por la letra p.
Eje
Es la recta
perpendicular a la
directriz que pasa
por el foco.
Vértice
Es el punto de
intersección de la
parábola con su eje.
Radio vector
Es un
segmento que une
un punto cualquiera
de la parábola con
el foco.
Ecuación de la parábola
Ecuación reducida de la parábola
Dada la parábola , calcular su vértice, su
foco y la recta directriz.
Dada la parábola , calcular su vértice, su
foco y la recta directriz.
Ecuación reducida de la parábola de eje vertical
Dada la
parábola
, calcular su
vértice, su foco
y la recta
directriz.
Dada la
parábola
,
calcular su
vértice, su foco
y la recta
directriz.
Ecuación de la parábola
Dada la
parábola
,
calcular su
vértice, su foco y
la recta directriz.
Ecuación de la parábola de eje vertical
Dada la
parábola
,
calcular su vértice, su
foco y la recta
directriz.
Ejercicios
Determina las ecuaciones de las parábolas que
tienen:
1 De directriz x = -3, de foco (3, 0).
2 De directriz y = 4, de vértice (0, 0).
3 De directriz y = -5, de foco (0, 5).
4 De directriz x = 2, de foco (-2, 0).
5 De foco (2, 0), de vértice (0, 0).
6 De foco (3, 2), de vértice (5, 2).
7 De foco (-2, 5), de vértice (-2, 2).
8 De foco (3, 4), de vértice (1, 4).
Calcular las coordenadas del vértice y de los
focos, y las ecuaciones de la directrices de las
parábolas:
1
2
3
Determina la ecuación de la parábola que tiene
por directriz la recta: y= 0 y por foco el punto (2, 4).
Escribe la ecuación de la parábola de eje paralelo
a OY, vértice en OX y que pasa por los puntos A (2, 3)
y B(-1, 12).
Posiciones relativas de una cónica y una recta
Para hallar los puntos comunes a una cónica y una recta resolveremos
el sistema formado por las ecuaciones de ambas .
En general se obtiene un ecuación de segundo grado, que tendrá
dependiendo del signo del discrimínante, , las siguientes
soluciones:
1 Si Δ > 0
Dos soluciones: la
recta y la cónica son
secantes.
2 Si Δ = 0
Una solución: la
recta y la cónica son
tangentes.
3 Si Δ < 0
Ninguna solución:
la recta y la cónica son
exteriores.
Calcula la posición relativa de la circunferencia
y la recta .
Estudiar la posición relativa de la circunferencia x 2 + y2 - 4x + 2y - 20 =
0 con las rectas:
1 x + 7y -20 = 0
2 3x + 4y - 27 = 0
3 x + y - 10 = 0
Determina la posición relativa de la recta x + y - 1 =0 con respecto a la
hipérbola x2 - 2y2 = 1.
Calcular la posición relativa de la recta r ≡ x + y - 5 = 0 respecto a la
parábola y2 = 16 x.
Geometría Analítica en el espacio
Vectores en el espacio
Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene
su origen en un punto y su extremo en el otro.
Componentes de un vector en el espacio
Si las coordenadas de A y B son: A(x 1, y1, z1) y B(x2, y2, z2)
Las coordenadas o componentes del vecto r son las coordenadas del
extremo menos las coordenadas del origen.
Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar el
el triángulo de vértices A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).
Módulo de un vector
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo
define.
El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente
el vector nulo tiene módulo cero.
Cálculo del módulo conociendo sus componentes
Dados los vectores y , hallar los módulos
de y ·
Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que
tiene de extremos dichos puntos.
Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 2, 0).
Vector unitario
Un vector unitario tiene de módulo la unidad.
La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector
unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado, dividiendo
cada componente del vector por su módulo.
Suma de vectores
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.
Ejemplos
Dados = (2, 1, 3), = (1, −1, 0), = (1, 2, 3), hallar el vector =
2u + 3v − w.
= (4, 2, 6) + (3, −3, 0) − (1, 2, 3) = (6, −3, 3)
Dados los vectores y , hallar el módulo del
vector .
Propiedades de la suma de vectores
Asociativa
+ ( + ) = ( + ) +
Conmutativa
+ = +
Elemento neutro
+ =
Elemento opuesto
+ (− ) =
Producto de un número real por un vector
El producto de un número real k por un vector es
otro vector:
De igual dirección que el vector .
Del mismo sentido que el vector si k es positivo .
De sentido contrario del vector si k es negativo .
De módulo
Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K
las componentes del vector.
Propiedades del producto de un número por un vector
Asociativa
k · (k' · ) = (k · k') ·
Distributiva respecto a la suma de vectores
k · ( + ) = k · + k ·
Distributiva respecto a los escalares
(k + k') · = k · + k' ·
Elemento neutro
1 · =
Ejemplo
Dado = (6, 2, 0) determinar de modo que sea 3 = .
Combinación lineal de vectores en el espacio
Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se
obtiene al sumar esosvectores multiplicados por sendos escalares.
Cualquie
r vector se
puede poner
com
ocombinació
n lineal de
otros que
tengan
distinta
dirección .
Esta
combinación
linea l es
única.
Ejemplo
Expresa el vector = (1, 2, 3) como combinación lineal de los
vectores: = (1, 0, 1), = (1, 1, 0) y = (0, 1, 1).
Sumamos miembro a miembro las tres ecuaciones y a la ecuación
obtenida se le resta cada una de las ecuaciones.
Vectores linealmente dependientes
Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente
dependientes si hay unacombinación lineal de ellos que es igual al vector
cero, sin que sean cero todos loscoeficientes de la combinación lineal .
Propiedades
1. Si varios vectores son linealmente dependientes , entonces al
menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los
demás.
También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de
otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes .
2.Dos vectores son linealmente dependientes si, y sólo si,
son paralelos .
3.Dos vectores libres = (u1, u2) y = (v1, v2) son linealmente
dependientes si sus componentes son proporcionales.
Ejemplo
Determinar los valores de k para que sean linealmente
dependientes los vectores ,
y . Escribir como combinación lineal de y , siendo
k el valor calculado.
Los vectores son linealmente dependientes si el determinante de la
matriz que forman esnulo, es decir que el rango de la matriz es menor que 3.
Vectores linealmente independientes
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de
ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.
a1 = a2 = ··· = an = 0
Los vectores linealmente independientes tienen distinta
dirección y sus componentes no son proporcionales .
Ejemplos
1.Estudiar si son linealmente dependientes o independientes los
vectores:
= (2, 3, 1), = (1, 0, 1), = (0, 3, −1)
a (2, 3, 1) + b(1, 0, 1) + c (0, 3, −1) = (0, 0, 0)
r = 2 n = 3 Sistema compatible indeterminado .
El sistema tiene infinitas soluciones, por tanto los vectores
son linealmente dependientes .
2.Siendo = (1, 0, 1), = (1, 1, 0) y = (0, 1, 1), demostrar que
dichos vectores son linealmente independientes y expresa el vector = (1,
2, 3) como combinación lineal de dichos vectores.
El sistema admite únicamente la solución trivial:
Por tanto, los tres vectores son linealmente independientes .
Sumamos miembro a miembro las tres ecuaciones y a la ecuación
obtenida se le resta cada una de las ecuaciones.
Base
Tres vectores , y con distinta dirección forman una base,
porque cualquier vectordel espacio se puede poner como combinación
lineal de ellos.
Las coordenadas del vector respecto a la base son:
Base ortogonal
Una base es ortogonal si los vectores de la base
son perpendiculares entre sí.
Base ortonormal
Una base es ortonormal si los vectores de la base
son perpendiculares entre sí, y además tienen módulo 1 .
Esta base formada por los vectores , y se denomina base
canónica .
Ejemplos
1. Dados los vectores = (1, 2, 3), = (2, 1, 0) y = (−1, −1, 0),
demostrar que dichos vectores forman una base y calcula las coordenadas
del vector (1, −1, 0) respecto de dicha base.
El sistema homogéneo sólo admite la solución trivial :
Por tanto, los tres vectores son linealmente independientes y forman
una base.
Las coordenadas del vector (1, −1, 0) respecto a la base son:
.
2. Dados los vectores: (1, 1, 0), (1, 0, 1) y (0, 1, 1).
1 Demostrar que forman una base.
Los tres vectores forman una base si son linealmente
independientes .
En el sistema homogéneo el rango coincide con el número de
incógnitas, por tanto tan sólo admite la solución trivial:
Los vectores son linealmente independientes y, por tanto, forma
una base.
2Hallar las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto
de esta base.
Las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto de la
base son:
3. Calcular el valor de a para que los vectores
, y formen una base.
Si a ≠ 1, los vectores forman una base.
Producto punto
El producto punto o producto escalar de dos vectores es
un número real que resulta almultiplicar el producto de sus módulos por
el coseno del ángulo que forman .
Expresión analítica del producto punto
Ejemplo
Hallar el producto punto de dos vectores cuyas coordenadas en una
base ortonormal son: (1, 1/2, 3) y (4, −4, 1).
(1, 1/2, 3) · (4, −4, 1) = 1 · 4 + (1/2) · (−4) + 3 · 1 = 4 −2 + 3 = 5
Expresión analítica del módulo de un vector
Hallar el valor del módulo de un vector de coordenadas = (−3, 2,
5) en una base ortonormal.
Expresión analítica del ángulo de dos vectores
Determinar el ángulo que forman los vectores = (1, 2, −3) y =
(−2, 4, 1).
Vectores ortogonales
Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es 0 .
Ejemplo
Calcular los valores x e y para que el vector (x, y, 1) sea ortogonal a los
vectores (3, 2, 0) y (2, 1, −1).
Propiedades del producto punto
1Conmutativa
2 Asociativa
3 Distributiva
4
El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es
positivo.
Interpretación geométrica del producto punto
El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno
de ellos por la proyección del otro sobre él.
OA' es la proyección escalar de sobre el vector .
El vector proyección se calcula multiplicando la proyección escalar por
un vector unitario de , de modo que obtenemos otro vector con la misma
dirección.
Ejercicio
Dados los vectores y hallar:
1. Los módulos de y ·
2. El producto escalar de y ·
3. El ángulo que forman.
4. El valor de m para que los vectores y
sean ortogonales.
Cosenos directores
En una base ortonormal, se llaman cosenos directores del vector =
(x, y, z), a los cosenos de los ángulos que forma el vector con los vectores
de la base.
Ejemplo
Determinar los cosenos directores del vector (1, 2, −3).
Producto cruz
El producto cruz o producto vectorial de dos vectores es
otro vector cuya dirección esperpendicular a los dos vectores y
su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v.
Su módulo es igual a:
El producto cruz se puede expresar mediante un determinante:
Ejemplos
Calcular el producto cruz de los vectores = (1, 2, 3) y = (−1, 1,
2).
Dados los vectores y , hallar el producto
cruz de dichos vectores. Comprobar que el vector hallado es ortogonal a
y .
El producto vectorial de es ortogonal a los vectores y .
Área del paralelogramo
Geométricamente, el módulo del producto cruz de dos vectores
coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.
Ejemplo
Dados los vectores y , hallar el área del
paralelogramo que tiene por lados los vectores y ·
Área de un triángulo
Ejemplo
Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1,
3), B(2, −1, 5) y C(−3, 3, 1).
Propiedades del producto cruz
1. Anticonmutativa
x = − x
2. Homogénea
λ ( x ) = (λ ) x = x (λ )
3. Distributiva
x ( + ) = x + x ·
4. El producto vectorial de dos vectores paralelos es igual al vector
nulo.
x =
5. El producto vectorial x es perpendicular a y a .
Producto mixto
El producto mixto de los vectores , y se
representa por [ , , ] y es igual alproducto
escalar del primer vector por el producto
vectorial de los otros dos.
El producto mixto de tres vectores equivale al
desarrollo de un determinante que tiene por filas las
coordenadas de dichos vectores respecto a una base
ortonormal.
Ejemplos
Calcular el producto mixto de los vectores:
Volumen del paralelepípedo
Geométricamente, el valor absoluto del producto
mixto representa el volumen del
paralelepípedo cuyas aristas son tres vectores que
concurren en un mismo vértice.
Hallar el volumen del paralelepípedo formado
por los vectores:
Volumen de un tetraedro
El volumen de un tetraedro es igual a 1/6 del
producto mixto, en valor absoluto.
Obtener el volumen del tetraedro cuyos
vértices son los puntos A(3, 2, 1), B(1, 2, 4), C(4, 0, 3)
y D(1, 1, 7).
Propiedades del producto mixto
1. El producto mixto no varía si se permutan
circularmente sus factores, pero cambia de signo si
éstos se trasponen.
2. Si tres vectores son linealmente
dependientes, es decir, si
son coplanarios,producto mixto vale 0.
Ejercicios de vectores en el espacio
1. Dados los vectores , y
hallar:
1. ,
2. ,
3.
4.
5.
1. ,
2. ,
3.
4.
5.
2. ¿Para qué valores de a los vectores ,
y forman unabase?
Para a ≠ 1, los vectores forman una base.
3. Determinar el valor del parámetro k para que los vectores = k
− 2 + 3 , = − + k + sean:
1Ortogonales .
Para que los vectores sean ortogonales su producto escalar tiene
que ser igual a cero.
2 Paralelos .
Para qué dos vectores sean paralelos , sus componentes tienen que
ser proporcionales .
El sistema no admite solución.
4. Hallar los cosenos directores del vector .
5. Hallar el ángulo que forman los vectores
y .
6. Dados los vectores y , hallar:
1 Los módulos de y ·
2 El producto vectorial de y ·
3 Un vector unitario ortogonal a y ·
4 El área del paralelogramo que tiene por lados los vectores y ·
1 Los módulos de y ·
2 El producto vectorial de y ·
3 Un vector unitario ortogonal a y ·
4 El área del paralelogramo que tiene por lados los vectores y ·
7. Calcular el producto mixto : .
8. Dados los vectores , y ,
hallar el producto mixto . ¿Cuánto vale el volumen del
paralelepípedo que tiene por aristas los vectores dados?
Problemas de vectores en el espacio
1. Hallar dos vectores de módulo la unidad y ortogonales a (2, −2,
3) y (3, −3, 2).
2. Hallar un vector perpendicular a y ,
y que sea unitario.
3.Dados los vectores y , hallar el
producto y comprobar que este vector es ortogonal a y a . Hallar
el vector y compararlo con .
4. Considerar la siguiente figura:
Se pide:
1 Coordenadas de D para que ABCD sea un paralelogramo .
2 Área de este paralelogramo .
Por ser la figura un paralelogramo, los vectores y
son equipolentes .
5. Dados los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 1) y C(1, 6, a), se pide:
1 Hallar para qué valores del parámetro a están alineados.
2 Hallar si existen valores de a para los cuales A, B y C son tres
vértices de un paralelogramo de área 3 y, en caso afirmativo, calcularlos.
1 Hallar para qué valores del parámetro a están alineados.
Si A, B y C están alineados los vectores y tienen la misma
dirección , por lo que son linealmente dependientes y tienen
sus componentes proporcionales .
2 Hallar si existen valores de a para los cuales A, B y C son tres
vértices de un paralelogramo de área 3 y, en caso afirmativo, calcularlos.
El módulo del producto vectorial de los vectores y es igual
al área del paralelogramo construido sobre y .
6. Sean A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1) los tres vértices de un
triángulo. Se pide:
1 Calcular el coseno de cada uno de los tres ángulos del triángulo.
2 Calcular el área del triángulo.
1 Calcular el coseno de cada uno de los tres ángulos del triángulo.
2 Calcular el área del triángulo.
Ecuaciones de la recta y el plano
Ecuaciones de la recta en el espacio
Ecuación vectorial de la recta
Definimos
una recta r como
el conjunto de los
puntos del
espacio , alineados
con un punto P y
con
una dirección dada
.
Si P(x1, y1) es
un punto de la recta
r, el vector tiene
igual dirección
que , luego es
igual a
multiplicado por un
escalar:
Ecuaciones paramétricas de la recta
Si operamos en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la
igualdad:
Para que se verifique esta igualdad, se deben cumplir:
Ecuaciones continuas de la recta
Despejando e igualando λ en las ecuaciones paramétricas se tiene:
Ecuaciones implícitas de la recta
Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos .
Si en las ecuaciones continuas de la recta quitamos denominadores y
pasamos todo al primer miembro, obtenemos también las ecuaciones
implícitas .
Ejercicios
1.Hallar las ecuaciones paramétricas , en
forma continua e implícitas de la recta que pasa por el punto A = (1, 2, 1) y
cuyo vector director es .
Ecuaciones paramétricas
Ecuaciones en forma continua
Ecuaciones implícitas
2.Hallar las ecuaciones paramétricas , en
forma continua e implícita de la recta que pasa por los puntos A(1, 0, 1) y
B(0, 1, 1).
3.Dada la recta r:
Hallar las ecuaciones en forma continua y paramétrica .
4.Sea r la recta de ecuación:
¿Pertenecen a r los puntos A(0, −2, −2) y B(3, 2, 6)?
5.Obtener la ecuación de la recta que, siendo paralela la recta dada por
x = 3λ, y = λ, z = 2λ + 2, contiene al punto P(0, 1, −1).
6.Una recta es paralela a los planos x + y = 0, x + z = 0 y pasa por por
el punto (2, 0, 0). Hallar sus ecuaciones.
El vector director de la recta es perpendicular a a los vectores normales
de cada plano.
Ecuación del plano
Ecuación vectorial del plano
Para determinar un plano del espacio se necesita conocer un punto
P y un par de vectoresque formen una base, es decir, que sean linealmente
independientes.
Para que el punto P pertenezca al plano π el vector tiene que ser
coplanario con y , es decir, que dependa linealmente de y .
Ecuaciones paramétricas del plano
Si operamos en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:
Para que se verifique esta igualdad, se debe cumplir que:
Ecuación general o implícita del plano
Un punto está en el plano π si tiene solución el sistema:
Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas λ y
µ· Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna
de los términos independientes tiene que ser igual a cero.
Desarrollando el determinante obtenemos:
Damos los valores:
Sustituimos:
Realizamos las operaciones y le damos a D el valor:
Obtenemos la ecuación general de plano :
Ecuación canónica o segmentaria del plano
Sean los puntos A(a, 0, 0), B(0, b, 0) y C(0, 0, c), la ecuación
canónica viene dada por:
Ejercicios
1.Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa
por el punto A(1, 1, 1) y tiene como vectores directores a
y .
2.Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa
por los puntos A(−1, 2, 3) y B(3, 1, 4) y contiene al vector .
3.Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa
por los puntos A(−1, 1, −1), B(0, 1, 1) y C(4, −3, 2).
4.Sea π el plano de ecuaciones paramétricas :
Se pide comprobar si los puntos A (2, 1, 9/2) y B(0, 9, −1) pertenecen al
plano.
5.Hallar la ecuación segmentaria del plano que pasa por los puntos
A(1, 1, 0), B(1, 0, 1) y C(0, 1, 1).
Dividiendo por −2 obtenemos la ecuación segmentaria :
6.Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(2, 0, 1) y
contiene a la recta de ecuación:
De la ecuación de la recta obtenemos el punto B y el vector .
7.Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1, −2, 4), B(0,
3, 2) y es paralelo a la recta:
8.Dadas las rectas
Determinar la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s.
Vector normal
El vector es un vector normal al plano, es
decir, perpendicular al plano .
Si P(x0, y0, z0) es un punto del plano, el
vector es perpendicular al vector , y por
tanto el producto escalar es cero.
De este modo también podemos determinar la ecuación general del
plano , a partir de unpunto y un vector normal .
Ejercicios
1.Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por el punto (1, 0, 0) y es
perpendicular al plano x − y − z + 2 = 0.
Por ser la recta perpendicular al plano, el vector normal del
plano, , será el vector director de la recta que pasa por el
punto (1, 0, 0).
2.Hallar la ecuación del plano π que pasa por el punto (1, 1, 1) y
perpendicular a la recta x = λ, y = 0, z = λ.
Punto medio
Coordenadas del punto medio de un segmento
Sean A (x1, y1, z1) y B (x2, y2, z2) los extremos de un segmento, el punto
medio del segmento viene dado por:
Ejemplos
1.Dados los puntos A(3, −2, 5) y B(3, 1, 7), hallar las coordenadas del
punto medio del segmento que determinan.
2.Las coordenadas de los vértices consecutivos de un paralelogramo
son A (1, 0, 0) y B(0, 1, 0). Las coordenadas del centro M son M(0, 0, 1). Hallar
las coordenadas de los vértices C y D.
Baricentro
Coordenadas del baricentro de un triángulo
Sean A (x1, y1, z1), B (x2, y2, z2) y C (x3, y3, z3) los vértices de un
triángulo, lascoordenadas del baricentro son:
Medianas de un triángulo
Las medianas de un triángulo son las rectas que unen el punto
medio de un lado del triángulo con el vértice opuesto .
Ejemplos
Sean A = (2, 1, 0), B = (1, 1, 1) y C = (4, 1, −2) los vértices de un
triángulo. Determinar las coordenadas del baricentro .
Dado el triángulo de vértices A(2, 3, 4), B(1, −1, 5) y C(5, 5, 4), hallar:
1. Las ecuaciones de las medianas del triángulo .
2. Las coordenadas del baricentro del triángulo.
3. Las coordenadas del baricentro del triángulo cuyos vértices son
los puntos medios de los lados del triángulo anterior.
Los baricentros de los dos triángulos coinciden .
Puntos alineados
Tres o más puntos esán alineados si están en una misma recta , y
por tanto el rango de los vectores determinados por ellos es 1.
Ejemplos
1.Comprobar si los puntos A(2, 3, 1), B(5, 4, 3) y C(2, 1, 2)
están alineados .
Los puntos no están alineados.
2.Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (2, 3, 4) y
B(8, −2, 3). Estudiar si el punto C(2, 1, 3) está alineado con A y B.
Para que el punto C este alineado con A y B, debe pertenecer a la recta
que pasa por A y B.
Como C no satisface las ecuaciones de la recta, no está alineado con A
y B.
3.Determinar los valores de m para que los puntos A(m, 2, −3), B(2, m,
1) y C(5, 3, −2) estén alineados y hallar las ecuaciones de la recta que los
contiene.
·
Puntos y vectores coplanarios
Dos o más vectores son coplanarios si son linealmente
dependientes , y por tanto suscomponentes son proporcionales y
su rango es 2.
Dos o más puntos son coplanarios , si los vectores determinados por
ellos también soncoplanarios .
Ejemplos
1. Comprobar si los puntos A(1, 2, 3), B(4, ,7, 8), C(3, 5, 5), D(−1, −2,
−3) y E(2, 2, 2) son coplanarios .
Los puntos A, B, C, D y E son coplanarios si:
Los puntos A, B, C, D y E no son coplanarios.
2.Determinar el valor de x para que los puntos A(0, 0, 1), B(0, 1, 2),
C(−2, 1, 3) y D(x, x-1, 2) sean coplanarios .
Para que los puntos sean coplanarios , los vectores determinados por
ellos también han de ser coplanarios , es decir, que el rango de los vectores
sea 2.
Para que el rango sea igual a 2, el determinante de las componentes de
los vectores ha de ser igual a cero.
3.¿Qué en relación se ha de verificar entre los parámetros a, b y c para
que los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 0), C(0, 1, 1) y D(a, b, c) sean coplanarios?
Los puntos A, B, C y D son coplanarios si:
4.Calcular el valor de a para que los puntos (a, 0, 1), (0, 1, 2), (1, 2, 3)
y (7, 2, 1) seancoplanarios . Calcular también la ecuación del plano que los
contiene.
Ejercicios de la recta en el espacio
1.Dados los puntos A(2, 6, −3) y B(3, 3, −2), hallar los puntos de la
recta AB que tienen al menos una coordenada nula.
2.Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1, −1, 0) y
corta a las rectas:
La recta pedida es la intersección de los dos planos que pasan por A y
contienen a las rectas r y s.
Plano que contiene a A y r.
Plano que contiene a A y s.
La recta perdida es:
3.Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (8, 2, 3) y lleva
la dirección del vector .
4.Hallar una ecuación continua de la recta que es paralela a los planos:
x − 3y + z = 0 y 2x − y + 3z − 5 = 0, y pasa por el punto (2, −1, 5).
El vector director de la recta es perpendicular a los vectores normales
de cada plano.
Ejercicios del plano
1.Hallar las ecuaciones de los ejes
coordenados y de los planos coordenados.
2.Hallar la ecuación del plano que contiene a
las rectas:
3.Hallar la ecuación del plano que contiene al
punto A(2, 5, 1) y a la recta de ecuación:
4.Hallar las coordenadas del punto común al
plano x + 2y − z − 2 = 0 y a la recta determinada por
el punto (1, −3, 2) y el vector .
5.Hallar la ecuación segmentaria del plano que
pasa por los puntos A(2, 0, 0), B(0, 4, 0) y C(0, 0, 7).
6.Sea π un plano que pasa por P(1, 2, 1) y corta a
los semiejes coordenados positivos en los puntos A, B
y C. Sabiendo que el triángulo ABC es equilátero,
hallar las ecuaciones de π.
Como el triángulo es equilátero, los tres
segmentos son iguales.
7.Hallar la ecuación implícita del plano que pasa
por el punto P(1, 1, 1) y es paralelo a:
8.Hallar la cual del plano que contiene a la
recta y es paralelo a la
recta .
El punto A(2, 2, 4) y el vector
pertenecen al plano, ya que la primera recta está
contenida en el plano.
El vector es un vector del plano, por ser
paralelo a la recta.
9.Hallar la ecuación del plano paralelo a las
rectas de ecuaciones:
y que pasa por el punto (1, 1, 2).
