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Aritmética

Unidad 1Unidad 1

Mayor

Menor

3 33 3

+ =- =

4 (4 4)16

( 4) ( 4) ( 4)16

2

2

#

#

- =-=-

- = - -=

Aritmética 1ro.indd 1 11/01/2019 16:30:57

6 Primero básico / GUATEMÁTICA|Ciclo Básico

Uni

dad

1A

ritm

étic

aSección 1 Clase 1

Encuentre el número de divisores de los siguientes números.

, , , , y3 4 11 22 23 32

A un número que es divisible entre 1 y entre sí mismo se le llama número primo y a un número que es divisible entre más de dos divisores se le llama número compuesto.El 1 no es número primo ni número compuesto.

Para identificar el número de divisores de cada número, se construye la siguiente tabla.

Número Divisores Número de divisores

3 1, 3 2

4 1, 2, 4 3

11 1, 11 2

22 1, 2, 11, 22 4

23 1, 23 2

32 1, 2, 4, 8, 16, 32 6

En la tabla se observa que hay números que tienen únicamente dos divisores y otros que tienen más de dos divisores. 3, 11 y 23 tienen únicamente dos divisores y son considerados números primos por esa característica.4, 22 y 32 tienen más de dos divisores y son considerados números compuestos por esa característica.

1. Identifique cuáles de los siguientes números son primos.a. 13 b. 21 c. 37 d. 77

2. Identifique cuáles de los siguientes números son compuestos.a. 17 b. 42 c. 69 d. 91

3. Identifique los números primos y compuestos de la siguiente tabla.

Números naturalesNúmeros primos y compuestos

14 55 44

29 67 80

73 95 100

Un número es divisor de otro cuando el residuo es igual a cero.

6


7Primero básico / GUATEMÁTICA|Ciclo Básico

Unidad 1

Aritm

éticaSección 1 Clase 2

Descomponga 24 en factores primos.

Al proceso de expresar un número compuesto como el producto de sus números primos se le llama descomposición en factores primos.

Para descomponer 24 en factores primos:

Descomponga en factores primos los siguientes números.a. 12 b. 16 c. 36 d. 72 e. 81 f. 105

1

Números naturalesDescomposición en factores primos

2

Descomponga 45 en factores primos.

24

12

6

3

1

Escriba el número y divida entre 2.

Escriba el cociente y divida entre 2.

Continúe dividiendo entre números primos hasta obtener 1.

2

2

2

3

2 es el menor factor primo de 24.


El número original puede ser expresado como un producto de números primos.

24 2 2 2 3# # #=

45

15

5

1

3

3

5



El número original puede ser expresado como un producto de números primos.

45 3 3 5# #=

Escriba el número y divida entre 3.

Escriba el cociente y divida entre 3.

Continúe dividiendo entre números primos hasta obtener 1.

Respuesta: la descomposición de 24 en factores primos es .2 2 2 3# # #

Para descomponer 45 en factores primos:

Respuesta: la descomposición de 45 en factores primos es .3 3 5# #

1

2

7



Uni

dad

1A

ritm

étic

aSección 1 Clase 3

Números naturalesMínimo común múltiplo (MCM)

Encuentre el mínimo común múltiplo de 6 y 8 .

Al menor de los múltiplos comunes de dos o más números se le llama mínimo común múltiplo (MCM). Se puede encontrar el MCM por enumeración de múltiplos o por descomposición en factores primos.

Para encontrar el MCM por descomposición en factores primos: se descomponen los números en sus factores primos, se identifican los factores comunes y no comunes, y se multiplican estos factores.

Para encontrar el mínimo común múltiplo de 6 y 8 , se puede aplicar una de las siguientes formas:

Forma 1. Por enumeración de múltiplos.

El mínimo común múltiplo de 6 y 8 es el menor de los múltiplos comúnes, es decir, .24 Se expresa:MCM ,6 8 24=^ h

Forma 2. Por descomposición en factores primos.

Encuentre el MCM de los siguientes incisos.a. y6 9 b. y15 20 c. y8 12 d. y7 14 e. y12 18 f. y15 30

Múltiplos de 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54

Múltiplos de 8: 8 16 24 32 40 48 56

6 2

3 3

1

8 2

4 2

2 2

1

Después de la descomposición en factores primos, se multiplican los factores comunes y no comunes de ambos números. El producto es el mínimo común múltiplo.

2 × 3

2 × 2 × 2

2 × 2 × 2 × 3 = 24

6:

8:

6 2 3#= 8 2 2 2# #=

MCM ,6 8 =^ h

Los múltiplos de un número sonlos resultados de multiplicar ese número por todos los números naturales (excepto 0).

8



Unidad 1

Aritm


Encuentre el máximo común divisor de 8 y 12 .

Al mayor de los divisores comunes de dos o más números se le llama máximo común divisor (MCD). Se puede encontrar el MCD por enumeración de divisores o por descomposición en factores primos.

Para encontrar el MCD por descomposición en factores primos: se descomponen los números en sus factores primos, se identifican los factores comunes, y se multiplican estos factores.

Para encontrar el máximo común divisor de 8 y ,12 se puede aplicar una de las siguientes formas:

Forma 1. Por enumeración de divisores.

El máximo común divisor de 8 y 12 es el mayor de los divisores comunes, es decir, 4. Se expresa:MCD ( , )8 12 4=

Forma 2. Por descomposición en factores primos.

Encuentre el MCD de los siguientes incisos.a. y6 9 b. y12 18 c. y12 24 d. y18 27 e. y24 36 f. y25 30

Números naturalesMáximo común divisor (MCD)

Después de la descomposición en factores primos, se multiplican los factores comunes. El producto es el máximo común divisor.

2 × 2 × 2

2 × 2 × 3

2 × 2 = 4

8:

12:

MCD ,8 12 =^ h

8 2

4 2

2 2

1

8 2 2 2# #=

12 2

6 2

3 3

1

12 2 2 3# #=

Divisores de 8: 1 2 4 8

Divisores de 12: 1 2 3 4 6 12

Un divisor es un número que divide a otro número exactamente.Ejemplo:

9 1 9

9 3 3

9 9 1

'

'

'

=

=

=

Los divisores de 9 son: 1 , 3 y 9 .

9



Uni

dad

1A

ritm

étic

aSección 2 Clase 1

Operaciones con fracciones y decimalesSuma y resta de números decimales

Calcule las siguientes expresiones.a. . .14 6 2 35+b. . .36 4 2 18-

Para sumar y restar números decimales, se utiliza el mismo procedimiento que en los números naturales. Al efectuar la operación verticalmente, el punto decimal se mantiene en la misma posición.

a.

Calcule las siguientes expresiones.

a. . .3 6 5 1+ b. . .9 7 4 2-

c. . .4 6 3 8+ d. . .6 3 2 2-

e. . .8 6 4 29+ f. . .8 4 3 16-

g. . .5 26 21 1+ h. . .73 48 3 28-

i. . .12 5 3 31+ j. . .18 7 5 8-

k. . .21 3 10 7+ l. . .24 2 13 1-

m. . .7 92 2 06+ n. . .33 78 31 53-

o. . .30 72 10 27+ p. . .27 77 7 77-

Para sumar o restar decimales verticalmente:

Paso 1. Anote el primer sumando (o minuendo, en caso de la resta).

Paso 2. Anote el segundo sumando (o sustraendo) debajo del primer número, alineando verticalmente el punto decimal.

Paso 3. Sume o reste los números como en los números naturales.

Paso 4. En el resultado, mantenga alineado verticalmente el punto decimal.

6413 52

.

.+6413 52..+

0

961 5.

b. 4631 82

.

.-4631 82

.

.-0

243 2.

0



Unidad 1

Aritm


Calcule las siguientes expresiones.a. . .2 16 3 4#b. . .8 84 2 6'

a.

Operaciones con fracciones y decimalesMultiplicación y división de números decimales

Escriba los números uno debajo del otro,alineados a la derecha.

123 4

..×6

Multiplique . .2 16 3 4# como los númerosnaturales (sin tomar en cuenta los puntosdecimales).

123 4×

6

68 446 837 4 4

123 4×

6

68 446 837 4 4

dos cifras decimalesuna cifra decimaltres cifras decimales

+

123 4×

6

68 446 837 4 4

Para multiplicar números decimales, se utiliza el mismo procedimiento que en los números naturales y se coloca el punto decimal en la posición que el total de cifras decimales indica, contando de derecha a izquierda. Para dividir un número decimal entre otro decimal, se convierte el divisor en un número natural, moviendo el punto decimal hacia la derecha hasta convertirlo en natural. Luego, se divide utilizando el mismo procedimiento que los números naturales.

Calcule las siguientes expresiones.a. . .8 3 4 1# b. . .7 2 1 2' c. . .7 8 3 2# d. . .3 22 1 4'

e. . .1 36 2 4# f. . .9 75 3 25' g. . .3 4 4 67# h. . .29 61 4 7'

b.

88. 462. 88. 462.10×

Se coloca el punto decimal en la misma posición que el punto del dividendo.

38 4

4

8701 401 4

6 82

00 0

88. 462 88 .46210×

Paso 1.

Paso 2.

Encuentre el total de cifras decimales de ambosfactores.

Paso 3.

Coloque el punto decimal de acuerdo a lascifras decimales de ambos factores, contando de derecha a izquierda; en este caso, el punto está en la tercera posición.

Paso 4.

Multiplique el divisor por 10 de manera que se convierta en número entero.

Paso 1.

Mueva el punto decimal en el dividendo, una posición hacia la derecha, como se hizo en el divisor, para que multiplique el dividendo por el mismo número que se multiplicó el divisor.

Paso 2.

Divida como en los números naturales sin tomar en cuenta los puntos decimales.

Paso 3...

..

..

.

Paso 4.

!



Uni

dad

1A

ritm

étic

aSección 2 Clase 3

Operaciones con fracciones y decimalesSuma y resta de fracciones


a.

b.

Para sumar y restar fracciones con distinto denominador, se buscan fracciones equivalentes con igual denominador utilizando el MCM. Luego, se suman o restan los numeradores y se copia el denominador.

a.


a. 32

21+ b. 6

532- c. 2

175+ d. 5

231-

e. 32

94+ f. 4

352- g. 6

581+ h. 9

861-

43

61+

32

41-

b.

3× 2×

3× 2×Se buscan fracciones equivalentes de acuerdo con el MCM de los denominadores, que den como resultado el mismo denominador para ambos sumandos.

Se suman los numeradores y se copia el denominador común.

43

61

3 43 3

2 62 1

##

##+ = +

129

122

129 2

1211

= +

= +

=

Para sumar o restar fracciones de igual denominador, se suman o se restan los numeradores y se copia el denominador.

52

51

53+ =

Suma Resta

74

71

73- =

4× 3×

4× 3×Se buscan fracciones equivalentes de acuerdo con el MCM de los denominadores, que den como resultado el mismo denominador para el minuendo y sustraendo.

32

41

4 34 2

3 43 1

##

##- = -

128

123

128 3

125

= -

= -

= Se restan los numeradores y se copia el denominador común.

“



Unidad 1

Aritm


Para encontrar el producto entre dos fracciones, se multiplica numerador por numerador, denominador por denominador y se simplifica el resultado.

Para dividir dos fracciones, se cambia la división por una multiplicación invirtiendo la segunda fracción (divisor), se resuelve la multiplicación y se simplifica el resultado.


a. 43

53# b. 5

243' c. 6

532# d. 9

765'

e. 6 92# f. 5 3

2' g. 53 4# h. 7

6 3'

Operaciones con fracciones y decimalesMultiplicación y división de fracciones

Calcule las siguientes expresiones.a.

b.

a.

b.

32

21#

Se simplifica el resultado.

Se multiplican los numeradores.Se multiplican los denominadores. 3

221

3 22 1# ##=

62

31

=

=

73

52

73

25' #=

Se cambia la división a multiplicación invirtiendo el divisor.

7 23 5

1415##=

=

Se multiplican los numeradores.Se multiplican los denominadores.

73

52'

badc

bacd

b ca d

' #

##

=

=

badc

b da c# ##=

#



Uni

dad

1A

ritm

étic

aSección 3 Clase 1

Números positivos y negativosSignificado de números positivos y negativos

En el mapa que está abajo se muestra la temperatura registrada en los departamentos de Guatemala y Quetzaltenango el 24 de enero de 2017. ¿Cuál fue la temperatura registrada en cada departamento?

Las temperaturas sobre 0°C se representan con el signo + delante del número y las temperaturas debajo de 0°C se representan con el signo - antes del número.

A un número al que le antecede un signo + se le llama número positivo y a un número al que le antecede un signo - se le llama número negativo.

La temperatura registrada en el departamento de Guatemala fue de ºC15+ y se lee más 15 grados centígrados. La de Quetzaltenango fue de ºC5- y se lee menos 5 grados centígrados.

5 5

0 0

10 10

10 10

5 5

15 15

15 15

20 20

5 5

0 0

10 10

10 10

5 5

15 15

15 15

20 20

Guatemala Quetzaltenango

1. Exprese las medidas de temperatura utilizando números positivos y negativos. a. ºC11 arriba de los 0°C. b. ºC3 debajo de 0°C. c. ºC8 debajo de 0°C.

2. Escriba la temperatura que marca cada termómetro. a. b. c.

3. Clasifique los siguientes números en la tabla.

Negativos (-) Positivos (+)

0

, , , .2 7 31 2 5+ - + -

5 5

0 0

10 10

10 10

5 5

15 15

15 15

20 20

5 5

0 0

10 10

10 10

5 5

15 15

15 15

20 20

5 5

0 0

10 10

10 10

5 5

15 15

15 15

20 20

QuetzaltenangoC5c-

GuatemalaC15c+

$



Unidad 1

Aritm


a. Ubique el número 3+ en la recta numérica.

b. ¿Dónde se ubica el número 3- ?

a. Los números positivos se ubican a la derecha del punto 0. 3+ se ubica 3 unidades a la derecha del 0.

b. El número 3- se ubica 3 unidades a la izquierda de 0 sobre la recta numérica por ser un número negativo.

Números positivos y negativosNúmeros enteros en una recta numérica

Los números negativos están a la izquierda de 0.

+50

+3 +50

-3 +3 +50

0

+1

a. Ubique los siguientes números en la recta numérica: , , , .3 5 1 5+ - - +

b. Escriba el número que corresponde a cada letra en la recta numérica.

CBA-5 +50

-1-2-4-5 -3 +2+1 +4+3... ...+5+50

Númerosnegativos

Númerospositivos

Origen

Números enteros

%



Uni

dad

1A

ritm

étic

aSección 3 Clase 3

Números positivos y negativosFracciones en una recta numérica

a. Los números positivos se ubican a la derecha del punto 0. Entonces, 21+ se ubica 2

1 unidades a la derecha del 0.

b. Los números negativos se ubican a la izquierda del punto 0. Entonces, 21- se ubica 2

1 unidades a la izquierda de 0.

1. Ubique los siguientes números en la recta numérica: , , , .21

23

21

25+ - - +

2. Escriba la fracción que corresponde a cada letra en la recta numérica.

3. Escriba la fracción que corresponde a cada letra en la recta numérica.

a. Ubique el número 21+ en la recta numérica.

b. Ubique el número 21- en la recta numérica.


1-1

CBA

35-

&



Unidad 1

Aritm


a. Ubique el número .2 5+ en la recta numérica.b. Ubique el número .2 5- en la recta numérica.

a. Los números positivos se ubican a la derecha del punto 0. Entonces, .2 5+ está .2 5 unidades a la derecha del 0.

b. Los números negativos se ubican a la izquierda del punto 0. Entonces, .2 5- está .2 5 unidades a la izquierda del 0.

1. Ubique los siguientes números en la recta numérica: . , . , . , . .1 2 3 5 2 1 4 2+ - - +

2. Escriba el número decimal que corresponde a cada letra en la recta numérica.

3. Escriba el número decimal que corresponde a cada letra en la recta numérica.

Números positivos y negativosNúmeros decimales en una recta numérica


/



Uni

dad

1A

ritm

étic

aSección 3 Clase 5

Números positivos y negativosNúmeros enteros en la vida cotidiana (1)

Observe la imagen. En ella se muestra la altura de distintos objetos con respecto al nivel del mar.Por ejemplo, la altura del helicóptero es de 300 m sobre el nivel del mar y se escribe como 300+ m. El submarino está a 300 m debajo del nivel del mar y se escribe como 300- m.

a. Escriba la altura del punto más alto de la montaña con respecto al nivel del mar.

b. Escriba la altura del buzo con respecto al nivel del mar.

c. Escriba la altura del pez con respecto al nivel del mar.

Cuando se establece un punto de referencia, hay cantidades que tienen sentido contrario entre sí. Por tanto, se puede asignar a esas cantidades un valor positivo (+) o un valor negativo (-).

a. El punto más alto de la montaña es de 200+ m del nivel del mar.b. El buzo está a 100- m del nivel del mar.c. El pez está a 200- m del nivel del mar.

1. Se expresa como 15+ km la posición del carro A que se ubica a 15 km hacia el Este del punto 0. ¿Cómo se expresa la posición del carro B que está a 25 km hacia el Oeste del punto 0?

2. Si en una carretera se establece que el punto de referencia es 0, la dirección hacia el Norte se expresa como positiva y la dirección al Sur se expresa como negativa, responda.

a. ¿Cómo expresar la posición del punto A que está a 6 km al Norte de 0? b. ¿Cómo expresar la posición del punto B que está a 13 km al Sur de 0? c. Si un punto C está a 12- km, ¿en qué dirección está C del punto 0? y ¿a qué distancia?

3. Cuando 3 minutos después se expresa como 3+ minutos, ¿cómo se expresan los siguientes momentos?

a. 5 minutos después. b. 7 minutos antes.

¡Cuidado con la altura!

15

AB

25

Posición del carro A:_______Posición del carro B:______ +15 km

Oestekm

Estekm

(



Unidad 1

Aritm


El administrador de la ciudad maya Iximché tiene como meta recibir 200 visitantes por día. La tabla muestra el número de visitantes de la semana pasada.

Complete la tabla con la diferencia entre el número de visitantes y la meta.

Cuando se utilizan cantidades mayores o menores a una cantidad de referencia, se pueden utilizar números positivos o negativos. Si las cantidades son mayores a la cantidad de referencia, se utilizan números positivos, y si son menores, se utilizan números negativos.

2. Exprese con un número positivo o negativo cada diferencia respecto a la cantidad de referencia. a. 5 horas después del “tiempo actual”. b. 10 personas menos de “las esperadas”. c. 2 lb más del “peso ideal”.

Números positivos y negativosNúmeros enteros en la vida cotidiana (2)

Días

Visitantes

Diferencia con la meta

Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

150 75 250 192 200 240

10 más que la meta se expresa como 10+ .4 menos que la meta se expresa como 4- .

1Días

Visitantes


Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

150 75 250 192 200 240

50- 125- 50+ 8- 0 40+

Exprese con un número positivo o negativo cada diferencia respecto a la cantidad de referencia.a. 6 lb menos del “peso ideal”.b. 15 personas más de “las esperadas”.c. 3 minutos antes del “tiempo actual”.d. 5 quetzales menos de la “cantidad que se tenía”.

2Utilice números negativos para expresar cantidades con propiedades opuestas.

a. 6- lb b. 15+ personas c. 3- minutos d. 5- quetzales

En la vida cotidiana se utilizan números positivos o negativos para representar cantidades opuestas.

Si el número de visitantes es mayor que la meta, indique la diferencia como un número positivo.Si el número de visitantes es menor que la meta, indique la diferencia como un número negativo.

1

2

1. Un fabricante de vestuario tiene como meta producir 250 pantalones por día. Complete la siguiente tabla, tomando como positiva la cantidad que sobrepasa la meta.

Días Lunes Martes Miércoles Jueves ViernesPantalones 275 234 215 300 255


)



Uni

dad

1A

ritm

étic

aSección 3 Clase 7

Números positivos y negativosValor absoluto de un número entero

Con base en una recta numérica, responda.

a. ¿Cuál es la distancia entre y0 3+ ?

b. ¿Cuál es la distancia entre y0 3- ?

A la distancia que hay entre 0 y un número se le llama valor absoluto. Se expresa por medio del símbolo “ ; ;”.

3; ;+ significa que la distancia entre y0 3+ es 3 unidades. Entonces, 3 3; ;+ = 3; ;- significa que la distancia entre y0 3- es 3 unidades. Entonces, 3 3; ;- =

a. Hay 3 unidades entre y0 3+ .

b. Hay 3 unidades entre y0 3- .

1. ¿Cuál es la distancia entre y0 4- ? Utilice la recta numérica.

2. ¿Cuál es la distancia entre y0 5+ ? Utilice la recta numérica.

3. Encuentre el valor de los siguientes números.

a. 8; ;- b. 10; ;+ c. 7; ;- d. 7; ;+

1+ 5+3+2+

A los números como ,y2 2- + que tienen igual distanciacon respecto a 0, se les llama números opuestos.

1=



Unidad 1

Aritm


a. ¿Cuál de los números, +3 o +5, está más a la derecha en la recta numérica?

b. ¿Cuál de ellos es el mayor?

c. ¿Cuál de los números, 1- o 5- , es mayor?

a. 5+ está más a la derecha que 3+ .

b. El mayor es 5+ .

c. 1- está más a la derecha que 5- en la recta numérica. Por tanto, 1- es mayor.

1. Compare los siguientes pares de números y escriba o2 1 donde corresponda.a. 4 6n+ - b. 6 3n- - c. 5 2n+ - d. 5 5n- + e. 4 0n-

2. Identifique el número mayor de cada par de números.a. ,3 8+ - b. ,3 1- - c. ,1 0- d. ,4 2- - e. ,2 5+ -

3. Ordene los siguientes números de menor a mayor.a. , , ,3 2 5 1- + - + b. , , , ,3 4 1 0 1+ - - + c. , , , ,4 2 3 1 4+ + - - -

Números positivos y negativosComparación de números enteros

En los números positivos, el que está más a la derecha en la recta numérica es mayor.Si se extiende la idea a los números negativos, el número que está a la derecha en la recta numérica es mayor.

Los símbolos “2” (mayor que) y “1” (menor que) son utilizados para expresar una relación de orden entre dos números. A ellos se les llama signos de desigualdad.

Ejemplo:

2- se encuentra más a la derecha que 5- en la recta numérica. Por tanto, la relación de orden entre y2 5- - se expresa: .5 21- -

Otra forma de expresar esta relación de orden es: .2 52- -

Mayor

Menor

11



Uni

dad

1A

ritm

étic

aSección 3 Clase 9

Números positivos y negativosComparación de fracciones

a. ¿Cuál de los números, 21+ o ,4

1+ está más a la derecha en la recta numérica?b. ¿Cuál de ellos es el mayor?c. ¿Cuál de los números, 2

1- o ,41- es mayor?


a. 21+ está más a la derecha que 4

1+ .

b. El mayor es 21+ .

c. 41- está más a la derecha que 2

1- en la recta numérica. Por tanto, 41- es el mayor.

1. Compare los siguientes pares de números, y escriba o2 1 donde corresponda.

a. 41

43n+ + b. 2

143n- - c. 2

141n+ - d. 2

323n- + e. 2

1 0n-

2. Identifique el número mayor de cada par de números.

a. 51+ , 2

1+ b. 31- , 6

1- c. 43- , 0 d. 3

1- , 32- e. 5

4+ , 32-

3. Ordene los siguientes números de menor a mayor.

a. , , ,21

21

41

41- + - + b. , , , ,5

331

32 0 5

1+ - - + c. , , , ,23

41

61

21

81+ + - - -

Los signos de desigualdad “2” (mayor que) y “1” (menor que) son utilizados para expresar una relación de orden entre dos números.

Ejemplo:

41- se encuentra más a la derecha que 2

1- en la recta numérica. Por tanto, la relación de orden

entre y21

41- - se expresa: .2

1411- -

Otra forma de expresar esta relación de orden es: .41

212- -

12



Unidad 1

Aritm


a. ¿Cuál de los números, . . ,o1 4 5 3+ + está más a la derecha en la recta numérica?

b. ¿Cuál de ellos es el mayor?

c. ¿Cuál de los números, . . ,o1 4 5 3- - es mayor?


a. El número .5 3+ está más a la derecha que . .1 4+b. El mayor es .5 3+ .c. El número .1 4- está más a la derecha que .5 3- en la recta numérica. Por tanto, .1 4- es el mayor.

Números positivos y negativosComparación de números decimales

1. Compare los siguientes pares de números, y escriba o2 1 donde corresponda.a. . .2 6 4 1n+ + b. . .5 2 3 6n- - c. . .1 8 2 2n+ -

d. . .4 5 4 5n- + e. .3 4 0n-

2. Identifique el número mayor de cada par de números.a. .3 8+ , .8 3+ b. .2 6- , .1 5- c. .6 2- , 0d. .4 4- , .3 3+ e. .5 2+ , .7 6-

3. Ordene los siguientes números decimales de menor a mayor.a. . , . , . , .1 8 3 1 5 3 6 8- + - + b. . , . , . , , .7 1 4 2 2 9 0 7 8+ - - +

c. . , . , . , . , .5 6 4 7 4 7 1 2 8 5+ + - - -

Los signos de desigualdad “2” (mayor que) y “1” (menor que) son utilizados para expresar una relación de orden entre dos números.

Ejemplo:

.1 4- se encuentra más a la derecha que .5 3- en la recta numérica. Por tanto, la relación de orden entre . .y1 4 5 3- - se expresa: . . .5 3 1 41- -

Otra forma de expresar esta relación de orden es: . . .1 4 5 32- -

13



Uni

dad

1A

ritm

étic

a

a. El número que es 4 unidades mayor que 2+ , es el número que se ubica 4 unidades a la derecha de 2+ . El número es .6+

b. El número que es 7 unidades menor que 4+ , es el número que se ubica 7 unidades a la izquierda de 4+ . El número es .3-

c. De 2+ para llegar a 5- hay 7 unidades a la izquierda, tal como se muestra en la recta numérica. 5- es 7 unidades menor que .2+

d. De 2+ para llegar a 6+ , hay 4 unidades a la derecha, tal como se muestra en la recta numérica. 6+ es 4 unidades mayor que .2+

Sección 3 Clase 11

Números positivos y negativosDesplazamiento en una recta numérica

Con base en una recta numérica, responda.

a. ¿Qué número es 4 unidades mayor que 2+ ?b. ¿Qué número es 7 unidades menor que 4+ ?c. ¿Cuántas unidades es menor 5- con respecto a 2+ ?d. ¿Cuántas unidades es mayor 6+ con respecto a 2+ ?

Utilizando la posición de un número y su desplazamiento de izquierda a derecha o de derecha a izquierda en la recta numérica, se pueden encontrar números mayores o menores que un número dado.

1. Con base en una recta numérica, responda. a. ¿Qué número es 2 unidades mayor que 3+ ? b. ¿Qué número es 4 unidades menor que 1+ ? c. ¿Cuántas unidades es menor 3- con respecto a 3+ ?

2. Responda sin utilizar la recta numérica. a. ¿Cuántas unidades es mayor 9+ con respecto a 3+ ? b. ¿Cuántas unidades es mayor 1- con respecto a 5- ? c. ¿Cuántas unidades es menor 2- con respecto a 2+ ?

14



Unidad 1

Aritm


Considere que un movimiento hacia el Este se expresa como positivo y un movimiento hacia el Oeste se expresa como negativo.

a. Juan sale de su casa y avanza 3 km hacia el Este, toma un descanso y luego avanza 2 km en la misma dirección. ¿En qué posición se encuentra Juan en relación a su punto de salida? Exprese su posición utilizando números positivos o negativos.

b. Mario sale de la escuela y se dirige a su casa, recorre 1 km hacia el Oeste, se detiene un momento y luego avanza 2 km en la misma dirección. ¿En qué posición se encuentra Mario en relación a su punto de salida? Exprese su posición utilizando números positivos o negativos.

Para sumar dos números con el mismo signo:

Paso 1. Se antepone el signo común de ambos sumandos.Paso 2. Se suma el valor absoluto de los números.

a.

1. Complete los espacios en blanco con los números que corresponden.

a. 3 4 n nn

+ + + =+ +

=+

^ ^ ^h h h b. 6 1 n nn

- + - =- +

=-

^ ^ ^h h h

2. Calcule las siguientes expresiones.

a. 4 6+ + +^ ^h h b. 2 5- + -^ ^h h c. 2 7+ + +^ ^h h d. 8 4- + -^ ^h he. 8 2+ + +^ ^h h f. 6 8- + -^ ^h h g. 6 9+ + +^ ^h h h. 9 4- + -^ ^h hi. 5 6+ + +^ ^h h j. 7 3- + -^ ^h h k. 6 7+ + +^ ^h h l. 8 9- + -^ ^h h

Suma y resta de números positivos y negativosSuma de números con signos iguales

Se antepone el signo común de los sumandos.

Respuesta: Juan se encuentra a 5 km hacia el Este.

b.

Respuesta: Mario se encuentra 3 km hacia el Oeste.

Se antepone el signo común de los sumandos.

Ejemplo:

a. 3 5 3 5

8

+ + + =+ +

=+

^ ^ ^h h h b. 3 5 3 5

8

- + - =- +

=-

^ ^ ^h h h

+5

-3

3 2 3 2+ + + =+ +^ ^ ^h h h5=+

1 2 1 2- + - =- +^ ^ ^h h h3=-

15



Uni

dad

1A

ritm

étic

aSección 4 Clase 2

Suma y resta de números positivos y negativosSuma de números con signos diferentes

Considere que un movimiento hacia el Este se expresa como positivo y un movimiento hacia el Oeste se expresa como negativo.

a. Carlos sale del parque y viaja 8 km hacia el Este, descansa y luego regresa 2 km hacia el Oeste. ¿En qué dirección y posición se encuentra Carlos a partir de su salida del parque?

b. Karina sale de su casa y avanza 3 km hacia el Este, descansa y luego regresa 7 km hacia el Oeste. ¿En qué dirección y posición se encuentra Karina a partir de la salida de su casa?

Para sumar dos números enteros con signos diferentes:

Paso 1. Se escribe el signo del número con mayor valor absoluto. Paso 2. Se resta el número con menor valor absoluto del número con mayor valor absoluto.

a. 8 2+ + -^ ^h h

Compruebe la respuesta gráfica restando los valores absolutos de los números. Reste el número con menor valor absoluto del número con mayor valor absoluto.

Se antepone el signo del número con mayor valor absoluto: .8 22+ -

8 2 8 2

6

+ + - =+ -

=+

^ ^ ^h h h

b. 3 7+ + -^ ^h h

3 7 7 3

4

+ + - =- -

=-

^ ^ ^h h h Se antepone el signo del número con mayor valor absoluto:.7 32- +

Respuesta: Carlos se encuentra a 6+ km del parque.

Respuesta: Karina se encuentra a 4- km de su casa.

Ejemplo:

a. 9 4 9 4

5

- + + =- -

=-

^ ^ ^h h h b. 3 5 5 3

2

- + + =+ -

=+

^ ^ ^h h h

16



Unidad 1

Aritm

ética


a. 3 4 n nn

+ + - =- -

=-

^ ^ ^h h h b. 1 4 n nn

- + + =+ -

=+

^ ^ ^h h h


a. 5 2+ + -^ ^h h b. 6 5- + +^ ^h h c. 7 9+ + -^ ^h h d. 4 8- + +^ ^h he. 6 3+ + -^ ^h h f. 8 2- + +^ ^h h g. 3 9+ + -^ ^h h h. 6 6+ + -^ ^h hi. 7 7- + +^ ^h h j. 7 4- + +^ ^h h k. 2 9+ + -^ ^h h l. 7 6- + +^ ^h h

17



Uni

dad

1A

ritm

étic

aSección 4 Clase 3


a. . .4 5 1 3- + +^ ^h hb. . .2 7 1 4+ + -^ ^h h

Para sumar dos números decimales con signos diferentes:

Paso 1. Se escribe el signo del número mayor en valor absoluto. Paso 2. Se resta el número menor en valor absoluto del número mayor en valor absoluto.

Utilice el mismo procedimiento de cálculo que en los números enteros.


a. . .5 3 4 1- + +^ ^h h b. . .2 8 1 3+ + -^ ^h h c. . .2 1 6 9- + +^ ^h h d. . .5 4 8 5+ + -^ ^h h2. Una con una línea las expresiones cuyas respuestas sean la misma.

Suma y resta de números positivos y negativosSuma de números decimales

a. . . . .

.

4 5 1 3 4 5 1 3

3 2

- + + =- -

=-

^ ^ ^h h h

b. . . . .

.

2 7 1 4 2 7 1 4

1 3

+ + - =+ -

=+

^ ^ ^h h h

En forma vertical, el punto decimal debe estar en la misma columna.

. .3 5 5 9- + +^ ^h h . .1 2 7 7- + +^ ^h h

. .8 9 2 4+ + -^ ^h h . .6 5 8 7+ + -^ ^h h

. .5 1 9 9+ + -^ ^h h . .5 2 7 6- + +^ ^h h

. .5 9 2 2- + +^ ^h h . .4 1 7 8+ + -^ ^h h

. .6 3 4 1- + +^ ^h h . .6 9 2 1- + +^ ^h h

Ejemplo:

a. . . . .

.

3 2 6 5 6 5 3 2

3 3

- + + =+ -

=+

^ ^ ^h h h

b. . . . .

.

3 2 6 5 6 5 3 2

3 3

+ + - =- -

=-

^ ^ ^h h h

.4 5

.1 3-

.3 2

.2 7

.1 4-

.1 3

El cálculo en forma decimal que está a la izquierda es el cálculo dentro de paréntesis de la expresión original.

18



Unidad 1

Aritm


Suma y resta de números positivos y negativosSuma de fracciones


Para sumar dos fracciones con signos diferentes:

Paso 1. Se escribe el signo del número mayor en valor absoluto. Paso 2. Se resta el número menor en valor absoluto del número mayor en valor absoluto.

Utilice el mismo procedimiento de cálculo que en los números enteros.


a. 37

35- + +a ak k b. 4

331+ + -a ak k c. 5

153+ + -a ak k d. 4

183- + +a ak k

e. 75

61+ + -a ak k f. 5

245+ + -a ak k g. 2

151- + +a ak k h. 7

431- + +a ak k

a.56

53- + +a ak k

b.25

37+ + -a ak k

a.56

53

56

53

53

- + + =- -

=-

a a ak k k

b.25

37

3 23 5

2 32 7

615

614

615

614

61

##

##+ + - = + + -

= + + -

=+ -

=+

a a baa

abk k

kl

kk

l

43

65

3 43 3

2 62 5

129

1210

1210

129

121

##

##- + + = - + +

= - + +

=+ -

=+

a a baa

abk k

kl

kk

l

Para sumar fracciones con diferente denominador, se buscan fracciones equivalentes y se calcula como fracciones con igual denominador.

Ejemplo:

¡Cuidado!Los signos “=” deben quedar en la misma columna.

43

65

3 43 3

2 62 5

129

1210

1210

129

121

##

##- + + = - + +

= - + +

=+ -

=+

a a baa

abk k

kl

kk

l

19



Uni

dad

1A

ritm

étic

aSección 4 Clase 5


a. 3 2+ - +^ ^h hb. 2 4+ - +^ ^h h

Restar un número positivo es equivalente a sumar el opuesto del mismo número.

a.


a. ( )

7 4 7 nn nn

+ - + = + +

=+ -

=+

^ ^ ^ ^h h h h b. ( )

2 5 n nn nn

+ - + = +

=- -

=-

^ ^ ^ ^h h h h


a. 6 3+ - +^ ^h h b. 4 8+ - +^ ^h h c. 10 6+ - +^ ^h h d. 8 11+ - +^ ^h he. 9 3+ - +^ ^h h f. 7 12+ - +^ ^h h g. 11 7+ - +^ ^h h h. 7 9+ - +^ ^h hi. 12 6+ - +^ ^h h j. 8 13+ - +^ ^h h k. 6 11+ - +^ ^h h l. 5 15+ - +^ ^h h

Suma y resta de números positivos y negativosResta de números enteros (1)

Se cambia la resta a una suma y el signo del sustraendo.

+2+10

3

+3+1

2

b. Se cambia la resta a una suma y el signo del sustraendo.

2 4+ - +^ ^h h es igual que .2 4+ + -^ ^h h

Ejemplo:

a. 5 3 5 3

5 3

2

+ - + = + + -

=+ -

=+

^ ^ ^^

^h h hhh

b. 4 7 4 7

7 4

3

+ - + = + + -

=- -

=-

^ ^ ^^

^h h hhh

3 2 3 2+ - + = + + -^ ^ ^ ^h h h h3 2

1

=+ -

=+

^ h

2 4 2 4+ - + = + + -^ ^ ^ ^h h h h

4 2

2

=- -

=-

^ h +20

2

+1

4

-1-2

-2

10



Unidad 1

Aritm


Suma y resta de números positivos y negativosResta de números enteros (2)


a. 5 2+ - -^ ^h hb. 3 1- - -^ ^h h

Restar un número negativo es equivalente a la suma del opuesto del mismo número.

a.

1. Complete los espacios en blanco con los números que corresponden.a.

5 4 n n

n nn

+ - - = +

=+ +

=+

^ ^ ^^

^h h h hh

b. 4 1 n nn nn

- - - = +

=- -

=-

^ ^ ^^

^h h h hh


a. 3 7+ - -^ ^h h b. 8 2- - -^ ^h h c. 9 10+ - -^ ^h hd. 6 8- - -^ ^h h e. 12 4+ - -^ ^h h f. 3 9- - -^ ^h hg. 15 5+ - -^ ^h h h. 11 6- - -^ ^h h i. 7 12+ - -^ ^h hj. 5 13- - -^ ^h h k. 5 6- - -^ ^h h l. 9 8- - -^ ^h h

5 2 5 2+ - - = + + +^ ^ ^ ^h h h h Se cambia la resta a una suma y el signo del sustraendo.


-4 -1-3 -2 0-5

31

-2

Ejemplo:

a. 2 4 2 4

2 4

6

+ - - = + + +

=+ +

=+

^ ^ ^^

^h h hhh

b. 5 2 5 2

5 2

3

- - - = - + +

=- -

=-

^ ^ ^^

^h h hhh

( )5 2

7

=+ +

=+

3 1 3 1- - - = - + +^ ^ ^ ^h h h h3 1

2

=- -

=-

^ h

1!



Uni

dad

1A

ritm

étic

aSección 4 Clase 7


a. . .2 1 4 6+ - +^ ^h hb. . .1 4 2 5+ - -^ ^h h

Restar un número positivo o negativo es equivalente a la suma del opuesto del mismo número.

a.


a. . .3 2 4 5+ - +^ ^h h b. . .3 6 6 3+ - -^ ^h hc. . .4 6 2 5- - -^ ^h h d. . .2 8 1 1- - +^ ^h he. . .4 4 8 5+ - +^ ^h h f. . .6 7 3 2+ - -^ ^h hg. . .5 7 1 3- - -^ ^h h h. . .7 4 2 2- - +^ ^h hi. . .7 5 3 5+ - +^ ^h h j. . .9 3 5 7- - -^ ^h hk. . .5 5 3 1+ - +^ ^h h l. . .8 6 4 3- - -^ ^h h

Suma y resta de números positivos y negativosResta de números decimales



Ejemplo:

a. . . . .

. .

.

7 8 3 5 7 8 3 5

7 8 3 5

4 3

+ - + = + + -

=+ -

=+

^ ^ ^^

^h h hhh

b. . . . .

. .

.

4 7 2 2 4 7 2 2

4 7 2 2

2 5

- - - = - + +

=- -

=-

^ ^ ^^

^h h hhh

. . . .2 1 4 6 2 1 4 6+ - + = + + -^ ^ ^ ^h h h h( . . )

.

4 6 2 1

2 5

=- -

=-

. . . .1 4 2 5 1 4 2 5+ - - = + + +^ ^ ^ ^h h h h( . . )

.

1 4 2 5

3 9

=+ +

=+

1“



Unidad 1

Aritm


Suma y resta de números positivos y negativosResta de fracciones


a.


a. 51

52+ - -a ak k

b. 32

67+ - +a ak k

51

52

51

52

51

52

51 2

53

+ - - = + + +

=+ +

=+ +

=+

a a aaa

ak k k

kkk Se cambia la resta a una suma y el signo del

sustraendo.

b.32

67

2 32 2

1 61 7

64

67

64

67

67

64

63

21

##

##+ - + = + - +

= + - +

= + + -

=- -

=-

=-

a a baaa

aa

bk kkk

l

k

kk

l

Se cambia la resta a una suma y el signo delsustraendo.

Se encuentra el denominador común de 3 y 6,utilizando el MCM.

Ejemplo:

a. 32

45

128

1215

128

1215

1215

128

127

+ - + = + - +

= + + -

=- -

=-

a a aaa

aa

k k kk

k

kk

b. 31

45

124

1215

124

1215

124

1215

1219

+ - - = + - -

= + + +

=+ +

=+

a a aaa

aa

k k kk

k

kk


a. 74

73+ - -a ak k b. 3

221+ - +a ak k c. 7

8214- - -a ak k d. 5

231+ - -a ak k

e. 41

65+ - +a ak k f. 4

321- - -a ak k g. 3

497+ - -a ak k h. 5

2103- - +a ak k

1#



Uni

dad

1A

ritm

étic

aSección 4 Clase 9


a. 0 5- -^ hb. 4 0- -^ h


Para restar cero de un número, el resultado es el mismo número con el mismo signo.

a. Al restar un número de cero:


a. 0 7- -^ h b. 2 0- -^ hc. 0 6- +^ h d. 4 0+ -^ he. 0 9- -^ h f. 5 0- -^ hg. 0 8- +^ h h. 5 0+ -^ hi. 0 10- -^ h j. 11 0- -^ h

Suma y resta de números positivos y negativosResta con cero en el minuendo o sustraendo

( ) ( )0 5 0 5

0 5

5

- - = + +

= +

=+


b. Al restar cero de un número:

4 0 4 0

4

- - =- -

=-

^ h Se mantiene el valor y el signo.

Ejemplo:

a. 0 3 0 3

3

- + = + -

=-

^ ^h h

b. 0 3 0 3

3

- - = + +

=+

^ ^h h

c. 3 0 3 0

3

- - =- -

=-

^ h

1$



Unidad 1

Aritm


Suma y resta de números positivos y negativosSuma y resta combinadas sin paréntesis (1)

Con base en ( ) ( ) ( ):2 8 3+ + + - -

a. Represente la expresión como una suma.b. Represente sin paréntesis la expresión obtenida en el inciso a.

Una suma se puede expresar por sus términos, suprimendo los paréntesis y los signos de suma. Si el primer término es un número positivo se puede suprimir su signo.

1. Represente las siguientes expresiones como una suma, suprima los paréntesis e identifique sus términos.a. ( ) ( ) ( )4 7 6+ + + - - b. ( ) ( ) ( )2 4 5- - + - -

2. Represente las siguientes expresiones sin paréntesis.

a. 6 5 4- + + + -^ ^ ^h h h b. 9 2 5+ - - - +^ ^ ^h h h

c. ( )2 5 8 4+ + - + + + -^ ^ ^h h h d. ( )4 1 7 3- - + + - - +^ ^ ^h h he. ( ) ( ) ( ) ( )5 9 2 7+ + - - - + + f. ( ) ( ) ( ) ( )3 5 5 8- - + - - - -


a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 8 3 2 8 3+ + + - - = + + + + +

Se omiten los paréntesis y los signos de suma. Si el primer número es positivo no se escribe su signo.

b. ( ) ( ) ( )2 8 3 2 8 3+ + + + + = + +

En la expresión ( ) ( ) ( ),2 8 3+ + + + + los números que se conectan con signos de suma, es decir, , ,2 8 3+ + + son llamados términos.

Ejemplo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 6 2 3 6 2

3 6 2

+ - + - - = + + - + +

= - +

, y3 6 2+ - + son términos de la expresión ( ) ( ) ( ) .3 6 2+ - + - -

1%



Uni

dad

1A

ritm

étic

aSección 4 Clase 11

Calcule la siguiente expresión sin utilizar paréntesis.

1 3 6 2- + -

Para calcular expresiones de suma y resta combinadas que se conectan por términos, se pueden aplicar las propiedades conmutativa y asociativa de la suma.

Se aplican las propiedades conmutativa y asociativa de la suma.

1. Calcule las siguientes expresiones sin utilizar paréntesis.a. 3 5 2- + b. 4 2 8- + -

c. 3 6 7 2- + - d. 2 5 6 4- + + -

2. Calcule las siguientes expresiones.a. ( )6 2 3- - + b. ( )5 2 7- - - -

c. ( ) ( )4 6 8 5- + - - - + d. ( ) ( )9 2 3 1- - - + -


Ejemplo:

3 1 6 7 1 6 3 7

7 10

3

- + + - = + - -

= -

=-

Propiedad conmutativa:e d d e+ = +

Propiedad asociativa:( ) ( )e d i e d i+ + = + +

Esta expresión se representa como la suma de los términos, es decir: ( ) ( ) ( ) ( )1 3 6 2 1 3 6 2- + - = + + - + + + -

a.

( ) ( )4 8 1 3 4 8 1 3

4 8 1 3

13 3

10

- - + - = + + + -

= + + -

= -

=

b.

1 -3 +6 -2 = 1 +6 -3 -2= 7 -5

= 2

1&



Unidad 1

Aritm



Calcule la siguiente expresión.

( )6 2 1 4- + - - -^ h

Para calcular expresiones que incluyen paréntesis, primero se suprimen los paréntesis y luego se realizan los cálculos.


a. 4 5 3 1- + - - -^ ^h h b. 3 2 7 5- - - + - -^ ^h hc. 6 2 4 3+ - - - +^ ^h h d. 2 8 3 1- + - - - -^ ^h he. 5 4 7 6- - - - -^ ^h h f. 8 4 5 7- - - - - -^ ^h hg. 7 6 2 5- - - - -^ ^h h h. 9 5 2 7- - - - - +^ ^h h

Se cambia la resta a una suma y el signo del sustraendo.Se suprimen los paréntesis y se aplica la propiedad conmutativa.

Ejemplo:

2 6 5 4 2 6 5 4

2 6 5 4

6 2 5 4

6 11

5

- - - + - - =- + + + - -

=- + - -

= - - -

= -

=-

^ ^ ^ ^h h h h

6 2 1 4 6 2 1 4- + - - - = - + - + +^ ^ ^ ^h h h h

6 4 2 1

10 3

7

= + - -

= -

=

6 2 1 4= - - +

1/



Uni

dad

1A

ritm

étic

aSección 5 Clase 1

Piense en la solución de las siguientes expresiones y represéntelas en la recta numérica.

Al multiplicar dos números positivos, el producto es un número positivo. En este caso, se coloca el signo positivo y se encuentra el producto de los valores absolutos. Al multiplicar un número positivo por un número negativo, el producto es un número negativo. En este caso, se coloca el signo negativo y se encuentra el producto de los valores absolutos.

Un producto es una suma abreviada. Por tanto,

Calcule las siguientes expresiones.a. 4 5# b. ( )9 1# - c. 2 8#

d. ( )6 4# - e. 7 8# f. ( )3 9# -

g. 5 10# h. ( )8 4# - i. 4 6#

j. ( )9 5# - k. 6 7# l. ( )6 6# -

m. ( )5 7# - n. ( )7 9# - o. ( )9 8# -

Multiplicación de números positivos y negativosMultiplicación de un número positivo y un número positivo o negativo

a. ( ) ( )4 2#+ + b. ( ) ( )3 2#+ -

a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 2 2 2 2 2

8

#+ + = + + + + + + +

=+

En la recta numérica se representa:

b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 2 2

6

#+ - = - + - + -

=-

En la recta numérica se representa:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

#

#

+ + +

+ - -

] g

Ejemplo:

a. ( )3 5 3 5

15

# #=+

=

b. ( ) ( )6 8 6 8

48

# #- =-

=-

Si el número es positivo, entonces se puede omitirel signo.

1(



Unidad 1

Aritm


Multiplicación de números positivos y negativosMultiplicación de un número negativo y un número positivo

Observe los siguientes cálculos y complete la tabla.

Al multiplicar un número negativo por un número positivo, el producto es un número negativo. En este caso, se coloca el signo negativo y se encuentra el producto de los valores absolutos.

Se observa que los valores van disminuyendo de dos en dos. Siguiendo esta secuencia, se presentan los resultados en la tabla que está abajo.

a. ( ) ( )4 2#+ + 8+

b. ( ) ( )3 2#+ + 6+

c. ( ) ( )2 2#+ + 4+

d. ( ) ( )1 2#+ + 2+

e. ( )0 2# +

f. ( ) ( )1 2#- +

g. ( ) ( )2 2#- +

h. ( ) ( )3 2#- +

i. ( ) ( )4 2#- +

2-

2-

2-

a. ( ) ( )4 2#+ + 8+

b. ( ) ( )3 2#+ + 6+

c. ( ) ( )2 2#+ + 4+

d. ( ) ( )1 2#+ + 2+

e. ( )0 2# + 0

f. ( ) ( )1 2#- + 2-

g. ( ) ( )2 2#- + 4-

h. ( ) ( )3 2#- + 6-

i. ( ) ( )4 2#- + 8-

2-

2-

2-

2-

2-

2-

2-

2-

0 2 0# =

( )1 2 1 2 2# #- =- =-

( )2 2 2 2 4# #- =- =-

( )3 2 3 2 6# #- =- =-

( )4 2 4 2 8# #- =- =-

Calcule las siguientes expresiones.a. ( )4 4#- b. ( )5 8#- c. 2 6#-] g d. ( )7 3#- e. ( )6 5#-

f. ( )2 9#- g. ( )7 5#- h. ( )6 8#- i. ( )6 4#- j. ( )9 9#-

k. ( )6 6#- l. ( )3 9#- m. ( )8 7#- n. ( )9 5#- o. ( )4 7#-

Ejemplo:

( ) ( )5 6 5 6

30

# #- =-

=-

( ) ( ) ( )#- + -

1)



Uni

dad

1A

ritm

étic

aSección 5 Clase 3

Observe los siguientes cálculos y complete la tabla.

Se observa que los valores van aumentando de dos en dos. Siguiendo esta secuencia, se presentan los resultados en la tabla que está abajo.

Calcule las siguientes expresiones.a. ( ) ( )2 8#- - b. ( ) ( )4 7#- - c. ( ) ( )4 3#- - d. ( ) ( )2 5#- - e. ( ) ( )9 5#- -

f. ( ) ( )3 8#- - g. ( ) ( )6 3#- - h. ( ) ( )8 4#- - i. ( ) ( )9 7#- - j. ( ) ( )3 7#- -

k. ( ) ( )5 4#- - l. ( ) ( )7 6#- - m. ( ) ( )6 8#- - n. ( ) ( )3 9#- - o. ( ) ( )9 6#- -

Multiplicación de números positivos y negativosMultiplicación de dos números negativos

a. ( ) ( )3 2#+ - 6-

b. ( ) ( )2 2#+ - 4-

c. ( ) ( )1 2#+ - 2-

d. ( )0 2# -

e. ( ) ( )1 2#- -

f. ( ) ( )2 2#- -

g. ( ) ( )3 2#- -

2+

2+

a. ( ) ( )3 2#+ - 6-

b. ( ) ( )2 2#+ - 4-

c. ( ) ( )1 2#+ - 2-

d. ( )0 2# - 0

e. ( ) ( )1 2#- - 2+

f. ( ) ( )2 2#- - 4+

g. ( ) ( )3 2#- - 6+

2+

2+

( )0 2 0# - =

( )1 2 2#+ =+

( )2 2 4#+ =+

( )3 2 6#+ =+

2+

2+

2+

2+

Al multiplicar dos números negativos, el producto es un número positivo. En este caso, se coloca el signo positivo y se encuentra el producto de los valores absolutos.

Ejemplo:

( ) ( ) ( )8 5 8 5

40

# #- - =+

=

( ) ( )#- - +] g

2=



Unidad 1

Aritm


Multiplicación de números positivos y negativosCálculo mental de estimación de multiplicación

Con base en . ( . ):5 4 3 7# -

a. Calcule la expresión mentalmente, aproximando cada uno de los factores a un número entero.b. Calcule la expresión utilizando calculadora.

Al obtener el resultado de una expresión matemática utilizando aproximación se le llama estimación.Para estimar un producto de decimales:

Paso 1. Se aproxima cada uno de los factores a un número entero.Paso 2. Se multiplican los números aproximados.

a. .5 4 se aproxima a 5. .3 7- se aproxima a -4.

Por tanto, ( ) .5 4 20# - =-

b. . ( . ) .5 4 3 7 19 98# - =-

c. El resultado del inciso a es: ( )5 4 20# - =- El resultado del inciso b es: . ( . ) .5 4 3 7 19 98# - =- Entonces, los resultados del inciso a y b son aproximadamente iguales.

Al proceso de encontrar un número entero cercano al número decimal dado se le llama aproximación de un número decimal a un número entero.

.5 4 se ubica más cerca del 5 quedel 6.

.3 7- se ubica más cerca del 4-que del 3- .

Ejemplo: Considere ( . ) . .4 2 6 7#-

.4 2- se aproxima a -4..6 7 se aproxima a 7.

( ) ( )4 7 4 7

28

# #- =-

=-

Por tanto, la estimación de ( . ) .4 2 6 7#- es .28-

Encuentre la estimación de las siguientes expresiones.

a. . ( . )5 2 4 9# - b. ( . ) .3 2 7 1#-

c. ( . ) ( . )8 7 2 2#- - d. . ( . )5 8 6 4# -

e. . ( . )11 4 2 9# - f. ( . ) .4 2 13 8#-

g. ( . ) ( . )3 6 10 4#- - h. . ( . )12 3 2 2# -

c. Compare los resultados obtenidos en el inciso a y b.

21



Uni

dad

1A

ritm

étic

aSección 6 Clase 1


Para dividir números con el mismo signo:

Paso 1. Se coloca el signo positivo.Paso 2. Se encuentra el cociente de los valores absolutos.

Para dividir números con diferente signo:

Paso 1. Se coloca el signo negativo.Paso 2. Se encuentra el cociente de los valores absolutos.

Para calcular la división de números negativos realice el mismo procedimiento que en los números positivos, teniendo cuidado con el signo.

Calcule las siguientes expresiones.a. ( ) ( )18 3'- - b. ( )49 7' - c. ( )10 5'-

d. ( ) ( )80 10'- - e. ( )45 5' - f. ( )20 2'-

g. ( ) ( )9 3'- - h. ( )24 6' - i. 75 15'

j. ( ) ( )81 9'- - k. ( )35 7' - l. ( ) ( )36 4'- -

m. ( )60 12' - n. ( ) ( )100 10'- - o. ( )64 8' -

División de números positivos y negativosDivisión de números positivos y negativos

a. 8 2'

b. ( )8 2' -

c. ( )8 2'-

d. ( ) ( )8 2'- -

a. 8 2 4' = porque 4 2 8# =

b. ( )8 2 4' - =- porque ( ) ( )4 2 8#- - =

c. ( )8 2 4'- =- porque ( )4 2 8#- =-

d. ( ) ( )8 2 4'- - = porque ( )4 2 8# - =-

Ejemplo:

a. ( )6 3 6 3

2

' '=+

=

b. ( ) ( ) ( )6 3 6 3

2

' '- - =+

=

c. ( ) ( )6 3 6 3

2

' '- =-

=-

d. ( ) ( )6 3 6 3

2

' '- =-

=-

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

÷÷÷

÷+ + +

- - +

+ - -

- + -

Para calcular ,8 2' se busca el número que completa la expresión .2 8#n = Por tanto, .8 2 4' =

22



Unidad 1

Aritm


División de números positivos y negativosDivisión de números decimales


a. ( . ) ( . )1 6 0 8'- -b. . ( . )3 6 0 9' -

Al dividir números decimales con el mismo signo, el cociente es un número positivo. En este caso, se coloca el signo positivo y se encuentra el cociente de los valores absolutos.

Al dividir números decimales con diferente signo, el cociente es un número negativo. En este caso, se coloca el signo negativo y se encuentra el cociente de los valores absolutos.

Calcule las siguientes expresiones.a. ( . ) ( . )4 2 2 1'- - b. . ( . )9 3 3 1' - c. . .2 5 0 5'

d. ( . ) .4 5 0 5'- e. ( . ) ( . )3 6 1 8'- - f. . ( . )2 4 0 6' -

g. ( . ) .4 8 1 2'- h. ( . ) ( . )7 2 2 4'- - i. . ( . )9 6 3 2' -

j. ( . ) .8 1 0 9'- k. ( . ) ( . )5 4 1 8'- - l. . ( . )9 4 4 7' -

m. . ( . )6 3 0 3' - n. . ( . )8 2 4 1' - o. . ( . )7 5 1 5' -

a. ( . ) ( . ) ( . . )1 6 0 8 1 6 0 8

2

' '- - =+

=

Se determina el signo.Se encuentra el cociente de los valores absolutos.

b. . ( . ) ( . . )3 6 0 9 3 6 0 9

4

' '- =-

=-

Se determina el signo.Se encuentra el cociente de los valores absolutos.

Ejemplo:

a. . . ( . . )6 3 2 1 6 3 2 1

3

' '=+

=

b. ( . ) . ( . . )5 6 0 7 5 6 0 7

8

' '- =-

=-

23



Uni

dad

1A

ritm

étic

aSección 6 Clase 3

Encuentre el valor que completa cada expresión.

Un número es el recíproco de otro número si al multiplicar ambos números da como resultado 1.Si a representa un número diferente de 0, su recíproco es a

1 porque .a aaa

11

1 1# #= =

De igual manera, el recíproco de a1 es a.

a.

Encuentre el recíproco de los siguientes números.a.

52- b. 6- c.

91-

d. 54 e. 3 f. 6

7-

g. 8- h. 32 i. 3

8-

j. 1- k. 9 l. 49-

m. 5- n. 27 o. 6

1

p. 73- q. 4

3- r. 56

División de números positivos y negativosRecíproco de un número

a.32 1#n - =b l

b. ( )4 1#n- =

32 1

1 32

1 32

1 23

23

#

'

'

#

n

n

n

n

n

- =

= -

=-

=-

=-

b

bb

bl

ll

l

Respuesta: el valor que completa la expresión .es32 1 2

3#n - = -b l23- se denomina como el recíproco de .3

2-

b.

Respuesta: el valor que completa la expresión ( ) .es4 1 41#n- = -

41- se denomina como el recíproco de .4-

( )

( )

( )

4 1

1 4

1 4

41

#

'

'

nnnn

- =

= -

=-

=-

Si a b c# = , entonces .oa c b b c a' '= =

24



Unidad 1

Aritm


División de números positivos y negativosDivisión de fracciones


Al dividir números fraccionarios con el mismo signo, el cociente es un número positivo. En este caso, se coloca el signo positivo y se encuentra el producto de los valores absolutos.

Al dividir números fraccionarios con signos diferentes, el cociente es un número negativo. En este caso, se coloca el signo negativo y se encuentra el producto de los valores absolutos.


a. 72

43' b. 5

243'-b l c. 4

354'- -b bl l

d. 32

51' -b l e. 9

1 3'-b l f. 83

32'- -b bl l

g. 5 73' -b l h. 7

3145'-b l i. 4

537'- -b bl l

j. 65

34' -b l k. 5

6 7'-b l l. 9 211' -b l

a.54

79'-b l

b.72 3'- -b ]l g

Se cambia la división a multiplicación utilizando el recíproco de .7

9a.

54

79

54

97

5 94 7

4528

' #

##

- = -

=-

=-

b bb

l ll

b.72 3 7

231

7 32 1

212

' #

##

- - = - -

=+

=

b ] bb

bl g lll Se cambia la división a multiplicación utilizando el recíproco

de .3-

Ejemplo:

a. 52

35

52

53

256

' #=+

=

b l

b. 32

43

32

34

98

' #- =-

=-

b bl l

Se encuentra el producto de los valores absolutos.

Se encuentra el producto de los valores absolutos.

Se determina el signo del resultado.

Se determina el signo del resultado.

25



Uni

dad

1A

ritm

étic

aSección 6 Clase 5

Con base en ( . ) . :8 4 2 3'-

a. Calcule mentalmente, aproximando el dividendo y el divisor a un número entero.

b. Calcule utilizando calculadora.

c. Compare los resultados obtenidos en el inciso a y b.

Para estimar el cociente de decimales:

Paso 1. Se aproxima el dividendo y el divisor a un número entero.Paso 2. Se dividen los números aproximados.

a. .8 4- se aproxima a .8- 2.3 se aproxima a 2. Por tanto, ( ) ( )8 2 8 2

4

' '- =-

=-

b. ( . ) . . …8 4 2 3 3 6521739'- =-

c. El resultado del inciso a es: ( )8 2 4'- =-

El resultado del inciso b es: ( . ) . . …8 4 2 3 3 6521739'- =-

Entonces, los resultados del inciso a y b son aproximadamente iguales.

División de números positivos y negativosCálculo mental de estimación de división

.8 4- se ubica más cerca del número 8- quedel 9- .

.2 3 se ubica más cerca del número 2 que del 3.

Encuentre la estimación de las siguientes expresiones.a. ( . ) .7 8 4 1'- b. ( . ) .9 3 2 7'-

c. ( . ) ( . )10 3 5 2'- - d. ( . ) .11 9 5 8'-

e. . ( . )15 2 3 3' - f. ( . ) .17 9 9 2'-

g. ( . ) ( . )26 8 2 8'- - h. ( . ) .59 7 3 1'-

26



Unidad 1

Aritm


Operaciones combinadas de números positivos y negativosMultiplicación y división de números positivos y negativos combinadas

Calcule la siguiente expresión.( ) ( )27 3

2 9# '- - -b l

Para calcular una expresión matemática con multiplicación y división de fracciones:

Paso 1. Se cambia la división a multiplicación, utilizando el recíproco del divisor.Paso 2. Se colocan los signos.Paso 3. Se calcula.

Forma 1.Calcule de izquierda a derecha.


a. ( ) ( )3 5 12# '- - b. ( )8 514 7' #- -b l c. ( )6 5

3 10' #-

d. ( )3 4 24# '- e. 18 29

43' #- -b bl l f. 5

3103

32' '- -b bl l

( )

( )

( )

( )

27 32 9

327 2

9

18 9

18 9

2

1

9

# '

#'

'

'

- - -

=+ -

= -

=-

=-

db ]nl g

Forma 2.Cambie la división a multiplicación utilizando el recíproco de 9- y calcule.

( )

( )

27 32 9

27 32

91

3 927 2 1

21 1

91

# '

# #

## #

- - -

= - - -

=-

=-

d

bb

]b

lln

gl

( ) ( ) ( ) ( )# #- - - -

Para simplificar fracciones se divide el númerador y el denominador entre el mismo número.

158

65

34

31

94

3

4

3

1

# #=

=

27



Uni

dad

1A

ritm

étic

aSección 7 Clase 2

Escriba en forma de producto y calcule.

a. 24-

b. ( )2 4-

En una potencia:1. Si la base no está entre paréntesis, entonces se copia el signo y el exponente afecta solo al

número.

2. Si la base está entre paréntesis, entonces el exponente afecta a todo lo que está dentro delparéntesis, es decir, al signo y al número.

a.

Calcule las siguientes expresiones.a. 62- b. ( )3 4-

c. 53- d. ( )7 2-

e. 82- f. ( )2 5-

g. 34- h. ( )9 3-

i. 55- j. ( )4 3-

Operaciones combinadas de números positivos y negativosPotencia con números negativos

( )2 2 2 2 2

16

4 # # #- =-

=-

b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2

16

4 # # #- = - - - -

=

y2 24 4- -^ h son parecidospero representan productos diferentes.

Ejemplo:

a. ( )4 4 4

16

2 #- =-

=-b. ( ) ( ) ( )4 4 4

16

2 #- = - -

=c. ( ) ( ) ( )3 3 3

9

2 #- = - -

=d. ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3

27

3 # #- = - - -

=-

Si el exponente es par,el resultado de la potencia es positivo.

Si el exponente es impar, el resultado de la potencia es negativo.

28



Unidad 1

Aritm


Operaciones combinadas de números positivos y negativosOrden de operaciones (1)


a. ( )3 2 5#- -

b. ( )5 12 14 7# '- +

c. ( ) ( )4 5 2 3#- + - -

Para calcular una expresión que combina suma, resta, multiplicación, división y potencia:

Paso 1. Se calculan las potencias.Paso 2. Se multiplica y se divide de izquierda a derecha.Paso 3. Se suma y se resta de izquierda a derecha.

a.


a. ( ) ( )2 5 6 3# '- - - b. ( )10 7 3 2- - + - c. ( )5 3 4#- - -

d. 4 6 3 5 2' #- + e. 3 5 8 22 # '+ f. ( ) ( )3 2 5 10#- - - -

g. ( )5 5 2 33' #- - h. ( ) ( )7 1 9 3# '- + - i. ( )12 4 2 42 ' #- -

( )3 2 5

3 10

3 10

13

#- -

= - -

= +

=

^ h Se multiplica ( ) .2 5#-

Se cambia la resta a una suma y el signo del sustraendo.Se suma.

b. ( )5 12 14 7

60 2

58

# '- +

=- +

=-

Se multiplica ( )5 12# - y se divide .14 7'

Se suma.

c. ( ) ( )

( ) ( )

4 5 2

4 5 8

4 40

36

3#

#

- + - -

=- + - -

=- +

=

Se calcula 2 3-^ h .Se multiplica ( ) ( )5 8#- - .Se suma.

29



Uni

dad

1A

ritm

étic

a


a. ( ) ( )4 7 9 19#- - + +b. [ ( )]8 12 2 3 5' #+ - -

Cuando una expresión incluye diversos signos de agrupación, el orden de cálculo es:

Paso 1. Se resuelven primero las operaciones indicadas dentro de los paréntesis ,^ h luego los corchetes .6 @

Paso 2. Se multiplica y se divide de izquierda a derecha.Paso 3. Se suma y se resta de izquierda a derecha.

Calcule las siguientes expresiones.a. ( )5 10 3 4#- + - b. [ ( )]4 2 5 4# - - - c. ( )7 12 4 3#+ -

d. [ ( )]5 4 2 8# - + - e. ( )15 3 6 2' #- f. ( ) [ ( )]5 3 2 5#- + - -

g. ( ) ( )15 6 3 2' #- - - h. [ ( )]36 2 2 4' # - - i. ( ) ( )9 5 2 3# '- + -

Sección 7 Clase 4

Operaciones combinadas de números positivos y negativosOrden de operaciones (2)

a. ( ) ( )

( ) ( )

4 7 9 19

4 2 19

8 19

11

#

#

- - + +

= - + +

=- +

=

Se operan los números dentro del paréntesis 7 9- +^ h .Se multiplica ( ) ( )4 2#- + .Se suma.

b. [ ( )]

[ ( )]

8 12 2 3 5

8 12 6 5

8 2 5

8 2 5

6 5

1

' #

'

+ - -

= + - -

= + - -

= - -

= -

=

^ hSe operan los números dentro del paréntesis ( )2 3#- .Se operan los números dentro del corchete [ ( )]12 6' - .Se suprimen los paréntesis.

20



Unidad 1

Aritm

ética

Ejercitación A1. Clasifique los siguientes números en primos y compuestos. 11, 21, 39, 42, 59, 77

2. Escriba la descomposición en factores primos de los siguientes números compuestos. 18, 48, 75, 90, 100, 135

3. Encuentre el MCM de los siguientes números. 2 y 5, 5 y 15, 9 y 12

4. Encuentre el MCD de los siguientes números. 5 y 15, 9 y 12

5. Calcule las siguientes expresiones.a. . .2 8 5 1+ b. . .6 6 4 3- c. . .10 2 4 73+ d. . .19 3 5 16-

6. Calcule las siguientes expresiones.a. . .3 7 2 4# b. . .7 8 1 3' c. . .2 33 5 1# d. . .6 56 4 1'

7. Calcule las siguientes expresiones.a. 3

141+ b. 5

421- c. 7

3141+ d. 26

5135-

8. Calcule las siguientes expresiones.a. 7

231# b. 8

352' c. 9

4 4# d. 65 7'

9. Exprese la medida de temperatura utilizando números positivos y negativos. a. C5c arriba de C0c b. C10c debajo de C0c

10. Escriba el número que corresponde a cada letra en la recta numérica.

11. Exprese con un número positivo o negativo cada diferencia respecto a la cantidad de referencia. a. 6 cm más corto de la “longitud ideal”. b. 4 min antes del “tiempo actual”.12. Compare los siguientes pares de números y escriba o2 1 donde corresponda.

a. 2 n -3 b. -5 n -8 c. -0.5 n 0 d. 21

61n- -

13. Encuentre el valor absoluto de los siguientes números.

a.

9- b. 2+ c. .4 8- d. 73+

14. Calcule las siguientes expresiones. a. (-3)+(-6) b. (+5)-(+1) c. (-4)+(+5) d. (+2)-(-4)

e. (+2)+(-7) f. (-7)-(-3) g. (+3)+(-3) h. 0-(-8)

i. (-2.6)+(+1.3) j. (-3.3)-(+6.5) k. 52

51+ + -c cm m l. 3

523+ - +c bm l

m. (-6)+(-3)+(+2) n. (+2)+(-4)-(-5) o. (-7)+(-1)-(+4)-(-4)

15. Calcule las siguientes expresiones. a. 3#(-2) b. (-9)'3 c. (-4)#(-5) d. (-6)'(-2)

16. Calcule las siguientes expresiones.a. 3 2- b. (-5) 3 c. 5+10'(-2) d. 4-6#(-5)

A B C-5 5

2!



Uni

dad

1A

ritm

étic

a

1. Calcule las siguientes expresiones. a. . .3 4 2 9+ b. . .5 5 2 7- c. . .8 6 10 59+ d. . .14 51 2 62-

2. Calcule las siguientes expresiones. a. .20 0 7# b. .4 0 8' c. . .0 5 2 66# d. . .2 4 0 04'

3. Calcule las siguientes expresiones.a.

52

154+ b.

107

61- c.

61

43+ d.

2013

41-


a. 43

92# b.

53

103' c.

32

109# d. 7

62112'

5. Encuentre los números enteros que tengan como valor absoluto 2.

6. El punto P, que no se muestra en la recta numérica, está a 5 unidades del punto B y a 2 unidades del punto A. ¿Qué número es el punto P?

7. Calcule las siguientes expresiones. a. 2 4- - b. 7 3- + c. 5 9- + d. 6 6- +

e. . .5 1 2 9- + f. . .1 7 4 3- + g. . .3 4 6 6- - h. 27

23- -

i. 67

38- + j. 3 5 7- + - k. 2 6 1 4- - - l. 5 8 7 9- + - +

m. 4+(-3)-(-6)+5 n. 7-(-1)+(-2)+8 o. -3+(-6)-(-9)+11


a. -4#6'(-8) b. 9 53 2' #- -c ]m g c. 4

365

1615# '- - -c cm m d. 7

294

143' '- -b l

e. (-2)#(-4)#(-3) f. 40'(-10)#(-5) g. (-8.4)'(-4.2) h. 43

52'-b l

9. Calcule las siguientes expresiones. a. 2#6-4'(-1) b. 23-3'(-10)#(-20) c. (-3)3'9-5#2

d. 62'2-(-8)2'4 e. 2#[-5-(4-7)] f. (-2.3-5.7)'(-2)#(-5)

g. 31- +(-4+9)

53' h. -6.2'3.1 4

938#- -c m

Ejercitación B

-5 2

B

1 43 65 87-4 -3 -2 -1

2“


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