Lección 2.3

Ecuaciones Cuadráticas

02/17/2016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 18

Actividades 2.3• Capítulo 2 –

o Sección 1.5 Ecuaciones Cuadráticas y Aplicaciones. Realice los

ejercicios impares del 7-29, 33-51

o Sección 3.4 Funciones Cuadráticas impares 47 - 55

• Asignación 2.3 –

o De la Sección 1.5, resuelva problemas 20, 30 y 44

o De la Sección 3.4, resuelva 50

• Referencias en el Web:

o José Anadalón: Tipos de Ecuaciones Cuadráticas; Resolviendo

ecuaciones cuadráticas por factorización; Fórmula Cuadrática

o Khan Academy: Solving Ecuaciones Cuadráticas (1) tomando la

raíz cuadrada; (2) Por factorización; (3) Método de Completar el

Cuadrado

o Julio Profes: Desigualdades Cuadráticas Ejercicio 1; Ejercicio 2:

Ejercicio 3; Ejercicio 4

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• Es una ecuación cuadrática es una ecuación con una

variable que se puede expresar de la forma:

La Ecuacion Cuadrática

2 0ax bx c

02/17/2016

a, b, c son números reales. a es distinto de 0.

Ejemplos:

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3𝑥2 − 27 = 0

2𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0

−3𝑥2 − 𝑥 = 0

Soluciones:

−3

2, 2

0 ,−1

3

−3 , 3 = ±3

3 de 18

Resolución por la Propiedad de la Raíz Cuadrada

• Si x, a son dos números reales tal que a es positivo:

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𝑥2 = 25

𝑥2 = 𝑎 𝑥 = 𝑎 ó 𝑥 = − 𝑎

𝑥 = 25 = 5 ó

𝑥 = − 25 = −5

3𝑥2 = 27

𝑥 = ± 9 = ±3

𝑥2

3=27

9

𝑥2 = 9

4 de 18

𝑥 = ±5

Mas ejempos• Resuelva:

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(2𝑦 + 5)2 = 8

2𝑦 + 5 = 8

2𝑦 + 5 =

2𝑦 + 5 = − 8

2𝑦 = −5 + 2 2

𝑦 =−5 + 2 2

2

2 2 2𝑦 + 5 =

2𝑦 = −5 − 2 2

𝑦 =−5 − 2 2

2

−2 2

𝒚 =−𝟓 ± 𝟐 𝟐

𝟐

5 de 18

Resolución por la propiedad del Cero

• Si a, b son dos números reales:

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𝑥(𝑥 + 2) = 0

𝑎 ∙ 𝑏 = 0 𝑎 = 0 ó 𝑏 = 0

𝑥 = 0 ó 𝑥 + 2 = 0

𝑥 = −2

𝑥(𝑥 + 4)(𝑥 − 3) = 0

𝑥 = 0 ó 𝑥 + 4 = 0𝑥 = −4

𝑥 − 3 = 0𝑥 = 3

𝑥(𝑥 − 9) = 0

𝑥 = 0 ó 𝑥 − 9 = 0

𝑥 = 9

𝑥2 − 9𝑥 = 03(𝑥2 − 4) = 0

𝑥 − 2 = 0 ó 𝑥 + 2 = 0𝑥 = 2

3𝑥2 − 12 = 0

3(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 0

𝑥 = −2

6 de 18

Soluciones: 0,−2

Soluciones: 0, 9

Soluciones: 0,−4, 3

Soluciones: ±2

Resolución por factorización

• Resuelva.

02/17/2016

2 6 8 0x x

( 4)( 2) 0x x

4 0x 2 0x

4x 2x

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2𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0

2𝑥2 + 4𝑥 − 3𝑥 − 6 = 0

2𝑥 𝑥 + 2 − 3(𝑥 + 2) = 0

2𝑥 − 3 (𝑥 + 2) = 0

2𝑥 − 3 = 0 𝑥 + 2 = 02𝑥 = 3

𝑥 =3

2

𝑥 = −2

7 de 18

Soluciones: 4, 2Soluciones:

3

2, −2

Completando el cuadrado

• Algunos trinomios se pueden expresar como el cuadrado de un

binomio. Ejemplo:

• Si se desea modificar un binomio para convertirlo a un trinomio

que se pueda expresar como un cuadrado perfecto añádale el

término 𝑏

2

2

• Ejemplo:

02/17/2016

22 )3(96 xxx

22 )3(96 xxx

22 )1(12 xxx

22 )2

1(

4

1 yyy

22 ?)(?8 xxx

𝑏

2

2

= 𝑏

2

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𝑥2 + 8𝑥 + 16 = 𝑥 + 4 2

8 de 18

Resolución completando el cuadrado• Resuelva

02/17/2016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada

𝑥2 + 8𝑥 − 4 = 0

𝑥2 + 8𝑥 = 0 + 4

𝑥2 + 8𝑥 = 4

𝑥 + 4 2

𝑏

2

2

=

𝑏

2

+ 16 + 16

= 20

2𝑥2 + 10𝑥 − 2 = 0

𝑥2 + 5𝑥 = 0 + 1

𝑥2 + 5𝑥 = 1

𝑥 +5

2

2

+5

2

2

+5

2

2

=29

4𝑥 + 4 = ± 20

𝑥 + 4 = ±2 5

𝑥 = −4 ± 2 5

𝑥2 + 5𝑥 − 1 = 0

𝑥 +5

2= ±

29

4

𝑥 = −5

2±

29

2

= ±29

2

=−5 ± 29

2

9 de 18

Fórmula cuadrática

• Sea entonces,

Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0, la ecuación sólo tiene 1 solución real

Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0, la ecuación NO tiene solución real

Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0, la ecuación tiene 2 soluciones reales.

• Ejemplo: Identifique el tipo de solución de

02/17/2016

02 cbxax

a

acbbx

2

]4[ 2

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−𝑥2 + 3𝑥 − 4 = 0

𝑎 = −1

𝑏 = 3

𝑐 = −4

𝑏2 − 4𝑎𝑐 =

(3)2−4(−1)(−4) =

9 − 16 = −7

𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙

10 de 18

Resolución por la Fórmula Cuadrática

• Resuelva

• Entonces,

o Paso 1: Identifique coeficientes

a = 2, b = -3, c = 1

o Paso 2: Reemplace los valores en la fórmula

02/17/2016

0132 2 xx

)2(2

])1)(2(4)3()3([ 2 x

a

acbbx

2

]4[ 2

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Ejemplo (cont.’)

• Simplifique …

02/17/2016

)2(2

])1)(2(4)3()3([ 2 x

4

]893[ x

4

]13[ x

14

13

x

2

1

4

13

x

Soluciones: 1,1

2

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 12 de 18

Ejercicio

• Resuelva la ecuación: . Luego,

aproxímela a la centésima más cercana.

a

acbbx

2

]4[ 2

0842 xx

)1(2

])8)(1(4)4()4([ 2 x

2

]32164[ x

2

]484[ x 322x

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2

]344[ x

322x

322x

464101615.5

464101615.1

46.5

46.1

13 de 18

Ejercicio del Texto

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DESIGUALDADES

CUADRÁTICAS

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3𝑥2 − 27 ≤ 0

2𝑥2 − 𝑥 − 6 > 0

−3𝑥2 − 𝑥 < 0

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Ejemplo 1

• Resuelva

• Paso 1 – Resuelva la ecuación cuadrática

• Paso 2 – Identifique los intervalos de interés

• Paso 3 – Identifique los signos de la expresión al evaluarlo en

valores en los intervalos de interés

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𝑥2 + 𝑥 − 6 < 0

𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0

(𝑥 + 3)(𝑥 − 2) = 0

𝑥 = −3 , 𝑥 = 2

0-3 2−∞,−3 −3, 2 2, −∞

+ − +

Solución: −𝟑, 𝟐

16 de 18

Ejemplo 2

• Resuelva

• Paso 1 – Resuelva la ecuación cuadrática

• Paso 2 – Identifique los intervalos de interés

• Paso 3 – Identifique los signos de la expresión al evaluarlo en

valores en los intervalos de interés

Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/17/2016

𝑥2 − 1 ≥ 4𝑥

𝑥2 − 4𝑥 − 1 = 0

02 − 5 2 + 5

−∞, 2−√5 2 − 5, 2 + 5 2 + 5,∞

+ − +

Solución:

𝑥 =−(−4) ± (−4)2−4(1)(−1)

2(1)=4 ± 16 + 4

2

=4 ± 2 5

2= 2 ± 5 ≈ −0.2, 4.2

𝑥2 − 4𝑥 − 1 ≥ 0

−∞, 2−√5 ∪ 2 + 5,∞

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Ejercicios del Texto

• Resuelva y exprese en notación de intervalos

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