Bachillerato en Artes y Humanidades

TRABAJO FINAL

Luis Bernardo Olvera M. 1a

11/12/10

Profesor: Víctor Manuel Morales

INDICE

Operaciones Algebraicas

(Suma, Resta, Multiplicación)

División Algebraica

Productos Notables

Factorización

Fracciones Algebraicas

Ecuaciones Algebraicas

(Lineales y Cuadráticas)

Objetivo

El objetivo de este trabajo es dar una repasado a todo lo visto en

clase, de tal manera, que al ir construyéndolo, se nos quede de

forma aun mayor, grabada toda la información acerca del tema,

proporcionándonos una mayor eficacia respecto al memorizaje y

habilidad con estos tipos de problemas.

También para tener desde temprana edad, una vistazo de cómo

hacer presentaciones y trabajos que necesiten de tal presentación,

ya llevar un conocimiento previo.

Y el que cada alumno encuentre algo que le sirva de apoyo para un

buen entendimiento de la materia.

Bachillerato David Alfaro Siqueiros

Algebra

Luis Bernardo Olvera M.

1 parcial

Victor M. Morales

Definir el concepto de:

Algebra - Es la rama de las matematicas que estudia las operaciones m

ediante expresiones compuestas de constantes (números) y variables (letras).

Términos algebraicos - Un término algebraico esta formado por un número y

letras. Empieza con su signo y termina antes del signo del término siguiente.

Expresión algebraica - Una expresión algebraica es una combinación de

letras, números y signos de operaciones.

Exponente - El exponente de un número nos dice cuántas veces se usa el

número en una multiplicación.

Grado - El grado de una ecuación corresponde a la máxima potencia a la que

está elevada la incógnita algebraica de la ecuación. (Ecuación de 4°grado,

5°grado, 6°grado, etc.)

SUMA

Polinomio cúbico

Trinomio cuadrático

Trinomio lineal

Trinomio cuadrático

RESTA

Ejemplifica una aplicación de la resta algebraica

Un cartón de 10 por 20 debe formar una caja quitándole sus esquinas.

¿Cuánto mide el perímetro de la caja?

R= 2(20-2x)+2(10-2x)

RESUELVE LAS OPERACIONES

Trinomio Lineal

Polinomio de 4to grado

Polinomio de 5to grado

(-x —

Polinomio de 4to grado

DISEÑAR UNA RESTA DE FRACCIONES (MINIMO TRINOMIO)

MULTIPLICACION

a) Indica la ley de signos en la multiplicación

(+)(+)= +

(-)(-) = +

(-)(+) = -

(+)(-) = -

b) Explica la propiedad distributiva de la multiplicación

Ejemplo: (1x+2)(3x-4)

El primer número del primer paréntesis (1x) se multiplica por el primer

número del segundo paréntesis (3x). Luego el 1x por el 2do término del

2do paréntesis y se hace el mismo procedimiento con el (2).

c) Indica la ley de exponentes en la multiplicación, división, radical,

potencia.

En la multiplicación los exponentes se suman.

En la división los exponentes se restan.

Si estás elevando un exponente a otro exponente entonces se multiplican.

Si le sacas raíz a un exponente, se dividen.

RESOLVER:

=

F) (2x-4)(5x+3)

G) (3x)(5)+(4x+2)(3)+ (¼ x)(7)

Bachillerato en Artes y Humanidades

Matemáticas: Algebra

Segundo parcial

Luis Bernardo Olvera M.

1 A CEDART DAS

División algebraica y productos notables

Definición División Algebraica:

La división algebraica se puede definir como la operación que tiene por objeto, repartir un número en tantas partes iguales, como unidades que tiene el otro o básicamente hallas las veces que un numero contiene a otro.

Propiedades de la división Algebraica:

Se aplica ley de signos

Se multiplica el dividendo del primer término por el divisor del segundo para crear el dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el divisor de la división.

Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor

Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.

Partes de la División Algebraica:

El producto dado recibe el nombre de dividendo por lo tanto el factor

conocido se llama divisor y por último el termino o resultado que se busca

recibe el nombre de Cociente.

Ecuación:

Respuesta:

Ecuación:

Respuesta:

Ecuación:

Respuesta:

Ecuación:

Respuesta:

Ecuación:

Respuestas:

Ecuación:

Respuesta:

Ecuación:

Respuesta:

Productos Notables

A simple vista se refiere al producto o los productos en cuyo desarrollo o

proceso para resolver se, por lo tantos se conoce fácilmente por simple

observación.

Reglas para su resolución:

1.- Monomio por monomio

a· b = a· b

2.- Monomio por polinomio

a(c + d) = ac + ad

3.- Polinomio por polinomio

(a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd

4.- Binomio cuadrado

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

5) Suma por diferencia

(a + b)(a – b) = a2 – b2

+320m+64

Centro de Estudios Artísticos “David Alfaro Siqueiros

Trabajo de Matemáticas 3 parcial

Luis Bernardo Olvera M.

6/Dic/10

1A

Algebra Factorización

1) Defina qué es factorización.

La factorización es expresar un objeto o número como producto de otros

objetos más pequeños.

2) Ilustra en un mapa conceptual los diversos métodos de

factorización.

Trinomio cuadrado

perfecto:

Los extremos tienen raíz

cuadrada exacta y se

comprueba el doble

producto.

.

Metodos

De

Factorizacio

n

Factor común:

Se usa cuando todos los

términos tienen una variable

común o un coeficiente

múltiplo de un mismo

número.

ax2 + bx + c: No es TCP, ni factor común.

Se factoriza como

agrupación

x2 + bx + c: No es factor común, no es

TCP. Se factoriza a dos

binomios con término

común.

Agrupación:

No existe factor común.

Se separa en parejas

comunes; tienen que ser

al menos de 4 términos.

Diferencia de Cuadrados:

Binomio con raíz

cuadrada exacta; ambos

términos se restan, y se

factoriza a binomios

conjugados.

Diferencia de Cubos:

No es muy usado. Sólo se

utiliza con binomios, en

los que ambos términos

tienen raíz cúbica.

3) Factoriza las siguientes expresiones.

1) )85)(85(6425 22 bababa

2) )52)(34(15148 2 mmmm

3) )9)(6(54152 xxxx

4) )2)(35(6135 2 xxxx

5) )39)(3(27 236339 bbaababa

6) )2(5105 2 aaaa

7) 22 )7(4914 nnn

8) )10)(30(300202 xxxx

9) )13)(13(19 336 xxx

10) )252016)(54(12564 23 xxxx

11) )12)(12(1442 xxx

12) )3)(42(12112 2 xxxx

13) )3(4124 22 yxxyxyyx

14) ))(( yxzwyzxzywxw

15) )9)(5(45142 xxxx

16) )12)(23(26 2 yyyy

17) )72)(72(494 2 mmm

18) )7)(6(422 xxxx

19) )5)(72(3532 2 mmmm

20) )7)(17(119242 aaaa

4) Aplicación de la factorización en la solución de ecuaciones

cuadráticas.

En la resolución de ecuaciones cuadráticas, existe el método de la

factorización.

Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero.

Luego expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de

factores. Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la

variable.

5) Conclusiones personales sobre la unidad de factorización.

Dentro de esta unidad pusimos en práctica nuestras habilidades para

diferenciar un método de factorización, de los otros; lo cual nos ha apoyado

en cada uno de los temas que hemos visto posteriormente, por ejemplo, en

fracciones algebraicas seguimos viendo varios métodos de factorización, al

igual que lo haremos en el tema de ecuaciones cuadráticas. Me pareció

asertivo al haberse mostrado de nuevo en este semestre, para haber dado un

recordatorio de cómo era, y así no volverlo a olvidar.

Fracciones Algebraicas.

a) Realiza las operaciones con fracciones algebraicas.

)4(

)4(

1682

2

x

x

xx

x

)1(

4

54

2042

2

x

x

xx

xx

2

1

186

93

ba

ba

)13)(4(

53

123

56*

127

962

2

2

2

xx

xx

xx

xx

xx

xx

14)4(

7

3114

45*

16

2172

22

22 xyx

yx

xx

yxyx

yx

x

3

1

126

102*

25

1032

2

x

x

x

xx

2242

24

16

84*

82

4

x

x

x

x

x

x

326

512

124

1812

3

153

x

x

x

x

x

x

32262

32

3

94 2

xyx

x

yx

x

5

1

276

4512

454

15142

2

2

2

x

x

xx

xx

xx

xx

312

94

3423

322 aaa

a

aa

a

aa

a

11

23

1

3

1

2

2 mm

mm

m

m

m

m

432

8122

127

4

6

2 2

22 aaa

aa

aaaa

a

5665

49222

25

1

36

1

3011

2 2

222 mmmm

m

mmmm

72

43

7

2

1452 xx

x

xxx

x

b) Define qué es una fracción compleja y da un ejemplo.

Una fracción compleja es una fracción en la que al menos uno de los términos de uno o ambos miembros es una fracción. Las expresiones racionales siguientes son fracciones complejas:

Ejemplo: 54

32

c) Conclusiones personales sobre la unidad de Fracciones Algebraicas. A lo largo de este parcial, nos hemos dado cuenta de la importancia, y de la dependencia de cada tema con los otros, ya que, por ejemplo, en fracciones algebraicas seguimos utilizando diversos métodos de factorización, que afortunadamente, son rápidos, ya que la mayoría de las expresiones en los ejercicios usan métodos de factorización sencillos, además de las operaciones algebraicas, que fue el primer tema que vimos.

Ecuaciones Lineales.

a)Definir qué es una ecuación lineal, los tipos que existen y cuáles

son los principales métodos de resolución.

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es un planteamiento de

igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no

contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra

solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.

Ecuación general

A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible

encontrar los valores donde x e y se anulan.

Ecuación segmentaria o simétrica

E y F no deben ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y en

E y F respectivamente.

Forma paramétrica

1. 2.

Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultánea, cada una en la

variable t. Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas

ecuaciones e igualando.

Casos especiales:

Un caso especial es la forma estándar donde y . El gráfico es

una línea horizontal sin intersección con el eje X

Otro caso especial de la forma general donde y . El gráfico es

una línea vertical, interceptando el eje X

En este caso, todas las variables fueron canceladas, dejando una ecuación

que es verdadera en todos los casos.

Formas:

Suma y Resta.

a) Elegir una variable para eliminar cruzando sus coeficientes y cambiando el

signo a uno de ellos.

b) Multiplicar, sumar y restar.

c) Obtener el valor.

d) Despejar la otra variable y sustituir el valor.

Igualación:

a) Despejar la misma variable de ambas ecuaciones.

b) Igualar los despejes.

c) Hacer operaciones hasta encontrar el valor de la literal.

d) Sustituir en uno de los dos despejes para obtener el segundo valor.

Determinantes:

La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un

sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes.

Para la resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de la

forma.

Lo representamos en forma de matrices

Entonces, los términos pueden ser encontrados con la regla de Cramer, con

una división de determinantes.

b)Resolver las siguientes ecuaciones.

3

432715324

x

xxxx

1715

2

1

3

2

4

35

x

xxx

915

25432232343

x

xxxxx

26720

32

2

5

3

7

52

x

xxxx

7687

32

32514325

x

xxxx

c) Graficar:

y=5x-1

Solución: (0.2, 0)

Pendiente: 5

y=2x+3

Solución: (-1.5, 0)

Pendiente: 2

y= -1/2x+2

Solución: (4, 0)

Pendiente: -.5

d) Una joyería vende su mercancía 50% más cara que su costo. Si

vende un anillo de diamantes en $1500, ¿Qué precio pagó al

proveedor?

$1000

f) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones.

1.-

2

1

74

432

y

x

yx

yx

2.-

1722

1720

1053

64

b

a

ba

ba

3.-

0

3

943

3

n

m

nm

nm

4.-

37

31

32

325

q

p

qp

qp

5.-

12

16

1253

82

y

x

yx

yx

6.-

1713

1731

25

723

n

m

nm

nm

7.-

514

518

243

52

i

h

ih

ih

g) Grafica los incisos a, c, e y g de los sistemas anteriores.

a.

2x-3y=4

X-4y=7

Solución: (-1, -2)

c.

m-n=3

3m+4n=9

Solución: (3,0)

e.

x+2y=8

3x+5y=12

Solución: (-16,12)

g.

2h-i = -5

3h-4i = -2

Solución: (-3.6, -2.2)

h) Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4.00

para adultos y $1.50 para niños. Si se vendieron 1000 boletos

recaudando $3,500. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?

35005.14

1000

yx

yx

Adultos: 800 boletos.

Niños: 200 boletos.

i) Si se mezcla una aleación que tiene 30% de Ag con otra que

contiene 55 % del mismo metal para obtener 800 kg de aleación al

40%. ¿Qué cantidad de cada una debe emplearse?

x+y= 800

.3x+.55y= 800(.4)= 320

480 kg de Ag al 30%

320 kg de Ag al 55%

ECUACIONES DE 2° GRADO

Ecuación cuadrática

Una ecuación cuadrática representa una parábola vertical donde la solución

son los puntos de intersección con x.

Número real y número imaginario.

A los números reales siempre positivos podemos sacarle raíz cuadrada, pero

a los números que son negativos no podemos sacarle raíz, sin embargo

puede hacerse agregando una ‘’i’’. A estos números negativos se les llama

números imaginarios. Los reales siempre serán positivos y podrán sacarle raíz

cuadrada.

RESOLVER

Graficar

12xy

X1= -1

X2=1

652 xxy

X1=-2

X2=-3

42xy

Conclusiones:

Después de tan arduo trabajo, desde el primer parcial, el haberlo puesto todo

en computadora (que es mi primera vez en hacerlo de tal manera) hasta el

semestral, he de decir que siento una gran satisfacción. Todo lo que he

aprendido, ya sea por lo que nos enseño y por mis propios errores en la

construcción de este trabajo tan extenso.

Ciertamente el hacerlo en computador, siendo esto algo mas tedioso y largo

en hacer, me deja más grabado los procedimientos, formulas, etc.

Aprendí bastantes maneras de resolver diversos problemas, ya sea por cómo

se presenten, o la manera en que se me facilite a mi resolverlos.

Debo admitir que fue un gran semestre en cuestión de ver cosas nuevas y

aprenderlas, fue algo pesado, y creo que lo seguirá haciendo, tengo

problemas al hacerlos, pero cuando los haces, la satisfacción te lo repone.

Así que no queda más que seguir a un buen paso, puesto que si te atrasas, se

irá juntando con otros trabajos y así sucesivamente.

Así que, agradezco a Morales, por su peculiar forma de enseñarnos, que he de

decir que me agrada, aunque el trabajo sea pesado.

Y pues, fue un largo semestre, pero al final, cumplido.