UACH Fisica en Las Ciencias Forestales Formacion de Nubes y Lluvia Teoria
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Física en las Ciencias Forestales 3.2 Formación de Nubes y Lluvia Teoría Dr. Willy H. Gerber Instituto de Física, Universidad Austral, Valdivia, Chile 31.10.2009 W. Gerber Física en las Ciencias Forestales - 3.2 Formación de Nubes y Lluvia - Teoría 26.10.2009 1 / 53
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Fiacutesica en las Ciencias Forestales32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
Teoriacutea
Dr Willy H Gerber
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral Valdivia Chile
31102009
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Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
Cara comprender la forma como se desplazan las masa de airedebemos estudiar la termodinaacutemica asociada Por elloestudiaremos
Presioacuten en la Atmoacutesfera Trabajo sobre Gases Energiacutea Calorica de Gases Primera Ley Termodinaacutemica Cambio Adiabatico
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Presioacuten en la Atmoacutesfera I
S
z
z + dz p + dp + d
p
A medida que subimos en laatmoacutesfera la presioacuten vadisminuyendo Esto se debea que la densidad del gasse reduce por efecto de queexiste cada vez menoscolumna de aire que lacomprime Si consideramosun volumen de seccioacuten S yaltura dz tendremos que ladiferencia de presioacuten en laaltura z sera dp(z) lo queoriginaraacute una fuerza efectivade dp(z) sdot S
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Presioacuten en la Atmoacutesfera II
Esta fuerza tiene que sercapaz de contrarrestar elpeso del volumen dz sdot dS quetiene una masa (z)dz sdot dSdonde es la densidad en laaltura z Como el peso esg(z)dz sdot dS se tiene
dp sdot dS = minusg(z)dz sdot dS (1)
El signo negativo denota queel peso actuacutea en direccioacuten dela tierra o sea en direccioacutenopuesta a la con quemedimos la altura
Con ello la ecuacioacuten que nospermite calcular la variacioacutende la presioacuten dp en funcioacutende la variacion de la altura dz
dp = minusg(z)dz
odpdz
= minusg(z) (2)
El problema que aundebemos resolver es que ladensidad en si depende depresioacuten
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Presioacuten en la Atmoacutesfera III
Para resolver esto bastaconsidera la Ecuacioacuten de losgases Esta es
pV = nRT (3)
con p la presioacuten en unvolumen V de n moles de ungas a temperatura T medidaen grados Kelvin y R laconstante de gases(8314 Jmol K) Por otro ladotenemos que la densidad es
=MV
(4)
con M la masa y V elVolumen Con m la masamolar se tiene que la masa Mes
M = n sdot m (5)
con n el numero de moles Sireemplazamos en (4) la masade (5) y luego empleamos laecuacioacuten de gases (3) seobtiene que
=MV
=n sdot m
V=
m sdot pRT
(6)
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Presioacuten en la Atmoacutesfera IV
Solucioacuten de la Ecuacioacutendiferencial mediante
wxmaxima
Si se reemplaza en (2) laexpresioacuten para la densidad (6)se obtiene
dpdz
= minusmgRT
p (7)
Si empleamos wxmaxima sepuede integrar esta ecuacioacutenobtenieacutendose
p(z) = p0 eminusmgzRT (8)
con p0 la constante deintegracioacuten
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Presioacuten en la Atmoacutesfera V
Representacioacuten empleandowxmaxima
Para el caso del aire la masamolar es de 289644 gmol porlo que a 18∘C se puede calcularuna altura caracteriacutestica
z0 =RTmg
= 85278 m
Si se considera la presioacuten p0 ala altura cero (z = 0) como unaatm (atmoacutesfera) o 101325 kPase obtiene
p(z) = p0 eminuszz0
= 101325 eminusz85278 mkPa
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Trabajo sobre Gases I
F = p sdot S
duS
Cuando un globo se elevaen la atmoacutesfera la presioacutense va reduciendo con laaltura por lo que el globo sedilata El trabajo W querealiza la presioacuten es igual ala fuerza F por el caminorecorrido du
W = F sdot du (9)
Como la fuerza es elproducto de la presioacuten p porla superficie S
F = minusp sdot S (10)
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Trabajo sobre Gases II
F = p sdot S
duS
el trabajo es
W = F sdotdu = minuspsdotS sdotdu (11)
Como S sdot du es el cambio enel volumen dV se tienefinalmente que el trabajo es
W = minusp sdot dV (12)
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Energiacutea Calorica de Gases I
Calentando Agua
Si tenemos una masa M deun gas y le introducimos laenergiacutea Q la temperaturasubiraacute en dT Dichoaumento es siempreproporcional a la cantidadde calor suministrado Si elgas esta encerrado en unrecipiente en que no sepuede dilatar la constantese denomina calorespecifico a volumenconstante cV
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Energiacutea Calorica de Gases II
Calirimetro simple
La constante se calcula de
cV =Q0
M sdot dT0(13)
Con dicho valor se puedeluego calcular el calor Qasociado a una variacioacuten dela temperatura dT
Q = M sdot cV sdot dT (14)
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Primera Ley Termodinaacutemica
Rudolf Clausius(1822-1888)
El primero en formular laprimera ley de latermodinaacutemica fue RudolfClausius La primera ley indicaque la energiacutea se conserva yse puede formular como que rsquosise aumenta la energiacutea internade un sistema dU estaconduciraacute a un aumento elcalor del sistema Q o a unaperdida por efecto del trabajorealizado por el sistema W
dU = Q minus W (15)
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Cambio Adiabatico I
Cuando un proceso ocurredemasiado raacutepido el sistemano tiene tiempo paraintercambiar energiacutea con elmedio circundante En estecaso la energiacutea interna novaria por lo que
dU = Q minus W = 0 (16)
Eso significa que si elsistema tiene que hacertrabajo W deberaacute reducir sucalor Q Empleando (12) y(14) la condicioacuten adiabatica(16) se reduce a
M sdot cV sdot dT + p sdot dV = 0 (17)
Con la ecuacioacuten de los gases(3) y la relacioacuten (5) se llega a
nmsdotcV sdotdT = minuspsdotdV = minusnRTdVV
o
dTT
= minusR
mcV
dVV
(18)
que se puede integrar
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Cambio Adiabatico II
Integracioacuten mediantewxmaxima
Si escribimos (18) de la forma
dTdV
= minusR
mcV
TV
(19)
podemos integrar estaecuacioacuten obtenieacutendose
T = C sdot VminusRmcV (20)
La constante se puededeterminar para un volumenV0 en particular y latemperatura T0 especiacuteficos
C = T0VRmcV0 (21)
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Cambio Adiabatico III
Curva T-V a presioacutenconstante con wxmaxima
Con (21) la ecuacioacuten (20) seescribe como
TT0
=
(
V0
V
)minus1
(22)
donde es el indiceadiabatico y se calcula de
= 1 +R
mcV(23)
que en el caso del aire es delorden de 14
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Cambio Adiabatico IV
Curva T-p a presioacutenconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) el volumendesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso devolumen constante
TT0
=
(
pp0
)(minus1)
(24)
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Cambio Adiabatico V
Curva p-V a temperaturaconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) la temperaturadesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso detemperatura constante
pp0
=
(
V0
V
)
(25)
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Nubes y Lluvia
Basados en los conceptos termodinaacutemicos podemos describirel desplazamiento de masas de aire y la formacioacuten de lluviaPor ello estudiaremos
Sustentacioacuten e Inestabilidad Tipo de Corriente Desplazamiento del Aire Condensacioacuten del Agua Formacioacuten de Gotas Lluvia
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Sustentacioacuten e Inestabilidad I
Una nube asciende como unglobo de helio
Como vimos antes una masaen aire de seccioacuten S estaexpuesta a la diferencias depresioacuten dp que existe endistintas alturas lo que puedellevar a una fuerza desustentacioacuten S sdot dp Esta esseguacuten (1) igual a
S sdot dp = S sdot h sdot m sdot g (26)
donde m es la densidad delmedio circundante y h es laaltura de la nube
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Sustentacioacuten e Inestabilidad II
Por otro lado la nube estaexpuesta a su propio peso
sdot S sdot h sdot g
siendo la densidad de lanube y g la aceleracioacutengravitacional Por ello lafuerza total es
F = S sdot h sdot g(m minus ) (27)
En otras palabras si ladensidad de la nube esmayor que la de su entornoestamos frente a unasituacioacuten estable la nube nose desplaza Sin embargo sila densidad del entorno esmayor que la de el nubeexistiraacute suficientesustentacioacuten y la nube seelevara
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Tipo de Corriente
Si la nube se desplaza esimportante saber que tipo decorriente existiraacute Para ellodebemos estimar el numerode Reynold
Re = sdot R sdot
(28)
donde es la densidad Runa dimensioacuten caracteriacutestica la velocidad y laviscosidad En este caso seobtiene que es una corrienteturbulenta
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Desplazamiento del Aire I
Si la corriente es turbulentaexistiraacute una fuerza deresistencia del tipo
FT =12
CW sdot Sm2c (29)
donde CW es el coeficientede resistencia S la seccioacutende la nube y c su velocidadLa fuerza de sustentacioacuten(27) acelerara la nube hastael punto en que seacompensada por la fuerza deresistencia (29)
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Desplazamiento del Aire II
Despejando con wxmaxima
En dicha situacioacuten ysuponiendo que la seccioacuten novaria con la altura se da que
S sdot h sdot g(m minus ) =12
CW sdot Sm2c
por lo que la velocidad es
c =
radic
2 sdot h sdot g(m minus )
CWm(30)
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Desplazamiento del Aire III
Otros mecanismos que llevana la elevacioacuten de masas deaire son por ejemplo losobstaacuteculos terrestres Si undesplazamiento horizontal seenfrenta a un cerro lasmasas de aire tendraacuten queascender
Otro tipo de obstaacuteculo sonzonas de mayor densidad delaire (por lo general zonas demenor temperatura) Cuandoestas zonas se desplazanelevan masas de aire mascaacutelidas que se puedanencontrar en su camino
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Condensacioacuten del Agua I
Al subir la masa de aire se vadescomprimiendo por lo quese expande Dicha expansioacutenocurre suficientemente raacutepidode modo de que no existemayor intercambio deenergiacutea con el medio Estosignifica un cambioadiabaacutetico y con ello una bajade la temperatura La baja detemperatura conduce a que lahumedad relativa sube hastaalcanzar la saturacioacuten tras lacual se comienzan a formargotas llevando a la formacioacutende nubes y finalmente lluvia
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Condensacioacuten del Agua II
La presioacuten del vapor de aguaen el caso de aire saturadoes
ps = p0eminusΔHRT (31)
con ΔH la entalpiacutea deevaporizacioacuten del agua R laconstante de gas y T latemperatura en gradosKelvin p0 es la presioacuten en elpunto triple y es igual a365 times 1010Pa
La humedad relativa sedefine como la fraccioacuten depresioacuten de vapor de agua pv
existe en comparacioacuten con elmaacuteximo posible que secalcula con la ecuacioacuten (31)
HR = 100pv
ps(32)
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Condensacioacuten del Agua III
Con la entalpia de 4065 kJmolK se obtiene que la presioacuten devapor de agua en funcioacuten de la temperatura es
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Condensacioacuten del Agua IV
Al ascender el aire baja de la temperatura T1 a T2 logrando lasaturacion de la humedad contenida Si continua ascendiendoy baja a T3 deberaacute continuar reduciendo el agua dado que lacapacidad de soportar humedad continua bajando
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Condensacioacuten del Agua IV
Esta agua liberada forma lasmicrogotas que son visiblescomo nubes y luego las gotasque forman la lluviaSi el aire esta a unatemperatura T y presenta unasaturacioacuten de HR la presioacutende vapor de agua sera igual a
pv =HR
100p0eminusΔHRT (33)
Al bajar la temperatura hastaun valor Ts se alcanzara lasaturacioacuten
En esta situacioacuten sera
pv = p0 eminusΔHRTs (34)
Si se igualan (33) con (34) seobtiene
HR100
eminusΔHRT = eminusΔHRTs
que nos da la temperaturadel punto de rociacuteo
Ts =T
1 minusRTΔH
lnHR
100
(35)
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Formacioacuten de Gotas I
George Stokes(1819-1903)
A medida que el aguacondensa se van formandopequentildeas gotas quecomienzan a caer Cuandolas velocidades son aunpequentildeas las gotas sonfrenadas por la fuerza deStokes
FR = 6a (36)
con la viscosidad del aire ael radio de la gota y lavelocidad de desplazamiento
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Formacioacuten de Gotas II
La gota comienza a caer porefecto de la gravedad y esfrenada por efecto de lafuerza de Stokesaumentando la velocidadhasta que ambas fuerzas soniguales En tal situacioacuten ysiendo w la densidad delagua se tiene
6ad = mg =43a3wg
por lo que la velocidad es
d =2a2g
9(37)
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Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
httpwxmaximasourceforgenetwikiindexphpMain_Page
A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
Cara comprender la forma como se desplazan las masa de airedebemos estudiar la termodinaacutemica asociada Por elloestudiaremos
Presioacuten en la Atmoacutesfera Trabajo sobre Gases Energiacutea Calorica de Gases Primera Ley Termodinaacutemica Cambio Adiabatico
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Presioacuten en la Atmoacutesfera I
S
z
z + dz p + dp + d
p
A medida que subimos en laatmoacutesfera la presioacuten vadisminuyendo Esto se debea que la densidad del gasse reduce por efecto de queexiste cada vez menoscolumna de aire que lacomprime Si consideramosun volumen de seccioacuten S yaltura dz tendremos que ladiferencia de presioacuten en laaltura z sera dp(z) lo queoriginaraacute una fuerza efectivade dp(z) sdot S
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Presioacuten en la Atmoacutesfera II
Esta fuerza tiene que sercapaz de contrarrestar elpeso del volumen dz sdot dS quetiene una masa (z)dz sdot dSdonde es la densidad en laaltura z Como el peso esg(z)dz sdot dS se tiene
dp sdot dS = minusg(z)dz sdot dS (1)
El signo negativo denota queel peso actuacutea en direccioacuten dela tierra o sea en direccioacutenopuesta a la con quemedimos la altura
Con ello la ecuacioacuten que nospermite calcular la variacioacutende la presioacuten dp en funcioacutende la variacion de la altura dz
dp = minusg(z)dz
odpdz
= minusg(z) (2)
El problema que aundebemos resolver es que ladensidad en si depende depresioacuten
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Presioacuten en la Atmoacutesfera III
Para resolver esto bastaconsidera la Ecuacioacuten de losgases Esta es
pV = nRT (3)
con p la presioacuten en unvolumen V de n moles de ungas a temperatura T medidaen grados Kelvin y R laconstante de gases(8314 Jmol K) Por otro ladotenemos que la densidad es
=MV
(4)
con M la masa y V elVolumen Con m la masamolar se tiene que la masa Mes
M = n sdot m (5)
con n el numero de moles Sireemplazamos en (4) la masade (5) y luego empleamos laecuacioacuten de gases (3) seobtiene que
=MV
=n sdot m
V=
m sdot pRT
(6)
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Presioacuten en la Atmoacutesfera IV
Solucioacuten de la Ecuacioacutendiferencial mediante
wxmaxima
Si se reemplaza en (2) laexpresioacuten para la densidad (6)se obtiene
dpdz
= minusmgRT
p (7)
Si empleamos wxmaxima sepuede integrar esta ecuacioacutenobtenieacutendose
p(z) = p0 eminusmgzRT (8)
con p0 la constante deintegracioacuten
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Presioacuten en la Atmoacutesfera V
Representacioacuten empleandowxmaxima
Para el caso del aire la masamolar es de 289644 gmol porlo que a 18∘C se puede calcularuna altura caracteriacutestica
z0 =RTmg
= 85278 m
Si se considera la presioacuten p0 ala altura cero (z = 0) como unaatm (atmoacutesfera) o 101325 kPase obtiene
p(z) = p0 eminuszz0
= 101325 eminusz85278 mkPa
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Trabajo sobre Gases I
F = p sdot S
duS
Cuando un globo se elevaen la atmoacutesfera la presioacutense va reduciendo con laaltura por lo que el globo sedilata El trabajo W querealiza la presioacuten es igual ala fuerza F por el caminorecorrido du
W = F sdot du (9)
Como la fuerza es elproducto de la presioacuten p porla superficie S
F = minusp sdot S (10)
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Trabajo sobre Gases II
F = p sdot S
duS
el trabajo es
W = F sdotdu = minuspsdotS sdotdu (11)
Como S sdot du es el cambio enel volumen dV se tienefinalmente que el trabajo es
W = minusp sdot dV (12)
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Energiacutea Calorica de Gases I
Calentando Agua
Si tenemos una masa M deun gas y le introducimos laenergiacutea Q la temperaturasubiraacute en dT Dichoaumento es siempreproporcional a la cantidadde calor suministrado Si elgas esta encerrado en unrecipiente en que no sepuede dilatar la constantese denomina calorespecifico a volumenconstante cV
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Energiacutea Calorica de Gases II
Calirimetro simple
La constante se calcula de
cV =Q0
M sdot dT0(13)
Con dicho valor se puedeluego calcular el calor Qasociado a una variacioacuten dela temperatura dT
Q = M sdot cV sdot dT (14)
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Primera Ley Termodinaacutemica
Rudolf Clausius(1822-1888)
El primero en formular laprimera ley de latermodinaacutemica fue RudolfClausius La primera ley indicaque la energiacutea se conserva yse puede formular como que rsquosise aumenta la energiacutea internade un sistema dU estaconduciraacute a un aumento elcalor del sistema Q o a unaperdida por efecto del trabajorealizado por el sistema W
dU = Q minus W (15)
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Cambio Adiabatico I
Cuando un proceso ocurredemasiado raacutepido el sistemano tiene tiempo paraintercambiar energiacutea con elmedio circundante En estecaso la energiacutea interna novaria por lo que
dU = Q minus W = 0 (16)
Eso significa que si elsistema tiene que hacertrabajo W deberaacute reducir sucalor Q Empleando (12) y(14) la condicioacuten adiabatica(16) se reduce a
M sdot cV sdot dT + p sdot dV = 0 (17)
Con la ecuacioacuten de los gases(3) y la relacioacuten (5) se llega a
nmsdotcV sdotdT = minuspsdotdV = minusnRTdVV
o
dTT
= minusR
mcV
dVV
(18)
que se puede integrar
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Cambio Adiabatico II
Integracioacuten mediantewxmaxima
Si escribimos (18) de la forma
dTdV
= minusR
mcV
TV
(19)
podemos integrar estaecuacioacuten obtenieacutendose
T = C sdot VminusRmcV (20)
La constante se puededeterminar para un volumenV0 en particular y latemperatura T0 especiacuteficos
C = T0VRmcV0 (21)
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Cambio Adiabatico III
Curva T-V a presioacutenconstante con wxmaxima
Con (21) la ecuacioacuten (20) seescribe como
TT0
=
(
V0
V
)minus1
(22)
donde es el indiceadiabatico y se calcula de
= 1 +R
mcV(23)
que en el caso del aire es delorden de 14
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Cambio Adiabatico IV
Curva T-p a presioacutenconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) el volumendesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso devolumen constante
TT0
=
(
pp0
)(minus1)
(24)
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Cambio Adiabatico V
Curva p-V a temperaturaconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) la temperaturadesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso detemperatura constante
pp0
=
(
V0
V
)
(25)
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Nubes y Lluvia
Basados en los conceptos termodinaacutemicos podemos describirel desplazamiento de masas de aire y la formacioacuten de lluviaPor ello estudiaremos
Sustentacioacuten e Inestabilidad Tipo de Corriente Desplazamiento del Aire Condensacioacuten del Agua Formacioacuten de Gotas Lluvia
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Sustentacioacuten e Inestabilidad I
Una nube asciende como unglobo de helio
Como vimos antes una masaen aire de seccioacuten S estaexpuesta a la diferencias depresioacuten dp que existe endistintas alturas lo que puedellevar a una fuerza desustentacioacuten S sdot dp Esta esseguacuten (1) igual a
S sdot dp = S sdot h sdot m sdot g (26)
donde m es la densidad delmedio circundante y h es laaltura de la nube
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Sustentacioacuten e Inestabilidad II
Por otro lado la nube estaexpuesta a su propio peso
sdot S sdot h sdot g
siendo la densidad de lanube y g la aceleracioacutengravitacional Por ello lafuerza total es
F = S sdot h sdot g(m minus ) (27)
En otras palabras si ladensidad de la nube esmayor que la de su entornoestamos frente a unasituacioacuten estable la nube nose desplaza Sin embargo sila densidad del entorno esmayor que la de el nubeexistiraacute suficientesustentacioacuten y la nube seelevara
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Tipo de Corriente
Si la nube se desplaza esimportante saber que tipo decorriente existiraacute Para ellodebemos estimar el numerode Reynold
Re = sdot R sdot
(28)
donde es la densidad Runa dimensioacuten caracteriacutestica la velocidad y laviscosidad En este caso seobtiene que es una corrienteturbulenta
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Desplazamiento del Aire I
Si la corriente es turbulentaexistiraacute una fuerza deresistencia del tipo
FT =12
CW sdot Sm2c (29)
donde CW es el coeficientede resistencia S la seccioacutende la nube y c su velocidadLa fuerza de sustentacioacuten(27) acelerara la nube hastael punto en que seacompensada por la fuerza deresistencia (29)
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Desplazamiento del Aire II
Despejando con wxmaxima
En dicha situacioacuten ysuponiendo que la seccioacuten novaria con la altura se da que
S sdot h sdot g(m minus ) =12
CW sdot Sm2c
por lo que la velocidad es
c =
radic
2 sdot h sdot g(m minus )
CWm(30)
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Desplazamiento del Aire III
Otros mecanismos que llevana la elevacioacuten de masas deaire son por ejemplo losobstaacuteculos terrestres Si undesplazamiento horizontal seenfrenta a un cerro lasmasas de aire tendraacuten queascender
Otro tipo de obstaacuteculo sonzonas de mayor densidad delaire (por lo general zonas demenor temperatura) Cuandoestas zonas se desplazanelevan masas de aire mascaacutelidas que se puedanencontrar en su camino
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Condensacioacuten del Agua I
Al subir la masa de aire se vadescomprimiendo por lo quese expande Dicha expansioacutenocurre suficientemente raacutepidode modo de que no existemayor intercambio deenergiacutea con el medio Estosignifica un cambioadiabaacutetico y con ello una bajade la temperatura La baja detemperatura conduce a que lahumedad relativa sube hastaalcanzar la saturacioacuten tras lacual se comienzan a formargotas llevando a la formacioacutende nubes y finalmente lluvia
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Condensacioacuten del Agua II
La presioacuten del vapor de aguaen el caso de aire saturadoes
ps = p0eminusΔHRT (31)
con ΔH la entalpiacutea deevaporizacioacuten del agua R laconstante de gas y T latemperatura en gradosKelvin p0 es la presioacuten en elpunto triple y es igual a365 times 1010Pa
La humedad relativa sedefine como la fraccioacuten depresioacuten de vapor de agua pv
existe en comparacioacuten con elmaacuteximo posible que secalcula con la ecuacioacuten (31)
HR = 100pv
ps(32)
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Condensacioacuten del Agua III
Con la entalpia de 4065 kJmolK se obtiene que la presioacuten devapor de agua en funcioacuten de la temperatura es
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Condensacioacuten del Agua IV
Al ascender el aire baja de la temperatura T1 a T2 logrando lasaturacion de la humedad contenida Si continua ascendiendoy baja a T3 deberaacute continuar reduciendo el agua dado que lacapacidad de soportar humedad continua bajando
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Condensacioacuten del Agua IV
Esta agua liberada forma lasmicrogotas que son visiblescomo nubes y luego las gotasque forman la lluviaSi el aire esta a unatemperatura T y presenta unasaturacioacuten de HR la presioacutende vapor de agua sera igual a
pv =HR
100p0eminusΔHRT (33)
Al bajar la temperatura hastaun valor Ts se alcanzara lasaturacioacuten
En esta situacioacuten sera
pv = p0 eminusΔHRTs (34)
Si se igualan (33) con (34) seobtiene
HR100
eminusΔHRT = eminusΔHRTs
que nos da la temperaturadel punto de rociacuteo
Ts =T
1 minusRTΔH
lnHR
100
(35)
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Formacioacuten de Gotas I
George Stokes(1819-1903)
A medida que el aguacondensa se van formandopequentildeas gotas quecomienzan a caer Cuandolas velocidades son aunpequentildeas las gotas sonfrenadas por la fuerza deStokes
FR = 6a (36)
con la viscosidad del aire ael radio de la gota y lavelocidad de desplazamiento
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Formacioacuten de Gotas II
La gota comienza a caer porefecto de la gravedad y esfrenada por efecto de lafuerza de Stokesaumentando la velocidadhasta que ambas fuerzas soniguales En tal situacioacuten ysiendo w la densidad delagua se tiene
6ad = mg =43a3wg
por lo que la velocidad es
d =2a2g
9(37)
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Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
httpwxmaximasourceforgenetwikiindexphpMain_Page
A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Presioacuten en la Atmoacutesfera I
S
z
z + dz p + dp + d
p
A medida que subimos en laatmoacutesfera la presioacuten vadisminuyendo Esto se debea que la densidad del gasse reduce por efecto de queexiste cada vez menoscolumna de aire que lacomprime Si consideramosun volumen de seccioacuten S yaltura dz tendremos que ladiferencia de presioacuten en laaltura z sera dp(z) lo queoriginaraacute una fuerza efectivade dp(z) sdot S
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Presioacuten en la Atmoacutesfera II
Esta fuerza tiene que sercapaz de contrarrestar elpeso del volumen dz sdot dS quetiene una masa (z)dz sdot dSdonde es la densidad en laaltura z Como el peso esg(z)dz sdot dS se tiene
dp sdot dS = minusg(z)dz sdot dS (1)
El signo negativo denota queel peso actuacutea en direccioacuten dela tierra o sea en direccioacutenopuesta a la con quemedimos la altura
Con ello la ecuacioacuten que nospermite calcular la variacioacutende la presioacuten dp en funcioacutende la variacion de la altura dz
dp = minusg(z)dz
odpdz
= minusg(z) (2)
El problema que aundebemos resolver es que ladensidad en si depende depresioacuten
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Presioacuten en la Atmoacutesfera III
Para resolver esto bastaconsidera la Ecuacioacuten de losgases Esta es
pV = nRT (3)
con p la presioacuten en unvolumen V de n moles de ungas a temperatura T medidaen grados Kelvin y R laconstante de gases(8314 Jmol K) Por otro ladotenemos que la densidad es
=MV
(4)
con M la masa y V elVolumen Con m la masamolar se tiene que la masa Mes
M = n sdot m (5)
con n el numero de moles Sireemplazamos en (4) la masade (5) y luego empleamos laecuacioacuten de gases (3) seobtiene que
=MV
=n sdot m
V=
m sdot pRT
(6)
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Presioacuten en la Atmoacutesfera IV
Solucioacuten de la Ecuacioacutendiferencial mediante
wxmaxima
Si se reemplaza en (2) laexpresioacuten para la densidad (6)se obtiene
dpdz
= minusmgRT
p (7)
Si empleamos wxmaxima sepuede integrar esta ecuacioacutenobtenieacutendose
p(z) = p0 eminusmgzRT (8)
con p0 la constante deintegracioacuten
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Presioacuten en la Atmoacutesfera V
Representacioacuten empleandowxmaxima
Para el caso del aire la masamolar es de 289644 gmol porlo que a 18∘C se puede calcularuna altura caracteriacutestica
z0 =RTmg
= 85278 m
Si se considera la presioacuten p0 ala altura cero (z = 0) como unaatm (atmoacutesfera) o 101325 kPase obtiene
p(z) = p0 eminuszz0
= 101325 eminusz85278 mkPa
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Trabajo sobre Gases I
F = p sdot S
duS
Cuando un globo se elevaen la atmoacutesfera la presioacutense va reduciendo con laaltura por lo que el globo sedilata El trabajo W querealiza la presioacuten es igual ala fuerza F por el caminorecorrido du
W = F sdot du (9)
Como la fuerza es elproducto de la presioacuten p porla superficie S
F = minusp sdot S (10)
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Trabajo sobre Gases II
F = p sdot S
duS
el trabajo es
W = F sdotdu = minuspsdotS sdotdu (11)
Como S sdot du es el cambio enel volumen dV se tienefinalmente que el trabajo es
W = minusp sdot dV (12)
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Energiacutea Calorica de Gases I
Calentando Agua
Si tenemos una masa M deun gas y le introducimos laenergiacutea Q la temperaturasubiraacute en dT Dichoaumento es siempreproporcional a la cantidadde calor suministrado Si elgas esta encerrado en unrecipiente en que no sepuede dilatar la constantese denomina calorespecifico a volumenconstante cV
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Energiacutea Calorica de Gases II
Calirimetro simple
La constante se calcula de
cV =Q0
M sdot dT0(13)
Con dicho valor se puedeluego calcular el calor Qasociado a una variacioacuten dela temperatura dT
Q = M sdot cV sdot dT (14)
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Primera Ley Termodinaacutemica
Rudolf Clausius(1822-1888)
El primero en formular laprimera ley de latermodinaacutemica fue RudolfClausius La primera ley indicaque la energiacutea se conserva yse puede formular como que rsquosise aumenta la energiacutea internade un sistema dU estaconduciraacute a un aumento elcalor del sistema Q o a unaperdida por efecto del trabajorealizado por el sistema W
dU = Q minus W (15)
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Cambio Adiabatico I
Cuando un proceso ocurredemasiado raacutepido el sistemano tiene tiempo paraintercambiar energiacutea con elmedio circundante En estecaso la energiacutea interna novaria por lo que
dU = Q minus W = 0 (16)
Eso significa que si elsistema tiene que hacertrabajo W deberaacute reducir sucalor Q Empleando (12) y(14) la condicioacuten adiabatica(16) se reduce a
M sdot cV sdot dT + p sdot dV = 0 (17)
Con la ecuacioacuten de los gases(3) y la relacioacuten (5) se llega a
nmsdotcV sdotdT = minuspsdotdV = minusnRTdVV
o
dTT
= minusR
mcV
dVV
(18)
que se puede integrar
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Cambio Adiabatico II
Integracioacuten mediantewxmaxima
Si escribimos (18) de la forma
dTdV
= minusR
mcV
TV
(19)
podemos integrar estaecuacioacuten obtenieacutendose
T = C sdot VminusRmcV (20)
La constante se puededeterminar para un volumenV0 en particular y latemperatura T0 especiacuteficos
C = T0VRmcV0 (21)
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Cambio Adiabatico III
Curva T-V a presioacutenconstante con wxmaxima
Con (21) la ecuacioacuten (20) seescribe como
TT0
=
(
V0
V
)minus1
(22)
donde es el indiceadiabatico y se calcula de
= 1 +R
mcV(23)
que en el caso del aire es delorden de 14
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Cambio Adiabatico IV
Curva T-p a presioacutenconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) el volumendesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso devolumen constante
TT0
=
(
pp0
)(minus1)
(24)
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Cambio Adiabatico V
Curva p-V a temperaturaconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) la temperaturadesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso detemperatura constante
pp0
=
(
V0
V
)
(25)
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Nubes y Lluvia
Basados en los conceptos termodinaacutemicos podemos describirel desplazamiento de masas de aire y la formacioacuten de lluviaPor ello estudiaremos
Sustentacioacuten e Inestabilidad Tipo de Corriente Desplazamiento del Aire Condensacioacuten del Agua Formacioacuten de Gotas Lluvia
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Sustentacioacuten e Inestabilidad I
Una nube asciende como unglobo de helio
Como vimos antes una masaen aire de seccioacuten S estaexpuesta a la diferencias depresioacuten dp que existe endistintas alturas lo que puedellevar a una fuerza desustentacioacuten S sdot dp Esta esseguacuten (1) igual a
S sdot dp = S sdot h sdot m sdot g (26)
donde m es la densidad delmedio circundante y h es laaltura de la nube
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Sustentacioacuten e Inestabilidad II
Por otro lado la nube estaexpuesta a su propio peso
sdot S sdot h sdot g
siendo la densidad de lanube y g la aceleracioacutengravitacional Por ello lafuerza total es
F = S sdot h sdot g(m minus ) (27)
En otras palabras si ladensidad de la nube esmayor que la de su entornoestamos frente a unasituacioacuten estable la nube nose desplaza Sin embargo sila densidad del entorno esmayor que la de el nubeexistiraacute suficientesustentacioacuten y la nube seelevara
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Tipo de Corriente
Si la nube se desplaza esimportante saber que tipo decorriente existiraacute Para ellodebemos estimar el numerode Reynold
Re = sdot R sdot
(28)
donde es la densidad Runa dimensioacuten caracteriacutestica la velocidad y laviscosidad En este caso seobtiene que es una corrienteturbulenta
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Desplazamiento del Aire I
Si la corriente es turbulentaexistiraacute una fuerza deresistencia del tipo
FT =12
CW sdot Sm2c (29)
donde CW es el coeficientede resistencia S la seccioacutende la nube y c su velocidadLa fuerza de sustentacioacuten(27) acelerara la nube hastael punto en que seacompensada por la fuerza deresistencia (29)
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Desplazamiento del Aire II
Despejando con wxmaxima
En dicha situacioacuten ysuponiendo que la seccioacuten novaria con la altura se da que
S sdot h sdot g(m minus ) =12
CW sdot Sm2c
por lo que la velocidad es
c =
radic
2 sdot h sdot g(m minus )
CWm(30)
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Desplazamiento del Aire III
Otros mecanismos que llevana la elevacioacuten de masas deaire son por ejemplo losobstaacuteculos terrestres Si undesplazamiento horizontal seenfrenta a un cerro lasmasas de aire tendraacuten queascender
Otro tipo de obstaacuteculo sonzonas de mayor densidad delaire (por lo general zonas demenor temperatura) Cuandoestas zonas se desplazanelevan masas de aire mascaacutelidas que se puedanencontrar en su camino
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Condensacioacuten del Agua I
Al subir la masa de aire se vadescomprimiendo por lo quese expande Dicha expansioacutenocurre suficientemente raacutepidode modo de que no existemayor intercambio deenergiacutea con el medio Estosignifica un cambioadiabaacutetico y con ello una bajade la temperatura La baja detemperatura conduce a que lahumedad relativa sube hastaalcanzar la saturacioacuten tras lacual se comienzan a formargotas llevando a la formacioacutende nubes y finalmente lluvia
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Condensacioacuten del Agua II
La presioacuten del vapor de aguaen el caso de aire saturadoes
ps = p0eminusΔHRT (31)
con ΔH la entalpiacutea deevaporizacioacuten del agua R laconstante de gas y T latemperatura en gradosKelvin p0 es la presioacuten en elpunto triple y es igual a365 times 1010Pa
La humedad relativa sedefine como la fraccioacuten depresioacuten de vapor de agua pv
existe en comparacioacuten con elmaacuteximo posible que secalcula con la ecuacioacuten (31)
HR = 100pv
ps(32)
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Condensacioacuten del Agua III
Con la entalpia de 4065 kJmolK se obtiene que la presioacuten devapor de agua en funcioacuten de la temperatura es
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Condensacioacuten del Agua IV
Al ascender el aire baja de la temperatura T1 a T2 logrando lasaturacion de la humedad contenida Si continua ascendiendoy baja a T3 deberaacute continuar reduciendo el agua dado que lacapacidad de soportar humedad continua bajando
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Condensacioacuten del Agua IV
Esta agua liberada forma lasmicrogotas que son visiblescomo nubes y luego las gotasque forman la lluviaSi el aire esta a unatemperatura T y presenta unasaturacioacuten de HR la presioacutende vapor de agua sera igual a
pv =HR
100p0eminusΔHRT (33)
Al bajar la temperatura hastaun valor Ts se alcanzara lasaturacioacuten
En esta situacioacuten sera
pv = p0 eminusΔHRTs (34)
Si se igualan (33) con (34) seobtiene
HR100
eminusΔHRT = eminusΔHRTs
que nos da la temperaturadel punto de rociacuteo
Ts =T
1 minusRTΔH
lnHR
100
(35)
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Formacioacuten de Gotas I
George Stokes(1819-1903)
A medida que el aguacondensa se van formandopequentildeas gotas quecomienzan a caer Cuandolas velocidades son aunpequentildeas las gotas sonfrenadas por la fuerza deStokes
FR = 6a (36)
con la viscosidad del aire ael radio de la gota y lavelocidad de desplazamiento
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Formacioacuten de Gotas II
La gota comienza a caer porefecto de la gravedad y esfrenada por efecto de lafuerza de Stokesaumentando la velocidadhasta que ambas fuerzas soniguales En tal situacioacuten ysiendo w la densidad delagua se tiene
6ad = mg =43a3wg
por lo que la velocidad es
d =2a2g
9(37)
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Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
httpwxmaximasourceforgenetwikiindexphpMain_Page
A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Presioacuten en la Atmoacutesfera II
Esta fuerza tiene que sercapaz de contrarrestar elpeso del volumen dz sdot dS quetiene una masa (z)dz sdot dSdonde es la densidad en laaltura z Como el peso esg(z)dz sdot dS se tiene
dp sdot dS = minusg(z)dz sdot dS (1)
El signo negativo denota queel peso actuacutea en direccioacuten dela tierra o sea en direccioacutenopuesta a la con quemedimos la altura
Con ello la ecuacioacuten que nospermite calcular la variacioacutende la presioacuten dp en funcioacutende la variacion de la altura dz
dp = minusg(z)dz
odpdz
= minusg(z) (2)
El problema que aundebemos resolver es que ladensidad en si depende depresioacuten
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Presioacuten en la Atmoacutesfera III
Para resolver esto bastaconsidera la Ecuacioacuten de losgases Esta es
pV = nRT (3)
con p la presioacuten en unvolumen V de n moles de ungas a temperatura T medidaen grados Kelvin y R laconstante de gases(8314 Jmol K) Por otro ladotenemos que la densidad es
=MV
(4)
con M la masa y V elVolumen Con m la masamolar se tiene que la masa Mes
M = n sdot m (5)
con n el numero de moles Sireemplazamos en (4) la masade (5) y luego empleamos laecuacioacuten de gases (3) seobtiene que
=MV
=n sdot m
V=
m sdot pRT
(6)
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Presioacuten en la Atmoacutesfera IV
Solucioacuten de la Ecuacioacutendiferencial mediante
wxmaxima
Si se reemplaza en (2) laexpresioacuten para la densidad (6)se obtiene
dpdz
= minusmgRT
p (7)
Si empleamos wxmaxima sepuede integrar esta ecuacioacutenobtenieacutendose
p(z) = p0 eminusmgzRT (8)
con p0 la constante deintegracioacuten
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Presioacuten en la Atmoacutesfera V
Representacioacuten empleandowxmaxima
Para el caso del aire la masamolar es de 289644 gmol porlo que a 18∘C se puede calcularuna altura caracteriacutestica
z0 =RTmg
= 85278 m
Si se considera la presioacuten p0 ala altura cero (z = 0) como unaatm (atmoacutesfera) o 101325 kPase obtiene
p(z) = p0 eminuszz0
= 101325 eminusz85278 mkPa
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Trabajo sobre Gases I
F = p sdot S
duS
Cuando un globo se elevaen la atmoacutesfera la presioacutense va reduciendo con laaltura por lo que el globo sedilata El trabajo W querealiza la presioacuten es igual ala fuerza F por el caminorecorrido du
W = F sdot du (9)
Como la fuerza es elproducto de la presioacuten p porla superficie S
F = minusp sdot S (10)
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Trabajo sobre Gases II
F = p sdot S
duS
el trabajo es
W = F sdotdu = minuspsdotS sdotdu (11)
Como S sdot du es el cambio enel volumen dV se tienefinalmente que el trabajo es
W = minusp sdot dV (12)
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Energiacutea Calorica de Gases I
Calentando Agua
Si tenemos una masa M deun gas y le introducimos laenergiacutea Q la temperaturasubiraacute en dT Dichoaumento es siempreproporcional a la cantidadde calor suministrado Si elgas esta encerrado en unrecipiente en que no sepuede dilatar la constantese denomina calorespecifico a volumenconstante cV
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Energiacutea Calorica de Gases II
Calirimetro simple
La constante se calcula de
cV =Q0
M sdot dT0(13)
Con dicho valor se puedeluego calcular el calor Qasociado a una variacioacuten dela temperatura dT
Q = M sdot cV sdot dT (14)
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Primera Ley Termodinaacutemica
Rudolf Clausius(1822-1888)
El primero en formular laprimera ley de latermodinaacutemica fue RudolfClausius La primera ley indicaque la energiacutea se conserva yse puede formular como que rsquosise aumenta la energiacutea internade un sistema dU estaconduciraacute a un aumento elcalor del sistema Q o a unaperdida por efecto del trabajorealizado por el sistema W
dU = Q minus W (15)
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Cambio Adiabatico I
Cuando un proceso ocurredemasiado raacutepido el sistemano tiene tiempo paraintercambiar energiacutea con elmedio circundante En estecaso la energiacutea interna novaria por lo que
dU = Q minus W = 0 (16)
Eso significa que si elsistema tiene que hacertrabajo W deberaacute reducir sucalor Q Empleando (12) y(14) la condicioacuten adiabatica(16) se reduce a
M sdot cV sdot dT + p sdot dV = 0 (17)
Con la ecuacioacuten de los gases(3) y la relacioacuten (5) se llega a
nmsdotcV sdotdT = minuspsdotdV = minusnRTdVV
o
dTT
= minusR
mcV
dVV
(18)
que se puede integrar
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Cambio Adiabatico II
Integracioacuten mediantewxmaxima
Si escribimos (18) de la forma
dTdV
= minusR
mcV
TV
(19)
podemos integrar estaecuacioacuten obtenieacutendose
T = C sdot VminusRmcV (20)
La constante se puededeterminar para un volumenV0 en particular y latemperatura T0 especiacuteficos
C = T0VRmcV0 (21)
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Cambio Adiabatico III
Curva T-V a presioacutenconstante con wxmaxima
Con (21) la ecuacioacuten (20) seescribe como
TT0
=
(
V0
V
)minus1
(22)
donde es el indiceadiabatico y se calcula de
= 1 +R
mcV(23)
que en el caso del aire es delorden de 14
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Cambio Adiabatico IV
Curva T-p a presioacutenconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) el volumendesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso devolumen constante
TT0
=
(
pp0
)(minus1)
(24)
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Cambio Adiabatico V
Curva p-V a temperaturaconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) la temperaturadesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso detemperatura constante
pp0
=
(
V0
V
)
(25)
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Nubes y Lluvia
Basados en los conceptos termodinaacutemicos podemos describirel desplazamiento de masas de aire y la formacioacuten de lluviaPor ello estudiaremos
Sustentacioacuten e Inestabilidad Tipo de Corriente Desplazamiento del Aire Condensacioacuten del Agua Formacioacuten de Gotas Lluvia
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Sustentacioacuten e Inestabilidad I
Una nube asciende como unglobo de helio
Como vimos antes una masaen aire de seccioacuten S estaexpuesta a la diferencias depresioacuten dp que existe endistintas alturas lo que puedellevar a una fuerza desustentacioacuten S sdot dp Esta esseguacuten (1) igual a
S sdot dp = S sdot h sdot m sdot g (26)
donde m es la densidad delmedio circundante y h es laaltura de la nube
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Sustentacioacuten e Inestabilidad II
Por otro lado la nube estaexpuesta a su propio peso
sdot S sdot h sdot g
siendo la densidad de lanube y g la aceleracioacutengravitacional Por ello lafuerza total es
F = S sdot h sdot g(m minus ) (27)
En otras palabras si ladensidad de la nube esmayor que la de su entornoestamos frente a unasituacioacuten estable la nube nose desplaza Sin embargo sila densidad del entorno esmayor que la de el nubeexistiraacute suficientesustentacioacuten y la nube seelevara
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Tipo de Corriente
Si la nube se desplaza esimportante saber que tipo decorriente existiraacute Para ellodebemos estimar el numerode Reynold
Re = sdot R sdot
(28)
donde es la densidad Runa dimensioacuten caracteriacutestica la velocidad y laviscosidad En este caso seobtiene que es una corrienteturbulenta
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Desplazamiento del Aire I
Si la corriente es turbulentaexistiraacute una fuerza deresistencia del tipo
FT =12
CW sdot Sm2c (29)
donde CW es el coeficientede resistencia S la seccioacutende la nube y c su velocidadLa fuerza de sustentacioacuten(27) acelerara la nube hastael punto en que seacompensada por la fuerza deresistencia (29)
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Desplazamiento del Aire II
Despejando con wxmaxima
En dicha situacioacuten ysuponiendo que la seccioacuten novaria con la altura se da que
S sdot h sdot g(m minus ) =12
CW sdot Sm2c
por lo que la velocidad es
c =
radic
2 sdot h sdot g(m minus )
CWm(30)
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Desplazamiento del Aire III
Otros mecanismos que llevana la elevacioacuten de masas deaire son por ejemplo losobstaacuteculos terrestres Si undesplazamiento horizontal seenfrenta a un cerro lasmasas de aire tendraacuten queascender
Otro tipo de obstaacuteculo sonzonas de mayor densidad delaire (por lo general zonas demenor temperatura) Cuandoestas zonas se desplazanelevan masas de aire mascaacutelidas que se puedanencontrar en su camino
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Condensacioacuten del Agua I
Al subir la masa de aire se vadescomprimiendo por lo quese expande Dicha expansioacutenocurre suficientemente raacutepidode modo de que no existemayor intercambio deenergiacutea con el medio Estosignifica un cambioadiabaacutetico y con ello una bajade la temperatura La baja detemperatura conduce a que lahumedad relativa sube hastaalcanzar la saturacioacuten tras lacual se comienzan a formargotas llevando a la formacioacutende nubes y finalmente lluvia
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Condensacioacuten del Agua II
La presioacuten del vapor de aguaen el caso de aire saturadoes
ps = p0eminusΔHRT (31)
con ΔH la entalpiacutea deevaporizacioacuten del agua R laconstante de gas y T latemperatura en gradosKelvin p0 es la presioacuten en elpunto triple y es igual a365 times 1010Pa
La humedad relativa sedefine como la fraccioacuten depresioacuten de vapor de agua pv
existe en comparacioacuten con elmaacuteximo posible que secalcula con la ecuacioacuten (31)
HR = 100pv
ps(32)
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Condensacioacuten del Agua III
Con la entalpia de 4065 kJmolK se obtiene que la presioacuten devapor de agua en funcioacuten de la temperatura es
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Condensacioacuten del Agua IV
Al ascender el aire baja de la temperatura T1 a T2 logrando lasaturacion de la humedad contenida Si continua ascendiendoy baja a T3 deberaacute continuar reduciendo el agua dado que lacapacidad de soportar humedad continua bajando
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Condensacioacuten del Agua IV
Esta agua liberada forma lasmicrogotas que son visiblescomo nubes y luego las gotasque forman la lluviaSi el aire esta a unatemperatura T y presenta unasaturacioacuten de HR la presioacutende vapor de agua sera igual a
pv =HR
100p0eminusΔHRT (33)
Al bajar la temperatura hastaun valor Ts se alcanzara lasaturacioacuten
En esta situacioacuten sera
pv = p0 eminusΔHRTs (34)
Si se igualan (33) con (34) seobtiene
HR100
eminusΔHRT = eminusΔHRTs
que nos da la temperaturadel punto de rociacuteo
Ts =T
1 minusRTΔH
lnHR
100
(35)
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Formacioacuten de Gotas I
George Stokes(1819-1903)
A medida que el aguacondensa se van formandopequentildeas gotas quecomienzan a caer Cuandolas velocidades son aunpequentildeas las gotas sonfrenadas por la fuerza deStokes
FR = 6a (36)
con la viscosidad del aire ael radio de la gota y lavelocidad de desplazamiento
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Formacioacuten de Gotas II
La gota comienza a caer porefecto de la gravedad y esfrenada por efecto de lafuerza de Stokesaumentando la velocidadhasta que ambas fuerzas soniguales En tal situacioacuten ysiendo w la densidad delagua se tiene
6ad = mg =43a3wg
por lo que la velocidad es
d =2a2g
9(37)
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Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
httpwxmaximasourceforgenetwikiindexphpMain_Page
A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Presioacuten en la Atmoacutesfera III
Para resolver esto bastaconsidera la Ecuacioacuten de losgases Esta es
pV = nRT (3)
con p la presioacuten en unvolumen V de n moles de ungas a temperatura T medidaen grados Kelvin y R laconstante de gases(8314 Jmol K) Por otro ladotenemos que la densidad es
=MV
(4)
con M la masa y V elVolumen Con m la masamolar se tiene que la masa Mes
M = n sdot m (5)
con n el numero de moles Sireemplazamos en (4) la masade (5) y luego empleamos laecuacioacuten de gases (3) seobtiene que
=MV
=n sdot m
V=
m sdot pRT
(6)
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Presioacuten en la Atmoacutesfera IV
Solucioacuten de la Ecuacioacutendiferencial mediante
wxmaxima
Si se reemplaza en (2) laexpresioacuten para la densidad (6)se obtiene
dpdz
= minusmgRT
p (7)
Si empleamos wxmaxima sepuede integrar esta ecuacioacutenobtenieacutendose
p(z) = p0 eminusmgzRT (8)
con p0 la constante deintegracioacuten
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Presioacuten en la Atmoacutesfera V
Representacioacuten empleandowxmaxima
Para el caso del aire la masamolar es de 289644 gmol porlo que a 18∘C se puede calcularuna altura caracteriacutestica
z0 =RTmg
= 85278 m
Si se considera la presioacuten p0 ala altura cero (z = 0) como unaatm (atmoacutesfera) o 101325 kPase obtiene
p(z) = p0 eminuszz0
= 101325 eminusz85278 mkPa
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Trabajo sobre Gases I
F = p sdot S
duS
Cuando un globo se elevaen la atmoacutesfera la presioacutense va reduciendo con laaltura por lo que el globo sedilata El trabajo W querealiza la presioacuten es igual ala fuerza F por el caminorecorrido du
W = F sdot du (9)
Como la fuerza es elproducto de la presioacuten p porla superficie S
F = minusp sdot S (10)
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Trabajo sobre Gases II
F = p sdot S
duS
el trabajo es
W = F sdotdu = minuspsdotS sdotdu (11)
Como S sdot du es el cambio enel volumen dV se tienefinalmente que el trabajo es
W = minusp sdot dV (12)
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Energiacutea Calorica de Gases I
Calentando Agua
Si tenemos una masa M deun gas y le introducimos laenergiacutea Q la temperaturasubiraacute en dT Dichoaumento es siempreproporcional a la cantidadde calor suministrado Si elgas esta encerrado en unrecipiente en que no sepuede dilatar la constantese denomina calorespecifico a volumenconstante cV
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Energiacutea Calorica de Gases II
Calirimetro simple
La constante se calcula de
cV =Q0
M sdot dT0(13)
Con dicho valor se puedeluego calcular el calor Qasociado a una variacioacuten dela temperatura dT
Q = M sdot cV sdot dT (14)
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Primera Ley Termodinaacutemica
Rudolf Clausius(1822-1888)
El primero en formular laprimera ley de latermodinaacutemica fue RudolfClausius La primera ley indicaque la energiacutea se conserva yse puede formular como que rsquosise aumenta la energiacutea internade un sistema dU estaconduciraacute a un aumento elcalor del sistema Q o a unaperdida por efecto del trabajorealizado por el sistema W
dU = Q minus W (15)
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Cambio Adiabatico I
Cuando un proceso ocurredemasiado raacutepido el sistemano tiene tiempo paraintercambiar energiacutea con elmedio circundante En estecaso la energiacutea interna novaria por lo que
dU = Q minus W = 0 (16)
Eso significa que si elsistema tiene que hacertrabajo W deberaacute reducir sucalor Q Empleando (12) y(14) la condicioacuten adiabatica(16) se reduce a
M sdot cV sdot dT + p sdot dV = 0 (17)
Con la ecuacioacuten de los gases(3) y la relacioacuten (5) se llega a
nmsdotcV sdotdT = minuspsdotdV = minusnRTdVV
o
dTT
= minusR
mcV
dVV
(18)
que se puede integrar
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Cambio Adiabatico II
Integracioacuten mediantewxmaxima
Si escribimos (18) de la forma
dTdV
= minusR
mcV
TV
(19)
podemos integrar estaecuacioacuten obtenieacutendose
T = C sdot VminusRmcV (20)
La constante se puededeterminar para un volumenV0 en particular y latemperatura T0 especiacuteficos
C = T0VRmcV0 (21)
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Cambio Adiabatico III
Curva T-V a presioacutenconstante con wxmaxima
Con (21) la ecuacioacuten (20) seescribe como
TT0
=
(
V0
V
)minus1
(22)
donde es el indiceadiabatico y se calcula de
= 1 +R
mcV(23)
que en el caso del aire es delorden de 14
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Cambio Adiabatico IV
Curva T-p a presioacutenconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) el volumendesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso devolumen constante
TT0
=
(
pp0
)(minus1)
(24)
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Cambio Adiabatico V
Curva p-V a temperaturaconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) la temperaturadesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso detemperatura constante
pp0
=
(
V0
V
)
(25)
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Nubes y Lluvia
Basados en los conceptos termodinaacutemicos podemos describirel desplazamiento de masas de aire y la formacioacuten de lluviaPor ello estudiaremos
Sustentacioacuten e Inestabilidad Tipo de Corriente Desplazamiento del Aire Condensacioacuten del Agua Formacioacuten de Gotas Lluvia
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Sustentacioacuten e Inestabilidad I
Una nube asciende como unglobo de helio
Como vimos antes una masaen aire de seccioacuten S estaexpuesta a la diferencias depresioacuten dp que existe endistintas alturas lo que puedellevar a una fuerza desustentacioacuten S sdot dp Esta esseguacuten (1) igual a
S sdot dp = S sdot h sdot m sdot g (26)
donde m es la densidad delmedio circundante y h es laaltura de la nube
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Sustentacioacuten e Inestabilidad II
Por otro lado la nube estaexpuesta a su propio peso
sdot S sdot h sdot g
siendo la densidad de lanube y g la aceleracioacutengravitacional Por ello lafuerza total es
F = S sdot h sdot g(m minus ) (27)
En otras palabras si ladensidad de la nube esmayor que la de su entornoestamos frente a unasituacioacuten estable la nube nose desplaza Sin embargo sila densidad del entorno esmayor que la de el nubeexistiraacute suficientesustentacioacuten y la nube seelevara
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Tipo de Corriente
Si la nube se desplaza esimportante saber que tipo decorriente existiraacute Para ellodebemos estimar el numerode Reynold
Re = sdot R sdot
(28)
donde es la densidad Runa dimensioacuten caracteriacutestica la velocidad y laviscosidad En este caso seobtiene que es una corrienteturbulenta
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Desplazamiento del Aire I
Si la corriente es turbulentaexistiraacute una fuerza deresistencia del tipo
FT =12
CW sdot Sm2c (29)
donde CW es el coeficientede resistencia S la seccioacutende la nube y c su velocidadLa fuerza de sustentacioacuten(27) acelerara la nube hastael punto en que seacompensada por la fuerza deresistencia (29)
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Desplazamiento del Aire II
Despejando con wxmaxima
En dicha situacioacuten ysuponiendo que la seccioacuten novaria con la altura se da que
S sdot h sdot g(m minus ) =12
CW sdot Sm2c
por lo que la velocidad es
c =
radic
2 sdot h sdot g(m minus )
CWm(30)
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Desplazamiento del Aire III
Otros mecanismos que llevana la elevacioacuten de masas deaire son por ejemplo losobstaacuteculos terrestres Si undesplazamiento horizontal seenfrenta a un cerro lasmasas de aire tendraacuten queascender
Otro tipo de obstaacuteculo sonzonas de mayor densidad delaire (por lo general zonas demenor temperatura) Cuandoestas zonas se desplazanelevan masas de aire mascaacutelidas que se puedanencontrar en su camino
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Condensacioacuten del Agua I
Al subir la masa de aire se vadescomprimiendo por lo quese expande Dicha expansioacutenocurre suficientemente raacutepidode modo de que no existemayor intercambio deenergiacutea con el medio Estosignifica un cambioadiabaacutetico y con ello una bajade la temperatura La baja detemperatura conduce a que lahumedad relativa sube hastaalcanzar la saturacioacuten tras lacual se comienzan a formargotas llevando a la formacioacutende nubes y finalmente lluvia
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Condensacioacuten del Agua II
La presioacuten del vapor de aguaen el caso de aire saturadoes
ps = p0eminusΔHRT (31)
con ΔH la entalpiacutea deevaporizacioacuten del agua R laconstante de gas y T latemperatura en gradosKelvin p0 es la presioacuten en elpunto triple y es igual a365 times 1010Pa
La humedad relativa sedefine como la fraccioacuten depresioacuten de vapor de agua pv
existe en comparacioacuten con elmaacuteximo posible que secalcula con la ecuacioacuten (31)
HR = 100pv
ps(32)
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Condensacioacuten del Agua III
Con la entalpia de 4065 kJmolK se obtiene que la presioacuten devapor de agua en funcioacuten de la temperatura es
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Condensacioacuten del Agua IV
Al ascender el aire baja de la temperatura T1 a T2 logrando lasaturacion de la humedad contenida Si continua ascendiendoy baja a T3 deberaacute continuar reduciendo el agua dado que lacapacidad de soportar humedad continua bajando
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Condensacioacuten del Agua IV
Esta agua liberada forma lasmicrogotas que son visiblescomo nubes y luego las gotasque forman la lluviaSi el aire esta a unatemperatura T y presenta unasaturacioacuten de HR la presioacutende vapor de agua sera igual a
pv =HR
100p0eminusΔHRT (33)
Al bajar la temperatura hastaun valor Ts se alcanzara lasaturacioacuten
En esta situacioacuten sera
pv = p0 eminusΔHRTs (34)
Si se igualan (33) con (34) seobtiene
HR100
eminusΔHRT = eminusΔHRTs
que nos da la temperaturadel punto de rociacuteo
Ts =T
1 minusRTΔH
lnHR
100
(35)
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Formacioacuten de Gotas I
George Stokes(1819-1903)
A medida que el aguacondensa se van formandopequentildeas gotas quecomienzan a caer Cuandolas velocidades son aunpequentildeas las gotas sonfrenadas por la fuerza deStokes
FR = 6a (36)
con la viscosidad del aire ael radio de la gota y lavelocidad de desplazamiento
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Formacioacuten de Gotas II
La gota comienza a caer porefecto de la gravedad y esfrenada por efecto de lafuerza de Stokesaumentando la velocidadhasta que ambas fuerzas soniguales En tal situacioacuten ysiendo w la densidad delagua se tiene
6ad = mg =43a3wg
por lo que la velocidad es
d =2a2g
9(37)
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Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
httpwxmaximasourceforgenetwikiindexphpMain_Page
A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Presioacuten en la Atmoacutesfera IV
Solucioacuten de la Ecuacioacutendiferencial mediante
wxmaxima
Si se reemplaza en (2) laexpresioacuten para la densidad (6)se obtiene
dpdz
= minusmgRT
p (7)
Si empleamos wxmaxima sepuede integrar esta ecuacioacutenobtenieacutendose
p(z) = p0 eminusmgzRT (8)
con p0 la constante deintegracioacuten
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Presioacuten en la Atmoacutesfera V
Representacioacuten empleandowxmaxima
Para el caso del aire la masamolar es de 289644 gmol porlo que a 18∘C se puede calcularuna altura caracteriacutestica
z0 =RTmg
= 85278 m
Si se considera la presioacuten p0 ala altura cero (z = 0) como unaatm (atmoacutesfera) o 101325 kPase obtiene
p(z) = p0 eminuszz0
= 101325 eminusz85278 mkPa
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Trabajo sobre Gases I
F = p sdot S
duS
Cuando un globo se elevaen la atmoacutesfera la presioacutense va reduciendo con laaltura por lo que el globo sedilata El trabajo W querealiza la presioacuten es igual ala fuerza F por el caminorecorrido du
W = F sdot du (9)
Como la fuerza es elproducto de la presioacuten p porla superficie S
F = minusp sdot S (10)
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Trabajo sobre Gases II
F = p sdot S
duS
el trabajo es
W = F sdotdu = minuspsdotS sdotdu (11)
Como S sdot du es el cambio enel volumen dV se tienefinalmente que el trabajo es
W = minusp sdot dV (12)
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Energiacutea Calorica de Gases I
Calentando Agua
Si tenemos una masa M deun gas y le introducimos laenergiacutea Q la temperaturasubiraacute en dT Dichoaumento es siempreproporcional a la cantidadde calor suministrado Si elgas esta encerrado en unrecipiente en que no sepuede dilatar la constantese denomina calorespecifico a volumenconstante cV
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Energiacutea Calorica de Gases II
Calirimetro simple
La constante se calcula de
cV =Q0
M sdot dT0(13)
Con dicho valor se puedeluego calcular el calor Qasociado a una variacioacuten dela temperatura dT
Q = M sdot cV sdot dT (14)
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Primera Ley Termodinaacutemica
Rudolf Clausius(1822-1888)
El primero en formular laprimera ley de latermodinaacutemica fue RudolfClausius La primera ley indicaque la energiacutea se conserva yse puede formular como que rsquosise aumenta la energiacutea internade un sistema dU estaconduciraacute a un aumento elcalor del sistema Q o a unaperdida por efecto del trabajorealizado por el sistema W
dU = Q minus W (15)
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Cambio Adiabatico I
Cuando un proceso ocurredemasiado raacutepido el sistemano tiene tiempo paraintercambiar energiacutea con elmedio circundante En estecaso la energiacutea interna novaria por lo que
dU = Q minus W = 0 (16)
Eso significa que si elsistema tiene que hacertrabajo W deberaacute reducir sucalor Q Empleando (12) y(14) la condicioacuten adiabatica(16) se reduce a
M sdot cV sdot dT + p sdot dV = 0 (17)
Con la ecuacioacuten de los gases(3) y la relacioacuten (5) se llega a
nmsdotcV sdotdT = minuspsdotdV = minusnRTdVV
o
dTT
= minusR
mcV
dVV
(18)
que se puede integrar
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Cambio Adiabatico II
Integracioacuten mediantewxmaxima
Si escribimos (18) de la forma
dTdV
= minusR
mcV
TV
(19)
podemos integrar estaecuacioacuten obtenieacutendose
T = C sdot VminusRmcV (20)
La constante se puededeterminar para un volumenV0 en particular y latemperatura T0 especiacuteficos
C = T0VRmcV0 (21)
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Cambio Adiabatico III
Curva T-V a presioacutenconstante con wxmaxima
Con (21) la ecuacioacuten (20) seescribe como
TT0
=
(
V0
V
)minus1
(22)
donde es el indiceadiabatico y se calcula de
= 1 +R
mcV(23)
que en el caso del aire es delorden de 14
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Cambio Adiabatico IV
Curva T-p a presioacutenconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) el volumendesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso devolumen constante
TT0
=
(
pp0
)(minus1)
(24)
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Cambio Adiabatico V
Curva p-V a temperaturaconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) la temperaturadesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso detemperatura constante
pp0
=
(
V0
V
)
(25)
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Nubes y Lluvia
Basados en los conceptos termodinaacutemicos podemos describirel desplazamiento de masas de aire y la formacioacuten de lluviaPor ello estudiaremos
Sustentacioacuten e Inestabilidad Tipo de Corriente Desplazamiento del Aire Condensacioacuten del Agua Formacioacuten de Gotas Lluvia
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Sustentacioacuten e Inestabilidad I
Una nube asciende como unglobo de helio
Como vimos antes una masaen aire de seccioacuten S estaexpuesta a la diferencias depresioacuten dp que existe endistintas alturas lo que puedellevar a una fuerza desustentacioacuten S sdot dp Esta esseguacuten (1) igual a
S sdot dp = S sdot h sdot m sdot g (26)
donde m es la densidad delmedio circundante y h es laaltura de la nube
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Sustentacioacuten e Inestabilidad II
Por otro lado la nube estaexpuesta a su propio peso
sdot S sdot h sdot g
siendo la densidad de lanube y g la aceleracioacutengravitacional Por ello lafuerza total es
F = S sdot h sdot g(m minus ) (27)
En otras palabras si ladensidad de la nube esmayor que la de su entornoestamos frente a unasituacioacuten estable la nube nose desplaza Sin embargo sila densidad del entorno esmayor que la de el nubeexistiraacute suficientesustentacioacuten y la nube seelevara
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Tipo de Corriente
Si la nube se desplaza esimportante saber que tipo decorriente existiraacute Para ellodebemos estimar el numerode Reynold
Re = sdot R sdot
(28)
donde es la densidad Runa dimensioacuten caracteriacutestica la velocidad y laviscosidad En este caso seobtiene que es una corrienteturbulenta
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Desplazamiento del Aire I
Si la corriente es turbulentaexistiraacute una fuerza deresistencia del tipo
FT =12
CW sdot Sm2c (29)
donde CW es el coeficientede resistencia S la seccioacutende la nube y c su velocidadLa fuerza de sustentacioacuten(27) acelerara la nube hastael punto en que seacompensada por la fuerza deresistencia (29)
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Desplazamiento del Aire II
Despejando con wxmaxima
En dicha situacioacuten ysuponiendo que la seccioacuten novaria con la altura se da que
S sdot h sdot g(m minus ) =12
CW sdot Sm2c
por lo que la velocidad es
c =
radic
2 sdot h sdot g(m minus )
CWm(30)
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Desplazamiento del Aire III
Otros mecanismos que llevana la elevacioacuten de masas deaire son por ejemplo losobstaacuteculos terrestres Si undesplazamiento horizontal seenfrenta a un cerro lasmasas de aire tendraacuten queascender
Otro tipo de obstaacuteculo sonzonas de mayor densidad delaire (por lo general zonas demenor temperatura) Cuandoestas zonas se desplazanelevan masas de aire mascaacutelidas que se puedanencontrar en su camino
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Condensacioacuten del Agua I
Al subir la masa de aire se vadescomprimiendo por lo quese expande Dicha expansioacutenocurre suficientemente raacutepidode modo de que no existemayor intercambio deenergiacutea con el medio Estosignifica un cambioadiabaacutetico y con ello una bajade la temperatura La baja detemperatura conduce a que lahumedad relativa sube hastaalcanzar la saturacioacuten tras lacual se comienzan a formargotas llevando a la formacioacutende nubes y finalmente lluvia
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Condensacioacuten del Agua II
La presioacuten del vapor de aguaen el caso de aire saturadoes
ps = p0eminusΔHRT (31)
con ΔH la entalpiacutea deevaporizacioacuten del agua R laconstante de gas y T latemperatura en gradosKelvin p0 es la presioacuten en elpunto triple y es igual a365 times 1010Pa
La humedad relativa sedefine como la fraccioacuten depresioacuten de vapor de agua pv
existe en comparacioacuten con elmaacuteximo posible que secalcula con la ecuacioacuten (31)
HR = 100pv
ps(32)
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Condensacioacuten del Agua III
Con la entalpia de 4065 kJmolK se obtiene que la presioacuten devapor de agua en funcioacuten de la temperatura es
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Condensacioacuten del Agua IV
Al ascender el aire baja de la temperatura T1 a T2 logrando lasaturacion de la humedad contenida Si continua ascendiendoy baja a T3 deberaacute continuar reduciendo el agua dado que lacapacidad de soportar humedad continua bajando
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Condensacioacuten del Agua IV
Esta agua liberada forma lasmicrogotas que son visiblescomo nubes y luego las gotasque forman la lluviaSi el aire esta a unatemperatura T y presenta unasaturacioacuten de HR la presioacutende vapor de agua sera igual a
pv =HR
100p0eminusΔHRT (33)
Al bajar la temperatura hastaun valor Ts se alcanzara lasaturacioacuten
En esta situacioacuten sera
pv = p0 eminusΔHRTs (34)
Si se igualan (33) con (34) seobtiene
HR100
eminusΔHRT = eminusΔHRTs
que nos da la temperaturadel punto de rociacuteo
Ts =T
1 minusRTΔH
lnHR
100
(35)
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Formacioacuten de Gotas I
George Stokes(1819-1903)
A medida que el aguacondensa se van formandopequentildeas gotas quecomienzan a caer Cuandolas velocidades son aunpequentildeas las gotas sonfrenadas por la fuerza deStokes
FR = 6a (36)
con la viscosidad del aire ael radio de la gota y lavelocidad de desplazamiento
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Formacioacuten de Gotas II
La gota comienza a caer porefecto de la gravedad y esfrenada por efecto de lafuerza de Stokesaumentando la velocidadhasta que ambas fuerzas soniguales En tal situacioacuten ysiendo w la densidad delagua se tiene
6ad = mg =43a3wg
por lo que la velocidad es
d =2a2g
9(37)
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Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
httpwxmaximasourceforgenetwikiindexphpMain_Page
A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Presioacuten en la Atmoacutesfera V
Representacioacuten empleandowxmaxima
Para el caso del aire la masamolar es de 289644 gmol porlo que a 18∘C se puede calcularuna altura caracteriacutestica
z0 =RTmg
= 85278 m
Si se considera la presioacuten p0 ala altura cero (z = 0) como unaatm (atmoacutesfera) o 101325 kPase obtiene
p(z) = p0 eminuszz0
= 101325 eminusz85278 mkPa
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Trabajo sobre Gases I
F = p sdot S
duS
Cuando un globo se elevaen la atmoacutesfera la presioacutense va reduciendo con laaltura por lo que el globo sedilata El trabajo W querealiza la presioacuten es igual ala fuerza F por el caminorecorrido du
W = F sdot du (9)
Como la fuerza es elproducto de la presioacuten p porla superficie S
F = minusp sdot S (10)
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Trabajo sobre Gases II
F = p sdot S
duS
el trabajo es
W = F sdotdu = minuspsdotS sdotdu (11)
Como S sdot du es el cambio enel volumen dV se tienefinalmente que el trabajo es
W = minusp sdot dV (12)
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Energiacutea Calorica de Gases I
Calentando Agua
Si tenemos una masa M deun gas y le introducimos laenergiacutea Q la temperaturasubiraacute en dT Dichoaumento es siempreproporcional a la cantidadde calor suministrado Si elgas esta encerrado en unrecipiente en que no sepuede dilatar la constantese denomina calorespecifico a volumenconstante cV
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Energiacutea Calorica de Gases II
Calirimetro simple
La constante se calcula de
cV =Q0
M sdot dT0(13)
Con dicho valor se puedeluego calcular el calor Qasociado a una variacioacuten dela temperatura dT
Q = M sdot cV sdot dT (14)
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Primera Ley Termodinaacutemica
Rudolf Clausius(1822-1888)
El primero en formular laprimera ley de latermodinaacutemica fue RudolfClausius La primera ley indicaque la energiacutea se conserva yse puede formular como que rsquosise aumenta la energiacutea internade un sistema dU estaconduciraacute a un aumento elcalor del sistema Q o a unaperdida por efecto del trabajorealizado por el sistema W
dU = Q minus W (15)
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Cambio Adiabatico I
Cuando un proceso ocurredemasiado raacutepido el sistemano tiene tiempo paraintercambiar energiacutea con elmedio circundante En estecaso la energiacutea interna novaria por lo que
dU = Q minus W = 0 (16)
Eso significa que si elsistema tiene que hacertrabajo W deberaacute reducir sucalor Q Empleando (12) y(14) la condicioacuten adiabatica(16) se reduce a
M sdot cV sdot dT + p sdot dV = 0 (17)
Con la ecuacioacuten de los gases(3) y la relacioacuten (5) se llega a
nmsdotcV sdotdT = minuspsdotdV = minusnRTdVV
o
dTT
= minusR
mcV
dVV
(18)
que se puede integrar
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Cambio Adiabatico II
Integracioacuten mediantewxmaxima
Si escribimos (18) de la forma
dTdV
= minusR
mcV
TV
(19)
podemos integrar estaecuacioacuten obtenieacutendose
T = C sdot VminusRmcV (20)
La constante se puededeterminar para un volumenV0 en particular y latemperatura T0 especiacuteficos
C = T0VRmcV0 (21)
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Cambio Adiabatico III
Curva T-V a presioacutenconstante con wxmaxima
Con (21) la ecuacioacuten (20) seescribe como
TT0
=
(
V0
V
)minus1
(22)
donde es el indiceadiabatico y se calcula de
= 1 +R
mcV(23)
que en el caso del aire es delorden de 14
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Cambio Adiabatico IV
Curva T-p a presioacutenconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) el volumendesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso devolumen constante
TT0
=
(
pp0
)(minus1)
(24)
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Cambio Adiabatico V
Curva p-V a temperaturaconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) la temperaturadesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso detemperatura constante
pp0
=
(
V0
V
)
(25)
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Nubes y Lluvia
Basados en los conceptos termodinaacutemicos podemos describirel desplazamiento de masas de aire y la formacioacuten de lluviaPor ello estudiaremos
Sustentacioacuten e Inestabilidad Tipo de Corriente Desplazamiento del Aire Condensacioacuten del Agua Formacioacuten de Gotas Lluvia
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Sustentacioacuten e Inestabilidad I
Una nube asciende como unglobo de helio
Como vimos antes una masaen aire de seccioacuten S estaexpuesta a la diferencias depresioacuten dp que existe endistintas alturas lo que puedellevar a una fuerza desustentacioacuten S sdot dp Esta esseguacuten (1) igual a
S sdot dp = S sdot h sdot m sdot g (26)
donde m es la densidad delmedio circundante y h es laaltura de la nube
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Sustentacioacuten e Inestabilidad II
Por otro lado la nube estaexpuesta a su propio peso
sdot S sdot h sdot g
siendo la densidad de lanube y g la aceleracioacutengravitacional Por ello lafuerza total es
F = S sdot h sdot g(m minus ) (27)
En otras palabras si ladensidad de la nube esmayor que la de su entornoestamos frente a unasituacioacuten estable la nube nose desplaza Sin embargo sila densidad del entorno esmayor que la de el nubeexistiraacute suficientesustentacioacuten y la nube seelevara
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Tipo de Corriente
Si la nube se desplaza esimportante saber que tipo decorriente existiraacute Para ellodebemos estimar el numerode Reynold
Re = sdot R sdot
(28)
donde es la densidad Runa dimensioacuten caracteriacutestica la velocidad y laviscosidad En este caso seobtiene que es una corrienteturbulenta
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Desplazamiento del Aire I
Si la corriente es turbulentaexistiraacute una fuerza deresistencia del tipo
FT =12
CW sdot Sm2c (29)
donde CW es el coeficientede resistencia S la seccioacutende la nube y c su velocidadLa fuerza de sustentacioacuten(27) acelerara la nube hastael punto en que seacompensada por la fuerza deresistencia (29)
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Desplazamiento del Aire II
Despejando con wxmaxima
En dicha situacioacuten ysuponiendo que la seccioacuten novaria con la altura se da que
S sdot h sdot g(m minus ) =12
CW sdot Sm2c
por lo que la velocidad es
c =
radic
2 sdot h sdot g(m minus )
CWm(30)
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Desplazamiento del Aire III
Otros mecanismos que llevana la elevacioacuten de masas deaire son por ejemplo losobstaacuteculos terrestres Si undesplazamiento horizontal seenfrenta a un cerro lasmasas de aire tendraacuten queascender
Otro tipo de obstaacuteculo sonzonas de mayor densidad delaire (por lo general zonas demenor temperatura) Cuandoestas zonas se desplazanelevan masas de aire mascaacutelidas que se puedanencontrar en su camino
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Condensacioacuten del Agua I
Al subir la masa de aire se vadescomprimiendo por lo quese expande Dicha expansioacutenocurre suficientemente raacutepidode modo de que no existemayor intercambio deenergiacutea con el medio Estosignifica un cambioadiabaacutetico y con ello una bajade la temperatura La baja detemperatura conduce a que lahumedad relativa sube hastaalcanzar la saturacioacuten tras lacual se comienzan a formargotas llevando a la formacioacutende nubes y finalmente lluvia
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Condensacioacuten del Agua II
La presioacuten del vapor de aguaen el caso de aire saturadoes
ps = p0eminusΔHRT (31)
con ΔH la entalpiacutea deevaporizacioacuten del agua R laconstante de gas y T latemperatura en gradosKelvin p0 es la presioacuten en elpunto triple y es igual a365 times 1010Pa
La humedad relativa sedefine como la fraccioacuten depresioacuten de vapor de agua pv
existe en comparacioacuten con elmaacuteximo posible que secalcula con la ecuacioacuten (31)
HR = 100pv
ps(32)
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Condensacioacuten del Agua III
Con la entalpia de 4065 kJmolK se obtiene que la presioacuten devapor de agua en funcioacuten de la temperatura es
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Condensacioacuten del Agua IV
Al ascender el aire baja de la temperatura T1 a T2 logrando lasaturacion de la humedad contenida Si continua ascendiendoy baja a T3 deberaacute continuar reduciendo el agua dado que lacapacidad de soportar humedad continua bajando
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Condensacioacuten del Agua IV
Esta agua liberada forma lasmicrogotas que son visiblescomo nubes y luego las gotasque forman la lluviaSi el aire esta a unatemperatura T y presenta unasaturacioacuten de HR la presioacutende vapor de agua sera igual a
pv =HR
100p0eminusΔHRT (33)
Al bajar la temperatura hastaun valor Ts se alcanzara lasaturacioacuten
En esta situacioacuten sera
pv = p0 eminusΔHRTs (34)
Si se igualan (33) con (34) seobtiene
HR100
eminusΔHRT = eminusΔHRTs
que nos da la temperaturadel punto de rociacuteo
Ts =T
1 minusRTΔH
lnHR
100
(35)
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Formacioacuten de Gotas I
George Stokes(1819-1903)
A medida que el aguacondensa se van formandopequentildeas gotas quecomienzan a caer Cuandolas velocidades son aunpequentildeas las gotas sonfrenadas por la fuerza deStokes
FR = 6a (36)
con la viscosidad del aire ael radio de la gota y lavelocidad de desplazamiento
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Formacioacuten de Gotas II
La gota comienza a caer porefecto de la gravedad y esfrenada por efecto de lafuerza de Stokesaumentando la velocidadhasta que ambas fuerzas soniguales En tal situacioacuten ysiendo w la densidad delagua se tiene
6ad = mg =43a3wg
por lo que la velocidad es
d =2a2g
9(37)
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Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
httpwxmaximasourceforgenetwikiindexphpMain_Page
A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Trabajo sobre Gases I
F = p sdot S
duS
Cuando un globo se elevaen la atmoacutesfera la presioacutense va reduciendo con laaltura por lo que el globo sedilata El trabajo W querealiza la presioacuten es igual ala fuerza F por el caminorecorrido du
W = F sdot du (9)
Como la fuerza es elproducto de la presioacuten p porla superficie S
F = minusp sdot S (10)
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Trabajo sobre Gases II
F = p sdot S
duS
el trabajo es
W = F sdotdu = minuspsdotS sdotdu (11)
Como S sdot du es el cambio enel volumen dV se tienefinalmente que el trabajo es
W = minusp sdot dV (12)
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Energiacutea Calorica de Gases I
Calentando Agua
Si tenemos una masa M deun gas y le introducimos laenergiacutea Q la temperaturasubiraacute en dT Dichoaumento es siempreproporcional a la cantidadde calor suministrado Si elgas esta encerrado en unrecipiente en que no sepuede dilatar la constantese denomina calorespecifico a volumenconstante cV
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Energiacutea Calorica de Gases II
Calirimetro simple
La constante se calcula de
cV =Q0
M sdot dT0(13)
Con dicho valor se puedeluego calcular el calor Qasociado a una variacioacuten dela temperatura dT
Q = M sdot cV sdot dT (14)
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Primera Ley Termodinaacutemica
Rudolf Clausius(1822-1888)
El primero en formular laprimera ley de latermodinaacutemica fue RudolfClausius La primera ley indicaque la energiacutea se conserva yse puede formular como que rsquosise aumenta la energiacutea internade un sistema dU estaconduciraacute a un aumento elcalor del sistema Q o a unaperdida por efecto del trabajorealizado por el sistema W
dU = Q minus W (15)
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Cambio Adiabatico I
Cuando un proceso ocurredemasiado raacutepido el sistemano tiene tiempo paraintercambiar energiacutea con elmedio circundante En estecaso la energiacutea interna novaria por lo que
dU = Q minus W = 0 (16)
Eso significa que si elsistema tiene que hacertrabajo W deberaacute reducir sucalor Q Empleando (12) y(14) la condicioacuten adiabatica(16) se reduce a
M sdot cV sdot dT + p sdot dV = 0 (17)
Con la ecuacioacuten de los gases(3) y la relacioacuten (5) se llega a
nmsdotcV sdotdT = minuspsdotdV = minusnRTdVV
o
dTT
= minusR
mcV
dVV
(18)
que se puede integrar
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Cambio Adiabatico II
Integracioacuten mediantewxmaxima
Si escribimos (18) de la forma
dTdV
= minusR
mcV
TV
(19)
podemos integrar estaecuacioacuten obtenieacutendose
T = C sdot VminusRmcV (20)
La constante se puededeterminar para un volumenV0 en particular y latemperatura T0 especiacuteficos
C = T0VRmcV0 (21)
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Cambio Adiabatico III
Curva T-V a presioacutenconstante con wxmaxima
Con (21) la ecuacioacuten (20) seescribe como
TT0
=
(
V0
V
)minus1
(22)
donde es el indiceadiabatico y se calcula de
= 1 +R
mcV(23)
que en el caso del aire es delorden de 14
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Cambio Adiabatico IV
Curva T-p a presioacutenconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) el volumendesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso devolumen constante
TT0
=
(
pp0
)(minus1)
(24)
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Cambio Adiabatico V
Curva p-V a temperaturaconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) la temperaturadesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso detemperatura constante
pp0
=
(
V0
V
)
(25)
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Nubes y Lluvia
Basados en los conceptos termodinaacutemicos podemos describirel desplazamiento de masas de aire y la formacioacuten de lluviaPor ello estudiaremos
Sustentacioacuten e Inestabilidad Tipo de Corriente Desplazamiento del Aire Condensacioacuten del Agua Formacioacuten de Gotas Lluvia
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Sustentacioacuten e Inestabilidad I
Una nube asciende como unglobo de helio
Como vimos antes una masaen aire de seccioacuten S estaexpuesta a la diferencias depresioacuten dp que existe endistintas alturas lo que puedellevar a una fuerza desustentacioacuten S sdot dp Esta esseguacuten (1) igual a
S sdot dp = S sdot h sdot m sdot g (26)
donde m es la densidad delmedio circundante y h es laaltura de la nube
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Sustentacioacuten e Inestabilidad II
Por otro lado la nube estaexpuesta a su propio peso
sdot S sdot h sdot g
siendo la densidad de lanube y g la aceleracioacutengravitacional Por ello lafuerza total es
F = S sdot h sdot g(m minus ) (27)
En otras palabras si ladensidad de la nube esmayor que la de su entornoestamos frente a unasituacioacuten estable la nube nose desplaza Sin embargo sila densidad del entorno esmayor que la de el nubeexistiraacute suficientesustentacioacuten y la nube seelevara
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Tipo de Corriente
Si la nube se desplaza esimportante saber que tipo decorriente existiraacute Para ellodebemos estimar el numerode Reynold
Re = sdot R sdot
(28)
donde es la densidad Runa dimensioacuten caracteriacutestica la velocidad y laviscosidad En este caso seobtiene que es una corrienteturbulenta
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Desplazamiento del Aire I
Si la corriente es turbulentaexistiraacute una fuerza deresistencia del tipo
FT =12
CW sdot Sm2c (29)
donde CW es el coeficientede resistencia S la seccioacutende la nube y c su velocidadLa fuerza de sustentacioacuten(27) acelerara la nube hastael punto en que seacompensada por la fuerza deresistencia (29)
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Desplazamiento del Aire II
Despejando con wxmaxima
En dicha situacioacuten ysuponiendo que la seccioacuten novaria con la altura se da que
S sdot h sdot g(m minus ) =12
CW sdot Sm2c
por lo que la velocidad es
c =
radic
2 sdot h sdot g(m minus )
CWm(30)
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Desplazamiento del Aire III
Otros mecanismos que llevana la elevacioacuten de masas deaire son por ejemplo losobstaacuteculos terrestres Si undesplazamiento horizontal seenfrenta a un cerro lasmasas de aire tendraacuten queascender
Otro tipo de obstaacuteculo sonzonas de mayor densidad delaire (por lo general zonas demenor temperatura) Cuandoestas zonas se desplazanelevan masas de aire mascaacutelidas que se puedanencontrar en su camino
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Condensacioacuten del Agua I
Al subir la masa de aire se vadescomprimiendo por lo quese expande Dicha expansioacutenocurre suficientemente raacutepidode modo de que no existemayor intercambio deenergiacutea con el medio Estosignifica un cambioadiabaacutetico y con ello una bajade la temperatura La baja detemperatura conduce a que lahumedad relativa sube hastaalcanzar la saturacioacuten tras lacual se comienzan a formargotas llevando a la formacioacutende nubes y finalmente lluvia
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Condensacioacuten del Agua II
La presioacuten del vapor de aguaen el caso de aire saturadoes
ps = p0eminusΔHRT (31)
con ΔH la entalpiacutea deevaporizacioacuten del agua R laconstante de gas y T latemperatura en gradosKelvin p0 es la presioacuten en elpunto triple y es igual a365 times 1010Pa
La humedad relativa sedefine como la fraccioacuten depresioacuten de vapor de agua pv
existe en comparacioacuten con elmaacuteximo posible que secalcula con la ecuacioacuten (31)
HR = 100pv
ps(32)
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Condensacioacuten del Agua III
Con la entalpia de 4065 kJmolK se obtiene que la presioacuten devapor de agua en funcioacuten de la temperatura es
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Condensacioacuten del Agua IV
Al ascender el aire baja de la temperatura T1 a T2 logrando lasaturacion de la humedad contenida Si continua ascendiendoy baja a T3 deberaacute continuar reduciendo el agua dado que lacapacidad de soportar humedad continua bajando
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Condensacioacuten del Agua IV
Esta agua liberada forma lasmicrogotas que son visiblescomo nubes y luego las gotasque forman la lluviaSi el aire esta a unatemperatura T y presenta unasaturacioacuten de HR la presioacutende vapor de agua sera igual a
pv =HR
100p0eminusΔHRT (33)
Al bajar la temperatura hastaun valor Ts se alcanzara lasaturacioacuten
En esta situacioacuten sera
pv = p0 eminusΔHRTs (34)
Si se igualan (33) con (34) seobtiene
HR100
eminusΔHRT = eminusΔHRTs
que nos da la temperaturadel punto de rociacuteo
Ts =T
1 minusRTΔH
lnHR
100
(35)
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Formacioacuten de Gotas I
George Stokes(1819-1903)
A medida que el aguacondensa se van formandopequentildeas gotas quecomienzan a caer Cuandolas velocidades son aunpequentildeas las gotas sonfrenadas por la fuerza deStokes
FR = 6a (36)
con la viscosidad del aire ael radio de la gota y lavelocidad de desplazamiento
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Formacioacuten de Gotas II
La gota comienza a caer porefecto de la gravedad y esfrenada por efecto de lafuerza de Stokesaumentando la velocidadhasta que ambas fuerzas soniguales En tal situacioacuten ysiendo w la densidad delagua se tiene
6ad = mg =43a3wg
por lo que la velocidad es
d =2a2g
9(37)
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Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
httpwxmaximasourceforgenetwikiindexphpMain_Page
A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Trabajo sobre Gases II
F = p sdot S
duS
el trabajo es
W = F sdotdu = minuspsdotS sdotdu (11)
Como S sdot du es el cambio enel volumen dV se tienefinalmente que el trabajo es
W = minusp sdot dV (12)
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Energiacutea Calorica de Gases I
Calentando Agua
Si tenemos una masa M deun gas y le introducimos laenergiacutea Q la temperaturasubiraacute en dT Dichoaumento es siempreproporcional a la cantidadde calor suministrado Si elgas esta encerrado en unrecipiente en que no sepuede dilatar la constantese denomina calorespecifico a volumenconstante cV
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Energiacutea Calorica de Gases II
Calirimetro simple
La constante se calcula de
cV =Q0
M sdot dT0(13)
Con dicho valor se puedeluego calcular el calor Qasociado a una variacioacuten dela temperatura dT
Q = M sdot cV sdot dT (14)
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Primera Ley Termodinaacutemica
Rudolf Clausius(1822-1888)
El primero en formular laprimera ley de latermodinaacutemica fue RudolfClausius La primera ley indicaque la energiacutea se conserva yse puede formular como que rsquosise aumenta la energiacutea internade un sistema dU estaconduciraacute a un aumento elcalor del sistema Q o a unaperdida por efecto del trabajorealizado por el sistema W
dU = Q minus W (15)
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Cambio Adiabatico I
Cuando un proceso ocurredemasiado raacutepido el sistemano tiene tiempo paraintercambiar energiacutea con elmedio circundante En estecaso la energiacutea interna novaria por lo que
dU = Q minus W = 0 (16)
Eso significa que si elsistema tiene que hacertrabajo W deberaacute reducir sucalor Q Empleando (12) y(14) la condicioacuten adiabatica(16) se reduce a
M sdot cV sdot dT + p sdot dV = 0 (17)
Con la ecuacioacuten de los gases(3) y la relacioacuten (5) se llega a
nmsdotcV sdotdT = minuspsdotdV = minusnRTdVV
o
dTT
= minusR
mcV
dVV
(18)
que se puede integrar
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Cambio Adiabatico II
Integracioacuten mediantewxmaxima
Si escribimos (18) de la forma
dTdV
= minusR
mcV
TV
(19)
podemos integrar estaecuacioacuten obtenieacutendose
T = C sdot VminusRmcV (20)
La constante se puededeterminar para un volumenV0 en particular y latemperatura T0 especiacuteficos
C = T0VRmcV0 (21)
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Cambio Adiabatico III
Curva T-V a presioacutenconstante con wxmaxima
Con (21) la ecuacioacuten (20) seescribe como
TT0
=
(
V0
V
)minus1
(22)
donde es el indiceadiabatico y se calcula de
= 1 +R
mcV(23)
que en el caso del aire es delorden de 14
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Cambio Adiabatico IV
Curva T-p a presioacutenconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) el volumendesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso devolumen constante
TT0
=
(
pp0
)(minus1)
(24)
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Cambio Adiabatico V
Curva p-V a temperaturaconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) la temperaturadesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso detemperatura constante
pp0
=
(
V0
V
)
(25)
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Nubes y Lluvia
Basados en los conceptos termodinaacutemicos podemos describirel desplazamiento de masas de aire y la formacioacuten de lluviaPor ello estudiaremos
Sustentacioacuten e Inestabilidad Tipo de Corriente Desplazamiento del Aire Condensacioacuten del Agua Formacioacuten de Gotas Lluvia
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Sustentacioacuten e Inestabilidad I
Una nube asciende como unglobo de helio
Como vimos antes una masaen aire de seccioacuten S estaexpuesta a la diferencias depresioacuten dp que existe endistintas alturas lo que puedellevar a una fuerza desustentacioacuten S sdot dp Esta esseguacuten (1) igual a
S sdot dp = S sdot h sdot m sdot g (26)
donde m es la densidad delmedio circundante y h es laaltura de la nube
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Sustentacioacuten e Inestabilidad II
Por otro lado la nube estaexpuesta a su propio peso
sdot S sdot h sdot g
siendo la densidad de lanube y g la aceleracioacutengravitacional Por ello lafuerza total es
F = S sdot h sdot g(m minus ) (27)
En otras palabras si ladensidad de la nube esmayor que la de su entornoestamos frente a unasituacioacuten estable la nube nose desplaza Sin embargo sila densidad del entorno esmayor que la de el nubeexistiraacute suficientesustentacioacuten y la nube seelevara
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Tipo de Corriente
Si la nube se desplaza esimportante saber que tipo decorriente existiraacute Para ellodebemos estimar el numerode Reynold
Re = sdot R sdot
(28)
donde es la densidad Runa dimensioacuten caracteriacutestica la velocidad y laviscosidad En este caso seobtiene que es una corrienteturbulenta
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Desplazamiento del Aire I
Si la corriente es turbulentaexistiraacute una fuerza deresistencia del tipo
FT =12
CW sdot Sm2c (29)
donde CW es el coeficientede resistencia S la seccioacutende la nube y c su velocidadLa fuerza de sustentacioacuten(27) acelerara la nube hastael punto en que seacompensada por la fuerza deresistencia (29)
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Desplazamiento del Aire II
Despejando con wxmaxima
En dicha situacioacuten ysuponiendo que la seccioacuten novaria con la altura se da que
S sdot h sdot g(m minus ) =12
CW sdot Sm2c
por lo que la velocidad es
c =
radic
2 sdot h sdot g(m minus )
CWm(30)
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Desplazamiento del Aire III
Otros mecanismos que llevana la elevacioacuten de masas deaire son por ejemplo losobstaacuteculos terrestres Si undesplazamiento horizontal seenfrenta a un cerro lasmasas de aire tendraacuten queascender
Otro tipo de obstaacuteculo sonzonas de mayor densidad delaire (por lo general zonas demenor temperatura) Cuandoestas zonas se desplazanelevan masas de aire mascaacutelidas que se puedanencontrar en su camino
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Condensacioacuten del Agua I
Al subir la masa de aire se vadescomprimiendo por lo quese expande Dicha expansioacutenocurre suficientemente raacutepidode modo de que no existemayor intercambio deenergiacutea con el medio Estosignifica un cambioadiabaacutetico y con ello una bajade la temperatura La baja detemperatura conduce a que lahumedad relativa sube hastaalcanzar la saturacioacuten tras lacual se comienzan a formargotas llevando a la formacioacutende nubes y finalmente lluvia
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Condensacioacuten del Agua II
La presioacuten del vapor de aguaen el caso de aire saturadoes
ps = p0eminusΔHRT (31)
con ΔH la entalpiacutea deevaporizacioacuten del agua R laconstante de gas y T latemperatura en gradosKelvin p0 es la presioacuten en elpunto triple y es igual a365 times 1010Pa
La humedad relativa sedefine como la fraccioacuten depresioacuten de vapor de agua pv
existe en comparacioacuten con elmaacuteximo posible que secalcula con la ecuacioacuten (31)
HR = 100pv
ps(32)
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Condensacioacuten del Agua III
Con la entalpia de 4065 kJmolK se obtiene que la presioacuten devapor de agua en funcioacuten de la temperatura es
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Condensacioacuten del Agua IV
Al ascender el aire baja de la temperatura T1 a T2 logrando lasaturacion de la humedad contenida Si continua ascendiendoy baja a T3 deberaacute continuar reduciendo el agua dado que lacapacidad de soportar humedad continua bajando
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Condensacioacuten del Agua IV
Esta agua liberada forma lasmicrogotas que son visiblescomo nubes y luego las gotasque forman la lluviaSi el aire esta a unatemperatura T y presenta unasaturacioacuten de HR la presioacutende vapor de agua sera igual a
pv =HR
100p0eminusΔHRT (33)
Al bajar la temperatura hastaun valor Ts se alcanzara lasaturacioacuten
En esta situacioacuten sera
pv = p0 eminusΔHRTs (34)
Si se igualan (33) con (34) seobtiene
HR100
eminusΔHRT = eminusΔHRTs
que nos da la temperaturadel punto de rociacuteo
Ts =T
1 minusRTΔH
lnHR
100
(35)
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Formacioacuten de Gotas I
George Stokes(1819-1903)
A medida que el aguacondensa se van formandopequentildeas gotas quecomienzan a caer Cuandolas velocidades son aunpequentildeas las gotas sonfrenadas por la fuerza deStokes
FR = 6a (36)
con la viscosidad del aire ael radio de la gota y lavelocidad de desplazamiento
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Formacioacuten de Gotas II
La gota comienza a caer porefecto de la gravedad y esfrenada por efecto de lafuerza de Stokesaumentando la velocidadhasta que ambas fuerzas soniguales En tal situacioacuten ysiendo w la densidad delagua se tiene
6ad = mg =43a3wg
por lo que la velocidad es
d =2a2g
9(37)
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Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
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A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Energiacutea Calorica de Gases I
Calentando Agua
Si tenemos una masa M deun gas y le introducimos laenergiacutea Q la temperaturasubiraacute en dT Dichoaumento es siempreproporcional a la cantidadde calor suministrado Si elgas esta encerrado en unrecipiente en que no sepuede dilatar la constantese denomina calorespecifico a volumenconstante cV
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Energiacutea Calorica de Gases II
Calirimetro simple
La constante se calcula de
cV =Q0
M sdot dT0(13)
Con dicho valor se puedeluego calcular el calor Qasociado a una variacioacuten dela temperatura dT
Q = M sdot cV sdot dT (14)
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Primera Ley Termodinaacutemica
Rudolf Clausius(1822-1888)
El primero en formular laprimera ley de latermodinaacutemica fue RudolfClausius La primera ley indicaque la energiacutea se conserva yse puede formular como que rsquosise aumenta la energiacutea internade un sistema dU estaconduciraacute a un aumento elcalor del sistema Q o a unaperdida por efecto del trabajorealizado por el sistema W
dU = Q minus W (15)
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Cambio Adiabatico I
Cuando un proceso ocurredemasiado raacutepido el sistemano tiene tiempo paraintercambiar energiacutea con elmedio circundante En estecaso la energiacutea interna novaria por lo que
dU = Q minus W = 0 (16)
Eso significa que si elsistema tiene que hacertrabajo W deberaacute reducir sucalor Q Empleando (12) y(14) la condicioacuten adiabatica(16) se reduce a
M sdot cV sdot dT + p sdot dV = 0 (17)
Con la ecuacioacuten de los gases(3) y la relacioacuten (5) se llega a
nmsdotcV sdotdT = minuspsdotdV = minusnRTdVV
o
dTT
= minusR
mcV
dVV
(18)
que se puede integrar
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Cambio Adiabatico II
Integracioacuten mediantewxmaxima
Si escribimos (18) de la forma
dTdV
= minusR
mcV
TV
(19)
podemos integrar estaecuacioacuten obtenieacutendose
T = C sdot VminusRmcV (20)
La constante se puededeterminar para un volumenV0 en particular y latemperatura T0 especiacuteficos
C = T0VRmcV0 (21)
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Cambio Adiabatico III
Curva T-V a presioacutenconstante con wxmaxima
Con (21) la ecuacioacuten (20) seescribe como
TT0
=
(
V0
V
)minus1
(22)
donde es el indiceadiabatico y se calcula de
= 1 +R
mcV(23)
que en el caso del aire es delorden de 14
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Cambio Adiabatico IV
Curva T-p a presioacutenconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) el volumendesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso devolumen constante
TT0
=
(
pp0
)(minus1)
(24)
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Cambio Adiabatico V
Curva p-V a temperaturaconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) la temperaturadesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso detemperatura constante
pp0
=
(
V0
V
)
(25)
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Nubes y Lluvia
Basados en los conceptos termodinaacutemicos podemos describirel desplazamiento de masas de aire y la formacioacuten de lluviaPor ello estudiaremos
Sustentacioacuten e Inestabilidad Tipo de Corriente Desplazamiento del Aire Condensacioacuten del Agua Formacioacuten de Gotas Lluvia
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Sustentacioacuten e Inestabilidad I
Una nube asciende como unglobo de helio
Como vimos antes una masaen aire de seccioacuten S estaexpuesta a la diferencias depresioacuten dp que existe endistintas alturas lo que puedellevar a una fuerza desustentacioacuten S sdot dp Esta esseguacuten (1) igual a
S sdot dp = S sdot h sdot m sdot g (26)
donde m es la densidad delmedio circundante y h es laaltura de la nube
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Sustentacioacuten e Inestabilidad II
Por otro lado la nube estaexpuesta a su propio peso
sdot S sdot h sdot g
siendo la densidad de lanube y g la aceleracioacutengravitacional Por ello lafuerza total es
F = S sdot h sdot g(m minus ) (27)
En otras palabras si ladensidad de la nube esmayor que la de su entornoestamos frente a unasituacioacuten estable la nube nose desplaza Sin embargo sila densidad del entorno esmayor que la de el nubeexistiraacute suficientesustentacioacuten y la nube seelevara
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Tipo de Corriente
Si la nube se desplaza esimportante saber que tipo decorriente existiraacute Para ellodebemos estimar el numerode Reynold
Re = sdot R sdot
(28)
donde es la densidad Runa dimensioacuten caracteriacutestica la velocidad y laviscosidad En este caso seobtiene que es una corrienteturbulenta
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Desplazamiento del Aire I
Si la corriente es turbulentaexistiraacute una fuerza deresistencia del tipo
FT =12
CW sdot Sm2c (29)
donde CW es el coeficientede resistencia S la seccioacutende la nube y c su velocidadLa fuerza de sustentacioacuten(27) acelerara la nube hastael punto en que seacompensada por la fuerza deresistencia (29)
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Desplazamiento del Aire II
Despejando con wxmaxima
En dicha situacioacuten ysuponiendo que la seccioacuten novaria con la altura se da que
S sdot h sdot g(m minus ) =12
CW sdot Sm2c
por lo que la velocidad es
c =
radic
2 sdot h sdot g(m minus )
CWm(30)
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Desplazamiento del Aire III
Otros mecanismos que llevana la elevacioacuten de masas deaire son por ejemplo losobstaacuteculos terrestres Si undesplazamiento horizontal seenfrenta a un cerro lasmasas de aire tendraacuten queascender
Otro tipo de obstaacuteculo sonzonas de mayor densidad delaire (por lo general zonas demenor temperatura) Cuandoestas zonas se desplazanelevan masas de aire mascaacutelidas que se puedanencontrar en su camino
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Condensacioacuten del Agua I
Al subir la masa de aire se vadescomprimiendo por lo quese expande Dicha expansioacutenocurre suficientemente raacutepidode modo de que no existemayor intercambio deenergiacutea con el medio Estosignifica un cambioadiabaacutetico y con ello una bajade la temperatura La baja detemperatura conduce a que lahumedad relativa sube hastaalcanzar la saturacioacuten tras lacual se comienzan a formargotas llevando a la formacioacutende nubes y finalmente lluvia
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Condensacioacuten del Agua II
La presioacuten del vapor de aguaen el caso de aire saturadoes
ps = p0eminusΔHRT (31)
con ΔH la entalpiacutea deevaporizacioacuten del agua R laconstante de gas y T latemperatura en gradosKelvin p0 es la presioacuten en elpunto triple y es igual a365 times 1010Pa
La humedad relativa sedefine como la fraccioacuten depresioacuten de vapor de agua pv
existe en comparacioacuten con elmaacuteximo posible que secalcula con la ecuacioacuten (31)
HR = 100pv
ps(32)
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Condensacioacuten del Agua III
Con la entalpia de 4065 kJmolK se obtiene que la presioacuten devapor de agua en funcioacuten de la temperatura es
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Condensacioacuten del Agua IV
Al ascender el aire baja de la temperatura T1 a T2 logrando lasaturacion de la humedad contenida Si continua ascendiendoy baja a T3 deberaacute continuar reduciendo el agua dado que lacapacidad de soportar humedad continua bajando
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Condensacioacuten del Agua IV
Esta agua liberada forma lasmicrogotas que son visiblescomo nubes y luego las gotasque forman la lluviaSi el aire esta a unatemperatura T y presenta unasaturacioacuten de HR la presioacutende vapor de agua sera igual a
pv =HR
100p0eminusΔHRT (33)
Al bajar la temperatura hastaun valor Ts se alcanzara lasaturacioacuten
En esta situacioacuten sera
pv = p0 eminusΔHRTs (34)
Si se igualan (33) con (34) seobtiene
HR100
eminusΔHRT = eminusΔHRTs
que nos da la temperaturadel punto de rociacuteo
Ts =T
1 minusRTΔH
lnHR
100
(35)
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Formacioacuten de Gotas I
George Stokes(1819-1903)
A medida que el aguacondensa se van formandopequentildeas gotas quecomienzan a caer Cuandolas velocidades son aunpequentildeas las gotas sonfrenadas por la fuerza deStokes
FR = 6a (36)
con la viscosidad del aire ael radio de la gota y lavelocidad de desplazamiento
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Formacioacuten de Gotas II
La gota comienza a caer porefecto de la gravedad y esfrenada por efecto de lafuerza de Stokesaumentando la velocidadhasta que ambas fuerzas soniguales En tal situacioacuten ysiendo w la densidad delagua se tiene
6ad = mg =43a3wg
por lo que la velocidad es
d =2a2g
9(37)
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Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
httpwxmaximasourceforgenetwikiindexphpMain_Page
A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Energiacutea Calorica de Gases II
Calirimetro simple
La constante se calcula de
cV =Q0
M sdot dT0(13)
Con dicho valor se puedeluego calcular el calor Qasociado a una variacioacuten dela temperatura dT
Q = M sdot cV sdot dT (14)
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Primera Ley Termodinaacutemica
Rudolf Clausius(1822-1888)
El primero en formular laprimera ley de latermodinaacutemica fue RudolfClausius La primera ley indicaque la energiacutea se conserva yse puede formular como que rsquosise aumenta la energiacutea internade un sistema dU estaconduciraacute a un aumento elcalor del sistema Q o a unaperdida por efecto del trabajorealizado por el sistema W
dU = Q minus W (15)
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Cambio Adiabatico I
Cuando un proceso ocurredemasiado raacutepido el sistemano tiene tiempo paraintercambiar energiacutea con elmedio circundante En estecaso la energiacutea interna novaria por lo que
dU = Q minus W = 0 (16)
Eso significa que si elsistema tiene que hacertrabajo W deberaacute reducir sucalor Q Empleando (12) y(14) la condicioacuten adiabatica(16) se reduce a
M sdot cV sdot dT + p sdot dV = 0 (17)
Con la ecuacioacuten de los gases(3) y la relacioacuten (5) se llega a
nmsdotcV sdotdT = minuspsdotdV = minusnRTdVV
o
dTT
= minusR
mcV
dVV
(18)
que se puede integrar
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Cambio Adiabatico II
Integracioacuten mediantewxmaxima
Si escribimos (18) de la forma
dTdV
= minusR
mcV
TV
(19)
podemos integrar estaecuacioacuten obtenieacutendose
T = C sdot VminusRmcV (20)
La constante se puededeterminar para un volumenV0 en particular y latemperatura T0 especiacuteficos
C = T0VRmcV0 (21)
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Cambio Adiabatico III
Curva T-V a presioacutenconstante con wxmaxima
Con (21) la ecuacioacuten (20) seescribe como
TT0
=
(
V0
V
)minus1
(22)
donde es el indiceadiabatico y se calcula de
= 1 +R
mcV(23)
que en el caso del aire es delorden de 14
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Cambio Adiabatico IV
Curva T-p a presioacutenconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) el volumendesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso devolumen constante
TT0
=
(
pp0
)(minus1)
(24)
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Cambio Adiabatico V
Curva p-V a temperaturaconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) la temperaturadesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso detemperatura constante
pp0
=
(
V0
V
)
(25)
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Nubes y Lluvia
Basados en los conceptos termodinaacutemicos podemos describirel desplazamiento de masas de aire y la formacioacuten de lluviaPor ello estudiaremos
Sustentacioacuten e Inestabilidad Tipo de Corriente Desplazamiento del Aire Condensacioacuten del Agua Formacioacuten de Gotas Lluvia
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Sustentacioacuten e Inestabilidad I
Una nube asciende como unglobo de helio
Como vimos antes una masaen aire de seccioacuten S estaexpuesta a la diferencias depresioacuten dp que existe endistintas alturas lo que puedellevar a una fuerza desustentacioacuten S sdot dp Esta esseguacuten (1) igual a
S sdot dp = S sdot h sdot m sdot g (26)
donde m es la densidad delmedio circundante y h es laaltura de la nube
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Sustentacioacuten e Inestabilidad II
Por otro lado la nube estaexpuesta a su propio peso
sdot S sdot h sdot g
siendo la densidad de lanube y g la aceleracioacutengravitacional Por ello lafuerza total es
F = S sdot h sdot g(m minus ) (27)
En otras palabras si ladensidad de la nube esmayor que la de su entornoestamos frente a unasituacioacuten estable la nube nose desplaza Sin embargo sila densidad del entorno esmayor que la de el nubeexistiraacute suficientesustentacioacuten y la nube seelevara
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Tipo de Corriente
Si la nube se desplaza esimportante saber que tipo decorriente existiraacute Para ellodebemos estimar el numerode Reynold
Re = sdot R sdot
(28)
donde es la densidad Runa dimensioacuten caracteriacutestica la velocidad y laviscosidad En este caso seobtiene que es una corrienteturbulenta
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Desplazamiento del Aire I
Si la corriente es turbulentaexistiraacute una fuerza deresistencia del tipo
FT =12
CW sdot Sm2c (29)
donde CW es el coeficientede resistencia S la seccioacutende la nube y c su velocidadLa fuerza de sustentacioacuten(27) acelerara la nube hastael punto en que seacompensada por la fuerza deresistencia (29)
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Desplazamiento del Aire II
Despejando con wxmaxima
En dicha situacioacuten ysuponiendo que la seccioacuten novaria con la altura se da que
S sdot h sdot g(m minus ) =12
CW sdot Sm2c
por lo que la velocidad es
c =
radic
2 sdot h sdot g(m minus )
CWm(30)
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Desplazamiento del Aire III
Otros mecanismos que llevana la elevacioacuten de masas deaire son por ejemplo losobstaacuteculos terrestres Si undesplazamiento horizontal seenfrenta a un cerro lasmasas de aire tendraacuten queascender
Otro tipo de obstaacuteculo sonzonas de mayor densidad delaire (por lo general zonas demenor temperatura) Cuandoestas zonas se desplazanelevan masas de aire mascaacutelidas que se puedanencontrar en su camino
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Condensacioacuten del Agua I
Al subir la masa de aire se vadescomprimiendo por lo quese expande Dicha expansioacutenocurre suficientemente raacutepidode modo de que no existemayor intercambio deenergiacutea con el medio Estosignifica un cambioadiabaacutetico y con ello una bajade la temperatura La baja detemperatura conduce a que lahumedad relativa sube hastaalcanzar la saturacioacuten tras lacual se comienzan a formargotas llevando a la formacioacutende nubes y finalmente lluvia
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Condensacioacuten del Agua II
La presioacuten del vapor de aguaen el caso de aire saturadoes
ps = p0eminusΔHRT (31)
con ΔH la entalpiacutea deevaporizacioacuten del agua R laconstante de gas y T latemperatura en gradosKelvin p0 es la presioacuten en elpunto triple y es igual a365 times 1010Pa
La humedad relativa sedefine como la fraccioacuten depresioacuten de vapor de agua pv
existe en comparacioacuten con elmaacuteximo posible que secalcula con la ecuacioacuten (31)
HR = 100pv
ps(32)
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Condensacioacuten del Agua III
Con la entalpia de 4065 kJmolK se obtiene que la presioacuten devapor de agua en funcioacuten de la temperatura es
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Condensacioacuten del Agua IV
Al ascender el aire baja de la temperatura T1 a T2 logrando lasaturacion de la humedad contenida Si continua ascendiendoy baja a T3 deberaacute continuar reduciendo el agua dado que lacapacidad de soportar humedad continua bajando
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Condensacioacuten del Agua IV
Esta agua liberada forma lasmicrogotas que son visiblescomo nubes y luego las gotasque forman la lluviaSi el aire esta a unatemperatura T y presenta unasaturacioacuten de HR la presioacutende vapor de agua sera igual a
pv =HR
100p0eminusΔHRT (33)
Al bajar la temperatura hastaun valor Ts se alcanzara lasaturacioacuten
En esta situacioacuten sera
pv = p0 eminusΔHRTs (34)
Si se igualan (33) con (34) seobtiene
HR100
eminusΔHRT = eminusΔHRTs
que nos da la temperaturadel punto de rociacuteo
Ts =T
1 minusRTΔH
lnHR
100
(35)
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Formacioacuten de Gotas I
George Stokes(1819-1903)
A medida que el aguacondensa se van formandopequentildeas gotas quecomienzan a caer Cuandolas velocidades son aunpequentildeas las gotas sonfrenadas por la fuerza deStokes
FR = 6a (36)
con la viscosidad del aire ael radio de la gota y lavelocidad de desplazamiento
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Formacioacuten de Gotas II
La gota comienza a caer porefecto de la gravedad y esfrenada por efecto de lafuerza de Stokesaumentando la velocidadhasta que ambas fuerzas soniguales En tal situacioacuten ysiendo w la densidad delagua se tiene
6ad = mg =43a3wg
por lo que la velocidad es
d =2a2g
9(37)
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Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
httpwxmaximasourceforgenetwikiindexphpMain_Page
A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Primera Ley Termodinaacutemica
Rudolf Clausius(1822-1888)
El primero en formular laprimera ley de latermodinaacutemica fue RudolfClausius La primera ley indicaque la energiacutea se conserva yse puede formular como que rsquosise aumenta la energiacutea internade un sistema dU estaconduciraacute a un aumento elcalor del sistema Q o a unaperdida por efecto del trabajorealizado por el sistema W
dU = Q minus W (15)
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Cambio Adiabatico I
Cuando un proceso ocurredemasiado raacutepido el sistemano tiene tiempo paraintercambiar energiacutea con elmedio circundante En estecaso la energiacutea interna novaria por lo que
dU = Q minus W = 0 (16)
Eso significa que si elsistema tiene que hacertrabajo W deberaacute reducir sucalor Q Empleando (12) y(14) la condicioacuten adiabatica(16) se reduce a
M sdot cV sdot dT + p sdot dV = 0 (17)
Con la ecuacioacuten de los gases(3) y la relacioacuten (5) se llega a
nmsdotcV sdotdT = minuspsdotdV = minusnRTdVV
o
dTT
= minusR
mcV
dVV
(18)
que se puede integrar
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Cambio Adiabatico II
Integracioacuten mediantewxmaxima
Si escribimos (18) de la forma
dTdV
= minusR
mcV
TV
(19)
podemos integrar estaecuacioacuten obtenieacutendose
T = C sdot VminusRmcV (20)
La constante se puededeterminar para un volumenV0 en particular y latemperatura T0 especiacuteficos
C = T0VRmcV0 (21)
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Cambio Adiabatico III
Curva T-V a presioacutenconstante con wxmaxima
Con (21) la ecuacioacuten (20) seescribe como
TT0
=
(
V0
V
)minus1
(22)
donde es el indiceadiabatico y se calcula de
= 1 +R
mcV(23)
que en el caso del aire es delorden de 14
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Cambio Adiabatico IV
Curva T-p a presioacutenconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) el volumendesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso devolumen constante
TT0
=
(
pp0
)(minus1)
(24)
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Cambio Adiabatico V
Curva p-V a temperaturaconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) la temperaturadesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso detemperatura constante
pp0
=
(
V0
V
)
(25)
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Nubes y Lluvia
Basados en los conceptos termodinaacutemicos podemos describirel desplazamiento de masas de aire y la formacioacuten de lluviaPor ello estudiaremos
Sustentacioacuten e Inestabilidad Tipo de Corriente Desplazamiento del Aire Condensacioacuten del Agua Formacioacuten de Gotas Lluvia
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Sustentacioacuten e Inestabilidad I
Una nube asciende como unglobo de helio
Como vimos antes una masaen aire de seccioacuten S estaexpuesta a la diferencias depresioacuten dp que existe endistintas alturas lo que puedellevar a una fuerza desustentacioacuten S sdot dp Esta esseguacuten (1) igual a
S sdot dp = S sdot h sdot m sdot g (26)
donde m es la densidad delmedio circundante y h es laaltura de la nube
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Sustentacioacuten e Inestabilidad II
Por otro lado la nube estaexpuesta a su propio peso
sdot S sdot h sdot g
siendo la densidad de lanube y g la aceleracioacutengravitacional Por ello lafuerza total es
F = S sdot h sdot g(m minus ) (27)
En otras palabras si ladensidad de la nube esmayor que la de su entornoestamos frente a unasituacioacuten estable la nube nose desplaza Sin embargo sila densidad del entorno esmayor que la de el nubeexistiraacute suficientesustentacioacuten y la nube seelevara
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Tipo de Corriente
Si la nube se desplaza esimportante saber que tipo decorriente existiraacute Para ellodebemos estimar el numerode Reynold
Re = sdot R sdot
(28)
donde es la densidad Runa dimensioacuten caracteriacutestica la velocidad y laviscosidad En este caso seobtiene que es una corrienteturbulenta
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Desplazamiento del Aire I
Si la corriente es turbulentaexistiraacute una fuerza deresistencia del tipo
FT =12
CW sdot Sm2c (29)
donde CW es el coeficientede resistencia S la seccioacutende la nube y c su velocidadLa fuerza de sustentacioacuten(27) acelerara la nube hastael punto en que seacompensada por la fuerza deresistencia (29)
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Desplazamiento del Aire II
Despejando con wxmaxima
En dicha situacioacuten ysuponiendo que la seccioacuten novaria con la altura se da que
S sdot h sdot g(m minus ) =12
CW sdot Sm2c
por lo que la velocidad es
c =
radic
2 sdot h sdot g(m minus )
CWm(30)
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Desplazamiento del Aire III
Otros mecanismos que llevana la elevacioacuten de masas deaire son por ejemplo losobstaacuteculos terrestres Si undesplazamiento horizontal seenfrenta a un cerro lasmasas de aire tendraacuten queascender
Otro tipo de obstaacuteculo sonzonas de mayor densidad delaire (por lo general zonas demenor temperatura) Cuandoestas zonas se desplazanelevan masas de aire mascaacutelidas que se puedanencontrar en su camino
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Condensacioacuten del Agua I
Al subir la masa de aire se vadescomprimiendo por lo quese expande Dicha expansioacutenocurre suficientemente raacutepidode modo de que no existemayor intercambio deenergiacutea con el medio Estosignifica un cambioadiabaacutetico y con ello una bajade la temperatura La baja detemperatura conduce a que lahumedad relativa sube hastaalcanzar la saturacioacuten tras lacual se comienzan a formargotas llevando a la formacioacutende nubes y finalmente lluvia
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Condensacioacuten del Agua II
La presioacuten del vapor de aguaen el caso de aire saturadoes
ps = p0eminusΔHRT (31)
con ΔH la entalpiacutea deevaporizacioacuten del agua R laconstante de gas y T latemperatura en gradosKelvin p0 es la presioacuten en elpunto triple y es igual a365 times 1010Pa
La humedad relativa sedefine como la fraccioacuten depresioacuten de vapor de agua pv
existe en comparacioacuten con elmaacuteximo posible que secalcula con la ecuacioacuten (31)
HR = 100pv
ps(32)
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Condensacioacuten del Agua III
Con la entalpia de 4065 kJmolK se obtiene que la presioacuten devapor de agua en funcioacuten de la temperatura es
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Condensacioacuten del Agua IV
Al ascender el aire baja de la temperatura T1 a T2 logrando lasaturacion de la humedad contenida Si continua ascendiendoy baja a T3 deberaacute continuar reduciendo el agua dado que lacapacidad de soportar humedad continua bajando
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Condensacioacuten del Agua IV
Esta agua liberada forma lasmicrogotas que son visiblescomo nubes y luego las gotasque forman la lluviaSi el aire esta a unatemperatura T y presenta unasaturacioacuten de HR la presioacutende vapor de agua sera igual a
pv =HR
100p0eminusΔHRT (33)
Al bajar la temperatura hastaun valor Ts se alcanzara lasaturacioacuten
En esta situacioacuten sera
pv = p0 eminusΔHRTs (34)
Si se igualan (33) con (34) seobtiene
HR100
eminusΔHRT = eminusΔHRTs
que nos da la temperaturadel punto de rociacuteo
Ts =T
1 minusRTΔH
lnHR
100
(35)
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Formacioacuten de Gotas I
George Stokes(1819-1903)
A medida que el aguacondensa se van formandopequentildeas gotas quecomienzan a caer Cuandolas velocidades son aunpequentildeas las gotas sonfrenadas por la fuerza deStokes
FR = 6a (36)
con la viscosidad del aire ael radio de la gota y lavelocidad de desplazamiento
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Formacioacuten de Gotas II
La gota comienza a caer porefecto de la gravedad y esfrenada por efecto de lafuerza de Stokesaumentando la velocidadhasta que ambas fuerzas soniguales En tal situacioacuten ysiendo w la densidad delagua se tiene
6ad = mg =43a3wg
por lo que la velocidad es
d =2a2g
9(37)
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Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
httpwxmaximasourceforgenetwikiindexphpMain_Page
A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
W Gerber Fiacutesica en las Ciencias Forestales - 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia - Teoriacutea 26102009 51 53
Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Cambio Adiabatico I
Cuando un proceso ocurredemasiado raacutepido el sistemano tiene tiempo paraintercambiar energiacutea con elmedio circundante En estecaso la energiacutea interna novaria por lo que
dU = Q minus W = 0 (16)
Eso significa que si elsistema tiene que hacertrabajo W deberaacute reducir sucalor Q Empleando (12) y(14) la condicioacuten adiabatica(16) se reduce a
M sdot cV sdot dT + p sdot dV = 0 (17)
Con la ecuacioacuten de los gases(3) y la relacioacuten (5) se llega a
nmsdotcV sdotdT = minuspsdotdV = minusnRTdVV
o
dTT
= minusR
mcV
dVV
(18)
que se puede integrar
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Cambio Adiabatico II
Integracioacuten mediantewxmaxima
Si escribimos (18) de la forma
dTdV
= minusR
mcV
TV
(19)
podemos integrar estaecuacioacuten obtenieacutendose
T = C sdot VminusRmcV (20)
La constante se puededeterminar para un volumenV0 en particular y latemperatura T0 especiacuteficos
C = T0VRmcV0 (21)
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Cambio Adiabatico III
Curva T-V a presioacutenconstante con wxmaxima
Con (21) la ecuacioacuten (20) seescribe como
TT0
=
(
V0
V
)minus1
(22)
donde es el indiceadiabatico y se calcula de
= 1 +R
mcV(23)
que en el caso del aire es delorden de 14
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Cambio Adiabatico IV
Curva T-p a presioacutenconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) el volumendesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso devolumen constante
TT0
=
(
pp0
)(minus1)
(24)
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Cambio Adiabatico V
Curva p-V a temperaturaconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) la temperaturadesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso detemperatura constante
pp0
=
(
V0
V
)
(25)
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Nubes y Lluvia
Basados en los conceptos termodinaacutemicos podemos describirel desplazamiento de masas de aire y la formacioacuten de lluviaPor ello estudiaremos
Sustentacioacuten e Inestabilidad Tipo de Corriente Desplazamiento del Aire Condensacioacuten del Agua Formacioacuten de Gotas Lluvia
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Sustentacioacuten e Inestabilidad I
Una nube asciende como unglobo de helio
Como vimos antes una masaen aire de seccioacuten S estaexpuesta a la diferencias depresioacuten dp que existe endistintas alturas lo que puedellevar a una fuerza desustentacioacuten S sdot dp Esta esseguacuten (1) igual a
S sdot dp = S sdot h sdot m sdot g (26)
donde m es la densidad delmedio circundante y h es laaltura de la nube
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Sustentacioacuten e Inestabilidad II
Por otro lado la nube estaexpuesta a su propio peso
sdot S sdot h sdot g
siendo la densidad de lanube y g la aceleracioacutengravitacional Por ello lafuerza total es
F = S sdot h sdot g(m minus ) (27)
En otras palabras si ladensidad de la nube esmayor que la de su entornoestamos frente a unasituacioacuten estable la nube nose desplaza Sin embargo sila densidad del entorno esmayor que la de el nubeexistiraacute suficientesustentacioacuten y la nube seelevara
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Tipo de Corriente
Si la nube se desplaza esimportante saber que tipo decorriente existiraacute Para ellodebemos estimar el numerode Reynold
Re = sdot R sdot
(28)
donde es la densidad Runa dimensioacuten caracteriacutestica la velocidad y laviscosidad En este caso seobtiene que es una corrienteturbulenta
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Desplazamiento del Aire I
Si la corriente es turbulentaexistiraacute una fuerza deresistencia del tipo
FT =12
CW sdot Sm2c (29)
donde CW es el coeficientede resistencia S la seccioacutende la nube y c su velocidadLa fuerza de sustentacioacuten(27) acelerara la nube hastael punto en que seacompensada por la fuerza deresistencia (29)
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Desplazamiento del Aire II
Despejando con wxmaxima
En dicha situacioacuten ysuponiendo que la seccioacuten novaria con la altura se da que
S sdot h sdot g(m minus ) =12
CW sdot Sm2c
por lo que la velocidad es
c =
radic
2 sdot h sdot g(m minus )
CWm(30)
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Desplazamiento del Aire III
Otros mecanismos que llevana la elevacioacuten de masas deaire son por ejemplo losobstaacuteculos terrestres Si undesplazamiento horizontal seenfrenta a un cerro lasmasas de aire tendraacuten queascender
Otro tipo de obstaacuteculo sonzonas de mayor densidad delaire (por lo general zonas demenor temperatura) Cuandoestas zonas se desplazanelevan masas de aire mascaacutelidas que se puedanencontrar en su camino
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Condensacioacuten del Agua I
Al subir la masa de aire se vadescomprimiendo por lo quese expande Dicha expansioacutenocurre suficientemente raacutepidode modo de que no existemayor intercambio deenergiacutea con el medio Estosignifica un cambioadiabaacutetico y con ello una bajade la temperatura La baja detemperatura conduce a que lahumedad relativa sube hastaalcanzar la saturacioacuten tras lacual se comienzan a formargotas llevando a la formacioacutende nubes y finalmente lluvia
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Condensacioacuten del Agua II
La presioacuten del vapor de aguaen el caso de aire saturadoes
ps = p0eminusΔHRT (31)
con ΔH la entalpiacutea deevaporizacioacuten del agua R laconstante de gas y T latemperatura en gradosKelvin p0 es la presioacuten en elpunto triple y es igual a365 times 1010Pa
La humedad relativa sedefine como la fraccioacuten depresioacuten de vapor de agua pv
existe en comparacioacuten con elmaacuteximo posible que secalcula con la ecuacioacuten (31)
HR = 100pv
ps(32)
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Condensacioacuten del Agua III
Con la entalpia de 4065 kJmolK se obtiene que la presioacuten devapor de agua en funcioacuten de la temperatura es
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Condensacioacuten del Agua IV
Al ascender el aire baja de la temperatura T1 a T2 logrando lasaturacion de la humedad contenida Si continua ascendiendoy baja a T3 deberaacute continuar reduciendo el agua dado que lacapacidad de soportar humedad continua bajando
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Condensacioacuten del Agua IV
Esta agua liberada forma lasmicrogotas que son visiblescomo nubes y luego las gotasque forman la lluviaSi el aire esta a unatemperatura T y presenta unasaturacioacuten de HR la presioacutende vapor de agua sera igual a
pv =HR
100p0eminusΔHRT (33)
Al bajar la temperatura hastaun valor Ts se alcanzara lasaturacioacuten
En esta situacioacuten sera
pv = p0 eminusΔHRTs (34)
Si se igualan (33) con (34) seobtiene
HR100
eminusΔHRT = eminusΔHRTs
que nos da la temperaturadel punto de rociacuteo
Ts =T
1 minusRTΔH
lnHR
100
(35)
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Formacioacuten de Gotas I
George Stokes(1819-1903)
A medida que el aguacondensa se van formandopequentildeas gotas quecomienzan a caer Cuandolas velocidades son aunpequentildeas las gotas sonfrenadas por la fuerza deStokes
FR = 6a (36)
con la viscosidad del aire ael radio de la gota y lavelocidad de desplazamiento
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Formacioacuten de Gotas II
La gota comienza a caer porefecto de la gravedad y esfrenada por efecto de lafuerza de Stokesaumentando la velocidadhasta que ambas fuerzas soniguales En tal situacioacuten ysiendo w la densidad delagua se tiene
6ad = mg =43a3wg
por lo que la velocidad es
d =2a2g
9(37)
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Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
httpwxmaximasourceforgenetwikiindexphpMain_Page
A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
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- Anexos
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- Uso de wxmaxima
- Unidades
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- Contacto
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Integracioacuten mediantewxmaxima
Si escribimos (18) de la forma
dTdV
= minusR
mcV
TV
(19)
podemos integrar estaecuacioacuten obtenieacutendose
T = C sdot VminusRmcV (20)
La constante se puededeterminar para un volumenV0 en particular y latemperatura T0 especiacuteficos
C = T0VRmcV0 (21)
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Cambio Adiabatico III
Curva T-V a presioacutenconstante con wxmaxima
Con (21) la ecuacioacuten (20) seescribe como
TT0
=
(
V0
V
)minus1
(22)
donde es el indiceadiabatico y se calcula de
= 1 +R
mcV(23)
que en el caso del aire es delorden de 14
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Cambio Adiabatico IV
Curva T-p a presioacutenconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) el volumendesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso devolumen constante
TT0
=
(
pp0
)(minus1)
(24)
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Cambio Adiabatico V
Curva p-V a temperaturaconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) la temperaturadesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso detemperatura constante
pp0
=
(
V0
V
)
(25)
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Nubes y Lluvia
Basados en los conceptos termodinaacutemicos podemos describirel desplazamiento de masas de aire y la formacioacuten de lluviaPor ello estudiaremos
Sustentacioacuten e Inestabilidad Tipo de Corriente Desplazamiento del Aire Condensacioacuten del Agua Formacioacuten de Gotas Lluvia
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Sustentacioacuten e Inestabilidad I
Una nube asciende como unglobo de helio
Como vimos antes una masaen aire de seccioacuten S estaexpuesta a la diferencias depresioacuten dp que existe endistintas alturas lo que puedellevar a una fuerza desustentacioacuten S sdot dp Esta esseguacuten (1) igual a
S sdot dp = S sdot h sdot m sdot g (26)
donde m es la densidad delmedio circundante y h es laaltura de la nube
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Sustentacioacuten e Inestabilidad II
Por otro lado la nube estaexpuesta a su propio peso
sdot S sdot h sdot g
siendo la densidad de lanube y g la aceleracioacutengravitacional Por ello lafuerza total es
F = S sdot h sdot g(m minus ) (27)
En otras palabras si ladensidad de la nube esmayor que la de su entornoestamos frente a unasituacioacuten estable la nube nose desplaza Sin embargo sila densidad del entorno esmayor que la de el nubeexistiraacute suficientesustentacioacuten y la nube seelevara
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Tipo de Corriente
Si la nube se desplaza esimportante saber que tipo decorriente existiraacute Para ellodebemos estimar el numerode Reynold
Re = sdot R sdot
(28)
donde es la densidad Runa dimensioacuten caracteriacutestica la velocidad y laviscosidad En este caso seobtiene que es una corrienteturbulenta
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Desplazamiento del Aire I
Si la corriente es turbulentaexistiraacute una fuerza deresistencia del tipo
FT =12
CW sdot Sm2c (29)
donde CW es el coeficientede resistencia S la seccioacutende la nube y c su velocidadLa fuerza de sustentacioacuten(27) acelerara la nube hastael punto en que seacompensada por la fuerza deresistencia (29)
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Desplazamiento del Aire II
Despejando con wxmaxima
En dicha situacioacuten ysuponiendo que la seccioacuten novaria con la altura se da que
S sdot h sdot g(m minus ) =12
CW sdot Sm2c
por lo que la velocidad es
c =
radic
2 sdot h sdot g(m minus )
CWm(30)
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Desplazamiento del Aire III
Otros mecanismos que llevana la elevacioacuten de masas deaire son por ejemplo losobstaacuteculos terrestres Si undesplazamiento horizontal seenfrenta a un cerro lasmasas de aire tendraacuten queascender
Otro tipo de obstaacuteculo sonzonas de mayor densidad delaire (por lo general zonas demenor temperatura) Cuandoestas zonas se desplazanelevan masas de aire mascaacutelidas que se puedanencontrar en su camino
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Condensacioacuten del Agua I
Al subir la masa de aire se vadescomprimiendo por lo quese expande Dicha expansioacutenocurre suficientemente raacutepidode modo de que no existemayor intercambio deenergiacutea con el medio Estosignifica un cambioadiabaacutetico y con ello una bajade la temperatura La baja detemperatura conduce a que lahumedad relativa sube hastaalcanzar la saturacioacuten tras lacual se comienzan a formargotas llevando a la formacioacutende nubes y finalmente lluvia
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Condensacioacuten del Agua II
La presioacuten del vapor de aguaen el caso de aire saturadoes
ps = p0eminusΔHRT (31)
con ΔH la entalpiacutea deevaporizacioacuten del agua R laconstante de gas y T latemperatura en gradosKelvin p0 es la presioacuten en elpunto triple y es igual a365 times 1010Pa
La humedad relativa sedefine como la fraccioacuten depresioacuten de vapor de agua pv
existe en comparacioacuten con elmaacuteximo posible que secalcula con la ecuacioacuten (31)
HR = 100pv
ps(32)
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Condensacioacuten del Agua III
Con la entalpia de 4065 kJmolK se obtiene que la presioacuten devapor de agua en funcioacuten de la temperatura es
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Condensacioacuten del Agua IV
Al ascender el aire baja de la temperatura T1 a T2 logrando lasaturacion de la humedad contenida Si continua ascendiendoy baja a T3 deberaacute continuar reduciendo el agua dado que lacapacidad de soportar humedad continua bajando
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Condensacioacuten del Agua IV
Esta agua liberada forma lasmicrogotas que son visiblescomo nubes y luego las gotasque forman la lluviaSi el aire esta a unatemperatura T y presenta unasaturacioacuten de HR la presioacutende vapor de agua sera igual a
pv =HR
100p0eminusΔHRT (33)
Al bajar la temperatura hastaun valor Ts se alcanzara lasaturacioacuten
En esta situacioacuten sera
pv = p0 eminusΔHRTs (34)
Si se igualan (33) con (34) seobtiene
HR100
eminusΔHRT = eminusΔHRTs
que nos da la temperaturadel punto de rociacuteo
Ts =T
1 minusRTΔH
lnHR
100
(35)
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Formacioacuten de Gotas I
George Stokes(1819-1903)
A medida que el aguacondensa se van formandopequentildeas gotas quecomienzan a caer Cuandolas velocidades son aunpequentildeas las gotas sonfrenadas por la fuerza deStokes
FR = 6a (36)
con la viscosidad del aire ael radio de la gota y lavelocidad de desplazamiento
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Formacioacuten de Gotas II
La gota comienza a caer porefecto de la gravedad y esfrenada por efecto de lafuerza de Stokesaumentando la velocidadhasta que ambas fuerzas soniguales En tal situacioacuten ysiendo w la densidad delagua se tiene
6ad = mg =43a3wg
por lo que la velocidad es
d =2a2g
9(37)
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Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
httpwxmaximasourceforgenetwikiindexphpMain_Page
A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Cambio Adiabatico III
Curva T-V a presioacutenconstante con wxmaxima
Con (21) la ecuacioacuten (20) seescribe como
TT0
=
(
V0
V
)minus1
(22)
donde es el indiceadiabatico y se calcula de
= 1 +R
mcV(23)
que en el caso del aire es delorden de 14
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Cambio Adiabatico IV
Curva T-p a presioacutenconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) el volumendesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso devolumen constante
TT0
=
(
pp0
)(minus1)
(24)
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Cambio Adiabatico V
Curva p-V a temperaturaconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) la temperaturadesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso detemperatura constante
pp0
=
(
V0
V
)
(25)
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Nubes y Lluvia
Basados en los conceptos termodinaacutemicos podemos describirel desplazamiento de masas de aire y la formacioacuten de lluviaPor ello estudiaremos
Sustentacioacuten e Inestabilidad Tipo de Corriente Desplazamiento del Aire Condensacioacuten del Agua Formacioacuten de Gotas Lluvia
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Sustentacioacuten e Inestabilidad I
Una nube asciende como unglobo de helio
Como vimos antes una masaen aire de seccioacuten S estaexpuesta a la diferencias depresioacuten dp que existe endistintas alturas lo que puedellevar a una fuerza desustentacioacuten S sdot dp Esta esseguacuten (1) igual a
S sdot dp = S sdot h sdot m sdot g (26)
donde m es la densidad delmedio circundante y h es laaltura de la nube
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Sustentacioacuten e Inestabilidad II
Por otro lado la nube estaexpuesta a su propio peso
sdot S sdot h sdot g
siendo la densidad de lanube y g la aceleracioacutengravitacional Por ello lafuerza total es
F = S sdot h sdot g(m minus ) (27)
En otras palabras si ladensidad de la nube esmayor que la de su entornoestamos frente a unasituacioacuten estable la nube nose desplaza Sin embargo sila densidad del entorno esmayor que la de el nubeexistiraacute suficientesustentacioacuten y la nube seelevara
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Tipo de Corriente
Si la nube se desplaza esimportante saber que tipo decorriente existiraacute Para ellodebemos estimar el numerode Reynold
Re = sdot R sdot
(28)
donde es la densidad Runa dimensioacuten caracteriacutestica la velocidad y laviscosidad En este caso seobtiene que es una corrienteturbulenta
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Desplazamiento del Aire I
Si la corriente es turbulentaexistiraacute una fuerza deresistencia del tipo
FT =12
CW sdot Sm2c (29)
donde CW es el coeficientede resistencia S la seccioacutende la nube y c su velocidadLa fuerza de sustentacioacuten(27) acelerara la nube hastael punto en que seacompensada por la fuerza deresistencia (29)
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Desplazamiento del Aire II
Despejando con wxmaxima
En dicha situacioacuten ysuponiendo que la seccioacuten novaria con la altura se da que
S sdot h sdot g(m minus ) =12
CW sdot Sm2c
por lo que la velocidad es
c =
radic
2 sdot h sdot g(m minus )
CWm(30)
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Desplazamiento del Aire III
Otros mecanismos que llevana la elevacioacuten de masas deaire son por ejemplo losobstaacuteculos terrestres Si undesplazamiento horizontal seenfrenta a un cerro lasmasas de aire tendraacuten queascender
Otro tipo de obstaacuteculo sonzonas de mayor densidad delaire (por lo general zonas demenor temperatura) Cuandoestas zonas se desplazanelevan masas de aire mascaacutelidas que se puedanencontrar en su camino
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Condensacioacuten del Agua I
Al subir la masa de aire se vadescomprimiendo por lo quese expande Dicha expansioacutenocurre suficientemente raacutepidode modo de que no existemayor intercambio deenergiacutea con el medio Estosignifica un cambioadiabaacutetico y con ello una bajade la temperatura La baja detemperatura conduce a que lahumedad relativa sube hastaalcanzar la saturacioacuten tras lacual se comienzan a formargotas llevando a la formacioacutende nubes y finalmente lluvia
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Condensacioacuten del Agua II
La presioacuten del vapor de aguaen el caso de aire saturadoes
ps = p0eminusΔHRT (31)
con ΔH la entalpiacutea deevaporizacioacuten del agua R laconstante de gas y T latemperatura en gradosKelvin p0 es la presioacuten en elpunto triple y es igual a365 times 1010Pa
La humedad relativa sedefine como la fraccioacuten depresioacuten de vapor de agua pv
existe en comparacioacuten con elmaacuteximo posible que secalcula con la ecuacioacuten (31)
HR = 100pv
ps(32)
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Condensacioacuten del Agua III
Con la entalpia de 4065 kJmolK se obtiene que la presioacuten devapor de agua en funcioacuten de la temperatura es
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Condensacioacuten del Agua IV
Al ascender el aire baja de la temperatura T1 a T2 logrando lasaturacion de la humedad contenida Si continua ascendiendoy baja a T3 deberaacute continuar reduciendo el agua dado que lacapacidad de soportar humedad continua bajando
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Condensacioacuten del Agua IV
Esta agua liberada forma lasmicrogotas que son visiblescomo nubes y luego las gotasque forman la lluviaSi el aire esta a unatemperatura T y presenta unasaturacioacuten de HR la presioacutende vapor de agua sera igual a
pv =HR
100p0eminusΔHRT (33)
Al bajar la temperatura hastaun valor Ts se alcanzara lasaturacioacuten
En esta situacioacuten sera
pv = p0 eminusΔHRTs (34)
Si se igualan (33) con (34) seobtiene
HR100
eminusΔHRT = eminusΔHRTs
que nos da la temperaturadel punto de rociacuteo
Ts =T
1 minusRTΔH
lnHR
100
(35)
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Formacioacuten de Gotas I
George Stokes(1819-1903)
A medida que el aguacondensa se van formandopequentildeas gotas quecomienzan a caer Cuandolas velocidades son aunpequentildeas las gotas sonfrenadas por la fuerza deStokes
FR = 6a (36)
con la viscosidad del aire ael radio de la gota y lavelocidad de desplazamiento
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Formacioacuten de Gotas II
La gota comienza a caer porefecto de la gravedad y esfrenada por efecto de lafuerza de Stokesaumentando la velocidadhasta que ambas fuerzas soniguales En tal situacioacuten ysiendo w la densidad delagua se tiene
6ad = mg =43a3wg
por lo que la velocidad es
d =2a2g
9(37)
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Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
httpwxmaximasourceforgenetwikiindexphpMain_Page
A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Cambio Adiabatico IV
Curva T-p a presioacutenconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) el volumendesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso devolumen constante
TT0
=
(
pp0
)(minus1)
(24)
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Cambio Adiabatico V
Curva p-V a temperaturaconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) la temperaturadesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso detemperatura constante
pp0
=
(
V0
V
)
(25)
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Nubes y Lluvia
Basados en los conceptos termodinaacutemicos podemos describirel desplazamiento de masas de aire y la formacioacuten de lluviaPor ello estudiaremos
Sustentacioacuten e Inestabilidad Tipo de Corriente Desplazamiento del Aire Condensacioacuten del Agua Formacioacuten de Gotas Lluvia
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Sustentacioacuten e Inestabilidad I
Una nube asciende como unglobo de helio
Como vimos antes una masaen aire de seccioacuten S estaexpuesta a la diferencias depresioacuten dp que existe endistintas alturas lo que puedellevar a una fuerza desustentacioacuten S sdot dp Esta esseguacuten (1) igual a
S sdot dp = S sdot h sdot m sdot g (26)
donde m es la densidad delmedio circundante y h es laaltura de la nube
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Sustentacioacuten e Inestabilidad II
Por otro lado la nube estaexpuesta a su propio peso
sdot S sdot h sdot g
siendo la densidad de lanube y g la aceleracioacutengravitacional Por ello lafuerza total es
F = S sdot h sdot g(m minus ) (27)
En otras palabras si ladensidad de la nube esmayor que la de su entornoestamos frente a unasituacioacuten estable la nube nose desplaza Sin embargo sila densidad del entorno esmayor que la de el nubeexistiraacute suficientesustentacioacuten y la nube seelevara
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Tipo de Corriente
Si la nube se desplaza esimportante saber que tipo decorriente existiraacute Para ellodebemos estimar el numerode Reynold
Re = sdot R sdot
(28)
donde es la densidad Runa dimensioacuten caracteriacutestica la velocidad y laviscosidad En este caso seobtiene que es una corrienteturbulenta
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Desplazamiento del Aire I
Si la corriente es turbulentaexistiraacute una fuerza deresistencia del tipo
FT =12
CW sdot Sm2c (29)
donde CW es el coeficientede resistencia S la seccioacutende la nube y c su velocidadLa fuerza de sustentacioacuten(27) acelerara la nube hastael punto en que seacompensada por la fuerza deresistencia (29)
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Desplazamiento del Aire II
Despejando con wxmaxima
En dicha situacioacuten ysuponiendo que la seccioacuten novaria con la altura se da que
S sdot h sdot g(m minus ) =12
CW sdot Sm2c
por lo que la velocidad es
c =
radic
2 sdot h sdot g(m minus )
CWm(30)
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Desplazamiento del Aire III
Otros mecanismos que llevana la elevacioacuten de masas deaire son por ejemplo losobstaacuteculos terrestres Si undesplazamiento horizontal seenfrenta a un cerro lasmasas de aire tendraacuten queascender
Otro tipo de obstaacuteculo sonzonas de mayor densidad delaire (por lo general zonas demenor temperatura) Cuandoestas zonas se desplazanelevan masas de aire mascaacutelidas que se puedanencontrar en su camino
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Condensacioacuten del Agua I
Al subir la masa de aire se vadescomprimiendo por lo quese expande Dicha expansioacutenocurre suficientemente raacutepidode modo de que no existemayor intercambio deenergiacutea con el medio Estosignifica un cambioadiabaacutetico y con ello una bajade la temperatura La baja detemperatura conduce a que lahumedad relativa sube hastaalcanzar la saturacioacuten tras lacual se comienzan a formargotas llevando a la formacioacutende nubes y finalmente lluvia
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Condensacioacuten del Agua II
La presioacuten del vapor de aguaen el caso de aire saturadoes
ps = p0eminusΔHRT (31)
con ΔH la entalpiacutea deevaporizacioacuten del agua R laconstante de gas y T latemperatura en gradosKelvin p0 es la presioacuten en elpunto triple y es igual a365 times 1010Pa
La humedad relativa sedefine como la fraccioacuten depresioacuten de vapor de agua pv
existe en comparacioacuten con elmaacuteximo posible que secalcula con la ecuacioacuten (31)
HR = 100pv
ps(32)
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Condensacioacuten del Agua III
Con la entalpia de 4065 kJmolK se obtiene que la presioacuten devapor de agua en funcioacuten de la temperatura es
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Condensacioacuten del Agua IV
Al ascender el aire baja de la temperatura T1 a T2 logrando lasaturacion de la humedad contenida Si continua ascendiendoy baja a T3 deberaacute continuar reduciendo el agua dado que lacapacidad de soportar humedad continua bajando
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Condensacioacuten del Agua IV
Esta agua liberada forma lasmicrogotas que son visiblescomo nubes y luego las gotasque forman la lluviaSi el aire esta a unatemperatura T y presenta unasaturacioacuten de HR la presioacutende vapor de agua sera igual a
pv =HR
100p0eminusΔHRT (33)
Al bajar la temperatura hastaun valor Ts se alcanzara lasaturacioacuten
En esta situacioacuten sera
pv = p0 eminusΔHRTs (34)
Si se igualan (33) con (34) seobtiene
HR100
eminusΔHRT = eminusΔHRTs
que nos da la temperaturadel punto de rociacuteo
Ts =T
1 minusRTΔH
lnHR
100
(35)
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Formacioacuten de Gotas I
George Stokes(1819-1903)
A medida que el aguacondensa se van formandopequentildeas gotas quecomienzan a caer Cuandolas velocidades son aunpequentildeas las gotas sonfrenadas por la fuerza deStokes
FR = 6a (36)
con la viscosidad del aire ael radio de la gota y lavelocidad de desplazamiento
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Formacioacuten de Gotas II
La gota comienza a caer porefecto de la gravedad y esfrenada por efecto de lafuerza de Stokesaumentando la velocidadhasta que ambas fuerzas soniguales En tal situacioacuten ysiendo w la densidad delagua se tiene
6ad = mg =43a3wg
por lo que la velocidad es
d =2a2g
9(37)
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Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
httpwxmaximasourceforgenetwikiindexphpMain_Page
A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Cambio Adiabatico V
Curva p-V a temperaturaconstante con wxmaxima
Si se reemplaza en laecuacioacuten (22) la temperaturadesde la ecuacioacuten de gases(3) se obtiene la ecuacioacutenadiabatica para el caso detemperatura constante
pp0
=
(
V0
V
)
(25)
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Nubes y Lluvia
Basados en los conceptos termodinaacutemicos podemos describirel desplazamiento de masas de aire y la formacioacuten de lluviaPor ello estudiaremos
Sustentacioacuten e Inestabilidad Tipo de Corriente Desplazamiento del Aire Condensacioacuten del Agua Formacioacuten de Gotas Lluvia
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Sustentacioacuten e Inestabilidad I
Una nube asciende como unglobo de helio
Como vimos antes una masaen aire de seccioacuten S estaexpuesta a la diferencias depresioacuten dp que existe endistintas alturas lo que puedellevar a una fuerza desustentacioacuten S sdot dp Esta esseguacuten (1) igual a
S sdot dp = S sdot h sdot m sdot g (26)
donde m es la densidad delmedio circundante y h es laaltura de la nube
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Sustentacioacuten e Inestabilidad II
Por otro lado la nube estaexpuesta a su propio peso
sdot S sdot h sdot g
siendo la densidad de lanube y g la aceleracioacutengravitacional Por ello lafuerza total es
F = S sdot h sdot g(m minus ) (27)
En otras palabras si ladensidad de la nube esmayor que la de su entornoestamos frente a unasituacioacuten estable la nube nose desplaza Sin embargo sila densidad del entorno esmayor que la de el nubeexistiraacute suficientesustentacioacuten y la nube seelevara
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Tipo de Corriente
Si la nube se desplaza esimportante saber que tipo decorriente existiraacute Para ellodebemos estimar el numerode Reynold
Re = sdot R sdot
(28)
donde es la densidad Runa dimensioacuten caracteriacutestica la velocidad y laviscosidad En este caso seobtiene que es una corrienteturbulenta
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Desplazamiento del Aire I
Si la corriente es turbulentaexistiraacute una fuerza deresistencia del tipo
FT =12
CW sdot Sm2c (29)
donde CW es el coeficientede resistencia S la seccioacutende la nube y c su velocidadLa fuerza de sustentacioacuten(27) acelerara la nube hastael punto en que seacompensada por la fuerza deresistencia (29)
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Desplazamiento del Aire II
Despejando con wxmaxima
En dicha situacioacuten ysuponiendo que la seccioacuten novaria con la altura se da que
S sdot h sdot g(m minus ) =12
CW sdot Sm2c
por lo que la velocidad es
c =
radic
2 sdot h sdot g(m minus )
CWm(30)
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Desplazamiento del Aire III
Otros mecanismos que llevana la elevacioacuten de masas deaire son por ejemplo losobstaacuteculos terrestres Si undesplazamiento horizontal seenfrenta a un cerro lasmasas de aire tendraacuten queascender
Otro tipo de obstaacuteculo sonzonas de mayor densidad delaire (por lo general zonas demenor temperatura) Cuandoestas zonas se desplazanelevan masas de aire mascaacutelidas que se puedanencontrar en su camino
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Condensacioacuten del Agua I
Al subir la masa de aire se vadescomprimiendo por lo quese expande Dicha expansioacutenocurre suficientemente raacutepidode modo de que no existemayor intercambio deenergiacutea con el medio Estosignifica un cambioadiabaacutetico y con ello una bajade la temperatura La baja detemperatura conduce a que lahumedad relativa sube hastaalcanzar la saturacioacuten tras lacual se comienzan a formargotas llevando a la formacioacutende nubes y finalmente lluvia
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Condensacioacuten del Agua II
La presioacuten del vapor de aguaen el caso de aire saturadoes
ps = p0eminusΔHRT (31)
con ΔH la entalpiacutea deevaporizacioacuten del agua R laconstante de gas y T latemperatura en gradosKelvin p0 es la presioacuten en elpunto triple y es igual a365 times 1010Pa
La humedad relativa sedefine como la fraccioacuten depresioacuten de vapor de agua pv
existe en comparacioacuten con elmaacuteximo posible que secalcula con la ecuacioacuten (31)
HR = 100pv
ps(32)
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Condensacioacuten del Agua III
Con la entalpia de 4065 kJmolK se obtiene que la presioacuten devapor de agua en funcioacuten de la temperatura es
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Condensacioacuten del Agua IV
Al ascender el aire baja de la temperatura T1 a T2 logrando lasaturacion de la humedad contenida Si continua ascendiendoy baja a T3 deberaacute continuar reduciendo el agua dado que lacapacidad de soportar humedad continua bajando
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Condensacioacuten del Agua IV
Esta agua liberada forma lasmicrogotas que son visiblescomo nubes y luego las gotasque forman la lluviaSi el aire esta a unatemperatura T y presenta unasaturacioacuten de HR la presioacutende vapor de agua sera igual a
pv =HR
100p0eminusΔHRT (33)
Al bajar la temperatura hastaun valor Ts se alcanzara lasaturacioacuten
En esta situacioacuten sera
pv = p0 eminusΔHRTs (34)
Si se igualan (33) con (34) seobtiene
HR100
eminusΔHRT = eminusΔHRTs
que nos da la temperaturadel punto de rociacuteo
Ts =T
1 minusRTΔH
lnHR
100
(35)
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Formacioacuten de Gotas I
George Stokes(1819-1903)
A medida que el aguacondensa se van formandopequentildeas gotas quecomienzan a caer Cuandolas velocidades son aunpequentildeas las gotas sonfrenadas por la fuerza deStokes
FR = 6a (36)
con la viscosidad del aire ael radio de la gota y lavelocidad de desplazamiento
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Formacioacuten de Gotas II
La gota comienza a caer porefecto de la gravedad y esfrenada por efecto de lafuerza de Stokesaumentando la velocidadhasta que ambas fuerzas soniguales En tal situacioacuten ysiendo w la densidad delagua se tiene
6ad = mg =43a3wg
por lo que la velocidad es
d =2a2g
9(37)
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Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
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A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Nubes y Lluvia
Basados en los conceptos termodinaacutemicos podemos describirel desplazamiento de masas de aire y la formacioacuten de lluviaPor ello estudiaremos
Sustentacioacuten e Inestabilidad Tipo de Corriente Desplazamiento del Aire Condensacioacuten del Agua Formacioacuten de Gotas Lluvia
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Sustentacioacuten e Inestabilidad I
Una nube asciende como unglobo de helio
Como vimos antes una masaen aire de seccioacuten S estaexpuesta a la diferencias depresioacuten dp que existe endistintas alturas lo que puedellevar a una fuerza desustentacioacuten S sdot dp Esta esseguacuten (1) igual a
S sdot dp = S sdot h sdot m sdot g (26)
donde m es la densidad delmedio circundante y h es laaltura de la nube
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Sustentacioacuten e Inestabilidad II
Por otro lado la nube estaexpuesta a su propio peso
sdot S sdot h sdot g
siendo la densidad de lanube y g la aceleracioacutengravitacional Por ello lafuerza total es
F = S sdot h sdot g(m minus ) (27)
En otras palabras si ladensidad de la nube esmayor que la de su entornoestamos frente a unasituacioacuten estable la nube nose desplaza Sin embargo sila densidad del entorno esmayor que la de el nubeexistiraacute suficientesustentacioacuten y la nube seelevara
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Tipo de Corriente
Si la nube se desplaza esimportante saber que tipo decorriente existiraacute Para ellodebemos estimar el numerode Reynold
Re = sdot R sdot
(28)
donde es la densidad Runa dimensioacuten caracteriacutestica la velocidad y laviscosidad En este caso seobtiene que es una corrienteturbulenta
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Desplazamiento del Aire I
Si la corriente es turbulentaexistiraacute una fuerza deresistencia del tipo
FT =12
CW sdot Sm2c (29)
donde CW es el coeficientede resistencia S la seccioacutende la nube y c su velocidadLa fuerza de sustentacioacuten(27) acelerara la nube hastael punto en que seacompensada por la fuerza deresistencia (29)
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Desplazamiento del Aire II
Despejando con wxmaxima
En dicha situacioacuten ysuponiendo que la seccioacuten novaria con la altura se da que
S sdot h sdot g(m minus ) =12
CW sdot Sm2c
por lo que la velocidad es
c =
radic
2 sdot h sdot g(m minus )
CWm(30)
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Desplazamiento del Aire III
Otros mecanismos que llevana la elevacioacuten de masas deaire son por ejemplo losobstaacuteculos terrestres Si undesplazamiento horizontal seenfrenta a un cerro lasmasas de aire tendraacuten queascender
Otro tipo de obstaacuteculo sonzonas de mayor densidad delaire (por lo general zonas demenor temperatura) Cuandoestas zonas se desplazanelevan masas de aire mascaacutelidas que se puedanencontrar en su camino
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Condensacioacuten del Agua I
Al subir la masa de aire se vadescomprimiendo por lo quese expande Dicha expansioacutenocurre suficientemente raacutepidode modo de que no existemayor intercambio deenergiacutea con el medio Estosignifica un cambioadiabaacutetico y con ello una bajade la temperatura La baja detemperatura conduce a que lahumedad relativa sube hastaalcanzar la saturacioacuten tras lacual se comienzan a formargotas llevando a la formacioacutende nubes y finalmente lluvia
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Condensacioacuten del Agua II
La presioacuten del vapor de aguaen el caso de aire saturadoes
ps = p0eminusΔHRT (31)
con ΔH la entalpiacutea deevaporizacioacuten del agua R laconstante de gas y T latemperatura en gradosKelvin p0 es la presioacuten en elpunto triple y es igual a365 times 1010Pa
La humedad relativa sedefine como la fraccioacuten depresioacuten de vapor de agua pv
existe en comparacioacuten con elmaacuteximo posible que secalcula con la ecuacioacuten (31)
HR = 100pv
ps(32)
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Condensacioacuten del Agua III
Con la entalpia de 4065 kJmolK se obtiene que la presioacuten devapor de agua en funcioacuten de la temperatura es
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Condensacioacuten del Agua IV
Al ascender el aire baja de la temperatura T1 a T2 logrando lasaturacion de la humedad contenida Si continua ascendiendoy baja a T3 deberaacute continuar reduciendo el agua dado que lacapacidad de soportar humedad continua bajando
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Condensacioacuten del Agua IV
Esta agua liberada forma lasmicrogotas que son visiblescomo nubes y luego las gotasque forman la lluviaSi el aire esta a unatemperatura T y presenta unasaturacioacuten de HR la presioacutende vapor de agua sera igual a
pv =HR
100p0eminusΔHRT (33)
Al bajar la temperatura hastaun valor Ts se alcanzara lasaturacioacuten
En esta situacioacuten sera
pv = p0 eminusΔHRTs (34)
Si se igualan (33) con (34) seobtiene
HR100
eminusΔHRT = eminusΔHRTs
que nos da la temperaturadel punto de rociacuteo
Ts =T
1 minusRTΔH
lnHR
100
(35)
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Formacioacuten de Gotas I
George Stokes(1819-1903)
A medida que el aguacondensa se van formandopequentildeas gotas quecomienzan a caer Cuandolas velocidades son aunpequentildeas las gotas sonfrenadas por la fuerza deStokes
FR = 6a (36)
con la viscosidad del aire ael radio de la gota y lavelocidad de desplazamiento
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Formacioacuten de Gotas II
La gota comienza a caer porefecto de la gravedad y esfrenada por efecto de lafuerza de Stokesaumentando la velocidadhasta que ambas fuerzas soniguales En tal situacioacuten ysiendo w la densidad delagua se tiene
6ad = mg =43a3wg
por lo que la velocidad es
d =2a2g
9(37)
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Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
httpwxmaximasourceforgenetwikiindexphpMain_Page
A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
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- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
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- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
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- Lluvia
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- Anexos
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- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
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Sustentacioacuten e Inestabilidad I
Una nube asciende como unglobo de helio
Como vimos antes una masaen aire de seccioacuten S estaexpuesta a la diferencias depresioacuten dp que existe endistintas alturas lo que puedellevar a una fuerza desustentacioacuten S sdot dp Esta esseguacuten (1) igual a
S sdot dp = S sdot h sdot m sdot g (26)
donde m es la densidad delmedio circundante y h es laaltura de la nube
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Sustentacioacuten e Inestabilidad II
Por otro lado la nube estaexpuesta a su propio peso
sdot S sdot h sdot g
siendo la densidad de lanube y g la aceleracioacutengravitacional Por ello lafuerza total es
F = S sdot h sdot g(m minus ) (27)
En otras palabras si ladensidad de la nube esmayor que la de su entornoestamos frente a unasituacioacuten estable la nube nose desplaza Sin embargo sila densidad del entorno esmayor que la de el nubeexistiraacute suficientesustentacioacuten y la nube seelevara
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Tipo de Corriente
Si la nube se desplaza esimportante saber que tipo decorriente existiraacute Para ellodebemos estimar el numerode Reynold
Re = sdot R sdot
(28)
donde es la densidad Runa dimensioacuten caracteriacutestica la velocidad y laviscosidad En este caso seobtiene que es una corrienteturbulenta
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Desplazamiento del Aire I
Si la corriente es turbulentaexistiraacute una fuerza deresistencia del tipo
FT =12
CW sdot Sm2c (29)
donde CW es el coeficientede resistencia S la seccioacutende la nube y c su velocidadLa fuerza de sustentacioacuten(27) acelerara la nube hastael punto en que seacompensada por la fuerza deresistencia (29)
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Desplazamiento del Aire II
Despejando con wxmaxima
En dicha situacioacuten ysuponiendo que la seccioacuten novaria con la altura se da que
S sdot h sdot g(m minus ) =12
CW sdot Sm2c
por lo que la velocidad es
c =
radic
2 sdot h sdot g(m minus )
CWm(30)
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Desplazamiento del Aire III
Otros mecanismos que llevana la elevacioacuten de masas deaire son por ejemplo losobstaacuteculos terrestres Si undesplazamiento horizontal seenfrenta a un cerro lasmasas de aire tendraacuten queascender
Otro tipo de obstaacuteculo sonzonas de mayor densidad delaire (por lo general zonas demenor temperatura) Cuandoestas zonas se desplazanelevan masas de aire mascaacutelidas que se puedanencontrar en su camino
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Condensacioacuten del Agua I
Al subir la masa de aire se vadescomprimiendo por lo quese expande Dicha expansioacutenocurre suficientemente raacutepidode modo de que no existemayor intercambio deenergiacutea con el medio Estosignifica un cambioadiabaacutetico y con ello una bajade la temperatura La baja detemperatura conduce a que lahumedad relativa sube hastaalcanzar la saturacioacuten tras lacual se comienzan a formargotas llevando a la formacioacutende nubes y finalmente lluvia
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Condensacioacuten del Agua II
La presioacuten del vapor de aguaen el caso de aire saturadoes
ps = p0eminusΔHRT (31)
con ΔH la entalpiacutea deevaporizacioacuten del agua R laconstante de gas y T latemperatura en gradosKelvin p0 es la presioacuten en elpunto triple y es igual a365 times 1010Pa
La humedad relativa sedefine como la fraccioacuten depresioacuten de vapor de agua pv
existe en comparacioacuten con elmaacuteximo posible que secalcula con la ecuacioacuten (31)
HR = 100pv
ps(32)
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Condensacioacuten del Agua III
Con la entalpia de 4065 kJmolK se obtiene que la presioacuten devapor de agua en funcioacuten de la temperatura es
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Condensacioacuten del Agua IV
Al ascender el aire baja de la temperatura T1 a T2 logrando lasaturacion de la humedad contenida Si continua ascendiendoy baja a T3 deberaacute continuar reduciendo el agua dado que lacapacidad de soportar humedad continua bajando
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Condensacioacuten del Agua IV
Esta agua liberada forma lasmicrogotas que son visiblescomo nubes y luego las gotasque forman la lluviaSi el aire esta a unatemperatura T y presenta unasaturacioacuten de HR la presioacutende vapor de agua sera igual a
pv =HR
100p0eminusΔHRT (33)
Al bajar la temperatura hastaun valor Ts se alcanzara lasaturacioacuten
En esta situacioacuten sera
pv = p0 eminusΔHRTs (34)
Si se igualan (33) con (34) seobtiene
HR100
eminusΔHRT = eminusΔHRTs
que nos da la temperaturadel punto de rociacuteo
Ts =T
1 minusRTΔH
lnHR
100
(35)
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Formacioacuten de Gotas I
George Stokes(1819-1903)
A medida que el aguacondensa se van formandopequentildeas gotas quecomienzan a caer Cuandolas velocidades son aunpequentildeas las gotas sonfrenadas por la fuerza deStokes
FR = 6a (36)
con la viscosidad del aire ael radio de la gota y lavelocidad de desplazamiento
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Formacioacuten de Gotas II
La gota comienza a caer porefecto de la gravedad y esfrenada por efecto de lafuerza de Stokesaumentando la velocidadhasta que ambas fuerzas soniguales En tal situacioacuten ysiendo w la densidad delagua se tiene
6ad = mg =43a3wg
por lo que la velocidad es
d =2a2g
9(37)
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Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
httpwxmaximasourceforgenetwikiindexphpMain_Page
A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Sustentacioacuten e Inestabilidad II
Por otro lado la nube estaexpuesta a su propio peso
sdot S sdot h sdot g
siendo la densidad de lanube y g la aceleracioacutengravitacional Por ello lafuerza total es
F = S sdot h sdot g(m minus ) (27)
En otras palabras si ladensidad de la nube esmayor que la de su entornoestamos frente a unasituacioacuten estable la nube nose desplaza Sin embargo sila densidad del entorno esmayor que la de el nubeexistiraacute suficientesustentacioacuten y la nube seelevara
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Tipo de Corriente
Si la nube se desplaza esimportante saber que tipo decorriente existiraacute Para ellodebemos estimar el numerode Reynold
Re = sdot R sdot
(28)
donde es la densidad Runa dimensioacuten caracteriacutestica la velocidad y laviscosidad En este caso seobtiene que es una corrienteturbulenta
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Desplazamiento del Aire I
Si la corriente es turbulentaexistiraacute una fuerza deresistencia del tipo
FT =12
CW sdot Sm2c (29)
donde CW es el coeficientede resistencia S la seccioacutende la nube y c su velocidadLa fuerza de sustentacioacuten(27) acelerara la nube hastael punto en que seacompensada por la fuerza deresistencia (29)
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Desplazamiento del Aire II
Despejando con wxmaxima
En dicha situacioacuten ysuponiendo que la seccioacuten novaria con la altura se da que
S sdot h sdot g(m minus ) =12
CW sdot Sm2c
por lo que la velocidad es
c =
radic
2 sdot h sdot g(m minus )
CWm(30)
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Desplazamiento del Aire III
Otros mecanismos que llevana la elevacioacuten de masas deaire son por ejemplo losobstaacuteculos terrestres Si undesplazamiento horizontal seenfrenta a un cerro lasmasas de aire tendraacuten queascender
Otro tipo de obstaacuteculo sonzonas de mayor densidad delaire (por lo general zonas demenor temperatura) Cuandoestas zonas se desplazanelevan masas de aire mascaacutelidas que se puedanencontrar en su camino
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Condensacioacuten del Agua I
Al subir la masa de aire se vadescomprimiendo por lo quese expande Dicha expansioacutenocurre suficientemente raacutepidode modo de que no existemayor intercambio deenergiacutea con el medio Estosignifica un cambioadiabaacutetico y con ello una bajade la temperatura La baja detemperatura conduce a que lahumedad relativa sube hastaalcanzar la saturacioacuten tras lacual se comienzan a formargotas llevando a la formacioacutende nubes y finalmente lluvia
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Condensacioacuten del Agua II
La presioacuten del vapor de aguaen el caso de aire saturadoes
ps = p0eminusΔHRT (31)
con ΔH la entalpiacutea deevaporizacioacuten del agua R laconstante de gas y T latemperatura en gradosKelvin p0 es la presioacuten en elpunto triple y es igual a365 times 1010Pa
La humedad relativa sedefine como la fraccioacuten depresioacuten de vapor de agua pv
existe en comparacioacuten con elmaacuteximo posible que secalcula con la ecuacioacuten (31)
HR = 100pv
ps(32)
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Condensacioacuten del Agua III
Con la entalpia de 4065 kJmolK se obtiene que la presioacuten devapor de agua en funcioacuten de la temperatura es
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Condensacioacuten del Agua IV
Al ascender el aire baja de la temperatura T1 a T2 logrando lasaturacion de la humedad contenida Si continua ascendiendoy baja a T3 deberaacute continuar reduciendo el agua dado que lacapacidad de soportar humedad continua bajando
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Condensacioacuten del Agua IV
Esta agua liberada forma lasmicrogotas que son visiblescomo nubes y luego las gotasque forman la lluviaSi el aire esta a unatemperatura T y presenta unasaturacioacuten de HR la presioacutende vapor de agua sera igual a
pv =HR
100p0eminusΔHRT (33)
Al bajar la temperatura hastaun valor Ts se alcanzara lasaturacioacuten
En esta situacioacuten sera
pv = p0 eminusΔHRTs (34)
Si se igualan (33) con (34) seobtiene
HR100
eminusΔHRT = eminusΔHRTs
que nos da la temperaturadel punto de rociacuteo
Ts =T
1 minusRTΔH
lnHR
100
(35)
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Formacioacuten de Gotas I
George Stokes(1819-1903)
A medida que el aguacondensa se van formandopequentildeas gotas quecomienzan a caer Cuandolas velocidades son aunpequentildeas las gotas sonfrenadas por la fuerza deStokes
FR = 6a (36)
con la viscosidad del aire ael radio de la gota y lavelocidad de desplazamiento
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Formacioacuten de Gotas II
La gota comienza a caer porefecto de la gravedad y esfrenada por efecto de lafuerza de Stokesaumentando la velocidadhasta que ambas fuerzas soniguales En tal situacioacuten ysiendo w la densidad delagua se tiene
6ad = mg =43a3wg
por lo que la velocidad es
d =2a2g
9(37)
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Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
httpwxmaximasourceforgenetwikiindexphpMain_Page
A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Tipo de Corriente
Si la nube se desplaza esimportante saber que tipo decorriente existiraacute Para ellodebemos estimar el numerode Reynold
Re = sdot R sdot
(28)
donde es la densidad Runa dimensioacuten caracteriacutestica la velocidad y laviscosidad En este caso seobtiene que es una corrienteturbulenta
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Desplazamiento del Aire I
Si la corriente es turbulentaexistiraacute una fuerza deresistencia del tipo
FT =12
CW sdot Sm2c (29)
donde CW es el coeficientede resistencia S la seccioacutende la nube y c su velocidadLa fuerza de sustentacioacuten(27) acelerara la nube hastael punto en que seacompensada por la fuerza deresistencia (29)
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Desplazamiento del Aire II
Despejando con wxmaxima
En dicha situacioacuten ysuponiendo que la seccioacuten novaria con la altura se da que
S sdot h sdot g(m minus ) =12
CW sdot Sm2c
por lo que la velocidad es
c =
radic
2 sdot h sdot g(m minus )
CWm(30)
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Desplazamiento del Aire III
Otros mecanismos que llevana la elevacioacuten de masas deaire son por ejemplo losobstaacuteculos terrestres Si undesplazamiento horizontal seenfrenta a un cerro lasmasas de aire tendraacuten queascender
Otro tipo de obstaacuteculo sonzonas de mayor densidad delaire (por lo general zonas demenor temperatura) Cuandoestas zonas se desplazanelevan masas de aire mascaacutelidas que se puedanencontrar en su camino
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Condensacioacuten del Agua I
Al subir la masa de aire se vadescomprimiendo por lo quese expande Dicha expansioacutenocurre suficientemente raacutepidode modo de que no existemayor intercambio deenergiacutea con el medio Estosignifica un cambioadiabaacutetico y con ello una bajade la temperatura La baja detemperatura conduce a que lahumedad relativa sube hastaalcanzar la saturacioacuten tras lacual se comienzan a formargotas llevando a la formacioacutende nubes y finalmente lluvia
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Condensacioacuten del Agua II
La presioacuten del vapor de aguaen el caso de aire saturadoes
ps = p0eminusΔHRT (31)
con ΔH la entalpiacutea deevaporizacioacuten del agua R laconstante de gas y T latemperatura en gradosKelvin p0 es la presioacuten en elpunto triple y es igual a365 times 1010Pa
La humedad relativa sedefine como la fraccioacuten depresioacuten de vapor de agua pv
existe en comparacioacuten con elmaacuteximo posible que secalcula con la ecuacioacuten (31)
HR = 100pv
ps(32)
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Condensacioacuten del Agua III
Con la entalpia de 4065 kJmolK se obtiene que la presioacuten devapor de agua en funcioacuten de la temperatura es
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Condensacioacuten del Agua IV
Al ascender el aire baja de la temperatura T1 a T2 logrando lasaturacion de la humedad contenida Si continua ascendiendoy baja a T3 deberaacute continuar reduciendo el agua dado que lacapacidad de soportar humedad continua bajando
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Condensacioacuten del Agua IV
Esta agua liberada forma lasmicrogotas que son visiblescomo nubes y luego las gotasque forman la lluviaSi el aire esta a unatemperatura T y presenta unasaturacioacuten de HR la presioacutende vapor de agua sera igual a
pv =HR
100p0eminusΔHRT (33)
Al bajar la temperatura hastaun valor Ts se alcanzara lasaturacioacuten
En esta situacioacuten sera
pv = p0 eminusΔHRTs (34)
Si se igualan (33) con (34) seobtiene
HR100
eminusΔHRT = eminusΔHRTs
que nos da la temperaturadel punto de rociacuteo
Ts =T
1 minusRTΔH
lnHR
100
(35)
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Formacioacuten de Gotas I
George Stokes(1819-1903)
A medida que el aguacondensa se van formandopequentildeas gotas quecomienzan a caer Cuandolas velocidades son aunpequentildeas las gotas sonfrenadas por la fuerza deStokes
FR = 6a (36)
con la viscosidad del aire ael radio de la gota y lavelocidad de desplazamiento
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Formacioacuten de Gotas II
La gota comienza a caer porefecto de la gravedad y esfrenada por efecto de lafuerza de Stokesaumentando la velocidadhasta que ambas fuerzas soniguales En tal situacioacuten ysiendo w la densidad delagua se tiene
6ad = mg =43a3wg
por lo que la velocidad es
d =2a2g
9(37)
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Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
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A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
W Gerber Fiacutesica en las Ciencias Forestales - 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia - Teoriacutea 26102009 50 53
Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
W Gerber Fiacutesica en las Ciencias Forestales - 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia - Teoriacutea 26102009 51 53
Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Desplazamiento del Aire I
Si la corriente es turbulentaexistiraacute una fuerza deresistencia del tipo
FT =12
CW sdot Sm2c (29)
donde CW es el coeficientede resistencia S la seccioacutende la nube y c su velocidadLa fuerza de sustentacioacuten(27) acelerara la nube hastael punto en que seacompensada por la fuerza deresistencia (29)
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Desplazamiento del Aire II
Despejando con wxmaxima
En dicha situacioacuten ysuponiendo que la seccioacuten novaria con la altura se da que
S sdot h sdot g(m minus ) =12
CW sdot Sm2c
por lo que la velocidad es
c =
radic
2 sdot h sdot g(m minus )
CWm(30)
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Desplazamiento del Aire III
Otros mecanismos que llevana la elevacioacuten de masas deaire son por ejemplo losobstaacuteculos terrestres Si undesplazamiento horizontal seenfrenta a un cerro lasmasas de aire tendraacuten queascender
Otro tipo de obstaacuteculo sonzonas de mayor densidad delaire (por lo general zonas demenor temperatura) Cuandoestas zonas se desplazanelevan masas de aire mascaacutelidas que se puedanencontrar en su camino
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Condensacioacuten del Agua I
Al subir la masa de aire se vadescomprimiendo por lo quese expande Dicha expansioacutenocurre suficientemente raacutepidode modo de que no existemayor intercambio deenergiacutea con el medio Estosignifica un cambioadiabaacutetico y con ello una bajade la temperatura La baja detemperatura conduce a que lahumedad relativa sube hastaalcanzar la saturacioacuten tras lacual se comienzan a formargotas llevando a la formacioacutende nubes y finalmente lluvia
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Condensacioacuten del Agua II
La presioacuten del vapor de aguaen el caso de aire saturadoes
ps = p0eminusΔHRT (31)
con ΔH la entalpiacutea deevaporizacioacuten del agua R laconstante de gas y T latemperatura en gradosKelvin p0 es la presioacuten en elpunto triple y es igual a365 times 1010Pa
La humedad relativa sedefine como la fraccioacuten depresioacuten de vapor de agua pv
existe en comparacioacuten con elmaacuteximo posible que secalcula con la ecuacioacuten (31)
HR = 100pv
ps(32)
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Condensacioacuten del Agua III
Con la entalpia de 4065 kJmolK se obtiene que la presioacuten devapor de agua en funcioacuten de la temperatura es
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Condensacioacuten del Agua IV
Al ascender el aire baja de la temperatura T1 a T2 logrando lasaturacion de la humedad contenida Si continua ascendiendoy baja a T3 deberaacute continuar reduciendo el agua dado que lacapacidad de soportar humedad continua bajando
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Condensacioacuten del Agua IV
Esta agua liberada forma lasmicrogotas que son visiblescomo nubes y luego las gotasque forman la lluviaSi el aire esta a unatemperatura T y presenta unasaturacioacuten de HR la presioacutende vapor de agua sera igual a
pv =HR
100p0eminusΔHRT (33)
Al bajar la temperatura hastaun valor Ts se alcanzara lasaturacioacuten
En esta situacioacuten sera
pv = p0 eminusΔHRTs (34)
Si se igualan (33) con (34) seobtiene
HR100
eminusΔHRT = eminusΔHRTs
que nos da la temperaturadel punto de rociacuteo
Ts =T
1 minusRTΔH
lnHR
100
(35)
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Formacioacuten de Gotas I
George Stokes(1819-1903)
A medida que el aguacondensa se van formandopequentildeas gotas quecomienzan a caer Cuandolas velocidades son aunpequentildeas las gotas sonfrenadas por la fuerza deStokes
FR = 6a (36)
con la viscosidad del aire ael radio de la gota y lavelocidad de desplazamiento
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Formacioacuten de Gotas II
La gota comienza a caer porefecto de la gravedad y esfrenada por efecto de lafuerza de Stokesaumentando la velocidadhasta que ambas fuerzas soniguales En tal situacioacuten ysiendo w la densidad delagua se tiene
6ad = mg =43a3wg
por lo que la velocidad es
d =2a2g
9(37)
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Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
httpwxmaximasourceforgenetwikiindexphpMain_Page
A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
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Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Desplazamiento del Aire II
Despejando con wxmaxima
En dicha situacioacuten ysuponiendo que la seccioacuten novaria con la altura se da que
S sdot h sdot g(m minus ) =12
CW sdot Sm2c
por lo que la velocidad es
c =
radic
2 sdot h sdot g(m minus )
CWm(30)
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Desplazamiento del Aire III
Otros mecanismos que llevana la elevacioacuten de masas deaire son por ejemplo losobstaacuteculos terrestres Si undesplazamiento horizontal seenfrenta a un cerro lasmasas de aire tendraacuten queascender
Otro tipo de obstaacuteculo sonzonas de mayor densidad delaire (por lo general zonas demenor temperatura) Cuandoestas zonas se desplazanelevan masas de aire mascaacutelidas que se puedanencontrar en su camino
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Condensacioacuten del Agua I
Al subir la masa de aire se vadescomprimiendo por lo quese expande Dicha expansioacutenocurre suficientemente raacutepidode modo de que no existemayor intercambio deenergiacutea con el medio Estosignifica un cambioadiabaacutetico y con ello una bajade la temperatura La baja detemperatura conduce a que lahumedad relativa sube hastaalcanzar la saturacioacuten tras lacual se comienzan a formargotas llevando a la formacioacutende nubes y finalmente lluvia
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Condensacioacuten del Agua II
La presioacuten del vapor de aguaen el caso de aire saturadoes
ps = p0eminusΔHRT (31)
con ΔH la entalpiacutea deevaporizacioacuten del agua R laconstante de gas y T latemperatura en gradosKelvin p0 es la presioacuten en elpunto triple y es igual a365 times 1010Pa
La humedad relativa sedefine como la fraccioacuten depresioacuten de vapor de agua pv
existe en comparacioacuten con elmaacuteximo posible que secalcula con la ecuacioacuten (31)
HR = 100pv
ps(32)
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Condensacioacuten del Agua III
Con la entalpia de 4065 kJmolK se obtiene que la presioacuten devapor de agua en funcioacuten de la temperatura es
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Condensacioacuten del Agua IV
Al ascender el aire baja de la temperatura T1 a T2 logrando lasaturacion de la humedad contenida Si continua ascendiendoy baja a T3 deberaacute continuar reduciendo el agua dado que lacapacidad de soportar humedad continua bajando
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Condensacioacuten del Agua IV
Esta agua liberada forma lasmicrogotas que son visiblescomo nubes y luego las gotasque forman la lluviaSi el aire esta a unatemperatura T y presenta unasaturacioacuten de HR la presioacutende vapor de agua sera igual a
pv =HR
100p0eminusΔHRT (33)
Al bajar la temperatura hastaun valor Ts se alcanzara lasaturacioacuten
En esta situacioacuten sera
pv = p0 eminusΔHRTs (34)
Si se igualan (33) con (34) seobtiene
HR100
eminusΔHRT = eminusΔHRTs
que nos da la temperaturadel punto de rociacuteo
Ts =T
1 minusRTΔH
lnHR
100
(35)
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Formacioacuten de Gotas I
George Stokes(1819-1903)
A medida que el aguacondensa se van formandopequentildeas gotas quecomienzan a caer Cuandolas velocidades son aunpequentildeas las gotas sonfrenadas por la fuerza deStokes
FR = 6a (36)
con la viscosidad del aire ael radio de la gota y lavelocidad de desplazamiento
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Formacioacuten de Gotas II
La gota comienza a caer porefecto de la gravedad y esfrenada por efecto de lafuerza de Stokesaumentando la velocidadhasta que ambas fuerzas soniguales En tal situacioacuten ysiendo w la densidad delagua se tiene
6ad = mg =43a3wg
por lo que la velocidad es
d =2a2g
9(37)
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Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
httpwxmaximasourceforgenetwikiindexphpMain_Page
A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Desplazamiento del Aire III
Otros mecanismos que llevana la elevacioacuten de masas deaire son por ejemplo losobstaacuteculos terrestres Si undesplazamiento horizontal seenfrenta a un cerro lasmasas de aire tendraacuten queascender
Otro tipo de obstaacuteculo sonzonas de mayor densidad delaire (por lo general zonas demenor temperatura) Cuandoestas zonas se desplazanelevan masas de aire mascaacutelidas que se puedanencontrar en su camino
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Condensacioacuten del Agua I
Al subir la masa de aire se vadescomprimiendo por lo quese expande Dicha expansioacutenocurre suficientemente raacutepidode modo de que no existemayor intercambio deenergiacutea con el medio Estosignifica un cambioadiabaacutetico y con ello una bajade la temperatura La baja detemperatura conduce a que lahumedad relativa sube hastaalcanzar la saturacioacuten tras lacual se comienzan a formargotas llevando a la formacioacutende nubes y finalmente lluvia
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Condensacioacuten del Agua II
La presioacuten del vapor de aguaen el caso de aire saturadoes
ps = p0eminusΔHRT (31)
con ΔH la entalpiacutea deevaporizacioacuten del agua R laconstante de gas y T latemperatura en gradosKelvin p0 es la presioacuten en elpunto triple y es igual a365 times 1010Pa
La humedad relativa sedefine como la fraccioacuten depresioacuten de vapor de agua pv
existe en comparacioacuten con elmaacuteximo posible que secalcula con la ecuacioacuten (31)
HR = 100pv
ps(32)
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Condensacioacuten del Agua III
Con la entalpia de 4065 kJmolK se obtiene que la presioacuten devapor de agua en funcioacuten de la temperatura es
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Condensacioacuten del Agua IV
Al ascender el aire baja de la temperatura T1 a T2 logrando lasaturacion de la humedad contenida Si continua ascendiendoy baja a T3 deberaacute continuar reduciendo el agua dado que lacapacidad de soportar humedad continua bajando
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Condensacioacuten del Agua IV
Esta agua liberada forma lasmicrogotas que son visiblescomo nubes y luego las gotasque forman la lluviaSi el aire esta a unatemperatura T y presenta unasaturacioacuten de HR la presioacutende vapor de agua sera igual a
pv =HR
100p0eminusΔHRT (33)
Al bajar la temperatura hastaun valor Ts se alcanzara lasaturacioacuten
En esta situacioacuten sera
pv = p0 eminusΔHRTs (34)
Si se igualan (33) con (34) seobtiene
HR100
eminusΔHRT = eminusΔHRTs
que nos da la temperaturadel punto de rociacuteo
Ts =T
1 minusRTΔH
lnHR
100
(35)
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Formacioacuten de Gotas I
George Stokes(1819-1903)
A medida que el aguacondensa se van formandopequentildeas gotas quecomienzan a caer Cuandolas velocidades son aunpequentildeas las gotas sonfrenadas por la fuerza deStokes
FR = 6a (36)
con la viscosidad del aire ael radio de la gota y lavelocidad de desplazamiento
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Formacioacuten de Gotas II
La gota comienza a caer porefecto de la gravedad y esfrenada por efecto de lafuerza de Stokesaumentando la velocidadhasta que ambas fuerzas soniguales En tal situacioacuten ysiendo w la densidad delagua se tiene
6ad = mg =43a3wg
por lo que la velocidad es
d =2a2g
9(37)
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Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
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A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Condensacioacuten del Agua I
Al subir la masa de aire se vadescomprimiendo por lo quese expande Dicha expansioacutenocurre suficientemente raacutepidode modo de que no existemayor intercambio deenergiacutea con el medio Estosignifica un cambioadiabaacutetico y con ello una bajade la temperatura La baja detemperatura conduce a que lahumedad relativa sube hastaalcanzar la saturacioacuten tras lacual se comienzan a formargotas llevando a la formacioacutende nubes y finalmente lluvia
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Condensacioacuten del Agua II
La presioacuten del vapor de aguaen el caso de aire saturadoes
ps = p0eminusΔHRT (31)
con ΔH la entalpiacutea deevaporizacioacuten del agua R laconstante de gas y T latemperatura en gradosKelvin p0 es la presioacuten en elpunto triple y es igual a365 times 1010Pa
La humedad relativa sedefine como la fraccioacuten depresioacuten de vapor de agua pv
existe en comparacioacuten con elmaacuteximo posible que secalcula con la ecuacioacuten (31)
HR = 100pv
ps(32)
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Condensacioacuten del Agua III
Con la entalpia de 4065 kJmolK se obtiene que la presioacuten devapor de agua en funcioacuten de la temperatura es
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Condensacioacuten del Agua IV
Al ascender el aire baja de la temperatura T1 a T2 logrando lasaturacion de la humedad contenida Si continua ascendiendoy baja a T3 deberaacute continuar reduciendo el agua dado que lacapacidad de soportar humedad continua bajando
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Condensacioacuten del Agua IV
Esta agua liberada forma lasmicrogotas que son visiblescomo nubes y luego las gotasque forman la lluviaSi el aire esta a unatemperatura T y presenta unasaturacioacuten de HR la presioacutende vapor de agua sera igual a
pv =HR
100p0eminusΔHRT (33)
Al bajar la temperatura hastaun valor Ts se alcanzara lasaturacioacuten
En esta situacioacuten sera
pv = p0 eminusΔHRTs (34)
Si se igualan (33) con (34) seobtiene
HR100
eminusΔHRT = eminusΔHRTs
que nos da la temperaturadel punto de rociacuteo
Ts =T
1 minusRTΔH
lnHR
100
(35)
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Formacioacuten de Gotas I
George Stokes(1819-1903)
A medida que el aguacondensa se van formandopequentildeas gotas quecomienzan a caer Cuandolas velocidades son aunpequentildeas las gotas sonfrenadas por la fuerza deStokes
FR = 6a (36)
con la viscosidad del aire ael radio de la gota y lavelocidad de desplazamiento
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Formacioacuten de Gotas II
La gota comienza a caer porefecto de la gravedad y esfrenada por efecto de lafuerza de Stokesaumentando la velocidadhasta que ambas fuerzas soniguales En tal situacioacuten ysiendo w la densidad delagua se tiene
6ad = mg =43a3wg
por lo que la velocidad es
d =2a2g
9(37)
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Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
httpwxmaximasourceforgenetwikiindexphpMain_Page
A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
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Bibliografia II
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A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
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Contacto
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Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
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- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
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- Cambio Adiabatico
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- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
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- Lluvia
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- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Condensacioacuten del Agua II
La presioacuten del vapor de aguaen el caso de aire saturadoes
ps = p0eminusΔHRT (31)
con ΔH la entalpiacutea deevaporizacioacuten del agua R laconstante de gas y T latemperatura en gradosKelvin p0 es la presioacuten en elpunto triple y es igual a365 times 1010Pa
La humedad relativa sedefine como la fraccioacuten depresioacuten de vapor de agua pv
existe en comparacioacuten con elmaacuteximo posible que secalcula con la ecuacioacuten (31)
HR = 100pv
ps(32)
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Condensacioacuten del Agua III
Con la entalpia de 4065 kJmolK se obtiene que la presioacuten devapor de agua en funcioacuten de la temperatura es
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Condensacioacuten del Agua IV
Al ascender el aire baja de la temperatura T1 a T2 logrando lasaturacion de la humedad contenida Si continua ascendiendoy baja a T3 deberaacute continuar reduciendo el agua dado que lacapacidad de soportar humedad continua bajando
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Condensacioacuten del Agua IV
Esta agua liberada forma lasmicrogotas que son visiblescomo nubes y luego las gotasque forman la lluviaSi el aire esta a unatemperatura T y presenta unasaturacioacuten de HR la presioacutende vapor de agua sera igual a
pv =HR
100p0eminusΔHRT (33)
Al bajar la temperatura hastaun valor Ts se alcanzara lasaturacioacuten
En esta situacioacuten sera
pv = p0 eminusΔHRTs (34)
Si se igualan (33) con (34) seobtiene
HR100
eminusΔHRT = eminusΔHRTs
que nos da la temperaturadel punto de rociacuteo
Ts =T
1 minusRTΔH
lnHR
100
(35)
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Formacioacuten de Gotas I
George Stokes(1819-1903)
A medida que el aguacondensa se van formandopequentildeas gotas quecomienzan a caer Cuandolas velocidades son aunpequentildeas las gotas sonfrenadas por la fuerza deStokes
FR = 6a (36)
con la viscosidad del aire ael radio de la gota y lavelocidad de desplazamiento
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Formacioacuten de Gotas II
La gota comienza a caer porefecto de la gravedad y esfrenada por efecto de lafuerza de Stokesaumentando la velocidadhasta que ambas fuerzas soniguales En tal situacioacuten ysiendo w la densidad delagua se tiene
6ad = mg =43a3wg
por lo que la velocidad es
d =2a2g
9(37)
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Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
httpwxmaximasourceforgenetwikiindexphpMain_Page
A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Condensacioacuten del Agua III
Con la entalpia de 4065 kJmolK se obtiene que la presioacuten devapor de agua en funcioacuten de la temperatura es
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Condensacioacuten del Agua IV
Al ascender el aire baja de la temperatura T1 a T2 logrando lasaturacion de la humedad contenida Si continua ascendiendoy baja a T3 deberaacute continuar reduciendo el agua dado que lacapacidad de soportar humedad continua bajando
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Condensacioacuten del Agua IV
Esta agua liberada forma lasmicrogotas que son visiblescomo nubes y luego las gotasque forman la lluviaSi el aire esta a unatemperatura T y presenta unasaturacioacuten de HR la presioacutende vapor de agua sera igual a
pv =HR
100p0eminusΔHRT (33)
Al bajar la temperatura hastaun valor Ts se alcanzara lasaturacioacuten
En esta situacioacuten sera
pv = p0 eminusΔHRTs (34)
Si se igualan (33) con (34) seobtiene
HR100
eminusΔHRT = eminusΔHRTs
que nos da la temperaturadel punto de rociacuteo
Ts =T
1 minusRTΔH
lnHR
100
(35)
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Formacioacuten de Gotas I
George Stokes(1819-1903)
A medida que el aguacondensa se van formandopequentildeas gotas quecomienzan a caer Cuandolas velocidades son aunpequentildeas las gotas sonfrenadas por la fuerza deStokes
FR = 6a (36)
con la viscosidad del aire ael radio de la gota y lavelocidad de desplazamiento
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Formacioacuten de Gotas II
La gota comienza a caer porefecto de la gravedad y esfrenada por efecto de lafuerza de Stokesaumentando la velocidadhasta que ambas fuerzas soniguales En tal situacioacuten ysiendo w la densidad delagua se tiene
6ad = mg =43a3wg
por lo que la velocidad es
d =2a2g
9(37)
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Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
httpwxmaximasourceforgenetwikiindexphpMain_Page
A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Condensacioacuten del Agua IV
Al ascender el aire baja de la temperatura T1 a T2 logrando lasaturacion de la humedad contenida Si continua ascendiendoy baja a T3 deberaacute continuar reduciendo el agua dado que lacapacidad de soportar humedad continua bajando
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Condensacioacuten del Agua IV
Esta agua liberada forma lasmicrogotas que son visiblescomo nubes y luego las gotasque forman la lluviaSi el aire esta a unatemperatura T y presenta unasaturacioacuten de HR la presioacutende vapor de agua sera igual a
pv =HR
100p0eminusΔHRT (33)
Al bajar la temperatura hastaun valor Ts se alcanzara lasaturacioacuten
En esta situacioacuten sera
pv = p0 eminusΔHRTs (34)
Si se igualan (33) con (34) seobtiene
HR100
eminusΔHRT = eminusΔHRTs
que nos da la temperaturadel punto de rociacuteo
Ts =T
1 minusRTΔH
lnHR
100
(35)
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Formacioacuten de Gotas I
George Stokes(1819-1903)
A medida que el aguacondensa se van formandopequentildeas gotas quecomienzan a caer Cuandolas velocidades son aunpequentildeas las gotas sonfrenadas por la fuerza deStokes
FR = 6a (36)
con la viscosidad del aire ael radio de la gota y lavelocidad de desplazamiento
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Formacioacuten de Gotas II
La gota comienza a caer porefecto de la gravedad y esfrenada por efecto de lafuerza de Stokesaumentando la velocidadhasta que ambas fuerzas soniguales En tal situacioacuten ysiendo w la densidad delagua se tiene
6ad = mg =43a3wg
por lo que la velocidad es
d =2a2g
9(37)
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Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
httpwxmaximasourceforgenetwikiindexphpMain_Page
A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Condensacioacuten del Agua IV
Esta agua liberada forma lasmicrogotas que son visiblescomo nubes y luego las gotasque forman la lluviaSi el aire esta a unatemperatura T y presenta unasaturacioacuten de HR la presioacutende vapor de agua sera igual a
pv =HR
100p0eminusΔHRT (33)
Al bajar la temperatura hastaun valor Ts se alcanzara lasaturacioacuten
En esta situacioacuten sera
pv = p0 eminusΔHRTs (34)
Si se igualan (33) con (34) seobtiene
HR100
eminusΔHRT = eminusΔHRTs
que nos da la temperaturadel punto de rociacuteo
Ts =T
1 minusRTΔH
lnHR
100
(35)
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Formacioacuten de Gotas I
George Stokes(1819-1903)
A medida que el aguacondensa se van formandopequentildeas gotas quecomienzan a caer Cuandolas velocidades son aunpequentildeas las gotas sonfrenadas por la fuerza deStokes
FR = 6a (36)
con la viscosidad del aire ael radio de la gota y lavelocidad de desplazamiento
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Formacioacuten de Gotas II
La gota comienza a caer porefecto de la gravedad y esfrenada por efecto de lafuerza de Stokesaumentando la velocidadhasta que ambas fuerzas soniguales En tal situacioacuten ysiendo w la densidad delagua se tiene
6ad = mg =43a3wg
por lo que la velocidad es
d =2a2g
9(37)
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Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
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A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
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Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
W Gerber Fiacutesica en las Ciencias Forestales - 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia - Teoriacutea 26102009 50 53
Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
W Gerber Fiacutesica en las Ciencias Forestales - 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia - Teoriacutea 26102009 51 53
Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Formacioacuten de Gotas I
George Stokes(1819-1903)
A medida que el aguacondensa se van formandopequentildeas gotas quecomienzan a caer Cuandolas velocidades son aunpequentildeas las gotas sonfrenadas por la fuerza deStokes
FR = 6a (36)
con la viscosidad del aire ael radio de la gota y lavelocidad de desplazamiento
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Formacioacuten de Gotas II
La gota comienza a caer porefecto de la gravedad y esfrenada por efecto de lafuerza de Stokesaumentando la velocidadhasta que ambas fuerzas soniguales En tal situacioacuten ysiendo w la densidad delagua se tiene
6ad = mg =43a3wg
por lo que la velocidad es
d =2a2g
9(37)
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Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
httpwxmaximasourceforgenetwikiindexphpMain_Page
A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Formacioacuten de Gotas II
La gota comienza a caer porefecto de la gravedad y esfrenada por efecto de lafuerza de Stokesaumentando la velocidadhasta que ambas fuerzas soniguales En tal situacioacuten ysiendo w la densidad delagua se tiene
6ad = mg =43a3wg
por lo que la velocidad es
d =2a2g
9(37)
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Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
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A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Formacioacuten de Gotas III
La velocidad de caiacuteda de lagota se calcula de lavelocidad (37) restando lavelocidad de la corrienteascendente
r = d minus c (38)
Para una gota de radio05 mm densidad 1 gcm3 enaire con viscosidad de18 times 10minus5Pas y densidad127 kgm3 la velocidad decaiacuteda es de 302 ms
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Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
httpwxmaximasourceforgenetwikiindexphpMain_Page
A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
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Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
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Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Formacioacuten de Gotas IV
Al mismo tiempo se dejacalcular el numero deReynold dando 1065 lo quesignifica que la caiacuteda ocurreen el limite laminar
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Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
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A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Lluvia I
Para calcular la cantidad delluvia que cae debemosestimar el volumen de aguaque se condensa Para ellose calcula la cantidad demoles de agua que existeninicialmente suspendidosEsto se logra con la ecuacioacutende la presioacuten del vapor deagua (31) y el nivel desaturable (32)
pv =HR
100p0eminusΔHRT
Luego se calcula el numerode moles por Volumenempleando la ecuacioacuten de losgases (3) despejando elnumero de moles porvolumen
ni
V=
pRT
(39)
Enseguida se calculan de lamisma forma los moles queaun quedan suspendidos enla atmoacutesfera nf V
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
(40)
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Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
httpwxmaximasourceforgenetwikiindexphpMain_Page
A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia III
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Contacto
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- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
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- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
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-
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-
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- Uso de wxmaxima
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Lluvia II
La diferencia ni minus nf nospermite calcular los moles deagua que condensaron Siconsideramos un volumen debase S y altura h estos seraun total de
N = S sdot hni minus nf
V
o
N = S sdot h
(
pi
RTiminus
pf
RTf
)
Si recogemos el agua en unabandeja de base S
esta se llenara a una altura Δtal que corresponda alvolumen de los N moles Si lamasa molar es m ladensidad del agua y V elvolumen del agua se debedar que
Nm = V = SΔ
por lo que el agua caiacuteda sera
Δ =m sdot h
(
pi
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pf
RTf
)
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Anexos
Variaciones y Diferenciales Uso de wxmaxima Unidades Conversiones Bibliografia Contacto
W Gerber Fiacutesica en las Ciencias Forestales - 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia - Teoriacutea 26102009 36 53
Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
httpwxmaximasourceforgenetwikiindexphpMain_Page
A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
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- Anexos
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- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
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Variaciones y Diferenciales I
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Las variaciones diferencialesse caracterizan porque ladiferencia dx solo depende delvalor inicial x1 y el valor final x2
y no la forma en que se vario lavariable x En estos casos
dx = x2 minus x1 (41)
Cuando la diferencia dependede la forma como se logro lavariacioacuten se denota la variacioacutencon la letra delta
x ∕= dx (42)
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
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A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
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Bibliografia II
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
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- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
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- Tipo de Corriente
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- Anexos
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- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
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Variaciones y Diferenciales II
x
x
x1
x2
dx = x2 minus x1
bc
bc
Un ejemplo tiacutepico es cuandoexiste una funcioacuten f de unavariable z seguacuten la cual
x = f (z)dz (43)
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Uso de wxmaxima I
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A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Uso de wxmaxima I
Maxima es un Software gratuito que realiza operacionesalgebraicas (despejar desarrollar factorizar) realizaroperaciones de derivacioacuten integracioacuten solucioacuten de ecuacionesdiferenciales ademas de representacioacuten graacuteficas de funcionesy valores Se puede bajar desde
httpwxmaximasourceforgenetwikiindexphpMain_Page
A continuacioacuten se presenta un resumen de las principalesoperaciones que se pueden hacer
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Uso de wxmaxima II
Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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Uso de wxmaxima III
Evaluaciones de expresiones Si se ingresa
y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
x 6
y se solicita evaluarev(o1)
el sistema entrega el valor que es 7 (o1 representa la lineaen que se definioacute la ecuacioacuten)
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Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
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Conversiones I
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1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
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Operaciones algebraicas Si se ingresa
y = (a lowast x + c)(b lowast x + d)
y se solicita despejar con
solve([] [x])
el sistema retorna la solucioacuten como
x = minus(d lowast y minus c)(b lowast y minus a)
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y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
c minus5
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y se solicita evaluarev(o1)
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Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
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Conversiones I
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1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
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1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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- Contacto
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y = a lowast x + c
y se definen los valoresa 2
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y se solicita evaluarev(o1)
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(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro
Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
W Gerber Fiacutesica en las Ciencias Forestales - 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia - Teoriacutea 26102009 50 53
Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Uso de wxmaxima IV
Para derivar (sacar la pendiente) se escribe primero laecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutendiff ( x 1)
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable en que sederiva (x) y el orden de la derivada (1) El sistema retorna lasolucioacuten como
a(b lowast x + d)
minus(b lowast (a lowast x + c))(b lowast x + d)2
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Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
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t3
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
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Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
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- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
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- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
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- Lluvia
-
- Anexos
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- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
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- Contacto
-
Uso de wxmaxima V
Para integrar (obtener el aacuterea debajo de la curva) se escribeprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacutenintegrate( x)
en donde se indica la ecuacioacuten () y la variable en que seintegra (x) El sistema retorna la solucioacuten como
minus((a lowast d minus b lowast c) lowast log(b lowast x + d))
b2 +(a lowast x)
b+ c1
con c1 la constante de integracioacuten Se puede tambieacutenintegrar entre dos valores definidos
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
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- Anexos
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- Conversiones
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- Contacto
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Uso de wxmaxima VI
Para resolver una ecuacioacuten diferencial primero se escribe laecuacioacuten
primediff (y x 2) minus b lowastprime diff (y x 1) + c lowast y = 0
luego la instruccioacutenode2( y x)
en donde se indica la ecuacioacuten () la funcioacuten a integrar (y) yla variable (x) El sistema retorna la solucioacuten como
y = e((b lowast x)2) lowast (k1 lowast sin((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2)
+k2 lowast cos((sqrt(4 lowast c minus b2) lowast x)2))
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Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
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Unidades
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Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
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1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
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Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
W Gerber Fiacutesica en las Ciencias Forestales - 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia - Teoriacutea 26102009 51 53
Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
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Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
-
- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
-
- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
-
- Nubes y Lluvia
-
- Sustentacioacuten e Inestabilidad
- Tipo de Corriente
- Desplazamiento del Aire
- Condensacioacuten del Agua
- Formacioacuten de Gotas
- Lluvia
-
- Anexos
-
- Variaciones y Diferenciales
- Uso de wxmaxima
- Unidades
- Conversiones
- Bibliografia
- Contacto
-
Uso de wxmaxima VII
Para representar una funcioacuten en forma graacutefica se ingresaprimero la ecuacioacuten
(a lowast x + c)(b lowast x + d)
luego la instruccioacuten
plot2d( [x 0 2] [xlabel rdquoxrdquo] [ylabel rdquoyrdquo])
en donde se indica la ecuacioacuten () la variable (x) y su rango([0 2]) y las leyendas de los ejes Si se antecede la palabra plotcon wx la graacutefica es presentada dentro de la misma ventanade lo contrario se abre una ventana aparte
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Uso de wxmaxima VIII
Para obtener una serie de Taylor se ingresa la ecuacion
sqrt(1 minus t)
luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
1 minust2minus
t2
8minus
t3
16+
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Unidades
Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus
Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2
L3 Volumen m3 cm3
ML3 Densidad kgm3 gcm3
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Conversiones I
1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3
1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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Conversiones II
1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Bibliografia I
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Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
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Bibliografia II
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luego la instruccioacutentaylor( t 0 3)
en que primero se indica para que ecuacioacuten () luego en quevariable (t) el valor alrededor del que se expande (0) y el orden(3) Luego el sistema indica la serie
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1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3
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1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
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Conversiones II
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1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha
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1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr
1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s
1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s
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Conversiones I
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1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3
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Bibliografia I
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Climate The Force That Shapes Our World and the Futureof Life on Earth Jennifer Hoffman George Ochoa TinaTin Rodale Press 2005 ISBN-13 9781594862885rarr Leer en Google Books
Climate Change Science Strategies and Solutions EileenClaussen (Editor) Pew Center on Global Cli Vicki Cochran(Editor) Debra P Davis (Editor) Vicki Arroyo Cochran BrillAcademic 2001 ISBN-13 9789004120242rarr Leer en Google Books
W Gerber Fiacutesica en las Ciencias Forestales - 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia - Teoriacutea 26102009 50 53
Bibliografia II
Understanding Climate Change Feedbacks Panel onClimate Change Feedbacks National Research CouncilClimate Research Committee National Academies Press2003 ISBN-13 9780309090728rarr Leer en Google Books
The sun solar analogs and the climate Joanna D HaighMichael Lockwood Mark S Giampapa Springer-VerlagNew York LLC 2005 ISBN-13 9783540238560rarr Leer en Google Books
A climate modelling primer K McGuffie AHenderson-Sellers Wiley John Sons LLC 2005ISBN-13 9780470857519rarr Leer en Google Books
W Gerber Fiacutesica en las Ciencias Forestales - 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia - Teoriacutea 26102009 51 53
Bibliografia III
Stochastic climate models Peter Imkeller Jin-Song VonStorch Birkhauser Verlag 2001 ISBN-13 9783764365202rarr Leer en Google Books
Climate Change 2007 The Physical Science Basis IPCCFourth Assessment Report (AR4) IPCCrarr Leer en la Web
W Gerber Fiacutesica en las Ciencias Forestales - 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia - Teoriacutea 26102009 52 53
Contacto
Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet
Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125
Set del Cursohttpwwwgphysicsnetphysics-in-forestry-uach
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- 32 Formacioacuten de Nubes y Lluvia
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- Termodinaacutemica de la Atmoacutesfera
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- Presioacuten en la Atmoacutesfera
- Trabajo sobre Gases
- Energiacutea Calorica de Gases
- Primera Ley Termodinaacutemica
- Cambio Adiabatico
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