Aplicaciones de Termodinamica.

Transmision del calor.

J. GuemezDepartamento de Fısica Aplicada,

Universidad de CantabriaE-39005 Santander.

Diciembre 12, 2003

1 Introduccion

En Termodinamica del Equilibrio los contactos diatermos permitenel intercambio de calor entre un sistema y su entorno. Puesto queel tiempo no juega ningun papel en Termodinamica del equilibrio,tampoco lo hace en esta clase de contactos, por lo que no se prestaatencion a la forma concreta en la que el calor se transmite. Perodesde un punto de vista practico, la manera precisa en que se producela transmision del calor sı es importante.

Existen tres mecanismos mediante los cuales se transmite la en-ergıa termica: la conduccion, la conveccion y la radiacion. La con-duccion y la conveccion necesitan un soporte material, tıpicamenteun solido en la conduccion y alguna clase de fluido en la conveccion,mientras que la radiacion permite la transmision de energıa termicasin soporte material. En la conduccion el flujo energetico se difundea traves de la sustancia, sin que haya transporte de masa, mientrasque en la conveccion es la totalidad de la masa del fluido la que seve implicada en la transmision de energıa, habiendo tanto transportede masa como de energıa. En el caso de la radiacion se trata de on-das electromagneticas emitidas por una superficie, transmitidas en elvacıo y absorbidas por otra superficie.

1

2 Conduccion. Regimen estacionario

En la conduccion hay transmision de energıa entre objetos en con-tacto material a temperaturas diferentes. Pero no hay transporte demateria. Cuando una parte de un solido se calienta, la temperaturaentre sus diversas partes se va modificando debido a un proceso deagitacion termica de sus componentes, pero sin que haya desplaza-mientos macroscopicos. Se habla entonces de conduccion del calor.

Cuando se considera un solido homogeneo e isotropo de una ciertaanchura h, (aislado del exterior excepto por sus extremos) muchomenor que sus otras dimensiones, cuando las temperaturas a am-bos lados del solido son diferentes, TC y TF debidas a focos de calor,se produce un proceso de transmision de calor desde la superficie amayor temperatura hasta la superficie a menor temperatura a travesdel solido. La transmision de calor a traves de esa superficie obedecela denominada ley de Fourier de la conduccion que relaciona el flujode calor por unidad de seccion, o energıa transmitida por unidad desuperficie y unidad de tiempo, JQ, con el gradiente de temperatu-ras y con un coeficiente caracterıstico del material denominado, κ,coeficiente de conductividad termica:

JQ =Q

A∆t≈ −κ

∆T

h, (1)

siendo ∆T = TC − TF la diferencia de temperaturas entre el fococaliente y el foco frıo. Cuando la diferencia de temperaturas ∆T espequena, y la anchura h es infinitesimal, dx, se puede aproximar laEc.(1) por

Φ = JQA = Q = −KdTdx

, (2)

que es la que se conoce con el nombre de ley de Fourier. El coeficienteK viene dada por K = κA, siendo A la seccion. A la derivadadT/dx se la denomina gradiente de temperatura y a Q flujo calorıficoo termico. Notese que en esta ecuacion se supone que el foco calientese encuentra en la posicion x = h y el foco frıo en x = 0, por lo que ladireccion del flujo de calor es decreciente, dx < 0, por lo que Q > 0al ir en la direccion natural de foco caliente a foco frıo.

En el SI κ viene dado en W·m−1·K−1. En general κ varıa con latemperatura en el caso de solidos y lıquidos y tambien con la presion

2

Sustancia κ/ W·m−1·K−1

Acero 46Aire (27 ◦C) 0,026Agua (27 ◦C) 0,609

Aluminio 237Asbestos 0,08Cobre 401

Hielo (-10 ◦C) 0,592Hierro 80,4

Hormigon 1,9-1,3Oro 318

Pino Blanco 0,11Plata 429Plomo 353Roble 0,15Vidrio 0,7-0,9

Tabla 1: Coeficiente de conductividad termica de algunas sustancias a 25◦C y 1, 01×105 Pa. Notense los elevados valores de κ en los metales y elbajo valor en el hielo.

en el caso de gases. En la Tabla 1 se dan algunos valores tıpicos deκ a temperatura y presion ordinarias.

Los materiales con altos valores de κ (por ejemplo, los metales) sedice que son buenos conductores del calor, mientras que aquellos convalores pequenos de κ (por ejemplo, el vidrio) se dice que son buenosaislantes del calor.

En termodinamica del equilibrio se consideran las paredes adiabaticascomo paredes no conductoras del calor. La pared de un vaso Dewar(dos paredes de vidrio plateadas y entre las que se ha hecho un vacıoparcial) son un buen ejemplo de paredes adiabaticas, donde se ha in-tentado eliminar los tres mecanismos de conduccion del calor: pare-des de vidrio para eliminar la conduccion, vacıo parcial para evitar laconveccion y paredes plateadas para evitar la radiacion. En el otro

3

extremo estarıan las paredes diatermas, caracterizadas tıpicamentecomo metalicas, y que serıan buenas conductoras del calor.

Ejemplo TC.1. Conduccion del calor en hielo y ecuacion deClausius-Clapeyron

Una barra de acero de seccion recta rectangular (altura a y anchura b)y longitud c esta colocada sobre un bloque de hielo con sus extremossobresaliendo un poco. Se cuelga un peso de masa m de cada unode los extremos de la barra. (Estos pesos son mucho mayores queel de la propia barra). Todo el conjunto se encuentra a 0 ◦C. Comoconsecuencia del aumento de la presion ejercida por la barra, el hielofunde debajo de la barra y el agua vuelve a congelar encima de ella.Por tanto, se libera calor encima de la barra que, conducido a travesde la barra, cuyo coeficiente de conduccion del calor es κ, es luegoabsorbido por el hielo debajo de ella. Se puede demostrar que unaexpresion aproximada para la velocidad v con la que la barra se hundeen el hielo serıa

v =2mgκT

λ2h→abcaρh

(1ρa

− 1ρh

)

siendo g la constante de gravedad de la Tierra y ρa y ρh las densidadesdel agua lıquida y del hielo, respectivamente, y λh→a es el calor latentede la transicion hielo-agua.

Cuando la barra presiona sobre el hielo, la temperatura de 0 ◦C yano es la del equilibrio solido-lıquido a esa nueva presion. Dadas lasespeciales caracterısticas del sistema agua-hielo, disminuye el puntode congelacion y el hielo funde. Se produce entonces una disminucionde la temperatura.

Puesto que el incremento de presion que se ejerce sobre el hielo vienedado por

∆P =2mg

bc

donde 2mg es la fuerza ejercida por las dos masas (el propio peso dela barra no se considera) y bc la seccion sobre la que se ejerce.

De acuerdo con la ecuacion de Clausius-Clepeyron, la variacion de latemperatura de equilibrio hielo agua sera (tomando el calor latentecomo positivo)

∆P

∆T=

λh→a

T (va − vh)=

λh→a

T ( 1ρa

− 1ρh

)≤ 0

4

donde ρa y ρh son las densidades respectivas del agua lıquida y delhielo.

El mecanismo por el que la barra se hunde en el hielo es esencialmenteel siguiente.

(i) El hielo a 0 ◦C no se encuentra en equilibrio bajo la nuevapresion. Al haber aumentado la presion, la nueva temperaturade equilibrio es ahora menor.

(ii) En esas condiciones el hielo funde, se pasa a la zona lıquidadel diagrama de fases del agua, se absorbe un calor latente yla temperatura de la zona disminuye, lograndose que el hielodebajo de la barra se encuentre en equilibrio.

(iii) El agua es desplazada hacia arriba de la barra, congela, pues denuevo se encuentra en equilibrio a 0 ◦C bajo presion atmosferica,y el calor latente cedido se dirige preferentemente hacia la zonaa menor temperatura.

(iv) El hielo debajo de la barra vuele a encontrarse a una tempera-tura de no equilibrio con la presion. El proceso se repite.

Por tanto, la diferencia de temperaturas que se establece entre laparte superior e inferior de la barra de acero sera

∆T =2mg

λh→abcT

(1ρa

− 1ρh

)

Esta diferencia de temperaturas (el agua absorbe calor latente alfundirse el hielo, por lo que la parte inferior se enfrıa. Encima dela barra el agua se congela por lo que cede calor latente. Este esel calor transmitido, hacia arriba como agua lıquida y hacia abajo atraves de la barra. La variacion de energıa potencial de las masas espequena comparada con este calor y sirve para fundir las primerascantidades de hielo), hace que se transmita calor a traves de la barra.

La cantidad de calor transmitida por unidad de area y de tiempoviene dada por

dQdt

= κdTdx

El gradiente de temperatura dT/dx se puede sustituir por ∆T/a, puesa es la altura de la barra, longitud a lo largo de la que se transmiteel calor. A su vez, el calor transmitido se utiliza para fundir el hielo,por lo que la masa de hielo fundida por unidad de tiempo y superficiesera

λh→admdt

= −κ∆T

a

5

Puesto que la superficie de transmision es la seccion de la barra, setiene que la masa total fundida por unidad de tiempo sera

λh→a

bc

dMdt

= κ∆T

a

Suponiendo que esa masa de hielo fundida ocupa un volumen bcdldonde dl es el pequeno diferencia de longitud que avanza la barra,M = ρhbcdl, y se tiene que la distancia avanzada por la barra deacero por unidad de tiempo, sera

dldt

= v =2mgκT

λ2h→abcaρh

(1ρa

− 1ρh

)

Una experiencia que puede llevarse a cabo es medir la velocidad dehundimiento de la barra en funcion de las masas colgadas de la misma.Debe obtenerse una lınea recta en la representacion de estas veloci-dades frente a la masa. Por otro lado, en las mismas condiciones,mismas masas colgadas, la velocidad de penetracion de la barra en elhielo debe ser menor cuanto menor sea el coeficiente κ del materialde la barra.

2.1 Analogıa electrica

Un concepto util en el analisis de conduccion del calor es el de resisten-cia termica R = ∆x/κA = Rf/A, que permite escribir la ecuacion deFourier en la forma

∆T = ΦR

Este concepto es util cuando las secciones atravesadas por el calorno son iguales en los distintos elementos. En este caso se conserva elflujo de calor Φ, pero no el flujo por unidad de seccion JQ. El caso detubos concentricos diferentes, por cuyo eje comun circula un lıquidoa una temperatura diferente de la del entorno, es un ejemplo de estetipo, con el flujo de calor perpendicular al eje de los cilindros.

La ecuacion anterior es formalmente analoga a la Ley de Ohm parala conduccion electrica, lo que permite tratar la resistencia termicacomo se maneja la resistencia electrica. Esta analogıa permite trataro simular problemas termicos por medio de redes electricas. Para unaserie de paredes perpendiculares al flujo de calor, las resistencias sesuman en serie por lo que la resistencia mayor (el material con menorrelacion conductividad a espesor) determina el flujo de calor. En elcaso de paredes paralelas al flujo de calor, las resistencias se suman

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en paralelo y el problema de n paredes se convierte en n problemasdiferentes. La conduccion a traves de paredes compuestas, con distin-tos tipos de materiales, o a traves de tubos concentricos se analizarautilizando una analogıa de este tipo.

Ejemplo TC.2. Conduccion del calor en una esfera

Un calentador electrico situado en una pequena cavidad en el centrode una esfera metalica de 0,05 m de diametro, desarrolla una potenciade 100 W. Calcular el gradiente de temperatura a la distancia de 1 cmdel centro y el gradiente en su superficie exterior. Determinar la tem-peratura a 1 cm del centro de la esfera si en la periferia es de 30 ◦C.La conductividad termica del metal es de κ = 0, 838×102 W·m−1·K−1.

El flujo de calor, calor por unidad de tiempo, viene dado por

δQ

dt= −κΣ(r)gradT

donde Σ(r) es la superficie atravesada, que depende de la distancia ra que se encuentre del centro de la esfera. En el caso de una esferahomogenea, se tiene que Σ(r) = (4πr2) y

δQ

dt= −κ(4πr2)

dTdr

.

Este flujo se conserva, pues la energıa se conserva.

Como el flujo de calor es constante (aunque no el flujo de calor porunidad de superficie), se tiene que aunque la esfera es homogenea, elgradiente de temperaturas varıa con r. Ası, a una distancia de 0,01m del centro

dTdr

= − 1000, 838×102×4π×0, 012

= −9, 52×102 K/m .

A 2, 5 cm del centro,

dTdr

= − 1000, 838×102×4π×0, 0252

= −1, 52×102 K/m .

Cuando se alcance el estado estacionario, las temperaturas en cadapunto de la esfera seran constantes. Integrando la ecuacion diferencialanterior, ∫ R

r1

4πΦ

drr2

= −κ

∫ TE

T1

dT

7

se tiene que

−[

1r2

− 1r1

]= −κ

(4πΦ

)(TE − T1) ,

donde R es el radio de la esfera y TE la temperatura del entorno. Paralos valores dados, si TE = 30 grados Celsius, para r1 = 0, 01 m, setiene que T1 = 35, 7 grados Celsius.

2.2 Ecuacion del calor

Cuando una barra sometida a un flujo de calor alcanza el estadoestacionario, es decir, la temperatura en cada uno de sus puntos novarıa en el tiempo, el flujo de energıa termica por unidad de seccion yunidad de tiempo, Q dado por Ec.(2), es constante. Sin embargo, enel caso mas general, el flujo de calor depende tanto del tiempo comode la posicion. En ese caso, la Ec.(2) se puede poner como

Q(x, t) = −κA∂T (x, t)

∂x, (3)

donde Kx puede depender de la coordenada x. Si se toma un elementode barra dx y se le aplica la ecuacion anterior, Ec.(3), la diferenciaq(x, t) entre la energıa termica que fluye por x y la energıa que fluyepor el elemento x + dx viene dada por

q(x, t) = [Q(x, t) −Q(x + dx, t)] dt .

Aplicando la ecuacion anterior, Ec.(3), a cada seccion, se tieneque

q(x, t) = −κA

[∂T (x + dx, t)

∂x− ∂T (x, t)

∂x

]dt = −κA

∂2T (x, t)∂x2

dxdt .

(4)Pero como la barra se supone lateralmente aislada (y no hay fuentesinternas de calor), ese calor solo ha podido ser utilizado en variar latemperatura del elemento dx durante ese tiempo dt. Si c es el calorespecıfico de la barra y ρ su densidad, se tiene que para el volumeninfinitesimal dV = Adx,

q(x, t) = cρAdxdT = cρAdx∂T (x, t)

∂tdt . (5)

8

Si se igualan las expresiones para q(x, t) dadas por las Ec.(4) y Ec.(5),se tiene que

∂T (x, t)∂t

= κD

∂2T (x, t)∂x2

, (6)

donde κD = κ/cρ es la difusividad termica del material.

2.2.1 Estado estacionario

Desde un punto de vista practico interesa caracterizar el denominadoestado estacionario o distribucion estacionaria de las temperaturasa lo largo del solido despues de que se haya dejado evolucionar elsistema tiempo suficiente. Desde un punto de vista matematico esteestado estacionario viene caracterizado por la condicion

∂T (x, t)∂t

= 0

en la Ec.(6)Por ejemplo, si las temperaturas a ambos lados de una barra

(aislada excepto por sus extremos) de anchura h son constantes, eiguales a T1 y T2, al cabo de cierto tiempo, la temperatura a unaprofundidad x en el muro vendra dada por

T (x) = T1 −T1 − T2

hx (7)

de tal manera que se tiene una caıda lineal de la temperatura entreambas caras de la pared.

Ejemplo TC.3 Generalizacion de la ecuacion del calor

Al estudiar la conduccion de energıa termica en una barra no aisladade longitud L y situada en un entorno a temperatura Te, la ecuaciondel calor se generaliza teniendo en cuenta la ley de Newton del enfri-amiento, tal que

∂T (x, t)∂t

= κD

∂2T (x, t)∂x2

− k(T (x, t) − Te) , (8)

donde k es la constante de la ley de Newton del enfriamiento (con-veccion). La temperatura del foco caliente es T1, la del foco frıo esT2 y la temperatura del entorno permanece constante.

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Pero en una barra mal aislada, el estado estacionario viene dado poruna ley algo mas complicada. Ası, para

κD

∂2T (x)∂x2

− k(T (x) − Te) = 0

las soluciones son del tipo

T (x) − Te = Ae√

kκ x + Be−

√kκ x

tal que para x = L,

T2 − Te = Ae√

kκ L + Be−

√kκ L

y para x = 0,T1 − Te = A + B

de donde se pueden obtener las constantes A y B. Si l >> (κD/k)1/2,se puede aproximar la solucion a distancias largas por

T (x) = −Tc − Tf

Lxe

√k

κD + Tc

tal que si k = 0 se recupera la primera solucion.

En caso particularmente sencillo es aquel en el que Te = T2 y la barratiene una longitud infinita. En este caso, la exponencial creciente notiene sentido fısico, por lo que debe ser A = 0 y se obtiene que

Tf − Te = (T1 − Te)e−√

kκ x ,

y se tiene una caıda exponencial de la temperatura.

Ejemplo TC.4 Crecimiento del espesor de una capa de hielo

A las 19 horas de un dıa dado el espesor de la capa de hielo sobre unlago de una ciudad es de 0,01 m. A las 8 horas del dıa siguiente elespesor de la capa de hielo ha aumentado hasta 0,024 m. Estimar latemperatura media del aire esa noche. Para el hielo (entre -10 ◦ C - 0◦ C ) puede tomarse κ = 0, 55 W/m K. La densidad del agua puedetomarse como ρ = 1000 kg/m3. El calor latente de fusion del hielo esde λ = 330 kJ/kg.

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Para una capa de hielo de espesor h con una diferencia de temperatu-ras ∆T entre sus caras, el flujo de calor, calor por unidad de tiempodt, por unidad de area A viene dado por

δQ

dt= −κA

∆T

h.

Ese calor que se toma del agua lıquida a 0 ◦ se emplea en congelaruna masa dm de agua.

El volumen de agua congelada sera entonces dV = Adh, y la masa deagua congelada sera dm = ρAdh, siendo ρ la densidad del agua. Laanchura de la capa de hielo aumentara en dm = ρhAdh′, siendo ahoraρh la densidad del hielo. Por simplicidad se toma ρ = ρh y dh = dh′.El calor cedido al congelar esa capa de hielo dh, sera δQ = λρAdh.Por tanto, la rapidez con que crece la capa de hielo esta relacionadacon la rapidez con que se transmite el calor por misma la capa dehielo. Ası,

δQ

dt= λρA

dhdt

.

La velocidad con que crece la capa de hielo depende de gradiente detemperaturas y del propio espesor de la capa de hielo. Ası,

δQ

dt= λρA

dhdt

= −κA∆T

h.

Admitiendo que el gradiente de temperaturas entre los extremos dela capa de hielo es constante, pues la temperatura del agua es de 273K y la del aire se va a suponer constante, se tiene que, separandovariables e integrando esta ecuacion

h2f

2− 0, 012

2= −

(κ∆T

λρ

)t .

Despejando, se tiene que

∆T = −(

h2f

2− 0, 012

2

)(λρ

κ t

).

Sustituyendo los valores dados, se obtiene que ∆T = 3, 05 K. Portanto, se puede estimar una temperatura media de -3 ◦C durante lanoche.

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3 Conveccion.

Cuando en las cercanıas de una pared, u otro objeto caliente, se en-cuentra un fluido en contacto con la pared, la transmision de calor dela pared al fluido da lugar a un movimiento de partıculas del fluido de-bido al efecto de la gravedad y del principio de Arquımedes. Se tieneen este caso un proceso de transmision de calor donde se producenmovimientos en la totalidad del fluido que transmite este calor. Sehabla entonces de conveccion. En contraste con la conduccion, dondesolo hay un transporte de energıa, en la conveccion hay transportetanto de masa como de energıa.

Figura 1: Para hacer perceptibles los movimientos de las moleculas dellıquido se pone un solido reducido a polvo fino. Al calentar, el flujo calienteva pegado a las paredes. Al enfriar, el lıquido caliente desciende por elcentro. ( M. Rico y M. Santisteban, Manual de Fısica y Quımica, Madrid1865. )

La conveccion, movimiento de un fluido que sirve para el trans-porte de masa o calor es un fenomeno corriente para quien hayaobservado la turbidez de un caldo caliente, la ascension del humoque sale por una chimenea o el reflejo de la luz por las corrientes deaire que se forman sobre una carretera asfaltada en un dıa caluroso.Identico mecanismo de corriente convectiva provoca las grandes cor-rientes oceanicas o la circulacion global de la atmosfera. Los altosniveles de contaminacion que se alcanzan sobre algunas ciudades sedeben, bien a la ausencia de movimiento convectivo, o bien a la ex-

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istencia de un movimiento convectivo termico en trayectorias cer-radas que impide la difusion de las partıculas a capas mas altas de laatmosfera.

El caso mas sencillo de conveccion aparece cuando un fluido secalienta por debajo. Debido al calentamiento, la capa inferior delfluido se expande y se hace menos densa que las capas superiores.En estas circunstancias, la capa inferior mas caliente y ligera tenderaa elevarse y la capa superior mas frıa y densa a caer. Sin embargoeste mecanismo simple no permite explicar los tipos mas elementalesde conveccion. En el caso del fluido calentado por abajo, el empujede Arquımedes es la fuerza que origina la conveccion y la magnitudde esa fuerza viene determinada por la diferencia de temperaturasentre la parte superior e inferior de la capa. Pero la distribucionde temperaturas se ve alterada por la corriente convectiva que llevacalor desde la parte inferior a la superior. De este modo, la fuerzaque origina la corriente se ve modificada por dicha corriente.

Cuando las fuerzas que actuan sobre una region de fluido no estanen equilibrio se inicia la conveccion. El calentamiento genera en elfluido gradientes verticales de temperatura y densidad. Si una regionde fluido caliente, en las proximidades de la placa inferior, se desplazahacia arriba, se introduce en una region de mayor densidad media,estando, por tanto, la region desplazada sometida a un empuje ascen-dente debido al principio de Arquımedes. Como la fuerza neta haciaarriba es esencialmente proporcional a la diferencia de densidades, eldesplazamiento inicial se ve desplazado ya que la fuerza resultantefavorece la continuacion del movimiento.

Analogamente, si una region de fluido frıo se desplaza hacia abajo,tendera a seguir cayendo, puesto que es mas pesada que sus alrede-dores 1.

Este analisis parece indicar que debe observarse conveccion enuna capa de fluido para cualquier gradiente de temperatura, puescualquier gradiente infinitesimal deberıa bastar para establecer la cor-riente. Sin embargo, no es eso lo que se observa, sino que se precisaque el gradiente de temperatura supere un cierto valor crıtico paraque se desarrolle el movimiento convectivo. Lord Rayleigh indico queuna teorıa de la conveccion debe tener en cuenta, al menos, otrosdos mecanismos que influyen sobre el movimiento del fluido. Uno

1El equilibrio del fluido es inestable y las perturbaciones tienden a amplificarse.

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Figura 2: Fuerzas que actuan en un proceso de conveccion. ( M. GarcıaVelarde y C. Normand, Conveccion, Investigacion y Ciencia, septiembre1980, pag. 55. )

de ellos, el frenado viscoso equivale en un fluido al rozamiento entresolidos. El otro mecanismo es el de la difusion molecular del calor(por conduccion a las temperaturas a las que se llevan a cabo losexperimentos), que tiende a anular el gradiente de temperatura quepotencia la corriente convectiva.

Tanto el frenado viscoso, cuya magnitud es proporcional a la vis-cosidad multiplicada por el radio de la region del fluido que se muevey la velocidad, como la difusion calorıfica molecular, debida a que laregion de fluido caliente se encuentra en un entorno mas frıo al de-splazarse, tiende a reducir la diferencia local de temperaturas y, porende, a reducir el empuje de Arquımedes inducido por aquella, porlo que ambos efectos se oponen al empuje de flotacion.

El tiempo necesario para que una region de fluido alcance el equi-

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librio termico con su entorno depende, principalmente, de su difusivi-dad termica. El orden de magnitud de este tiempo es inversamenteproporcional a la difusividad y directamente proporcional al area su-perficial de la region considerada. Si ese tiempo caracterıstico delproceso de difusion termica es comparable al tiempo necesario paraque la region del fluido se desplace una distancia dada, del orden desu diametro, desaparece la fuerza de flotacion. Es decir, si el fluidono se mueve mas deprisa de lo que intercambia calor por difusion, lacorriente convectiva no puede mantenerse. En esta descripcion idealse ha supuesto que unicamente la densidad del fluido depende de latemperatura. Sin embargo, en los fluidos reales hay mas propiedades,como, por ejemplo, la viscosidad y el coeficiente de difusion termica,que tambien dependen de la temperatura.

3.1 Aproximacion de capa lımite

Como se ha visto, la caracterizacion de los procesos convectivos esconsiderablemente mas compleja que la de los procesos de conduccion.Sin embargo, para una conveccion poco desarrollada, se puede haceruna aproximacion sencilla. Definiendo lo que se denomina capa lımiteentre la pared solida y el fluido, de anchura hc, la ley de Fourier seaplicarıa dentro de dicha capa lımite como

JQ = K(TS − T )

h(9)

donde TS es la temperatura de la pared y T es la temperatura en elseno del fluıdo.

Puesto que resulta difıcil caracterizar tanto el grosor de la capalımite como el coeficiente de conduccion a lo largo de la misma, sesuele simplificar la expresion anterior definiendo un coeficiente deconveccion λ caracterıstico del fluıdo tal que

δQ

dT= hCA(TS − T )n , (10)

donde A es la superficie a traves de la cual tiene lugar la transmisiondel calor. Para procesos de conveccion forzada se tiene que n ≈ 1,con lo que se tiene la Ley de Newton del enfriamiento. Para procesosde conveccion no forzada se tiene que n ≈ 5/4, que se conoce comoLey de Dulong y Petit del enfriamiento.

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Para n = 1, considerando ademas que δQ = −mcdT , siendo m lamasa del cuerpo y c su calor especıfico, la variacion con el tiempo dela temperatura del cuerpo obdece la ecuacion

dTdt

= −k(T − TE) ,

donde k = AhC/mc, y que se conoce propiamente como ley de Newtondel enfriamiento, con TE como temperatura del entorno y donde k esla denominada constante de enfriamiento. La integracion de estaecuacion conduce a

T (t) = (T0 − TE) exp(−kt) + TE (11)

donde T0 es la temperatura inicial del cuerpo. Como puede obser-varse, a tiempos largos, t → ∞, se termina por alcanzar la tempera-tura del entorno. Esta ecuacion es valida en la aproximacion de con-veccion forzada, con fluido circulando. En el regimen de conveccionno forzada, se tiene la denominada Ley de Dulong y Petit,

dTdt

= −k(T − TE)5/4 .

Ejemplo TC.5. Calor latente de vaporizacion del agua

En un experimento para determinar el calor latente de vaporizaciondel agua, se suministra calor mediante una resistencia a una masa deagua encerrada en un cono de diametro de la base 14 cm y altura 20cm. En una experiencia previa, con la temperatura ambiente iguala TE = 20 ◦C, cuando el voltaje es de 220 V y la intensidad de lacorriente que circula por la resistencia es de 0,95 A, la temperaturalımite que alcanza el agua es de 99 ◦C.

Se va a calcular el tiempo que tardara en empezar a hervir la mismacantidad de agua, en el mismo entorno, si desde la temperatura inicialdel agua de Ti = TE = 20 ◦C, se calienta mediante una corrienteelectrica de 220 V y 1,02 A. Tomar la densidad del agua como 1000kg·m−3. El tiempo obtenido experimentalmente es de 70 minutos.

El volumen de agua es aproximadamente de 1, 02×10−3 m3 de agua.En una primera aproximacion, si se considera que todo el calor disi-pado por la resistencia se emplea en aumentar la temperatura delagua, con un voltaje de 220 V y una intensidad de 0,95 A circulando

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por la resistencia, se obtiene un tiempo de aproximadamente 25 min.hasta lograr que el agua alcance los 100 ◦C si la temperatura ambienteera de 20 ◦C.

El error en el razonamiento anterior proviene del hecho de que mien-tras el agua se calienta, parte del calor suministrado por la resistenciase pierde al exterior debido a la ley de Newton del enfriamiento, porlo que se debe tener en cuenta esta circunstancia para un calculocorrecto de los tiempos hasta ebullicion.

Planteando de forma general la ecuacion diferencial del balance deenergıa, se tiene que el calor suministrado por unidad de tiempo seemplea tanto en aumentar la temperatura del agua como en perderseal exterior

dQdt

= IV = mcdTdt

+ k(T − TE)

donde I es la intensidad que circula por la resistencia, V es el voltaje,m es la masa de agua, c es la capacidad calorıfica del agua, k es laconstante de la ley de Newton del enfriamiento y TE es la temperaturadel entorno. Todos estos datos son conocidos, excepto la constante k.

Reordenando la ecuacion diferencial, se obtiene que T la evoluciontemporal de la temperatura del agua viene dada por

dTdt

=IV

mc− k

mc(T − TE)

cuya solucion general de la ecuacion homogenea es

T (t) − TE = A exp(− k

mct)

y cuya solucion particular T (t) − TE = A exp(−k/mct) + B, vienedada por

T (t) = TE +IV

k− IV

kexp(− k

mct)

Para tiempos suficientemente grandes, el sistema alcanza una tempe-ratura lımite TL dada por

TL = TE +IV

k

Realizando un primer experimento con el voltaje y la intensidad losuficientemente bajos como para que dicha temperatura lımite seamenor de 100 grados Celsius y pueda ser medida, se tiene que paraV = 220 V e I = 0, 95 A, la temperatura lımite es de 99 gradosCelsius, por lo que k ≈ 2, 64 J·s−1.

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Con este dato, imponiendo en la expresion de T (t) que se alcancen los100 Celsius para V = 220 V e I = 1, 02 A, se obtiene que el tiemponecesario para lograrlo es del orden de 4500 s, es decir, del orden de75 minutos, lo que ya se aproxima bastante al valor experimental.

4 Radiacion.

En contraste con la conduccion y la conveccion, existe una forma detransmision del calor, o en general, de la energıa, que no necesitaun soporte fısico para poder llevarse a cabo y que puede tener lu-gar en el vacıo. Esta forma de propagacion del calor no es mas quela transmision de energıa por ondas electromagneticas. La emisionde ondas, debido a las oscilaciones de las cargas electricas de uncuerpo va a depender de la temperatura de ese cuerpo. Por otrolado, como los emisores son tambien los receptores (cargas electricas),cualquier cuerpo puede tambien absorber energıa. Se denomina ra-diacion termica a la radiacion electromagnetica emitida por un cuerpoen virtud de su temperatura. Esta radiacion se propaga en todas di-recciones a la velocidad de la luz y no requiere soporte material.Desde el punto de vista de la transmision del calor, el acento se poneen la energıa radiada por las paredes y no en la radiacion contenidaen una cavidad.

La forma en que una superficie absorbe determinada energıa quele llega en forma de radiacion depende tanto de la temperatura ab-soluta de la superficie como de las caracterısticas especıficas de dichasuperficie. Por otra parte, a temperaturas distintas de 0 K, cualquiersistema radia energıa en forma de ondas electromagneticas. Paracada longitud de onda λ y temperatura T , la fraccion de energıaque es absorbida por la superficie se denomina α(λ) coeficiente deabsorcion espectral y depende de la temperatura absoluta y de lascaracterısticas de la superficie.

Entre los sistemas mas interesantes desde este punto de vista seencuentran aquellos que para todas las longitudes de onda y paratodas las temperaturas absorban todas las radiaciones. Esta clasede sistemas ideales se han denominado cuerpos negros. La relacionentre la energıa emitida por una superficie cualquiera a temperaturaT en el intervalo de longitudes de onda entre λ t λ + dλ y la energıaemitida por una superficie cuerpo negro en las misma condiciones, se

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conoce como ε(λ, T ) o coeficiente de emision espectral.Por consideraciones puramente termodinamicas, se obtiene la de-

nominada Ley de Kirchoff para cualquier material α(λ, T ) = ε(λ, T ).Por esta razon, los buenos emisores a una longitud de onda y tempe-ratura tambien son buenos absorbentes a la misma longitud de onday temperatura. De no ser ası, el equilibrio termodinamico del cuerposerıa inestable. Para un cuerpo negro, la relacion ε(λ) = α(λ) = 1 atodas las longitudes de onda y temperaturas.

Si se pone el enfasis en la energıa emitida por una unidad desuperficie a temperatura T en las diferentes longitudes de onda delespectro electromagnetico, desde un punto de vista experimental seencuentra que el espectro de la energıa radiada por unidad de tiempoes continuo, depende de la temperatura y de la longitud de onda dela radiacion emitida.

Figura 3: Poder emisivo espectral de una superficie negra. Curvas a tempe-raturas diferentes. La lınea a trazos muestra la variacion con la temperaturade los maximos de las curvas (Ley de Wien). ( C. J. Adkins, An Introductionto Thermal Physics, Cambridge University Press, Bristol 1987).

Como se muestra en la Fig. 3, la potencia emitida a cada tempe-ratura alcanza un maximo a una determinada longitud de onda. Lalongitud de onda a la que le corresponde la maxima intensidad λmax,

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varıa inversamente con la temperatura,

λmax =B

T(12)

donde B = 2, 897 756 ×10−3 mK. Esta relacion se conoce con elnombre de Ley de Wien.

Se tiene que la emitividad, e de un cuerpo negro, energıa emitidapor unidad de superficie y tiempo, viene dada por

e = σT 4 (13)

donde T es la temperatura absoluta de la superficie y donde σ =5.67×10−8 Wm−2K−4 es la constante de Stefan-Boltzmann .

Cuando la superficie no sea la de un cuerpo negro, es todavıaposible, con un ajuste razonable, admitir que la densidad de energıase puede poner como

e = εσT 4 (14)

donde 0 ≤ ε ≤ 1. Para una superficie completamente reflectora ε = 0y el cuerpo solo refleja, no emite ni absorbe. Para una superficie decuerpo negro, ε = 1 y el cuerpo solo emite y absorbe, pero no refleja,propiedad que caracteriza su nombre. En general, ε = ε(λ), lo queindica que depende de la longitud de onda.

La energıa radiada por unidad de tiempo por la superficie A deun cuerpo, Wrad, viene dada por la ley de Stefan-Boltzmann

Wrad = εσAT 4 (15)

con (0 ≤ ε ≤ 1). Dos cuerpos semejantes a la misma temperaturaestan en equilibrio termico de radiacion: la energıa emitida es igual ala energıa absorbida. Luego la energıa absorbida debe tener la mismaexpresion que la energıa emitida,

Wem = ασAT 4 (16)

La radiacion que incide sobre un cuerpo puede ser absorbida o re-flejada por este. La velocidad con la que un cuerpo absorbe radiacionviene dada por

Wab = εσAT 4e (17)

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siendo Te la temperatura del entorno. Por tanto, la velocidad netade transferencia de radiacion por un cuerpo a temperatura T haciasu entorno a temperatura Te es

Q = εσA(T 4 − T 4e ) (18)

de forma que un cuerpo que se encuentra en equilibrio termico consus alrededores (T = Te) emite y absorbe radiacion al mismo ritmo.De este modo, una buena (mala) superficie emisora es tambien unabuena (mala) superficie absorbente.

Ejemplo TC.6 Filamento de una lampara

El filamento de una lampara de 100 W tiene un radio de R = 12 µm yuna longitud de L = 0, 3 m. Estimar la temperatura a la cual opera.Supongase que emite como un cuerpo negro, ε = 1. Si el radio delfilamento se multiplica por 4, discutir si resultara util esa lamparacomo iluminacion nocturna. La constante de Stefan-Boltzmann esσ = 5, 67×10−8 Wm−2K−4. Ley de Wien, λmaxT = 2, 897 × 10−3 mK. La radiacion visible se encuentra entre las longitudes de onda de400 nm (400× 10−9 m) y 800 nm (800× 10−9 m), aproximadamente.(1 µm = 10−6 m; 1 nm = 10−9 m).

En una lampara, la energıa disipada por efecto Joule (E = IV t =I2Rt) en forma de calor debe cederse en forma de radiacion (puesno hay perdidas de calor ni por conveccion ni por conduccion) en elestado estacionario.

De acuerdo con la Ley de Stefan-Boltzmann, la potencia disipada porun cuerpo a temperatura T colocado en un entorno a temperaturaT0, viene dada por

Q = ε σ A(T 4 − T 4

0

)donde A = 2π RL es la superficie a traves de la cual emite. Admi-tiendo que ε = 1 (cuerpo negro), y con Q = 100 W y A = 2, 26×10−5

m2, se tiene que T ≈ 2 970 K. No se ha considerado la temperaturadel entorno, pues su efecto es mınimo (La contribucion del entorno esdel orden de cuatro ordenes de magnitud menor).

Esto significa que, de acuerdo con la Ley de Wien, λmaxT = 2, 9×10−3

m·K, la longitud de onda maxima a la que emite el filamento es delorden de λmax ≈ 10−6 m. No esta pues emitiendo preferentementeen la zona visible del espectro y gran parte de la energıa se disipa enforma de radiacion en la zona de los infrarrojos. A pesar de todo, laproporcion de energıa que disipa en forma de luz visible es suficiente.

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Tengase en cuenta que las bombillas alcanzan temperaturas maximasdel orden de 3500 K, temperaturas a las que funde el wolframio.

Si el radio del filamento se multiplica por 4, la superficie de emisisionaumenta en la misma proporcion al cuadrado, y la temperatura deemision disminuye como la raız cuarta de 16, es decir, hasta la mitad,1450 K, con lo que la longitud de onda maxima de emision aumentaen la misma proporcion, hasta λmax ≈ 2× 10−6 = 2× 10−5 m, con loque empieza a caer dentro de la zona de infrarrojos.

En principio puede suponerse que ya no resultara muy util comoiluminacion nocturna pues su maximo cae bastante lejos de la zonavisible. Pero debe tenerse en cuenta que cualquier dispositivo radiaa todas las longitudes de onda y no solo en el maximo. Es la en-ergıa disipada en la zona del visible la que determina la utilidad eniluminacion y no solo la longitud de onda del maximo.

Debe tenerse en cuenta que el Sol, a una temperatura de ≈ 6000 Kradia preferentemente en la zona del visible λmax ≈ 500 nm y que laprimera bombilla a 100 W disipa una parte pequena de su energıa enforma de radiacion visible, al tener el maximo al doble de la longitudde onda del Sol, resultando util en iluminacion a pesar de todo. Espor tanto de suponer que en la segunda bombilla disminuya mucho laproporcion de energıa que se disipa en la zona del visible. Para podercuantificar esta idea, tengase en cuenta que la para la segunda bom-billa es como si fuera la primera bombilla a una potencia de 100/16W. Esta potencia ya no es una potencia habitual en bombillas utilesen iluminacion. Por tanto, la segunda bombilla es mucho peor que laprimera en cuanto a iluminacion nocturna, e inutil para este cometido.

Ejemplo TC.7. Temperatura de la Tierra

Admitiendo que la temperatura en la superficie del Sol es de 6000K, que el radio de la orbita terrestre alrededor del Sol es de d =1, 49 × 1011 m, que el radio del Sol es de rS = 6, 98 × 108 m y queel radio de la Tierra es de rT = 6, 37 × 106 m, se va a obtener latemperatura de equilibrio de la Tierra si se toma esta como un cuerponegro. Se puede considerar que, a efectos de absorcion de la radiacion,la tierra se comporta como un disco de radio rT, mientras que a efectosde emision se comporta como una esfera del mismo radio.

Una forma simple de razonar es considerar que el calor emitido por elSol en forma de radiacion por unidad de tiempo se conserva, pero no

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la intensidad del mismo, que va disminuyendo con la distancia. Portanto, si el Sol emite

Q = εSσ(4πr2S)T

4S

la intensidad de radiacion recibida por la tierra sera

ΦAT =εSσ(4πR2

S)T4S

4πd2

siendo d la distancia de la Tierra al Sol. A su vez, la intensidadradiada por la Tierra sera de

ΦRT = εTσT4T

En el equilibrio, ambas intensidades deben ser iguales, por lo que

εTσT 4T =

εSσ(4πr2S)T

4S

4πd2

lo que permite calcular la temperatura de equilibrio de la Tierra. Enesta aproximacion no se considera ni la geoemetrıa de la Tierra ni elhecho de que hay una temperatura de fondo de radiacion de ≈ 3 K.

4.1 Efecto invernadero

La radiacion emitida por el Sol corresponde aproximadamente a lade un cuerpo negro a 6000 K (temperatura de la superficie del Sol).Las longitudes de onda que transportan la mayor parte de la energıade esa radiacion, de acuerdo con la Ley de Wien, Ec.(12), (λmax ≈5×10−7 m), atraviesan perfectamente el vidrio de un invernadero. Enel interior la radiacion dominante correspondera a la temperaturamedia de la superficie terrestre, cerca de 300 K. A esa temperatura,la Ley de Wien indica que la maxima longitud de onda correspondea los infrarrojos, radiacion para la cual el vidrio es practicamenteopaco.

Por tanto, la radiacion que sale de un invernadero correspon-dera aproximadamente al espectro de un cuerpo a 300 K exceptola porcion correspondiente a los infrarrojos, que quedan bloqueadosdentro del invernadero, haciendo que aumente su temperatura. Esteefecto existe tambien en la atmosfera, que impide que la Tierra seenfrıe excesivamente durante la noche.

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Ejemplo TC.8. Calorımetro en hielo

Un recipiente esferico, de radio 0,5 m, metalico y pintado de negro,contiene agua a la temperatura de 80 ◦C. Este recipiente se encuentracompletamente rodeado de hielo fundente, dentro de una cavidad deradio 2 m. Calcular la temperatura del agua al cabo de 2 horas y lacantidad de agua recogida en ese tiempo como resultado de la fusionde hielo. Si la cavidad de hielo se hubiera hecho de 3 m de radio, ¿sehubiera fundido mas o menos hielo en el mismo tiempo y las mismascondiciones? Justifique la respuesta.

Para el agua, su capacidad calorıfica es de c = 4 180 J/kg K; para elhielo su calor latente de fusion es λf = 330 kJ/kg. La constante deStefan-Boltzmann es σ = 5, 67×10−8 Wm−2K−4.

El recipiente metalico se enfrıa debido a que radia mas energıa de laque recibe. El calor radiado por unidad de tiempo viene dado por 2

δQ

dt= −εAσ

(T 4 − T 4

0

)donde A = 4πR2 es la superficie de la esfera y T0 la temperatura dela radiacion dentro de la cavidad. A su vez, este calor perdido haceque disminuya su temperatura. Ası,

δQ

dt= mc

dTdt

Igualando ambas expresiones, se tiene que

dTdt

= −εAσ

mc

(T 4 − T 4

0

)≈ −4T 3

0 εAσ

mc(T − T0)

Considerando que ε = 1 (pues se puede suponer que el recipientepintado de negro se comporta como un cuerpo negro), se tiene quem = 4πR3/3ρ,

k =4T 3

0 εAσ

mc= 6, 62 × 10−6 s−1

2Para cuerpos introducidos en una cavidad, una forma incorrecta de razonares la siguiente. Si el cuerpo emite a traves de su superficie una potencia QE =4πr2

CεCT 4C y, a su vez las paredes de la cavidad emiten como Q0 = 4πr2

0ε0T40 ,

el flujo neto de calor hacia el cuerpo es Q = 4πr20ε0T

40 − 4πr2

CεCT 4C. Pero esto

significarıa que incluso en una cavidad a la misma temperatura que el cuerpoeste recibirıa calor, variando su temperatura, lo que contradice la formulacion delKelvin-Planck del Segundo Principio. El razonamiento es incorrecto al suponerque toda la radiacion emitida por el hielo es absorbida por el cuerpo, lo que no escierto, pues parte es reabsorbida por el propio hielo. Lo que sı eerto es que todala radiacion emitida por el cuerpo es absorbida por el hielo.

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Por tanto, la temperatura (en Celsius) sera

T (t) = 80 exp(−kt)

Al cabo de 2 horas, se tendra que T (7200) = 76, 3 ◦C, con unavariacion de temperatura de ∆T ≈ −3, 7 ◦C. Esta variacion puedemedirse con un termometro.

Por otra parte, para el hielo se tiene que recibe netamente el calorneto perdido por la esfera metalica. Es decir,

λdmh

dt=

δQ

dt= mc

dTdt

Por tanto,λmh = mc∆T

Al cabo de 2 horas, se tendra que la masa de hielo fundida es de

mh =mc∆T

λ= 24 kg

El mismo calculo se puede llevar a cabo admitiendo que todo el calorradiado a traves de la superficie de la esfera ha sido recibido por elhielo. Puesto que ya se ha calculado que la variacion de temperaturaha sido pequena, se puede admitir que la esfera radia siempre a 80◦C, por lo que

mh ≈=4π R2σ 4T 4

0 80λ

7200 = 25, 2 kg

Esta cantidad es algo mayor debido a que, en realidad, la esfera radiaun poco menos, al ir disminuyendo su temperatura. El calculo exactoes el anterior. Esta es una cantidad facilmente medible.

Puesto que el hielo recibe el calor que pierde el agua por radiacion,hacer mas grande la cavidad no modifica la cantidad de hielo fundido.Aunque aumenta su superficie, no por eso aumenta la energıa recibida.

Ejemplo TC.9. Escudos contra la radiacion

Sea un cuerpo negro esferico mantenido a la temperatura T y de radioR0. Se encuentra inmerso en una radiacion termica en equilibrio atemperatura T0. Se coloca a su alrededor una cascara esferica, muydelgada, de radio R1, R1 >> R0, que tambien se comporta como uncuerpo negro. Calcular la temperatura de equilibrio T1 que alcanza

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la cascara colocada. (Ver Y. H. Chia, D. Kiang, Thermal radiationshields. Am. J. Phys. 63, 1041 (1995).)

Para la cascara esferica hay dos intercambios de energıa. Para la tasade transferencia de calor con la esfera interior, variacion de calor porunidad de tiempo, Q, se tiene que

Q = 4πR20σ(T 4

1 − T 4) = −4πR20σ(T 4 − T 4

1 )

Notese que este es el calor neto perdido por el cuerpo negro interior(radio R0 y no radio R1 como cabrıa esperar), pues no todo el calorque radia la cascara hacia el interior va a la esfera interior. A su vez,la cascara pierde hacia el exterior a una tasa de

Q = 4πR21σ(T 4

1 − T 40 )

En el equilibrio, ambas tasas se deben igualar, por lo que

T 41 =

R21T

40 + R2

0T4

R20 + R2

1

Si la esfera interior tenıa una tasa de perdidas, en ausencia del escudo,de

Q0 = 4πR20σ(T 4 − T 4

0 )

con el escudo colocado en forma de cascara, sus perdidas son ahorade

Q = 4πR20σ(T 4 − T 4

1 ) =R2

1

R20 + R2

1

Q0

con Q ≤ Q0. Si en vez de esferas y cascaras se trata de cilindros y unescudo cilındrico, se tiene que las relaciones son ahora

Q = 2πR0σ(T 4 − T 41 ) =

R1

R0 + R1Q0

conQ0 = 2πR0σ(T 4 − T 4

0 )

y

T 41 =

R1T40 + R0T

4

R0 + R1

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5 Ejercicios propuestos

5.1 Conduccion

1. Si un esquimal pretendiese sustituir su iglu por una casa dehormigon, ¿que espesor deberıan tener las paredes para que lanueva habitacion tuviese las mismas caracterısticas termicas deliglu. El espesor de las paredes de un iglu se puede tomar comode 20 cm. La conductividad termica de la nieve compacta es deκn = 0, 46 W·m−1·K−1. La conductividad termica del hormigones de κh = 1, 28 W·m−1·K−1.

2. Conduccion a traves de paredes compuestas. La pared de unhorno esta formada por una primera capa de ladrillo refractariode 15 cm de espesor, sobre la que va colocada otra capa deladrillo ordinario de 10 cm de espesor, y finalmente lleva unacapa externa de chamota de 5 cm de espesor. Calcular

• La perdida de calor por conduccion a su traves, si tiene unasuperficie de 5 m2 y las temperaturas de la capa interna delladrillo refractario y la externa de la chamota son 380 y65 ◦C, respectivamente.

• La temperatura de la capa interna del ladrillo ordinario.

3. En una ciudad castellana la temperatura varıa a los largo deldıa segun la ecuacion

T (t) = 263 + 10 sen(

2π24

(t− 8))

donde T es la temperatura en kelvin y t el tiempo en horas. Sia las 0 horas de un dıa dado el espesor de la capa de hielo sobreun lago de esa ciudad es de 0,01 m, estimar el grosor de la capade hielo a las 24 horas del mismo dıa. Para el hielo (entre -10◦C - 0 ◦C ) puede tomarse κ = 0, 55 W/m K. La densidad delagua puede tomarse como ρ = 1000 kg/m3. El calor latente defusion del hielo es de λ = 330 kJ/kg.

5.2 Ecuacion del calor

1. Una barra de cobre muy larga de 0,01 m de radio tiene uno desus extremos mantenido a la temperatura de Tc = 100 ◦C. ¿A

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que distancia de ese extremo la temperatura sera de 50 ◦C sila temperatura ambiente es de Te = 20 ◦C. Para esa barra, sucoeficiente de conduccion del calor es de κ = 26, 2 kW/m s K yla constante de la Ley de Newton de perdida de calor se puedeponer como k = eΣ/A, donde e es su emitividad, e = 0, 005W/m2 C, Σ = 2πr y A = πr2 es la seccion de la barra.

5.3 Conveccion

1. En un experimento llevado a cabo con tres recipientes diferen-tes, de aluminio, vidrio y un vaso Dewar, se han obtenido lossiguientes valores de las constantes de la Ley de Newton del en-friamiento. kmet = −4, 6× 10−4 s−1, kvid = −3, 1× 10−4 s−1 ykDewar = −6, 4 × 10−5 s[−1

En los mismos tres recipientes anteriores se colocan seis cubitosde hielo, con un peso de 120 gr, y se miden los tiempos quetranscurren hasta que el hielo de cada uno de ellos se funde. Sehan obtenido los siguientes resultados para estos tiempos Tabla2:

Recip. met. vid. Dew.t (horas) 1,67 2,0 9,5

t (s) 6000 7200 34200

Tabla 2: Tiempos de fusion del hielo.

Intentese explicar los tiempos obtenidos en la experiencia.

2. Se tiene una cierta cantidad m de cafe a una temperatura T0.Se dispone de una masa m′ de crema (tal que mc = m′c′) a latemperatura ambiente TR. Se puede proceder de dos maneras:(i) se mezcla la crema con el cafe en el instante inicial t = 0 yse espera un cierto tiempo t; (ii) se espera un tiempo t a que elcafe se enfrıe y se vierte la crema. Determinar con que metodose logra que el cafe este a mayor temperatura en el instante t.

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5.4 Radiacion

1. ¿Que radio debe tener un hilo de un metal, de peso atomicoM = 156, de longitud L = 0, 3 m, para que pueda utilizarse enuna bombilla de 100 W? Una bombilla que emite a λmax ≈ 10−6

m, se considera util en iluminacion. Supongase que se comportacomo un cuerpo negro. La constante de Stefan-Boltzmann esσ = 5, 67×10−8 Wm−2K−4. Ley de Wien, λmaxT = 2, 9× 10−3

m K.

Si se supone que todos los atomos de metal que se evaporandel filamento terminan condensados en la parte frıa del cristalde la bombilla, ¿mejorara sus cualidades de iluminacion con eltiempo o empeoraran?

2. Para pequenas diferencias de temperatura entre un cuerpo y susalrededores, demostrar que el intercambio de energıa debido ala radiacion sigue la Ley de Newton del enfriamiento.

En un experimento para determinar el calor latente de vapor-izacion del agua, se suministra calor mediante una resistenciaa una masa de agua encerrada en un cono de diametro de labase 14 cm y altura 20 cm. La temperatura ambiente es igual aTE = 20 ◦C. Se obtiene una constante de la Ley de Newton delenfriamiento de k ≈ 2, 64 J(◦s C)−1. Determinar si la perdidade calor se puede deber completamente a la radiacion.

3. Se dispone de una esfera de 0,1 m de radio y capacidad calorıficac = 4180 J/K, que tiene inicialmente una temperatura de 305K, la cual se introduce en el interior de una esfera hueca, cuyasuperficie interna se encuentra a 300 K y en la que previamentese ha hecho el vacıo. Obtener la variacion con el tiempo delexceso de temperatura de la esfera maciza y el tiempo que tardadicho exceso en reducirse en 1 K. Suponer que ambas esferas secomportan como cuerpos negros.

4. En una habitacion a 29 ◦C, la temperatura de la superficie dela piel de una persona (cerca de 1,5 m2) sin ropa y en reposoes de 33 ◦C. La emitividad varıa con el color de la piel, peropuede considerarse como e ≈ 1. Calcular

• La potencia neta perdida por radiacion.

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• Sabiendo que la perdida de calor por conduccion es des-preciable y que la perdida de calor por conveccion es enestas circunstancias del orden del 50 % del total, ¿cuantascalorıas por dıa tiene que ingerir para asegurar su metabolismoen esas condiciones?

5. Admitiendo que la temperatura en la superficie del Sol es de6000 K, que el radio de la orbita terrestre alrededor del Sol esde d = 1, 49×1011 m, que el radio del Sol es de rS = 6, 98×108

m y que el radio de la Tierra es de rT = 6, 37× 106 m, obtenerla temperatura de equilibrio de la Tierra si se toma esta comoun cuerpo negro. Tengase en cuenta que, a efectos de absorcionde la radiacion, la tierra se comporta como un disco de radiorT, mientras que a efectos de emision se comporta como unaesfera del mismo radio.

6. Una barra de 1 m de longitud y de un material de conductividadtermica 10−5 J m−1s−1K−1. Se encuentra a una distancia de1, 42 × 108 km del Sol y tiene un extremo mirando al Sol y elotro expuesto al espacio exterior. Si la temperatura media delespacio interestelar es de 3 K, calcular la temperatura aproxi-mada del extremo de la barra. Temperatura del Sol Ts = 6000K; Radio del Sol, rS = 6, 96 × 108 m.

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