Unidad 2 Lección 2 -...
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Unidad 2 – Lección 2.3 Reglas de derivación 02/10/2016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 19
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Unidad 2 – Lección 2.3
Reglas de derivación
02/10/2016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 19
Actividades 2.3• Referencia del Texto:
– Sección 11.2: Rules for Differentiation. Ver ejemplos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hacer ejercicios impares de 1 – 85
– Sección 11.3: La Derivada Como Razón de Cambio. Ver ejemplos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Hacer ejercicios impares 3-6,10, 11
• Math2me– Derivar funciones│constante
– Derivar funciones│producto CX
– Derivar funciones│suma y resta
– Derivar una variable con potencia│ej 1 ; Derivar una variable con potencia│ej 2 ; Derivar con raíz cuadrada│ejercicio 1 ; Derivar con raíz cuadrada│ejercicio 2 ; Derivar funciones con potencia | ej 1
• Khan Academy– Vea video "Regla de la Potencia"
– Vea video "Propiedades de las derivadas y derivadas de polinomios"
– Hacer ejercicios sobre "Regla de la Potencia"
– Vea Video "Las derivadas de e^x y ln x
• Otras Referencias del Web:– Michael Kelleys Calculus-help.com – Lección 2: The Power Rule
(Tutoriales animados, muy bueno)
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Reglas de diferenciación (1)
• Si 𝑓 𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜, entonces 𝑓′ 𝑥 = 0
• Ejemplos:
Si 𝑓(𝑥) = 5, entonces 𝑓’(𝑥) = 0
Si 𝑓(𝑥) = 𝜋, entonces 𝑓’(𝑥) = 0
• Si f(x) = xn, entonces 𝑓′ 𝑥 = 𝑛𝑥𝑛−1 para cualquier
número real 𝑛 diferente de 0.
• Ejemplos
Si 𝑓(𝑥) = 𝑥8, entonces 𝑓’(𝑥) = 8𝑥7
Si 𝑓(𝑥) = 𝑥−3, entonces 𝑓’(𝑥) = −3𝑥−4
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Reglas de diferenciación (2)
• Si 𝑓 𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 ∙ 𝑔 𝑥 entonces 𝑓′ 𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 ∙ 𝑔′ 𝑥
• Ejemplo:
Si 𝑓 𝑥 = 3𝑥6, entonces
𝑓′ 𝑥 = 3 ∙ 6𝑥5
= 18𝑥5
Si 𝑓 𝑥 = 6𝑥−2, entonces
𝑓′ 𝑥 = 6 ∙ −2𝑥−2−1
= −12𝑥−3
=−12
𝑥3
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Determine f’(x) si
Ejemplo 1
2
5)(
xxf
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25)( xxf
1)2()2(5)(' xxf
310 x
3
10
x
xxf 3)(
1)(
21 2
1
)(3)('
xxf
21
3)( xxf
21
2
3 x
21
2
3
x
21
21
x
x
x
x
2
3 21
x
x
2
3
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Ejercicios #1
1. f(x) = x4
2. f(x) =
3. f(x) = 9x
4. f(x) = -4x3
5. f(x) = -4x -2
6. f(x) = x1/3
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Determine la derivada:
5
34)(' xxf
0)(' xf
9)(' xf
212)(' xxf
3
8)('
xxf
131
3
1)('
xxf
32
3
1 x
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Ejemplo 2
• Problema: Si 𝑓 𝑥 = 5𝑥3 calcule la derivada de la
función en 𝑥 = 2.
• Solución:
– Paso 1 – calcule la función derivada 𝑓′(𝑥)
– Paso 2 – Evalúe la función derivada en 𝑥 = 2
• Otras maneras de presentar el mismo problema:
– Calcule la pendiente de la recta tangente cuando 𝑥 = 2
– Calcula la razón de cambio instantáneo cuando 𝑥 = 2
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𝑓′ 𝑥 = 5 ∙ 3𝑥3−1 = 15𝑥2
𝑓′ 2 = 15 2 2 = 60
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Ejemplo 3
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151
5
1 x
Determine:
121
2
1 x
23
2
1 x
23
2
1
x
54
5
1
x
54
5
1
x
xdx
d 1 5 x
dx
d
21
xdx
d 51
xdx
d
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Reglas de diferenciación: Adición y
Sustracción
• Si f(x) = u(x) + v(x) entonces:
f’(x) = u’(x) + v’(x)
• Si f(x) = u(x) - v(x) entonces:
f’(x) = u’(x) - v’(x)
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• Encuentre la función derivada de:
• Solución:
• Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la
función f en 𝑥 = 1
Ejemplo 4
xxxxf
358)( 33
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13 358)( 31
xxxxf
11113 )1(33
15)3(8)(' 3
1
xxxxf
22 33
524 3
2
xxx
224x x
x
3
53
2
3
x
2
124)1(f
13
153
21
3=58
3
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Ejemplo 5
Encuentre la ecuación de la recta tangente a
cuando x = 1
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)(' 33 xxdx
dy 33 x
dx
dx
dx
d 42 33 xx
)1( tangentela de pendiente ym
3
3 1
xxy
42 )1(3)1(3 6
La ecuación de la tangente por el punto (1,0) es:
)1(60 xy
66 xy
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Nomenclatura
• Primera derivada (“funcíon derivada”):
• La primera derivada en 𝑥 = 5
• Segunda derivada
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)(' xf 'ydx
dy
dx
df fDx
)('' xf ''y2
2
dx
yd2
2
dx
fd fDx2
)5('f5xdx
dy
5xdx
df fDx 55
'x
y
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Ejercicio #2
1.
2.
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xxx
dx
d 22 43
2
2 1
xx
dx
d
xdx
dx
dx
dx
dx
d 2)2( 43
2
42 2
46
xx
xx
22 xdx
dx
dx
d
322 xx
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Razón de Cambio Promedio vs Instantáneo
xxxf 5)( 2
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• Encuentre la razón de
cambio promedio entre
los valores 1.5 a 3.5.
)5.1(5.3
)5.1()5.3(
ff
2
)75.9()75.29(
ab
afbf
x
y
)()(
• Encuentre la razón de
cambio instantáneo en 3.
ab
afbfxf
ab
)()(lim)('
h
fhff
h
)3()3(lim)3('
0
h
hh
h
)]3(53[)]3(5)3[(lim
22
0
h
hhh
h
]24[]51569[lim
2
0
)11(lim0
hh
11
10
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Interpretación de la Derivada como razón
de cambio
ab
afbfab
)()(lim
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• La razón de cambio instantánea de un función f
cuando x = a, está dado por:
siempre que este límite exista.
• La razón de cambio instantánea de un función cuando
x = a es la derivada de la función en a. Esto es, f’(a).
h
xfhxfh
)()(lim 0
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Costo Marginal• El costo marginal se define es el aumento en el costo total que
se produce cuando la cantidad producida cambia en una unidad
(Enciclopedia financiera)
• Determine el costo marginal al producir 50 artículos si la
función costo es 𝐶 𝑥 = 0.001𝑥3 − 0.3𝑥2 + 40𝑥 + 1000
• Solución:
• El costo marginal cuando se produce 50 artículos es $17.5
• Al producir 50 artículos, el costo incrementará por $17.5 si se
produce un articulo adicional.
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1000403.0001.0)( 23 xxxdx
dxC 040)2(3.0)3(001.0 2 xx
406.0003.0 2 xx
40)50(6.0)50(003.0)5( 2 C 5.17
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Ingreso Marginal
• Determine el ingreso marginal al vender 200
artículos si la función ingreso es:
• Solución:
• ¿Qué indica el ingreso marginal?
• Cuando se venden 200 artículos, el ingreso
incrementará por $6, por vender un articulo adicional.
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201.010)( xxxR
201.010)( xxdx
dxR
x02.010
)200(02.010)200( R 6
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Ejercicios del Texto 1-30, 61-83
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Ejercicios del Texto 32-60, 84-89
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