TEORIE BAC

5/17/2018 TEORIE BAC - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/teorie-bac-55b07a941d85c 1/28

NOŢIUNI TEORETICE PENTRU BACALAUREATFormule de calcul

222 2)( bababa ++=+222 2)( bababa +−=−))((22 bababa +−=−

a ))(( 2233bababab ++−=−

a ))(( 2233 bababab +−+=+(a+b) 32233 33 babbaa +++= (a-b) 32233 33 babbaa −+−=

a ))(( 121 −−− +⋅⋅⋅++−=− nnnnn bbaabab

Funcţia de gradul IDefiniţie:f:R → R,f(x)=ax+b,a 0≠ , a,b R∈ , se numeşte funcţia de gradul IProprietăţi:Dacă a>0 f este strict crescătoare

Dacă a<0 f este strict descrescătoare

A β α β α =⇔∈ )(),( f G f

Funcţia de gradul II

Definiţie:f:R → R,f(x)=ax 0,2 ≠++ acbx ,a,b,c R∈ se numeşte funcţia de gradul IIMaximul sau minimul funcţiei de gradul II

Dacă a<0 atunci f realizat a

,4max

∆−= pentru x =

a

b

2

−

Dacă a >0 atunci f realizat a

,4min

∆−= pentru x =

a

b

2

−;Vârful parabolei V(

a

b

2

−, )

4a

∆−

Ecuaţia de gradul II:ax 02 =++ cbx ;x acba

b4,

22

2,1 −=∆∆±−

=

Relaţiile lui Viete:xa

c x x

a

b x =⋅−=+ 2121 ,

Dacă ⇒>∆ 0 ecuaţia are rădăcini reale şi diferite.Dacă ⇒=∆ 0 ecuaţia are rădăcini reale şi egale.Dacă ⇒<∆ 0 ecuaţia nu are rădăcini reale.Dacă ⇒≥∆ 0 ecuaţia are rădăcini reale.Intervale de monotonie :a<0

x∞−

a

b

2

− ∞

f(x)

a4

∆−

a>0

x∞−

a

b

2

− ∞

f(x)

a4

∆−

1



Semnul funcţiei de gradul II0>∆

x -∞ x1 x 2 ∞ f(x) semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a

0=∆

x -∞ x 21 x= ∞f(x) semnul lui a 0 semnul lui a

0<∆x -∞ ∞ f(x) semnul lui a

Imaginea funcţiei de gr.II

a<0,Imf=( ,∞− ]4a

∆−

a>0, Imf=[ ),4

∞∆−

a

FuncţiiDefiniţii:Fie f:A→ BI. 1)Funcţia f se numeşte injectivă,dacă A x x ∈∀ 21 , cu f(x 2121 )() x x x f =⇒=

2)Funcţia f este injectivă dacă A x x ∈∀ 21 , cu x )()( 2121 x f x f x ≠⇒≠3)Func ia f este injectivţ ă, dac orice paralel la axa 0x,dusă ă ă

printr-un punct al lui B, intersecteaz graficul func iei înă ţ cel mult un punct. 4)Funcţia f nu este injectivă dacă )()(.. 2121 x f x f ia x x =≠∃ II.1)Func ia ƒ este surjectivţ ă, dacă ∀ y ∈B, exist cel pu in ună ţ punct

x ∈A, a.î. ƒ(x)=y.2) Func ia ƒ este surjectiv , dacţ ă ƒ(A) =B.ă3) Func ia ƒ este surjectiv , dac orice paralel la axa 0x, dus printr-unţ ă ă ă ă punct al lui B, intersecteaz graficul func iei în cel pu in un punct.ă ţ ţIII.1) Func iaţ ƒeste bijectivă dac este injectiv şi surjectiv .ă ă ă2) Func iaţ ƒ este bijectiv dac pentru orice yă ă ∈B exist un singur xă ∈Aa.î. ƒ(x) =y (ecua iaţ ƒ(x)=y,are o singur solu ie,pentru orice y din B)ă ţ3) Func iaţ ƒ este bijectiv dac orice paralel la axa 0x, dus printr-ună ă ă ă punct al lui B, intersecteaz graficul func iei într-un singur punct .ă ţIV.Compunerea a dou func iiă ţFie f:A B,g:B C→ →

))(())((,: x f g x f g C A f g =→

V. A A A →:1 prin 1 x x A =)( , A x∈∀ .(aplica ia identic a lui A)ţ ă

Defini ie:ţ Func iaţ ƒ: A B este inversabil→ ă , dac exist o func ie g:B Aă ă ţ → astfel încât

A f g 1= şi B g f 1= , func ia g este inversa func ieiţ ţ ƒ şi se noteaz cu ƒă1− .

2



Teoremă: ƒ este bijectiv <=>ă ƒ este inversabilă.

Funcţii pare,funcţii impare,funcţii periodice.Definiţii:f:R R se numeşte func ie par dac f(-x) = f(x),→ ţ ă ă ∀ x R∈

f:R R se numeşte func ie impar dac f(-x) = -f(x),→ ţ ă ă ∀ x R∈f:A R(A→ ) R⊂ se numeşte periodic de perioad Tă ă A xdacă ∈∀≠ ,0 avemx+T A∈ şi f(x+T)=f(x).Cea mai mic perioad strict pozitiv se numeşteă ă ă perioada principal .ăNumărul funcţiilor f:A B este [n(B)]→ )( An ,n(A) reprezentâd num rul deă elemente al mul imii A.ţNum rul func iilor bijectiveă ţ f:A A este egal cu n!,n fiind num rul de→ ă elemente al mul imii A.ţ

Num rul func iilor injective f:A B este Aă ţ →k

n ,unde n reprezint num rul deă ă

elemente al mul imii B, iar k al mul imii A(kţ ţ )n≤

Func ia exponen ialţ ţ ăDefiniţie f: R→ (0,∞), f(x)= a x ,a>0,a 1≠ se numeşte funcţie exponenţială.Propriet i:ăţ1)Dac a>ă 1⇒ f strict cresc toareă

2)Dac aă ⇒∈ )1,0( f strict descresc toareă

3)Func ia exponen ial este bijectivţ ţ ă ăFunc ia logaritmicţ ă

Definiţie: f:(0,∞) →R, f(x)= log a x , a>0, a ≠ 1 se numeşte funcţie logaritmică.Propriet i:ăţ1)Dac a >ă 1⇒ f strict cresc toareă

2)Dac aă ⇒∈ )1,0( f strict descresc toareă

3)Func ia logaritmic este bijectivţ ă ă

4)log y x xy aaa loglog += 5)log xm x a

m

a log= ,m R∈

6)log y x y

xaaa loglog −= 7)a x xa =log

Schimbarea bazei:loga

A A

b

ba log

log= ,log

ab

b

a log

1=

Progresii aritmetice

Defini ieţ : Se numeşte progresie aritmetică un şir de numere reale a n în care diferen a oric ror doi termeni consecutivi este un num rţ ă ă

constant r, numit ra ia progresiei aritmetice:aţ 1,1 ≥∀=−+ nr ann

Se spune c numerele aă naa ,,, 21 ⋅⋅⋅ sunt în progresie aritmetic dac eleă ă sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Teorem :şirulă 1)( ≥nna este progresie aritmetică 2,2

11 ≥∀+

=⇔ +− naa

a nnn

Termenul general al unei progresii aritmetice:a r nan )1(1 −+=

3



Prop.:Numerele a,b,c sunt în progresie aritmetică2

cab

+=⇔

Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice:S2

)( 1 naa nn

+=

Trei numere x1, x

2

, x 3 se scriu în progresie aritmetică de forma :

x1 = u – r, x 2 = u, x 3 = u + r ; u,r R∈ .

Patru numere x1 , x2, x 3 , x 4 se scriu în progresie aritmetică astfel:

x1 = u – 3r, x2

= u – r , x 3 = u + r , x 4 = u + 3r, u,r R∈ .Progresii geometrice

Defini ieţ : Se numeşte progresie geometrică un şir de numere realeb 0, 1 ≠bn în care raportul oric ror doi termeni consecutivi este un num ră ă

constant q, numit ra ia progresiei geometrice:ţ qb

b

n

n =+1 ,q 0≠

Se spune c numerele bă nbb ,,, 21 ⋅⋅⋅ sunt în progresie geometric dac eleă ă sunt termenii consecutivi ai unei progresii geometrice.Teoremă:şirul 1)( ≥nnb este progresie geometrică 2,11

2 ≥∀⋅=⇔ +− nbbb nnn

Termenul general al unei progresii geometrice:b 11

−⋅= n

n qb

Prop.:Numerele a,b,c sunt în progresie geometrică cab ⋅=⇔ 2

Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice: S1

)1(1

−−

=q

qb n

n ,q

1≠ sau S dacăbnn ,1⋅= q = 1

Trei numere x 321 ,, x x se scriu în progresie geometric de forma :ă

x 0,,, 321 ≠⋅=== qqu xu xqu

Patru numere x1 , x 2 , x 3 , x 4 se scriu în progresie geometric de forma:ă

x1 = 0,,,, 3

4323≠⋅=⋅== qqu xqu x

q

u x

q

u

Formule utile:

1+2+3+2

)1( +=+⋅⋅⋅

nnn

16

)12)(1(2 222 ++

=+⋅⋅⋅++nnn

n

1 2333 ]2

)1([2

+=+⋅⋅⋅++nn

n

Modulul numerelor reale Propriet i:ăţ

<−≥

=0,

0,

x x

x x x

4



1. R x x ∈∀≥ ,0 2. y x y x ±=⇔= 3. x x −= 4. y x y x ⋅=⋅ 5. y

x

y

x=

6. 0, >≤≤−⇔≤ aa xaa x 7. 0),,[],( >∞∪−−∞∈⇔≥ aaa xa x 8.

y x y x +≤+Partea întreagă

1.x = [x]+{x}, R x∈∀ , [x] Z ∈ şi {x} )1,0[∈2. [x]≤ x< [x]+1, [x] = a xa ≤⇒ < a+13. [x+k]=[x]+k, Z k R x ∈∈∀ , 4. {x+k}={x}, Z k R x ∈∈∀ ,

Numere complexe1. Numere complexe sub form algebrică ă

z =a+bi, a,b R∈ , i2

= −1, a=Re z , b=Im zC- mul imea numerelor complexe;C={a+bi/a,bţ R∈ }Conjugatul unui num r complex:ă bia z −=Propriet i:ăţ1. 2121 z z z z +=+

2. 2121 z z z z ⋅=⋅

3. ( )nn z z =

4.2

1

2

1

z

z

z

z =

5.z z z R =⇔∈6.z z z i R −=⇔∈ ∗

Modulul unui num r complex:ă 22 ba z +=Proprietă i:ţ

1. C z z ∈∀≥ ,0 2. z z = 3. 2121 z z z z ⋅=⋅

4.nn z z = 5.

2

1

2

1

z

z

z

z = 6. 2121 z z z z +≤+

Numere complexe sub form trigonometrică ăForma trigonometric a numerelor complexe:ă

z = r(cos t + i sin t ) ,r =a

btgt ba =+ ,22 ;r-raza polar ;t-argument redus,tă

)2,0[ π ∈M(a,b)-reprezint imaginea geometric a num rului complex ză ă ă = a+biOpera ii:ţ

z )sin(cos),sin(cos 22221111 t it r z t it r +=+=z )sin()[cos( 21212121 t t it t r r z +++=⋅ ], )sin(cos nt int r z nn +=

5



)]sin()[cos( 21212

1

2

1 t t it t r

r

z

z −+−=

}1,,1,0{),2

sin2

(cos −⋅⋅⋅∈+

++

== nk n

k t i

n

k t r z z n

k n π π

Combinatorică

n!=1 n⋅⋅⋅⋅2 ,n )1!0( =∈ N , P !nn = ,n ∗∈ N

A)!(

!

k n

nk

n −= ,0 1,,; ≥∈≤≤ n N nk nk C

)!(!

!

k nk

nk

n −= , 0 N nk nk ∈≤≤ ,;

Propriet iăţ :1. C k n

n

k

n C −= ,0 N nk nk ∈≤≤ ,; 2. C k C C k

n

k

n

k

n ≤+= −−− 1,111 <n;k,n N ∈

Binomul lui Newton:(a+b) nn

n

n

n

n

n

n bC baC aC +⋅⋅⋅++= −110

Termenul general:T nk baC k k nk nk ,,1,0,1 ⋅⋅⋅== −+

Propriet i:ăţ

C nn

nnn C C 210 =+⋅⋅⋅++ (num rul tuturor submul imilor unei mul imi cu nă ţ ţ elemente este 2 n ).C 1420531 2 −=⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅+++ n

nnnnnn C C C C C

Geometrie vectorialăDefini ieţ :Se numesc vectori egali, vectorii care au aceeaşi direcţie,acelaşi sens şi acelaşi modul. Doi

vectori se numesc opuşi dacă au aceeaşi direcţie, acelaşi modul şi sensuri contrare: BA AB −=

Defini ieţ :Doi vectori se numesc coliniari dac cel pu in unul este nul sau dacă ţ ă amândoi sunt nenuli şi au aceeaşi direc ie. În caz contrar se numescţ necoliniari.Teoremă: Fie b şia doi vectori necoliniari. Oricare ar fi vectorul v , există

β α , )(unice R∈ astfel încât bav ⋅+⋅= β α

22 )()( A B A B y y x x AB −+−= -modulul vectorului AB

lecoordonate y y x x AB A B A B −−− ),( vectorului AB

Mijlocul segmentului AB:x2

,2

B A M

B A M

y y y

x x +=

+=

Centrul de greutate al triunghiului ABC:x3

,3

C B AG

C B AG

y y y y

x x x ++=

++=

Adunarea vectorilor se poate face dup regula paralelogramului sauă triunghiului

6



Teoremă:Vectorii u şi v sunt coliniari ⇔ ∃ R∈λ a.i. v = λ ⋅u .

Punctele A, B, C sunt coliniare ⇔ ∃ R∈λ a.i. AB = λ AC

AB CD ⇔ ∃ R∈λ a.i. AB = λ AC

Produsul scalar a doi vectori .

),cos( vuvuvu ⋅=⋅

j yi xu 11 += , j yi xv 22 += 2121 y y x xvu +=⋅⇒ , 21

21 y xu +=

Daca 0, ≠vu ,atunci 0=⋅⇔⊥ vuvu

Ecua iile dreptei în planţEcua ia cartezian general a dreptei:ţ ă ă ax+by+c=0 (d)Punctul M(x M ,y M ) d ∈ ⇔a M x⋅ + 0=+ cby M

Ecuaţia dreptei determinată de două puncte distincte:A( ), A A y x ,B(x ), B B y

AB:

1

1

1

B B

A A

y x

y x

y x

=0

Ecuaţia dreptei determinată de un punct A(x ), A A y şi panta m : y-y )( A A x xm −=

Dreptele d1 ,d 2 sunt paralele21 d d mm =⇔

Dreptele d1 ,d 2 sunt perpendiculare21 d d mm ⋅⇔ = -1

Distan a dintre punctele A(xţ ), A A y ,B(x , B y ) B :AB= 22 )()( A B A B y y x x −+−

Distan a de la punctul A(xţ ), A A y la dreapta h:ax+by+c=0:

d(A,h)= 22 ba

cbyax A A

+

++

Punctele A,B,C sunt coliniare 0

1

1

1

=⇔

C C

B B

A A

y x

y x

y x

Permut riă

7



Defini ieţ :Se numeşte permutare de gradul n a mul imiiţ },,2,1{ n A ⋅⋅⋅=orice func ie bijectivţ ă .: A A →σ

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=)()2(

2

)1(

1

n

n

σ σ σ σ

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=n

ne

2

2

1

1

se numeşte permutarea identic de gradul nă .

nS reprezint mul imea permut rilor de gradul n.ă ţ ă

Produsul(compunerea) a dou permut ri:Fieă ă nS ∈τ σ ,

))(())((,: k k A A τ σ τ σ τ σ =→

Propriet i:ăţ

1) nS ∈∀= δ τ σ τδ σ δ στ ,,),()(

2) nS ee ∈∀== σ σ σ σ ,3) eiaS S nn ==∈∃∈∀ −−− σ σ σσ σ σ 111 .., , 1−σ se numeşte inversa permut riiă σ

Puterile unei permut ri:ă )(, 01e N ndefinimS Fie nn

n =∈=−∈ ∗− σ σ σ σ σ

Prop.: N nmS Fie mnnmnmnm

n ∈∀==⇒∈ + ,,)(, σ σ σ σ σ σ

Inversiunile unei permut ri:ă

Defini ie:ţ nS Fie ∈σ şi i,j∈ },,2,1{ n⋅⋅⋅ , ji⟨ .Perechea (i,j) se numeşteinversiune a permut riiă σ dacă )()( ji σ σ ⟩ .Num rul inversiuniloră permut riiă σ se noteaz cu m(ă σ ).Defini iţ i:Se numeşte semnul permut riiă σ ,num rulă )()1()( σ σ ε m−=

Permutarea σ se numeşte permutare par dacă ă 1)(=

σ ε Permutarea σ se numeşte permutare impar dacă ă 1)( −=σ ε Propozi ieţ : nS ∈∀= τ σ τ ε σ ε στ ε ,),()()(

Permutarea

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=n

n

i

j

j

iij 2

2

1

1δ se numeşte transpozi ie.ţ

Propriet i:ăţ

1) jiij δ δ = 2) eij =2)(δ 3) ijij δ δ =−14) 1)( −=ijδ ε

Matrice

A=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

.....

....................

............

21

22221

11211

-matrice cu m linii şi n coloane;n j

miija A,1,1

)(==

=

)(, C M A nm∈ ,unde )(, C M nm -reprezint mul imea matricelor cu m linii şi nă ţ coloane cu elemente din C.

8



)(, C M A mn

t ∈ -reprezint transpusa lui A şi se ob ine din A prin schimbareaă ţ liniilor încoloane(sau a coloanelor în linii).Dac mă = n atunci matricea se numeşte p tratic de ordinul n şi areă ă forma

A=

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

.....

....................

............

21

22221

11211

- )(C M A n∈

Tr(A)= nnaaa +⋅⋅⋅++ 2211 -reprezint urma matricei Aă

Sistemul ordonat de elemente ),,,( 2211 nnaaa ⋅⋅⋅ se numeşte diagonala

principal a matricei A,iar sistemul ordonat de elementeă ),,( 11 nn aa ⋅⋅⋅ senumeşte diagonala secundar a matricei A.ă

n I =

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

1000

0010

0100

-matricea unitate de ordinul n ; nmO , =

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

0000

0000

0000

-matricea

nulăPropriet i ale opera iilor cu matriceăţ ţ .:1)A+B=B+A , )(, , C M B A nm∈∀ (comutativitate)

2)(A+B)+C = A+(B+C) , )(,, , C M C B A nm∈∀ (asociativitate)

3)A+ nmO

, = nmO

, +A = A ,)(

,C M A

nm∈∀4) )()(),( ,. C M AC M A nmnm ∈−∃∈∀ a.î. A+(-A) = (-A)+A= nmO , , )(, C M A nm∈∀

5)(AB)C = A(BC) , )(),(),( ,,, C M C C M BC M A q p pnnm ∈∈∈ (asociativitate)

6)a)A(B+C) = AB+AC , )(,),( ,, C M C BC M A pnnm ∈∈ (distributivitatea înmul irii fa de adunare)ţ ţă

b)(B+C)A = BA+CA, )(),(, ,, C M AC M C B pnnm ∈∈

7) )(, C M A A A I AI nnn ∈∀==

8)a(bA) = (ab)A, )(,, , C M AC ba nm∈∈∀

9)(a+b)A=aA+bA, )(,, , C M AC ba nm∈∈∀

10)a(A+B)=aA+aB, )(,, , C M B AC a nm∈∈∀

11)aA = 0, =⇔ aO nm sau A= nmO ,

12) A B AB AaaA B A B A A A t t t t t t t t t t ==+=+= )(,)(,)(,)(

Puterile unei matrice:Fie )(C M A n∈

Definim ∗− ∈⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅=== N n A A A A A A A A A A A I A nn

n ,,,,,, 123210

9



Rela ia Hamilton-Cayleyţ : 222 )()( O I bcad Ad a A =−++− ,unde

=

d c

ba A

Determinan i.ţ

bcad

d c

ba−= (determinantul de ordinul doi)

Determinantul de ordinul trei(regula lui Sarrus)

f ed

cba

ibd fhaceg gbf dhcaei

ih g

f ed

cba

−−−++=

Propriet i:ăţ1. Determinantul unei matrice este egal cu determinantul matricei

transpuse;2. Dac toate elementele uă nei linii (sau coloane) dintr-o matrice suntnule, atunci determinantul matricei este nul;3. Dac într-o matrice schimb m dou linii(sau coloane) între eleă ă ă ob inem o matrice care are determinantul egal cu opusulţ determinantului matricei ini iale.ţ4. Dac o matrice are dou linii (sau coloane) identice atunciă ă determinantul s u este nul;ă5. Dac toate elementele unei linii(sau coloane) ale unei matrice suntă înmul ite cu un element a, ob inem o matrice al c rei determinant esteţ ţ ă egal cu a înmul it cu determinantulţ

matricei ini iale.ţ6. Dac elementele a dou linii(sau coloane) ale unei matrice suntă ă propor ionale atunci determinantul matricei este nul;ţ7. Dac o linie (sau coloan ) a unei matrice p tratice este o combina ieă ă ă ţ liniar de celelate linii(sau coloane) atunci determinantul matricei esteă nul.8. Dac la o linie (sau coloan ) a matricei A adun m elementele alteiă ă ă linii (sau coloane) înmul ite cu acelaşi element se ob ine o matrice alţ ţ c rei determinant este egal cuădeterminantul matricei ini iale;ţ

9)ih g

pnm

cba

ih g

f ed

cba

ih g

p f nemd

cba

+=+++

10)det(A B A B detdet) ⋅=⋅ ,∀ A,B )(C M n∈

Defini ieţ :Fie )()( C M a A nij ∈= .Se numeşte minor asociat elementului

n jiaij ≤≤ ,1,

10



determinantul matricei ob inute din A prin eliminarea liniei i şi a coloaneiţ j.Se noteaz acest minor cuă ij M .

Num rulă ij

ji

ij M A +−= )1( se numeşte complementul algebric al

elementului ija .

Matrice inversabile

Inversa unei matrice :A )(C M n∈ se numeşte inversabil dac exist oă ă ă

matrice notat Aă )(1 C M n∈− a.i. A n I A A A =⋅=⋅ −− 11

Teoremă:A 0det)( ≠⇔∈ Aăinversabil C M n

A ∗− = A Adet

11 ,A ∗ adjuncta matricei A. A ∗ se ob ine dinţ At înlocuind fiecare

element cu complementul s u algebric.ă

Dac A,Bă )(C M n∈ sunt inversabile,atunci au loc rela iile: a)(Aţ 1− ) 1− = A b)(AB) 111 −−−

= A B

Rangul unei matrice

Fie A )(, C M nm∈ , ),min(1, nmr N r ≤≤∈Defini ieţ : Se numeşte minor de ordinul r al matricei A,determinantulformat cu elementele matricei A situate la intersec ia celor r linii şi rţ coloane.Defini ie:ţ Fie A≠ O nm, o matrice . Num rul natural r este rangul matriceiă A⇔ exist un minor de ordinul r al lui A,nenul, iar to i minorii de ordină ţ mai mare decât r (dac exist )sunt nuli.ă ăTeorem :ă Matricea A are rangul r ⇔ exist un minor de ordin r al lui A,ă nenul , iar to i minorii de ordin r+1(dac exist )obtinu i prinţ ă ă ţ bordarea(adaugarea unei linii şi a unei coloane)minorului de ordin r cuelementele corespunzatoare ale uneia dintre liniile şi uneia dintrecoloanele r mase sunt zero.ă

Sisteme de ecua ii liniareţForma general a unui sistem de m ecua ii cu n necunoscute:ă ţ

=+⋅⋅⋅++

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++

mnmnmm

nn

nn

b xa xa xa

b xa xa xa

b xa xa xa

2211

22222121

11212111

a ij -coeficien ii necunoscutelor, xţ n x x ,,, 21 ⋅⋅⋅ - necunoscute, b mbb ,,, 21 ⋅⋅⋅ -termenii liberi

11



A=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

.....

....................

......

......

21

22221

11211

-matricea sistemului, A =

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

.....

....................

......

......

21

222221

111211

-matricea

extinsă

B=

mb

b

b

....2

1

matricea coloan a termenilor liberi,X=ă

n x

x

x

...2

1

.matricea

necunoscutelor.AX=B -forma matriceal a sistemuluiăDefini ie:ţ- Un sistem se numeşte incompatibil dacă nu are solu ie;ţ- Un sistem se numeşte compatibil dacă are cel pu in o solu ie;ţ ţ- Un sistem se numeşte compatibil determinat dacă are o singură solu ie;ţ- Un sistem se numeşte compatibil nedeterminat dacă are mai mult de osolu ie.ţRezolvarea sistemelor prin metoda lui Cramer:Un sistem de ecua ii liniare este de tip Cramer dac num rul de ecua iiţ ă ă ţ este egal cu num rul de necunoscute şi determinantul matriceiă sistemului este nenul.Teorema lui Cramer: Dac det A notată 0≠∆ , atunci sistemul AX=B

are o solu ie unic xţ ă i =

∆

∆ i ,unde i∆ se ob ine înlocuind coloana i cuţ

coloana termenilor liberi.Teorema lui Kronecker- Capelli: Un sistem de ecua ii liniare esteţ compatibil⇔ rangul matricei sistemului este egal cu rangul matriceiextinse.Teorema lui Rouche: Un sistem de ecua ii liniare este compatibilţ ⇔ to i minorii caracteristici sunt nuli.ţ

Elemente de geometrie şi trigonometrieFormule trigonometrice.Propriet i.ăţ

sin R x x x ∈∀=+ ,1cos22 -1 R x x ∈∀≤≤ ,1sin -1 R x x ∈∀≤≤ ,1cos sin(x+2k xsin) =π , Z k R x ∈∀∈∀ , cos(x+2k

Ζ ∈∀∈∀= k R x x ,,cos)π sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

12



sin(a-b)=sinacosb-sinbcosb cos(a-b)=cosacosb+sinasinbsin2x=2sinxcosx, cos2x=cos x x

22 sin−

sin x x cos)2

( =−π

cos x x sin)2

( =−π

sina+sinb=2sin2

cos2

baba −+ cosa+cosb=2cos

2cos

2

baba −+sina-sinb=2sin

2cos

2

baba +−

cosa-cosb= -2sin2

sin2

baba +−

tgx= 0cos,cos

sin≠ x

x

xctgx= 0sin,

sin

cos≠ x

x

x

tg(x+k tgx=)π ctg(x+k ctgx=)π

tg ctgx x =− )2(

π

ctg tgx x =− )2(

π

tg(a+b)=tgatgb

tgbtga

−+

1tg(a-b)=

tgatgb

tgbtga

+−

1

tg2x= xtg

tgx21

2

+

sinx =

21

22

2 xtg

xtg

+cosx =

21

21

2

2

xtg

xtg

+

−

Valori principale ale func iilor trigonometriceţx 0

6

π

4

π

3

π

2

π π

2

3π π 2

sinx 0

2

1

2

2

2

3 1 0 -1 0

cosx 1

2

3

2

22

1 0 -1 0 1

tgx 0

3

3 1 3 - 0 - 0

ctgx -3

1

330 - 0 -

Semnele func iilor trig.ţsin:+,+,-,- tg.,ctg.:+,-+,-cos:+,-,-,+sin(-x)= -sinx (impar ) cos(-ăx)=cosx(par )ătg(-x)= -tgx ctg(-x)= -ctgx

13



Func ii trigonometrice inverseţ

arcsin:[-1,1]→ ]2

,2

[π π

− arcsin(-x)=

-arcsinxarcsin(sinx)=x, ]

2,

2[

π π −∈∀ x sin(arcsinx)=x,x

]1,1[−∈ arccos:[-1,1] ],0[ π → arccos(-x)=

xarccos−π

arccos(cosx)=x, ],0[ π ∈∀ x cos(arccosx)=x,]1,1[−∈∀ x

arcsinx+arccosx= ]1,1[,2

−∈∀ xπ

arctg:R )2

,2

( π π −→ arctg(-x)= -arctgx

arctg(tgx)=x, )2

,2

(π π

−∈∀ x tg(arctgx)=x,

R x ∈∀arcctg:R ),0( π → arcctg(-x)=

arcctgx−π

arcctg(ctgx)=x, ),0( π ∈∀ x ctg(arcctgx)=x, R x ∈∀

arctgx+arcctgx= R x ∈∀,2

π

Ecua ii trigonometriceţ

sinx = a,a },arcsin)1{(]1,1[ Ζ ∈+−∈⇒−∈ k k a x k π

cosx = b,b },2arccos{]1,1[ Ζ ∈+±∈⇒−∈ k k b x π

tgx = c,c },{ Ζ ∈+∈⇒∈ k k arctgc x R π

ctgx = d,d },{ Ζ ∈+∈⇒∈ k k arcctgd x R π

sinax = sinbx Ζ ∈+−=⇒ k k bxax k ,)1( π

cosax = cosbx Ζ ∈+±=⇒ k k bxax ,2 π

tgax = tgbx Ζ ∈+=⇒ k k bxax ,π

ctgax = ctgbx Ζ ∈+=⇒ k k bxax ,π

Teorema sinusurilor:C

c

B

b

A

a

sinsinsin== =2R,unde R este raza cercului

circumscris triunghiului.Teorema cosinusului:a Abccb cos2222 −+=Aria unui triunghi:

14



A2

hb ⋅=∆ A

2

),sin( AC AB AC AB ⋅=∆ A ))()(( c pb pa p p −−−=∆ ,p=

2

cba ++

A

1

1

1

,2

C C

B B

A A

ABC

y x

y x

y x

=∆∆=∆ A2

21 cccdreptunghi

⋅=∆ A

4

32l l echilatera =∆

Raza cercului circumscris unui triunghi:R=S

abc

4,unde S este aria

triunghiului

Raza cercului înscris într-un triunghi:R= p

S ,unde S este aria

triunghiului iar p=2

cba ++

GrupuriDefini ie:ţ Fie M M M →×∗ : lege de compozitie pe M.O submultimenevid H a lui M ,se numeşte parte stabil a lui M în raport cu legea “ă ă ∗”dacă H y x H y x ∈∗⇒∈∀ , .Propriet ile legilor de compozi ieăţ ţFie M M M →×∗ : lege de compozi ie pe M.ţLegea “∗ “ se numeşte asociativă dac (xă

M z y x z y x z y ∈∀∗∗=∗∗ ,,),()

Legea “∗ “ se numeşte comutativă dac xă M y x x y y ∈∀∗=∗ ,,Legea “∗ “ admite element neutru dac exista eă M ∈ a.i

M x x xee x ∈∀=∗=∗ ,.

Defini ieţ :Cuplul (M, )∗ formeaz un monoid dac are propriet ile:ă ă ăţ

1)(x M z y x z y x z y ∈∀∗∗=∗∗ ,,),()

2) exist eă M ∈ a.i M x x xee x ∈∀=∗=∗ ,.

Dac în plus xă M y x x y y ∈∀∗=∗ ,, atunci monoidul se numeşte comutativ.Nota ieţ :U(M)={x x M /∈ este simetrizabil}Defini ieţ :Cuplul (G, )∗ formeaz un grup dac are propriet ile:ă ă ăţ

1)(x G z y x z y x z y ∈∀∗∗=∗∗ ,,),()

2) exist eă M ∈ a.i G x x xee x ∈∀=∗=∗ ,.3) G xG x ∈∃∈∀ ', a.i. x e x x x =∗=∗ ''

Dac în plus xă G y x x y y ∈∀∗=∗ ,, atunci grupul se numeşte abelian saucomutativ.Defini ieţ :Un grup G se numeşte finit dac mul imea G este finit şi grupă ţ ă infinit ,în caz contrar.

15



Se numeşte ordinul grupului G ,cardinalul mul imii G(num rul deţ ă elemente din G).Ordinul unui elementDefin ieţ :Fie (G, )• un grup şi x G∈ .Cel mai mic num r natural nenul n cuă proprietatea x en = se numeşte ordinul elementului x în grupul G.(ordx =

n)

SubgrupDefini ie:Fieţ (G, )∗ un grup.O submul ime nevid H a lui G se numeşteţ ă subgrup al grupului (G, )∗ dac îndeplineşte condi iile:ă ţ

1) H y x H y x ∈∗⇒∈∀ , .2) H x H x ∈⇒∈∀ '

Grupul claselor de resturi modulo n, }1,,2,1{^^^

−⋅⋅⋅= n Z n

−+),( n Z grup abelian

),( ⋅n Z -monoid comutativ ,în care }1),.(..../{)(^

=∈= nk cd mmc Z k Z U nn

Morfisme şi izomorfisme de grupuri

Defini ie:Fieţ (G, )∗ şi (G ),' dou grupuri.O func ie f:Gă ţ 'G→ se numeşte

morfism de grupuri dac are loc conditia f(ă G y x y f x f y x ∈∀=∗ ,),()()

Dac în plus f este bijectiv atunci f se numeşte izomorfism de grupuri.ă ă

Prop. Fie (G, )∗ şi (G ),' dou grupuri.Dac f:Gă ă 'G→ este morfism de

grupuri atunci:1)f(e)=e ' unde e,e ' sunt elementele neutre din cele dou grupuri.ă

2)f(x

''

)]([) x f = G x∈∀ Inele şi corpuri

Definiţie:Un triplet (A, ),∗ , unde A este o multime nevidă iar ,,∗ ” şi ,,” sunt două legide compozitie pe A,este inel dacă:

1) (A,∗ )este grup abelian2) (A, )este monoid3)Legea ,,”este distributivă fata de legea ,,∗ ”:

x (y∗ z)=(xy)∗ (xz),(y A z y x x z x y x z ∈∀∗=∗ ,,)()()

Inelul (A, ),∗ , este fără divizori ai lui 0,dacă (. ∗∗ ≠⇒≠∀ e y xe y x e ∗ elementneutru de la legea ,,∗ ”)Un inel (A, ),∗ , se numeşte comutativ dacă satisface şi axioma: x A y x x y y ∈∀= ,,

Un inel (A, ),∗ , comutativ,cu cel putin 2 elemente şi fără divizori ai lui 0, senumeşte,domeniu de integritate .Definiţie :Un inel (K, ),∗ cu e∗ e≠ se numeşte corp dacă K xe x K x ∈∃≠∈∀ ∗

',, a.i.

eee x x x x ,(''

∗== fiind elementele neutre )

Un corp (K, ),∗ , se numeşte comutativ dacă satisface şi axioma: x K y x x y y ∈∀= ,,

Obs.:Corpurile nu au divizori ai lui zero.Morfisme şi izomorfisme de inele şi corpuri.

16



Definiţie :Fie (A, ),(),, ' ⊗⊕∗ A două inele.O funcţie f:A ' A→ se numeşte morfism de inele

dacă :1)f( A y x y f x f y x ∈∀⊕=∗ ,),()()

1)f( A y x y f x f y x ∈∀⊗= ,),()()

3)f(e)=

⊗

e (e,

⊗

e fiind elementele neutre corespunzătoare legilor ⊗, )Dacă în plus f este bijectivă atunci f se numeşte izomorfism de inele.Definiţie:Fiind date corpurile K, '

K ,orice morfism(izomorfism) de inele de la K la' K ,se numeşte morfism(izomorfism)de corpuri.

Inele de polinoame

Forma algebric a unui polinom:f ă = 0,011

1 ≠++⋅⋅⋅++ −− n

n

n

n

n aa xa xa xa ,

Aai ∈ un inel comutativ.Defini ieţ :a A∈ se numeşte r d cin a polinomului f dac f(a)=0.ă ă ă ăTeorema împ r irii cu rest:ă ţ Fie K un corp comutativ,iar f şi g,cu g

polinoame,0≠ din K[X].Atunci exist polinoamele q şi r din K[X] ,unică

determinate,astfel încât f=gq+r cu gradr<gradg.Dac r = 0,adic f = gq ,atunci spunem c polinomul g divide polinomulă ă ă f.Teorema restului: Fie K un corp comutativ,f un polinom din K[X] şi aun element din K ⇒ restul împ r irii lui f la X-a este f(a).ă ţConsecin :ţă a este rad cin a lui f ă ă ⇔ X-a divide f.Defini ieţ :Elementul a K ∈ este r d cin de ordinul pă ă ă ∗∈ N pentrupolinomul f ][ X K ∈ dac (X-a)ă p divide pe f iar (X-a) 1+ p nu divide pe f.Teoremă: Elementul a K ∈ este r d cin de ordinul pă ă ă ∗∈ N pentrupolinomul f ][ X K ∈ 0)(,,0)(,0)( )1(' =⋅⋅⋅==⇔ − a f a f a f p şi 0)()( ≠a f p ,unde f este fuc ia polinomial asociat polinomului f.ţ ă ăPolinoame cu coeficien i realiţTeorem :ă Fie f ][ X R∈ ,f 0≠ .Dac z = a+ib,bă 0≠ este o r d cin complexă ă ă ă a lui f,atunci:1) z = a-ib este de asemenea o r d cin complex a lui f ă ă ă ă

1)z şi z au acelaşi ordin de multiplicitate.

Obs. : f z X z X /))(( −−Polinoame cu coeficien i ra ionaliţ ţ

Teoremă :Fie f ][ X Q∈ , f 0≠ .Dac xă 0 ba += este o r d cin a lui f,undeă ă ă

a,b QbbQ ∉⟩∈ ,0, ,atunci

1) ba x −=0 este de asemenea o r d cin a lui f 2)xă ă ă 0 , 0 x au acelaşiordin de multiplicitate.Obs. : f x X x X /))(( 00 −−Polinoame cu coeficien i întregiţ

Teoremă :fie f = 0,011

1 ≠++⋅⋅⋅++ −− n

n

n

n

n aa xa xa xa ;f ∈ ][ X Z

17



1)Dac xă q pq

p,(0 = numere prime între ele) este o r d cin ra ional a luiă ă ă ţ ă

f,atuncia)p divide termenul liber a 0

b)q divide pe a n

2)Dac xă p=0 este o r d cin întreag a lui f,atunci p este un divizor ală ă ă ă

lui a 0 .Polinoame ireductibileDefini ie:ţ Fie K un corp comutativ,f un polinom din K[X] cu gradf>0 senumeşte reductibil peste K dac exist g,q din K[X] cuă ă gradg<gradf,gradq<gradf astfel încât f=gq.Dac f nu este reductibil peste K atunci se spune c f este ireductibilă ă peste K.Prop.:Polinoamele de grad 2 sau 3 din K[X] sunt ireductibile peste K ⇔nu au r d cini în K.ă ăRela iile lui Vieteţ : Fie K un corp comutativ,f un polinom din K[X], f = 0,01

11 ≠++⋅⋅⋅++ −

− n

n

n

n

n aa xa xa xa .Dacă n x x x ,,, 21 ⋅⋅⋅ sunt n r d cini ale lui f ă ă

în K atunci f = )())(( 21 nn x X x X x X a −⋅⋅⋅−− şi1

121−

− ⋅−=+⋅⋅⋅++ nnn aa x x x

1213121

−−− =+⋅⋅⋅++ nnnn aa x x x x x x

.......................................................x 1

021 )1( −−=⋅⋅⋅ n

n

n aa x x

Dac f =ă ⇒∈+++ ][,012

23

3 X C f a xa xa xa

−=

=++

−=++

3

0321

3

1323121

3

2321

a

a x x x

a

a x x x x x x

aa x x x

f =a

=

−=+++

=+⋅⋅⋅++

−=+++

⇒∈++++

4

04321

4

1432431421321

4

2

433121

4

34321

012

23

34

4 ][,

a

a x x x x

a

a x x x x x x x x x x x x

a

a

x x x x x x

a

a x x x x

X C f a xa xa xa x

Ecua ii reciproceţ

18



Defini ie:ţ O ecua ie de formaţ 0,011

1 ≠++⋅⋅⋅++ −− n

n

n

n

n aa xa xa xa pentru

care niaa iin ≤≤=− 0, se numeşte ecua ie reciproc de gradul n.ţ ă

Orice ecua ie reciproc de grad impar are r d cina -1.ţ ă ă ă

Ecua ia reciproc de gradul IV are forma:aţ ă 0,234 ≠++++ aabxcxbx x

Se împarte prin 2 x şi devine a 0)1()1( 22 =++++ c

x xb

x x ;notez x t

x=+ 1 şi

ob inem o ecua ie de gradul II.ţ ţŞiruri de numere reale

Şir monoton (crescător sau descrescător)Fie N nna ∈)( un şir de numere reale.

Şirul )( na este crescător dacă: N naa nn ∈∀≤ + ,1 .

Şirul )( na este strict crescător dacă: N naa nn ∈∀< + ,1 .

Şirul )( na este descrescător dacă: N naa nn ∈∀≥ + ,1 .

Şirul )( na este strict descrescător dacă: N naa nn ∈∀> + ,1 .Şir mărginit

Fie N nna ∈)( un şir de numere reale.

Şirul )( na este mărginit dacă: N nan ∈∀≤≤∈∃ ,.i.aR , β α β α

DefiniţieUn şir care are limita finită se numeşte convergent.Un şir care nu are limită sau care are limita infinită se numeşte divergent

Teoremă :Orice şir convergent este mărginit.Consecinţă :Dacă un şir este nemărginit atunci el este divergent.Teoremă Dacă un şir are limită, atunci orice subşir al său are aceeaşi limită.Consecintă: dacă un şir conţine două subşiruri cu limite diferite, atunci şirul nu are limită.

▪Teorema lui WeierstrassOrice şir monoton şi mărginit este convergent.▪Teorema cleştelui

Dacă k n ya x nnn ≥∀≤≤ , si l y x nn

nn

==∞→∞→

limlim atunci l ann

=∞→

lim .

▪ Criteriul raportului

Fie N nna ∈)( un şir cu termeni strict pozitivi. Dacă )1,0[lim 1 ∈=+

∞→l

a

a

n

n

natunci

0lim =∞→ n

na

.

Daca ),1(lim 1 ∞∈=+

∞→l

a

a

n

n

nsau ∞=l atunci ∞=

∞→ nn

alim .

Lema lui Stolz-CezaroFie N nna ∈)( şi N nnb ∈)( două şiruri de numere reale.

Dacă l bb

aa

nn

nn

n=

−−

+

+

∞→1

1lim (finit sau infinit) şi N nnb ∈)( este strict monoton şi nemărginit ,

atunci l b

a

n

n

n=

∞→lim

▪ Criteriul radicalului

19



Fie N nna ∈)( un şir cu termeni strict pozitivi.Dacă l a

a

n

n

n=+

∞→

1lim atunci l ann

n=

∞→lim .

Şiruri remarcabile

−−∞∈∞∈∞ =

−∈

=∞→

]1,(,

),1(, 1,1

)1,1( dacă,0

lim

qdacăexistănu

qdacăqdacă

q

q n

n

⟨⟩∞=∞→ 0,0 0,lim

α α α n

n

0lim =∞→

nk

nan ,unde N),1,1( ∈−∈ k a

en

n

n=

+

∞→

11lim ; ...7178,2=e este constanta lui Euler

generalizare: e x

n x

nn=

+

∞→

11lim dacă ±→n x ; ( ) e y

n ynn

=+∞→

11lim dacă 0→n y

1sinlim =∞→n

n

n x x dacă 0→n x , 1tglim =∞→ n

nn x

x dacă 0→n x ,

1arcsin

lim =∞→

n

n

n x

xdacă 0→n x , 1

tglim =

∞→n

n

n x

xarcdacă 0→n x ,

Limite de functiiTeorem :ă O funcţie are limită într-un punct finit de acumulare dacă şi numai dacă arelimite laterale egale în acel punct.

f are limită în x )()( 000 xl xl d s =⇔ ⇔ )0()0( 00 +=− x f x f ⇔ )(lim)(lim0

0

0

0 x f x f x x

x x x x

x x⟩→

⟨→ =

Obs.:Funcţia f :D R→ nu are limită în punctul de acumulare x 0 în una din situaţiile :

a)există un şir x }{ 0 x Dn −∈ cu limita x 0 astfel încât şirul ))(( n x f nu are limită

b)există şirurile },{,),(),( 0 x D y x y x nnnn −∈ astfel încât şirurile ))(()),(( nn y f x f au limitediferite.Teoremă:Fie f :D R→ ,o funcţie elementară şi x D∈0 un punct de acumulare al lui D

)()(lim 00

x f x f x x

=⇒→

Teoremă(Criteriul majorării,cazul limitelor finite)

Fie f,g:D R→ şi x 0 un punct de acumulare al lui D.Dacă 0)(lim0 =→ x g x x şi există Rl ∈ a.î.,,),()( 0 x xV D x x g l x f ≠∩∈∀≤− V vecinătate a lui x 0 şi dacă

l x f x g x x x x

=⇒=→→

)(lim0)(lim00

Teoremă(Criteriul majorării,cazul limitelor infinite)Fie f,g:D R→ , x 0 un punct de acumulare al lui D şi 0,),()( x xV D x x g x f ≠∩∈∀≤ ,V

vecinătate a lui x 0 .

20



a)Dacă ∞=⇒∞=→→

)(lim)(lim00

x g x f x x x x

b)Dacă −∞=⇒−∞=→→

)(lim)(lim00

x f x g x x x x

Teorem (Criteriul cleştelui)ă

Fie f,g,h:D R→ , x 0 un punct de acumulare al lui D şi

0,),()()( x xV D x xh x g x f ≠∩∈∀≤≤ , V vecinătate a lui x 0 .

Dacă l x g l xh x f x x x x x x

=⇒==→→→

)(lim)(lim)(lim000

Limite uzuale.Limite remarcabile.n

n x

n

n

n

n x

xaa xa xa xa± ∞→

−−± ∞→

=++⋅⋅⋅++ lim)(lim 011

1

⟩± ∞⋅

⟩

=

=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++

−

−−

−−

± ∞→

mk b

a

k m

mk b

a

b xb xb xb

a xa xa xa

mk

m

k

m

k

m

m

m

m

k

k

k

k

x

,)(

,0

,

lim01

11

011

1

01

lim =∞→ x x

01

lim =−∞→ x x

−∞=<→ x

x x

1lim

00 +∞=

>→ x

x x

1lim

00

∞=∞→

x xlim ∞=

∞→

3lim x x

−∞=−∞→

3lim x x

( )

∈>∞

=∞→ 10daca0

1dacalim

,a ,

a ,a x

x

( )

∈∞

>=

−∞→ 10daca

1daca0lim

,a ,

a ,a x

x

( )

∈∞

>∞=

∞→ 10daca

1dacaloglim

,a ,-

a , x

a x ( )

∈∞

>∞−=

>→ 10daca

1dacaloglim

00 ,a ,

a , xa

x x

2arctglim

π =

∞→ x

x

2arctglim

π −=

−∞→ x

x 0lim =

∞→arcctgx

x π =

−∞→arcctgx

xlim

e x

x

x=

+

∞→

11lim e

x

x

x=

+

−∞→

11lim ( ) e x x

x=+

→

1

01lim

1sin

lim0

=→ x

x

x 1lim

0=

→ x

tgx

x 1

arcsinlim

0=

→ x

x

x 1

arctglim

0=

→ x

x

x

( )1

1lnlim

0=

+→ x

x

x 1,0ln

1lim

0≠>=

−→

aa , a x

a x

x

1)(

)(sinlim0

=→ xu xu

x 1

)()(tglim

0=→ xu

xu x

1)(

)(arcsinlim0

=→ xu xu

x 1

)()(arctglim

0=

→ xu xu

x

( )1

)(

)(1lnlim

0=

+→ xu

xu

x 1,0ln

)(

1lim

)(

0≠>=

−→

aa , a xu

a xu

xunde 0)(lim

0

=→

xu x x

Operaţii fără sens: 00 ,0,1,0,,0

0, ∞∞⋅∞−∞

∞∞ ∞

Funcţii continue

21



Definiţie Fie R D f →: şi D0 ∈ x punct de acumulare pentru D

f este continuă în D0 ∈ x dacă )()(lim 00

x f x f x x

=→

Dacă f nu este continuă în D0 ∈ x ,ea se numeşte discontinuă în 0 x ,iar 0 x se numeşte punctde discontinuitate.

Definiţii:Un punct de discontinuitate D0 ∈ x este punct de discontinuitate de prima speţă pentru f ,dacă limitele laterale ale funcţiei f în punctul 0 x există şi sunt finite.

Un punct de discontinuitate D0 ∈ x este punct de discontinuitate de speţa a doua dacă nu

este de prima speţă.(cel puţin una din limitele laterale ale funcţiei f în punctul 0 x nu estefinită sau nu există)Teoremă: Fie R D f →: şi D0 ∈ x punct de acumulare pentru D⇒ f continuă în 0 x ⇔

)()( 00 xl xl d s = = f( )0 x

Teoremă:Funcţiile elementare sunt continue pe domeniile maxime de definiţie.Operaţii cu funcţii continue

Teoremă:Fie f,g:D R→ continue pe D ⇒ f+g, ),min(),,max(,),0(, g f g f f g g f g f ≠⋅

sunt funcţii continue pe D.Compunerea a două funcţii continue este o funcţie continuă.Teoremă: Fie f:[a,b] → R o funcţie continuă a.î. f(a)f(b)<0 ∃⇒ ),( bac ∈ pentru caref(c)=0.

Asimptote1.Asimptote verticale

Definiţie:Fie f :E Ra R ∈→ , punct de acumulare pentru E.Se spune că dreapta x = a este

asimptotă verticală la stanga pentru f,dacă ∞=<→

)(lim x f

a xa x sau −∞=<

→)(lim x f

a xa x .

Definiţie:Fie f :E Ra R ∈→ , punct de acumulare pentru E.Se spune că dreapta x = a este

asimptotă verticală la dreapta pentru f,dacă∞=

>→

)(lim x f

a xa x sau

−∞=>→

)(lim x f

a xa x .

Definiţie : Fie f :E Ra R ∈→ , punct de acumulare pentru E.Se spune că dreapta x = a esteasimptotă verticală pentru f dacă ea este asimptotă verticală atât la stânga cât şi la dreaptasau numai lateral.2.Asimptote oblice

Teorema : Fie f :E , R→ unde E conţine un interval de forma(a, )∞Dreapta y=mx+n,m 0≠ este asimptotă oblică spre + ∞ la graficul lui f dacă şi numai dacă

m,n sunt numere reale finite,unde m= ])([lim,)(lim mx x f n x

x f

x x−=

∞→∞→.Analog la -∞ .

3.Asimptote orizontale

Dacă l l x f x

,)(lim =∞→ număr finit atunci y = l este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul

lui f.Analog la -∞Obs :O funcţie nu poate admite atât asimptotă orizontala cât şi oblică spre +∞ (-∞ )

22



Funcţii derivabile

Definiţie:Fie f:D R→ ,x D∈0 punct de acumulare pentru D

Derivata într-un punct:f )( 0' x =

0

0 )()(lim

0 x x

x f x f

x x −−

→.

f este derivabilă în x 0 dacă limita precedentă există şi este finită.▪Dacă f este derivabilă în 0 x , graficul funcţiei are în punctul ))(,( 000 x f x M tangentă a cărei

pantă este )( 0' x f .Ecuaţia tangentei este: ))(()( 00

'0 x x x f x f y −=− .

Teoremă:Fie f:D→R , x 0 D∈ punct de acumulare pentru D⇒ f este derivabilă în punctul

de acumulare 0 x ⇔ (finite)R )()( 0'

0' ∈= x f x f d s

⇔0

0 )()(lim

0

0 x x

x f x f

x x x x −

−

⟨→ = .

R x x

x f x f

x x x x

∈−−

⟩→

0

0 )()(lim

0

0.

Teoremă . Orice funcţie derivabilă într-un punct este continuă în acel punct.Puncte de întoarcere.Puncte unghiulare.

Definiţii:Fie f:D→R , x 0 D∈ punct de acumulare pentru D.Punctul x 0 se numeşte punct

de întoarcere al funcţiei f, dacă f este continuă în x 0 şi are derivate laterale infinite şi

diferite în acest punct. Punctul x 0 se numeşte punct unghiular al funcţiei f dacă f este

continuă în x 0 ,are derivate laterale diferite în x 0 şi cel puţin o derivată laterală este finită.

Derivatele funcţiilor elementare

Functia Derivata

c 0 x 1

*N∈n xn , 1−nnx

R ∈r xr , 1−r

rx

x

x2

1

n xn n xn

1

1−

xln

x1 xe x

e

)1,0( ≠> aaa x aa x ln xsin xcos xcos xsin−

23



xtg

x2cos

1

xctg

x2sin

1−

xarcsin21

1

x− xarccos

21

1

x−−

xarctg21

1

x+ xarcctg

21

1

x+−

Operaţii cu funcţii derivabile

Teoremă:Fie f,g:D R→ derivabile pe D⇒ f+g ,fg, g

f

(g 0≠ )sunt funcţii derivabile pe D.Compunerea a două funcţii derivabile este o funcţie derivabilă.Reguli de derivare

''')( g f g f ±=± ; ''')( g f g f g f ⋅+⋅=⋅ ; '')( f f ⋅=⋅ λ λ ;2

'''

g

g f g f

g

f ⋅−⋅=

''' )()( uu f u f ⋅=

Proprietăţile funcţiilor derivabile

Definiţie:Fie f:D→R.Un punct x 0 D∈ se numeşte punct de maxim local(respectiv deminim local)al lui f dacă există o vecinătate U a punctului x 0 astfel încât f(x) ≤ f(x 0 )

(respectiv f(x)≥ f(x 0 ) ) pentru orice x U D∩∈ .

Dacă f(x)≤ f(x 0 )(respectiv f(x)≥ f(x 0 ) ) pentru orice x D∈ atunci x 0 se numeşte punct demaxim absolut(respectiv minim absolut)Teoremă . ( Fermat) Fie I un interval deschis şi x 0 ∈I un punct de extrem al unei funcţii ƒ:

I→R. Dacă ƒ este derivabilă în punctul x 0 atunci ƒ’(x 0 )=0.Definiţie:O funcţie ƒ: [a, b] →R (a< b) se numeşte funcţie Rolle dacă este continuă peintervalul compact [a, b] şi derivabilă pe intervalul deschis (a, b ).Teorema lui Rolle

Fie ƒ: [a, b]→R, a< b o funcţie Rolle astfel încât ƒ(a)= ƒ(b), atunci există cel puţin un punct c∈ (a, b) astfel încât ƒ’(c)=0.Teorema(teorema lui J. Lagrange). Fie ƒ o funcţie Rolle pe un interval compact [a, b].Atunci ∃ c∈ (a, b) astfel încât ƒ(b)- ƒ(a)= (b- a)ƒ’(c)Consecinţe:1.Dacă o funcţie derivabilă are derivata nulă pe un interval atunci ea este constantă pe acelinterval.

24



2.Dacă două funcţii derivabile au derivatele egale pe un interval atunci ele diferă printr-oconstantă pe acel interval.Rolul primei derivate3. Fie f o funcţie derivabilă pe un interval I.Dacă I),0)((0)( '' ∈∀≥> x x f x f , atunci f este strict crescătoare( crescătoare) pe I.

Dacă I),0)((0)( '' ∈∀≤< x x f x f , atunci f este strict descrescătoare(descrescătoare) pe I.4.Fie f:D R→ ,D interval şi x 0 D∈ .Dacă

1)f este continuă în 0 x

2)f este derivabilă pe D- }{ 0 x

3)există Rl x f x x

∈=→

)(lim '

0

atunci f are derivată în 0 x şi f l x =)( 0' .Dacă Rl ∈ atunci f este derivabilă în 0 x .

Observaţie: Cu ajutorul primei derivate se stabilesc intervalele de monotonie ale uneifuncţii derivabile şi se determină punctele de extrem local.Rolul derivatei a doua

Teoremă: Fie f o funcţie de două ori derivabilă pe I.Dacă I,0)(" ∈∀≥ x x f , atunci f este convexă pe I.

Dacă I,0)(" ∈∀≤ x x f , atunci f este concavă pe I.

Definiţie: Fie f o funcţie continuă pe I si I∈0 x punct interior intervalului. Spunem că 0 x este punct de inflexiune al graficului funcţiei dacă f este convexă pe o vecinătate stânga alui 0 x şi concavă pe o vecinătate dreapta a lui 0 x sau invers.Observaţie:Cu ajutorul derivatei a doua se stabilesc intervalele de convexitate şiconcavitate şi se determină punctele de inflexiune.

Noţiunea de primitivăDefiniţie: Fie I ⊆ R interval, f : I → R. Se numeşte primitivă a funcţiei f pe I, oricefuncţie F : I → R derivabilă pe I cu proprietatea F '( x) = f ( x), ∀ x ∈ I.Teoremă.Orice funcţie continuă f : I →R posedă primitive pe I.Teoremă:Fie f : I →R,I interval ,o funcţie care admite primitive pe I.Atunci f are proprietatea lui Darboux.Consecinţe:1.Dacă g : I →R nu are proprietatea lui Darboux pe intervalul I,atunci g nu admite primitive pe I.2.Fie g : I →R.Dacă g(I)= }/)({ I x x g ∈ nu este interval atunci g nu admite primitive pe I.3.Dacă g : I →R are discontinuităţi de prima speţă atunci g nu admite primitive pe I.Tabel de integrale nedefinite

C n

xdx x

nn +

+=∫

+

1

1

,n N ∈ ,x R∈

C a

x x

aa +

+=

+

∫ 1

1

,a 1, −≠∈ a R ,x ),0( ∞∈

),0(,ln1

∞∈+=∫ xC xdx x

sau x )0,(−∞∈

25



R xaaC a

adxa

x x ∈≠⟩+=∫ ,1,0,

ln

),(,0,ln2

1122

a xaC a x

a x

aa x−−∞∈≠+

+−

=−∫ sau x ),( aa−∈ sau x ),( ∞∈ a

R xaC a xarctg

adx

a x ∈≠+=+∫ ,0,11 22

),(,0,arcsin1

22aa xaC

a

xdx

xa−∈≠+=

−∫

R xaC a x xdxa x

∈≠+++=+

∫ ,0,)ln(1 22

22

),(,0,ln1 22

22a xaC a x xdx

a x−−∞∈≠+−+=

−∫ sau x ),( ∞∈ a

∫ ∈+−= R xC x xdx ,cossin

∫ ∈+= R xC x xdx ,sincos

0cos,cos

12

≠+=∫ xC tgxdx x

0sin,sin

12

≠+−=∫ xC ctgxdx x

Integrala definită

Teoremă.Funcţiile continue pe un interval [ ]ba, sunt integrabile pe [ ]ba, .Teoremă.Funcţiile monotone pe un interval [ ]ba, sunt integrabile pe [ ]ba, .Proprietăţile funcţiilor integrabile.a)(Proprietatea de linearitate)

Dacă f,g Rba →].[: sunt integrabile şi ⇒∈ Rλ

1) ( ) ∫ ∫ ∫ +=+b

a

b

a

b

a

dx x g dx x f dx x g x f )()()()(

2) ∫ ∫ =b

a

b

a

dx x f dx x f )()( λ λ

b)Dacă [ ]ba x x f ,,0)( ∈≥ şi este integrabilă pe [ ]ba, , atunci 0d)( ≥∫ b

a x x f .

c)Dacă )()( x g x f ≥ pentru orice [ ]ba x ,∈ şi dacă f şi g sunt integrabile pe [ ]ba, , atunci

∫ ∫ ≥b

a

b

a x x g x x f d)(d)(

d)(Proprietatea de aditivitate în raport cu intervalul)

26



Funcţia f : [a, b]→ R este integrabilă pe [a, b] dacă şi numai dacă, ∀ c ∈ (a, b) funcţiile

1 2[ , ] şi [ , ] f f a c f f c b= = sunt integrabile şi are loc formula:

.d)(d)(d)( ∫ ∫ ∫ =+b

a

b

c

c

a x x f x x f x x f

e)Dacă funcţia f este integrabilă pe [ ]ba, , atunci şi f este integrabilă pe [ ]ba, şi

∫ ∫ ≤b

a

b

a x x f x x f d)(d)( .

Teoremă (Formula Leibniz - Newton)

Dacă f : [a, b]→ R este o funcţie integrabilă şi f admite primitive pe [a, b] atunci pentruorice primitivă F a lui f pe [a, b] are loc formula Leibniz-Newton:

( ) ( ) ( ) ( )b b

aa f x dx F x F b F a= = −∫ .

Teorema de medie Dacă f : [a, b] → R este o funcţie continuă, atunci există c∈[a, b] a.i.

)()(d)( c f ab x x f b

a−=∫ .

Teorema de existenţă a primitivelor unei funcţii continueDacă g : [a, b]→R este o funcţie continuă,atunci funcţia G: [a, b]→R,

∫ ∈= x

a

ba xdt t g xG ],[,)()( are proprietăţile:

1)G este continuă pe [a, b] şi G(a) = 02)G este derivabilă pe [a, b] şi ],[),()(' ba x x g xG ∈∀=

Reţinem: )()(

'

x g dt t g x

a

=

∫

Teoremă (Formula de integrare prin părţi)Fie f , g : [a, b]→ R cu f , g derivabile cu derivatele continue, atunci are loc formula de

integrare prin părţi: ' 'b bb

aa a fg dx fg f gdx= −∫ ∫ .

Teoremă:Fie f:[-a,a] →R , 0⟩a o funcţie continuă.Atunci

1) ∫ ∫ −

=a

a

a

dx x f dx x f 0

,)(2)( dacă f este funcţie pară.

2) ∫ −

=a

a

dx x f 0)( ,dacă f este funcţie impară.

Teoremă:Fie f:R →

R o funcţie continuă de perioadă T

∫ ∫ +

∈∀=⇒⟩T a

a

T

Radx x f dx x f 0

,)()(0

Aria unui domeniu din plan

1. Aria mulţimii din plan D⊂ R 2 mărginită de dreptele x = a, x = b, y = 0 şi graficul

funcţiei f : [a, b]→R pozitivă şi continuă se calculează prin formula: ( ) ( )Ab

a D f x dx= ∫ .

27



2. În cazul f : [a, b]→R continuă şi de semn oarecare, avem: ( ) | ( ) |Ab

a D f x dx= ∫ .

3. Aria mulţimii din plan mărginită de dreptele x = a, x = b şi graficele funcţiilor

f , g : [a, b]→R continue este calculată prin formula: ( ) | ( ) ( ) |Ab

a D g x f x dx= −∫ .

Volumul unui corp de rotaţie Fie f : [a, b]→ R o funcţie continuă, atunci corpul C f dinspaţiu obţinut prin rotirea graficului lui f , G f , în jurul axei O x, are volumul calculat prin

formula: .V(C f )= ∫ b

a

dx x f )(2π

28

TEORIE BAC

Documents

Transcript of TEORIE BAC