Unión de conjuntos
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Unión de conjuntos La unión de los conjuntos A y B es otro conjunto A ∪B que contiene todos los elementos de A y de B . En la teoría de conjuntos, la unión de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son los elementos de los conjuntos iniciales. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es la unión del conjunto de los números pares positivos P y el conjunto de los número impares positivos I : P = {2, 4, 6, ...} I = {1, 3, 5, ...} N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} La unión de conjuntos se denota por el símbolo ∪, de modo que por ejemplo, N = P ∪ I . Contenido [ocultar] 1 Definición o 1.1 Generalizaciones 2 Propiedades o 2.1 Cardinalidad 3 Axioma de la unión 4 Referencias
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Unión de conjuntos
La unión de los conjuntos A y B es otro conjunto A ∪B que contiene todos los elementos de A y de B .
En la teoría de conjuntos, la unión de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro
conjunto cuyos elementos son los elementos de los conjuntos iniciales. Por ejemplo, el conjunto de
los números naturales es la unión del conjunto de los números pares positivos P y el conjunto de los
número impares positivos I :
P = {2, 4, 6, ...}
I = {1, 3, 5, ...}
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
La unión de conjuntos se denota por el símbolo ∪, de modo que por ejemplo, N = P ∪ I .
Contenido
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1 Definición
o 1.1 Generalizaciones
2 Propiedades
o 2.1 Cardinalidad
3 Axioma de la unión
4 Referencias
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5 Véase también
[editar]Definición
Unión de dos conjuntos A y B .
Dados dos conjuntos A y B , la unión de ambos, A ∪ B , es el conjunto que contiene
todos los elementos de A y de B :
La unión de dos conjuntos A y B es otro conjunto A ∪ B cuyos elementos son todos
los elementos de A o de B:
Ejemplo.
Sean A = {a , ♠, 5} y B = {8, #}. La unión es A ∪ B = {5, #, a , ♠, 8}.
Considerando los conjuntos de números naturales C = {n : n es un número primo}
y D = {m : m es un número compuesto}. La unión es entonces (C ∪ D ) = {n : n es
primo o compuesto} = {2, 3, 4, 5, ...}, ya que el único número natural que no es ni
primo ni compuesto es (por definición) 1.
En la unión de conjuntos, los elementos repetidos sólo aparecen una vez, pues los
conjuntos no pueden tener elementos repetidos:n 1
La unión de {1, 2, 3, 4, 5} y {6, 2, 9, 1} es {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9}.
[editar]Generalizaciones
Es posible definir la unión de un número finito de conjuntos, superior a dos:
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Y la unión se puede calcular utilizando la propiedad asociativa de la unión (más abajo).
De este modo, para unir varios conjuntos el orden en el que se haga es irrelevante:
Una definición más general en teoría de conjuntos se refiere a una familia de conjuntos:
Sea M una familia de conjuntos. Su unión M se define como:
De este modo, la unión de un número finito de conjuntos es sólo un caso particular de
la definición general anterior.
A ∪ B = M , donde M = {A, B }
A1 ∪ ... ∪ An = M , donde M = {A1, ..., An }
La unión general de conjuntos se denota de diversas maneras:
donde esta última se aplica en el caso de que se utilice un conjunto índice,
tomando M como {Ai : i ∈ I }.
[editar]Propiedades
Artículo principal: Álgebra de conjuntos
De la definición de unión puede deducirse directamente:
Idempotencia. La unión de un conjunto A consigo mismo
es el propio A :
A ∪ A = A
Tanto A como B son subconjuntos de su unión:
A ⊆ A ∪ B y B ⊆ A ∪ B
La unión de un conjunto A con un subconjunto
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suyo B lo deja inalterado:
B ⊆ A implica que A ∪ B = A
La unión de conjuntos posee también propiedades similares a las
operaciones con números:
Propiedad asociativa. La unión de los
conjuntos A y B ∪ C es igual que la unión de los
conjuntos A ∪ B y C :
( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C )
Propiedad conmutativa. La unión de los
conjuntos A y B es igual a la unión de los
conjuntos B y A :
A ∪ B = B ∪ A.
Elemento neutro. La unión de un
conjunto A con el conjunto vacío ∅ es el mismo
conjunto A:
A ∪ ∅ = A
Todas estas propiedades se deducen de propiedades análogas para
la disyunción lógica.
En relación con la operación de intersección existen unas leyes
distributivas:
Propiedad distributiva
A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ), y por tanto:
A ∪ ( A ∩ B) = A
A ∩ ( B ∪ C) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ), y por tanto:
A ∩ ( A ∪ B) = A
[editar]Cardinalidad
Artículos principales: Principio de la suma y Principio de inclusión-exclusión
El número de elementos de la unión de dos conjuntos finitos A y B es la
suma de los elementos de A y de B , si no tienen elementos en común.
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Si A y B son conjuntos disjuntos:
Como en un conjunto los elementos no pueden repetirse, si A y B tienen
elementos en común, al sumar sus elementos se contarían los elementos
comunes más de una vez. Por ejemplo:
{1, a , ♠} y {b , a , 5} tienen ambos tres elementos, pero su unión {1, a , ♠, b , 5} tiene cinco
elementos y no seis.
Por ello, es necesario eliminar las repeticiones al contar los elementos
de A ∪ B :
Dados dos conjuntos finitos A y B :
Esta fórmula se generaliza para el caso más complicado de una unión
de un número arbitrario de conjuntos finitos. Por ejemplo en el caso de
tres conjuntos se tiene:
|A ∪ B ∪ C | = |A| + |B | + |C | − |A ∩ B | − |B ∩ C | − |C ∩ A| + |A ∩ B ∩ C |
y en general se tiene el llamado principio de inclusión-
exclusión:
Dada una colección finita de conjuntos A1, ..., An :
Todas estas fórmulas se demuestran con facilidad para el caso
en el que los conjuntos involucrados sean finitos. Sin embargo,
también son ciertas en el caso de conjuntos infinitos, aunque
requieren el uso de cardinales infinitos.
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En teoría de conjuntos, la intersección de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta enotro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida. Por ejemplo, dado elconjunto de los números pares P y el conjunto de los cuadrados C de números naturales, suintersección es el conjunto de los cuadrados pares D :
P = {2, 4, 6, 8, 10,...}
C = {1, 4, 9, 16, 25, ...}
D = {4, 16, 36, 64, ...}
La intersección de conjuntos se denota por el símbolo ∩ por lo que D = P ∩ C .
Contenido
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1 Definición
o 1.1 Generalizaciones
2 Propiedades
3 Teoría axiomática
4 Referencias
5 Véase también
[editar]Definición
Intersección de dos conjuntos A y B .
Dados dos conjuntos A y B , la intersección de ambos, A ∩ B es un conjunto quecontiene los elementos que pertenecen a ambos conjuntos:
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LA intersección de dos conjuntos A y B es otro conjunto A ∩ B cuyos elementos
son los elementos comunes a A y B :
Ejemplo.
Sean A = {5, λ, ♠, c } y B = {ω, c , 0, Δ, 5, R }. Entonces la intersecciónes A ∩ B = {5, c }.
Sean los conjuntos de números naturales C = {n : n es una potencia de 2} y D ={n : n es un cubo}. Su intersección es C ∩ D = {n : n es una potencia de 2 y uncubo} = {n : n es una potencia de 2 cuyo exponente es múltiplo de 3} = {8, 64,512, ...}.
Sean los conjuntos de números pares e impares. Su intersección esel conjunto vacío ∅, ya que no existe ningún número natural que sea par e
impar a la vez.Cuando la intersección de dos conjuntos es vacía, se dice que son disjuntos:
Dos conjuntos A y B se dicen disjuntos si su intersección es el conjunto vacío:
[editar]Generalizaciones
La intersección de un número finito de conjuntos, superior a dos, se defineteniendo en cuenta que, debido a la propiedad asociativa (más abajo), el orden enel que se intersequen los conjuntos es irrelevante:
La definición más general en teoría de conjuntos se refiere a una familia deconjuntos, un conjunto cuyos elementos son conjuntos a su vez:
Sea M una familia de conjuntos. Su intersección ∩ M se define como:
De este modo, la intersección de un número finito de conjuntos es sólo un casoparticular de esta definición general:
A ∩ B = ∩M , donde M = {A, B }
A1 ∩ ... ∩ An = ∩M , donde M = {A1, ..., An }
La intersección general de conjuntos se denota de diversas maneras:
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donde esta última se aplica en el caso de que utilicemos un conjuntoíndice, definiendo M como {Ai : i ∈ I }.
[editar]PropiedadesArtículo principal: Álgebra de conjuntos
De la definición de intersección puede deducirse directamente:
Idempotencia. La intersección de un conjunto A consigo
mismo es el propio A :
A ∩ A = A
La intersección de A y B es un subconjunto de ambos:
A ∩ B ⊆ A y A ∩ B ⊆ B
La intersección de un conjunto B con un
conjunto A que lo contenga, deja a B inalterado:
B ⊆ A implica A ∩ B = B
La intersección de conjuntos posee también propiedades similares a lasoperaciones con números:
Propiedad asociativa. La intersección de los
conjuntos A y B ∩ C es igual a la intersección de los
conjuntos A ∩ B y C :
( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )
Propiedad conmutativa. La intersección de los
conjuntos A y B es igual a la intersección de los
conjuntos B y A :
A ∩ B = B ∩ A.
Elemento absorbente. La intersección de un
conjunto A con el conjunto vacío ∅ es ∅:
A ∩ ∅ = ∅
Todas estas propiedades se deducen de propiedades análogas parala conjunción lógica.
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En relación con la operación de unión existen unas leyes distributivas:
Propiedad distributiva
A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ), y por tanto:
A ∪ ( A ∩ B) = A
A ∩ ( B ∪ C) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ), y por tanto:
A ∩ ( A ∪ B) = A
}
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El conjunto complementario de un conjunto dado es otro conjunto que contiene todos loselementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar quétipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el conjunto universal. Por ejemplo, sise habla denúmeros naturales, el complementario del conjunto de los números primos P es elconjunto de los números no primos C , que está formado por los números compuestos y el 1:
P = {2, 3, 5, 7, ...}
C = {1, 4, 6, 8, 9,...}
A su vez, el conjunto C es el complementario de P. El conjunto complementario sedenota por una barra vertical o por el superíndice "∁", por lo que se tiene:P∁ = C , ytambién C = P.
El conjunto complementario de A es la diferencia (o complementario relativo) entre elconjunto universal y A, por lo que ambas operaciones (complementario y diferencia)tienen propiedades similares.
Contenido
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1 Definición
2 Propiedades
3 Véase también
4 Referencias
[editar]Definición
Complementario de un conjunto A.
Dado un conjunto A, su complementario es el conjunto A∁ formado por los elementosque no pertenecen a A:
El complementario de A es otro conjunto A∁ cuyos elementos son todos aquellos que
no están en A:
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Esta definición presupone que se ha especificado un conjunto universal U , pues de otromodo, en la afirmación "todos los x que no está en A", la palabra "todos" es ambigua. Sise menciona explícitamente el conjunto universal U , entonces el complementariode A es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A, por lo que larelación con la diferencia es clara:
Por otro lado, considerando un conjunto universal, la diferencia entre dos conjuntospuede expresarse utilizando la noción de complementariedad:
Ejemplo.
El complementario del conjunto de todos los hombres es el conjunto de todaslas mujeres (hablando de personas).
Hablando de números naturales, el complementario del conjunto {1, 5, 6, 7, 8, 10} esel conjunto {2, 3, 4, 9, 11, 12, ...}.
El complementario del conjunto A en la imagen es la zona sombreada de azul (elconjunto universal U es toda el área del rectángulo).
[editar]Propiedades
Puesto que el conjunto universal contiene todos los elementos en consideración, y
el conjunto vacío no contiene a ninguno, se tiene lo siguiente:
Puesto que la noción de complementariedad está relacionada con la negación en lógica, la primera posee propiedades similares a la segunda:
Propiedad involutiva. El complementario del complementario de A es el
propio A:
( A∁
)∁
= A
La unión de un conjunto y su complementario es el conjunto universal:
A ∪ A∁ = U
Un conjunto y su complementario son disjuntos:
A ∩ A∁ = ∅
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El complementario de A está contenido en el
complementario de cualquier subconjunto de A:
B ⊆ A implica que A∁ ⊆ B∁
Existen también unas relaciones entre las operaciones de unión e intersección a travésdel complemento:
Leyes de De Morgan
El complementario de la unión de dos conjuntos es la intersección de los
complementarios:
( A ∪ B)∁ = A∁ ∩ B∁
El complementario de la intersección de dos conjuntos es la unión de
los complementarios:
( A ∩ B)∁ = A∁ ∪ B∁
