VECTORESVectores y sus operaciones

08/01/2008

Instituto Tecnológico MetropolitanoCiencia Básica

Estrategias didácticas para la enseñanza y el aprendizaje significativo de la física

CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES:

CANTIDAD ESCALAR: Es aquella que está especificada completamente por un número con unidades apropiadas. No posee dirección ni sentido.

EJEMPLO: Tiempo, Temperatura, dinero etc.

CANTIDAD VECTORIAL: Es aquella que además de un número y una unidad apropiada posee una dirección y un sentido.

EJEMPLO: Velocidad, desplazamiento, fuerza, etc.

NOTA: Distancia desplazamiento

La distancia recorrida (una cantidad escalar) es la longitud de la trayectoria o camino seguido por el móvil.

Para simplificar el estudio del movimiento, representaremos a los cuerpos móviles por puntos geométricos, olvidándonos, por el momento, de su forma y tamaño. Se llama trayectoria a la línea que describe el punto que representa al cuerpo en movimiento, conforme va ocupando posiciones sucesivas a lo largo del tiempo, (Trayectoria: Es la ruta seguida o el camino real recorrido que ha experimentado un cuerpo).

Según sea la forma de su trayectoria los movimientos se clasifican en rectilíneos y curvilíneos. Un coche que recorra una calle recta describe un movimiento rectilíneo, mientras que cuando tome una curva o dé una vuelta a una plaza circular, describirá un movimiento curvilíneo.

Vector desplazamiento: Si una partícula se mueve desde un punto a otro, el vector desplazamiento o desplazamiento de la partícula, se define como el vector que va desde la posición inicial a la final, es decir:

Note que en general el desplazamiento no coincide con la trayectoria que sigue la partícula. ¿En que caso(s) coincide?

En el sistema Internacional, el desplazamiento se expresa en [m].

La magnitud de cualquier desplazamiento es la distancia más corta entre los puntos extremos del vector desplazamiento.

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Desplazamiento P

Trayectoria o camino total VECTOR

Es un segmento dirigido de recta que posee una medida con base en una escala previamente elegida. En todo vector podemos identificar su dirección (horizontal, vertical, oblicua), su sentido (arriba (+), abajo (-), derecha (+) e izquierda (-) y su intensidad, medida o magnitud.

Nota: Los vectores indicados en negrilla no requieren su indicación mediante una flecha.

EJEMPLOS

1. Dirección: HorizontalSentido: derecha (+)Intensidad: 3 unidades,

2. Dirección: Vertical

Sentido: Abajo (-) Intensidad: =

3.

Dirección: Oblicua Sentido: Izquierda - abajo

Intensidad:

3

Concluyendo: Los vectores son magnitudes representadas por un segmento dirigido (flecha). Se caracterizan por poseer:

a) Una longitud, la que es representada por un valor numérico al que llamaremos módulo (también se la denomina norma)

b) Una dirección, que es la  recta a la que pertenece 

c) Un sentido. La recta posee dos sentidos, generalmente estos se indican  mediante signos "+" para un lado y "-" para el otro.  

Los vectores pueden situarse en el plano, o sea dos dimensiones, en el espacio, desde tres hasta infinitas dimensiones.

OPERACIONES CON VECTORES

IGUALDAD ENTRE VECTORES

Dos Vectores A y B son iguales si tienen la misma magnitud, dirección y sentido.

Y

A

B

0 X

NEGATIVO DE UN VECTOR

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Dado un Vector A, su negativo será otro Vector B que posee la misma magnitud y dirección pero sentido opuesto

A B

SUMA DE VECTORES

Para sumar dos o más Vectores basta trasladarlos de manera que conserven su dirección, sentido y magnitud y, colocarlos de tal manera que el origen de uno de ellos coincida con el final del otro. El Vector resultante se inicia en el origen del primer Vector y termina en el final del último Vector y, su magnitud se calcula mediante procedimientos geométricos o trigonométricos.

EJEMPLO 1:

=

EJEMPLO 2

EJEMPLO 3

5

(Pitágoras)

EJEMPLO 4:

Un auto recorre 20.0 Km rumbo al norte y después 35.0 Km en una dirección al oeste del norte. Determine la magnitud y dirección del desplazamiento

resultante del auto.

Solución:

(Ley de cosenos

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Dirección de :

,

EJEMPLO 5

En este caso, puede calcularse aplicando la propiedad asociativa, o también, mediante los componentes rectangulares de cada Vector como se explica a continuación.

COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR

Si consideramos un Vector localizado en el plano xy y que forma un ángulo determinado con el semieje positivo de las x, podemos expresarlo como la suma de otros dos Vectores donde representa la proyección de a lo largo del eje X. El signo de las componentes lo determina el signo del semieje donde se ubiquen.

EJEMPLO 1

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EJEMPLO 2

PROBLEMAS:

1. Un libro se mueve alrededor del perímetro de la cubierta de una mesa rectangular de dimensiones 1.0 m x 2.0 m. Si el libro termina en su posición inicial, ¿cuál es su desplazamiento? ¿Cuál es la distancia recorrida?

2. ¿La magnitud del desplazamiento de una partícula puede ser mayor que la distancia recorrida? Explique.

3. Las magnitudes de dos Vectores son son Encuentre los valores más grandes y más pequeños posibles para el Vector resultante

4. Un avión vuela 200 Km rumbo al oeste desde la ciudad A hasta la ciudad B y después 300 Km en la dirección de al noroeste de la ciudad B hasta la ciudad C.a. En línea recta, ¿Qué tan lejos está la ciudad C de la ciudad A?

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uBy 51= .

uBx 52= .

θ=θ= SenBBCosBB yx

,

015003= CosuBx .

015003= SenuBy .

b. Respecto de laciudad A, ¿En que dirección está la ciudad C?

5. Un peatón camina 6.00 Km al este y después 13.0 Km al norte. Con el método gráfico determine la magnitud y la dirección del Vector desplazamiento resultante.

6. El Vector tiene una magnitud de 8.00 unidades y con el eje X positivo forma un ángulo de El Vector también tiene una magnitud de 8.00 unidades y está dirigido a lo largo del eje X negativo. Con los métodos gráficos encuentre: a) El Vector suma , b) El Vector diferencia

7. Una persona camina por una trayectoria circular de radio 5.00 m, alrededor de la mitad de un círculo.a. Encuentre la magnitud del Vector desplazamientob. ¿Qué distancia camina la persona?c. ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento si la persona camina todo el

recorrido alrededor de un círculo?

8. Dados dos Vectores: que forma un ángulo de con el eje positivo, y localizado sobre el eje positivo Y ambos de magnitud 3.00 m,

determinar gráficamente: a) , b) , c) , d) .

9. Una montaña reusa se mueve 200 pies horizontalmente y después viaja 135 pies en un ángulo de sobre la horizontal. Luego recorrre 135 pies en un ángulo de debajo de la horizontal ¿Cuál es su desplazamiento desde su punto de partida? Utilice técnicas gráficas.

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