Teorie pravd ěpodobnosti
description
Transcript of Teorie pravd ěpodobnosti
![Page 1: Teorie pravd ěpodobnosti](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/568140a1550346895dac56f6/html5/thumbnails/1.jpg)
Litschmannová, 2007 1
Teorie pravděpodobnosti
![Page 2: Teorie pravd ěpodobnosti](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/568140a1550346895dac56f6/html5/thumbnails/2.jpg)
Litschmannová, 2007 2
Základní pojmy
• Náhodný pokus – konečný děj, jehož výsledek není předem určen
• Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu, značíme A, B, X, Y, …
• Základní prostor Ω– množina všech možných výsledků náhodného pokusu
• Elementární jev ω – množina všech možných výsledků, které jsou navzájem disjunktní
• Jev A – libovolná podmnožina základního prostoru
![Page 3: Teorie pravd ěpodobnosti](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/568140a1550346895dac56f6/html5/thumbnails/3.jpg)
Litschmannová, 2007 3
Typy jevů
• Jev jistý
• Jev náhodný
• Jev nemožný
![Page 4: Teorie pravd ěpodobnosti](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/568140a1550346895dac56f6/html5/thumbnails/4.jpg)
Litschmannová, 2007 4
Relace mezi jevy
![Page 5: Teorie pravd ěpodobnosti](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/568140a1550346895dac56f6/html5/thumbnails/5.jpg)
Litschmannová, 2007 5
Průnik jevů A, B - A∩B
![Page 6: Teorie pravd ěpodobnosti](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/568140a1550346895dac56f6/html5/thumbnails/6.jpg)
Litschmannová, 2007 6
Sjednocení jevů A, B - AUB
![Page 7: Teorie pravd ěpodobnosti](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/568140a1550346895dac56f6/html5/thumbnails/7.jpg)
Litschmannová, 2007 7
Jev A je podjevem jevu B
![Page 8: Teorie pravd ěpodobnosti](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/568140a1550346895dac56f6/html5/thumbnails/8.jpg)
Litschmannová, 2007 8
Jevy A, B jsou disjunktní
A ∩ B = {0}
![Page 9: Teorie pravd ěpodobnosti](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/568140a1550346895dac56f6/html5/thumbnails/9.jpg)
Litschmannová, 2007 9
Rozdíl jevů A, B - A-B
![Page 10: Teorie pravd ěpodobnosti](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/568140a1550346895dac56f6/html5/thumbnails/10.jpg)
Litschmannová, 2007 10
Doplněk jevu A, non A
![Page 11: Teorie pravd ěpodobnosti](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/568140a1550346895dac56f6/html5/thumbnails/11.jpg)
Litschmannová, 2007 11
De Morganovy zákony
![Page 12: Teorie pravd ěpodobnosti](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/568140a1550346895dac56f6/html5/thumbnails/12.jpg)
Litschmannová, 2007 12
Úplná množina vzájemně disjunktních jevů
![Page 13: Teorie pravd ěpodobnosti](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/568140a1550346895dac56f6/html5/thumbnails/13.jpg)
Litschmannová, 2007 13
Podmíněná pravděpodobnost, P(A|B)
• Pravděpodobnost, že nastal jev A za podmínky (předpokladu), že nastal jev B
Úkol:
V demonstračním appletu si ověřte porozumění pojmu podmíněná pravděpodobnost.
David Lane: Online Statistics: An Interactive Multimedia Course of Study
Simulations and Demonstrations: Conditional probability Demo
![Page 14: Teorie pravd ěpodobnosti](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/568140a1550346895dac56f6/html5/thumbnails/14.jpg)
Litschmannová, 2007 14
Podmíněná pravděpodobnost, P(A|B)
• Pravděpodobnost, že nastal jev A za podmínky (předpokladu), že nastal jev B
Motivační příklad:
Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus – vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že v druhém tahu vytáhneme bílou kuličku.
![Page 15: Teorie pravd ěpodobnosti](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/568140a1550346895dac56f6/html5/thumbnails/15.jpg)
Litschmannová, 2007 15
Řešení
Litschmannová, Statistika I – cvičení,
Teorie pravděpodobnosti, př. 3.5
![Page 16: Teorie pravd ěpodobnosti](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/568140a1550346895dac56f6/html5/thumbnails/16.jpg)
Litschmannová, 2007 16
Podmíněná pravděpodobnost,pravděpodobnost průniku jevů
BPBAPBAP )(
Pravděpodobnost průniku jevů:
![Page 17: Teorie pravd ěpodobnosti](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/568140a1550346895dac56f6/html5/thumbnails/17.jpg)
Litschmannová, 2007 17
Nezávislé jevy
Pokud jev A nezávisí na jevu B, pak:
a proto:
P{A} = B}P{A
BPAPBAP )(
![Page 18: Teorie pravd ěpodobnosti](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/568140a1550346895dac56f6/html5/thumbnails/18.jpg)
Litschmannová, 2007 18
Pravděpodobnost sjednocení jevů A, B
B}P{A-P{B}+P{A}=B}P{A
![Page 19: Teorie pravd ěpodobnosti](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/568140a1550346895dac56f6/html5/thumbnails/19.jpg)
Litschmannová, 2007 19
Disjunktní (neslučitelné) jevy
P{B} + P{A} = B} P{A = B A
![Page 20: Teorie pravd ěpodobnosti](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/568140a1550346895dac56f6/html5/thumbnails/20.jpg)
Litschmannová, 2007 20
Příklady
Litschmannová, Statistika I – cvičení,
Teorie pravděpodobnosti -3.1, 3.2, 3.5, 3.6, 3.7
![Page 21: Teorie pravd ěpodobnosti](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/568140a1550346895dac56f6/html5/thumbnails/21.jpg)
Narozeninový problém(Richard von Mises, 1939)
Kolik lidí se musí nacházet v místnosti, aby, ignorujíc 29. únor, dva z nich měli narozeniny ve stejný den roku s pravděpodobností alespoň 50%?
Litschmannová, 2007 21
n
nAP
365!n-365
!365
365
1365
365
362
365
363
365
364)(
![Page 22: Teorie pravd ěpodobnosti](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/568140a1550346895dac56f6/html5/thumbnails/22.jpg)
Litschmannová, 2007 22
Geometrická pravděpodobnost
V rovině (případně na přímce nebo v prostoru) je dána určitá oblast Ω a v ní další uzavřená oblast A.
Pravděpodobnost jevu A, který spočívá v tom, že náhodně zvolený bod v oblasti Ω leží i v oblasti A je:
,
kde |A|, |Ω| jsou míry oblastí A a Ω
AP A
![Page 23: Teorie pravd ěpodobnosti](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/568140a1550346895dac56f6/html5/thumbnails/23.jpg)
Jaká je pravděpodobnost toho, že součet dvou náhodně zvolených kladných čísel, z nichž žádné není větší než jedna, bude nejvýše roven jedné a jejich součin nebude větší než 2/9 ?
Litschmannová, 2007 23
![Page 24: Teorie pravd ěpodobnosti](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/568140a1550346895dac56f6/html5/thumbnails/24.jpg)
Litschmannová, 2007 24
Příklady
Litschmannová, Statistika I – cvičení,
Teorie pravděpodobnosti -3.3, 3.4
![Page 25: Teorie pravd ěpodobnosti](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/568140a1550346895dac56f6/html5/thumbnails/25.jpg)
Litschmannová, 2007 25
Opakované závislé jevy, tj. Hypergeometrická náhodná veličina
Nechť je dán soubor N prvků, z nichž M má určitou vlastnost a (N - M) nikoliv. Vybereme postupně n prvků, z nichž žádný nevracíme. Pravděpodobnost, že mezi n vybranými bude k takových, že mají sledovanou vlastnost, vypočteme podle vzorce:
n)min(M;km;0)N-max(npro;)(
n
N
kn
MN
k
M
kP
![Page 26: Teorie pravd ěpodobnosti](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/568140a1550346895dac56f6/html5/thumbnails/26.jpg)
Litschmannová, 2007 26
Příklady
Litschmannová, Statistika I – cvičení,
Teorie pravděpodobnosti - 3.8
![Page 27: Teorie pravd ěpodobnosti](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/568140a1550346895dac56f6/html5/thumbnails/27.jpg)
Litschmannová, 2007 27
Věta o úplné pravděpodobnosti
1 2 3
4
5
6 7
B B B
B
B
B
B
![Page 28: Teorie pravd ěpodobnosti](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/568140a1550346895dac56f6/html5/thumbnails/28.jpg)
Litschmannová, 2007 28
Věta o úplné pravděpodobnosti
in
in BABABABAA
1121
1 2 3
4
5
6 7
B B B
B
B
B
B
A
n
1=iii
n
1=ii }P{B }BP{A }BP{A = A}{P
![Page 29: Teorie pravd ěpodobnosti](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/568140a1550346895dac56f6/html5/thumbnails/29.jpg)
Litschmannová, 2007 29
Bayesův teorém
1 2 3
4
5
6 7
B B B
B
B
B
B
A
P{A}
}P{B }BP{A
P{A}
A}P{B = A}P{B kkk
k
![Page 30: Teorie pravd ěpodobnosti](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/568140a1550346895dac56f6/html5/thumbnails/30.jpg)
Litschmannová, 2007 30
Příklady
Litschmannová, Statistika I – cvičení,
Teorie pravděpodobnosti
3.9, 3.10, 3.11, 3.12, 3.13