teorie triunghi

8/22/2019 teorie triunghi

1/20

TRIUNGHIUL

Def.: Figura geometric format din reuniunea a trei segmente[AB][BC][CA], unde A, B, C sunt puncte necoliniare, senumete triunghi.Notaii: ABC A[AB]=c

[BC]=a c b

[AC]=b

B a C

Elemente: -trei vrfuri: ( A, B i C);-trei laturi: ( [AB], [BC] i [AC] );

-trei unghiuri: ( ABC

, BAC

i BCA

);

Clasificarea triunghiurilor

a) dup lungimea laturilor:-triunghi oarecare (oricare dou laturi nu sunt congruente)-triunghi isoscel ( are dou laturi congruente )-triunghi echilateral (are toate laturile congruente )

M R

A

B C N P S T

oarecare isoscel echilateral

b) dup msura unghiurilor:

-ascuitunghic ( are toate unghiurile ascuite )-dreptunghic ( are un unghi drept )-obtuzunghic ( are un unghi obtuz )


2/20

A M R

< 90

< 90 < 90 > 90

B C N P S T

ascuitunghic dreptunghic obtuzunghic

Linii importante n triunghi

a) Mediana este segmentul care unete vrful unui triunghi cumijlocul laturii opuse acesteia.

A

ma [BM][MC]

B M C

Notaii:[AM]=ma, unde [AM] este mediana ABC dus din vrful A;

[BN]=mb, unde [BN] este mediana ABC dus din vrful B;[CP]=ma, unde [CP] este mediana ABC dus din vrful C ;

OBS! Medianele ntr-un triunghi sunt concurente (au unpunct comun ).

[AM][BN][CP]=G, G se numete centru de greutate.

b) Bisectoarea unghiului unui triunghi este segmentul cu o

extremitate n vrful triunghiului i ea mparte unghiul n douunghiuri adiacente congruente.

A

N

lb ABN

NBC

B C


3/20

Notaii:

[AM]=la, unde [AM] este bisectoarea unghiului A

;

[BN]=lb, unde [BN] este bisectoarea unghiului B

;

[CP]=lc, unde [CP] este bisectoarea unghiului C

;

OBS! Bisectoarele unui triunghi sunt concurente, punctul de

intersecie al lor fiind centrul cercului nscris n triunghi.[AM][BN][CP]=O, O este centrul cercului nscris n ABCc) nlimea unui triunghi este perpendiculara dus din vrful

unui triunghi pe latura opus.A

ha [AM]-nlime n ABC

B M C

Notaii:[AM]= ha, unde [AM] este nlimea dus din vrful A;[BN]= hb, unde [BN] este nlimea dus din vrful B;[CP]= hc, unde [CP] este nlimea dus din vrful C;

OBS! nlimile unui triunghi sunt concurente.[AM][BN][CP]=H, Hse numete ortocentru.

d) Mediatoarea unui triunghi este dreapta perpendicular pemijlocul laturii unui triunghi.

(d)

A

(d) -mediatoarea laturii [BC]

[BM][MC] i (d) [BC]

B M C


4/20

OBS! Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente,

punctul de intersecie al lor fiind centrul cercului circum-scristriunghiului.

e) Linia mijlocie ntr-un triunghi este segmentul care unete

mijlocul a dou laturi ale triunghiului.

A

N

M

C

BM -mijlocul lui [AB]

N -mijlocul lui [AC]

TEOREM!ntr-un triunghi linia mijlocie este paralel cucea de a treia latur i are lungimea egal cu

jumtate din lungimea acesteia, adic:MNBC i MN=BC

2.

Triunghiuri congruente

Def.: Dou triunghiuri se numesc congruente dac au laturile iunghiurile omoloage, respectiv congruente.

A M

B C N P

Notaie:ABCMNP(citim triunghiul ABC este congruent cu triunghiul MNP)


5/20

OBS!

ABCMNP

AB MN

AC MP

BC NP

A M

B N

C P

Cazurile de congruen ale triunghiurilor oarecare:

Cazul I (L.U.L.) Dou triunghiuri sunt congruente dac au ctedou laturi congruente i unghiul cuprins ntre ele, respectivcongruente.

Ip.: [AB][MN][BC][NP]

B N

C: ABC MNP

Cazul II (U.L.U.) Dou triunghiuri sunt congruente dac au olatur i unghiurile alturate ei respectiv congruente.

Ip.: [BC][NP]

B

N

C

P

C: ABC MNP


6/20

Cazul III (L.L.L.) Dou triunghiuri care au laturile respectivcongruente sunt congruente.

Ip.: [AB][MN][BC][NP][AC][MP]

C: ABC MNP

Cazurile de congruen ale triunghiurilor dreptunghice:C P

A B M N

Cazul 1 (C.C.) Dou triunghiuri dreptunghice care au catetetele

respectiv congruente sunt congruente.

Ip: [AC][MP][AB][MN]

C: ABCMNP

Cazul 2 (C.U.) Dou triunghiuri dreptunghice care au cte ocatet i unghiul ascuit alturat acesteia respectiv congruente suntcongruente.

Ip: [AC][MP]

C

P

C: ABCMNP


7/20

Cazul 3 (U.I.)Dou triunghiuri dreptunghice care au ipotenuzelei unul din unghiurile ascuite, respectiv congruente suntcondruente.

Ip: [BC][PN]

C

P

C: ABCMNP

Cazul 4 ( I. C.) Dou triunghiuri dreptunghice care au ipotenu-zele i cte o catet, respectiv congruente sunt congruente.

Ip: [BC][NP][AB][MN]

C: ABCMNP

TEOREM!ntr-un triunghi suma msurilor unghiuriloreste de 180.

Ip.: ABC

C: m(A

) + m(B

) + m(C

) = 180

CONSECINE:

1. ntr-un triunghi echilateral msura fiecrui unghi este de 60.2. ntr-un triunghi dreptunghic ( m(A

)=90 ), unghiurile B

i C

sunt complementare i ambele ascuite.

3. ntr-un triunghi dreptunghic isoscel ( m(A

)=90 ), unghiurile B

i C au fiecare cte 45.


8/20

Def.: Unghiul care este adiacent i suplementar cu un unghiinterior al unui triunghi se numete unghi exter ioracelui triunghi.

A

B C D

EXEMPLU: ACD

este unghi exteriorABC

Proprieti:

1. m(ACD

) + m(ACB

) =180

2. m(ACD

) = m(CAB

) + m(ABC

)

Def.:Bisectoarea unui unghi exterior al unui triunghi se numetebisectoare exterioar a triunghiului corespunztoare unghiului

respectiv.

Proprietate: Bisectoarea interioar i bisectoarea exterioar adou unghiuri ale triunghiului ce au acelai vrf (unul interiori cellalt exterior ) sunt perpendiculare.

A F

E

B C D

[CE bisectoare interioar ACB

[CF bisectoare exterioar ACD

[CE [CF


9/20

Proprietile triunghiului isoscel

Def.:Triunghiul care are dou laturi congruente se numete isoscel

Proprietatea 1: ntr-un triunghi isoscel unghiurile opuselaturilor congruente sunt congruente.

A

Ip: ABC ( [AB][AC] )

C: B

C

B D C

Proprietatea 2: ntr-un triunghi isoscel bisectoarea unghiuluide la vrf este nlime, median i mediatoare a triunghiului

Ip: ABC ( [AB][AC] )AD - bisectoare ( D[BC] )

C: [BD][DC] ( adic AD - median )ADBC ( adic AD - nlime )AD - mediatoare

OBS! Pentru a arta c un triunghi este isoscel este suficients demonstrm una din proprietile de mai jos:

a) are dou laturi congruente;b) are dou unghiuri congruente;c)nlimea corespunztoare bazei este i bisectoarea

unghiului de la vrf;d) mediana corespunztoare bazei este i bisectoarea

unghiului de la vrf;

e) mediatoarea corespunztoare bazei este i bisectoareaunghiului de la vrf;f) dou linii importante sunt identice;


10/20

Proprietile triunghiului echilateral

Def.:Triunghiul care are cele trei laturi congruente se numeteechilateral.

A

B C

OBS!

a) [AB][AC][BC]b) Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente i au

msura de 60 ( A B C , A =60 );c) Triunghiul echilateral este de trei ori isocel, deci toate

proprietile triunghiului isoscel pot fi enunate referitor laoricare din vrfurile triunghiului echilateral;

d) Liniile importante duse din acelai vrf sunt identice, deci

au numai trei linii importante.

OBS! Pentru a arta c un triunghi este echilateral estesuficient s demonstrm una din proprietile de mai jos:

a) are dou unghiuri de 60;b) are dou laturi congruente i un unghi de 60;


11/20

Triunghiuri asemenea

Def.:Dou triunghiuri se numesc asemenea dac au toate laturileproporionale i unghiurile opuse lor, respectiv congruente.

Notaie: ABC MNP (citim ABC asemenea cu MNP )A M

N P

B C

OBS! ABC MNP

A M

B N

C PAB

MN

AC

MP

BC

NP

Teoreme importante

Teorema lui Thales

Dac ducem o paralel la una din laturile unui triunghi,ea determin pe celelalte dou laturi segmente proporionale.Ip: ABC Caz I A

MN BCM N

C:AM

AB

AN

AC B C


12/20

Caz II Caz III M N

A

B C

M N B CTeorem reciproc:

Dac o dreapt determin pe dou laturi ale unui triunghisegmente respectiv proporionale cu aceste laturi, atunciaceast dreapt este paralel cu cea de-a treia latur atriunghiului.

Ip: ABCAMAB

AN

AC

C: MN BCTeorema fundamental a asemnrii ( T.F.A. )

O paralel dus la una dintre laturile unui triunghi,formeaz cu celelalte dou laturi, sau cu prelungirile lor, untriunghi asemenea cu cel dat.

Ip: ABCMN BC

C: ABC AMN

Caz I Caz II M N

A

A

M N

B C B C


13/20

Cazurile de asemnare a triunghiurilor

Cazul I (U.U.)Dac dou triunghiuri au dou unghiurirespectiv congruente, atunci ele sunt asemenea.

AA

B C B C

Ip.: A

A'

B B'

C: ABC ABC

Cazul II (L.U.L.) Dac dou triunghiuri au cte un unghicongruent i laturile ce-l formeaz respectiv proporionale,atunci ele sunt asemenea.

Ip.: A

A'

A' B'

AB

A' C'

AC

C: ABC ABCCazul III (L.L.L.) Dac dou triunghiuri au cele trei laturiproporionale, atunci ele sunt asemenea.

Ip.:A' B'

AB

A'C'

AC

B'C'

BC

C: ABC ABC


14/20

Cazuri particulare de asemnare

1. Oricare dou triunghiuri echilaterale sunt asemenea.2. Dac dou triunghiuri isoscele au cte un unghi congruent

aezat n acelai mod fa de baza triunghiului , suntasemenea.

3. Dac dou triunghiuri dreptunghice au cte un unghiascuit congruent, atunci ele sunt asemenea.

4. Dac dou triunghiuri dreptunghice au cateteleproporionale, atunci ele sunt asemenea.

5. Oricare dou triunghiuri dreptunghice isoscele sunt

asemenea.

OBS! Metoda asemnrii ne ajut n rezolvarea urmtoarelortipuri de probleme:

a) calculul lungimilor unor laturi ale triunghiului asemenea

cunoscnd o latur a acestuia i laturile celuilalt;b) stabilirea unor relaii metrice ntre laturile triunghiurilor;c) stabilirea congruenei ntre segmente sau unghiuri.


15/20

Relaii metrice n triunghiul dreptunghic1. Teorema nlimii

ntr-un triunghi dreptunghic, lungimea nlimii dinvrful unghiului drept este medie proporional ntrelungimile proieciilor catetelor pe ipotenuz.

A

Ip.: ABC ( m(A

)=90 )AD BC

C: AD BD DC2 B D C

2. Teorema catetei

ntr-un triunghi dreptunghic, lungimea unei catete estemedie proporional ntre lungimea ipotenuzei i lungimeaproieciei acestei catete pe ipotenuz.

A

Ip.: ABC ( m(A

)=90 )AD BC

C: AB BC BD2 B D C

AC BC CD2

3. Teorema lui Pitagora

ntr-un triunghi dreptunghic, suma ptratelor cateteloreste egal cu ptratul lungimii ipotenuzei.

A

Ip.: ABC ( m(A

)=90 )

C: BC AB AC2 2 2 B C


16/20

4. Reciproca teoremei lui Pitagora

Dac ntr-un triunghi suma ptratelor lungimilor a doulaturi este egal cu ptratul lungimii laturii a treia, atuncitriunghiul este dreptunghic.

A

Ip.: BC AB AC2 2 2 BCAC, BCAB

C: ABC ( m(A

)=90 ) B C

5. Alte teoreme consecine ale teoremei lui Pitagora:a) ntr-un triunghi dreptunghic mediana corespunztoare

unghiului drept este jumtate din ipotenuz.b) ntr-un triunghi dreptunghic cateta care se opune unui

unghi de 30este jumtate din ipotenuz.c) ntr-un ptrat diagonala este egal cu produsul dintre

lungimea laturii i radical din doi. ( d= a 2 )d) ntr-un triunghi echilateral nlimea este egal cu

produsul dintre lungimea laturii i radical din trei, totul

supra doi. ( h =a 3

2)

6. Rapoarte constante n triunghiul dreptunghicsin x=

cateta opusa

ipotenuza

cos x=

cateta alaturata

ipotenuza

tg x=cateta opusa

cateta alaturata

ctg x=

cateta alaturata

cateta opusa

OBS! tg x= sincos

x

x

ctg x=cossin

x

x


17/20

B

A C

EX.: sin B=AC

BC; sin C=

AB

BC;

cos B=AB

BC; cos C=

AC

BC;

tg B=AC

AB

; tg C=AB

AC

;

ctg B=AB

AC; ctg C=

AC

AB;

TABEL CU VALORI MAI DES NTLNITE PENTRUSINUS I COSINUS

x 0 30 45 60 90sin x 0

1

2

2

2

3

2 1

cos x 13

2

2

2

1

2 0

tg x 03

3

1 3 -

ctg x - 3 13

3 0


18/20

Triunghiul - probleme

1. n triunghiul isoscel ABC avem m(B

)=110. Atunci m(A

)= .........;

2. Unghiul exterior unghiului BAC

al triunghiului ABC are 130. Atunci

m(CAB

)= ...........;

3. n triunghiul ABC tim c AB=1,5AC, BC=2AC i AC=6 cm. Perimetrultriunghiului ABC este ............ cm;

4. n figura de mai jos DE BC, m(ABC

)=65, m(AED

)=40, deci

m(BAC

)=..............; A

D E

B C

5. n triunghiul dreptunghic ABC, mediana corespunztoare ipotenuzei AC are 8cm, deci AC = .......... cm;

6. n figura alturat G este centrul de greutate al triunghiului ABC i AB=12 cm.Atunci DE= .......... cm; A

E

G

B D C

7. n triunghiul ABC, avem ADBC, BD=DC=4 cm i AB=5 cm. Perimetrultriunghiului ABC este de ............ cm;

8. n triunghiul dreptunghic ABC cateta AC este jumtate din ipotenuza BC. Auncim(C

)=...........;

9. Dac AB= 3 cm, AC=4 cm i BC= 5 cm, atunci ABC este ................;

10. Fie ABC un triunghi dreptunghic, m(A

)=90. Dac [AD] este nlimeacorespunztoare ipotenuzei BD=4 cm i DC=9 cm, atunci AD=......... cm.

11. Fie triunghiul ABC cu: AB= 3 2 cm, m(BAC

)=45 i AC=4 cm, atunci ariatriunghiului este egal cu ............. cm2;

12. Un triunghi isoscel, n care msura unuia dintre unghiuri este de 60, estetriunghi ........................;


19/20

13. Fie ABC un triunghi dreptunghic cu m(B

)=60i cateta AB=6 cm. Lungimeacatetei AC este egal cu ............ cm;

14. Cateta unui triunghi dreptunghic isoscel cu lungimea ipotenuzei de 10 cm este

de ........... cm.

15. n triunghiul ABC se duce MN BC, M(AB), N(AC). tiind c AB=6 cm,AN=6 cm i AC=8 cm, atunci AM= ............. cm.

16. Fie triunghiul ABC dreptunghic n A. tiind c BC=41 cm i AB=9cm, atunciAC= ..........cm;

17. Fie triunghiul ABC cu m(BAC

)=90, AB=8 cm i BC=9 cm. Atunci ariatriunghiului este egal cu ............cm2.

18. n triunghiul ADC bisectoarea [AB formeaz cu latur [AC] un unghi cu msura

de 30. tiind c m(ADB

)=50, atunci m(ABC

)=............19. ntr-un triunghi echilateral linia mujlocie are lungimea de 9 cm. Atunci

perimetrul triunghiului este de ............ cm;

20. Un triunghi echilateral are latura de lungime 4 cm. Aria triunghiului este egalcu ...........cm2.

21. n triunghiul ABC, AD i BE sunt nlimi unde DBC i EAC. Fie BC=8 cm

i AC=6 cm. Valoarea raportuluiAD

BEeste egal cu ...........;

22. Un triunghi dreptunghic are lungimile catetelor de 13 cm i 2 3cm.

Lungimea ipotenuzei este egal cu .......... cm;23. n triunghiul ABC dreptunghic n A, se duce nlimea AD, D[BC]. Dac

AB=8 cm i BD=4 cm, atunci lungimea ipotenuzei BC este egal cu .......... cm;24. ntr-un triunghi liniile mijlocii au lungimile de 3 cm, 5 cm i 6 cm. Perimetrul

triunghiului este egal cu ............ cm;

25. ntr-un triunghi dreptunghic isoscel lungimea unei catete este de 8dm.Lungimea ipotenuzei este egal cu .......... dm.

26. n triunghiul ABC dreptunghic n A, AD este perpendicular pe BC, DBC,

AB=6 cm i BD=4 cm. Lungimea ipotenuzei este egal cu ............ cm;27. Un triunghi dreptunghic are un unghi ascuit de 40. Cellalt unghi ascuit are

msura de ...........;28. Un triunghi echilateral are perimetrul de 18 cm. Punctele M, N i P sunt

mijloacele laturilor lui. Perimetrul triunghiului MNP este egal cu ...............cm, iar

aria MNP este egal cu ..............cm2.29. Un triunghi isoscel ABC cu [AB][AC], are msura unghiului ABC de 35.

Msura unghiului BAC este egal cu ............ grade.30. Laturile unui triunghi isoscel ABC sunt AB=AC=50 cm i BC=60cm.

a) Lungimea nlimii corespunztoare laturii BC este egal cu .........cm;b) Lungimea nlimii corespunztoare laturii AB este egal cu .........cm;

31. Un triunghi dreptunghic are catetele de 6 cm i respectiv 8 cm.


20/20

a) Lungimea ipotenuzei este egal cu ............ cm;b) nlimea triunghiului corespunztoare ipotenuzei este egal cu .....cm

32. n triunghiul ABC, [MN] este linie mijlocie. Raportul ariilor triunghiurilorAMN i ABC este ...........;

33. Proieciile catetelor pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic sunt de 2 cm i 8 cm.

a) Lungimea nlimii corespunztoare ipotenuzei este egal cu .........cmb) Aria triunghiului dat este egal cu ............ cm2.34. Catetele unui triunghi dreptunghic au lungimile de 36 cm i 15 cm.

a) Ipotenuza triunghiului are lungimea de .......... cm;

b) Proiecia catetei mici pe ipotenuz are lungimea de ......... cm.35. n triunghiul ABC, dreptunghic n A, avem: AD BC, D(BC), AB=12 3 cm

i AC= 16 3 cm.a) lungimea ipotenuzei BC este egal cu .............. cm;

b) Lungimea nlimii AD este egal cu ............... cm.36. Perimetrul unui triunghi dreptunghic cu catetele de 3 cm i 4 cm este de ..........

cm;

37. Un triunghi dreptunghic are cateta mic egal cu 13 cm, iar unul dintreunghiurile ascuite are msura de 60. Ipotenuza triunghiului are lungimea de.......... cm.

38. Un triunghi dreptunghic isoscel are o catet lung de 17 cm. Cealalt catet atriunghiului are lungimea de ............ cm.

39. Un triunghi dreptunghic are catetele de 5 cm i 2 5 cma) Ipotenuza triunghiului este de ............. cm;

b) nlimea corespunztoare ipotenuzei este de ........... cm.40. Un triunghi dreptunghic are proieciile catetelor pe ipotenuz de 3,6 dm i 6,4

dm.

a) Aria triunghiului este de ............. dm2.

b) Perimetrul triunghiului este de ............... dm.

41. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 60i ipotenuza de 4 cm.a) Perimetrul triunghiului este de ................ cm;b) Aria triunghiului este de ................... cm2.

42. ntr-un triunghi dreptunghic o catetare 1 cm i proiecia ei pe ipotenuz1

3cm.

a) Perimetrul triunghiului este de ............... cm.

b) Aria triunghiului este de ................ cm2.

// La sedintele de meditatii am rezolvat problemele 1-12, 15, 19, 20, 24, 27, 28, 29

teorie triunghi

Documents

Transcript of teorie triunghi