Repaso de ConjuntosRepaso de Conjuntos

Conjuntos y subconjuntosConjuntos y subconjuntos Operaciones y leyes de la teoría de Operaciones y leyes de la teoría de

conjuntosconjuntos

Conjuntos y subconjuntosConjuntos y subconjuntos

ConjuntoConjunto:: Colección bien definida de objetos Colección bien definida de objetos llamados llamados elementoselementos que se dice son que se dice son miembrosmiembros del del conjunto.conjunto.

Debe definirse un Debe definirse un Universo Universo UU..

Si Si A = {x, | 1 A = {x, | 1 ≤ x ≤ 5≤ x ≤ 5},}, entonces entoncespara para UU = = ZZ A = {1, 2, 3, 4, 5}A = {1, 2, 3, 4, 5}para para UU = = RR A = [1, 5]A = [1, 5]para para UU = = ZZ pares pares A = { 2, 4 }A = { 2, 4 }

Conjuntos finitos.Conjuntos finitos.

UU = = ZZ+ +

Los enteros positivosLos enteros positivos

Conjuntos infinitosConjuntos infinitos

Cardinalidad: Cardinalidad: Número de elementos en un Número de elementos en un conjuntoconjunto

Si Si CC, , DD son conjuntos del universo son conjuntos del universo UU, se dice que , se dice que CC es un es un subconjuntosubconjunto de de DD y se escribe y se escribesi todo elemento de si todo elemento de CC es un elemento de es un elemento de DD..

Si además, Si además, DD contiene un elemento que no está contiene un elemento que no está en en CC, entonces , entonces CC es un es un subconjunto propiosubconjunto propio de de DD y y se denotase denota

Para estos conjuntos Para estos conjuntos CC y y DD del universo del universo UU, si, sientoncesentonces

Módulo 3

Para todos los subconjuntos Para todos los subconjuntos CC y y DD de de UU, si, si

Entonces siEntonces si

pero no es verdad que sipero no es verdad que si

Algo interesante:Algo interesante:

es falsa!!es falsa!!

Para un universo dado Para un universo dado UU, se dice que los , se dice que los conjuntos conjuntos CC y y DD (tomados de (tomados de UU) son ) son igualesiguales, y lo , y lo denotamos denotamos C = DC = D, cuando , cuando

SeanSeana) Sia) Si entonces entonces

b) Sib) Si entonces entonces

c) Sic) Si entonces entonces

d) Sid) Si entonces entonces

El El conjunto vacíoconjunto vacío o o conjunto nuloconjunto nulo, es el único , es el único conjunto que no contiene elementos y es conjunto que no contiene elementos y es denotado pordenotado por ó ó { }{ }

Para cualquier universo Para cualquier universo UU, sea, sea

EntoncesEntonces entoncesentonces

Si Si AA es un conjunto del universo es un conjunto del universo UU, el , el conjunto conjunto potenciapotencia de de AA, , P(A)P(A), es la colección de todos los , es la colección de todos los subconjuntos de subconjuntos de AA..

Para cualquier conjunto finito Para cualquier conjunto finito AA con con |A| = n |A| = n ≥ 0, A≥ 0, A tiene tiene 22nn subconjuntos, entonces subconjuntos, entonces |P(A)| = 2|P(A)| = 2nn..

Ejemplos:Ejemplos:

A={1,2}, P(A)={{},{1},{2},{1,2}} (2222= 4)= 4)

A={}, P(A)={{}} (2A={}, P(A)={{}} (200=1)=1)

Operaciones y leyes de la teoría de Operaciones y leyes de la teoría de conjuntos.conjuntos.

ParaPara definimos: definimos:

UniónUnión

IntersecciónIntersección

DiferenciaDiferencia

Negación Negación

Leyes de la teoría de conjuntos.Leyes de la teoría de conjuntos.

Relaciones y funcionesRelaciones y funciones

Productos cartesianos y relaciones.Productos cartesianos y relaciones.

DEF.DEF. Para los conjuntos Para los conjuntos A A yy B, B, el el producto cartesiano producto cartesiano oo producto cruzproducto cruz de de A A yy B B, se denota por , se denota por AA××BB y equivale a y equivale a

Los elementos de Los elementos de AA××BB son son pares ordenadospares ordenados..

Si Si A A yy B B son finitos | son finitos |AA××BB| = || = |A|A|··|B|B||

Además Además AA××B ≠ BB ≠ B××A A pero |pero |AA××BB| = || = |BB××AA| |

Ejemplo:Ejemplo:

A={1,2}, B={a,b} entonces:A={1,2}, B={a,b} entonces:

AA××B= B= = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}= {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}

• Actividad 5 “Conjuntos”Actividad 5 “Conjuntos”

Propiedades de las relaciones.Propiedades de las relaciones.

DEF.DEF. Para los conjuntos Para los conjuntos A A yy B, B, cualquier subconjunto de cualquier subconjunto de AA××BB es llamado es llamado relación binaria de relación binaria de AA a a BB. Cualquier . Cualquier subconjunto de subconjunto de AA×A×A es llamado es llamado relación binaria en relación binaria en AA..

DEF.DEF. Una relación Una relación RR sobre un conjunto sobre un conjunto A A es llamada es llamada reflexiva sireflexiva si

DEF.DEF. Una relación Una relación RR en en A A es es simétrica simétrica sisi

DEF.DEF. Para un conjunto Para un conjunto AA, una relación , una relación RR en en A A se dice se dice transitiva transitiva sisi

DEF.DEF. Una relación Una relación RR en en A A es es antisimétrica antisimétrica sisi

DEF.DEF. Una relación Una relación RR en en A A es de es de orden parcial orden parcial si si RR es es reflexiva, antisimétrica y transitiva.reflexiva, antisimétrica y transitiva.

DEF.DEF. Una Una relación de equivalenciarelación de equivalencia RR es una relación que es una relación que es reflexiva, simétrica y transitiva.es reflexiva, simétrica y transitiva.

• Actividad 6 “Relaciones”Actividad 6 “Relaciones”

Funciones comúnes, especiales y uno a unoFunciones comúnes, especiales y uno a uno

DEF.DEF. Para los conjuntos no vacios Para los conjuntos no vacios AA y y BB una una función función ff de de AA a a BB, denotada , denotada f: A → Bf: A → B, es una relación de A a B en la cual , es una relación de A a B en la cual todo elemento de A aparece a lo más una vez como el todo elemento de A aparece a lo más una vez como el primer componente de un par ordenado en la relación.primer componente de un par ordenado en la relación.

DEF.DEF. Para la función Para la función f: A → B, Af: A → B, A es llamado el es llamado el dominiodominio de de ff y y BB el el codominiocodominio de de ff. El suconjunto de . El suconjunto de BB que contiene aquellos que contiene aquellos elementos que aparecen como segundos componentes en elementos que aparecen como segundos componentes en los pares ordenados de los pares ordenados de ff es llamado el es llamado el rangorango de de f f y está y está denotado por denotado por f(A)f(A), pues es el conjunto de imágenes de los , pues es el conjunto de imágenes de los elementos de elementos de AA bajo bajo ff..

DEF.DEF. Una función Una función f: A → B f: A → B es es uno a uno o inyectivauno a uno o inyectiva, si para , si para cada elemento de cada elemento de B B aparece a lo más una vez como la aparece a lo más una vez como la imagen de un elemento de imagen de un elemento de A.A.

DEF.DEF. Una función Una función f: A → B f: A → B es es suprayectivasuprayectiva si si f(A)=B. f(A)=B. Esto Esto es, sies, si para toda para toda bb, existe al menos una , existe al menos una aa con con f(a)=bf(a)=b

• Actividad 7 “Funciones”Actividad 7 “Funciones”