Vectores en el plano
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Vectores en el plano y en el espacio
Rocıo Meza MorenoUniversidad Autonoma Metropolitana, Iztapalapa
Rocıo Meza Moreno Vectores
Coordenadas cartesianasVectores
Puntos en el planoPuntos en el espacioDistancia entre dos puntos
Coordenadas cartesianas
El plano cartesiano, o R2, consta de dos rectas numericasperpendiculares, una horizontal y una vertical.
Rocıo Meza Moreno Vectores
Coordenadas cartesianasVectores
Puntos en el planoPuntos en el espacioDistancia entre dos puntos
Un punto del plano es una pareja de numeros reales denotadapor (x, y).
Todo punto puede representarse graficamente en elplano cartesiano.
Rocıo Meza Moreno Vectores
Coordenadas cartesianasVectores
Puntos en el planoPuntos en el espacioDistancia entre dos puntos
Un punto del plano es una pareja de numeros reales denotadapor (x, y). Todo punto puede representarse graficamente en elplano cartesiano.
Rocıo Meza Moreno Vectores
Coordenadas cartesianasVectores
Puntos en el planoPuntos en el espacioDistancia entre dos puntos
El espacio tridimensional, o R3, consta de tres rectasnumericas perpendiculares entre sı.
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Coordenadas cartesianasVectores
Puntos en el planoPuntos en el espacioDistancia entre dos puntos
Un punto del en el espacio es una terna de numeros realesdenotada por (x, y, z).
Y puede representarse graficamenteusando las coordenadas cartesianas espaciales.
Rocıo Meza Moreno Vectores
Coordenadas cartesianasVectores
Puntos en el planoPuntos en el espacioDistancia entre dos puntos
Un punto del en el espacio es una terna de numeros realesdenotada por (x, y, z). Y puede representarse graficamenteusando las coordenadas cartesianas espaciales.
Rocıo Meza Moreno Vectores
Coordenadas cartesianasVectores
Puntos en el planoPuntos en el espacioDistancia entre dos puntos
Observe que R2 esta contenido en R3, pues
R2 = {(x, y, 0) | x, y ∈ R}
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Puntos en el planoPuntos en el espacioDistancia entre dos puntos
Observe que R2 esta contenido en R3, pues
R2 = {(x, y, 0) | x, y ∈ R}
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Coordenadas cartesianasVectores
Puntos en el planoPuntos en el espacioDistancia entre dos puntos
Distancia entre dos puntos
En el plano
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Puntos en el planoPuntos en el espacioDistancia entre dos puntos
Distancia entre dos puntos
En el plano
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Puntos en el planoPuntos en el espacioDistancia entre dos puntos
Distancia entre dos puntos
En el plano
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Puntos en el planoPuntos en el espacioDistancia entre dos puntos
Distancia entre dos puntos
En el plano
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Puntos en el planoPuntos en el espacioDistancia entre dos puntos
Distancia entre dos puntos
En el plano
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Puntos en el planoPuntos en el espacioDistancia entre dos puntos
Distancia entre dos puntos en el plano
La distancia entre dos puntos P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), delplano cartesiano esta dada por:
d(P,Q) =√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
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Puntos en el planoPuntos en el espacioDistancia entre dos puntos
En el espacio
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Puntos en el planoPuntos en el espacioDistancia entre dos puntos
En el espacio
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Puntos en el planoPuntos en el espacioDistancia entre dos puntos
En el espacio
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Puntos en el planoPuntos en el espacioDistancia entre dos puntos
En el espacio
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Puntos en el planoPuntos en el espacioDistancia entre dos puntos
En el espacio
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Puntos en el planoPuntos en el espacioDistancia entre dos puntos
En el espacio
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Puntos en el planoPuntos en el espacioDistancia entre dos puntos
En el espacio
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Puntos en el planoPuntos en el espacioDistancia entre dos puntos
En el espacio
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Puntos en el planoPuntos en el espacioDistancia entre dos puntos
En el espacio
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Puntos en el planoPuntos en el espacioDistancia entre dos puntos
Distancia entre dos puntos en el espacio
La distancia entre dos puntos P = (x1, y1, z1) yQ = (x2, y2, z2) en el espacio esta dada por:
d(P,Q) =√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
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Coordenadas cartesianasVectores
Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
Vectores
Un vector es una cantidad que tiene magnitud y direccion.
Geometricamente un vector ~v puede especificarse por medio desu punto inicial y su punto final.
En el plano
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
Vectores
Un vector es una cantidad que tiene magnitud y direccion.Geometricamente un vector ~v puede especificarse por medio desu punto inicial y su punto final.
En el plano
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
Vectores
Un vector es una cantidad que tiene magnitud y direccion.Geometricamente un vector ~v puede especificarse por medio desu punto inicial y su punto final.
En el plano
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
En el espacio
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
Las caracterısticas importantes de un vector son sumagnitud y su direccion.
Ası pues, vamos a considerar dos segmentos que tienen lamisma magnitud y direccion como representaciones del mismovector, independientemente de la posicion en que se encuentresu punto inicial.
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
Por ejemplo, los siguientes segmentos representan todos almismo vector ~v.
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
Como no importa la posicion de un vector, se acostumbrarepresentarlo por medio del segmento dirigido que tiene lamisma magnitud y sentido, cuyo punto inicial se encuentra en elorigen. Un vector tal se llama vector de posicion.
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
Como no importa la posicion de un vector, se acostumbrarepresentarlo por medio del segmento dirigido que tiene lamisma magnitud y sentido, cuyo punto inicial se encuentra en elorigen. Un vector tal se llama vector de posicion.
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
Para determinar un vector de posicion, basta conocer supunto final. Para denotar un vector de posicion ~v usaremos elsımbolo:
~v = 〈a, b〉
donde a y b son las coordenadas del punto final del vector ~v.
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
Para determinar un vector de posicion, basta conocer supunto final. Para denotar un vector de posicion ~v usaremos elsımbolo:
~v = 〈a, b〉
donde a y b son las coordenadas del punto final del vector ~v.
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
¡Atencion!
(a, b) 〈a, b〉⇓ ⇓
Punto con coordenadas Vector de posiciona y b con punto final (a, b)
Nota: En muchos libros se usa la notacion (a, b) para punto yvector. En esos casos, se debe entender a cual de los dos seesta haciendo referencia por el contexto.
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
¡Atencion!
(a, b) 〈a, b〉⇓ ⇓
Punto con coordenadas Vector de posiciona y b con punto final (a, b)
Nota: En muchos libros se usa la notacion (a, b) para punto yvector. En esos casos, se debe entender a cual de los dos seesta haciendo referencia por el contexto.
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
Dado un vector−−→PQ con punto inicial P = (x1, y1) y punto
final Q = (x2, y2).
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
Dado un vector−−→PQ con punto inicial P = (x1, y1) y punto
final Q = (x2, y2).
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
Dado un vector−−→PQ con punto inicial P = (x1, y1) y punto
final Q = (x2, y2).
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
Si consideramos su correspondiente vector de posicion:
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Si consideramos su correspondiente vector de posicion:
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las coordenadas de su punto final son
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las coordenadas de su punto final son (x2 − x1, y2 − y1)
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
Dado un vector en el plano ~v =−−→PQ con punto inicial
P = (x1, y1) y punto final Q = (x2, y2). Su representacion comovector de posicion esta dada por
~v = 〈x2 − x1, y2 − y1〉
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En el espacio ocurre lo mismo
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Dado un vector en el espacio ~v =−−→PQ con punto inicial
P = (x1, y1, z1) y punto final Q = (x2, y2, z2). Su representacioncomo vector de posicion esta dada por
~v = 〈x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1〉
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Magnitud de un vector
La magnitud de un vector−−→PQ es la distancia que hay entre el
punto inicial P y el punto final Q.
Se denota por el sımbolo
‖−−→PQ‖
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Magnitud de un vector
La magnitud de un vector−−→PQ es la distancia que hay entre el
punto inicial P y el punto final Q.
Se denota por el sımbolo
‖−−→PQ‖
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
En el plano:
Si P = (x1, y1) y Q = (x2, y2),
entonces
‖−−→PQ‖ =
√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
En particular, la magnitud de un vector de posicion~v = 〈x, y〉 es la distancia del origen al punto final (x, y), esto es,
‖~v‖ =√x2 + y2
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En el plano:
Si P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), entonces
‖−−→PQ‖ =
√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
En particular, la magnitud de un vector de posicion~v = 〈x, y〉 es la distancia del origen al punto final (x, y), esto es,
‖~v‖ =√x2 + y2
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En el plano:
Si P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), entonces
‖−−→PQ‖ =
√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
En particular, la magnitud de un vector de posicion~v = 〈x, y〉 es la distancia del origen al punto final (x, y), esto es,
‖~v‖ =√x2 + y2
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En el plano:
Si P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), entonces
‖−−→PQ‖ =
√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
En particular, la magnitud de un vector de posicion~v = 〈x, y〉 es la distancia del origen al punto final (x, y), esto es,
‖~v‖ =√x2 + y2
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En el espacio:
Si P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2),
entonces
‖−−→PQ‖ =
√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
Y en particular, la magnitud de un vector de posicion~v = 〈x, y, z〉 es la distancia del origen al punto final (x, y, z),esto es,
‖~v‖ =√x2 + y2 + z2
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
En el espacio:
Si P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2), entonces
‖−−→PQ‖ =
√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
Y en particular, la magnitud de un vector de posicion~v = 〈x, y, z〉 es la distancia del origen al punto final (x, y, z),esto es,
‖~v‖ =√x2 + y2 + z2
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
En el espacio:
Si P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2), entonces
‖−−→PQ‖ =
√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
Y en particular, la magnitud de un vector de posicion~v = 〈x, y, z〉 es la distancia del origen al punto final (x, y, z),esto es,
‖~v‖ =√x2 + y2 + z2
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En el espacio:
Si P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2), entonces
‖−−→PQ‖ =
√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
Y en particular, la magnitud de un vector de posicion~v = 〈x, y, z〉 es la distancia del origen al punto final (x, y, z),esto es,
‖~v‖ =√x2 + y2 + z2
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Direccion de un vector
La direccion de un vector en el plano es el angulo 0 ≤ θ < 2πmedido en radianes que forma dicho vector con el lado positivodel eje x.
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
Muchos conceptos fısicos pueden representarse por medio devectores:
Velocidad:
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Muchos conceptos fısicos pueden representarse por medio devectores:
Velocidad:
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Fuerza:
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Desplazamiento:
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Suma de vectores
Para sumar geometricamente dos vectores ~v1 y ~v2
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
se traza una copia del primer vector de manera que su puntoinicial coincida con el punto final del segundo vector
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se traza una copia del primer vector de manera que su puntoinicial coincida con el punto final del segundo vector
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
La suma ~v1 + ~v2 es el vector cuyo punto inicial es el puntoinicial de ~v1 y cuyo punto final es el punto final de ~v2.
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La suma ~v1 + ~v2 es el vector cuyo punto inicial es el puntoinicial de ~v1 y cuyo punto final es el punto final de ~v2.
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
Observese que si se traza una copia del segundo vector con supunto inicial en el punto final del primero, se obtiene el mismoresultado. Es decir, la suma de vectores es conmutativa.
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En el espacio la suma de vectores se obtiene de igual manera.
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Desigualdad del triangulo
Para cualesquiera dos vectores ~v1 y ~v2 se cumple que
‖~v1 + ~v2‖ ≤ ‖~v1‖+ ‖~v2‖
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
Algebraicamente la suma de vectores se define como sigue.
En el plano:
Si ~v1 = 〈x1, y1〉 y ~v2 = 〈x2, y2〉, el vector suma es
~v1 + ~v2 = 〈x1 + x2, y1 + y2〉
En el espacio:
Si ~v1 = 〈x1, y1, z1〉 y ~v2 = 〈x2, y2, z2〉, el vector suma es
~v1 + ~v2 = 〈x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2〉
Es decir, la suma de vectores se obtiene sumandocomponente a componente.
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
Algebraicamente la suma de vectores se define como sigue.
En el plano:
Si ~v1 = 〈x1, y1〉 y ~v2 = 〈x2, y2〉, el vector suma es
~v1 + ~v2 = 〈x1 + x2, y1 + y2〉
En el espacio:
Si ~v1 = 〈x1, y1, z1〉 y ~v2 = 〈x2, y2, z2〉, el vector suma es
~v1 + ~v2 = 〈x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2〉
Es decir, la suma de vectores se obtiene sumandocomponente a componente.
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
Algebraicamente la suma de vectores se define como sigue.
En el plano:
Si ~v1 = 〈x1, y1〉 y ~v2 = 〈x2, y2〉, el vector suma es
~v1 + ~v2 = 〈x1 + x2, y1 + y2〉
En el espacio:
Si ~v1 = 〈x1, y1, z1〉 y ~v2 = 〈x2, y2, z2〉, el vector suma es
~v1 + ~v2 = 〈x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2〉
Es decir, la suma de vectores se obtiene sumandocomponente a componente.
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
Algebraicamente la suma de vectores se define como sigue.
En el plano:
Si ~v1 = 〈x1, y1〉 y ~v2 = 〈x2, y2〉, el vector suma es
~v1 + ~v2 = 〈x1 + x2, y1 + y2〉
En el espacio:
Si ~v1 = 〈x1, y1, z1〉 y ~v2 = 〈x2, y2, z2〉, el vector suma es
~v1 + ~v2 = 〈x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2〉
Es decir, la suma de vectores se obtiene sumandocomponente a componente.
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Ejercicio.
Explique por que cuando se suman geometricamente dosvectores en el plano ~v = 〈v1, v2〉 y ~w = 〈w1, w2〉, el vectorresultante en efecto tiene componentes
~v + ~w = 〈v1 + w1, v2 + w2〉
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
Multiplicacion por un escalar
El producto de un vector por un numero es un vector que sedefine en la siguiente forma.
En el plano:
Si ~v = 〈x, y〉 y λ ∈ R el producto del ~v por λ es
λ~v = 〈λx, λy〉
En el espacio:
Si ~v = 〈x, y, z〉 y λ ∈ R el producto de ~v por λ es
λ~v = 〈λx, λy, λz〉
Es decir, para multiplicar un vector por un escalar semultiplica cada componente por dicho escalar.
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Multiplicacion por un escalar
El producto de un vector por un numero es un vector que sedefine en la siguiente forma.
En el plano:
Si ~v = 〈x, y〉 y λ ∈ R el producto del ~v por λ es
λ~v = 〈λx, λy〉
En el espacio:
Si ~v = 〈x, y, z〉 y λ ∈ R el producto de ~v por λ es
λ~v = 〈λx, λy, λz〉
Es decir, para multiplicar un vector por un escalar semultiplica cada componente por dicho escalar.
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Multiplicacion por un escalar
El producto de un vector por un numero es un vector que sedefine en la siguiente forma.
En el plano:
Si ~v = 〈x, y〉 y λ ∈ R el producto del ~v por λ es
λ~v = 〈λx, λy〉
En el espacio:
Si ~v = 〈x, y, z〉 y λ ∈ R el producto de ~v por λ es
λ~v = 〈λx, λy, λz〉
Es decir, para multiplicar un vector por un escalar semultiplica cada componente por dicho escalar.
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Multiplicacion por un escalar
El producto de un vector por un numero es un vector que sedefine en la siguiente forma.
En el plano:
Si ~v = 〈x, y〉 y λ ∈ R el producto del ~v por λ es
λ~v = 〈λx, λy〉
En el espacio:
Si ~v = 〈x, y, z〉 y λ ∈ R el producto de ~v por λ es
λ~v = 〈λx, λy, λz〉
Es decir, para multiplicar un vector por un escalar semultiplica cada componente por dicho escalar.
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
Multiplicar un vector por un escalar positivo no modifica sudireccion, solo modifica su magnitud.
Esto es porque si ~v es un vector en el plano o en el espacio yλ es un numero real, entonces la magnitud de λ~v es
‖λ~v‖ = |λ| · ‖~v‖ = λ · ‖~v‖
Por ejemplo,
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
Multiplicar un vector por un escalar positivo no modifica sudireccion, solo modifica su magnitud.
Esto es porque si ~v es un vector en el plano o en el espacio yλ es un numero real, entonces la magnitud de λ~v es
‖λ~v‖ = |λ| · ‖~v‖ = λ · ‖~v‖
Por ejemplo,
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
Multiplicar un vector por un escalar positivo no modifica sudireccion, solo modifica su magnitud.
Esto es porque si ~v es un vector en el plano o en el espacio yλ es un numero real, entonces la magnitud de λ~v es
‖λ~v‖ = |λ| · ‖~v‖ = λ · ‖~v‖
Por ejemplo,
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
Multiplicar un vector por un escalar positivo no modifica sudireccion, solo modifica su magnitud.
Esto es porque si ~v es un vector en el plano o en el espacio yλ es un numero real, entonces la magnitud de λ~v es
‖λ~v‖ = |λ| · ‖~v‖ = λ · ‖~v‖
Por ejemplo,
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
Si el escalar λ es negativo entonces
‖λ~v‖ = |λ| · ‖~v‖ = −λ · ‖~v‖
En este caso, ademas de modificarse la magnitud del vector ~vpor un factor |λ| el vector λ~v tiene direccion opuesta a ~v.
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
Si el escalar λ es negativo entonces
‖λ~v‖ = |λ| · ‖~v‖ = −λ · ‖~v‖
En este caso, ademas de modificarse la magnitud del vector ~vpor un factor |λ| el vector λ~v tiene direccion opuesta a ~v.
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
Por ejemplo,
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
Ejercicio.
¿Que ocurre cuando se multiplica un vector por un escalarcon |λ| < 1?
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
Vectores paralelos
Dos vectores se llaman paralelos si tienen la misma direcciono bien tienen direcciones opuestas.
Algebraicamente, dos vectores ~v y ~w son paralelos si se puedeescribir
~v = λ~w
para algun numero real λ.
Si λ es positivo ~v y ~w tienen la misma direccion, pero si λ esnegativo tienen direcciones opuestas.
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Vectores paralelos
Dos vectores se llaman paralelos si tienen la misma direcciono bien tienen direcciones opuestas.
Algebraicamente, dos vectores ~v y ~w son paralelos si se puedeescribir
~v = λ~w
para algun numero real λ.
Si λ es positivo ~v y ~w tienen la misma direccion, pero si λ esnegativo tienen direcciones opuestas.
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Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores
Vectores paralelos
Dos vectores se llaman paralelos si tienen la misma direcciono bien tienen direcciones opuestas.
Algebraicamente, dos vectores ~v y ~w son paralelos si se puedeescribir
~v = λ~w
para algun numero real λ.
Si λ es positivo ~v y ~w tienen la misma direccion, pero si λ esnegativo tienen direcciones opuestas.
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