Trabajo_Prßctico_N¦_1_-_2013

Facultad de Ciencias Exactas, Qumicas y Naturales. Ctedra: Anlisis II

Ingeniera Qumica, Ingeniera en Alimentos, Licenciatura en Anlisis Qumicos y Bromatolgicos

1

Trabajo Prctico N 1

1. Realiza un bosquejo de las grficas de las siguientes funciones utilizando conjuntos de nivel.

)a ( ) 2216, yxyxf = )b ( ) 223, yxyxf = )c ( ) yxyxf 26, =

)d ( ) 223, yxyxf += )e ( ) ( ) 2122, yxyxf += 2. La figura I muestra un mapa de isotermas para Estados Unidos en un determinado momento

del ao.

)a Cul de las ciudades San Francisco, Denver o Nueva York tena aproximadamente la

misma temperatura que St. Louis?

)b Si estuvieras en Kansas City y quisieras viajar hacia un clima fro lo ms rpido posible,

en qu direccin viajaras?

)c Si salieras de Kansas City, en qu direcciones podra partir para estar aproximadamente

a la misma temperatura?

3. Describe las superficies en R3 de las siguientes ecuaciones.

)a 1622 =+ yx )b 122 += yz )c 9222 =++ zyx

)d 422 =+ zy )e 19129

222

=++zyx

)f 2xz =

4. Los siguientes conjuntos, son abiertos o cerrados?

)a ( ){ }11,11/,



2

5. Calcula, si existen, los lmites siguientes.

)a ( ) ( )( )yxyx + 2,1, lim )b ( ) ( ) 52

lim2

2,1,

+ x

yx

yx )c ( ) ( ) yx

yx

yx 2

73lim

1,2, +

)d ( ) ( ) yxyx

yx 62

3lim

0,0, +

)e ( ) ( )

( )22

2

00 yx

yxlim

,y,x +

)f ( ) ( ) 220,0,

1coslim

yx

xy

yx

6. Determina si son continuas las siguientes funciones en el origen. Justifica tu respuesta.

)a( ) ( )( ) ( )

=

+

=

0,0,0

0,0,22

22

yx

yxyx

yx

z )b

=+

++

=

01

0

yx

yxyx

yx

z

)c( ) ( )( ) ( )

=

+=

0,0,0

0,0,3

yx

yxyxz )d

( ) ( )( ) ( )

=

+=

0,0,3

0,0,3

yx

yxyxz

7. Calcula todas las derivadas parciales de primer orden del campo escalar dado.

)a ( ) ( )xysenyxyxf 22, += )b ( ) ( ) ( )0,0,,,22

+

= yxyx

xyxf

)c ( ) ( ) ( ) ( )0,0,,ln, 22 += yxyxyxf )d ( ) ( ) 0,cos1, 2 = yxy

yxf

)e ( ) yxeyxf = 3, )f ( ) ( )yxeyxf xy = ln, 0 yx 8. Halla las pendientes de las rectas tangentes a las curvas interseccin de la superficie

443 22 += yxz con los planos que pasan por el punto ( )3,1,10 =P y son paralelos a los planos xz, yz.

9. El volumen V de un cilindro circular recto est dado por hrV2 pi= , donde r es el radio y h

es la altura. Si h se mantiene fijo en 425,h = cm, determina la razn de cambio de V con

respecto a r cuando 215.r = cm.

10. Una abeja volaba hacia arriba a lo largo de la curva dada como la interseccin de

1234 ++= xyxz con el plano 1=x . En ( )521 ,, sali por la recta tangente. En dnde toc la abeja al plano xz?



3

11. Demuestra que cada una de las funciones siguientes es diferenciable en cada punto de su

dominio de definicin.

)a ( )22 yx

xyy,xf

+= )b ( ) yx

y

xy,xf += )c ( ) ( )222

2,

yx

xyyxf

+=

12. Explica por qu la funcin es diferenciable en el punto que se expresa, luego encuentra la

linealizacin ( )yxL , de la funcin en ese punto. )a ( ) yxyxf =, , ( )4,1 )b ( ) xyxeyxf =, , ( )0,1

)c ( ) ( )yxyxf 3ln, = , ( )2,7 13. Calcula la matriz de derivadas parciales de las funciones siguientes:

)a f : 22 RR , ( ) ( )y,xy,xf = )b f : 32 RR , ( ) ( )yy ex,x,ycosxey,xf ++= )c f : 22 RR , ( ) ( )xyseneyxf x ,, = )d ,: 23 RRf ( ) ( )2,,, yxyexzyxf z ++=

14. Una funcin diferenciable ( )y,xf tiene la propiedad de que ( ) ( ) .,y

f,

x

f114y 214 =

=

Encuentra la ecuacin de la recta tangente a la curva de nivel de f que pasa por el punto

( )14, . 15. La longitud y el ancho de un rectngulo son 30 cm y 24 cm, respectivamente, con un error

en la medicin a lo sumo de 0,1cm en cada dimensin. Utiliza diferenciales para estimar el

error mximo en el rea calculada del rectngulo.

16. La densidad S de un objeto puede determinarse por la frmula

yx

xS

=

Donde x es el peso del objeto en el aire e y es el peso del objeto cuando est sumergido en

agua. Suponiendo que los errores de las medidas son el 0,5% en x y 2% en y, estima el

mximo error en la determinacin de S, si 100=x y 80=y .

17. Supngase que la temperatura en el punto ( )z,y,x del espacio es ( ) 222 zyxz,y,xT ++= .Una partcula sigue la hlice circular ( ) ( )t,t sen,tcost = y sea ( )tT

su temperatura en el instante t.

)a Calcula ( )tT . )b Halla el valor aproximado de la temperatura en el instante ( ) 0102 .t += pi .



4

18. La parte de un rbol que por lo general se corta para madera es el tronco, un slido con

forma aproximada de un cilindro circular recto. Si el radio del tronco de cierto rbol crece

aocm27,1 y la altura aumenta aocm 32.20 , Qu tan rpido aumenta el volumen

cuando el radio es de cm 8,50 y la altura es de cm 1016 ? Expresa tu respuesta en aocm3

.

19. Supongamos que un pato nada sobre la circunferencia tcosx = , t seny = , y que la

temperatura del agua la da la frmula 32 xyexT y = . Halla dtdT , el cambio de la

temperatura por unidad de tiempo que el pato notara:

a) Por medio de la regla de la cadena.

b) Expresando T en funcin de t y derivando.

20. Si ( ) 22169, yxyxf = , encuentra la direccin en el punto ( )4,3 para la cual la derivada direccional de f tiene valor nulo.

21. Sea ( ) ( ) ztgyxzyxf 2,, = , calcula la derivada direccional de f en ( )3

,1,1 pi en la

direccin de la recta definida por ( )2,1,4 =A y ( )1,1,1 =B . 22. Una funcin ( )yxfz ,= tiene en el punto ( )2,10 =P derivada direccional igual a 2 en la direccin y sentido hacia el punto ( )2,21 =P y derivada direccional igual a 2 en la direccin y sentido hacia el punto ( )1,12 =P . Halla el vector gradiente de la funcin en el punto

0P y la derivada direccional en la

direccin y sentido hacia el punto ( )6,43 =P . 23. Un insecto se encuentra sobre el punto ( )4,1 de una placa trmica cuya temperatura se rige por ( ) xyxeyxT =, medida en C. Agobiado por el calor decide huir en direccin del fro lo ms rpidamente posible. en que direccin y sentido le conviene dirigirse?

24. La elevacin de una montaa sobre el nivel del mar en ( )yx, es ( ) 1002 223000 yxez += metros. El eje x positivo apunta hacia el este y el eje y positivo apunta hacia el norte. Una

montaista est directamente sobre ( )10,10 . Si la montaista se mueve hacia el norte, ascender o descender y con qu pendiente?

25. La altitud h del volcn Mauna Loa en Hawai se describe (aproximadamente) por la funcin

( ) 22 000650000240592 x,y,,y,xh = , donde h es la altitud en millas sobre el nivel del mar, y x e y miden las distancias en millas este-oeste y norte-sur desde la cima de la

montaa. En ( ) ( )4,2, =yx :



5

)a A qu velocidad crece la altitud en la direccin ( )11 , (es decir, en la direccin nordeste)? Expresar la respuesta en millas de altitud por milla horizontal recorrida.

)b En qu direccin se encuentra el camino de mxima pendiente positiva?

26. Supongamos que una montaa tiene forma de un paraboloide elptico 22 byaxcz = ,

donde a, b y c son constantes positivas, x, y son las coordenadas este-oeste y norte-sur, y z es

la altitud sobre el nivel del mar, medida en metros. En el punto (1,1), en qu direccin est

aumentando ms rpidamente la altitud? Si se suelta una pelota en (1,1), en qu direccin

comenzar a rodar?

27. Un ingeniero desea construir un ferrocarril que suba la montaa del ejercicio 26. Subir

directamente la montaa es demasiado empinado para la fuerza de las mquinas. En el punto

(1,1), en qu direcciones se puede colocar la va de modo que suba un 3%, esto es, un

ngulo cuya tangente sea 0,03? (Hay dos posibilidades). Hacer un esbozo de la situacin

indicando las dos direcciones posibles para una inclinacin de 3% en (1,1).

28. El Capitn Ralph tiene dificultades cerca del lado soleado de Mercurio. La temperatura del

casco de la nave, cuando est en la posicin ( )z,y,x estar dada por ( ) 222 32 zyxez,y,xT = , donde x, y y z estn medidas en metros. Actualmente est en ( )111 , ,

)a En qu direccin deber avanzar para disminuir ms rpidamente la temperatura?

)b Si la nave viaja a 8e m/seg., con qu rapidez decrecer la temperatura si avanza en esa

direccin?

)c Desafortunadamente, el metal del casco se cuartear si se enfra a una tasa mayor que

214e grados por segundo. Describa el conjunto de las direcciones posibles en las que

puede avanzar para hacer que descienda la temperatura a una tasa no mayor que esa.

Facultad de Ciencias Exactas, Qumicas y Naturales. Ingeniera Qumica, Ingeniera en Alimentos.

Ctedra: Anlisis II

6

Trabajo_Prßctico_N¦_1_-_2013

Documents

Transcript of Trabajo_Prßctico_N¦_1_-_2013