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progettodidattica in rete

getto

did

attica in re

Dipartimento di Georisorse e TerritorioPolitecnico di Torino, dicembre 2000

Lezioni di TopografiaParte I - Geodesia

A. Manzino

otto editore

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DISPENSE DI TOPOGRAFIA

P ARTE I G EODESIA

A . MANZINO

Otto Editore P.zza Vittorio Veneto 14 10123 Torino

www.otto.to.it

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i

INDICE

PARTE PRIMA GEODESIA FISICA

Introduzione ...........................................................................................1

1. IL PROBLEMA DELLA RAPPRESENTAZIONE DELLA TERRA ............................................................................................2

1.1 CENNI DI TEORIA DELLA GRAVITAZIONE .............................................4La gravitazione ........................................................................................4Moti terrestri e potenziale di gravit .......................................................5Il geoide ...................................................................................................7Lo sferoide ............................................................................................10Il calcolo di alcune costanti geometriche ............................................. 14Equazione dello sferoide in funzione dei parametri geometrici .......... 16Espressione della gravit normale in funzione dei parametri geometrici ... 16

Dallo sferoide all'ellissoide .................................................................... 17

2. SISTEMI DI COORDINATE ....................................................18

2.1 LE COORDINATE GEODETICHE .......................................................... 18Passaggio dalle coordinate geodetiche alle coordinate cartesiane geocen-triche e viceversa ................................................................................... 19

2.2 LE COORDINATE ASTRONOMICHE O NATURALI ............................... 22La correzione gravimetrica nella livellazione geometrica ..................... 25

2.3 COORDINATE CARTESIANE LOCALI OD EULERIANE .......................... 28

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ii

2.4 DIMENSIONI DELL

ELLISSOIDE

TERRESTRE

....................................... 29

3. L'ELLISSOIDE COME SUPERFICIE DI RIFERIMENTO

PLANIMETRICA .........................................................................32

3.1 R

AGGI

DI

CURVATURA

E

SEZIONI

NORMALI

..................................... 32

3.2 L

INEE

GEODETICHE

............................................................................ 35

3.3 L

E

EQUAZIONI

DELLE

GEODETICHE

PER

SUPERFICI

DI

ROTAZIONE

E

PER

L

'

ELLISSOIDE

................................................................................. 36

3.4 T

EOREMI

DELLA

GEODESIA

OPERATIVA

............................................ 38Premessa ............................................................................................... 38Gli azimut e le distanze su sezioni normali .......................................... 39

3.5 C

AMPO

GEODETICO

E

CAMPO

TOPOGRAFICO

................................. 40

4. PROBLEMI PLANIMETRICI RISOLUBILI NEL CAMPOGEODETICO ..............................................................................43

4.1 I

L

TEOREMA

DI

L

EGENDRE

................................................................. 43

4.2 C

OORDINATE

GEODETICHE

POLARI

E

RETTANGOLARI

................... 44

4.3 I

L

TRASPORTO

DELLE

COORDINATE

GEODETICHE

: PROBLEMA

DIRETTO

.............................................................................................. 454.4 I

L

TRASPORTO

DELLE

COORDINATE

GEOGRAFICHE

: PROBLEMA

INVERSO

............................................................................................... 48

5. LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE ...................50

5.1 C

LASSIFICAZIONE

DELLA

RAPPRESENTAZIONI

................................... 52

5.2 E

QUAZIONI

DIFFERENZIALI

DELLE

RAPPRESENTAZIONI

................... 53

5.3 E

QUAZIONI

DIFFERENZIALI

DELLE

RAPPRESENTAZIONI

CONFORMI

56

5.4 E

QUAZIONI

DIFFERENZIALI

DELLE

RAPPRESENTAZIONI

EQUIVALENTI

........................................................................... 60

5.5 L

A

RAPPRESENTAZIONE

CONFORME

DI

G

AUSS

................................. 61

5.6 C

ARATTERISTICHE

GEOMETRICHE

E

PARAMETRI

DELLA

CARTA

DI

G

AUSS

.................................................................................................. 67Convergenza delle trasformate ............................................................. 69Le trasformate delle geodetiche nella carta di Gauss ............................ 70

5.7 L

A

CARTOGRAFIA

UFFICIALE

ITALIANA

.............................................. 72

L'inserimento della cartografia nazionale nel sistema UTM ............... 75

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iii

Le nuove carte alla scala 1:50000 e 1:25000 ....................................... 79Le carte da satellite ................................................................................ 80

5.8 L

E

CARTE

C

ATASTALI

E

LA

RAPPRESENTAZIONE

DI

C

ASSINI

S

OLDNER

..................................................................................80

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1

PARTE I GEODESIA

GEODESIA FISICA

Introduzione

La Topograa una scienza applicata che si pregge la determinazione e la rappre-sentazione metrica della supercie sica terrestre, nasce e si inserisce nella Geodesiail cui scopo la determinazione della gura della terra e del suo campo gravitazio-nale esterno in funzione del tempo. Per gura della terra si intende qui la sua super-cie sica e matematica; si intende per supercie sica il limite tra latmosfera e lasupercie liquida o solida della terra e per gura matematica la supercie equipo-tenziale del campo gravitazionale della terra (a potenziale convenzionaleW=W 0).Per comprendere meglio la Topograa quindi necessario dare dei cenni di Geode-sia, chiarendo per i nostri ni, quale la forma della terra e quali sono le forze cheagiscono su di essa.

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2

1. IL PROBLEMA DELLA RAPPRESENTAZIONE

DELLA TERRA

Per descrivere la supercie sica della terraT , supponiamo, solo per comodit, dipoter stabilire dapprima un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con ori-gine nel centro di massaCM della terra (gura1.1 ). Sappiamo ormai da secoli chela supercie terrestre si approssima abbastanza bene a quella di una sfera di circa6370 km di raggio e meglio ancora a quella di un ellissoide di rotazione che chia-meremo .

Fig. 1.1 Descrizione variazionale della superficie terrestre.

Facciamo lipotesi che il centro di massa della terra coincida con il centro dellellis-soide , potremo allora decidere di rappresentare la forma vera della terraT attra-verso la misura degli scostamenti diT da . Proiettando perpendicolarmente ilpunto A su deniamo la coordinata altimetricahA di A come la distanzaAA e,individuato A, le coordinate planimetriche diA sono denite attraverso una cop-pia di coordinate di supercie: ( A, A

) =(

A

,

A

). Ogni punto di T

denito dun-que dalle tre coordinate (

,

, h

).

CM

B

B' A

A'

T

hA

Y

Z

X

n'

hB

=( A

A) (

A'

A' )

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IL

PROBLEMA

DELLA

RAPPRESENTAZIONE

3

Questo metodo di rappresentazione, che chiamiamo variazionale (rispetto ad unasupercie di riferimento) operativamente pratico e si adatta alla realt, in quantogli scostamenti rappresentabili, dalle fosse oceaniche alle vette pi alte, sonodellordine di 1/1000 del raggio terrestre. Il problema tuttavia risolto solo teorica-mente, perch rimane ancora da capire se e come si riesce ad individuare sica-mente la supercie dellellissoide

, e se si riesce in qualunque punto, a trovare lanormale alla supercie

. La risposta negativa: lellissoide rimarr per questimotivi solo una supercie matematica teorica, che consente di avvicinarci al pro-blema della rappresentazione e della misura della supercie terrestre: non ciopossibile misurare direttamente posizioni e spostamenti di punti riferitiallellissoide di rotazione. Recentemente tuttavia le moderne tecniche di osser-vazione satellitare (le misure GPS sono fra queste le pi frequenti), consentonodi misurare tali parametri con sufciente precisione. In tal caso il problema sisposta dalla individuazione dellellissoide allindividuazione e alla stabilit del

sistema di riferimento.Ci domandiamo: esiste allora una pi comoda supercie

che meglio approssimila supercieT

? Quali strumenti abbiamo a disposizione per misurare in qualunquepunto di T

almeno la direzione verso la supercie

(gura 1.2

). Quali sarannoforma e dimensioni di

?

Fig. 1.2 La determinazione di una superficie equipotenziale.

Prescindendo dai metodi satellitari,la direzione che sempre misurabile in ogni puntodella supercie terrestre quella del lo a piombo

, perpendicolare cio alla supercieequipotenziale passante per il punto di misura. Possiamo inoltre misurare (con lalivellazione ortometrica ad esempio)le differenze di altezze

H

AB

rispetto alle super-ci equipotenziali passanti perA

e per B

ed inne il modulo del vettore della forzaagente su una massa unitaria

posta in A

o B

. In sintesi, per capire con precisione qual la forma della terra e poterla misurare nella pratica dunque indispensabile stu-diare il suo campo di gravit.

T A

B

H AB

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IL

PROBLEMA

DELLA

RAPPRESENTAZIONE

4

1.1 C

ENNI

DI

TEORIA

DELLA

GRAVITAZIONE

La gravitazione

Il campo di gravit causato dallattrazione gravitazionale propria, da quella deicorpi celesti, dal moto rotatorio e da altri moti e fattori perturbativi statici o dina-mici del corpo terrestre. Partiamo dallattrazione gravitazionale. Lattrazione gravi-tazionale fra masse elementari (gura1.3

) vale, secondo la legge di Newton:

1.1

F

attrattiva e diretta secondo il vettoreQP

, G la costante gravitazionale che vale:.

Fig. 1.3 Attrazione fra due masse elementari.

Si ha cio:

1.2

Nel caso in cui si debba considerare un corpo non puntiforme come la terra e cer-care leffetto gravitazionale sullunit di massa posta inP

, si pu cercare di ricavareF

come:

1.3

In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, chiamando (

a, b, c

) le coordi-nate del centro di massa ed (

x

, y

, z

) le coordinate di un punto P

, si ha:

1.4

ed integrando, con si ottiene la forza gravitazionale:

1.5

F G mm'

l 2----------=

G 6.67259 10 11 m kg 1 s 1=

mQ

m' P

F

I

F

F G mm'

l 2----------= l

l -----

F F i m 0

limmi l i

2---------

m 0lim= =

F Gdml 2

------------ Gdmx a( )2 x b( )2 x c ( )2+ +

--------------------------------------------------------------------= =

dm d =

F G x y z , ,( )d x a( )2 x b( )2 x c ( )2+ +

--------------------------------------------------------------------

=

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IL PROBLEMA DELLA RAPPRESENTAZIONE

5

dove la densit, variabile da punto a punto e d lelemento di volume inni-tesimo. La forza gravitazionale ammette potenzialeV che si ottiene per integrazionedella relazione:

1.6

dovex il generico asse di direzione della forza; si ha allora (la forza diretta lungola direzionel ):

1.7

e quindi il potenziale gravitazionale risulta:

1.8

Il calcolo di questo integrale, oltre alla conoscenza della funzione allinterno di ,presuppone anche di conoscere la supercie esterna di , ma questo , purtroppo, loscopo che vogliamo raggiungere. Conosciamo ad esempio che il valore medio di per la crosta = 2.67 g/cm3, mentre la densit media terrestre = 6.53 g/cm3,non conosciamo tuttavia il variare di all interno di .

Moti terrestri e potenziale di gravit

I moti terrestri principali sono:1. Moto di rotazione attorno ad un asse polare, che ai nostri ni per ora rite-

niamo costante nel tempo e con velocit angolare media doveT t , che il periodo di passaggio attorno ad una stella ssa, detto giornosiderale medio:T t = 86,164.091 s.Laccelerazione centrifuga dovuta alla rotazione vale ; la forzaesercitata sulla massam vale .

2. Moto di rivoluzione attorno al sole, con periodo T s = 1 anno side-rale=365.256360 giorni di tempo solare medio e descrivente il pianodelleclittica. Lasse terrestre si inclina durante lanno, sul piano delleclit-

tica, di 23.5 circa durante levolversi delle stagioni.Consideriamo ora la combinazione delleffetto gravitazionaleF e centrifugo f (gura 1.4 ).Per un punto di massa unitaria la forza centrifugaf vale:

1.9

dove r la distanza di un punto della supercie dallasse di istantanea rotazione.Anche questa forza ammette potenziale centrifugov che si ottiene per integrazionedella 1.9 ; si ha:

dF V d x --------- Gdml 2------==

dV Gdml

-------=

V G x y z , ,( )d

x a( )2 x b( )2 x c( )2+ +------------------------------------------------------------------------

=

2 T t =

a 2 r =m2 r =

2r =

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6

1.10

dove (x,y ) il piano normale allasse di rotazione.

Fig. 1.4 Combinazione degli effetti gravitazionale e centrifugo:g =F +f .

Il potenziale di gravit W denito dalla somma dei due potenziali:1.11

1.12

Per derivazione ilvettore gravit vale:1.13

Il potenzialeW ha derivate prime calcolabili, nite e continue, mentre le derivateseconde sono discontinue in corrispondenza di discontinuit di . Si pu dimo-strare chenello spazio esterno il potenziale gravitazionaleV soddisfa alla equazione:

1.14

(leggasi: Laplaciano diV =0).Tali funzioni (per le quali il Laplaciano si annulla) vengono dettearmoniche .Allinterno del corpo il potenzialeV segue invece la legge di Poisson:

1.15

Per il potenziale di gravitW , nello spazio esterno si ha invece:

1.16

v 2r 2

--------- v x y ,( )= =

r P f

F g

W V v +=

W W P ( ) G

l --- d 2r

2---------+ ==

g F f gradW =+=

V x 22

V

y 2

2

V

z 2

2

V

+ +=

V 4G P ( )=

W 2 2=

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7

Si pu dimostrare che tutte le funzioni armoniche sonoanalitiche, vale a dire conti-nue e con derivate continue di qualunque ordine.Le superci equipotenziali: sono anche superci di livello, vale

a dire:1.17

Cio la derivata del potenziale in una direzione uguale alla proiezione in quelladirezione del vettore gravit; in particolare, siccome su una generica supercie equi-potenziale dW = 0 questa supercie sempre normale al vettoreg .

Il geoide

Per la descrizione variazionale della supercie terrestre e per il posizionamento deipunti sulla stessa scegliamo per una supercie di livello convenzionale

. La convenzione che si scelta quella di stabilire per questa costanteil potenziale della supercie di livello che corrisponde al potenziale della superciemedia del mare in quieteW=W 0. Stabilita questa costante convenzionale possiamoimmaginare di prolungare la supercieW=W 0, denita analiticamente, anche al disotto delle terre emerse: questa supercie si chiama geoide. Rimane tuttavia il pro-blema di come determinare analiticamente lequazione del geoide. vero che que-sta equazione pu scriversi in forma integrale:

1.18

ma rimangono anche qui irrisolti tutti i problemi emersi per il calcolo diV . I geo-deti sono riusciti, per, ad arrivare ad una buona approssimazione nella conoscenzadel geoide attraverso la misura del potenziale in molti e ben distribuiti punti dellasupercie terrestre.In realt stato possibile realizzare ci con misure difunzionali del potenziale, (ciocon quantit dipendenti dal potenziale) quali ad esempio anomalie di gravit,deviazione della verticale ecc. eseguite in genere in punti prossimi od esterni allasupercie del geoide.

W W P ( ) cost==

W cost W 0 g ds g ds g ds ( )cos==d 0= =

W cost=( )

W 0 G x y z ,,( )l x y z ,,( )------------------- dx dy dz

2r 2 x y ,( )2------------------------ 0=

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8

Anche se non compito del topografo arrivare a determinare il geoide, vediamocome si possono raggiungere queste approssimazioni ed il loro signicato sico.

Fig. 1.5 Espressione dil in funzione di , ' e .

Nella formula integrale1.18 il vettorel pu esprimersi (gura1.5 ):

1.19

cio:

1.20

Fig. 1.6 Lelemento di volume dr in funzione delle tre coordinate ( , , ).

Z

X Y

dmP

Q (X,Y,Z)

l c

a

bO=CM

'

l 2 2= ' 2 2 ' cos+

l 2 2 1 '

---- 2

2 '

---- cos+ =

X

Y

Z

O

'

'

'

' cos

' '

'

d

d d

d

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9

Le coordinate polari ( , , ) descritte in gura1.6 sono legate alle coordinate ret-tangolari (X , Y , Z ) attraverso le relazioni:

1.21

Utilizzando lespressione , dalle1.21 si ricava allora:

1.22

confrontando la1.22 con la1.20 si ricava inne:1.23

Nellintegrale1.18 lelemento di volume (dx dy dz ) vale (gura1.6):1.24

Il potenzialeV pu allora esprimersi in coordinate polari:

1.25

EssendoV una funzione armonica, siamo certi di poter sviluppareV in serie di

armoniche sferiche . Ci si attende che questi sviluppi dipendano da

,

e da

, oltreche dalla densit .Si pu scrivere infatti per tutte le funzioni armoniche ed in particolare perV :

1.26

Anm e B nm sono delle costanti, in genere incognite, che dipendono dalla distribu-zione di massa e dalla forma della terra, mentreR nm edS nm sono dette armonichedi supercie, funzioni note, ricavabili attraverso i polinomi di Legendre in formaricorsiva; le riportiamo sino ad ordinen e gradom uguali a due.

1.27

X coscos=Y sincos=Z sin=

l 2 X 2 Y 2 Z 2+ +=

l 2 2= ' 2 2 ' sin 'sin 'cos '( )coscos+( )+

cos sin 'sin 'cos '( )coscos+=

d ' 2 'coscos d ' d '=

V G ---- '2 'cos d ' d ' d '

1 ' ---- 2 2 ' ----

cos+1 2 --------------------------------------------------------------------

=

V P ( ) A nmR nm ,( )

n 1+------------------------ Bnm

S nm ,( )n 1+

-----------------------+

m 0=

n

n 0=

=

R 00 1= S 00 0=R 10 sin= S 10 0=R 11 coscos= S 11 sincos=

R 20 3 2 sin2 = 1 2 S 20 0=R 21 3 cos= cossin S 21 3 cos= sinsin

R 22 3 2 coscos2= S 22 3 2 coscos2=ecc ecc

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10

A loro volta i coefcientiAnm e B nm si ricavano dalle equazioni integrali:

1.28a

1.28b

1.29

ritornando cos evidente che per ricavarli occorre conoscere e la forma di .

Lo sferoide

possibile tuttavia calcolare almeno i primi termini della1.26 , note le funzioniR edS . subito evidente ad esempio che:

Proseguendo nella sostituzione negli integrali1.28 ed 1.29 dei valori disi pu notare che, a parte la costante G, i termini relativi a queste

prime funzioni armoniche esprimono i momenti statici del corpo terrestre.Siccome arbitraria la scelta dellorigine degli assi, basta porre lorigine coincidentecon il centro di massa (geocentro) afnch questi, per denizione, si annullino

. Tenendo conto delle1.27 e 1.21 , con qualche passaggio si rica-vano gli altri termini che valgono:

1.30

essendo .DenendoA, B e C i tre momenti principali di inerzia rispetto agli assiX , Y e Z siricava:

An0 An G d

= =

Anm 2Gn m( )!m n+( )!-------------------- '( )

n R nm ' ',( ) d =

B nm 2Gn m( )!m n+( )!

--------------------

'( )

n

S nm '

',

( ) d =

A00 G d

GM= =

R 10 R 11 S 10 S 11,,,

A1m B 1m 0= =( )

A20 G X '2

Y '2

+2---------------------- Z '2 d G A B+2------------- C = =

sin Z =

A20 GA B +

2------------- C =

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11

Con calcoli analoghi si ottiene poi:

che rappresenta il momento dinerzia misto, che si annulla se si sceglie come assedi rotazione. Proseguendo su questa via ricaviamo:

Anche questo termine nullo essendo un momento d'inerzia misto come il termineA21.Anche il termine:

rappresenta un momento d'inerzia misto della terra che nullo se si scelgono edcome assi principali d'inerzia.

A212G6

------- 3 2 3 cossincos( ) d

=

A21 G X ' Z '( ) d =

Z '

A22 G12------ cos2cos2 3 sin2cos2( ) '2 d =

A22G4---- Y '2 X '2+( ) d

G4---- B A( )= =

B 20 0 in quanto S 20 0==

B 21 G Y ' Z '( ) d =

B 22 G X ' Y '( ) d

=

X 'Y '

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12

Riassumendo vediamo dunque come si esprime il potenziale gravitazionale arre-stando lo sviluppo armonico all'ordinen=2 e gradom=2.

Possiamo, in forma pi compatta scrivere:1.31

doveT il potenziale residuo di ordine e grado superiore a 3 dettopotenziale anomalo .Ricordando l'espressione del potenziale di gravitW si pu scrivere:

1.32

chiamiamo conU la somma, denitapotenziale normale della gravit:

Il potenziale di gravit la somma del potenziale normale e del potenziale anomalo:

1.33

Inserendo nella1.33 i valori diR nm edS nm della tabella1.27 si ottiene:

noto che i due momenti principali di inerziaAe B sono circa uguali, in quanto la

forma della terra molto prossima ad unsolido di rotazione ; si pu ammettere allorala seguente semplicazione:

1.34

Ci si fermati ad ordinen=2 e gradom=2 nello sviluppo armonico, ci non signi-ca che non si possa ricavare il potenziale anomaloT , questo dipende dai termini

che sono ricavabili note la densit e la forma della terra.

V A00R 00

s --------

B 00S 00s

-------

++=

+A10R 10 2-------- B 10

S 10 2------- +A11R 11

2----------------

B 11S 11 2

---------------- ++ +

+A20R 20 3-------- B 20

S 20 3------- +A21R 21

2----------------

B 21S 21 3

----------------A22R 22

3----------------

B 22S 22 3

---------------- T + + + + +

V V ' T +=

W V ' 2 2 cos2

2---------------------------- T + +=

U V ' 2 2 cos2

2---------------------------+=

W U T +=

W GM ---------- 11

2 2M --------------- C A B

+

2 --------------

1 3 sin2( ) 34 2--------- B A

M------------- cos2 2 cos+ +=

2 2 cos2

2----------------------------- T + +

A B +( ) 2 A B A( ) 0

W GM ---------- 11

2 2--------- C A

M------------- 1 3 sin2( )+

2 2 cos22

---------------------------- T U T +=+ +=

Anm

e B nm

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13

In praticaT ricavabile attraverso la misura su tutta la supercie terrestre di valoridipendenti dalla densit e daT , quali ad esempio i valori della gravit. cos possibile proseguire lo sviluppo in serie di armoniche sino ad un certo ordine

e grado, quindi ricavare il potenzialeW con una approssimazione sufciente permolti scopi geodetici e topograci.Se si pone nella1.34:

si ottiene l'equazione di una supercie equipotenziale che, per una particolare sceltadiW 0 prende il nome digeoide ; esso esprime la forma della terra o meglio la formadel suo campo di gravit ad una certaquota equipotenziale .Se si pone nella1.34:

1.35

si ottiene invece, l'equazioneapprossimata sino ad ordine e grado due del geoide.Questa equazione rappresenta una supercie che prende il nome disferoide ; facilenotare che l'equazione dello sferoide rappresenta una supercie. Evidenziando lecoordinate polari ( , ) e le tre costanti (per ora inco-gnite), si comprende che lo sferoide una supercie di rotazione, in quanto nondipende da .Si pu dimostrare che, per il posizionamento planimetrico di un punto, (che siricorda eseguito attraverso la proiezione di questo su una supercie di riferi-mento), lo sferoide gi una approssimazione adeguata di , in quanto le normali

alla supercie sono sufcientemente prossime alla direzione della verti-cale, cio (vedi gura2.3):

Ritornando alla1.34 e ricordando la1.15 , anche per il potenzialeT vale la proprietdi armonicit:

1.36

In modo analogo alle relazioni1.6 e 1.13 per il potenziale gravitazionale ed il poten-ziale di gravit, si pu scrivere per il potenziale normale:

1.37

Il vettore viene chiamatogravit normale .Volendo ricavare il modulo di attraverso le sue componenti, occorre derivareU rispetto agli assiX , Y , Z e sommare pitagoricamente i tre contributi. Si dimostratuttavia che, con buona approssimazione, il valore si ricava derivandoU rispetto a , dove la distanza di un punto dello sferoide dal centro di massa.Cos facendo si ottiene:

1.38

W U T + W 0 cost= = =

W W 0=

U U 0

cost= =

GM C A( ) M 2, ,

U cost=

gradW ( ) gradU ( ) n n ' 0= =

T 0=

gradU =

GM 2

---------- 1 12 2--------- C A

M------------- 1 3 sin2( )+ 2 2 cos2=

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14

La differenza tra il modulo dei vettorig e si chiamaanomalia di gravit e vale:1.39

ed il funzionale del campo anomalo pi diffusamente misurato ed utilizzato per ilcalcolo del geoide.

Il calcolo di alcune costanti geometriche

Nell'equazione dello sferoide, espressa in forma estesa1.34 , compaiono costantimeccaniche come , le quali non deniscono esplicitamente laforma e le dimensioni dello sferoide.Ricaveremo ora le costanti geometriche: il semiasse polarec e quello equatorialea.Scriviamo l'equazione dello sferoide:

e deniamo:

1.40

Si ha:

1.41

dividendo tra loro i due termini dellequazione si ha:

siccome:

si pu sviluppare in serie binomiale il denominatore, approssimando:

che si semplica in:

g g g =

GM C A( ) M ,

U 0=( ) U 90=( ) U 0 cost= = =

k C AM

------------- =

GMa

---------- 1 k 2a2--------

2a 32GM-------------+ + GM

c ---------- 1 k

c 2----=

c a--- 1 k

c 2-----

= 1 k 2a2--------

2a 32GM-------------+ +

1

k c 2----- 0 e k

2a2--------

2a 32GM-------------+ 0

c

a--- 1 k

c 2-----

1 k

2a2--------

2a3

2GM-------------+

=

1 k 2a2--------

2a32GM------------- k

c 2----- k

2a 2c 2---------------

2k a3

2c 2GM-------------------+ +=

k a2----- k

c 2-----

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15

Deniamoschiacciamento geometrico dello sferoide il termine:

1.42

si ha:

1.43

Questo risultato mostra come, attraverso l'utilizzo di quantit meccaniche, si rica-vata la quantit geometrica schiacciamento dello sferoide.Dalla1.38 ricaviamo poi il valore della gravit normale all'equatore ed ai poli:

1.44

Sviluppando in serie binomiale, moltiplicando ed approssimando come visto in

precedenza per il rapporto si ricava:

Deniamo inne lo schiacciamento di gravit:

1.45

Possiamo scrivere:

1.46

Si vede facilmente che:

e, grazie al fatto che , ricaviamo la relazione di Clairaut:

1.47

c a--- 1 3

2--- k

a2-----

2a32GM-------------

a c a

---------- 1 c a---= =

32--- k

a 2-----

2a32GM-------------+=

aGMa2

---------- 1 32--- k

a2-----

2a32GM-------------+=

c GMc 2

---------- 1 3k c 2------=

c a---- a

2

c 2----- 1 3k

c 2------

1 3k 2a2--------

2a3GM

-------------+ 1=

c a c a---- 1 3k

2a2-------- 2

2 a3GM

----------------+=

c a---- 1=

32---

k a2----- 2

2a3GM------------+=

+ 52---

2a3GM------------=

a GM a2

+ 52---

2a a

----------=

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16

Equazione dello sferoide in funzione dei parametri geometrici

Riscriviamo ora la1.34 in questo modo:

ricordando la prima delle1.41 ed eguagliando queste quantit si ricava:

Sviluppando come al solito il denominatore e semplicando, con qualche passaggiosi ottiene:

cio:

1.48

Questa nalmente l'equazione dello sferoide nelle coordinate polariespressa in funzione delle quantit geometriche . Come si nota la1.48 nondipende da .

Espressione della gravit normale in funzione dei parametri geometrici

Ricordiamo la1.38 che ora esprimiamo come:

1.49

e ricordiamo anche l'espressione della gravit normale all'equatore1.44 :

dividendo fra loro i due valori di , sviluppando binomialmente al primo ordine esemplicando si ricava:

che equivale a scrivere:

1.50

Questa l'equazione della gravit normale che, come si vede, dipende solo dallalatitudine sferoidica.

U GM

---------- 1k

2 ------- 1 3 sin2

( ) 2 3 cos2

2GM-----------------------------+ + U 0= =

a---- 1 k 1 3 sin

2( )2 2

--------------------------------- 2 3 cos22GM

----------------------------+ + 1 k 2a2--------

2a32GM-------------+ +

1

a 1 3k

2a2

-------- 2a3

2GM-------------+

sin2=

a 1 sin2( )= ,( )

a ,( )

GM 2

---------- 1 3k 2a 2-------- 1 3 sin2( )

2 3 cos2GM

----------------------------+ +=

aGMa 2

---------- 1 32--- k

a 2-----

2a32GM-------------+=

a---- 1 3k

2a2-------- 2 2a3GM

----------------+ sin2+

a 1 + sin2( )=

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17

Dallo sferoide all'ellissoide

Proviamo a scrivere la1.48 in coordinate cartesiane. Si ha:

in quanto .La formula ricavata di difcile utilizzo. Partendo allora dalla1.48 , vediamo comequesta pu semplicarsi.Possiamo scrivere:

Trascurando il termine moltiplicativo di a meno di errori dellordine dia(infatti e ) si ha:

Quest'ultima approssimazione tollerabile in quanto moltiplica che un termine piccolo.Con ci otteniamo:

1.51

ponendo :

1.52

Cerchiamo quanto vale sviluppando come al solito :

si ottiene in denitiva dalla1.51 :

1.53

che l'equazione di un ellissoide di rotazioneattorno all'asseZ in coordinate car-tesiane. Questa sar lasupercie planimetrica di riferimento per i rilievi geodetici etopograci. A causa delle approssimazioni, la supercie dell'ellissoide si discosta daquella dello sferoide di valori massimi dell'ordine di .

X 2

Y 2

Z 2

+ + a 1 Z 2

2------- a 1 Z 2

X 2 Y 2 Z 2+ +------------------------------------ = = =

sin Z =

2 a 2 1 2 sin4 2 sin2+( )= 2 10 5

1 297 ( ) 2 10 5=

2 a 2 1 2 Z 2

2-------

= a 2 1 2 Z 2

a2------

Z 2 2

X 2 Y 2 Z 2+ + a2 2 Z 2=

X 2 Y 2+a2

-------------------- Z 2 1 2 +( )a2

---------------------+ 1=

1 2+ t 2=

X 2

a2------- t

2Z 2

a2-----------+ 1=

a t 1 t at -- a

1 2+-------------------- a 1 ( ) a 1 a c

a----------

c = ==

X 2 Y 2+a2

-------------------- Z 2

c 2------+ 1=

10 5

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18

2. SISTEMI DI COORDINATE

2.1 LE COORDINATE GEODETICHE

Abbiamo gi visto che la posizione di un punto pu essere espressa per mezzo di: coordinate cartesiane rettangolari geocentriche coordinate polari.

Vediamo ora come si esprime la posizione di un punto attraverso lecoordinate geo-detiche (o geograche) denite dalla terna ( , ,h), chiamate anche rispettivamentelatitudine , longitudine geodetiche ed altezza geodetica(o quota ellissoidica).Utilizziamo come riferimento lellissoide denito dalla1.53 , sia P un punto esternoe Q la sua proiezione su di esso (vedi gura2.1):

h denita dalla distanzaQP

la latitudine langolo che il versore normale allellissoide forma colpiano equatoriale la longitudine langolo che il piano meridiano passante perP forma col

piano del meridiano convenzionale di riferimento .

Fig. 2.1 Latitudine, longitudine ed altezza geodetica.

La latitudine e longitudine geodetiche diP coincidono sia con quelle diQ che in

pratica con la direzione del campo normale in quanto si pu dimostrare che vale:

n

'

X

Y

Z

O

Q n'

h

P (x,y,z)

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SISTEMI

DI

COORDINATE

19

ed anche se non fosse trascurabile la correzione per strumenti di alta precisione equote elevate, si deve ammettere che nei rilievi tradizionali ci che conta la varia-zione di

e quella dih

che spesso rendono costante questa correzione. Osserviamoche le componenti del versore sugli assiXYZ

sono:

2.1

Passaggio dalle coordinate geodetiche alle coordinate cartesiane geocentriche e viceversa

Essendo (

,

,

h

) le coordinate riferite ad un ellissoide di rotazione, per molti scopiesplicativi possiamo considerare una sola sezione meridiana

, visibile in gura2.2

.

Fig. 2.2 Parametri di una sezione meridiana dellellissoide.

Lellisse

pu essere costruito geometricamente attraverso due circonferenze diraggia e c . Lequazione in forma parametrica :

2.2

Ricaviamo:

2.3

P Q 0.17 '' h sin2 h in km, Q Q =

n '

n ' sin;sincos;coscos( )=

Z

O

Q

N

H a

c

z

u

R N r (r=XY)

r a cos=

Z c sin==

Z r --- c

a-- tg =

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SISTEMI

DI

COORDINATE

20

ed ancora cercando la tangente alla curva si pu scrivere:

2.4

Dalla 2.2

otteniamo i differenziali che entrano nella2.4

:

2.5

Siccome vale la2.3

si ha:

cio:2.6

Esprimiamo ora , che entrano nelle2.2

in funzione di attraverso illegame con .Si usano le relazioni:

2.7

2.8

e, denita eccentricit quadratica o eccentricit, il valore:

2.9

si ricava:

2.10

Ricordando, la prima delle2.2

e la 2.6:

2.11a

tg ctg dZ dr -------= =

dr a d ;sin= dZ c d cos=

tg dr dZ ------- a

c -- tg ;= = tg c

a-- tg =

Z r --- c

a-- tg c

2

a2----- tg = =

Z r c 2

a2----- tg =

sin cos tg tg

tg

1 tg2 +------------------------=sin

cos 11 tg2 +

----------------------- -=

e 2 1 c 2

a2-----=

11 c

2

a2----- tg2 +

-----------------------------=cos cos1 e 2 sin2

-------------------------------=

sin 1 e 2sin

1 e 2 sin2-------------------------------=

r a cos1 e 2 sin2

-------------------------------=

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SISTEMI DI COORDINATE

21

2.11b

Lipotenusa del triangoloNHQ , che indichiamo con R N vale:2.12

con:

2.13

Ricordando la 2.12 le tre coordinate cartesiane del puntoQ sullellissoide valgono:

Per un punto P a quota ellissoidicah, ricordando ancora la2.1 , le formule si modi-cano in:

che rappresentano le formule di passaggio dalle coordinate geograche ( , ,h) allecartesiane geocentriche (X , Y , Z ).Possiamo cercare ora le formule inverse: il passaggio dalle coordinate cartesiane allegeograche. Linversione delle2.16 complessa e pu essere fatta risolvendo unaequazione del quarto grado od anche perturbativamente. Il metodo perturbativoconsiste in questi passaggi: possibile da prima ricavare direttamente , infatti:

2.17

Si calcola poi:

2.18

2.19

Con qualche passaggio si pu ricavare da queste formule:

2.20

Z r 1 e 2( )tg a 1 e 2( ) sin2

1 e 2 sin2-----------------------------------= =

R N r cos

----------- a1 e 2 sin2

------------------------------- aw ---= = =

w 1 e 2 sin2=

X Q ( ) R N coscos=

Y Q ( ) R N sincos=Z Q ( ) R N 1 e 2( ) sin=

2.14

2.15

2.16

X P ( ) R N h+( ) coscos=Y P ( ) R N h+( ) sincos=Z P ( ) R N 1 e 2( ) sin h sin+=

Y X tg =

r X 2 Y 2+ R N h+( ) cos= =

Z 1 e 2( )R N h+[ ] sin=

Z r --- 1

e 2 R N R N h+----------------

tg =

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22

Dalla 2.20 si ricava , trascurando, alla prima iterazione, il secondo termine inparentesi. Attraverso la seconda espressione delle2.12 si calcolaR N ed inne si puricavareh dalla 2.18 . Inserita h nella 2.20 pu iniziare una seconda iterazione, rica-vando un valore pi corretto di e cos di seguito si itera sino alla stabilizzazionedei valori di ed h ricavati.

2.2 LE COORDINATE ASTRONOMICHE O NATURALI

Le coordinate naturali sono denite dalla terna ( ,, ) nella quale , sonodette latitudine e longitudine astronomicaed detta altezza ortometricao quota ed la distanza di un punto P sul geoide misurata lungo la linea di forza. Sia il ver-sore diretto nella direzione del campo di forza perP (e quindi normale alla super-cie di livello passante perP ) (gura 2.3). Il versore pu essere espresso attraverso lecomponenti del vettore g :

2.21

La latitudine denita allora attraverso:

e siccome:

Fig. 2.3 Direzione della normale al geoide.

si ricava la coordinataper mezzo della:

n

ng x g ----

g y g ----

g z g ----,,

, , sinsincoscoscos( )= =

sing z g ---- =

g x g coscos=

g y g sincos=

Q'' Q'

n' n

h

N

H

P o

P

T

Sferoide Ellissoide

Geoide (campo reale)

tgg y g x ----=

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23

La terza coordinataH (la quota ortometrica) la lunghezza dellarco di linea di forzache congiunge il puntoP al geoide : in topograa si indica pi spesso con il simboloQ .Langolo che formano i versori ed (gura2.3) detto deviazione della verti-

cale ed la quantit che esprime lo scostamento delle linee di forza del campo reale,dalle linee di forza del campo normale.Si ricorda infatti che lellissoide la supercie che approssima la supercie equipo-tenziale del campo normale .Possiamo separare le componenti di lungo e e ricavare cos il legame tra lecoordinate geodetiche e le coordinate naturali:

2.22a

I valori comuni delle componenti delle deviazioni della verticale ( , ) sono dipoche decine di secondi sessaggesimali, aumentano il loro valore assoluto e la lorovariabilit in luoghi montagnosi. Grazie a questi valori modesti di deviazione dellaverticale possiamo sempre scrivere con rigore (vedasi la gura2.3):

2.23

ove N detta ondulazione del geoide e misura lo scostamento di questa superciedallellissoide geocentrico (del campo normale).In approssimazione sferica (che si denir al 3.5) si dimostrano le seguenti rela-zioni che legano londulazione del geoide alle deviazioni della verticale:

LondulazioneN ha su tutto il globo segno alterno e valori medi di 50 m (vedigura 2.5 ). In Italia londulazione varia da + 37 m in Calabria a + 52 m in Val

dAosta; il suo calcolo, compito dei geodeti, viene detto calcolo del geoide. Que-sti calcoli assumono grande importanza in questi ultimi tempi nei quali lutilizzo ditecniche satellitari consente di ricavare differenze di altezze ellissoidiche molto pre-cise: attraverso la2.23 , note le ondulazioni relative tra due punti possibile ricavareil dislivello ortometrico con precisione che dipende appunto dalla precisione concui noto il geoide.

n ' n

U U 0 W 0= =

n n '= , ( )

2.22b

2.22c =

( )

cos=

h H N +=

2.24a

2.24b

1R ---

N =

1R cos---------------

N =

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24

Fig. 2.4 Ondulazione del geoide.

I calcoli moderni del geoide, sempre pi precisi e complessi, partono dallutilizzo dimisure gravimetriche, satellitari e di ogni quantit sica misurabile legata al campoanomalo T . Si pu dimostrare inoltre che vale la relazione di Bruns:

2.25

che mostra che londulazione direttamente proporzionale al campo anomalo.

Fig. 2.5 Ondulazione del geoide italiano.

Z

n'

n

N

Ellissoide

Geoide

N T ----=

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25

Le coordinate naturali ( ,, )sono quantit misurabili direttamente: le primedue attraverso lutilizzo combinato di strumenti come ilteodolite o luniversale geo-detico(a seconda della precisione richiesta) ecronometri di precisione . Con questistrumenti sempre possibile individuare con precisione la direzione e misurareangoli a partire da questa direzione verso astri di orbita apparente nota congrande precisione.

2.26

Anche laltezza ortometrica facilmente determinabile (o meglio la differenza dialtezze ortometriche) attraverso operazioni come la livellazione geometrica, dopolapplicazione di opportune correzioni gravimetriche.

Fig. 2.6 Determinazione astronomica della latitudine.

La correzione gravimetrica nella livellazione geometrica

La quota di un generico punto P vale per denizione:

n

t M t E

g s ---------------- 360=

Z E Z M =

X t

Y

Z

P Greenwich

Z E

t M

Z M

E

n=zenith

Z M = zenit massimo apparente.g s = giorno siderale.t M = tempo al massimo zenit.t E = tempo delle effemeridi della stella.Z E = zenit delle effemeridi della stella.

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26

2.27

La gura2.6a porta lesempio in cui si voglia misurare il dislivello traAe B denitocon: . Si noti che le superciW =cost, cio le superci dW =0 nonsono fra di loro parallele. Si noti inne che scrivere dW =0 equivale anche ad affer-mare dH =0 per la 2.27 . Ipotizziamo di avere a disposizione uno strumento chemisuri le quantit in intorni sufcientemente prossimi al puntoP . Possiamoseguire con tale strumento daA verso B percorsi diversi. Sono due i casi limite: ilpercorso ed il percorso . Nel primo caso misureremo inquanto lungo W B si ha ; nel secondo caso misureremo inquanto lungo W A si ha: . Compiendo un qualunque altro percorso misure-remo dei valori compresi tra questi due valori limite.Scriviamo allora per comodit lintegrale2.27 come:

cio:

Denendo come valore medio integrale della gravit:

2.28

si ha:

2.29

Applicando la2.29 a 2 punti Ae B si ha:

2.30

H P H d

P 0

P

W dg

--------

P 0

P

= =

AB H B H A=

q

AA'' B AB '' B q AA''=q 0= q BB ''=

q 0=

H P W d 0

-------- 0g

-----

P 0

P

1 0----- W 0g ----- dP 0

P

1 0----- W 1 0 g g -------------+ dP 0

P

= = =

H P W P W 0

0--------------------- 1 0

----- g H 0 g ( )g ------------------d

P 0

P

=

g 1H P ------- g H d

P 0

P

=

H P W 0 W P

0---------------------= H P

0 g 0

--------------+

AB H B H AW B W A

0----------------------= = H B

0 g B 0

---------------- H A

0 g A 0

---------------- +

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27

Fig. 2.6a Principio per il quale necessaria la correzione gravimetrica.

Con misure di livellazione geometrica di precisione si misura il dislivello, che chia-miamo tra punti distanti fra loro al massimo 20-30 m.Anche ponendo per semplicit di ragionamento si vede dalla gura2.6che lungo diverso da . Il dislivello AB non si ottiene dunquesolo dalla sommatoria dei singoli , detti incrementi di livellazione, a causa delnon parallelismo traAe B delle superci equipotenziali.Questa sommatoria dipende ora dal percorso seguito traA e B per cui la 2.27diviene:

2.31

La differenza tra dislivello ortometrico traA e B e dislivello geometrico si chiamacorrezione ortometricaCO e vale:

2.32

Dividendo per le2.31 si ha:

e ricordando la2.30 , la 2.32 si trasforma in:

H H

H H B

A"

W=W

W=W

W=W

B

B

W 3

W 2

A

H A

A0 B 0

B" Geoide 0

q q

q 1

2

A =32

3

1

q H A H B ''=q i AA'' H B H A

q i

q A

B

W dg --------A

B

H B H A

CO H B H A( ) q A

B

=

g

W B W A 0

---------------------- g q 0

----------

A

B

g 0

0------------- 1+ q

A

B

q A

B

g 0

0------------- q

A

B

+= = =

q A

B

g 0

0------------- W B W A

0----------------------+

A

B

=

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28

2.33

dove perH A e H B sufciente inserire valori approssimati.

2.3 COORDINATE CARTESIANE LOCALI OD EULERIANE

Sono denite dalla terna (x , y , z ) di gura2.7 . Lassez diretto secondo il versorenormale ellissoidica. Lorigine degli assi posta inP e lassex appartiene al pianomeridiano passante perP (vedi gura2.6).Si pu passare dalsistema locale a quellocartesiano geocentrico e viceversa, note lecoordinate geodetiche. Siano i tre assi che si ottengono ruotando attorno aZ di un angolo antiorario gli assi (X Y Z ).

Fig. 2.7 Coordinate cartesiane locali od euleriane.

Si avr:

Siano ora (z x y ) i corrispondenti assi che si ottengono ruotando attorno allasse diun angolo orario. Si noti tuttavia che lasse diretto in senso sinistrorso rispettoagli assi . Perci si avr:

COg 0

0-------------- q

A

B

= H A g A 0

0---------------- H B

g B 0 0

----------------+

n '

( )

X

Y

Z

O

P

y x

z // n'

Q

cos sin 0

sin cos 00 0 1

X X Q

Y Y Q Z ZQ

R

X

Y Z

= =

( )

z x y

cos 0 sin0 1 0 sin 0 cos

R

= =

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29

Si avr dunque:

Sviluppando i calcoli si ha in denitiva:

2.34a

EssendoR una matrice di rotazione, si ha: , per cui la relazione inversavale:

2.34b

meno frequente la possibilit di misura diretta delle coordinate geodeticherispetto a quelle naturali. In questo caso lassez materializzato dallasse di un teo-dolite che fa stazione inP ; misurata la direzione del Sud astronomico che rappre-senta la direzione opposta allassey (che con lassez individua il piano meridiano),nelle formule2.34 vengono sostituite allora le coordinate alle coordinategeodetiche .

2.4 DIMENSIONI DELLELLISSOIDE TERRESTRE

Si visto che il potenziale di gravit denito come somma dei potenziali.

Si cercato poi qual la supercie che meglio descrive il campo normaleU e, attra-verso lo sferoide, si arrivati allellissoide di rotazione. Ci si chiede ora quali sono ledimensioni e le caratteristiche dellellissoide che, in base alle pi accurate e recentimisure, denisce con precisione il campo anomaloU . La risposta generica manon approssimativa : quellellissoide che in media, sulla supercie , rende ilcampo anomalo uguale a zero, perch quello che pi si adatta al metodo didescrizione variazionale della supercie terrestre. Quali sono e come si calcolanole sue dimensioni?Partiamo dallipotesi:

2.35

dove M rappresenta loperatore media . Applicando questo operatore al

z

xy

R R

X

Y Z

=

xy z sin cos 0

cossin sinsin cos coscos sincos sin

X X P

Y Y P

Z Z P

R X Y Z

= =

R 1

R T =

X Y Z

R T z x y

=

,( ) ,( )

W U T +=

M T [ ] 0=

M [ ]

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30

campo realeW , grazie alla propriet di linearit delloperatore si ottiene:

ma se vale la2.35:

cio il potenziale di gravit costante del geoide che una supercie di livello.La supercie dello sferoide invece non una supercie di livello, lo solo inmedia. Non sono superci di livello anche le superci .La costanteW 0, ssa in pratica le dimensioni dellellissoide ricercate.Vogliamo capire quali e quanti sono i parametri sici e geometrici indipendenti cheunivocamente deniscono il potenziale . Ci si ottiene analiz-zando la 1.33 che pu essere riscritta:

che evidenzia cos che le coordinate ( , ) sono funzione solo dei seguenti quattroparametri indipendenti:

2.36

questultimo valore, come gi detto, deve essere scelto in modo tale che sulla super-cie che in prima approssimazione lo sferoide ed in seconda lellissoide,

valga la2.35 . La ricerca dei termini2.36 o di altri, da essi dipendenti comea, , ecc.(vedi 1.43 ) in passato avvenuta sfruttando misure gravimetriche, osservazioniastronomiche e satellitari, congiuntamente a misure di tempo. Tutti questi calcolihanno condotto a risultati a via a via pi precisi.Bessel , nel 1841 den un ellissoide di parametri geometrici:

a = 6377397.155m = 1/299.1528128

Lellissoide internazionale diHayford del 1909 fra i pi utilizzati ed ha parametrigeometrici:

a = 6378388.000m = 1/297.0000000Mentre con due parametri geometrici si deniscono solo forma e dimensionedellelissoide terrestre, con quattro si denisce compiutamente unsistema di riferi-mento. Nella seguente tabella riportiamo i parametri dei pi conosciuti sistemi diriferimento (GRS, signica Sistema di Riferimento Globale) che internazional-mente si convenne di utilizzare nel 1967 e quelli successivi del 1980.

M W [ ] W 0 M U [ ] M T [ ]+= =

M W [ ] M U [ ] W 0 U 0= = =

W 0

U cost U 0=

W U 0 W 0= =

U GM ---------- 1 1

2 2--------- C A

M------------- 1 3 sin2( )+

2 2 cos22

---------------------------- U 0=+=

GM, C AM

------------- , , U U = 0

f ,( )

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31

Come si nota, fra i quattro parametri indipendenti si scelto di riportare il semiasseequatoriale ed il termineJ 20. Questo termine in relazione conA20 della 1.30 permezzo della:

da cui si ricava anche:

Tutti gli altri termini geometrici e sici sono da questi dipendenti, ad esempio nelsistema GRS67 da questi quattro valori si ricava = 1/298.25, nel sistema GRS 80, siha = 1/298.257224; . Con i valori del sistema GRS80 si pu poi ottenere la formula della gravit normale:

2.37

valida per ogni punto posto sulla supercie ellissoidica (9.780327 il valore perdella 1.49). Come si pu notare dipende solo da come logico atten-

dersi sulla supercie di rotazione . Per ottenere il valore di , gravit normale, inun punto di altezza ellissoidicah, si applica (riportiamo sempre la formula con ivalori GRS 80):

2.38

Essendo un gal (sta per Galileo) lunit di misura della gravit ,si ha che ogni 3 m circa in quota la gravit diminuisce di 1mgal . Un sistema di rife-rimento utilizzato nel posizionamento satellitare, quello denominato WGS84;questo sistema ha parametri praticamente coincidenti il sistema GRS 80. In questosistema:

a=6378137m; =1/298.25722356

I valori non sono coincidenti in quanto si adottato convenzionalmente per i para-metri derivati daA20 un troncamento allottava cifra decimale.

Tab. 2.1

Sistema a (m) GM (m3/s 2) J 20 (r/s) x105

GRS 67 6378160 398603.0 x109 1082.70 x10-6 7.2921151467

GRS 80 6378137 398600.5 x109 1082.63 x10-6 7.2921150000

J 20 A20 a2GM( ) =

k J 20 a2=

U 0 62.63686 106

= m2 s 2

0 9.780327 1 0.0053024 sin2 5.8 10 6 2 sin2+( ) m s2 [ ]=

0= 0

0

h

00.30877 1 0.00142 sin2+( )10

5

s 2----------=

1 gal 10 2 m s2 =

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37/86

32

3. L'ELLISSOIDE COME SUPERFICIE DI

RIFERIMENTO PLANIMETRICA

Abbiamo visto che, per individuare un punto o una serie di punti di un rilievo e poirappresentarli, si passa attraverso una supercie di riferimento che, per la planime-tria, l'ellissoide (ci vuol dire che due delle tre coordinate che individuano unpunto sono le coordinate ellissoidiche e ). Vedremo in queste pagine di appro-fondire le propriet delle misure che teoricamente si possono compiere su questasupercie, in relazione anche al tipo ed alla precisione delle misure topograche chesono in pratica eseguibili sul terreno.

3.1 R AGGI DI CURVATURA E SEZIONI NORMALI

Sia la normale allellissoide inP , si dicesezione normale una qualunque curva otte-nuta per intersezione dell'ellissoide con un piano avente per direttrice il versore(gura3.1).

Fig. 3.1 Sezioni normali.

n 'n '

X

Y

Z

O

Q n'

P

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38/86

LELLISSOIDE COME SUPERFICIE DI RIFERIMENTOPLANIMETRICA

33

Fra queste vi la sezione meridiana, che contiene e l'asseZ

.Deniamo l'azimut traP

e Q

come l'angolo orario che la sezione meridiana formacon la sezione normale inP

che passa anche perQ

.

Esistono ovviamente innite sezioni normali passanti perP

, ciascuna con diversoraggio di curvatura

1

. Cerchiamone le propriet:

possiamo intuitivamente capire che, essendo l'ellissoide una supercie dirotazione, per tutte le sezioni normali di generico azimut, tutti i raggi dicurvaturaR

appartengono al piano meridiano; i valoriR

variano con continuit al variare dell'azimut

, da un valoreminimo

ad un valore massimo (si vedr in seguito che, per il teoremadi Meusnier coincide col valore2.12

); si deniscono sezioni normali principali le sezioni normali corrispondenti

ai raggi

e ; si pu inne dimostrare che, per qualunque supercie di rotazione, una

delle sezioni normali principali la

curva meridiana

. Su questa curva giaceil raggio di minimo

(e non massimo) a causa del fatto che l'ellissoide schiacciato ai poli;

ancora possibile dimostrare che le sezioni normali principali sono fra loronormali, cio la sezione normale relativa al raggio si ha per .(Non si confonda questa sezione, disegnata in gura3.1

con il parallelo per

P

, che non una sezione normale anche se tangente alla sezione normale); per le sezioni normali vale lalegge di Eulero

:

3.1

che esprime la variazione continua diR in funzione di

e dei due raggi dicurvatura principali.

Fig. 3.2 Raggio di curvatura di una sezione meridiana.

1Si noti che una sezione parallela che non sia equatoriale non una sezione normale.

n '

R N R N

R N

R N 90=

1R ------ cos2 -------------- sin

2R N

-------------+=

X

Z

O

d

r ds

dz dr

r = x 2 + y 2

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39/86

L

ELLISSOIDE

COME

SUPERFICIE

DI

RIFERIMENTO

PLANIMETRICA

34

Vediamo come si ricava il raggio principale di curvatura di una sezione meridiana,come quella descritta in gura3.2

. In termini differenziali:

3.2

con:

3.3

Ricordiamo le2.11

:

Differenziando rispetto ar

e Z

si ricava, dopo alcuni passaggi:

3.4a

3.4b

Di conseguenza per la3.3

:

3.5

cio, denendow

come la2.13

:

3.6

Per trovare il raggio di curvatura , dettogrannormale

applichiamo ilteorema diMeusnier

:

Il raggio di curvatura di una sezione obliqua uguale al raggio di curvatura dellasezione normale corrispondente

al piano che contiene la tangente alla sezione obli-qua, moltiplicato per il coseno dell'angolo formato tra i piani delle sue sezioni.

Ci signica nel nostro caso:

3.7

dunque:

ottenendo con ci il risultato2.12

, ricavato prima che sapessimo che fosse la

grannormale. Si pu notare poi che e, dalla gura2.2

, che pu essere

s d d

-------=

s 2d r 2 Z 2d+d=

r a cos1 e 2 sin2

-------------------------------=

Z a 1 e 2( ) sin

1 e 2 sin2--------------------------------=

r d a 1 e 2( ) sin

1 e 2 sin2( )3 2 -------------------------------------- d=

Z d a 1 e 2( ) cos

1 e 2 sin( )3 2 ------------------------------------- d=

s d a 1 e 2( )1 e 2 sin2( )3 2 -------------------------------------- d=

a 1 e 2( )

1 e 2 sin2( )3 2 --------------------------------------- a 1 e

2( )w 3

---------------------= =

R N

r R N cos=

R N r cos

----------- a1 e 2 sin2

-------------------------------= =

R N

R < N R N

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LELLISSOIDE COME SUPERFICIE DI RIFERIMENTO PLANIMETRICA

35

ottenuto dall'intersezione tra il versore e l'asseZ ed misurato da questa interse-zione al puntoQ sull'ellissoide.Si denisce curvatura totale, l'inverso del raggio di curvatura della sfera osculatrice

(bitangente) che vale:3.8

In sintesi i raggi di curvatura dell'ellissoide sono:

3.2 LINEE GEODETICHE

Su una supercie denita da:

3.9

si ha il problema di denire e di misurare la distanza tra due puntiP e Q . Esistonoinnite linee che li possono congiungere, fra queste viene denitageodetica quellalinea che ha la minor lunghezza. possibile dimostrare che la geodetica pu essere denita come quella lineag sullasupercie che ha la normale alla curvag coincidente in ogni punto con la normalealla supercie (vale a dire il cui piano osculatore sempre normale a).

Fig. 3.3 Linea geodetica.

n '

R R N a 1 e 2( )1 2 1 e 2 sin2----------------------------= =

R N aw --- ;= a 1 e

2( )w 3

--------------------- ;= r a cosw

-------------- ;= R a 1 e 2

w 2--------------------=

:=f x y z ,,( ) 0=

X

Y

Z

O

Q

P

g

s'

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36

Si dimostra che seP e Q (vedi gura1.5) non sono troppo distanti (

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42/86


37

Scritta in questa forma facile calcolare le derivate da inserire nella3.10 , ad esempio:

Dunque utilizzando la prima equazione delle3.10 :

ovvero:

cio:

3.12

Ricordiamo ora che ser il raggio del parallelo e la longitudine:3.13

e, siccome siar sia dipendono da ds , le derivate della3.12 possono scriversicompiutamente:

3.14

3.15

Queste derivate, inserite nella3.12 permettono di scrivere:

cio:

3.16

X 2 Y 2 a2 Z 2

1 e 2-------------

0=+

X f 2X ;= Y

f 2Y =

X d2Y

ds 2--------- Y d

2X ds 2--------- 0=

dds -----

X dY ds ------

Y dX ds -------

0=

X dY ds ------ Y dX ds

------- cost=

X r ;cos= Y r sin=

dX ds ------- r d ds

------ dr ds -----cos+sin Y d ds

------ dr ds -----cos+= =

dY ds ------ r d ds

------ dr ds -----sin+cos X d ds

------ dr ds -----sin+= =

X 2d

ds ------ X dr

ds -----sin Y 2d

ds ------ Y dr

ds ----- cost=cos+ +

d ds ------ r 2( cos2 r 2 ) dr ds -----+sin

2 r cos sin r cos sin( )+ cost=

r 2d ds ------ cost=

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38

Fig. 3.4 Arco di una geodetica in termini differenziali.

Si ha poi (vedi gura3.4):

Allora la3.16 pu anche scriversi:3.17

che viene dettarelazione di Clairaut ed esprime che:in ciascun punto di una geodetica costante il prodotto del seno dell'azimut dellageodetica per il raggio del parallelo.

Si dimostra che questo teorema valeper tutte le superci di rotazione .

Per non creare confusione tra sezioni normali e geodetiche chiariamo che questecurve sull'ellissoide non coincidono (coincidono sulla sfera) e che l'azimut di unpunto fa riferimento allesezioni normali .

3.4 TEOREMI DELLA GEODESIA OPERATIVA

Premessa

Se escludiamo i sistemi di posizionamento satellitare, gli strumenti geodetici etopograci a nostra disposizione mostrano una incongruenza tra la teoria n qui

esposta, che vuole queste misure riferite all'ellissoide e la pratica operativa.Si vedr infatti che questi strumenti fanno riferimento alla direzione della verticalepassante per il punto di stazione e quindial campo reale e nonal campo normale dellagravit: tutte queste misure dovrebbero cio riferirsi pi convenientemente al geoide.Nel denire una distanza sull'ellissoide come: la geodetica passante per due punti,abbiamo implicitamente ipotizzato di poterla misurare, in realt anche nell'ipotesisemplicativa di campo anomalo nullo nei punti di misura (T = 0) con i nostristrumenti saremmo al massimo in grado di misurare lunghezze di archi su sezioninormali e angoli fra sezioni normali.

d

d

A

P

B +

+

ds

r d

r d ds sin=

r sin cost=

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39

Occorre che nelle approssimazioni del campo normale e nelle prossime che segui-ranno, si tenga contodella precisione del rilievo che deve essere eseguito, tale preci-sione funzione dellasensibilit degli strumenti da utilizzarsi, dell'estensione del rilievo e dellemodalit operative . dunque logico partire da criterioperativi pervedere, a ritroso, sino a quale ambito sono valide le approssimazioni che possiamocompiere che, come si comprende, sono di tipo operativo. Per questa ragione parle-remo digeodesia operativa .

Gli azimut e le distanze su sezioni normali

Chiamandos' la distanza su una sezione normale,s la corrispondente distanza geo-detica,Az lazimut misurato su questa sezione normale ed inne l'azimut geode-tico (cio della geodetica), si dimostra che:

3.18

Questa differenza relativa porta ad avere pers = 1000 km,s = 1 cm, cio un errorerelativos/s di ; questa precisione praticamente irraggiungibile con stru-mentazioni topograche classiche.Si dimostra poi che, per l'errore angolare vale:

3.19

Questo errore assume i valori massimi riportati in tabella3.1 :

Tab.3.1 Scostamenti tra azimut della geodetica e azimut della sezione normale.

Premesso che, condizioni di visibilit a parte, a causa della curvatura terrestre quasi sempre impossibile osservare punti a 300 km di distanza, dalla tabella3.1emerge che l'errore che si commette sempre minore o uguale all'errore quadraticomedio strumentale degli strumenti di misura angolare oggi a nostra disposizione.Possiamo dunque affermare che (Teorema della geodesia operativa ):

Qualunque misura di azimut, angolo o distanza eseguita con i mezzi a disposizionedei topogra pu ritenersi eseguita con riferimento ad archi di geodetica sullasupercie di riferimento.

S = 0 = 45

100 km 0.03" 0.01"

200 km 0.14" 0.07"

300 km 0.26" 0.13"

s ' s

s '----------- 1

360-------- - s

4

R N 2

R 2---------------

e 2

1 e 2

-------------

2 cos4sin2

1 10 8

AZ s 2

12R N R --------------------- e

2

1 e 2------------- 2 cos2sin==

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40

3.5 CAMPO GEODETICO E CAMPO TOPOGRAFICO

Sia (x, y, z ) una terna locale orientata come in gura3.5 e con origine inP , sial'azimut della sezione normalePQ eds l'arcoPQ .Le tre coordinate cartesiane locali possono essere ricavate dalle due coordinate disupercie( ,s ) denite coordinate geodetiche polari attraverso gli sviluppi in serie diPuiseux- Wiengarten:

Fig. 3.5 Coordinatex , y e z ricavate in funzione dis ed .

3.20a

3.20b

3.20c

doveR si ricava dalle3.1 .Arrestando al secondo ordine lo sviluppo si pu scrivere:

3.21a

3.21b

3.21c

Y

z

Z

O

Q

P

y

x

s

z

p

x s 1 s 2

6R N R ----------------- 1

3--- s

3

R N 2 R

-------------- e 2

1 e 2------------- coscossin + +

sin=

y s 1 s 2

6 R ------------ 1

24------ s

3

R --------- e

2

1 e 2------------- cossin

cos---------------------- 9 cos

2

-------------- sin

2

R N -------------+

+ + sin=

z s s 2R --------- s

3

R N 2 R

-------------- e 2

1 e 2------------- coscossin +

=

x e s 1 s 26 R N ------------- 1 e 2 cos2sin21 e 2 sin2

-------------------------------- sin=

y e s 1s 2

6 R N ------------- 1 e

2 cos2cos21 e 2

---------------------------------+ cos=

z e s 2

6R ---------=

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41

Proviamo ora ad approssimare ulteriormente le3.21 con un'approssimazione che chia-miamo sferica in quanto poniamo , ede = 0. Si ottiene:

3.22a

3.22b

3.22c

Ci si pone la domanda: quando sono lecite queste approssimazioni o, in pratica,quanto differiscono le3.21 dalle3.22?I valori massimizzati per =0 e per =0 oppure per =90 valgono per un arcos di 100 km:

La precisione massima raggiungibile dagli strumenti topograci moderni ancoradell'ordine di questo errore massimo relativo che vale .Si pu concludere allora, cheper scopi planimetrici in un raggio s di 100 km si pusostituire all'ellissoide, la sfera locale passante per P . Questa la denizione delcampo geodetico.Cosa avviene per le quote? La differenzaz vale:

I valori diz sono visibili in tabella 3.2.

Tab.3.2 Scostamenti altimetrici tra ellissoide e sfera locale.

Si dimostra che nelle operazioni di livellazione trigonometrica, per distanze supe-riori ai 20 km occorre riferirsi all'ellissoide (utilizzando dunque la3.21c ) e non possibile riferirsi alla sfera locale . tuttavia raro che in un'unica misura di livella-zione trigonometrica si superino queste distanze, come pure quasi mai possibilecon distanziometri ad onde misurare singole distanze di 100 km con le precisioni dicui sopra. Si preferisce, per motivi di visibilit e per limitare la propagazione deglierrori, spezzare in pi tratte sia la misura delle distanze che la misura di dislivellitrigonometrici.

s 1 km 10 km 20 km 50 km 100 km

z 0.13 mm 1.3 cm 5.4 cm 0.33 m 1.3 m

R R R N = =

x s

s 1 s 2

6R 2---------

sin=

y s s 1s 2

6R 2---------

cos=

z s s 22R -------=

x e x s ( ) y e y s ( ) z e z s ( ),,

x y 27 mm==

2.7 10 7

z s 22----- 1R ------ 1

R N --------------- =

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42

Le3.22 , in un ambitoancora pi ristretto possono scriversi per la parte planimetrica:

3.23a

3.23bL'errore planimetricos risultante, differenza tra le3.22 e le3.23 vale .

Tab.3.3 Errore planimetrico nel campo topograco.

Siccome la precisione massima di distanziometri EDM dellordine dipossiamo af ferma re che, (denizione dicampo topograco):

in un'intorno di 10-15 km, per misure planimetriche possiamo sostituire alla sferalocale il piano locale tangente in P .

Non mai possibile riferire le quote nelcampo topograco al piano locale maoccorre utilizzare ancora la3.22c .L'errore altimetricoZ risultante, che si commette in caso contra-rio, assume i valori riportati in tabella3.4 .

Tab.3.4 Errore altimetrico nel campo topograco.

Gi a poche centinaia di metri l'errore che si commette paragonabile alla sensibi-lit del metodo di misura dei dislivelli della livellazione trigonometrica (o di quella

tacheometrica) se le distanze sono misurate con i moderni distanziometri ad onde.

s 10 km 20 km 50 km

s

s 100 m 500 m 1 km 5 km 10 km

Z 0.8 mm 2 cm 8 cm 2 m 7.8 m

X s sin=

Y s cos=s 2 2R 2

4 10 7 1.6 10 6 10.2 10 5

1 10 6

Z s 2 2R =

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43

4. PROBLEMI PLANIMETRICI RISOLUBILI

NEL CAMPO GEODETICO

4.1 IL TEOREMA DI LEGENDRESi pu dimostrare attraverso le3.19 che, nel campo geodetico , una gura ellissoidicapu essere risolta con i teoremi della trigonometria sferica. I teoremi della trigono-metria sferica non sono tuttavia di facile utilizzo; il teorema di Legendre permetteallora di risolverein questo intorno , un qualunque triangolo sferico con gli algoritmidella trigonometria piana.La somma degli angoli interni di un triangolo sfericoA,B ,C vale:

dove 3 , detto eccesso sferico e si ricava da:

4.1

con S supercie del triangolo eR raggio della sfera locale. Il teorema di Legen-dre afferma:

Sia dato un triangolo sferico i cui lati siano piccoli rispetto ad R , tali che l /R siassuma come quantit del 1 ordine. Commettendo un errore di gli angolidi un triangolo piano che ha i lati della stessa lunghezza dei lati del triangolo sfe-rico possono essere derivati degli angoli di quest'ultimo sottraendo a questi 1/3dell'eccesso sferico.

Per triangoli di 60 km di lato, ad esempio, ; ( ); l'erroreresiduo vale .Dal teorema deriva il corollario:

a meno di errori di , l'area del triangolo sferico la stessa del triangolopiano costruito come gi detto.

Questo teorema permette di risolvere agevolmente il problema inverso del tra-sporto di coordinate geograche ed il passaggio dalle coordinate geodetiche polarialle rettangolari.

A B C 3 +=+ +

3 S R 2-----=

l R ( )4

3 24= cc 1cc 10 4 gon=1 R ( )4 0.006cc=

l R ( )4

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PROBLEMI

PLANIMETRICI

RISOLUBILI

NEL

CAMPO

GEODETICO

44

4.2 C

OORDINATE

GEODETICHE

POLARI

E

RETTANGOLARI

Denito sull'ellissoide un polo , la posizione di un secondo puntorispetto ad O

pu essere ricavata attraverso lecoordinate geodetiche polari

(azimut e geodetica) o attraverso le coordinate dettecoordinate

geode-tiche rettangolari

e cos denite:

Condotta da O

la curva meridiana e da P

la sezione normale perpendicolare a que-sta curva in Q

, gli archi di sezione normale QP

e QO

deniscono il sistema geo-detico rettangolare (gura 4.1).

Fig. 4.1 Applicazione del teorema di Legendre.

Applicando il teorema di Legendre al triangoloOQP

, costruendo cio un triangolopiano O'P'Q'

come indicato in gura4.1

, si pu scrivere:

ma, essendo

piccolo, si possono trascurare i termini del secondo ordine, cio:

si pu scrivere allora:

4.2

4.3

dove:

4.4

Le 4.2

, 4.3

e 4.4

sono le formule dirette di passaggio dalle coordinate geodetichepolari alle coordinate geodetiche rettangolari .Ricaviamo ora le formule inverse. Sviluppando i seni e i coseni:

O 0 0,( )P ,( ) s ,( ) X Y ,( )

X Y ,( )

O'

Q'

N

P'

_

_

_

/2

/2 +2

Q

O

Y S

( )

( )P ,

X

X ( )sin------------------------

Y 2 ( )cos----------------------------

s cos

----------= =

1 2 2 1 cos

X s ( )sin=

Y s 2 ( )cos=

3 s 2 cossin

2R 2---------------------------=

s ,( ) X Y ,( )

X s = s s s cossinsincoscossin

Y s = 2 2 sinsin+coscos( ) s 2 s sin+cos

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PROBLEMI

PLANIMETRICI

RISOLUBILI

NEL

CAMPO

GEODETICO

45

Dalla seconda e dalla prima espressione, in ordine, ricaviamo:

4.5

4.6

4.7

Le 4.5

, 4.6

e 4.7 deniscono il passaggio dalle coordinate geodetiche rettangolarialle polari .

4.3 IL TRASPORTO DELLE COORDINATE GEODETICHE : PROBLEMA DIRETTO

Formulazione:dato un punto O di cui si conoscono le coordinate geograche e nota lalunghezza della geodetica tra O e P e l'azimut in O, calcolare le coordi-nate di P e l'azimut della geodetica in P .

Fig. 4.2 Problema diretto del trasporto di coordinate.

s Y 2 s sin=cos

s X s cos+=

sinX s Y 2 s sin( ) s sinsin=

Y s 2 X s cos+( ) s 2 X +cos+cos=

s X Y += ; s Y 2 X =cossin

tg X Y +

Y 2 X -------------------=

s 2 s sin( )2 s cos( )2 =+=

= X Y +( )2 Y 2 X ( )2+

3 XY 2R 2---------=

X Y ,( ) s ,( )

0 0,( ) 0=

P P ,( )

O

P

N

s 0

( 0 , 0 )

( 0 , 0 )

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PROBLEMI PLANIMETRICI RISOLUBILI NEL CAMPO GEODETICO

46

Sull'ellissoide (gura4.2 ) un punto qualsiasi appartenente alla geodeticaOP puessere espresso in forma parametrica, in funzione della coordinata curvilinea cor-rente s , dalle espressioni:

Indichiamo in seguito per brevit la derivata di una qualsiasi variabileu rispettoad s . Sviluppando in serie le espressioni parametriche dis otteniamo:

Fig. 4.3 Triangolo infinitesimo con ipotenusa un arco di geodetica.

Consideriamo ora un triangolo innitesimo di cateti sul meridiano,sul parallelo e di ipotenusa ds (gura 4.3); si ha:

cio:

4.8

s( )=

s( )= s( )=

u s ,

0 s , ss ,s 22!----- s s s ,

s 33!----- + + + +=

0 s , ss ,s 2

2!----- s s s ,

s 3

3!----- + + + +=

0 s , ss ,s 22!----- s s s ,

s 33!----- + + + +=

d

B C

A

ds .

.r d

d ( ) r d ( )

d ds cos=

r d ds sin=

s ,d ds ------ cos

-----------= =

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47

4.9

Rimane, per applicare operativamente lo sviluppo di , da ricavare .Sfruttiamo allo scopo il teorema di Clairaut: ; si ha cos:

Ricordando la 3.4a e la 4.8 si ricavano le prime due derivate:

) 4.10

Similmente dalla 4.8 e seguenti si calcolano le derivate seconde e terze tenendoconto che:

Si ottiene in denitiva:

4.11

4.12

4.13

Queste formule, nei limiti del campo geodetico, permettono di ricavare conun errore massimo di 0.001" pari a circa 3 cm pers = 100 km.Per distanze inferiori od uguali a 10 km pu essere trascurato il termine in , men-tre mai pu essere trascurato il termine in .

s ,d ds ------ sin

r -----------= =

d

ds ------

r sin cost=

dr ds ----- d

ds ------ r 0=cos+sin

dr d ------ d

ds ------ sin

r cos-------------- d

ds ------=

dr d ------ d

ds ------ cos

----------- d

ds ------ sinsin

r ----------------------=;=;sin=

ss ,dds ----- cos

----------- ss , dds -----

sinr

---------- - ss ,

dds ----- sinsin

r ---------------------- - =;=;=

0 s 0 cos

0 -----------------

s 2 0 sin2 0

------------------ 0 sin2

R N 0 0 cos------------------------

3e 2 0 cos2cos 0 1 e 2 0 sin2( )----------------------------------------+

++=

s 3 0 0 cossin26 0

3------------------------------------ - 1 +( )

0 s 0 sin

R N 0 0 cos----------------------

s 2 0 2 0 sinsin2R N 0

2 0 cos2

----------------------------------- ++ +=

s 3

6R N 0 2

0 cos2-----------------------------+

2 0 0 cossin 0

------------------------------2tg2 0 3 0 sin

R N 0-----------------------------------+

0 s tg 0 0 sin

R N 0 ----------------------------- + +=

s 2 0 0 cossin

R N 0 ------------------------------------ 1

0 -----

2tg2 0 R N 0

----------------+ + +

,( )

s 3s 2

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48

Per il trasporto dell'azimut 4.13 non occorre raggiungere la medesima approssima-zione in quanto stesso pu essere misurato con approssimazione massima dipochi decimi di secondo. Pers =50 km il termine in garantisce gi l'approssima-zione di 0.1". Si pu dimostrare che, con la stessa approssimazione vale:

4.14

con:

4.15

Si denisceconvergenza del meridiano (vedi gura4.2) il termine:

4.16

4.4 IL TRASPORTO DELLE COORDINATE GEOGRAFICHE : PROBLEMA INVERSOIl problema si esprime: note le coordinate di e di determi-nare le coordinate geodetiche polari diP 2 rispetto a P 1.

Fig. 4.4 Problema inverso del trasporto di coordinate.

Le coordinate geodetiche rettangolari diP 2 sono ; applichiamo ora gli svi-luppi 4.11 , 4.12 , all'arco P 2P 3 adottando l'origine nel punto P 3, e arrestandoli altermine in . Tenendo conto che e che :

4.17

4.18

0s 2

0 0 ( ) msin+=

m 0 +( ) 2 =

C m 0 ( ) 0 ( ) msin= =

P 1 1 1,( ) P 2 2 2,( ) s ,( )

X

Y

Z

O

N

P 1

P' 3

s

P 3

P 2 Y

X

( 1 , 1 )

( 2 , 2 )

X Y ,( )

s 2 2 = s X =

2 3X 2 3sin

2 3 R N 3 3cos--------------------------------- 3

X 2

2 2 R N 2------------------- tg 2 =

2 3X

R N 3 3cos----------------------- 3

X R N 2 2 cos-----------------------++=

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49

ma, siccome (vedi gura4.4) dalla 4.18 ricaviamo:

4.19

sostituendo il valore diX cos ricavato nella4.17 si ottiene:

4.20

Allo stesso modo, ssando l'origine inP 1 si ricava dalla4.11 :

4.21

sostituendo nella 4.21 ed eguagliando la4.20 e la 4.21 si estraeda quest'ultima l'espressione diY in funzione di .Si pu dimostrare che, in alternativa e con la stessa precisione vale:

4.22

dove ricavata dalla4.20 e m il raggio di prima curvatura ricavato utilizzandouna latitudine media .Ricavati dunque dalle4.19 e 4.22 , dalle 4.5 , 4.6 e 4.7 si ottengono nal-mente le incognite .

1 3=

R N 2 2 1( ) 2 X =cos

2 3 2 1( )2 R N 2 2 2 cossin

2 2--------------------------------------------------------------=

3

3 1Y 1-----

3Y 2 1 1 e 2cossin

2 12 1 e 2 1sin2( )

--------------------------------------------+=

Y 2 12 3 1( )

1 1,( ) 2 2,( ),

Y m 3 1( )=

3 m 3 1+( ) 2 =

X Y ,( ) s ,( )

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LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE

51

Esistono innite funzioni f di questo tipo: scegliendo f si sceglie automaticamente iltipo di deformazione connesso. La deformazione varia in genere da punto a punto,di particolare interesse lo studio di come si deformano, di come si rappresentano imeridiani e i paralleli. Queste curve sulla carta prendono il nome di trasformate deimeridiani e dei paralleli. L'effetto della rappresentazione una descrizione pianama deformata delle gure; queste deformazioni possono essere del tipo:

Deformazionelineare :ad un arco ds c sull'ellissoide corrisponde un arco ds e sulla carta. Ilmodulo dideformazione lineare vale (gura5.4

):

5.1

Fig. 5.2a Fig.5.2b Ellissoide e rappresentazione, deformazioni angolari.

Deformazioneaereale

:ad una supercie d

e

sull'ellissoide, corrisponde una supercie d

c

sullacarta. Ilmodulo di deformazione aereale

vale:

5.2

Deformazioneangolare

:

si consideri un elemento d

s

e

di geodetica, uscente daP

con azimut

, la tra-sformata del meridiano former con l'elemento ds

c

sulla rappresentazionel'angolo .(gura5.2

)Ladeformazione angolare

denita da:

5.3

Per denire una rappresentazione occorre stabilire: le formule dirette:

5.4

mds c ds e ------=

Z

X

Y P

ds e '

y

x

P'

ds c

mAd c d e --------=

'

' ( )=

f: x x ,( ), y y ,( )= =

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LE

RAPPRESENTAZIONI

CARTOGRAFICHE

52

ed inverse:

5.5

La denizione di reticolato geograco, cio le trasformate di meridiani eparalleli e l'angolo

che la trasformata ad un meridiano forma con la dire-zione dell'asseY

(da non confondersi con la convergenza del meridiano). La deformazione di un arco nito di geodetica sulla rappresentazione; in

particolare: la lunghezza l' dell'arco di trasformata della geodetica passante perP

e Q

sull'ellissoide e perP'

e Q

' sulla carta; gli angoli

P

ed

Q

, detti riduzioni alla corda che sono gli angoli allacorda inP'

e Q'

della trasformata della geodetical'

(Figura

5.3

).

Fig. 5.3 Riduzioni alla corda.

5.1 C

LASSIFICAZIONE

DELLA

RAPPRESENTAZIONI

In base al tipo di deformazione si distinguono carte:

isogone o conformi

: il modulo di deformazione linearem

, pur variando dapunto a punto, non varia in funzione dell'azimut

, ne consegue che sullacarta gure innitesime risultano simili alle corrispondenti gure sull'ellis-soide: per questo motivo gli angoli si mantengono uguali, cio la deforma-zione angolare nulla in qualunque punto. Queste carte sono adatte fral'altro alla navigazione (per poter dirigere correttamente la rotta), ma sonole pi usate anche per scopi topograci;

equivalenti

: si conserva costante il rapporto fra le aree di quadrilateri inni-tesimi: . Queste carte sono pi adatte per scopi catastali

ove necessario che si mantenga invariata la supercie che possibile rica-vare da misure cartograche;

f 1 : x y ,( ), x y ,( )= =

y

x

P'

l'

Q'

P

Q

mA cost 1= =

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LE

RAPPRESENTAZIONI

CARTOGRAFICHE

53

alattiche

: sono le rappresentazioni che non godono delle prime due pro-priet. bene ribadire che non esistono carte conformi ed assieme equiva-lenti, in questo caso non esisterebbe deformazione, tuttavia particolari cartealattiche rendono accettabili, in zone limitate, entrambi i tipi di deforma-zione. possibile tuttavia cercare tra tutte le carte conformi quella diminor deformazione angolare o, fra le equivalenti, quella di minor defor-mazione areale.

5.2 E

QUAZIONI

DIFFERENZIALI

DELLE

RAPPRESENTAZIONI

Consideriamo un elemento innitesimo d

s

e

sull'ellissoide, che si trasforma sullacarta in d

s

c

(gura5.4

) si ha:

5.6

e, sulla carta:

5.7

Fig. 5.4a Fig.5.4b

Equazioni differenziali delle rappresentazioni.

ma, in base alle5.4

si ha:

dunque la5.7

diviene:

per brevit chiamiamo i termini in parentesi quadrae , f , g , sicch possiamo scrivere:

ds e 2 r 2 d 2 2 d 2+=

ds c 2 dx 2 dy 2+=

.

d

Z

X

Y ds e

r .d

y

x

dy

dx

ds c e' ds e

g' ds e

dx x ------ d x

------ d +=

dy y ------ d y

------ d +=

ds c 2 x ------ 2 y

------- 2 d 2 2 x -------

x ------

y -------

y ------ d d x

------ 2 y

------ 2+ d 2+ ++ +=

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LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE

54

5.8

Dalla gura5.4a notiamo che:

dopo aver ricavato d , d dalle equazioni precedenti, la5.8 pu essere scritta:

5.9

ovvero:5.10

con:

La5.10 con rappresenta un ellisse di equi-deformazione.1Gi sin d'ora possiamo intuire che, per le carte conformi, il modulo di deforma-zione lineare sar tale che questo ellisse si trasformi in una circonferenza; infatti si detto che in questo caso ragionevole chem non dipenda da .Si avr cio . L'equazione della circonferenzax=asen ; y=acos puessere espressa dalle:

Questa equazione confrontata con la5.10 mette in luce che per carte conformidevono essere vericate entrambe le condizioni:

5.11

1 Data l'ellisse

attraverso la rotazione di assi da (xy ) a (uv )

facile ricavare:

pera>b tutti i termini in parentesi sono >0, come pure i termini che compaiono nella5.10

ds c 2 e d 2 2f d d g d 2+ +=

d ds e ; r d cos ds e sin= =

m2ds c 2ds e 2------- e

2----- cos2 2f

r ------ g

r 2----- sin+cossin+= =

m2 e ' cos2 2f ' g ' sin2+cossin+=

e ' e 2------ ; f ' f

r ------ ; g ' g

r 2----= = =

m2 cost=

x 2

a2-----

y 2

b2----- 1=+

x u v sin+cos=y u v cos+sin=

u2

a2----- v

2

b2-----+

cos2 sin2 u2

b2----- v

2

a2-----+

2 uv a2----- uv

b2-----+

1=cossin+ +

e 'm2------ u

2

a2----- v

2

b2-----+

; g '

m2------ u

2

b2----- v

2

a2

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