Unidad 2 - Lección 2myfaculty.metro.inter.edu/jahumada/mecu3032/unidad2/... · 2017-11-30 · d 3...
18
Unidad 2 - Lección 2.5 La Regla de la Cadena 29/11/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 18
Transcript of Unidad 2 - Lección 2myfaculty.metro.inter.edu/jahumada/mecu3032/unidad2/... · 2017-11-30 · d 3...
Unidad 2 - Lección 2.5
La Regla de la Cadena
29/11/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 18
Actividades 2.5
• Referencia: Section 11.5: The Chain Rule. Estudie Ejemplos del 1 al 8.
Ejercicios de práctica 1 – 4; 9-29, 33, 34, 35, 37, 55, 60.
• Calculus Help.com Tutorials –
– Lesson 5: The Chain Rule
• Khan Academy -
– Vea el video "Introducción a la Regla de la Cadena"
– Vea el video "Definición y ejemplo de la Regla de la Caenda"
– Vea el video "La Regla de la Cadena para la derivada de 2^x"
– Vea el video "Regla de la Cadena visualizando las gráficas de las
funciones. Ejemplo"
– Vea el video "Regla de la Cadena utilizando información visual. Ejemplo"
– Veo el video "Regla de la Cadena con triple composición"
• E-MathLab.com:
– Ejercicios de prática interactivos. Regla de la Cadena.
Prof. José G. Rodríguez Ahumada29/11/2017 2 de 18
¿Cómo calcularía la primera derivada?
• Observe que:
1. Use las reglas básicas de diferenciación para
derivar las funciones a la izquierda.
2. Las funciones a la derecha son funciones
compuestas.
– Para evaluar la función tiene que evaluar primero la
expresión o función interna (u).
– La variable de x NO está sóla.
Prof. José G. Rodríguez Ahumada29/11/2017
xy
xy
4
3
32 5 xy
34 xy
52 xu
3 xu
3 de 18
La Regla de la Cadena
gf
')(')'( ggfgf
dx
du
du
dy
dx
dy
29/11/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 4 de 18
La Regla de la Cadena
• Si es función de y es función de , entonces,
• Por ejemplo:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada29/11/2017
y
dx
dy
u
du
dy
dx
du
42 13 xy
13 2 xu
4uy
du
dy
4xy
dx
dy dx
dy
du
dy
dx
du
dx
dy 32 134 x )13( 2 xdx
d
32 134 x x6
32 1324 xx
u x
34x 34u
5 de 18
Ejemplo 1
Calcule la primera derivada de las siguientes funciones:
• 1) 2)
Prof. José G. Rodríguez Ahumada29/11/2017
3xy 32 5 xy52 xu
dx
dy 22 53 xy 5 2 xdx
d
22 53 x x2
22 56 xx
23x
6 de 18
Ejemplo 2
Calcule la primera derivada de las siguientes funciones:
• 1) 2)
Prof. José G. Rodríguez Ahumada29/11/2017
xy 4 34 xy 3 xu
2
1
4x
12
1
32
14
x
dx
dy 3 x
dx
d
2
1
32
x 1
3
2
x
dx
dy 12
1
2
14
x
x
2
2
1
34 x
x
x2 ó
3
32 ó
x
x
2
1
2
x
7 de 18
Ejercicio #1
• Calcule:
1.
Prof. José G. Rodríguez Ahumada29/11/2017
3 21 xdx
d 3
1
21 xdx
d
xdx
dx 2121
3
132
2213
132
x
3 2213
2
x
)21(3
21 2
3
x
xó
8 de 18
La Regla de la Potencia General
• Si n es cualquier número real, u = g(x) es derivable,
entonces:
• Ejemplos:
a)
b)
udx
dnuu
dx
d nn 1)(
43 )52( xdx
d 33 )52(4 x 26x 332 )52(24 xx
52 )84( xxdx
d )88( x.)84(5 42 xx
42 )84)(1(40 xxx
)1(8 x42 )84(5 xx
29/11/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 9 de 18
Ejercicio #2
• Calcule:
1.
2.
Prof. José G. Rodríguez Ahumada29/11/2017
32 )1( xxdx
d)1()1(3 222 xx
dx
dxx
)12()1(3 22 xxx
53 )24( xxdx
d )24()24(5 343 xx
dx
dxx
43 )24(5 xx )212( 2 x
43 )24(5 xx )16(2 2 x
16)24(10 243 xxx
10 de 18
Ejemplo 3• Determine el Costo Marginal al producir 3 unidades de
un producto si la función costo en millones de dólares es:
• Solución:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada29/11/2017
5
12
1)(
n
nnC
5
12
1
n
n
dn
d
12
1
12
15
4
n
n
dn
d
n
n
2
4
)12(
)12()1()1()12(
12
15
n
ndn
dnn
dn
dn
n
n
2
4
)12(
2)1()12(
12
15
n
nn
n
n
2
4
)12(
3
12
15
nn
n6
4
)12(
)1(15
n
n
Regla de la Cadena
Regla del Cociente
3ndn
dC
El Costo Marginal al
producir 3 unidades es
6
4
)1)3(2(
)13(15
≈ $0.002039966 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠
≈ $2,040
Cuando se producen 3 unidades,
costará $2,040 por producir 1 unidad
adicional.
11 de 18
Ejercicio #3
• Calcule 𝑑𝑦
𝑑𝑥cuando 𝑥 = 5.6 si 𝑦 =
2𝑥+4
3𝑥−1
3
Prof. José G. Rodríguez Ahumada29/11/2017
3
13
42
x
x
dx
d
13
42
13
423
2
x
x
dt
d
x
x
2
2
)13(
)13()42()42()13(
13
423
x
xdx
dxx
dx
dx
x
x
2
2
)13(
)42(3)13(2
13
423
x
xx
x
x
22
2
)13(
14
13
423
xx
x4
2
)13(
)42(42
x
x
Regla de la Cadena
Regla del Cociente
6.5
3
13
42
xx
x
dx
d4
2
)1)6.5(3(
)4)6.5(2(42
≈ −0.155706993
12 de 18
PROBLEMAS APLICADOS
Regla de la Cadena
29/11/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 13 de 18
Ejemplo 4
• Una compañía determina que el ingreso (revenue) en miles por
producir q unidades de un producto está dado por 𝑅 𝑞 =900𝑞
𝑞+9.
Al producir 81 unidades, ¿cuál sería el ingreso adicional que
harían si producen una unidad adicional?
Prof. José G. Rodríguez Ahumada29/11/2017
ቤ𝑑𝑅
𝑑𝑞𝑞=81
=
𝑑
𝑑𝑞
900
𝑞 + 9=
𝑞 + 9 900 − 900𝑞(1)
(𝑞 + 9)2=
8100
(𝑞 + 9)2
8100
((81) + 9)2= 1
El ingreso marginal al producir 81 unidades será de $1,000
¿Ingreso marginal
cuando q = 81?
14 de 18
¿La Regla la Cadena?
Si 𝑦 = 2𝑢3 − 𝑢 entonces 𝑑𝑦
𝑑𝑢
Prof. José G. Rodríguez Ahumada29/11/2017
= 6𝑢2 − 1
= −12𝑥2 − 5Si 𝑢 = −4𝑥3 − 5𝑥 entonces 𝑑𝑢
𝑑𝑥Que será ¿
𝑑𝑦
𝑑𝑥?
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑𝑦
𝑑𝑢∙𝑑𝑢
𝑑𝑥
Por la 𝑅𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐶𝑎𝑑𝑒𝑛𝑎
= (6𝑢2 − 1) ∙ (−12𝑥2 − 5)
= (6(−4𝑥3−5𝑥)2 − 1) ∙ (−12𝑥2 − 5)
= −3𝑡2 −2
𝑡Si u = −𝑡3 − 2 ln 𝑡 entonces
𝑑𝑢
𝑑𝑡 Que será ¿𝑑𝑦
𝑑𝑡?
𝑑𝑦
𝑑𝑡=
𝑑𝑦
𝑑𝑢∙𝑑𝑢
𝑑𝑡
= (6𝑢2 − 1) ∙ (−3𝑡2 +2
𝑡)
= (6(−𝑡3−2 ln 𝑡)2 − 1) ∙ (−3𝑡2 +2
𝑡)
15 de 18
Ejemplo – Ingreso marginal• El ingreso (revenue) R en cientos de dólares de la venta de x
unidades de un producto es 𝑅 =4
𝑥+ 42𝑥. El número de unidades
vendidas después de 𝑡 semanas de un anuncio es 𝑥 = 45 +10
𝑡.
Encuentre la razón de cambio (instantáneo) del ingreso cuando ha
pasado 4 semanas e interprételo.
• Solución:
La razón de cambio del ingreso es
Por la RC:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada29/11/2017
𝑑𝑅
𝑑𝑥∙𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑅
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥
4
𝑥+ 42𝑥 = −4𝑥−2 + 42
𝑑𝑥
𝑑𝑡=
𝑑
𝑑𝑥45 +
10
𝑡= −10𝑡−2
𝑑𝑅
𝑑𝑡= (−4𝑥−2 + 42) ∙ (−10𝑡−2)
= (−4(45 +10
𝑡)−2+42) ∙ (−10𝑡
−2)
𝑑𝑅
𝑑𝑡=
𝑑𝑅
𝑑𝑡
16 de 18
Ejemplo … (cont.)
Prof. José G. Rodríguez Ahumada29/11/2017
𝑑𝑅
𝑑𝑡|𝑡=4 =
= [−4 47.5 −2 + 42] ∙ −0.625
≈ 26.24889197 𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
≈ $2,625
Al transcurrir cuatro semanas, el ingreso aumentará por
aproximadamente $2,625 por cada semana adicional de anuncio.
Además, si 𝑡 = 4
(−4(45 +10
4)−2+42) ∙ (−10(4)
−2)
17 de 18
Ejercicios del Texto
Prof. José G. Rodríguez Ahumada29/11/2017 18 de 18
