SUPERFICIES DE FLUENCIA DE MATERIALES

GRANULARES CEMENTADOS ANISOTRÓPICOS

DETERMINADAS MEDIANTE SIMULACIONES CON

ELEMENTOS DISCRETOS

por

ALEJANDRO COVO MEISEL

TESIS DE GRADO para obtener el título de

MAESTRÍA EN GEOTECNIA

Asesor

NICOLÁS ESTRADA MEJÍA

Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental

Facultad de Ingeniería

Universidad de los Andes

Diciembre de 2014

Índice general

1. Introducción 1

2. Simulaciones con elementos discretos 1

3. Trabajos previos 3

3.1. Superficie de fluencia 3

3.2. Anisotropía 3

4. Método de construcción mecánico 5

5. Resultados 7

6. Conclusiones 11

1

1. Introducción

La gran mayoría de suelos existentes en la tierra tienen algún grado de cementación, por lo

que son de suma importancia en la ingeniería geotécnica. Dichos suelos cuentan con una

superficie de fluencia bien definida [Leroueil y Vaughan (1990)] y son ideales para ser

representados mediante modelos elastoplásticos [Vatsala et. al. (2001)][Liu y Carter (2002)].

Dichos modelos describen el concepto de fluencia de los suelos cementados y conforman una

herramienta poderosa al ser aplicados en situaciones prácticas de la ingeniería. Éstos

contienen parámetros que son difíciles de obtener, necesitando ensayar varias muestras

“idénticas” bajo una variedad estados, y esto requiere mucho tiempo. Además, la

dependencia de estos elementos con parámetros usuales como la relación de vacíos y la

anisotropía no se ha entendido, por lo que es complicado predecirlos [Estrada y Taboada

(2013)].

Para entender mejor estos elementos conceptuales es conveniente estudiarlos en sistemas

simplificados. La simulación con elementos discretos se adapta bien a este estudio por dos

razones: permite la construcción de materiales modelo con un número limitado de parámetros

que tengan un significado físico claro, y por consiguiente, los elementos conceptuales no se

imponen como un parámetro de entrada como en los modelos que utilizan la mecánica del

continuo, sino que se generan como resultado del modelo. Por otra parte, la utilización de

este método numérico permite ensayos de la misma muestra en un sinnúmero de estados,

solucionando el problema descrito anteriormente [Estrada y Taboada (2013)].

Utilizando éstas simulaciones ha sido posible determinar propiedades mecánicas importantes

de éstos materiales descritas por su superficie de fluencia. En trabajos previos se describió la

forma de la superficie de fluencia y el impacto de la densidad del material sobre ésta [Estrada

y Taboada (2013)], mientras que en éste trabajo se determina el efecto que tiene la anisotropía

sobre la superficie de fluencia. Cabe anotar que en éstos trabajos se solo se estudiaron

materiales granulares con algún grado de cementación, como es el caso de los suelos

derivados de cenizas volcánicas; que son de suma importancia en Colombia, ya que cubren

casi la totalidad de sus cordilleras [Lizcano et. al. (2006)].

2. Simulaciones con elementos discretos

Las simulaciones se realizaron utilizando el método de la dinámica de contactos, desarrollado

por J.J. Moreau (1994) y M. Jean (1995,1999) en los años 90. Dicho método funciona para

modelar arreglos de partículas rígidas. En la publicación de Radjai y Richefeu (2009) y la de

Radjai y Dubois (2011), o en el apéndice de la publicación de Taboada et. al. (2005), pueden

encontrar una explicación detallada del método de la dinámica de contactos.

El modelo de contactos utilizado para imitar el comportamiento mecánico de los enlaces

cementados se implementó en el marco del método de la dinámica de contactos. Dicho

modelo consiste básicamente en contactos entre partículas con resistencia a la tracción, a la

fricción y al momento. Si en alguno de los contactos se alcanza alguna de éstas tres

resistencias, dicho contacto falla y solo permanece la resistencia a la fricción (ver Figura 1).

Para una explicación detallada del modelo de cementación consultar la publicación de

Estrada et. al. (2010).

2

Figura 1: Representación del modelo de contactos empleado para imitar la cementación, Estrada y Taboada (2013).

(a) Antes de la falla los enlaces soportan tracción, fricción y momentos.

(b) Después de la falla los contactos solo resisten fricción.

Para determinar la superficie de fluencia del material se generan muestras cuadradas, y a cada

muestra se le realizan una serie de ensayos biaxiales, imponiendo una serie de deformaciones

plásticas de modo que se cubra todo el espectro de deformaciones volumétricas y desviadoras

(ver Figura 2). En cada uno de éstos ensayos se registran los esfuerzos de fluencia para

construir la superficie de fluencia.

Figura 2: Conjunto de direcciones de deformaciones plásticas utilizadas en cada uno de los ensayos; la línea punteada

representa las muestras deformadas, Estrada y Taboada (2013).

3

3. Trabajos previos

3.1. Superficie de fluencia

Estrada y Taboada (2013) estudiaron la superficie de fluencia en materiales granulares

cementados con simulaciones de elementos discretos y determinaron la forma de la superficie

de fluencia en muestras isotrópicas, y cómo depende ésta superficie de la densidad del

material (Figura 3). Las superficies de fluencia más reducidas corresponden a muestras más

sueltas. En éste caso para construir las muestras primero se crearon muestras de 10,000

partículas uniformemente distribuidas entre un diámetro mínimo y cuatro veces ese diámetro.

A cada partícula se le asignó una velocidad aleatoria, de modo que se podían mover

libremente hasta formar grupo de partículas, y luego se densificaron las muestras hasta llegar

a la densidad requerida.

Figura 3: Superficies de fluencia para muestras con proporción de sólidos de: 0.4, 0.45, 0.5, 0.55 y 0.6, Estrada y Taboada

(2013).

3.2. Anisotropía

Rojas (2011) estudió el efecto de la anisotropía de éstos materiales usando las mismas

simulaciones. Las muestras se construyeron de la misma manera que en el trabajo descrito

en 3.1, pero se realizó un paso adicional para generar anisotropía en las muestras. Esto

consistió en eliminar las partículas con mayor número de contactos en la dirección horizontal,

y la forma cómo se hiso fue asignando un parámetro 𝛽 (Ecuación 1) a cada partícula, y

eliminando las partículas con mayores valores de 𝛽. En la Ecuación 1, 𝑛 es el número de

contactos de la partícula y 𝜃𝑖 son los ángulos que forman cada contacto con la horizontal

(Figura 4), de modo que las partículas con mayores valores de 𝛽 tienen mayor número de

contactos en la dirección horizontal. Utilizando éste método de generación de anisotropía se

han podido calcular superficies de fluencia para distintos valores de anisotropía e igual

densidad, evidenciando que la anisotropía genera un estiramiento en la superficie de fluencia

a lo largo de una línea de 45 grados (Figura 5).

4

𝛽 = 1𝑛⁄ ∑ (1 + cos(2𝜃𝑖))𝑛

𝑖=1 (1)

Figura 4: Ángulo 𝜽𝒊 de la ecuación 1, Rojas (2011).

Figura 5: Superficies de fluencia anisotrópicas, Covo (2012).

-0,015

-0,005

0,005

0,015

-0,015 -0,005 0,005 0,015

q*

p*

5

4. Método de construcción mecánico

El método descrito en 3.2 funciona para generar anisotropía en las muestras, sin embargo

consiste en un método totalmente geométrico y alejado de lo que ocurre realmente en la

formación del suelo. Ésta forma de generar anisotropía puede tener algún impacto sobre la

superficie de fluencia por lo que se ha decidido generar la anisotropía con un método que

involucra la mecánica del material.

Dicho método consiste en dejar caer partículas de diferentes diámetros e iguales propiedades

mecánicas en una caja hasta obtener una muestra cuadrada. Cada partícula contiene

básicamente tres propiedades mecánicas: adhesión, fricción al rodamiento y fricción al

deslizamiento.

Para lograr obtener muestras con distintas anisotropías y densidades utilizando éste método

de construcción, se varió la adhesión de las partículas entre muestra y muestra. De éste modo

se logró obtener muestras más anisotrópicas y más sueltas para valores más grandes de

adhesión y muestras menos anisotrópicas y más densas para valores más pequeños de

adhesión.

Figura 6: Variación de la anisotropía y la compacidad con la adhesión entre partículas. Mayor anisotropía significa menor

número de contactos en la horizontal y compacidad se refiere a la proporción de sólidos de la muestra.

0,15

0,25

0,35

0,45

0,55

0 20 40 60 80 100 120 140 160

An

iso

tro

pía

(-)

Adhesión (KPa)

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Co

mp

acid

ad (

-)

Adhesión (KPa)

6

Se generaron muestras de entre 5,000 y 7,000 partículas para 9 valores de adhesión distintos,

y para cada uno de estos se generaron 4 muestras distintas para obtener mejores resultados.

En la Figura 7 se observa una de las muestras construidas con el menor valor de adhesión

utilizado y otra con el mayor valor utilizado.

Figura 7: Ejemplos de muestras construidas con valores de adhesión de 3 y 144 KPa respectivamente.

7

5. Resultados

Después de ensayar todas las muestras y promediar los resultados de aquellas con igual

adhesión, obtuvimos las superficies de fluencia que se muestran a continuación (Figura 8).

Cabe anotar que los esfuerzos p* y q* son adimensionales, ya que se realizó una

normalización para que los resultados fueran independientes de la adhesión entre partículas.

Dicha normalización se realizó de la misma manera que en el trabajo de Estrada y Taboada

(2013). Adicionalmente en la Figura 9, se presenta una tabla de resultados donde se presentan

para cada adhesión utilizada, las propiedades de las partículas, los valores de anisotropía y

compacidad, una muestra, un zoom de la misma, la distribución de los contactos y la

superficie de fluencia.

-1

0

1

-1 0 1

q*

p*

-0,35

0

0,35

-0,35 0 0,35

q*

p*

-0,15

0

0,15

-0,15 0 0,15

q*

p*

-0,06

0

0,06

-0,06 0 0,06

q*

p*

8

Figura 8: Superficie de fluencia para adhesiones de 3, 6, 12, 24, 48, 72, 96. 120 y 144 KPa respectivamente

-0,025

0

0,025

-0,025 0 0,025

q*

p*

-0,02

0

0,02

-0,02 0 0,02

q*

p*

-0,015

0

0,015

-0,015 0 0,015

q*

p*

-0,01

0

0,01

-0,01 0 0,01

q*

p*

-0,01

0

0,01

-0,01 0 0,01

q*

p*

9

10

Figura 9: Tabla de resumen de resultados

Figura 10: Superficies de fluencia de arcillas blandas inalteradas y remoldeadas. Leroueil, Vaughan (1990)

11

6. Conclusiones

Al comparar las superficies de fluencia obtenidas con las simulaciones de elementos discretos

con algunas obtenidas experimentalmente, se observa una forma muy similar entre ambas;

en la Figura 10 y en la Figura 11 se aprecian superficies de fluencia experimentales de arcillas

blandas, mientras que en la Figura 12 de un limo no saturado. A pesar de obtener formas muy

parecidas a aquellas encontradas en arcillas y en limos, vemos que la orientación solo

coincide con aquella hallada en el limo, y corresponde a algo muy cercano a una línea de 45

grados.

Figura 11: Superficies de fluencia de arcillas blandas. Diaz-Rodriguez et. al. (1992)

12

Figura 12: Superficies de fluencia de un limo no saturado. Cui, Delage (1996)

Larsson (1977) propuso construir superficies de fluencia mediante líneas rectas (Figura 13),

teniendo como vértice de 90 grados el punto de fluencia de un ensayo edométrico (Ko).

Luego Leroueil y Barbosa (2000) tomaron unas superficies de fluencia de Diaz-Rodriguez

et. al. (1992) y las ajustaron mediante líneas rectas (Figura 14), determinando que el vértice

propuesto por Larsson (1977) se encuentra a un valor K* que es ligeramente mayor a Ko, lo

que le atribuyen a un posible efecto de la consolidación secundaria.

Figura 13: Superficie de fluencia propuesta por Larsson (1977)

13

Al observar las superficies de fluencia obtenidas en éste trabajo, vemos que al considerar

una ley de flujo asociada, este vértice se encuentra en el punto de fluencia cuando las

deformaciones son isotrópicas y no en el punto de fluencia del ensayo Ko. Esto explica por

qué en éste punto, el valor de K es mayor a Ko, y Leroueil (2000) propone una muy buena

aproximación para este valor en arcillas blandas en función del ángulo de fricción.

Figura 14: Superficies de fluencia ajustadas por Leroueil y Barbosa (2000)

Dada la forma de las superficies de fluencia obtenidas en éste trabajo y las obtenidas

experimentalmente, es conveniente construir superficies de fluencia utilizando líneas rectas,

tomando como vértice de 90 grados el punto de fluencia para deformaciones isotrópicas o el

valor propuesto por Leroueil (2000) en arcillas blandas.

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Referencias

Covo, A., 2012. Efecto del Número de Partículas y la Anisotropía sobre la Superficie de Fluencia de Materiales Granulares Cementados a partir de Simulaciones con Elementos Discretos. Universidad de los Andes, Colombia.

Cui, Y.J., Delage, P., 1996. Yielding and plastic behaviour of an unsaturated compacted silt. Géotechnique, 46(2):291-311.

Diaz-Rodriguez, J.A., Leroueil, S., Aleman, J.D., 1992. Yielding of Mexico City clay and other natural clays. J. Geotech. Engrg. Div., ASCE, 118(7):981-995.

Estrada, N., Lizcano, A., Taboada, A., 2010. Simulation of cemented granular materials. i. macroscopic stress-strain response and strain localization. Phys. Rev. E 82 011303.

Estrada, N., Taboada, A., 2013. Yield Surfaces and Plastic Potentials of Cemented Granular Materials from Discrete Element Simulations. Computers and Geotechnics 49 (1): 62-69.

Jean, M., 1995. in ‘Mechanics of Geometrical Interfaces’. Elsevier, New York, 463-486.

Jean, M., 1999 The non smooth contact dynamics method. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 117: 235-257.

Larsson, R., 1977. Basic behaviour of Scandinavian soft clays. Swedish Geotech. Inst., Report No 4.

Leroueil, S., Barbosa, P.S. de A., 2000. Combined effect of fabric, bonding and partial saturation on yielding of soils. In Rahardjo, Toll, Leong (eds), Asian conference on Unsaturated Soils, Singapore, Rotterdam: Balkema, pp. 527-532.

Leroueil, S., Vaughan, P.R., 1990. The general and congruent effects of structure in natural soils and weak rocks. Géotechnique, 40(3):467-488

Lizcano, A., Herrera, M.C., Santamarina, J.C., 2006. Suelos Derivados de Cenizas Volcánicas en Colombia, Rev. Int. de Desastres Naturales. Accidentes e Infraestructura Civil 6 (2): 167.

Moreau, J.J., 1994. Some numerical methods in multibody dynamics: Application to granular materials. European Journal of Mechanics, A/Solids 13 (Suppl.) (4): 93-114.

Rojas, D.M., 2011. Análisis Numérico del Efecto de la Anisotropía en la Superficie de Fluencia de Suelos Cementados. Universidad de los Andes, Colombia.

Radjai, F., Richefeu, V., 2009. Contact dynamics as a nonsmooth discrete element method. Mechanics of Materials 41 (6): 715-728.

Radjai, F., Dubois, F., 2011. Discrete-element modeling of granular materials. ISTE Ltd and John Wiley & Sons, Inc.

Taboada, A, Chang, K.-J., Radjai, F., Bouchette, F., 2005 Rheology, force transmission, and shear instabilities in frictional granular media from biaxial numerical tests using the contact dynamics method. J. Geophys. Res. 110 (9) B09202.