REPRESENTACIN 2D DEL CIRCULO DE MOHR TRIAXIAL

Fractura frgil - TRIAXIALIDAD DE ESFUERZOS

Mayor rendimiento en Ductilidad Traccin uniaxial vs Trefilado

Para un Acero de bajo Carbono

Alargamiento = 50%

Elongacin % = 25%

.

REPRESENTACIN TRIAXIAL DEL CRCULO DE MOHR

TRIAXIALIDAD DE ESFUERZOS EN UNA ENTALLA: En la raz de la entalla se genera un mayor esfuerzo de contraccin proporcional al mayor o ms elevado esfuerzo de tensin localizado en ella, en las adyacencias de la raz se debera producir una contraccin proporcional a esta, sin embargo los menores esfuerzos de tensin presentes, producen una contraccin menor (comparada con la de la raz), por lo tanto el efecto neto en las adyacencias de la raz es que no se producen esfuerzos de contraccin de magnitud suficientemente elevada para contrarrestar el mismo nivel de contraccin en la raz, por tanto en las adyacencias queda un esfuerzo de tensin remanente (no compensado) en las direcciones de la contraccin (espesor y ancho), generndose as una triaxialidad de esfuerzos.

Cuando una probeta entallada es sometida a traccin, cualquiera sea la forma de la entalla, debido a la concentracin de tensiones en esa seccin se alcanzar el lmite elstico antes que en el resto de la probeta; por lo que tender a alargarse longitudinalmente y encogerse transversalmente. Pero esa deformacin se ver impedida por la accin de las capas de material contiguas a esa seccin, que an no han alcanzado el lmite elstico, generndose tensiones de dentro hacia afuera (equilibradas por otras iguales y opuestas en la zona no entallada). As es que la zona entallada queda sometida a un sistema de tensiones triaxiales perpendiculares entre s, constituido por 1 debida a la traccin exterior, 2 y 3 transversales, iguales entre si y menores que 1 , originadas como se indic ms arriba.

Triaxialidad de Esfuerzos en una

probeta entallada.

TRIAXIALIDAD DE ESFUERZOS EN UNA ENTALLA:

Se predice que ocurrir falla cuando el valor mximo de un mdulo mecnico seleccionado, iguala o excede el valor del mismo mdulo que produce falla en un ensayo simple de tensin uniaxial.

La experimentacin ha demostrado que las teoras trabajan bien para ciertos materiales pero no tan bien para otros. Tales observaciones han llevado al desarrollo de muchas teoras de falla.

1. Debe suministrar un modelo aplicable, descrito

explcitamente por expresiones matemticas, que relacione las cargas externas aplicadas con los esfuerzos o deformaciones generados, o con otro mdulo mecnico calculable en el punto crtico del estado de esfuerzo multiaxial.

2. Debe estar basada en propiedades fsicas crticas del materiales que sean fcilmente medibles.

3. Debe relacionar el mdulo mecnico calculable en el estado de esfuerzo multiaxial, con un criterio de falla medible basado en las propiedades fsicas crticas determinadas de un ensayo simple de tensin multiaxial.

Teora del mximo esfuerzo normal

(Teora de Rankine).

Teora del mximo esfuerzo cizallante

(Teora de Tresca-Guest).

Teora de la energa de distorsin

(Hubert-Von Mises-Hencky).

Teora de falla de Mohr.

Se puede predecir que ocurrir falla en un estado de esfuerzos multiaxial, cuando el esfuerzo principal mximo supera al esfuerzo normal al momento de ocurrir la falla en un ensayo de tensin uniaxial simple.

El estado de esfuerzos en un punto puede describirse totalmente por medio de los 3 esfuerzos principales (1,2,3) y sus direcciones. Para un estado uniaxial de tensin el esfuerzo principal lo constituye el esfuerzo principal en la direccin de la aplicacin de la fuerza.

La falla en un ensayo de tensin uniaxial depende del modo de falla en que estemos interesados y a la forma que el material responde a las cargas aplicadas .

De esta forma, la resistencia pertinente f a la falla cuando ocurre falla incipiente, en el caso uniaxial, podra bien ser la resistencia a la fractura, a resistencia de fluencia, el lmite proporcional, o cualquier otro parmetro que fijaremos dependiendo del modo de falla que gobierne en el punto crtico de inters en el componente sometido al estado de esfuerzos multiaxial.

La Teora puede formularse como sigue : Ocurrira la falla en el componente si se cumple

que: Donde 1,2,3 son los esfuerzos principales, t=f

resistencia a la falla uniaxial en tensin c=f resistencia a la falla en compresin.

Es importante notar que se predice que ocurre falla

si se cumple cualquiera de las expresiones anteriores.

c

c

c

3

2

1

t

t

t

3

2

1

La evaluacin de esta teora lleva a la observacin que la prediccin de la falla est basada solamente en la magnitud del componente mximo normal de esfuerzos, sin tomar en cuenta la magnitud o direcciones de los otros dos esfuerzos principales. En el caso de la condicin de esfuerzo hidrosttico =1=2=3 esta teora predice que ocurrir falla por fluencia cuando la magnitud de los esfuerzos principales se hagan igual al punto de fluencia en tensin simple, por otro lado se ha demostrado extensivamente en forma experimental que la compresin pura hidrosttica no produce fluencia sino solamente una pequea contraccin elstica reversible, es evidente entonces que sta teora no funciona bien para materiales que tienen un comportamiento dctil y por lo tanto no debe utilizarse para la prediccin de fallas en este tipo de materiales.

Incongruencia de esta teora para materiales dctiles:

Desarrollada por Tresca en el ano 1865 y comprobada experimentalmente por Guest en el ao 1900, dice as:

Se puede predecir que ocurrir falla en un estado de esfuerzos multiaxial, cuando el mximo esfuerzo cizallante se haga igual o mayor que la magnitud del esfuerzo mximo de cizallamiento al momento de ocurrir la falla en un ensayo de tensin uniaxial simple

Segn se vio anteriormente, el mximo esfuerzo cizallante viene dado por:

Basado en estas expresiones, puede determinarse que si el

mximo esfuerzo normal al momento de ocurrir la falla en un estado de tensin uniaxial es, el correspondiente valor de falla del esfuerzo principal de cizallamiento vendr dado por:

1

2 2

f

f

213

312

321

2

1

2

1

2

1

Se puede predecir que ocurrir falla, si se cumple que:

Utilizando 2 y 3 puede expresarse este criterio en funcin de los esfuerzos normales:

f

f

f

3

2

1

3

Donde: 1,2,3= esfuerzos principales y f= resistencia a la falla en tensin uniaxial.

f

f

f

13

32

21

Propuesta en 1904 por Hubert con la contribucin posterior de Von Mises y Hencky, es conocida comnmente como el criterio de fluencia de Von Mises puede expresarse textualmente como:

Se producir falla en un estado de esfuerzos multiaxial cuando la Energa de Distorsin por unidad de volumen sea mayor o igual que la Energa de Distorsin por unidad de volumen cuando ocurre la falla en un estado de tensin uniaxial.

Componente Hidrosttica

Cambio de Volmen

Componente Desviadora

Cambio de Forma o

Distorsin

+

La energa total de deformacin puede ser dividida en dos partes:

La magnitud del esfuerzo relacionado con la porcin de cambio de volumen viene dad por:

De deducciones basadas en la teora de la elasticidad, puede expresarse la energa por cambio de volumen Uv como:

3

321 S

ETD=(Energa Dilatacional)+(Energa de Distorsin) cambio de volumen cambio de forma

23213

213

EUv

La Energa Total de deformacin por unidad de volumen ha sido desarrollada como:

Tenemos entonces que:

Que se puede escribir en forma ms compacta como:

313221232221 22

1

EUT

EE

UUUU ddvT21

3...2

1

VTd UUU

21323222132

1

E

AfUd

Con esta expresin para la Energa de Distorsin por unidad de volumen en el estado de esfuerzo multiaxial, la Energa de Distorsin por unidad de volumen cuando ocurre la falla UDF:

Puede obtenerse colocando 2 y 3 iguales a cero y

1 igual a la resistencia uniaxial de fallas f.

Con lo que se puede expresar matemticamente la teora de falla de la mxima Energa de Distorsin o Teora de Von Mises, como:

Esta teora tambin es conocida como la teora del Esfuerzo Cizallante

Octadrico.

2

3

1fdf

EU

2213232221 2 f

La teora de falla de Mohr, propuesta por Otto Mohr en 1900, es una extensin de la teora de falla del mximo esfuerzo cortante, basada en una interpretacin del crculo de Mohr tridimensional.

Esta teora es adecuada para abordar el problema para materiales dctiles, como las fundiciones, las cuales presentan propiedades de falla en compresin, diferentes a las propiedades de falla en tensin,

En esta figura puede notarse que se han dibujado tres crculos correspondientes cada uno a los tres estados de esfuerzos biaxiales de esfuerzo, que resultan de observar separa-damente el sistema a lo largo de los ejes separadamente. Puede ser demostrado adems (ver O. Hoffman y G. Sachs, Introduction to the theory of plasticity for Engineers, N.Y Mc Graw Hill, 953, Pg. 13), que las componentes de esfuerzo cizallante y normal actuando en cualquier plano a travs de un punto, caen dentro del rea sombreada de la figura (incluyendo los lmites).

Para proceder con el desarrollo, considrese un material cuyo punto de fluencia en compresin difiere de su punto de fluencia en tensin (>15%). Suponga que un espcimen de este material fue ensayado en tensin uniaxial, en compresin uniaxial y en un ensayo de torsin, obtenindose los tres valores correspondientes del esfuerzo de fluencia; grafquense estos valores en un plano tal como est hecho en la figura siguiente:

El primer crculo es obtenido utilizando el valor de fluencia en

tensin, typ, luego utilizando el valor de fluencia en compresin, ypc, y

el tercero utilizando el valor de fluencia en torsin, ,teniendo estos

tres crculos puede trazarse una envolvente que pase tangente a estos

crculos, definindose de esta forma una regin de

no-falla y una regin de falla, la regin de no-falla ubicada en la parte

interna y la de falla en la parte externa de las envolventes, con esto

puede definirse la teora de falla de Mohr como:

Se puede predecir que ocurrir falla en un estado de esfuerzo

multiaxial, cuando el crculo mayor de Mohr asociado con el estado de

esfuerzo dado en un punto crtico, sea tangente o exceda los lmites de

la envolvente de falla determinada a partir de las condiciones de falla en

ensayos simples de tensin uniaxial, compresin uniaxial y torsin.

ytpr

La evaluacin de las teoras de falla lleva a las siguientes observaciones:

1. Para materiales isotrpicos que fallen por fractura frgil, (% de

elongacin inferior al 5%), la teora del mximo esfuerzo normal es la mejor teora a utilizar. (TEORA DE RANKINE)

1. Para materiales isotrpicos que fallen por fluencia o ruptura dctil

(%de elongacin superior al 5%), la teora del mximo esfuerzo cizallante (TEORA DE TRESCA); Es casi tan buena como la teora de la energa de distorsin.

1. Para materiales isotrpicos que fallen por fluencia o ruptura dctil,

la teora de la energa de distorsin es la mejor teora a utilizar (TEORA DE VON MISSES).

4. Para materiales que fallen por fluencia o ruptura dctil, pero presenten

diferencias apreciables (> 15%) entre las propiedades de tensin y

compresin (punto de fluencia), la teora de la ENVOLVENTE DE MOHR

es la mejor teora a utilizar.

5. Debe tomarse como una regla, que la teora del mximo esfuerzo normal

debera ser utilizada para materiales isotrpicos que presenten una

ductilidad menor al 5 % de elongacin (en dos pulgadas de longitud de

calibre), y las teoras de mxima energa de distorsin y mximo esfuerzo

cizallante, en aquellos materiales isotrpicos que presentan una

ductilidad mayor a este valor de elongacin porcentual.

Cargas Axiales

IxcM f

JcT .max

Ixt

VxQ

tpxr1

t

pxr

22

PROBLEMA:

Se desea soportar una reja divisoria utilizando un cable pretensado

sostenido entres dos soportes torsionales uno en cada extremo del

cable empotrados en fundaciones fijas tal como ilustra la figura. Se

estima que la carga esttica del cable ser de 100.000 libras.

Los materiales que se someten a consideracin para este soporte de

cable son:

Hierro Colado ASTM 60

Fundicin Maleable Ferrtica grado 35018

Acero AISI 1020.

Considerando solo la porcin cilndrica del soporte,

despreciando cualquier efecto de Concentradores de Tensin,

determine, cul?, si hay alguno, de estos 3 materiales es

adecuado para el diseo propuesto, si la fluencia o la fractura

son tomados como criterio de Falla y debe respetarse un

coeficiente de seguridad al menos de dos (2)

PROCEDIMIENTO DE RESOLUCIN

1) Estimacin de los esfuerzos notables que generan las

fuerzas aplicadas (Anlisis de Esfuerzos)

2) Determinacin de Puntos Crticos (P.C.)

3) Clculo de Esfuerzos (Esfuerzos externos aplicados en cada

P.C.)

4) Clculo de Esfuerzos Principales en cada P.C.

5) Seleccin de Materiales (Teoras de Fluencia-Falla)

6) Comprobacin de Coeficiente de Seguridad

7) Redimensionamiento geometra (Area Resistente)

3ntxk max

3ntxk max

Muchas aleaciones de ingeniera exhiben una relacin aproximadamente lineal entre el logaritmo del esfuerzo real y el logaritmo de la deformacin verdadera.

Para estas aleaciones, la relacin entre el esfuerzo real S y la deformacin verdadera puede expresarse como:

S= k n

k y n son constantes del material

k = coeficiente de resistencia

n =exponente de endurecimiento por deformacin

Fig. 1. Relacin entre el Esfuerzo Verdadero y la Deformacin Verdadera para varias aleaciones de Ingeniera (Ver Tabla)

Cuando muchos materiales son ensayados a carga, por ejemplo un ensayo de traccin uniaxial simple, a medida que la carga se incrementa, se alcanza un punto donde comienza la deformacin plstica localizada.

En este punto, la carga requerida para producir la deformacin, alcanza un valor mximo y entonces cae hasta que la ruptura toma lugar.

Este punto de carga mxima asociado con la deformacin plstica localizada, es llamado Punto de Inestabilidad. Este punto nunca debe alcanzarse en el diseo ni en el servicio.

Los diseadores no estn interesados en disear a niveles de esfuerzo que excedan el punto de inestabilidad porque si se alcanza dicho punto se producir ruptura espontnea.

El punto de inestabilidad puede ser determinado

experimentalmente de la siguiente forma:

De la definicin de deformacin verdadera = In (Ao/A) puede obtenerse:

A = Ao/e

Al combinarse con la definicin de esfuerzo real S= P/A se obtiene:

P = SAo/e

Reconociendo que el punto de inestabilidad ocurre cuando el cambio de la carga para producir un incremento en la deformacin se hace cero, entonces:

dp/d se hace cero y la ecuacin anterior puede ser diferenciada

con respecto a e igualarse a cero: dp = (Ao/ e )[dS/d - S] = 0 d El punto de inestabilidad es por tanto : dSu = Su d En el cual el subndice u ha sido aadido para identificar el

puntoparticular donde aparece la inestabilidad (unstability) En sta ltima expresin el punto de inestabilidad ocurre cuando la pendiente de la curva verdadera esfuerzo-deformacin iguala el

esfuerzo verdadero en el mismo punto.

Una tcnica grfica para localizar el punto de inestabilidad en un diagrama esfuerzo-deformacin verdadero se ilustra en la figura siguiente, donde el valor mximo de carga corresponde al punto A donde CB es una pulgada por pulgada.

La justificacin para esta construccin se basa en: dSu = tan ang (ABC) = AC = AC = Su du CB

Mtodos grficos de Considere y Marn para la determinacin del Punto

de Inestabilidad.

Aunque el punto de inestabilidad puede determinarse grficamente es ms conveniente para materiales que son caracterizados adecuadamente por la expresin: S = k n

que dicho punto se determine analticamente. Aplicando esta expresin al punto de inestabilidad se obtendra:

Su = k un Sustituyendo esta expresin en la expresin del punto de inestabilidad y realizando la diferenciacin, se obtiene:

n k un-1 = k u

n

a partir de la cual se obtiene: u = n Lo cual quiere decir que el punto de inestabilidad de carga ocurre a un valor de la deformacin verdadera que iguala al exponente de endurecimiento por deformacin del material (En tensin uniaxial)

Sera de inters preguntarse:

Cuando se alcanza el punto de inestabilidad en un estado Multiaxial de Esfuerzos ?

Muchas partes de las maquinarias son algunas veces son operadas por encima del punto de fluencia, por lo que es necesario conocer las relaciones esfuerzo- deformacin en el rango plstico donde ya no pueden aplicarse las relaciones del rango elstico.

Las relaciones esfuerzo-deformacin en la regin plstica generalmente no son independientes del tiempo.

Cualquier teora exacta acerca de la deformacin plstica, debera tomar en cuenta la historia entera de deformacin desde el momento en que comenz el flujo plstico.

Debido a la complejidad de dichos anlisis es usual hacer ciertas suposiciones y simplificaciones que permitan un anlisis relativamente simple de la deformacin plstica que ser preciso en la medida que la temperatura est por debajo de la temperatura de creep del material y las velocidades de deformacin involucradas estn en el rango de velocidades normales.

Se han propuesto dos teoras para ser utilizadas en el

rango plstico:

La teora de la Deformacin Proporcional.

La teora del Incremento de la Deformacin. La teora de la Deformacin Proporcional es

realmente un caso simplificado de la teora del Incremento de la deformacin en la cual la relacin de las deformaciones principales cortantes y los esfuerzos cortantes correspondientes se asumen iguales en cualquier tiempo durante la deformacin.

1) Se asume que el cambio de volumen como

consecuencia de la deformacin plstica es igual a cero;

V = O Dicha suposicin fue verificada experimentalmente con cambios de volumen

inferiores al 0,25% para extensiones plsticas hasta de 10 rdenes de magnitud.

2) Se asume que las deformaciones principales reales permanecen paralelas a los esfuerzos principales reales durante toda la deformacin (solo casos como el de la torsin plstica severa, difieren de esta generalidad):

1 1 ; 2 2 ; 3 3

3) Se asume que la relacin de las deformaciones principales cizallantes a los correspondientes esfuerzos cizallantes principales, son iguales en cualquier etapa de la deformacin:

1- 2 = 2- 3 = 3 - 1 = C1

1- 2 2- 3 3- 1 Esta suposicin es real para una gran cantidad de casos, pero debe tenerse

en cuenta que es ms aceptable en los casos usuales de deformacin plstica que se refieren a temperaturas y velocidades de deformacin moderadas.

4) Se asume que la componente elstica de deformacin es despreciable en relacin a la componente plstica.

A partir de la primera suposicin que establece que el flujo plstico d como resultado un cambio de volumen igual a cero,

puede demostrarse que la suma de las tres deformaciones

principales es igual a cero.

Para demostrar esto, considere un paraleleppedo de

dimensiones a x b x c. El volumen original del paraleleppedo,

Vo, en su condicin no deformada es:

Vo = a.b.c

Permtase ahora que el paraleleppedo se deforme una

cantidad 1 en la direccin a, 2 en la direccin b y 3 en la

direccin c. Las dimensiones del cubo en la condicin

deformada deberan ser ahora a(1+ 1) x b(1+ 2) x c(1+ 3), y

el volumen Vs en la condicin deformada, seria:

Vs = abc (1+ 1) (1+ 2) (1+ 3)

Sin embargo como se ha sumido que no ocurre cambio de

volumen, se tendr:

Vo = Vs Combinando las dos expresiones anteriores, se obtiene:

(1+l)(1+2)(1+3) = 1

Tomando el logaritmo natural de ambos miembros y

recordando que = ln(1+), se tiene: 1 + 2 + 3 = O De la suposicin #3, podemos obtener: 1 - 2 = C1(1- 2) 1 3 = C1(1- 3) Resolviendo las tres ecuaciones anteriores

simultneamente, se obtiene: 1 = 2Ci/3 [1-1/2(2+3)]

2 = 2Ci/3 [2-1/2(1+3)]

3 = 2Ci/3 [3-1/2(1+2)]

Este conjunto de ecuaciones sera formalmente el mismo que el dado por la ley de Hook si se definiese un mdulo instantneo de plasticidad D = 3/2 Ci y un valor del mdulo de Poisson de = .

Si se conociese este valor Ci, las deformaciones principales verdaderas estaran completamente definidas en funcin de los esfuerzos principales verdaderos.

Para relacionar el comportamiento de un material en el estado multiaxial de esfuerzos o deformaciones al comportamiento uniaxial simple, se requiere la postulacin de una teora combinada de esfuerzos para el comportamiento dctil: teora de la energa de distorsin (Von Misses), o tambin llamada teora de los esfuerzos cizallantes octadricos

Las expresiones para los esfuerzos cortantes octadricos, o, y para las deformaciones cortantes octadricas o, han sido derivadas por Nadai :

o = 1/3 [(1-2)2 + (2-3)2 + (3-1)2]

o = 2/3 [(1-2)2 + (2-3)

2 + (3-1)2]

Para el caso de un ensayo uniaxial simple, el nico esfuerzo

distinto de

cero, seria 1 y el esfuerzo cortante octadrico se reducira a:

o = 1/3 [(1)2 + (1)

2] = 2/3 .1

Con un valor de Poisson de , la deformacin cortante octadrica se reduce a:

o = (2/3) . { [ 1- (- 1 / 2)]2 + [ (- 1 / 2) -(- 1 / 2)]

2 + [(- 1 / 2)- 1]

2 } = 2 .1

Que para el caso uniaxial se convierte en:

1 = 2Ci 1

3

Donde

Ci = 3 . 1

2 1

Sustituyendo esta expresin para 1 de las expresiones para o y o, se obtiene:

Ci = (3/2) (o/2) = o

(3o / 2) 2o

Ahora sustituyendo en S = k n se obtiene:

3 o = k (o/2)n

2

La cual puede ser reescrita como:

o =2 (3 o / 2 k )1/n

Utilizando esta expresin para la deformacin cortante octadrica se tiene:

Ci = (2 / 2 o) (3 o /2 k) 1/n

Suponiendo que la expresin para Ci, permanecer igual para el estado multiaxial de esfuerzos. Se tiene:

Ci = 3 (2) (-1-n)/2n (1/k)1/n [(1-2)2 + (2-3)2 + (3-1)2] (1-n)/2n

Para simplificar las siguientes expresiones del esfuerzo deformacin, se definen las siguientes relaciones:

= 2/1 ; = 3/1 ; donde 1> 2> 3

Con estas definiciones, las tres ecuaciones encerradas

anteriormente , pueden escribirse ahora como:

Un recipiente a presin de pared delgada v a ser construido de lmina de acero SAE 4340, normalizado y endurecido por deformacin en fro (temper-rolled). El recipiente tendr 18 pulgadas de dimetro externo con paredes de 1/8 pulgada, tal como se ilustra en la figura siguiente. Utilizando la teora de la deformacin proporcional de flujo plstico y empleando la teora de los esfuerzos cortantes octadricos para los esfuerzos combinados, determine la presin para la cual ocurre inestabilidad plstica. Considere solo la porcin cilndrica y desprecie los efectos de bordes o casquetes.