U¾it­ a zneu¾it­ fraktl¯

download U¾it­ a zneu¾it­ fraktl¯

of 55

  • date post

    31-Jan-2017
  • Category

    Documents

  • view

    218
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of U¾it­ a zneu¾it­ fraktl¯

  • MASARYKOVA UNIVERZITA

    FAKULTA PRODOVDECK

    Uit a zneuit fraktl

    Diplomov prce

    Brno, kvten 2006 Robert Wiesner

  • Prohlauji, e tato prce je mm pvodnm autorskm dlem, kter jsem vypra-coval samostatn a pouil jsem jen uvedench pramen a literatury.

    Robert Wiesner

  • Chtl bych podkovat RNDr. Zdekovi Pospilovi, Dr., vedoucmu m diplomovprce, za cenn rady a odkazy na zdroje informac.

  • Obsah

    vod 6

    1 Trocha historie 71.1 K teorii chaosu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 K fraktln geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    2 Tak trochu jin 222.1 Dimenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Definice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 Men dimenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    3 Typy a generovn 333.1 L-systmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2 IFS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3 Dynamick systmy s fraktln strukturou . . . . . . . . . . . . . . . 403.4 Nhodn fraktly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    4 Fraktly v dnen praxi 47

    Zvr 52

    Literatura 53

    Rejstk 55

    5

  • vod

    Konen je n obzor zase voln, by ne jasn, konen smj nae lod zase vyplout,vstc jakmukoli nebezpe, a poznvajc se zase me odvit veho;

    moe, nae moe se tu zase prostr oteven,mon jet nikdy neexistovalo tak oteven moe.

    Friedrich Nietzsche

    Na zkladnch a stednch kolch se ume pracovat s geometri, kter se zabv ge-ometricky hladkmi a pravidelnmi tvary, avak pevn vtina tvar kolem nsje nepravideln. Jak bychom napklad popsali mraky? Fraktln geometrie je geo-metri tohoto relnho svta. Na rozdl od euklidovsk geometrie, vyuvajc pmkya roviny, kruhy a koule, trojhelnky a kuely, je zkladem fraktln geometrie sloi-tost a lenitost. Jednotliv objekty ji nejsou variacemi nkolika idelnch forem, alevyznauj se nekonenou sloitost, take m dkladnji je zkoumme, tm sloitjdetaily odhalujeme. Clem tto prce je prv odhalit nkter z tchto zajmavchdetail. Pedevm tedy seznmit tene s pojmy a fakty z tto oblasti matema-tiky a tak pokusit se pojmy korektn matematicky zavst. Aby byl vsledn textsrozumiteln i lidem bez hlubch matematickch znalost, avak se zjmem o tentoobor, snail jsem se kad pojem jak matematicky zadefinovat, tak vysvtlit obecnoumluvou. Vzhledem k tomu, e studuji obor uitelstv, doufm v uplatnn tto prcepi ppadnm zjmu stedokolskch student o problematiku fraktl. M samot-nho tento smr vdy vzruoval, ale nikdy jsem si nevylenil dostatek volnho asu,abych se s nm seznmil podrobnji. Proto, kdy jsem se rozhodoval mezi sbrkoupklad pro stedn koly a fraktln geometri, nemusel jsem dlouho pemlet.Cel prce je rozdlena do kapitol, logicky podle obsahu. Po historickm vvoji

    jsou zavedeny a vysvtleny zkladn pojmy a pojmy potebn k dalm definicm.Nsledujc kapitola je vnovna rozdlen fraktl a podrobnji jejich jednotlivmtypm. Posledn pak popisuje, kde vude v praxi meme u dnes fraktly najt.Byl bych rd, kdyby se mi podailo tene neposkvrnnho matematikou alespozaujmout a teni se zjmem nabdnout a doplnit informace.

    6

  • Kapitola 1

    Trocha historie

    7

  • KAPITOLA 1. TROCHA HISTORIE 8

    1.1 K teorii chaosu

    Na Boha budu mt dv otzky: pro relativita a pro turbulence.Opravdu si myslm, e by na prvn otzku mohl mt odpov.

    Werner Heisenberg na smrteln posteli

    Pod pojmem chaos si vtina lid pedstav nco naprosto neuspodanho a neor-ganizovanho i amorfnho. Tradin je chaos definovn jako nepodek, vava nebopln zmatek. Chaos znamen neexistenci struktury i du. Jako pklad chaosu bylovk patrn uvedl poas nebo vodopd. Ovem nen chaos jako chaos. Zaneme-liuvaovat o chaotickch systmech, bude mt tato definice ponkud jin vznam.Msto naprost neuspodanosti nalezneme strukturu. Zd se, e napklad vodo-pdy nejsou vbec neuspodan, jsou zcela deterministick, ale enormn sloit.Podobn i pedvdn poas, i kdy je snad deterministick, zahrnuje tolik sloi-tch vzorc, e je musme povaovat za dlouhodob nepedpovditeln. A pestojak hydrodynamika, tak i meteorologie dky teorii chaosu pokroily. Pomoc n bylyv tchto systmech, povaovanch za zcela nhodn, objeveny mnohdy velmi pe-kvapiv struktury a vzorce chovn.Teorie chaosu obecn popisuje systmy, kter jsou charakterizovny neliner-

    nmi diferencilnmi rovnicemi. Proto se nkdy oznauj tak jako nelinern sys-tmy. V tto souvislosti se asto hovo i o kognitivnch systmech (tedy o po-znvacch nebo evolunch systmech) nebo o disipativnch strukturch (ili sys-tm, udrujc svou strukturu dky erpn energie z okol). Samotn teorie chaosustoj v prvn ad na nedokonalosti lidskho men. Nco podobnho je samozejmznmo i v kvantov fyzice, zde se vak cel problm pen do zcela jinch mtek.eeno trochu jinak - i mal nepesnost v men vstupnch hodnot me znamenat,e nae pedpov bude naprosto rozdln od skutenosti. A prv tato citlivost navstupn podmnky se projevuje u naprost vtiny chaotickch systm. S absolutnpesnost nememe mit nic, a proto se nkter jevy vzpraj naim pedpovdm.Tyto jevy se nazvaj jevy chaotick.Dal zajmavost tto teorie je jej nvrat do lidsk dimenze. Z dvodu, e sou-

    asn deterministick modely svta nejsou sto implikovat sprvn chovn ani vvoji jednoduchch dynamickch systm, m tato teorie velk vznam pro mnoh od-vtv vdy, matematiky i inenrstv. Zatmco fyzika dnes zkoum bu vlastnostigalaxi nebo naopak elementrnch stic, teorie chaosu se sousted spe na jevyspojen s na kadodenn zkuenost, jako jsou pochody v atmosfe, chovn che-mikli v reakn ndob, vodopd, vr, vvoj cen na burze nebo teba ekologickrovnovha. Vzkum chaosu zmnil nae chpn zklad fyziky (Newtonovy z-kony) a mnohch jinch obor. Tento fakt vnesl nov svtlo do vzkum proudn,extrmn namhanch konstrukc, zemtesen, chemickch proces, ale pispl ik pochopen vzniku prodnch struktur a prbhu jejich utven.

  • KAPITOLA 1. TROCHA HISTORIE 9

    Nov definice chaosu tedy k, e neuspodanost me bt jednodue vymdem sloitosti, kter vznik ze zcela deterministickch proces. To znamen, ev rmci chaosu existuje souasn jaksi podivn organizovanost. I tato definice cha-osu by ale byla pomrn nudn, kdyby jejm jedinm zvrem byl fakt, e nco jenhodn a nic nejde podn zmit a u vbec ne pedpovdat. Paradoxn vakvede tak k tomu, e chaotick jevy v sob ukrvaj urit prvky du.Potky teorie chaosu nachzme u v roce 1827, kdy skotsk botanik Robert

    Brown (1773-1858) pozoroval mikroskopem nhodn pohyb pylovch zrn v kapcevody. Budeme-li pozorovat mal stice pylu rozptlen ve vod, zjistme, e konajchaotick pohyb. Tento pohyb vysvtlil o nco pozdji Albert Einstein jako vlivnhodnch nraz molekul vody. Brownv pohyb ve sv dob nevzbudil velkoupozornost, pro ns je to vak historicky prvn popsan chaotick systm.Nemn zajmavou lohu hraje v teorii chaosu problm t tles. Je definovn

    tak, e mme ve vesmru ti tlesa a dan poten podmnky. Za kol mme ana-lyticky vypotat polohu tles v libovolnm okamiku. Tmto problmem se zabvaljak Euler, tak ped nm i Newton (. . . tento problm pekrauje monosti lidskhomylen. . . ). e je tento problm daleko sloitj, ne si dovedeme pedstavit do-kzal Jules Henri Poincar (1854-1912), kter v roce 1889 okoval tvrzenm, epesn een tohoto problmu je analytickmi metodami zcela nemon. Uvdomilsi, e nepravidelnost pohybu je vlastnost vech systm a jako vbec prvn vdeczaal zkoumat chaos a provedl podrobnou analzu chaotickho chovn dynamic-kch systmu. Tm svou dobu ale pli pedbhl a a v edestch letech 20. stoletse objevili Poincarho nsledovnci. Dnes je jeho teorie v modern vd mezi tminejivjmi.Vce ne klasickm problmem je men dlky pobe ostrova (dlky hra-

    nice). Jako prvn se tmto vnji zabval Lewis Fry Richardson (18811953),jeho znepokojovaly rozdln daje o dlce hranic a pobe v rznch encyklope-dich. Jak lze tedy co nejpesnji zmit dlku pobe? Jedna z monch metodje obejt ostrov s midlem o njak dlce. Vsledn hodnota vak bude pouhouaproximac skuten dlky ostrova. Pokud cel proces zopakujete s men dlkou m-idla, zjistte, e vsledek je vdy o nco vt. Richardson ale narazil na podivnouvc. Na rozdl od rozumnch kivek (jako teba krunice) aproximace dlky zs-kan pro stle krat mtko nesmovala k urit hodnot, ale stle rostla. To by sekoneckonc dalo vysvtlit tm, e se zmenovnm mtka zahrnujeme do na dlkypobe stle vce detail, kter jsme pedtm prost zanedbvali. Zajmavj vakbylo to, e kdy Richardson vynesl do grafu hodnoty logaritm namench dlekproti pouitm mtkm, dostal pomrn pesnou pmku. Namen pmka sevyznaovala uritm sklonem, smrnic, kter byl pro dan pobe charakteristick.Jinmi slovy, smysluplnou charakteristikou lenitosti pobe nen jeho dlka, kterroste s klesajcm mtkem k nekonenu, ale smrnice ve uveden logaritmickzvislosti. O mnoho let pozdji si otec fraktln geometrie B. Mandelbrot viml, e

  • KAPITOLA 1. TROCHA HISTORIE 10

    tento tvar zvislosti je charakteristick pro fraktln kivky a vysvtlil tuto podivnouzkonitost v rmci fraktln geometrie.

    Obr. Mrn dlky pobe

    Turbulence je nco jako kmen mudrc pro fyziky a pat k nejdramatitjmmanifestacm chaotickho chovn. Fyzika mla do sedmdestch let teorii turbu-lence, jejm autorem byl rusk fyzik Lev D. Landau. Nikdo ji vak nedokzal ex-perimentln potvrdit a tak se podle n nedalo nic spotat. Pesto s n fyzikovmlky souhlasili. V roce 1973 ji vyvrtili badatel Swiney a Gollub, kte ovem

  • KAPITOLA 1. TROCHA HISTORIE 11

    sami nedokzali vytvoit sprvnou teorii. Nicmn vme, e vcelku tekutiny vy-hovuj Navierovm-Stokesovm rovnicm, co jsou diferenciln rovnice popisujcprmrn chovn pohybu stic, z nich se tekutina sestv. Tato skutenost jepodpoena numericky, akoliv bychom mli mt na pamti, e een v turbulentnmreimu pro trozmrn toky tekutin jsou st zskna i pomoc tch nejvkonnjchpota. Tato oblast fyziky nen jen mdn, ale je tak dleit a z pohledu chovndynamickch systm jde o problm tak obtn, e a hrani s absurditou. Bohuelnae chpn rozvinut turbulence zatm