Tiao Lu ([email protected]) 2006-9-19dsec.pku.edu.cn/~tlu/lecture2.pdf · 2017-04-03 ·...
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limn→+∞(1 + 1 n ) n () Tiao Lu ([email protected]) 2006-9-19 Tiao Lu ([email protected]) For Evaluation Only. Copyright (c) by Foxit Software Company Edited by Foxit PDF Editor
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limn→+∞(1 + 1n)n()
Tiao Lu ([email protected])
2006-9-19
Tiao Lu ([email protected])
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limn→+∞(1 + 1n)n()
1 ����&E
2 4�
¼ê�4�
xª�u�á�¼ê�4��½Âxª�u�á�¼ê�4�«¿ã~f
xª�uKá�¼ê�4��½Â~f
xª�ua�¼ê�4��½Â
3 Cþ�4�
4 á�þ
5 4��$�{K
6 y²4�limn→+∞(1 + 1n)n�3(Ø����¦)
Tiao Lu ([email protected])
limn→+∞(1 + 1n)n()
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xx
x
xa
¼ê�4�
ê�{xn}�±w�½Â3g,ê8þ�¼ê. ùp,·ò?ؽÂ3¢ê8(«m)þ�¼ê�y = f (x)�4�.�âgCþª�u+∞,−∞,∞, x0��©A«�¹?ؼê�4
�.
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limn→+∞(1 + 1n)n()
xx
x
xa
xª�u�á�¼ê�4��½Â
½Â1.12 (20�) �½¼êf (x). XJ
∀ε > 0,∃X > 0,¦�∀x > X , k |f (x) − A| < ε
¡A�xª�u�á�f (x)�4�, ¿¡f (x)3x3ª�u�
á�ÂñuA, P�
limx−>+∞
f (x) = A ½f (x) → A(x → +∞).
XJvvvkkk444���,ÒÒÒ¡¡¡¼¼¼êêê´́́uÑ���.
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limn→+∞(1 + 1n)n()
xx
x
xa
xª�uKá�¼ê�4��½Â
½Â1.13 (20�) �½¼êf (x). XJ
∀ε > 0,∃X > 0,¦�∀x < −X , k |f (x) − A| < ε
¡A�xª�uKá�f (x)�4�, ¿¡f (x)3x3ª�uK
á�ÂñuA, P�
limx−>−∞
f (x) = A ½f (x) → A(x → −∞).
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limn→+∞(1 + 1n)n()
xx
x
xa
~f
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
1+exp(x)*sin(2*pi*x)
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二、 概念和公式的引出
当 时函数的极限∞→x )(xf 当自变量 x设函数
, Axf →)(x →∞（或 ）
)(xf的绝对值无限增大时，相应的函数值 无限
∞→xA A )(xf接近于 ，则称 为函数 当 时的
Axfx
=∞→
)(lim极限，记作 ．
三、进一步练习
练习1
(让取值越来越大) ．
0.0000010.000010.00010.0010.010.11
1000000100000100001000100101x
xxf 1)( =
…
…
…-0.00001-0.0001-0.001-0.01-0.1-1
…-100000-10000-1000-100-10-1x
xxf 1)( =
-1000000
-0.000001
下面考察函数 xy 1= 在自变量 ∞→x 时的变化情况
∞→x
可以观察出，当自变量
xxf 1)( =
与0无限接近．
时，
limn→+∞(1 + 1n)n()
xx
x
xa
xª�ua�¼ê�4��½Â
½Â1.13 (24�) �½¼êf (x). XJ
∀ε > 0,∃δ > 0,¦�∀0 < |x − a| < δ, k |f (x) − A| < ε
¡A�xª�ua�(½ö3a:?)f (x)�4�, ¿¡f (x)3a:?
ÂñuA, P�
limx−>a
f (x) = A ½f (x) → A(x → a).
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为了正确理解函数极限的概念，下面就函数极限
0
lim ( )x x
f x A→
= 说明两点
(1) x趋近于x0的方式是任意的，即x既可能从x0的左
侧趋近于x0，也可能从x0的右侧趋近于x0，而相应
的函数值都应无限接近于A．
有定义无关．
0
lim ( )x x
f x A→
=(2) 与函数f (x)在x0处是否
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xx
x
xa
�Äf (x) = e−
1|x| ,�x → 0�, f (x)kÃ4�,XJk4�´�o?
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limn→+∞(1 + 1n)n()
xx
x
xa
�Äf (x) = sin 1x,�x → 0�, f (x)kÃ4�,XJk4�´�o?
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025
sin(1/x)
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11)(
3
−−
=xxxf 1=x函数 在 处无意义
三、进一步练习
练习1
1→x 时，当
讨论函数 11)(
3
−−
=xxxf 1→x当 时的极限。
013 →−x 分母 01→−x分子 ，
3113
→−−
xx
1→x由此可见，当 时，函数 ．
0.9
2.71
→
→1.001
3.003
←←
x3 1
1xx−−
1
?
11)(
3
−−
=xxxf函数 1→x让（ ）取值，1≠x
3
，
0.99 0.999
2.97 2.997
1.01 1.1
3.03 3.31
一、案例
二、概念和公式的引出
三、进一步练习
1.2.2 单侧极限
一、案例 [矩形波形曲线分析 ]
⎩⎨⎧
<≤<≤−
=π
πxx
Axf
00
,,0
)( 0≠A
矩形波在一个周期 [ , ]π π− 内的函数为
)(xf 0=x函数 处的极限是多少？在
二、概念和公式的引出
函数单侧极限(左极限、右极限 )
若函数f (x)当自变量x从x0的左侧（右侧） 无限趋近
于x0时，相应的函数值f (x)无限接近于某个常数A，
则称A为函数f (x)在x0处的左（右）极限，记作
Axfxx
=−→
)(lim00
Axfxx
=+→
)(lim00
（或 ）
函数极限与函数左右极限的关系
⇔=→
Axfxx
)(lim0
=→
)(lim00
xfxx
Axfxx
=+→
)(lim00
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三、进一步练习
练习1 [矩形波分析]
下图所示的矩形波的函数表达式为
⎩⎨⎧
<≤<≤−
=π
πx
xA
xf0
0,,0
)( ( 0)A ≠
00lim)(lim0000
==−→−→ xx
xf因为
AAxfxx
==+→+→ 0000
lim)(lim
≠=−→
0)(lim00
xfx
)(lim00
xfAx +→
=
所以，此函数在x =0处的极限不存在．
而
练习2 [电流]
在一个电路中的电荷量Q由下式定义
00
,
,
>≤
⎪⎩
⎪⎨⎧
= − tt
Ce
CQ
RCt
其中C、R为正的常数值，分析电荷量Q在时间
0→t 时的极限．
解 因为0 0 0 0
lim limt t
Q C C→ − → −
= =0 0 0 0
lim limt
RCt t
Q Ce C−
→ + → += =
0 0 0 0lim lim
t tQ C Q
→ − → += =由于 ，所以
0limt
Q C→
=
. ,)1(n
nxn
n−+= 证明数列{ }nx
=−1nx 1)1( −−+n
n n
n1=
已知 的极限为1.
证
,1 ε<n
,0>∀ε ,1 ε<−nx ε1>n只要欲使 即
,]1[ε
=N因此 , 取 Nn > 时, 就有则当
ε<−−+ 1)1(n
n n
1)1(limlim =−+=∞→∞→ n
nxn
nnn故
,)1(
)1(2+
−=n
xn
n
=− 0nx 0)1(
)1(2 −+
−n
n
已知 .0lim =∞→
nnx. 证明
2)1(1+
=n 1
1+
<n
证
,1
1 ε<+n
.11−
ε,0 ε<−nx,)1,0(∈∀ε 欲使 只要 >n即
,]11[ −=ε
N Nn >
0)1(
)1(limlim 2 =+−
=∞→∞→ n
xn
nnn
时, 就有 ,0 ε<−nx取 则当
也可由 2)1(10+
=−nnx
取 [ ]11 −= εN
故
,0 11
1nnnx <<− +
故也可取 ][ 1ε=N
说明: N与 ε 有关, 但不唯一.不一定取最小的 N .
LL ,,,,,1 12 −nqqq,1<q. 证明等比数列设
的极限为 0 . 1−= nq01 −= −nq0−nx证
,1 ε<−nq,0 ε<−nx,)1,0(∈∀ε 欲使 只要 即
,lnln)1( ε<− qn
⎥⎦⎤+⎢⎣
⎡=q
Nlnln1 ε
.lnln1
qn ε+>亦即
因此 , 取 , 则当 n > N 时, 就有
ε<−− 01nq
0lim 1 =−
∞→
n
nq故
q=0, it is obviously correct.
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设 且
求证
0, lim 0,
lim .
n nn
nn
x x a
x a→∞
→∞
> = >
=
.
,lim axnn=
∞→Q任给 0,ε >证
使得当 时恒有 1,nN n N x a ε∴∃ > − <
从而有 nn
n
x ax a
x a−
− =+ a
axn −< a1ε< ε=
故 lim .nnx a
→∞=
.01lim =∞→ xx
01−
x x1
=
,1ε
=X ,时当 Xx > ε<− 01x
01lim =∞→ xx
,0>∀ε 欲使 ,01 ε<−x
,1ε
>x
o x
yx
y 1=
为 的水平渐近线10 .y yx
= =
证明.
证
故 即
就有取
因此
注:
xxy sin
=
.0sinlim =∞→ x
xx
证明.
x1
<X1
< ,ε=x
xx
x sin0sin=−Q证
,1ε
=X取,0>ε∀ 时恒有则当 Xx >
.0sinlim =∞→ x
xx
故,0sinε<−
xx
211lim
2
1=
−−
→ xx
x. 证明
2112−
−−
=xxAxf −)( 21−+= x 1−= x证
δ<−< 10 x,εδ = 时 , 必有,0>∀ε故 取 当
ε<−−− 2112
xx
211lim
2
1=
−−
→ xx
x因此
)(lim0
为常数CCCxx
=→
证明.
Axf −)( CC −= 0=证
时 , ,0>δ 当 δ<−< 00 xx,0>∀ε故 对任意的
ε<=− 0CC总有
CCxx
=→ 0
lim因此
. 1)12(lim1
=−→
xx
证明
1)12( −−= x 12 −= xAxf −)(证
,21 ε<−x,)( ε<− Axf,0>∀ε 只要欲使
,2εδ = 时 , 必有δ<−< 10 x取 则当
ε<−−=− 1)12()( xAxf
1)12(lim1
=−→
xx
因此
00 >x
Axf −)( 0xx −=
00
1 xxx
−≤
.lim 00
xxxx
=→
时
0
0xx
xx+−
=
证明: 当.
证
,00 εxxx <−欲使
0≥x 可用
,)( ε<− Axf
00 xxx ≤−
,0>∀ε 只要 且
.0≥x 而
ε<− 0xx
因此 00
lim xxxx
=→
故取
{ } ,,min 00 xx εδ = 则当 δ<−< 00 xx保证 .
时, 必有
o x0xx
.
⎪⎩
⎪⎨⎧
>+=<−
=0,10,00,1
)(xxxxx
xf
讨论 0→x 时 )(xf 的极限是否存在 .
x
y
o 1−1−= xy
11+= xy
设函数
解 利用定理 3 . 因为
)(lim0
xfx −→
)1(lim0
−=−→
xx
1−=
)(lim0
xfx +→
)1(lim0
+=+→
xx
1=
显然 ,)0()0( +− ≠ ff 所以 )(lim0
xfx→
不存在 .
验证极限 不存在0
lim .x
xx→
y
x
1
1−
o0 0
lim limx x
x xx x− −→ →
−=
0lim ( 1) 1
x −→= − = −
0 0lim lim
x x
x xx x+ +→ →=
0lim 1 1
x +→= =
.
证
不存在0
lim ( ) .x
f x→
∴左右极限存在，但不相等,
0 当1arctan)( →= xx
xf 时极限不存在.证明.
证 因为
0 0
1lim ( ) lim arctan2x x
πf xx− −→ →
= = −
0 0
1lim ( ) lim arctan2x x
πf xx+ +→ →
= =
0 0lim ( ) lim ( )
x xf x f x
− +→ →=/ 不存在.
0lim ( )x
f x→
∴
limn→+∞(1 + 1n)n()
Cþ�4�
ê�Ú¼ê�4�Ñ´Cþ�4�. ê��XSÒn�Cz C
z, ¼ê�Xx�Cz Cz. 3Ã�Cz�L§L§¥, Cþª�u��~êA.·�Ò¡ù�Cþ�k4�,4�´A.
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4��$�{K
½n1.3 (p. 31) XJCþfÚgÑÂñ, ¿�
lim f = A, lim g = B
K\\
1 lim(f ± g) = lim f + lim g = A ± B
2 k´~ê�, lim(kf ) = k lim f = kA
3 lim(f · g) = lim f · lim g = A · B
4 B 6= 0�, lim fg
= lim flim g
= AB
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limn→+∞(1 + 1n)n()
y²4�limn→+∞(1 + 1n)n�3(Ø����¦)
y²: ky²S�üNþ,.xn = (1 + 1
n)n =
1 + 1 + n(n−1)2!
1n2 + n(n−1)(n−2)
3!1n3 + · · · + n(n−1)···(n−(n−1))
n!1nn
= 1+1+ 12!(1−
1n)+ 1
3!(1−1n)(1− 2
n)+ · · ·+ 1
n! (1−1n) · · · (1− n−1
n)
q\\xn+1 = 1 + 1 + 1
2!(1 − 1n+1 ) + 1
3!(1 − 1n+1 )(1− 2
n+1) + · · ·+ 1n! (1 −
1n+1 ) · · · (1 − n−1
n+1 ) + 1(n+1)! (1 − 1
n+1 ) · · · (1 − nn+1)
'�xnÚxn+1, xnkn + 1�, xn+1kn + 2�,Ù¥, xn+1�cn + 1��z��ÑØ'xn�éA���, �1n + 2�´��,¤±, xn+1 > xn.
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2yê�kþ..\\xn = (1 + 1
n)n =
1 + 1 + 12! (1−
1n) + 1
3! (1−1n)(1− 2
n) + · · ·+ 1
n! (1−1n) · · · (1− n−1
n)
≤ 1 + 1 + 12 + 1
22 + · · · + 12n−1 = 1 +
1− 12n
1− 12
< 3
d½n�,Tê�4��3,Ù�P�e,§´Ãnê,=
limn→+∞
(1 +1
n)n = e = 2.71828818 · · ·
¡±êe�.�éê�g,éê,P�
loge x = ln x
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