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Unidad 14 – Probabilidad PÁGINA 234

SOLUCIONES_________________________________________________________________ Calcular variaciones.

43,2 5,3 2,4

3! 5!a) 6 b) 60 c) 2 16 (3 2)! (5 3)!

V V VR= = = = = =− −

Calcular permutaciones. a) P3 = 3! = 6 b) P5 = 5! = 120 c) P10 = 10! =3 628 800 P11 = 11! =39 916 800 palabras diferentes. Números combinatorios.

5 10 10 75! 7!a) 10 b) 10 c) 353 9 1 33!(5 3)! 3!(7 3)!⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

SOLUCIONES_________________________________________________________________ 1. Experimentos deterministas. a) Lanzar un objeto. b) Calentar agua a 100º. Experimentos aleatorios. a) Sacar una moneda de una bolsa. b) Saca una carta de la baraja. 2. a) E = {cara, cruz} b) E = {(cara, 1), (cara, 2), (cara, 3), (cara, 4), (cara, 5), (cara, 6), (cruz, 1), (cruz, 2), (cruz, 3), (cruz, 4), (cruz, 5), (cruz, 6)} c) E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (5, 7), (5, 8), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6), (6, 7), (6, 8), (7, 1), (7, 2), (7, 3), (7, 4), (7, 5), (7, 6), (7, 7), (7, 8), (8, 1), (8, 2), (8, 3), (8, 4), (8, 5), (8, 6), (8, 7), (8, 8)} d) E = {as de oros, dos de oros, tres de oros, cuatro de oros, cinco de oros, seis de oros, siete de oros, sota de oros, caballo de oros, rey de oros, as de copas, dos de copas, tres de copas, cuatro de copas, cinco de copas, seis de copas, siete de copas, sota de copas, caballo de copas, rey de copas, as de espadas, dos de espadas, tres de espadas, cuatro de espadas, cinco de espadas, seis de espadas, siete de espadas, sota de espadas, caballo de espadas, rey de espadas, as de bastos, dos de bastos, tres de bastos, cuatro de bastos, cinco de bastos, seis de bastos, siete de bastos, sota de bastos, caballo de bastos, rey de bastos} d) E = {(cara, cara, cara), (cara, cara, cruz), (cara, cruz, cara), (cruz, cara, cara), (cruz, cruz, cruz), (cruz, cruz, cara), (cruz, cara, cruz), (cara, cruz, cruz)}

SOLUCIONES_________________________________________________________________ 3. a) Suceso seguro = E = {Ø, cara, cruz, (cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara), (cruz, cruz)} Sucesos elementales: {cara}, {cruz} b) Suceso seguro = E = {Ø, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6,6)} Sucesos elementales: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} c) Suceso seguro = E = {Ø, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, {10}, {11}, {12}, (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6,6)} Sucesos elementales: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, {10}, {11}, {12} d) Suceso seguro = E = {Ø, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, {10}, {11}, {12}, {15}, {18}, {20}, {24}, {25}, {30}, {36}, (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6,6)} Sucesos elementales: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, {10}, {11}, {12}, {15}, {18}, {20}, {24}, {25}, {30}, {36}. 4. a) Sucesos compuestos: (cruz, cara), (cruz, cruz). b) Sucesos compuestos: (5, 4), (5, 5). c) Sucesos compuestos: (2, 2), (2, 3). d) Sucesos compuestos: (3, 3), (3, 4).

SOLUCIONES_________________________________________________________________ 5.

{ }{ }{ }

a) Sacar un número múltiplo de 3 o múltiplo de 5

b) Sacar un número múltiplo de 3 o múltiplo de 4

c) Sacar un número múltiplo de 5 o múltiplo de 4

d) Sacar un número múltiplo de 3 y múlti

A B

A C

B C

A B

∪ =

∪ =

∪ =

∩ ={ } { }{ } { }{ }

plo de 5 Sacar un número múltiplo de 15

e) Sacar un número múltiplo de 3 y múltiplo de 4 Sacar un número múltiplo de 12

f) Sacar un número múltiplo de 5 y múltiplo de 4 Sacar un número múltiplo

A C

B C

=

∩ = =

∩ = ={ }{ }{ }{ }

de 20

g) Sacar un número que no sea múltiplo de 3 pero sí de 5

h) Sacar un número que sea múltiplo de 5 pero no de 4

i)

A B

B C

C C

∩ =

∩ =

∩ = ∅

SOLUCIONES_________________________________________________________________ 6.

Cara 1 2 3 4 5 6Frecuencia absoluta 20 23 17 16 16 8

Si la probabilidad es el valor al que tiende la frecuencia relativa, calculemos la frecuencia relativa de cada cara. h(1) = 0’2 h(2) = 0’23 h(3) = 0’17 h(4) = 0’16 h(5) = 0’16 h(6) = 0’08

La probabilidad es aproximadamente 0’14, es decir, aproximadamente 16

.

SOLUCIONES_________________________________________________________________ 7.

0porque A y B son incompatibles.

0

a) ( ) 1 ( ) 1 0 '3 0 '7b) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 '3 0 '25 0 '55

c) ( ) ( ) 0

d) ( ) 1 ( ) 1 0 '25 0 '75

e) ( ) ( ) ( ) ( ) (

B B

P A P AP A B P A P B P A B

P A B P

P B P B

P B B P B P B P B B P B

∩ =∅

= − = − =∪ = + − ∩ = + =

∩ = ∅ =

= − = − =

∪ = + − ∩ = ) 1 ( ) 1

f) ( ) 0 porque

P B

P A A A A

+ − =

∩ = ∩ =∅

SOLUCIONES_________________________________________________________________

( ) casos favorablesRegla de Laplace P Acasos posibles

=

8.

8 4a) ( ) (4) 0 '2 d) ( ) 0 '140 40

4 1b) ( ) 0 '1 e) ( ) 0 '02540 4016c) ( ) 0 '4 f)40

P A P P A

P A P A

P A

= = = = =

= = = =

= =

i

10( ) 0 '2540

P A = =

9.

1 2a) ( ) 0 '33 c) ( ) ( ) ( ) 0 '673 31 1b) ( ) 0 '33 d) ( ) 1 ( ) ( ) 0 '33 3

P XX P XC XX P XC P XX

P XC P C P C P XX

= = ∪ = + = =

= = = − = = =

SOLUCIONES_________________________________________________________________ 10. El espacio muestral de nuestro suceso es E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, pero los sucesos no son equiprobables, así que consideremos el suceso ‘’lanzar dos veces un dado de cuatro caras’’. Su espacio muestral es E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} y su sucesos elementales son equiprobables. El número de sucesos coincide con el número de variaciones con repetición de cuatro elementos tomados de dos en dos: VR4, 2 = 42 = 16

Suceso Casos favorables Número de casos favorables Probabilidad {2} (1, 1) 1 1

16

{3} (1, 2), (2, 1) 2 216

{4} (1, 3), (2, 2), (3,1) 3 316

{5} (1, 4), (2,3), (3,2), (4,1) 4 416

{6} (2, 4), (3, 3), (4,2) 3 316

{7} (3, 4), (4, 3) 2 216

{8} (4, 4) 1 116

11. El espacio muestral de nuestro suceso es E = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16}, pero los sucesos no son equiprobables, así que consideremos el suceso ‘’lanzar dos veces un dado de cuatro caras’’. Su espacio muestral es E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} y su sucesos elementales son equiprobables. El número de sucesos coincide con el número de variaciones con repetición de cuatro elementos tomados de dos en dos: VR4, 2 = 42 = 16

a) Suceso Casos favorables Número de casos favorables Probabilidad

{1} (1, 1) 1 116

{2} (1, 2), (2, 1) 2 216

{3} (1, 3), (3,1) 2 216

{4} (1, 4), (2, 2), (4,1) 3 316

{6} (2,3), (3,2) 2 216

{8} (2, 4), (4,2) 2 216

{9} (3, 3) 1 116

{12} (3, 4), (4, 3) 2 216

{16} (4, 4) 1 116

b)

(2) (2 4 6 8 12 16) (2) (4) (6) (8) (12) (16)2 3 2 2 2 1 12

16 16 16 16 16 16 16: Todos los sucesos incluídos son incompatibles, por eso no es necesario añadir

la diferencia de l

P P P P P P P P

Observación

= ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ = + + + + + =

= + + + + + =

i

as intersecciones.

c)

(3) (3 6 9 12) (3) (6) (9) (12)2 2 1 2 7

16 16 16 16 16: Todos los sucesos incluídos son incompatibles, por eso no es necesario añadir

la diferencia de las intersecciones.

P P P P P P

Observación

= ∪ ∪ ∪ = + + + =

= + + + =

i

d)

(2 3) (6) (6 12) (6) (12)2 2 4

16 16 16: Todos los sucesos incluídos son incompatibles, por eso no es necesario añadir

la diferencia de las intersecciones.

P P P P P

Observación

∩ = = ∪ = + =

= + =

i i i

SOLUCIONES_________________________________________________________________ 12. Llamaremos a la posibilidad de obtener cara y a la de obtener cruz. Ambas tienen la

1misma probabilidad de ocurrir: ( ) ( ) .2

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

C X

P C P X

P C P CXX P XCX P XXCP C P X P X P X P C P X

= =

= + + == ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ( ) ( ) ( )

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8

b) (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8

c) (3 ) ( )

P X P X P C

P C P CCX P XCC P CXCP C P C P X P X P C P C P C P X P C

P C P CCC P

+ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

= + + == ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

= =1 1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2 8

d) (al menos una cara) 1 (ninguna cara) 1 (tres cruces)1 1 1 71 ( ) ( ) ( ) ( ) 12 2 2 8

C P C P C

P P P

P XXX P X P X P X

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

= − = − =

− = ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ =

13.

{ } { }

{ } { }

a) El suceso ''obtener un cinco y un seis'' puede darse sacando (5, 6) ó (6, 5).1 1 1( (5, 6) ) ( (6, 5) ) (5) (6)6 6 36

2 1( ) ( (5, 6) ) ( (6, 5) )36 18

P P P P

P A P P

= = ⋅ = ⋅ =

= + = =

[ ]

{ }

{ }6

1

b)El suceso ''obtener un cinco en el primer dado'' puede darse sacando (5, ) con 1,6 . 1 1 1( (5, ) ) (5) ( )6 6 36

6 1( ) ( (5, ) )36 6

c)El suceso ''obtener al menos un cinco'', es el complem

x

x x

P x P P x

P A P x=

∈

= ⋅ = ⋅ =

= = =∑

[ ] { }entario de ''no obtener ningún cinco'', entonces

podemos sacar cualquier combinación ( , ), siempre y cuando , 1,6 / 5(al menos un cinco) 1 (ningún cinco)

Si contamos el número de casos que tenemos

x y x yP P

∈

= −

{ }

25,2

, coinciden con el número de variaciones con repetición de cinco elementos tomados de dos en dos, es decir, 5 25. Por lo tanto,

1 1 1si ( ( , ) ) ( ) ( ) ,6 6 36

la probabilidad de que no salga ni

VR

P x y P x P y

= =

= ⋅ = ⋅ =

1 25ngún cinco es 25 .36 36

25 11(al menos un cinco) 1 (ningún cinco) 136 36

d) (obtener un número par en ( , )) ( par) ( impar) ( impar) ( par)[ (2) (4) (6)] [ (1) (3) (5)] [ (1) (3) (

P P

P x y P x P y P x P yP P P P P P P P P

⋅ =

= − = − =

= ⋅ + ⋅ == + + ⋅ + + + + + 5)] [ (2) (4) (6)]

3 3 3 3 9 9 18 16 6 6 6 36 36 36 2

P P P⋅ + + =

= ⋅ + ⋅ = + = =

SOLUCIONES_________________________________________________________________ 14.

( )

1 2 3

3 21 2 3 1

1 2 1

a) Queremos que las extracciones se den en el orden siguiente:1ª Blanca B 2ª Roja R 3ª Negra NPor lo tanto, tenemos que calcular

( ) N RP B R N P P P BB R B

P

→ → →

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∩ ∩ = ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟∩ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( )

( )

321

1 1 2

3 21

1 2 1

1 2 3

7 8 3, , 18 17 16

3 8 7 716 17 18 204

7Solución: ( )204

NRB P PB B R

N RP P P BB R B

P B R N

⎛ ⎞⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∩⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟∩ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∩ ∩ =

( )

( )

3 21 2 3 1

1 2 1

321

1 1 2

3

1

b) Queremos que las extracciones sean negras, por lo tanto tenemos que calcular

( )

3 2 1, , 18 17 16

N NP N N N P P P NN N N

NNP N P PN N N

NP N

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∩ ∩ = ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟∩ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∩⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )21

2 1

1 2 3

1 2 3 116 17 18 816

1Solución: ( )816

NP P NN N

P N N N

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟∩ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∩ ∩ =

( )3 21 2 3 1

1 2 1

c) Queremos que las extracciones sean dos bolas negras y una blanca, por lo tanto tenemosque calcular:

( ) B NP N N B P P P NN N N⎛ ⎞ ⎛ ⎞∩ ∩ = ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟∩ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( )

( )

321

1 1 2

3 21

1 2 1

1 2 3

3 2 7, , 18 17 16

7 2 3 716 17 18 816

7Solución: ( )816

BNP N P PN N N

B NP P P NN N N

P N N B

⎛ ⎞⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∩⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟∩ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∩ ∩ =

( )

( )

3 21 2 3 1

1 2 1

321

1 1 2

3 2

1 2 1

d) Queremos que las extracciones sean todas rojas, es decir:

( )

8 7 6, , 18 17 16

R RP R R R P P P RR R R

RRP R P PR R R

N NP PN N N

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∩ ∩ = ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟∩ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∩⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⎜⎜ ⎟∩ ⎝ ⎠⎝ ⎠( )1

1 2 3

6 7 8 716 17 18 102

7Solución: ( )102

P N

P R R R

⋅ = ⋅ ⋅ =⎟

∩ ∩ =

SOLUCIONES_________________________________________________________________ 15.

( ) 21 2 1

1

1 2

a) Queremos que las dos bolas que saquemos sean blancas:10 9 9( )20 19 38

9Solución: ( )38

BP B B P B P B

P B B

⎛ ⎞∩ = ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∩ =

( ) ( )2 21 2 1 1

1 1

1 2

b) Queremos que sólo una de las dos bolas que saquemos sea blanca:10 10 10 10 10( )20 19 20 19 19

10Solución: ( )19

B BP B B P B P P B PB B

P B B

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∩ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∩ =

1 2 1 2

1 2

c) El suceso ''ninguna bola blanca'', es el complementario del suceso ''las dos bolas blancas''. 9 29Por lo tanto, ( ) 1 ( ) 138 38

29Solución: ( )38

P B B P B B

P B B

∩ = − ∩ = − =

∩ =

( ) 11 2 2

2

1 2

d) Queremos que la primera bola sea blanca y la segunda negra:7 10 7( )

19 20 387Solución: ( )38

BP B N P N P N

P B N

⎛ ⎞∩ = ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∩ =

16.

( ) ( )Queremos que el alumno elegido sea niño, y moreno, entonces:

12 7 1Moreno(Niño Moreno) Niño Niño 28 12 41Solución: (Niño Moreno)4

P P P

P

∩ = ⋅ = ⋅ =

∩ =

SOLUCIONES_________________________________________________________________ Experimentos deterministas y aleatorios. 17. a) Experimento aleatorio. b) Experimento determinista. c) Experimento aleatorio. d) Experimento aleatorio. e) Experimento aleatorio. f) Experimento aleatorio. g) Experimento aleatorio. 18. a) E = {(cara, 1), (cara, 2), (cara, 3), (cara, 4), (cara, 5), (cara, 6), (cara, 7), (cara, 8), (cruz, 1), (cruz, 2), (cruz, 3), (cruz, 4), (cruz, 5), (cruz, 6) , (cruz, 7) , (cruz, 8)}. b) E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6), (7, 1), (7, 2), (7, 3), (7, 4), (7, 5), (7, 6), (8, 1), (8, 2), (8, 3), (8, 4), (8, 5), (8, 6)}. c) E = {(cara, cara, 1), (cara, cara, 2), (cara, cara, 3), (cara, cara, 4), (cruz, cruz, 1), (cruz, cruz, 2), (cruz, cruz, 3), (cruz, cruz, 4)}. d) E = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4) (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4) (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4) (3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4) (4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}. 19. Experimentos aleatorios a) Elegir un número y anotar su resultado al dividirlo entre tres. b) Sacar unos calcetines del cajón al azar. Experimentos deterministas a) Pesar 1 dm3 de agua. b) Medir el lado de un cuadrado de 2 cm2 de área. 20. E={R, B, N} 21. a) E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

b) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 25, 30, 36} c) E = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6), (0, 7), (0, 8), (0, 9), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (1, 9), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (2, 9), (3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (3, 9), (4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8), (4, 9),}. d) E = {(B, B), (B, R), (B, N), (R, R), (R, B), (R, N), (N, N), (N, R), (N, B)} e) E = { (B, B, B), (B, B, N), (B, N, B), (N, B, B), (B, N, N), (N, B, N), (N, N, B), (N, N, N)} Sucesos. 22. a) El único suceso imposible es el conjunto vacío: Ø. b) El suceso seguro es el formado por todos los sucesos. E = { Ø , {varón}, {mujer}, {moreno}, {castaño}, {rubio}, (varón, moreno), (varón, castaño), (varón, rubio), (mujer, morena), (mujer, castaña), (mujer, rubia)} c) Los sucesos elementales son: {varón}, {mujer}, {moreno}, {castaño}, {rubio}. d) Los sucesos compuestos son: (varón, moreno), (varón, castaño), (varón, rubio), (mujer, morena), (mujer, castaña), (mujer, rubia). 23. a) {0}, {2}, {3}. b) {1, 3, 5, 7, 9}, {2, 4, 6, 8} c) E d) Ø Operaciones con sucesos. 24.

{ } { } { }

{ }{ }{ }{ }{ }{ }

2, 4, 6, 8, 10 6, 12, 18 1, 3, 4, 6, 8

a) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 18

b) 1, 2, 3, 4, 6, 8

c) 1, 3, 4, 6, 8, 12, 18

d) 6

e) 4, 8

f) 6

g) 1, 3, 5, 7, 9,

A B C

A B

A C

B C

A B

A C

B C

A

= = =

∪ =

∪ =

∪ =

∩ =

∩ =

∩ =

={ }{ }

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

h) 1, 3, 4, 8

i)

B C

C C E

∩ =

∪ =

25. { } { } { }{ }( ) { }

( ) ( ) { }{ }{ }

( ) { }

2, 4, 5, 7, 8 3, 5, 7, 9 1, 2, 3, 4

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

a) 2, 4, 5, 7

b) 2, 4, 5, 7

c) 1, 6, 10

d) 1, 6, 10

e) 2, 3, 4, 5, 7, 8

f)

A B C

E

A B C

A B A C

A B

A B

A B C

A

= = =

=

∩ ∪ =

∩ ∪ ∩ =

∪ =

∩ =

∪ ∩ =

( ) ( ) { }{ }{ }

2, 3, 4, 5, 7, 8

g) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10

h) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10

B A C

A B

A B

∪ ∩ ∪ =

∩ =

∪ =

26. Se pueden asegurar las dos propiedades siguientes. a)

b)

A B A B

A B A B

∪ = ∩

∩ = ∪

Frecuencia de un suceso. Ley de los grandes números. 27. Normalmente, el número de veces que sale cara tiene que ser aproximadamente el mismo que la probabilidad de que salga cruz, por lo tanto, es probable, que esté trucada, puesto que el número de cruces casi triplica al de caras. 28. La probabilidad de cruces no varía a lo largo del experimento, si no que hay que estudiarla una vez terminado el mismo y habiendo lanzado la moneda una cantidad de veces lo suficientemente grande para que las frecuencias puedan estabilizarse. 29. La probabilidad es el número al que tiende la frecuencia relativa después de realizar el experimento un número de veces considerablemente grande. Por lo tanto, en este caso, la probabilidad de acertar la canasta de dos puntos la conseguimos calculando la frecuencia relativa después de 3127 lanzamientos:

i2318h 0 '743127

= =

La probabilidad de encestar un tiro de dos puntos es 0’74.

SOLUCIONES_________________________________________________________________ Probabilidad de un suceso. 30.

( ) 1 ( ) 1 0 '3 0 '7

Solución: ( ) 0 '7

P A P A

P A

= − = − =

=

31.


( ) ( ) ( ) ( ) 0 '5 0 '1 0 '6

Solución: ( ) 0 '6

P A B P A P B P A B

P A B

∪ = + − ∩ = + =

∪ =

32. a) Verdadera. Todos los sucesos elementales sn incompatibles porque su intersección es el conjunto vacío. b) Falsa. Los sucesos elementales son incompatibles. c) Falsa. La probabilidad nunca toma valores mayores que 1. d) Verdadera.

{ } { } { } { }( ) { }( ) { }( ) 1( ) 1

E A B CP A P B P C

P E= ∪ ∪ ⎫⎪⇒ + + =⎬

= ⎪⎭

e) Verdadera. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 porque son sucesos incompatibles

P A C P A P C P A C P A P C∪ = + − ∩ = +

f) Verdadera. A y B son sucesos incompatibles. 33.

( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 0 '3 0 '7

Solución: ( ) 0 '7

P B P B P A

P B

= − = − = − =

=

34. a) ( ) 1 ( ) 1 0 '7 0 '3

Solución: ( ) 0 '7

b) ( ) 1 ( ) 1 0 '6 0 '4

Solución: ( ) 0 '4

P A P A

P A

P B P B

P B

= − = − =

=

= − = − =

=

c) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 '7 0 '6 0 '5 0 '8

Solución: ( ) 0 '8

d) ( ) 1 ( ) 1 0 '8 0 '2

Solución: ( ) 0 '2

d) ( ) ( ) 0 '2

Solución: ( ) 0 '2

e) ( ) ( ) 1 ( ) 1 0 '5 0 '5

Solución: ( ) 0 '

P A B P A P B P A B

P A B

P A B P A B

P A B

P A B P A B

P A B

P A B P A B P A B

P A B

∪ = + − ∩ = + − =

∪ =

∪ = − ∪ = − =

∪ =

∩ = ∪ =

∩ =

∪ = ∩ = − ∩ = − =

∪ = 5

La ley de Laplace. 35.

( ) casos favorablesRegla de Laplace P Acasos posibles

=

12 3(Chico)28 7

3Solución: La probabilidad de que sea chico es .7

P = =

36. LLamaremos N al suceso ''bañador negro'', A al suceso ''bañador azul'' y R al suceso ''bañador rojo''.

2 1a) (N)20 10

1Solución: La probabilidad de que su bañador sea de color negro es .10

P = =

8 2b) (A)20 5

2Solución: La probabilidad de que su bañador sea de color azul es .5

P = =

10 1c) (R) 1 ( ) 120 2

1Solución: La probabilidad de que su bañador no sea de color rojo es .2

P P R= − = − =

0 porque son sucesos incomptibles

2 10 3d) (N R) ( ) ( ) (N R)20 20 5

3Solución: La probabilidad de que su bañador sea de color negro o rojo es .5

P P N P R P∪ = + − ∩ = + =

2 9e) (N) 1 ( ) 120 10

9Solución: La probabilidad de que su bañador no sea de color negro es .10

P P N= − = − =

37. LLamaremos al suceso ''bola blanca'', al suceso ''bola negra'' y al suceso ''bola azul'', y

al suceso ''bola roja''. 3a) (B)

143Solución: La probabilidad de sacar una bola blanca es .

14

b) (R

B N AR

P

P

=

4 2)14 7

2Solución: La probabilidad de sacar una bola roja es .7

5c) (N)14

5Solución: La probabilidad de sacar una bola negra es .14

2 1d) (A)14 7

1Solución: La probabilidad de sacar una bola azul es .7

P

P

= =

=

= =

38.

3 1a) (Par) (2) (4) (6)6 2

1Solución: La probabilidad de sacar un número par es .2

P P P P= + + = =

3 1b) (Impar) (1) (3) (5)6 2

1Solución: La probabilidad de sacar un número impar es .2

P P P P= + + = =

3 1c) ( 4) (1) (2) (3)6 2

1Solución: La probabilidad de sacar un número menor que cuatro es .2

P x P P P< = + + = =

4 2d) ( 4) (1) (2) (3) (4)6 3

2Solución: La probabilidad de sacar un número menor o igual que cuatro es .3

P x P P P P≤ = + + + = =

1e) (2)6

1Solución: La probabilidad de sacar dos es .6

P =

2 1f) (2 5) (2) (5)6 3

1Solución: La probabilidad de sacar un dos o un cinco es .3

P P P∪ = + = =

2 1g) (3) (3) (6)6 3

1Solución: La probabilidad de sacar un múltiplo de tres es .3

P P P= + = =i

4 2h) (Primo) (1) (2) (3) (5)6 3

2Solución: La probabilidad de sacar un número primo es .3

P P P P P= + + + = =

39.

1a) (12)12

1Solución: La probabilidad de sacar el volumen número doce es .12

P =

6 1b) (Par) (2) (4) (6) (8) (10) (12)12 21Solución: La probabilidad de sacar un volumen par es .2

P P P P P P P= + + + + + = =

4 1c) (3) (3) (6) (9) (12)

12 31Solución: La probabilidad de sacar un volumen múltiplo de tres es .3

P P P P P= + + + = =i

40.

( )

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

21

1

Queremos que las extracciones se den en el orden siguiente:1ªR R 2ª U U 3ª B B 4ª I I 5ª O OPor lo tanto, tenemos que calcular

( )

P R U B I OUP R P R

→ → → → →

∩ ∩ ∩ ∩ =

⎛⋅ ⎜⎝

( )

3 54

1 2 1 2 3 1 2 3 4

321

1 1 2

54

1 2 3 1 2 3 4

1 2 3 4 5

1 1 1 5 4 3

1 12

1 1 1 ( )5 4 3

B OIP P PR U R U B R U B I

BUP R P PR R U

OIP PR U B R U B I

P R U B I O

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞ ⋅ ⋅ ⋅⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∩⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∩ ∩ ∩ ∩ ∩⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∩ ∩ ∩ ∩ = ⋅ ⋅ ⋅1 12 120

7Solución: La probabilidad de que las letras salgan en el mismo orden es 120

=

41.

[ ] 1 3 1a) ((6,Par)) (6) (par) (6) (2) (4) (6)6 6 12

1Solución: La probabilidad de sacar 6 en la primera tirada y un par en la segunda es .12

P P P P P P P= ⋅ = ⋅ + + = ⋅ =

[ ]0

b) ((primo,2 5)) (primo) (2 5) (1) (2) (3) (5) (2) (5) (2 5)

4 2 86 6 36

Solución:

2La probabilidad de sacar un primo en la primera tirada y un dos o un cinco en la segunda es .9

P P P P P P P P P P⎡ ⎤

∪ = ⋅ ∪ = + + + ⋅ + − ∩ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= ⋅ =

c) Sea la tirada obtenida ( , ), queremos saber ( 8)x y P x y+ = El espacio muestral de nuestro suceso es E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, pero los sucesos no son equiprobables, así que consideremos el suceso ‘’lanzar dos veces un dado de seis caras’’. Su espacio muestral es E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} y su sucesos elementales son equiprobables. El número de sucesos coincide con el número de variaciones con repetición de seis elementos tomados de dos en dos: VR6, 2 = 62 = 36 Suceso Casos favorables Número de casos

favorables Probabilidad

{2} (1, 1) 1 136

{3} (1, 2), (2, 1) 2 236

{4} (1, 3), (2, 2), (3,1) 3 336

{5} (1, 4), (2,3), (3,2), (4,1) 4 436

{6} (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4,2), (5, 1) 5 536

{7} (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6,1) 6 636

{8} (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) 5 536

{9} (3, 6), (4,5), (5,4), (6,3) 4 436

{10} (4, 6), (5, 5), (6,4) 3 336

{11} (5, 6), (6, 5) 2 236

{12} (6, 6) 1 116

5Solución: La probabilidad de que entre las dos tiradas sumen 8 es .

36

d) Sea la tirada obtenida ( , ), queremos saber ( 12)x y P x y⋅ = El espacio muestral de nuestro suceso es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20 24, 25, 30, 36}, pero los sucesos no son equiprobables, así que consideremos el suceso ‘’lanzar dos veces un dado de seis caras’’. Su espacio muestral es E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} y su sucesos elementales son equiprobables. El número de sucesos coincide con el número de variaciones con repetición de seis elementos tomados de dos en dos: VR6, 2 = 62 = 36

Suceso Casos favorables Número de casos favorables

Probabilidad

{1} (1, 1) 1 136

{2} (1, 2), (2, 1) 2 236

{3} (1, 3), (3,1) 2 236

{4} (1, 4), (2, 2), (4,1) 3 336

{5} (1, 5), (5, 1) 2 236

{6} (1, 6), (2,3), (3,2), (6,1) 4 436

{8} (2, 4), (4, 2) 2 236

{9} (3, 3) 1 136

{10} (2, 5), (5, 2) 2 336

{12} (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2) 4 236

{15} (3, 5), (5, 3) 2 236

{16} (4, 4) 1 136

{18} (3, 6), (6, 3) 2 236

{20} (4, 5), (5, 4) 2 236

{24} (4, 6), (6, 4) 2 236

{25} (5, 5) 1 136

{30} (5, 6), (6, 5) 2 236

{36} (6, 6) 1 136

1Solución: La probabilidad de que el producto de las dos tiradas sea 12 es .18

[ ] [ ] 3 3 1e) ((Par, Impar)) (Par) (Impar) (2) (4) (6) (1) (3) (5)6 6 4

1Solución: La probabilidad de sacar par en la primera tirada y un impar en la segunda es .4

P P P P P P P P P= ⋅ = + + ⋅ + + = ⋅ =

42. a) El número de piezas de un dominó son 28, y sólo una de ellas es doble blanca. Aplicando la ley de Laplace tenemos:

( )

( )

casos favorables 1P doble blancacasos posibles 28

1Solución: P doble blanca28

= =

=

b) Si queremos que salga un seis, tenemos las siguientes posibilidades: (blanco,6), (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6). Es decir,

( )

( )

casos favorables 7P sacar seiscasos posibles 28

1Solución: P sacar seis4

= =

=

c) Sólo existen siete fichas blancas: (blanco, blanco), (blanco, 1), (blanco, 2), (blanco, 3), (blanco, 4), (blanco, 5), (blanco, 6).

( )

( )

casos favorables 7P sacar blancocasos posibles 28

1Solución: P sacar blanco4

= =

=

d) Las fichas que suman diez son dos: (4,6) y (5,5).

( )

( )

casos favorables 2P sumar diezcasos posibles 28

1Solución: P sumar diez14

= =

=

e) Las fichas cuyo producto es 12 son 2: (2, 6) y (3, 4).

( )

( )

casos favorables 2P producto sea docecasos posibles 28

1Solución: P producto sea doce14

= =

=

f) Las fichas cuya puntuación suma un número par son: (blanca, 2), (blanca, 4), (blanca, 6), (1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 5), (4, 4), (4, 6), (5, 5), (6, 6)

( )

( )

casos favorables 15P suma parcasos posibles 28

15Solución: P suma par28

= =

=

43. a) El espacio muestral de nuestro suceso es E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, pero los sucesos no son equiprobables, así que consideremos el suceso ‘’lanzar dos veces un dado de seis caras’’. Su espacio muestral es E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} y su sucesos elementales son equiprobables. El número de sucesos coincide con el número de variaciones con repetición de seis elementos tomados de dos en dos: VR6, 2 = 62 = 36 Suceso Casos favorables Número de casos

favorables Probabilidad

{2} (1, 1) 1 136

{3} (1, 2), (2, 1) 2 236

{4} (1, 3), (2, 2), (3,1) 3 336

{5} (1, 4), (2,3), (3,2), (4,1) 4 436

{6} (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4,2), (5, 1) 5 536

{7} (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6,1) 6 636

{8} (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) 5 536

{9} (3, 6), (4,5), (5,4), (6,3) 4 436

{10} (4, 6), (5, 5), (6,4) 3 336

{11} (5, 6), (6, 5) 2 236

{12} (6, 6) 1 116

4Solución: La probabilidad de que entre las dos tiradas sumen 5 es .

36

b)

0

3 5 8P(4 6) (4) (6) P(4 6)36 36 36

2Solución: La probabilidad de que entre las dos tiradas sumen 4 o 6 es .9

P P∪ = + − ∩ = + =

c)

2 1 3P( 10) (11) (12)36 36 36

1Solución: La probabilidad de que obtener un número mayor que 10 es .12

x P P> = + = + =

d)

2 5 4 1 12P(3) (3) (6) (9) (12)36 36 36 36 36

1Solución: La probabilidad de obtener un múltiplo de tres es .3

P P P P= + + + = + + + =i

e)

4 3 7P(5) (5) (10)36 36 36

7Solución: La probabilidad de obtener un múltiplo de cinco es .36

P P= + = + =i

f)

1 3 5 5 3 1 18P( 2) (2) (4) (6) (8) (10) (12)36 36 36 36 36 36 36

1Solución: La probabilidad de obtener un número par es .2

P P P P P P= + + + + + = + + + + + =i

SOLUCIONES_________________________________________________________________ 44. Por la regla de Laplace sabemos que la probabilidad de elegir un chicos la calculamos dividiendo los casos favorables entre los posibles, entonces:

( ) casos favorablesP chico 0 '6 18casos posibles 30

Solución: En la clase hay 18 chicos.

x x= = = ⇒ =

45. El espacio muestral de nuestro suceso es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20 24, 25, 30, 36}, pero los sucesos no son equiprobables, así que consideremos el suceso ‘’lanzar dos veces un dado de seis caras’’. Su espacio muestral es E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} y su sucesos elementales son equiprobables. El número de sucesos coincide con el número de variaciones con repetición de seis elementos tomados de dos en dos: VR6, 2 = 62 = 36


Probabilidad

{1} (1, 1) 1 136

{2} (1, 2), (2, 1) 2 236

{3} (1, 3), (3,1) 2 236

{4} (1, 4), (2, 2), (4,1) 3 336

{5} (1, 5), (5, 1) 2 236

{6} (1, 6), (2,3), (3,2), (6,1) 4 436

{8} (2, 4), (4, 2) 2 236

{9} (3, 3) 1 136

{10} (2, 5), (5, 2) 2 336

{12} (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2) 4 236

{15} (3, 5), (5, 3) 2 236

{16} (4, 4) 1 136

{18} (3, 6), (6, 3) 2 236

{20} (4, 5), (5, 4) 2 236

{24} (4, 6), (6, 4) 2 236

{25} (5, 5) 1 136

{30} (5, 6), (6, 5) 2 236

{36} (6, 6) 1 136

a)

1Solución: La probabilidad de obtener seis es .9

b)

1Solución: La probabilidad de obtener 20 es .18

c)

P( 2)(2) (4) (6) (8) (10) (12) (16) (18) (20) (24) (30) (36)

2 3 4 2 3 2 1 2 2 2 2 1 2636 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36

13Solución: La probabilidad de obtener un número par es .18

P P P P P P P P P P P P=+ + + + + + + + + + + =

+ + + + + + + + + + + =

i

d)

1Solución: La probabilidad de obtener ocho es .18

e)

2 3 2 2 1 2 12P(5) (5) (10) (15) (20) (25) (30)36 36 36 36 36 36 36

1Solución: La probabilidad de obtener un múltiplo de cinco es .3

P P P P P P= + + + + + = + + + + + =i

f)

1 2 2 3P( 4) (1) (2) (3)36 36 36 36

1Solución: La probabilidad de obtener un número menor que cuatro es .12

x P P P< = + + = + + =

46.

1 2

1 1 2 3

1 1 2 2

Las extracciones puede darse en el orden siguiente:caso a) 1ª 2ª

caso b) 1ª 2ª 3ª

caso c) 1ª 2ª

M M E E

M E M E M M E E

M E M E M E M E

→ →

∩ → ∩ → →

∩ → ∩ ∩ → ∩

3 4

1 1 2 2

3 3 4 5

1 1 2

3ª 4ª

caso d) 1ª 2ª

3ª 4ª 5ª

caso e) 1ª 2ª

M M E E

M E M E M E M E

M E M E M M E E

M E M E M E M

→ →

∩ → ∩ ∩ → ∩

∩ → ∩ → →

∩ → ∩ ∩ → 2

3 3 4 4

5 6

1

3ª 4ª 5ª 6ªPor lo tanto, tenemos que calcular

( ) (caso a) (caso b) (caso c) (cason n

E

M E M E M E M EM M E E

P M E P P P P+

∩

∩ → ∩ ∩ → ∩

→ →

∩ = + + + d) (caso e)1 1 4 1 1 4 3 1 1 4 3 2 1 1 4 3 2 1 1 1 16 5 6 5 4 6 5 4 3 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 6

1Solución: La probabilidad de que salgan ME es .6

P+ =

= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

47.

( )5, 3

Llamemos A al suceso ''Ana y Alberto sentados juntos''. Existen dos posibilidades,posición a) ANA-ALBERTO. posición b)ALBERTO-ANA.

casos favorables ( ) ( ) 2P Acasos posibles V 60

Solución: La prob

P a P b+= = =

1abilidad de que se sienten juntos es 30

Composición de sucesos independientes. 48.


a) ( ) 0 porque los sucesos son incompatibles. b) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 '3 0 '4 0 '7

c) ( ) ( ) 1 ( ) 0 '3

d) ( ) ( ) 1 ( ) 1

P A BP A B P A P B P A B

P A B P A B P A B

P A B P A B P A B

∩ =∪ = + − ∩ = + =

∩ = ∪ = − ∪ =

∪ = ∩ = − ∩ =

49.

[ ]

*

1 1 1a) (3 ) (3) ( ) 10 2 20

* Esa igualdad es cierta porque ambos sucesos son independientes. 1 1 1b) (0 ) (0) ( )

10 2 203 1 3c) (3 ) (3) ( ) (3) (6) (9) ( )

10 2 20

d) (2) (2) (4) (6

P C P P C

P X P P X

P C P P C P P P P C

P P P P

• •

•

∩ = ⋅ = ⋅ =

∩ = ⋅ = ⋅ =

∩ = ⋅ = + + ⋅ = ⋅ =

= + +4 2) (8)

10 5P+ = =

50.

1 2 3

1 2 3

1 2

a)Las extracciones puede darse en el orden siguiente:caso a) 1ª 1 1 2ª 3 3 3ª 5 5caso b) 1ª 1 1 2ª 5 5 3ª 3 3caso c) 1ª 3 3 2ª 1 1 3ª 5

→ → →

→ → →→ → 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

5caso d) 1ª 3 3 2ª 5 5 3ª 1 1caso e) 1ª 5 5 2ª 1 1 3ª 3 3caso f) 1ª 5 5 2ª 3 3 3ª 1 1Por lo tanto, tenemos que calcular

(1 2 3) (caP P

→→ → →

→ → →→ → →

∩ ∩ = so a) (caso b) (caso c) (caso d) (caso e) (caso f )1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 36

1Solución: La probabilidad de que salgan un 1, un 3 y un 5 es 36

P P P P P+ + + + + =

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

.

1 2 3

1 3 3

1 2

b)Las extracciones puede darse en el orden siguiente:caso a) 1ª 2 2 2ª 3 3 3ª par parcaso b) 1ª 2 2 2ª par par 3ª 3 3caso c) 1ª 3 3 2ª 2 2 3ª p

→ → →→ → →→ → 3

1 3 3

3 2 3

3 2 3

ar parcaso d) 1ª 3 3 2ª par par 3ª 2 2caso e) 1ª par par 2ª 2 2 3ª 3 3caso f) 1ª par par 2ª 3 3 3ª 2 2Por lo tanto, tenemos que calcular

(2 3 2) (casP P•

→→ → →→ → →

→ → →

∩ ∩ = o a) (caso b) (caso c) (caso d) (caso e) (caso f )1 1 3 1 3 1 1 1 3 1 3 1 3 1 1 3 1 1 1 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 12

1Solución: La probabilidad de que salgan un 2, un 3 y un par es 1

P P P P P+ + + + + =

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

.2

1 2 3

1 3 3

1 2

c)Las extracciones puede darse en el orden siguiente:caso a) 1ª 2 2 2ª 2 2 3ª 2 2

caso b) 1ª 2 2 2ª 2 2 3ª 2 2

caso c) 1ª 2 2 2ª 2 2

c c c c

c c c c

c c c c

→ → →

→ → →

→ → 3 3ª 2 2Por lo tanto, tenemos que calcular

(2 2 2 ) (caso a) (caso b) (caso c)1 5 4 5 1 5 5 5 3 25 6 6 6 6 6 6 6 6 6 24

25Solución: La probabilidad de que salga un único dos es .24

c cP P P P

→

∩ ∩ = + + =

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

51.

1 2

1 2

a) Las extracciones puede darse en el orden siguiente:caso a) 1ª 1 1 2ª 2 2caso b) 1ª 2 2 2ª 1 1Por lo tanto, tenemos que calcular

(1 2) (caso a) (caso b)

P P P

→ →→ →

∩ = + =1 1 1 1 1 6 6 6 6 18

1Solución: La probabilidad de que salgan un 1 y un 2 es .18

= ⋅ + ⋅ =

21

2 2

b) Las extracciones puede darse en el orden siguiente:

caso a) 1ª 5 5 2ª cualquier número distinto de 5 5

caso b) 1ª cualquier número distinto de 5 5 2ª 5 5Por lo tanto, tenemos

→ →

→ →que calcular

(5) (caso a) (caso b)1 5 5 1 5 6 6 6 6 18

5Solución: La probabilidad de que salga un 5 es .18

P P P= + =

= ⋅ + ⋅ =

2

11

1 1 15c) (5) (5 ) 5 6 6 361Solución: La probabilidad de que salgan dos 5 es .36

P P P ⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

( )211

5 5 255d) (5) (5 )5 6 6 36

25Solución: La probabilidad de que no salga ningún 5 es .36

P P P= ⋅ = ⋅ =

25 11e) (al menos un 5) 1 (5) 136 36

11Solución: La probabilidad de que salga al menos un 5 es .36

P P= − = − =

52. a) El espacio muestral de nuestro suceso es E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, pero los sucesos no son equiprobables, así que consideremos el suceso ‘’lanzar dos veces un dado de seis caras’’. Su espacio muestral E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} y su sucesos elementales son equiprobables. El número de sucesos coincide con el número de variaciones con repetición de seis elementos tomados de dos en dos: VR6, 2 = 62 = 36


Probabilidad

{2} (1, 1) 1 136

{3} (1, 2), (2, 1) 2 236

{4} (1, 3), (2, 2), (3,1) 3 336

{5} (1, 4), (2,3), (3,2), (4,1) 4 436

{6} (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)

5 536

{7} (1, 6), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3), (6,1)

6 636

{8} (2, 6), (3, 5), (5, 3), (6, 2) 4 436

{9} (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) 4 436

{10} (4, 6), (5, 5), (6, 4) 3 336

{11} (5, 6), (6, 5) 2 236

{12} (6, 6) 1 136

1Solución: La probabilidad de que sumen 7 es .6

b) El espacio muestral de nuestro suceso es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20 24, 25, 30, 36}, pero los sucesos no son equiprobables, así que consideremos el suceso ‘’lanzar dos veces un dado de seis caras’’. Su espacio muestral es E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} y su sucesos elementales son equiprobables. El número de sucesos coincide con el número de variaciones con repetición de seis elementos tomados de dos en dos: VR6, 2 = 62 = 36


Probabilidad

{1} (1, 1) 1 136

{2} (1, 2), (2, 1) 2 236

{3} (1, 3), (3,1) 2 236

{4} (1, 4), (2, 2), (4,1) 3 336

{5} (1, 5), (5, 1) 2 236

{6} (1, 6), (2,3), (3,2), (6,1) 4 436

{8} (2, 4), (4, 2) 2 236

{9} (3, 3) 1 136

{10} (2, 5), (5, 2) 2 336

{12} (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2) 4 236

{15} (3, 5), (5, 3) 2 236

{16} (4, 4) 1 136

{18} (3, 6), (6, 3) 2 236

{20} (4, 5), (5, 4) 2 236

{24} (4, 6), (6, 4) 2 236

{25} (5, 5) 1 136

{30} (5, 6), (6, 5) 2 236

{36} (6, 6) 1 136

1Solución: La probabilidad de que el producto sea 24 es .18

c) Las extracciones puede ser las siguientes:caso a) obtener 1 en el primer dado pero no en el segundo. caso b) obtener 1 en el segundo dado pero no en el primero.

1 5 5(1) (caso a) (caso b)6 6

P P P= + = ⋅ +1 5

6 6 185Solución: La probabilidad de que salga un 1 es .

18

⋅ =

5 5 25d) (1)6 6 36

25Solución: La probabilidad de que no salga ningún 1 es .36

P = ⋅ =

25 11e) (al menos un 1) 1 (1) 136 36

11Solución: La probabilidad de que salga al menos un 1 es .36

P P= − = − =

53.

321

1 1 2

Si la probabilidad de cara es el doble que la de cruz, entonces:1 2( ) y ( )3 3

2 2 2 8a) (3 caras) ( )3 3 3 27

8Solución: La probabilidad de que salgan tres caras es .27

P X P C

CCP P C P PC C C

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∩⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 3

1 2 3

1 2 3

b) Los casos posibles son:caso a) 1ª 2ª 3ª caso b) 1ª 2ª 3ª caso c) 1ª 2ª 3ª

(2 ca

C C C C X XC C X X C CX X C C C C

P

→ → →→ → →

→ → →2 2 1 4ras) (caso 1) (caso 2) (caso 3) 33 3 3 9

4Solución: La probabilidad de que salgan dos caras es .9

P P P= + + = ⋅ ⋅ ⋅ =

321

1 1 2

1 1 1 1c) ( ) (3 ) ( )3 3 3 27

1Solución: La probabilidad de que no salga ninguna cara es .27

XXP C P X P X P PX X X⎛ ⎞⎛ ⎞= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∩⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 26d) (al menos una C) 1 ( ) 127 27

26Solución: La probabilidad de que salga al menos una cara es .27

P P C= − = − =

54.

21

1

3 3 1a) (2 ) ( )12 12 16

1Solución: La probabilidad de que salgan dos bolas azules es .16

AP A P A P A⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

( )21 2 1 1 2

1

3 1 1b) ( ) ( ) ( )12 12 48

1Solución: La probabilidad de que la primera bola sea blanca y la segunda roja es .48

RP B R P B P P B P RB⎛ ⎞∩ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )2 21 1 1 2 1 2

1 1

1 11 1 1 1c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 12 12 12 12

1Solución: La probabilidad de que alguna bola sea roja es .12

R RP R P R P P R P P R P R P R P RR R⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) ( )2 21 1 1 2 1 2

1 1

5 7 5 5 5d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 12 12 12 12

5Solución: La probabilidad de que alguna bola sea verde es .12

V VP V P V P P V P P V P V P V P VV V⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( )21 1 2

1

5 5 25e) (2 ) ( ) ( )12 12 144

25Solución: La probabilidad de que las dos bolas sean verdes es .144

VP V P V P P V P VV⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

( )21 1 2

1

7 7 49f) ( ) ( ) ( )12 12 144

49Solución: La probabilidad de que ninguna bola sea verde es .144

VP V P V P P V P VV

⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

49 95g) (al menos una bola verde) 1 ( ) 1

144 14495Solución: La probabilidad de que ninguna bola sea verde es .

144

P P V= − = − =

Probabilidad de sucesos dependientes. 55.

21 2 1

1

Llamaremos al suceso ''salir chica' y al suceso ''salir chico''.11 14 77a) ( ) ( ) 0 '256725 24 300

Solución: La probabilidad de que el primero sea chico y la segunda sea chica es

A OAP O A P O P O

⎛ ⎞∩ = ⋅ = ⋅ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

0 '2567.

21 2 1

1

11 10 11b) ( ) ( ) 0 '183325 24 60

Solución: La probabilidad de que los dos sean chicos es 0 '1833.

OP O O P O P O⎛ ⎞∩ = ⋅ = ⋅ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

1 2 11

14 13 91c) ( ) ( ) 0 '303325 24 60

Solución: La probabilidad de que las dos sean chicas es 0 '3033.

AP A A P A P A⎛ ⎞∩ = ⋅ = ⋅ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 21 1

1 1

11 14 14 11 77d) ( ) ( ) ( ) 0 '513325 24 25 24 150

Solución: La probabilidad de que haya al menos un chico es 0 '5133.

A OP O P O P P A PO A⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 211 49e) (al menos una chica) 1 ( ) 1 ( ) 1 0 '816760 60

Solución: La probabilidad de que al menos haya una chica es 0 '8167.

P P A P O O= − = − ∩ = − = =

56.

( ) ( )Llamaremos al suceso ''salir chica', al suceso ''salir chico'' y al suceso ''llevar chandal''

12 7 15 3 10a) ( ) ( ) ( )27 12 27 15 27

Solución: La probabilidad de que lleve chandal es

A O Ch

Ch ChP Ch P O P P A PO A= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =

10 .27

( ) 12 5 5b) ( ) ( )27 12 27

5Solución: La probabilidad de elegir a un chico sin chandal es .27

ChP O Ch P O P O∩ = ⋅ = ⋅ =

( ) 15 3 1c) ( ) ( )27 15 9

1Solución: La probabilidad de elegir a una chica con chandal es .9

ChP A Ch P A P A∩ = ⋅ = ⋅ =

( ) 15 12 4d) ( ) ( )27 15 9

4Solución: La probabilidad de elegir a una chica sin chandal es .9

ChP A Ch P A P A∩ = ⋅ = ⋅ =

( ) 12 7 7e) ( ) ( )27 12 27

7Solución: La probabilidad de elegir a un chico con chandal es .27

ChP O Ch P O P O∩ = ⋅ = ⋅ =

SOLUCIONES_________________________________________________________________ 57.

( ) ( ) 1 1 1 12 4a) (1 2 4) (1) 0 '001391 1 2 10 9 8 720Solución: La probabilidad de sacar el 1, el 2 y el 4 ordenadamene es 0 '00139.

P P P P∩ ∩ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =∩

( ) ( ) ( )9 9 2 4 6 82b) (0 9 2) (0) (0)0 0 9 0 0 9

1 1 4 1 0 '005610 9 8 180

Solución: La probabilidad de sacar el 0, el 9 y un par es 0 '0056.

P P P P P P P•• ⎛ ⎞ ∪ ∪ ∪∩ ∩ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟∩ ∩⎝ ⎠

= ⋅ ⋅ = =

( ) ( )1 2 31 9 1 9 8 1 3c) (1) (1 ) 1 1 0 '3

10 10 9 10 9 8 10Solución: La probabilidad de sacar un 1 es 0 '3.

P P P P= + + = + ⋅ + ⋅ ⋅ = =

321

1 1 2

33d) (3) (3 )3 3 3

9 8 7 7 0 '710 9 8 10

Solución: La probabilidad de no sacar un 3 es 0 '7.

P P P P ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ∩⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ⋅ ⋅ = =

58. Aplicando Laplace tenemos que

casos favorables 12(figuras) 0 '3casos posibles 40

Solución: La probabilidad de sacar tres figuras es 0 '3.

P = = =

59.

2 21 1

1 1

5 4 3 2 13 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 '46438 7 8 7 28

Solución: La probabilidad de sacar dos bolas del mismo color es 0 '4643.

N BP N P B P N P P B PN B⎛ ⎞ ⎛ ⎞∪ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

60.

21 2 1

1

2 4 4a) ( ) ( ) 0 '04414 13 91

Solución: La probabilidad de que la primera bola sea blanca y la segunda verde es 0 '044.

VP B V P B P B⎛ ⎞∩ = ⋅ = ⋅ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

21 2 1

1

3 2 3b) ( ) ( ) 0 '03314 13 91

Solución: La probabilidad de que las dos bolas sean negras es 0 '033.

NP N N P N P N⎛ ⎞∩ = ⋅ = ⋅ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 21 1

1 1

5 9 9 5 45c) ( ) ( ) ( ) 0 '494514 13 14 13 91

Solución: La probabilidad de que alguna bola sea roja es 0'4945.

R RP R P R P P R PR R⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

21

1

9 8 36d) ( ) ( ) 0 '395614 13 91

Solución: La probabilidad de que ninguna bola sea roja es 0 '3956.

RP R P R PR

⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

36 55e) (al menos una bola roja) 1 ( ) 1 0 '604491 91

Solución: La probabilidad de que al menos una bola sea roja es 0 '6044.

P P R= − = − = =

61.

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

Llamaremos a los nombres y a las profesiones. 1 1 1a) ( ) ( ) ( ) 33 3 3

1Solución: La probabilidad de que coincidan los nombres y las profesiones es .3

b) ( ) ( ) ( )

i iN P

P N P P N P P N P

P N P P N P P N P

∩ + ∩ + ∩ = ⋅ ⋅ =

∩ + ∩ + ∩1 2 233 3 3

2Solución: La probabilidad de que no coincidan los nombres y las profesiones es .3

= ⋅ ⋅ =

62.

( ) 14 10 1a) ( ) ( )30 14 3

1Solución: La probabilidad de elegir a un chico que le guste el futbol es .3

FP O F P O P O∩ = ⋅ = ⋅ =

( ) 16 12 2b) ( ) ( )30 16 5

2Solución: La probabilidad de elegir a una chica que no le guste el futbol es .5

FP A F P A P A∩ = ⋅ = ⋅ =

( ) 14 4 2c) ( ) ( )30 14 15

2Solución: La probabilidad de elegir a un chico que no le guste el futbol es .15

FP O F P O P O∩ = ⋅ = ⋅ =

( ) 16 4 2d) ( ) ( )30 16 15

2Solución: La probabilidad de elegir a una chica que le guste el futbol es .15

FP A F P A P A∩ = ⋅ = ⋅ =

63.

1 1 2 1 1 2 24 1 3 4 3 3 1 7a) ( ) ( ) 0 '0583

10 4 9 10 4 9 4 120Solución: La probabilidad de que los dos sean machos y uno ellos blanco es 0 '0583.

P O B O P O B O B∩ ∩ + ∩ ∩ ∩ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = =

1 2 1 26 4 4 6 8b) ( ) ( )

10 9 10 9 158Solución: La probabilidad de que uno de ellos sea hembra es .

15

P A O P O A∩ + ∩ = ⋅ + ⋅ =

1 1 2 26 2 5 1 1c) ( ) ( )

10 6 9 5 451Solución: La probabilidad de que las dos sean hembras blancas es .45

P A B P A B∩ ⋅ ∩ = ⋅ ⋅ ⋅ =

1 1 2 1 2 26 2 4 4 6 2 8d) ( ) ( ) ( ) ( )

10 6 9 10 9 6 458Solución: La probabilidad de que tener una hembra blanca y un macho es .45

P A B P O P O P A B∩ ⋅ + ∩ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

1 2casos favorables 3e) ( )casos posibles 10

3Solución: La probabilidad de que ambos sean blancos es .10

P B B∩ = =

64.

casos favorables 4 5 9 ( )casos posibles 13 13

9Solución: La probabilidad de sacar alguna bola negra es .13

P N += = =

1. El espacio muestral de nuestro suceso es E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. 2. El espacio muestral de nuestro suceso es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. La probabilidad de obtener un número mayor que doce es:

3 ( 9) (10) (11) (12)12

3Solución: La probabilidad de obtener un número mayor que 9 es .12

P x P P P> = + + =

3.

{ } { } { }{ }

{ }{ }

( ) { }

1, 2, 3, 4, 7 2, 4, 7 2, 4, 8, 9

1, 2, 3, 4, 7, 8, 9

a) 2, 4, 7

b) 2, 4, 7, 8, 9

c) d) 1, 2, 3, 4, 7

A B C

E

A B B

A B

A C A CA B C A

= = =

=

∩ = =

∪ =

∪ = ∩ =∅

∪ ∩ = =

4.

P(A) P(B)porque A y B son independientes.

( ) ( ) ( ) ( ) 0 '3 0 '64 0 '3 0 '64 0 '748

Solución: ( ) 0 '748

P A B P A P B P A B

P A B

⋅

∪ = + − ∩ = + − ⋅ =

∪ =

5.

1 2120 119 238a) ( ) 0 '1592300 299 1495

Solución: La probabilidad de elegir a dos alumnos que les guste el futbol es 0 '1592.

P F F∩ = ⋅ = =

1 2 1 2120 57 57 120b) ( ) ( ) 0 '1525300 299 300 299

Solución: La probabilidad de elegir a un alumno que le guste el futbol y oto el baloncesto es 0 '1525.

P F B P B F∩ + ∩ = ⋅ + ⋅ =

88 22c) ( ) 0 '2933300 75

Solución: La probabilidad de elegir a un chico que no le guste ningún deporte es 0 '2933.

P F B T∩ ∩ = = =

6.

casos favorables (Futbol) 0 '7 112casos posibles 160

Solución: Existen 112 alumnos que juegan al futbol.

xP x= = = ⇒ =

7.

321

1 1 2

1 1 1 1a) (3 ) ( )2 2 2 8

1Solución: La probabilidad de que salgan tres caras es .8

CCP C P C P PC C C⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∩⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 32 2

1 11 1 2 1 1 2

321

1 1 2

b) (2 ) ( ) ( )

( )

1 1 1 3 32 2 2 8

Solución: La probabilidad de que salgan dos

X CC XP C P C P P P C P PC C C C C X

CCP X P PX X C

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∩ ∩⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞+ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∩⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ⋅ ⋅ ⋅ =

3 caras es .8

1 7c) (al menos una C) 1 ( ) 1 (3 ) 18 8

7Solución: La probabilidad de que salga al menos una cara es .8

P P C P X= − = − = − =

8.

321

1 1 2

3 2 1 1a) ( ) ( ) 0 '004512 11 10 220

Solución: La probabilidad de que todas las bolas sean blancas es 0 '0045.

BBP B P B P PB B B⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∩⎝ ⎠ ⎝ ⎠

321 2 3 1

1 1 2

4 3 5 1b) ( ) ( ) 0 '04514 11 10 22

Solución: La probabilidad de que las dos primeras bolas sean azules, y la tercera negra es 0 '045.

NAP A A N P A P PA A A⎛ ⎞⎛ ⎞∩ ∩ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∩⎝ ⎠ ⎝ ⎠

321

1 1 2

321

1 1 2

321

1 1 2

c) ( ) ( )

( )

( )

5 6 7 21 3 0 '477312 11 10 44

So

NNP N P N P PN N N

NNP N P PN N N

NNP N P PN N N

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∩⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∩⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∩⎝ ⎠ ⎝ ⎠⋅ ⋅

= ⋅ = =⋅ ⋅

lución: La probabilidad de que sacar una bola negra es 0 '4773.

9.

( ) 10 3 3a) ( ) ( )25 10 25

3Solución: La probabilidad de que salga un toro y no sea negro es .25

NP T N P T P T∩ = ⋅ = ⋅ =

( ) 15 10 2b) ( ) ( )25 15 5

2Solución: La probabilidad de que salga una vaca blanca y negra es .5

BNP V BN P V P V∩ = ⋅ = ⋅ =

( ) 10 7 7c) ( ) ( )25 10 25

7Solución: La probabilidad de que salga un toro negro es .25

NP T N P T P T∩ = ⋅ = ⋅ =

10.

2 21 2 1 2 1 1

1 1( ) ( ) ( ) ( )

16 15 12 11 31 0 '492128 27 28 27 63

Solución: La probabilidad de sacar dos calcetines del mismo color es 0 '4

R NP R R P N N P R P P N PR N⎛ ⎞ ⎛ ⎞∩ + ∩ = ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ⋅ + ⋅ = =

921.

SOLUCIONES_________________________________________________________________ Para resolver una inecuación racional, trasponemos términos de forma que consigamos 0 en uno de los miembros.

( )

( )

22

20

0

2 22

2

4 22 9 2 91 1 21 1 2

4 41 1 2 2 2 1 2 22 9 2 94 2 2 2 1 2 (Reduciendo a común denominador)

2 911 9 1 2 (1)2 9Resolvemos la ecuación radical y nos sale

x xx xxx

x xx x xx xx x x

xx xx

>

>

⎛ ⎞< + → < +⎜ ⎟− +⎝ ⎠− +

= − + ⇒ = − + ++ +

− − = − +++

= ++

1

2

2

n dos soluciones:0, Solución doble. 458

45Comprobamos cuál de estas soluciones verifican la ecuación (1), y vemos que sólo es válida .8

Así, las posibles soluciones de nuestra desigualdad son l

x

x

x

=

=

=

45 45os intervalos: , y , .8 8

45Sustituyendo descartamos todos los valore mayores que .8

45Los valores reales que hacen cierta la desigualdad son , .8

x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−∞ +∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞∈ −∞⎜ ⎟⎝ ⎠

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