Unidad 1 - Lección 1 -...
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Unidad 1 - Lección 1.2
Expresiones algebraicas
01/27/2018 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 26
Actividad 1.2• Referencia del Texto: R-3. Problemas impares 9 al 53.
• Asignación 1.2 – R-3: Problemas 16, 26, 32, 38, 48, 54
• Referencia en el Web:
▪ Math2Me
• Suma y resta de polinomios
• Suma de expresiones algebraicas │ fracciones
• Reducir términos con parentésis│ejercicio 1
• Multiplicación de polinomios
• Multiplicación de polinomios│ejercicio 1
• Multiplicación de polinomios│ejercicio 6
• Multiplicación de polinomios│ejercicio 3
• Métodos de factorización
• Factorización por factor común
• Factorización por factor común│ejercicio 1
• Factorización por factor común│ejercicio 2
• Diferencia de cuadrados │ factorización
• Factorización por diferencia de cuadrados│ej 3
• Factorización de un trinomio x²+bx+c
• Factorización de un trinomio │ x²+bx+c
• Factorización de un trinomio ax²+bx+c
• Factorización de un trinomio │ ax²+bx+c
• Factorización de un trinomio ax²+bx+c│ejercicio 1
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
01/27/2018
“Tres veces un número menos 5” o “El triple de un número menos 5”
3𝑥 − 5
variable
“Diez menos el doble de un número” o “El doble de un número menos que 10”
10 − 2𝑦
“Cinco veces la suma de un número y 4”
5(𝑧 + 4)
Expresión algebraica – Uno o la suma o resta de dos o más términos
Término - número, una variable o el producto de un número y variables.
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Simplificación de Expresiones Algebraicas
• Para simplificar expresiones algebraicas combine sus términos
semejantes.
• Términos semejantes comparten las mismas variables con los
mismos exponentes.
• Ejemplo
• 3y – 7y + 9y
• 4xy2 + 3xy2
• 7x2 + 3x+9x2
• 20x + 5 – 25x – 10
• -3xy2 + 5y - 8xy2
= 7xy2
= 16x2 + 3x
= 5y
= -11xy2 + 5y
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= -5x - 5
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Polinomios (en una variable)• Expresión algebraica compuesta de un término o una suma
finita de términos con una variable con exponentes enteros no negativos. …..Ejemplos
• Grado del polinomio con una variable es el exponente mayor
que la variable tiene. Un término compuesto sólo de una
constante es un polinomio de grado 0.
• No son polinomios:
Monomio
Binomio
Trinomio
Grado 2
Grado 5
Grado 6
𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥 − 1
−3𝑧4 − 3𝑧6 − 12
−3
5𝑦5 − 3𝑦2
5𝑥2
Grado 3Polinomio
𝑥5 − 3𝑥−2 + 1𝑥2 + 1
𝑥3
Monomio Grado 0−4
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Evaluación de Expresiones algebraicas
• El valor de una expresión algebraica, es el valor que
adquiere cuando sus variables reciben un valor.
• Ejemplos:
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Si x = -2
= 5 + 7(−2)
= 5 + −14= −𝟗
= (−2)4+2(−2)3−7(−2)
= 16 + 2 −8 + 14
= 𝟏𝟒= 16 − 16 + 14
5 + 7𝑥
x4 + 2x3 - 7x
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OPERACIONES CON
POLINOMIOS
¿Es 5𝑥2 − 𝑥 − 5𝑥2 = −𝑥 ?
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Adición de polinomios
• 2𝑥2 + 3𝑥 + 1 + (𝑥2 − 5𝑥 + 4)
• Solución: (Forma Vertical)
• −4𝑥2 + 𝑥 − 1 + (−𝑥2 − 9)
• Solución:
2𝑥2 + 3𝑥 + 1
𝑥2 − 5𝑥 + 4
3𝑥2 − 2𝑥 + 5
−4𝑥2 + 𝑥 − 1
− 𝑥2
−5𝑥2 + 𝑥 − 10
− 9
+
+
= 3𝑥2 − 2𝑥 + 5
= −5𝑥2 + 𝑥 − 10
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Subtracción de polinomios
• 2𝑥2 + 3𝑥 + 1 − (𝑥2 − 5𝑥 + 4)
• 2𝑥2 + 3𝑥 + 1
• −4𝑥2 + 𝑥 − 1 − (−𝑥2 − 9)
• −4𝑥2 + 𝑥 − 1
2𝑥2 + 3𝑥 + 1
− 𝑥2 + 5𝑥 − 4
𝑥2 + 8𝑥 − 3
−4𝑥2 + 𝑥 − 1
𝑥2
−3𝑥2 + 𝑥 + 8
9
+
+
( −𝑥2 + 5𝑥 − 4)+
+ ( 𝑥2 + 9)
= 𝑥2 + 8𝑥 − 3
= −3𝑥2 + 𝑥 + 8
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Multiplicación de Polinomios
• −3𝑥2
• (2𝑥 − 3)(−3𝑥 + 1)
• (𝑥2 + 𝑥 − 1)(−2𝑥 + 5)
2𝑥2 + 3𝑥 + 1 = −6𝑥4− 9𝑥3 − 3𝑥2
Propiedad Distributiva
= −6𝑥2 + 2𝑥 + 9𝑥 − 3
= −6𝑥2 + 11𝑥 − 3
= −2𝑥3 + 5𝑥2 − 2𝑥2 + 5𝑥 + 2𝑥 − 5
= −2𝑥3+ 3𝑥2 + 7𝑥 − 5
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Ejercicios de Práctica #1
Prof. José G. Rodríguez Ahumada01/27/2018
Sume
Reste
Multiplique
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FACTORIZACIÓN
Expresar como un producto …
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Ejemplo 1 – Máximo FC
• Factorice 16x2 + 20x
(4x)(4x) + (4x)(5)
• Factorice: 8x2y2 + 16x3y
(8x2y)y + (8x2y)2x
• Factorice: 60x5 + 24x3 + 36x2
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= 4x
= 8x2y
= 12x2( )
(4x + 5)
(y + 2x)
(5x3 + 2x + 3
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Ejemplo 2 – Máximo FC
• Factorice un factor negativo de la expresión:
a.
b.
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−𝑦5 − 6𝑦2 − 4 = −1 𝑦5 + −1 6𝑦2 + (−1)4
= −1 (𝑦5 + 6𝑦2 + 4)
= − (𝑦5 + 6𝑦2 + 4)
−3𝑦2 − 6𝑦 + 9 = −3 𝑦2 + −3 2𝑦 − −3 3
= −3 (𝑦2 + 2𝑦 − 3)
= −3(𝑦2 + 2𝑦 − 3)
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Ejemplo 3 -Factorizando por agrupación
Factorice: 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 6𝑥 + 6𝑦
(𝑎𝑥 + 𝑎𝑦) + (6𝑥 + 6𝑦) =
𝑎(𝑥 + 𝑦) + 6(𝑥 + 𝑦) =
Factorice: 𝑚𝑝2 + 7𝑚 + 3𝑝2 + 21(𝑚𝑝2 + 7𝑚) + (3𝑝2 + 21) =
𝑚(𝑝2 + 7)• Otra manera:
𝑚𝑝2 + 3𝑝2 + 7𝑚 + 21 =(𝑚𝑝2 + 3𝑝2) + (7𝑚 + 21) =𝑝2(𝑚 + 3) + 7(𝑚 + 3) =
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(𝑥 + 𝑦)(𝑎 + 6)
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(𝑝2 + 7)(𝑚 + 3)
(𝑚 + 3)(𝑝2 + 7)
+ 3(𝑝2+ 7) =
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Ejercicios de Práctica #2
Prof. José G. Rodríguez Ahumada01/27/2018
Factorice el MFC Factorice por agrupación
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• Factorice:
𝑥2 − 3𝑥 − 10
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= (𝑥 + )(𝑥 + )
−10 × 1 = −10−10 + 1 = −9
𝑝 + 𝑞 𝑝 ∙ 𝑞
𝑥2 − 3𝑥 − 10 = (𝑥 − 5 )(𝑥 + 2)
10 × −1 = −1010 + −1 = 9
5 × −2 = −105 + −2 = 3
−5 × 2 = −10−5 + 2 = −𝟑
Factorización de trinomios
𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
Determine dos factores 𝑝, 𝑞 de
-10 que sumen a -3
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Ejercicios de Práctica #3
Prof. José G. Rodríguez Ahumada01/27/2018
Factorice el trinomio
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Factorización de trinomios
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
• Ejemplo 1 - Factorice
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2𝑥2 + 15𝑥 + 18
Paso 1 - Identifique 𝑎, 𝑐
𝑎 = 2 , 𝑐 = 18
Paso 2 - Calcule 𝑎𝑐𝑎𝑐 = 2 ∙ 18 = 36
Paso 3 - Determine dos factores de 36 que sumen a 15
12 × 3 = 3612 + 3 = 15
𝑝 + 𝑞 𝑝 ∙ 𝑞
Paso 4 - Re-escriba el término lineal usando estos números 𝑝, 𝑞
2𝑥2 + 15𝑥 + 18 = 2𝑥2 + 12𝑥 + 3𝑥 + 18
= (2𝑥2 + 12𝑥)
= 2𝑥(𝑥 + 6) + 3(𝑥 + 6)
+ (3𝑥 + 18) Agrupe términos
Paso 5 - Factorice por agrupación
= (2𝑥 + 3)(𝑥 + 6)
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Ejercicios de Práctica #4
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Factorice el trinomio
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Diferencia de cuadrados: a2 – b2 = (a - b)(a + b)
• Factorice 𝑥2 – 9𝑥2 – 32 =
4𝑥2 – 25 =
(2𝑥)2 – (5)2 =
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(𝑥 – 3)(𝑥 + 3)
(2𝑥 – 5)(2𝑥 + 5)
16𝑥4 − 1 = ( )2 − ( )24𝑥2 1
= (4𝑥2 − 1)(4𝑥2 + 1)
= (2𝑥 − 1)(2𝑥 − 1) (4𝑥2 + 1)
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Diferencia de Cubos
a3 – b3 =(a - b)(a2 + ab + b2)
Factorice:
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8𝑥3 − 1 = ( )3 − ( )32𝑥 1
= (2𝑥 − 1) (4𝑥2+ 2𝑥+ 1)
64𝑦3 − 27= ( )3 − ( )34𝑦 3
= (4𝑦 − 3)(16𝑦2 + 12𝑦 + 9)
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Suma de Cubos
a3 + b3 =(a + b)(a2 - ab + b2)
Factorice:
01/27/2018
8𝑥3 + 1 = ( )3 + ( )32𝑥 1
= (2𝑥 + 1) (4𝑥2 − 2𝑥+ 1)
125𝑧3 + 8𝑥3 = ( )3 + ( )35𝑧 2𝑥
= (5𝑧 + 2𝑥)(25𝑧2 − 10𝑥𝑧 + 4𝑥2)
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Ejercicios de Práctica #5
Prof. José G. Rodríguez Ahumada01/27/2018
Factorice
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Ejercicios del Texto
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Ejercicios del Texto …..
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