Un radical es una expresión de la forma , en la que n y a...

ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14

RADICALES

Un radical es una expresión de la forma , en la que n y a ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.

Se puede expresar un radical en forma de potencia:

Radicales equivalentes Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, obtenemos que:

Si se mult ipl ican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismo número natural , se obtiene otro radical equivalente.

Simplificación de radicales Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplif icado.

Reducción de radicales a índice común 1Hallamos el mínimo común múlt iplo de los índices , que será el común índice 2Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se mult ipl ica por sus exponentes correspondientes.

ROSA 1


Extracción de factores fuera del signo radical Se descompone el radicando en factores . Si: Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando . Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando . Un exponente es mayor que el índice , se divide dicho exponente por el índice . El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.

Introducción de factores dentro del signo radical Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical .

Operaciones con radicales Suma de radicales Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.

ROSA 2


Multiplicación de radicales Radicales del mismo índice Para multiplicar radicales con el mismo índice se mult ipl ican los radicandos y se deja el mismo índice .

Cuando terminemos de real izar una operación extraeremos factores del radical , si es posible. Radicales de distinto índice Primero se reducen a índice común y luego se mult ipl ican.

División de radicales Radicales del mismo índice Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.

Radicales de distinto índice Primero se reducen a índice común y luego se dividen.

ROSA 3

http://www.vitutor.com/di/re/b_3.html%23com_in%23com_in

http://www.vitutor.com/di/re/b_3.html%23com_in%23com_in


Cuando terminemos de real izar una operación simplif icaremos el radical , si es posible.

Potencia de radicales Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.

Raíz de un radical La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.

Racionalizar Consiste en quitar los radicales del denominador , lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones. Podemos distinguir tres casos.

ROSA 4


1Del tipo

Se mult ipl ica el numerador y el denominador por .

2Del tipo

Se mult ipl ica numerador y denominador por .

3Del tipo , y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical . Se mult ipl ica el numerador y denominador por el conjugado del denominador. El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:

ROSA 5


También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".

ROSA 6


Un radical es una ex pres ión de la forma , e n la q ue n y

a ; con ta l q ue cuand o a sea neg at iv o, n h a de se r impar .

Potenc i as y radic ales

Se puede expre sar un radical en f orma de potenc i a:

Radiales equivalentes

Ut i l i zand o l a not ac ión de exponente f ra cc i onar io y la p r op iedad

de la s f ra cc i one s que d ice que s i se mu lt ip l ica numerad or y

ROSA 7


denom inado r por un mi smo número la f rac c i ón es eq u iv a le nte ,

ob tenemos que :

S i se mu lt ip l ic an o d iv iden e l ín dic e y e l expon ent e de un

radic al por un m i smo número nat ural , se ob t iene ot ro radic al

equ ival ent e .

Simpli ficación de radicales

S i ex is te un número natural q ue d iv i da a l ín dice y a l

expon ent e (o l os exp onentes) de l ra d i cand o, se ob t ie ne un radica l

s impl i f icado .

1Hal lamos e l míni mo común múl t ip lo de l os índic es , que se rá

e l común índ ice

2Div idi mos el comú n índic e po r cada uno de los ín dic es y

cada resu l tad o ob ten id o se mult i pl ic a po r sus expon ent es

cor re spond ientes .

ROSA 8


Extracción de factores fuera del signo radical

Se descompone e l r ad i cando en f acto res . S i:

1 Un expon ent e es menor que e l índ ice , e l fac t or

cor re spond iente s e de ja en el radic an do .

2Un expon ente es igual a l índ ic e , e l fa c tor c or resp ond ie nte

sale f uera del radic ando .

3Un exponente es mayor que el ín dic e , se div i de d icho

exponente por el í ndic e . E l coc ient e ob te n id o es e l exponen te del

fac tor fuera de l ra d i cand o y e l resto es e l exponen te del fac to r

den tro de l r ad i cando.

ROSA 9


Introducción de factores dentro del signo radical

Se introducen lo s fac to res e lev ados a l í n dice cor re spond iente

de l radic al .

Solamen te p ueden s umars e (o restarse) dos rad ical es

cuando son radical es semejan tes , e s dec i r , s i son radica les con e l

mismo ín dice e i gu al radic an do .

ROSA 10


Radic ales del mis mo í nd ice

Para mult i pl icar rad ical es con el mismo ín dice se

mult i pl ican los radic an dos y s e de ja el m ismo ín dic e .

Cuando te rm inemos d e rea l iz a r una oper ac i ón e xtraeremos

factores del radical , s i e s p os ib le .

Radic ales de dis t int o ín dice

Pr imero se reducen a í ndic e común y lueg o se mult i pl ic an .

ROSA 11

http://www.vitutor.com/di/re/r10.html


Radicales del mismo índice

Para d iv id i r r ad i ca les con e l mi smo índ i ce se div iden los

radic an dos y s e deja e l mis mo í ndic e.

Radicales de distinto índice

Pr imero se reducen a í ndic e común y lueg o se div i den.

ROSA 12

http://www.vitutor.com/di/re/r10.html


Cuando te rm inemos de re a l i za r una oper ac i ón s i mpl i f icaremos

el radical , s i e s p os ib le .

Para e levar un radic al a una potenc i a , se e leva a d ic ha

pot enc i a e l radic an do y s e de j a e l mismo í ndice .

ROSA 13


La raíz de un radic al es ot r o radic al de igual radican do y

cuyo ín dice es e l producto de l os dos ín di ces .

ROSA 14


La rac ion al iz ac ión de radic al es cons i s te en qui t a r lo s

radic ales del denominador , l o que perm i te fac i l i t a r e l cá lc u l o de

operac i one s como la suma de f ra cc iones.

Podemos d is t ing u ir t res c asos.

1Rac ion al iz ac ión de l t ip o

Se mu lt i pl ica e l n umerador y e l denomin ador po r .

2Rac ion al iz ac ión de l t ip o

Se mu lt i pl ica numerador y den omi nador po r .

ROSA 15


3Rac ion al iz ac ión de l t ipo , y en g enera l cuando e l

denom inado r s ea un bi nomi o con al men os un radical .

Se mult i pl ic a e l nu merador y denomi nador po r e l conju gado

del denomin ador.

E l con jug ado de un b inom io e s igua l a l b i nom io c on e l s i gno

cent ra l camb iado:

Tamb ién te nemos q ue te ner e n cuenta que: "s uma por

di fe renc ia es i gu al a d i fe renc i a de cu adrados " .

ROSA 16


RESUMEN

Un radica l es un a expres ión de la f orma , en la que n

y a ; con t al que cu an do a s ea negat ivo, n h a de s er

impar.

Se puede expresar u n radical en f orma de potenc ia:

Radiales equivalentes

Simpli ficación de radicales

ROSA 17


Si exis t e un nú mero nat ural qu e div i da al ín dice y al

expon ent e (o los exponentes ) del rad ican do, se obt ien e un

radic al s impl i f ic ado.

Reducción de radicales a índice común

1Hal lamos e l míni mo común múl t ip lo de l os índic es , que se rá

e l común índ ice

2Div idi mos el comú n índic e po r cada uno de los ín dic es y

cada resu l tad o ob ten id o se mult i pl ic a po r sus expon ent es

cor re spond ientes .

Extracción de factores fuera del s igno radical

Se descompone e l r ad i cando en f acto res . S i:

Un expon ente es menor que e l índ i ce , e l fa c tor

cor re spond iente s e de ja en el radic an do .

Un exponente es igual a l índ ic e , e l fa c tor cor re spond iente s al e

fuera del radican do .

Un exponente es mayor qu e el í ndic e , se div i de d icho

exponente por el í ndic e . E l coc ient e ob te n id o es e l exponen te del

fac tor fuera de l ra d i cand o y e l resto es e l exponen te del fac to r

den tro de l r ad i cando.

Introducción de factores dentro del signo radical

Se introducen los fac t ores el ev ados al ín dice

corres pon di ente del radic al .

ROSA 18


Operaciones con radicales

Suma de radicales

Solamen te pueden sumarse ( o restarse) dos radical es

cuan do son radica les s emejant ess , es dec ir , s i son rad ical es con

el mis mo í ndic e e igual radic an do.

Producto de radicales



Primero se reduc en a ín dice c omú n y lu ego s e mu lt i pl ican.

Cociente de radicales



Primero se reduc en a ín dice c omú n y lu ego s e div i den.

Potencia de radicales

ROSA 19


Raíz de un radical

Racionalizar

Cons is t e en qui t ar l os radical es del denomin ador , lo que

permite fac i l i t a r e l c á l cu lo de op erac i ones c omo la suma de

f rac c i one s.

Podemos d is t ing u ir t res c asos.

1De l t ipo

Se mu lt i pl ica e l n umerador y e l denomin ador po r .

2De l t ipo

Se mu lt i pl ica numerador y den omi nador po r .

ROSA 20


3De l t ip o , y en genera l cuando e l denominador sea

un bin omi o con al menos un radic al .

Se mult i pl ic a e l nu merador y denomi nador po r e l conju gado

del denomin ador.

ROSA 21


EJERCICIOS RADICALES

1Calcula los valores de las siguientes potencias:

1

2

3

4

2Extraer factores:

1

2

3Introducir factores:

1

2

4Poner a común índice:

5Real iza las sumas:

1

ROSA 22


2

3

4

6Hal la las sumas:

1

2

3

4

7Efectúa las sumas:

1

2

8Real izar los productos:

1

2

3

9Efectúa las divisones de radicales:

ROSA 23


1

2

3

10Calcula:

11Opera:

12Real iza las operaciones con potencias:

1

2

13Rea l i z a l as op e r ac i on es :

ROSA 24


1

2

3

4

14Ca lcu la:

1

2

15Efe ctuar :

1

2

3

16Rac iona l i zar l os rad ica le s:

ROSA 25


1

2

3

4

5

17Rac iona l i zar

1

2

3

4

5 ROSA

26


ROSA 27

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