teoría de juegos - uned

5/17/2018 teor a de juegos - uned - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/teoria-de-juegos-uned 1/24

TEMA 1. JUEGOS EN FORMA EXTENSIVA Y NORMAL

1.1 Introducción La teoría de grafos proporciona el sustrato sobre el que basar la definición de juego en

forma extensiva. Vamos a considerar juegos en los que todos sus elementos son finitosaunque la teoría puede extenderse para superar la restricción de finitud.Al tratar los juegos en forma normal se prescindirá de la restricción de finitud sobre elnúmero de estrategias de los jugadores.

1.2 Grafos y árboles GRAFO FINITO ORIENTADO: Par (K, Γ ) con K=A,B,..., conjunto finito deelementos a los que denominamos vértices y Γ una correspondencia de A en A(subconjunto del producto cartesiano AxA) que determina los arcos del grafo.VÉRTICE CONSECUTIVO: B es consecutivo a A si ( ) A B Γ∈ . Si B es consecutivo a

A, entonces (A,B) forma un arco del grafo. A es el origen y B es el extremo del arcorespectivamente.CAMINO: Un camino es una sucesión finita de arcos tal que el extremo de cada arcocoincide con el origen del siguienteVÉRTICE POSTERIOR: B es un vértice posterior a A si existe un camino que une Acon B.VÉRTICE TERMINAL: Un vértice L es terminal si no es origen de ningún arco, esdecir, si no tiene vértices consecutivos, esto es, ( ) vacio L =Γ VÉRTICE DISTINGUIDO: Un vértice es distinguido si no existe ningún vértice delcual sea consecutivo

ÁRBOL: Un árbol es un grafo finito orientado que cumple las siguientes cuatropropiedades:1. , es decir, no existe ningún vértice que sea consecutivo de sí

mismo.( ) K A A A ∈∀Γ∉

2. Posee un único vértice distinguido K ∈03. Para todo vértice del grafo existe un camino que une a este vértice con el distinguido4. Para cualquier pareja de vértices A,B se cumple que los vértices consecutivos de A

y de B forman conjuntos disjuntos: ( ) ( ) B A B Avacio B A ≠∀=Γ∩Γ :),(

1.3 Juegos en forma extensiva

JUEGO n-PERSONAL EN FORMA EXTENSIVA: Estructura matemática que regulael comportamiento de n jugadores J1,..., Jn y del azar –J0-, y que consta de los siguienteselementos:1) Un grafo (K, ) de tipo árbolΓ2) Una partición de K en n+2 subconjuntos representados por K1,...,Kn, K0 y K* donde

Ki es el conjunto de vértices del i-ésimo jugador, K0 es el conjunto de vértices delazar y K* es el conjunto de vértices terminales del árbol o consecuencias.

3) Una distribución de probabilidad definida sobre los arcos que salen de cada uno delos vértices de azar.

4) Una partición de los vértices de cada jugador . A

cada uno de los conjuntos se le llama conjunto de información del jugador J

in

iiiii K K K K K ∪∪∪∪= ...321

i y

cumplen que:

Teoría de Juegos. Primera prueba. Ciencias Matemáticas. UNED. Página 1



a) Si B es posterior a A, entonces A y B no pueden formar parte del mismoconjunto de información.

b) Si A y B son dos vértices del mismo conjunto de información entonces elnúmero de arcos que parten de A y B es el mismo.

5) Para todo conjunto de información de cada jugador se define un conjunto de

índices y una aplicación biunívoca

j

i K j

i I ( ) A I ji Γ→ que identifica cada una de lasalternativas posibles a partir de cada conjunto de información

6) Una n-tupla de funciones [ ])(),...,()( 1 Rh Rh Rh n= definida sobre los vértices

terminales que determina el pago que recibirá cada uno de los jugadores.7) Todos los jugadores conocen las reglas del juego y tienen establecido un sistema de

preferencias sobre los resultadosMOVIMIENTOS PERSONALES DEL JUGADOR i-ÉSIMO: Cada uno de los vérticesKi

ALTERNATIVAS: Cada uno de los arcos que parten de cada movimiento personalMOVIMIENTOS DE AZAR: Cada uno de los vértices del azar

JUGADAS DE AZAR: Arcos que parten de los vértices de azarCONSECUENCIAS: Cada uno de los vértices terminales.PARTIDA o CURSO DE DESARROLLO: Cada uno de los caminos c(0,R) que unen alvértice distinguido con un vértice terminal

1.4 El concepto de estrategia pura Un jugador es incapaz de distinguir entre aquellos vértices que se encuentran dentro delmismo conjunto de información. Una estrategia pura para un jugador es una funcióndefinida sobre sus conjuntos de información y que determina qué alternativa elegirácuando se encuentre en un vértice correspondiente a cada conjunto de información.

ESTRATEGIA PURA: Una estrategia pura iπ del jugador Ji es una aplicación delconjunto i j

ii K K ,...,1 en el conjunto de índices i j

ii I I ,...,1 definida de la siguiente

manera: ) ( ) j

i

j

ii I av K ∈=π , donde v(a) es la alternativa de índice v(a) que el jugador J i

elige si sabe que se encuentra en el conjunto de información . j

i K

Se puede establecer una correspondencia biunívoca entre el conjunto de todas lasestrategias puras de un jugador y el producto cartesiano de los conjuntos de índices delmismo jugador.Una estrategia pura probabiliza el grafo otorgando la probabilidad 1 a aquellasalternativas que salen de un movimiento del jugador que han resultado elegidas por laestrategia pura y la probabilidad 0 a las demás alternativas. Cuando todos los jugadoreseligen su estrategia pura, el grafo queda completamente probabilizado de manera única.

1.5 Forma normal de un juego En la forma normal de un juego cada uno de los jugadores actúa una única vezcomunicando su estrategia pura a un juez imparcial. El juez imparcial juega el juego ensustitución de todos los jugadores y se realizan los pagos correspondientes.FORMA NORMAL DE UN JUEGO: La forma normal de un juego es una (n+1)-tupla

donde es el conjunto de estrategias puras del jugador i-ésimo y M es

una función vectorial definida sobre

( M n ,,...,1 ΠΠ ) iΠ

( )

( ) *

...1

K R

n

Rh

R P

∈

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ →Π××Π que a cada elemento

del producto cartesiano de los conjuntos de estrategias puras de los jugadores –es decir,




a cada posible combinación de estrategias puras- le hace corresponder una distribuciónde probabilidad sobre los vértices terminales –P(R)- y un conjunto de pagos para los

jugadores correspondientes al vértice terminal R.En muchas ocasiones, la función vectorial M se convierte en n funciones de la siguienteforma: ( ) ( ) ( )( )∑

∈

=*

,...,1

K R

iini RhU R P M π π

JUEGOS DE SUMA NULA O SUMA CERO: Son aquellos en los que existendeterminaciones de las funciones de utilidad de los jugadores de manera que

( )∑=

Π××Π∈∀=n

i

ni M 1

1 ...0 π π

1.6 n-tuplas de equilibrio

n-TUPLA DE EQUILIBRIO: Sea ( )nn M M ,...,,,..., 11 ΠΠ un juego en forma normal.

Decimos que la n-tupla **1

* ,..., nπ π π = es una n-tupla de equilibrio si

ni M M niinii ,...,1,...,,...,,...,,...,**

1

***

1 ∈∀≥ π π π π π π , esto es, si ningún jugadorpuede mejorar su resultado mediante la elección de otra estrategia pura suponiendo quelos demás mantienen sus estrategias puras.

TEMA 2. DESCOMPOSICIÓN DE JUEGOS EN FORMAEXTENSIVA

2.1 Conceptos y definiciones Se plantea el problema de descomponer un juego en forma extensiva. Estadescomposición es posible siempre que no afecte a los conjuntos de información de los

jugadores.

JUEGO QUE SE PUEDE DESCOMPONER EN UN VÉRTICE: El juego se

puede descomponer en un vértice( )Γ, K

χ del grafo –con χ un vértice no terminal nidistinguido- si no existen conjuntos de información que contengan a la vez puntos delconjunto formado por χ y sus posteriores –al que llamaremos χ Γ - y del resto del grafo

–denotado por χ

Γ -. Es decir, un juego se puede descomponer en un vértice si al

hacerlo no se “rompe” ningún conjunto de información. Resulta obvio que si un juegose puede descomponer en un vértice χ , entonces χ debe ser por sí solo un conjunto de

información de algún jugador (recuérdese que los vértices posteriores a χ no puedenformar parte del mismo conjunto de información que χ y por otra parte, la posibilidadde descomponer el juego en χ hace que χ no esté en el mismo conjunto de

información que cualquier vértice de χ

Γ . Así, los únicos vértices que serán

“candidatos” a descomponer un juego en ellos son aquellos que constituyen un conjuntode información por si mismos, teniendo en cuenta que el hecho de que constituyan unconjunto de información por sí mismos no garantiza que en ellos se pueda descomponerel juego –podría ocurrir que se “rompa” un conjunto de información de algún vérticeposterior a χ -.




χ Γ es un juego tal y como está. Por el contrario, χ

Γ no es juego, ya que le falta añadir

el vértice terminal –de este juego- χ y asignarle un pago para cada uno de los jugadores.Dada una estrategia pura iπ de un jugador –que recordemos, es una aplicación de sus

conjuntos de información en los conjuntos de índices- esta estrategia se ve afectada porla descomposición en χ . Como ningún conjunto de información se rompe, cada

conjunto de información del jugador i se encuentra ahora bien en χ Γ bien en χ

Γ .

Vamos a llamar χ

π Γi a la restricción de la estrategia pura iπ a los conjuntos de

información que se encuentran en χ Γ y χ

π Γia la restricción de la estrategia pura iπ a

los conjuntos de información de i que se encuentran en χ

Γ .

Cada estrategia pura iπ determina unívocamente un par de estrategias puras

( χ π Γi , χ π Γi ). Recíprocamente, cada par ( χ π Γi , χ

π Γi ) determina unívocamente una

estrategia pura iπ .

2.2 Asignación de pagos al grafo cociente

Teorema 1: Si π es una n-tupla del juego ( )Γ, K y χ

π Γ es la n-tupla inducida en el

juego cociente χ

Γ con el pago asociado a χ dado por ( ) χ χ

π π χ ΓΓ= M M entonces se

verifica que ( ) ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ = ΓΓ χ χ

π π M M .

Teorema 2: Supongamos que ( )Γ, K se puede descomponer en el vértice χ y sea π una

n-tupla tal que χ

π Γ y χ

π Γ son n-tuplas de equilibrio de los juegos χ Γ y χ

Γ

respectivamente -este último con el pago asociado a χ dado por ( ) χ χ

π π χ ΓΓ= M M -.

Entonces, π es una n-tupla de equilibrio del juego ( )Γ, K .

Teorema 3: Si π es una n-tupla del juego ( )Γ, K yk χ χ

π ,...,1

Γ es la n-tupla inducida en el

juego cocientek χ χ ,...,1

Γ con el pago asociado a k j χ χ χ ,...,,...,1 dado por

( ) j j j M M χ χ π π χ ΓΓ= entonces se verifica que ( ) ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ = ΓΓ

k k

M M χ χ χ χ

π π ,...,,..., 11

.

Teorema 4: Supongamos que ( )Γ, K se puede descomponer en los vértices

k j χ χ χ ,...,,...,1 y sea π una n-tupla tal que j χ

π Γ yk χ χ

π ,...,1

Γ son n-tuplas de equilibrio

de los juegos ,..., ,..., y1 χ Γ

j χ Γk χ Γ

k χ χ ,...,1

Γ respectivamente -este último con el pago

asociado a k j χ χ χ ,...,,...,1 dado por ( ) j j j

M M χ χ

π π χ ΓΓ= -. Entonces, π es una n-tupla

de equilibrio del juego .( )Γ, K




2.3. Juegos de información perfecta Un juego de información perfecta es aquel en el que, en todo momento, todo jugadorestá perfectamente informado de lo que han hecho todos los jugadores (incluyéndose asi mismo y también al azar). En términos de los conjuntos de información, un juego esde información perfecta cuando todos los conjuntos de información están formados porun único vértice (no es posible confundir dos vértices).La ventaja que proporcionan los juegos de información perfecta es que de la aplicaciónde los teoremas 1,2,3 y 4 se puede encontrar una forma muy sencilla de encontrar una n-tupla de equilibrio para el juego global a partir de n-tuplas de equilibrio de los juegosparciales. Como todo vértice es un conjunto de información, el juego puededescomponerse en cualquier vértice y, en particular, en aquellos vértices anteriores a losterminales. Así, las n-tuplas de equilibrio de estos subjuegos son precisamente lascorrespondientes a las mejores alternativas para el único jugador implicado.Procediendo hacia el origen del juego llegaremos a construir una n-tupla de equilibriopara el juego global. Este resultado es cierto si el juego es finito y se recoge en el

teorema 5.JUEGO DE INFORMACIÓN PERFECTA: Un juego en forma extensiva se diceque es de información perfecta si todos los conjuntos de información de todos los

jugadores están formados por un único vértice.

( Γ, K )

Teorema 5: Todo juego finito de información perfecta posee al menos una n-tupla deequilibrio

TEMA 3. JUEGOS BIPERSONALES DE SUMA CEROEl resto de temas se van a centrar en estudiar una clase especial de juegos en los quesólo intervienen dos jugadores –y eventualmente el azar- en el que los intereses deambos contendientes son contrapuestos, en el sentido de que lo que uno gane lo pierdeel otro. Estos juegos reciben el nombre de juegos bipersonales de suma cero.

3.1 Definiciones Vamos a considerar únicamente juegos en forma normal.JUEGO EN FORMA NORMAL: (ver definición en el punto 1.5) Un juego n-personalen forma normal es una estructura formada por n conjuntos no vacíos X1,...,Xn llamadosespacios de estrategias puras de los jugadores J1,...,Jn y n funciones reales acotadas

M1,...,Mn definidas sobre y que representan el pago para cada uno de los

jugadores correspondiente a cada elemento del producto cartesiano de los espacios deestrategias puras.

∏=

n

i

i X 1

JUEGO DE SUMA CERO: Un juego n-personal en forma normal es de suma cero si

( ) ( )∑ ∏= =

∈∀=n

i

n

i

inni X x x x x x x M 1 1

2121 ,...,,0,...,,

JUEGO BIPERSONAL DE SUMA CERO: Un juego bipersonal de suma cero es unaterna (X,Y,M) donde X e Y son los conjuntos de estrategias puras del primer y segundo

jugador respectivamente y M es una función real acotada definida sobre Y X × y querepresenta el pago al primer jugador cuando J1 elige la estrategia pura y J X x ∈ 2 eligela estrategia pura Y y ∈




3.2 Equivalencia de juegos REDUCCIÓN DE UN JUEGO BIPERSONAL DE SUMA CERO: Se dice que el juegoG’=(X’,Y’,M’) es una reducción del juego G=(X,Y,M) y lo representamos por G’rG sise verifica alguna de las condiciones siguientes:

• X=X’ y existe una aplicación sobreyectiva g:Y en Y’ tal que M’(x,g(y))=M(x,y)para todo X x ∈ y para todo Y y ∈ , esto es, el espacio de estrategias puras delprimer jugador es idéntico en ambos juegos y para cualquier estrategia pura delsegundo jugador en G, y, existe una estrategia pura y’=g(y) del segundo jugadoren Y’ que tiene el mismo pago que y para todo estrategia pura del primer

jugador. Se trata de eliminar aquellas estrategias puras de Y que resultanredundantes e identificar todas las estrategias puras de J2 que suponen el mismopago.

• Y=Y’ y existe una aplicación sobreyectiva f:X en X’ tal que M’(f(x),y)=M(x,y)para todo X x ∈ y para todo Y y ∈ . Ahora se trata de agrupar e identificarestrategias puras de J1 que tienen el mismo pago para todas las estrategias puras

de J2.JUEGOS EQUIVALENTES: Dos juegos G y G’ son equivalentes si existe una sucesiónfinita de juegos G0,...,Gn tal que G=G0, G’=Gn y Gi-1rGi o GirGi-1.JUEGO BIPERSONAL DE SUMA NULA FINITO: Un juego bipersonal de suma nulase dice finito cuando los conjuntos de estrategias puras de ambos jugadores son finitos.JUEGO RECTANGULAR O JUEGO MATRICIAL: Un juego bipersonal de suma nulaGA se dice rectangular o matricial cuando su forma es (Im,In,A) siendo Im=1,...,m,In=1,2,...,n y A=(aij) con i=1,...,m; j=1,...,n. La función de pago queda definida por lamatriz A haciendo M(i,j)=aij. Todo juego finito es equivalente a un juego matricial(obvio). Existen juegos infinitos que son equivalentes a juegos matriciales.JUEGO ESENCIALMENTE FINITO: Un juego esencialmente finito es un juegobipersonal de suma nula equivalente a un juego matricial. Todo juego finito esesencialmente finito, pero existen algunos juegos infinitos que también lo son.

3.3 Elementos esenciales de un juego bipersonal de suma cero Sea G=(X,Y,M) un juego bipersonal de suma cero.Si el primer jugador elige una estrategia pura x de X, lo peor que le puede ocurrir esque el segundo jugador elija aquella y de Y tal que se dé el ínfimo de la función de

pago. Así, el primer jugador estará interesado en la función y

elegirá aquella estrategia pura x de X que haga que esta función tome su valor supremo,

esto es, , valor al que se conoce como valor inferior del juego G.

( ) ( ) y x M Y y

xG ,inf

∈=Λ

( ) *supGG x

X xλ =Λ

∈

Análogamente, si el segundo jugador elige la estrategia pura y de Y, lo peor que le puede ocurrir es que el primer jugador elija aquel x de X tal que se dé el supremo de la

función de pago, es decir, J2 estará interesado en la función . J2

elegirá aquella estrategia pura y de Y que lleve al ínfimo de esa función, es decir,

, valor al que se conoce como valor superior del juego G.

( ) ( ) y x M X x

yG ,sup

∈=γ

( ) yY y

V GG γ ∈

=inf *

Intuitivamente se ve que el valor inferior de un juego no puede ser superior al valorsuperior del juego, esto es, .**

GG V ≤λ




JUEGO ESTRICTAMENTE DETERMINADO O QUE POSEE VALOR: Un juegobipersonal de suma nula se dice que está estrictamente determinado o que posee valor siel valor inferior y el valor superior del juego coinciden. En ese caso, se dice que

es el valor del juego.GGG V V == **λ

ESTRATEGIA ÓPTIMA: Si un juego bipersonal de suma nula está estrictamentedeterminado, se dice que una estrategia x0 de J1 es óptima si ( ) GGG V x ==Λ *

0 λ , esto es,si garantiza a J1 alcanzar el valor del juego. Análogamente, una estrategia y0 de J2 sedice óptima si . Un juego estrictamente determinado puede no tener

estrategias óptimas si el supremo o el ínfimo de las funciones correspondientes no sonalcanzables. En ese caso se dice que existen estrategias

( ) GGG V V y == *0γ

ε -óptimas. (Ver estrategiamaximín y minimax en el apartado 4.3).Teorema 1: Sean G y G’ dos juegos bipersonales de suma nula equivalentes. Entoncesel valor inferior de ambos juegos coincide y también coincide el valor superior deambos juegos. Como corolario de este teorema se tiene que si un juego bipersonal desuma nula posee valor también lo posee cualquier juego que sea equivalente a él –yademás, el valor coincide-. También se deduce que si un juego posee estrategiasóptimas también las tiene cualquier juego que sea equivalente a él.

3.4 Puntos de silla PUNTO DE SILLA: Sea M una función definida en el producto cartesiano XxY y convalores en la recta real. Decimos que un punto (x0,y0) es un punto de silla si se verifica

, esto es, si en (x( ) ( ) ( y x M y x M y x M ,,, 0000 ≤≤ ) 0,y0) se alcanza el mínimo de la

función M(x,y) considerada como función de y y simultáneamente se alcanza elmáximo de la función M(x,y) considerada como función de x.Teorema 2: Si la función de pago del juego G=(X,Y,M) posee un punto de silla,

digamos (x0,y0), entonces el juego está estrictamente determinado y además x0 e y0 sonestrategias óptimas para J1 y J2 respectivamente. El valor del juego es VG=M(x0,y0).Teorema 3: Si el juego G=(X,Y,M) está estrictamente determinado y además el ínfimo yel supremo son sustituibles por el mínimo y el máximo respectivamente, entonces el

juego tiene estrategias óptimas y además existe un punto de silla definido por lasestrategias óptimas.Teorema 4: Si la función de pago tiene dos puntos de silla –digamos (x0,y0) y (x1,y1)-entonces (x0,y1) y (x1,y0) son también puntos de silla y la función de pago toma elmismo valor en todos ellos.En los juegos bipersonales de suma nula, los conceptos de bitupla de equilibrio y puntode silla son equivalentes, es decir, toda bitupla de equilibrio se corresponde con unpunto de silla de la función de pago y viceversa.

3.5. Resumen

En todo juego bipersonal de suma cero se cumple que .**GG V ≤λ

Si un juego posee valor, , entonces posee estrategias**GG V =λ ε -óptimas.

Si un juego posee valor, , y el ínfimo y el supremo se pueden sustituir

respectivamente por el mínimo y el máximo, entonces posee estrategias óptimas yademás, toda combinación de estrategias óptimas de ambos jugadores constituye unpunto de silla de la función de pago.

**GG V =λ

Recíprocamente, si la función de pago M posee un punto de silla, entonces el juegotiene valor y existen estrategias óptimas. Si la función de pago posee un punto de silla el




primer jugador puede garantizarse un pago igual al valor del juego y el segundo jugadorpuede garantizarse no pagar más del valor del juego, eligiendo ambos estrategiasóptimas. Este concepto de solución coincide con el de bitupla de equilibrio.Nos queda por estudiar qué ocurre cuando la función de pago no tiene puntos de silla.

TEMA 4. EXTENSIÓN MIXTA DE UN JUEGOBIPERSONAL DE SUMA CERO

4.1 Necesidad de extender el concepto de estrategia pura

Para todo juego bipersonal de suma cero se cumple . En el tema anterior hemos

desarrollado una teoría satisfactoria para el caso en que . Vamos a desarrollar

una teoría satisfactoria para encontrar estrategias óptimas en el caso en que ,

cosa que ocurre cuando en la función de pago no existen puntos de silla. Para ellonecesitamos extender el concepto de estrategia pura al de estrategia mixta.

**GG V ≤λ

**GG V =λ

**GG V <λ

4.2 Definición general de la extensión mixta Dado un juego bipersonal de suma nula G=(X,Y,M) con M función real acotadasupongamos que sobre X e Y tenemos definidas sendas sigma-álgebras querepresentaremos por AX y AY respectivamente. A estas sigma-álgebras les exigimos quecontengan a todos los subconjuntos discretos de X y de Y.ESTRATEGIA MIXTA: Una estrategia mixta del primer jugador es una distribución deprobabilidad definida sobre (X, AX). Si representamos por X* al conjunto de todas lasestrategias mixtas de J1, una estrategia mixta verificará:

[ ]

( )

( ) disjuntossonlossi

1

1,0:

11i

i

i

i

i

X

A A A

X

A

∑∞

=

∞

=

=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

→

ξ ξ

ξ

ξ

U

y análogamente si denotamos por Y* el conjunto de estrategias mixtas del segundo jugador.EXTENSIÓN DE LA FUNCIÓN DE PAGO A LAS ESTRATEGIAS MIXTAS: Dadas

, estrategias mixtas de Jηξ y 1 y J2 respectivamente se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∫∫ ==×=× Y X X Y Y X

yd xd y x M xd yd y x M y xd y x M M η ξ ξ η η ξ η ξ ,,,,

IDENTIFICACIÓN DE LAS ESTRATEGIAS PURAS CON UN SUBCONJUNTO DE

LAS ESTRATEGIAS MIXTAS: por la inclusión de todos los conjuntos discretos de Xy de Y, respectivamente en AX y AY , las estrategias puras de J1 y J2 no son sino casosparticulares de las estrategias mixtas. Una estrategia pura x0 de J1 viene representada poruna distribución de probabilidad –estrategia mixta- que asigna el valor 1 a aquellossubconjuntos de X que contienen a x0 –en particular, al propio x0 - y 0 a aquellos que nolo contienen y análogamente para las estrategias puras de J2.EXTENSIÓN MIXTA DE UN JUEGO BIPERSONAL DE SUMA NULA: SeaG=(X,Y,M) un juego bipersonal de suma nula. Al juego E(G)=(X*,Y*,M) donde X* e Y* representan el conjunto de todas las estrategias mixtas de J1 y J2 respectivamente ydonde ( ) ( ) ( ) ( )[∫ ×

×=Y X

y xd y x M M η ξ η ξ ,, ] para todo y para todo se le

llama extensión mixta de G.

* X ∈ξ *

Y ∈η




4.3 Relación entre los elementos de un juego y los de su extensión mixta

Los espacios de estrategias mixtas de los dos jugadores de un juego bipersonal de sumanula son convexos, es decir, cualquier combinación lineal convexa de estrategias mixtases una estrategia mixta.Teorema 1: Si G=(X,Y,M) es un juego bipersonal de suma nula y E(G) es su extensiónmixta entonces se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )*

G E

*

GG E λ λξ ,y M Y y

M Y

≤∈

=∈

=Λ yinf

,inf

* η ξ η

ξ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )*

G

*

G E G E V V x, M X x

M X

≤∈

=∈

= ysup

,sup

* η η ξ ξ

η γ

Es decir, para calcular la función ( ) ( )ξ G E Λ no es necesario considerar todas las

estrategias mixtas de J2 sino tan solo sus estrategias puras y análogamente para lafunción ( ) ( )η γ G E . Por otra parte, resulta evidente que ya que

. Análogamente

para

( )*

G E

*

G λ λ ≤

( ) ( ) ( ) *

G*G E X y X x,y M Y y X x

yξ ,y M Y y X ξ

⊂∈∈

=∈∈

=inf supinf sup ** λ λ

( )*

G

*

G E V V ≤

Además, como se tiene que si el juego tiene valor en estrategias

puras –esto es, si está estrictamente determinado, entonces el juego tiene valor enestrategias mixtas y el valor coincide y cualquier estrategia óptima de G será unaestrategia óptima de E(G).

( ) ( )*

G

*

G E

*

G E

*

G V V λ λ ≤≤≤

En el tema anterior hemos desarrollado una teoría satisfactoria para aquellos juegos enlos que . Aunque sabemos que, en general, se cumple que

esperamos que, en una amplia variedad de juegos, suceda

y entonces tendríamos una teoría satisfactoria para E(G). En los

siguientes temas buscaremos condiciones suficientes para que la extensión mixta de un juego esté estrictamente determinada (en concreto, el teorema del minimax generalizadoda condiciones suficientes para que la extensión mixta de un juego esté estrictamentedeterminada).

( ) ( )*

G

*

G E

*

G E

*

G V V λ λ ===

( ) ( )*

G

*

G E

*

G E

*

G V V λ λ ≤≤≤

( ) ( )*

G

*

G E

*

G E

*

G V V λ λ ≤=≤

JUEGO QUE TIENE VALOR: Sea G=(X,Y,M) un juego bipersonal de suma nula y seaE(G) su extensión mixta. Si E(G) tiene valor puro vE(G), entonces diremos que el juegoG tiene valor v=vE(G) y a cualquier estrategia óptima de E(G) la llamaremos estrategia

óptima de G.ESTRATEGIA MAXIMÍN Y ESTRATEGIA MINIMAX: Sea G=(X,Y,M) un juegobipersonal de suma nula. Si existe una estrategia mixta tal que

entonces a se le llama una estrategia maximín del jugador J

*0 X ∈ξ

( ) ( ) ( )*

0 G E G E λ ξ =Λ *0 X ∈ξ 1.

Análogamente, si existe una estrategia tal que*0 Y ∈η ( ) ( ) ( )

*0 G E G E V =η γ entonces se

dice que es una estrategia minimax del jugador J*0 Y ∈η 2. Si E(G) tiene valor, las

estrategias maximín y minimax son estrategias óptimas del juego. Toda estrategiaóptima de J1 es maximín y toda estrategia óptima de J2 es minimax. Si el juego tienevalor, entonces toda estrategia maximín de J1 es óptima y toda estrategia minimax de J2

es óptima.




4.4 Sigma-álgebras intrínsecas Para definir las estrategias mixtas ha sido necesario definir sobre los espacios deestrategias puras X e Y sendas sigma-álgebras a las que hemos exigido que incluyan atodos los subconjuntos discretos de X y de Y respectivamente. Así, hemos conseguidoque las estrategias puras sean un caso particular de las estrategias mixtas.Se trata ahora de aprovechar la existencia de una función M –función de pago- sobre elproducto cartesiano XxY para construir unas métricas sobre X e Y que nos lleven a ladefinición de sigma-álgebras apropiadas -¡cuidado!: la construcción que vamos a hacerno garantiza que las sigma-álgebras incluyan a todos los subconjuntos discretos-.Sea G=(X,Y,M) un juego bipersonal de suma cero. Vamos a definir una métrica en Xdel siguiente modo: para cada par de estrategias puras x y x’ de X se define la distancia

entre ellas por ( ) ( ) ( ) y x M y x M Y y

x x ,',sup

',1 −∈

= ρ .

Análogamente, para cada par de estrategias puras y,y’ de Y se define

( ) ( ) ( )',,

sup

',2 y x M y x M X x y y −∈= ρ Estas distancias definen sendas semimétricas en X e Y que nos llevan a definir unatopología basada en los sistemas de bolas abiertos ( ) ( ) ε ε <∈= ',:'; 1 x x X x x I y

( ) ( ) ε ρ ε <∈= ',:'; 2 y yY y y I

TEMA 5. JUEGOS RECTANGULARES O MATRICIALESTodo juego bipersonal de suma nula esencialmente finito es equivalente a un juegorectangular o matricial. En este tema se enuncia el “teorema del minimax” que afirmaque cualquier juego bipersonal de suma nula y finito –que obviamente es equivalente a

un juego matricial- posee valor en estrategias mixtas y los jugadores tienen estrategiasóptimas.

5.1 Definición JUEGO RECTANGULAR O JUEGO MATRICIAL: Un juego bipersonal de suma nulaGA se dice rectangular o matricial cuando su forma es (Im,In,A) siendo Im=1,...,m,In=1,2,...,n y A=(aij) con i=1,...,m; j=1,...,n. La función de pago queda definida por lamatriz A –llamada matriz de pagos del primer jugador- haciendo M(i,j)=a ij. Todo juegofinito es equivalente a un juego matricial (obvio). Existen juegos infinitos que sonequivalentes a juegos matriciales.PUNTO DE SILLA DE UNA MATRIZ: En el apartado 3.4 se ha definido el concepto

de punto de silla para una función M definida sobre el producto cartesiano XxY y convalores en la recta real. En el caso de los juegos matriciales o rectangulares, la funciónde pagos M viene dada por la matriz A. De este modo, es posible encontrar unparalelismo entre el concepto de punto de silla de una función y punto de silla de unamatriz. Se dice que un elemento ai*j* de la matriz A es un punto de silla de la matriz sies simultáneamente el mínimo de su fila y el máximo de su columna, esto es si a ij* <=ai*j* <=ai*j para todo i y para todo j. Si la matriz posee un punto de silla la función depago posee un punto de silla y el juego matricial tiene valor en estrategias puras. En elcaso de que no exista un punto de silla en la matriz deberemos considerar la extensiónmixta del juego.




5.2 Extensión mixta de un juego rectangular y propiedades En este apartado vamos a aplicar al caso particular de los juegos rectangulares losresultados generales que obtuvimos en los apartados 4.2 y 4.3 en los que nos referíamosa la extensión mixta de un juego bipersonal de suma cero.ESTRATEGIA MIXTA PARA UN JUEGO MATRICIAL: Hemos visto que unaestrategia mixta para el primer jugador en un juego bipersonal de suma cero es unadistribución de probabilidad definida sobre (X, AX). En este caso, dada la finitud delespacio de estrategias puras del primer jugador se tiene que una estrategia mixta para el

primer jugador en un juego matricial es una m-pla (x1,x2,...,xm) que representa unadistribución de probabilidad sobre el espacio de estrategias puras Im. Análogamente, unaestrategia mixta para el segundo jugador en un juego matricial es una n-pla de la forma(y1,...,yn) que determina una distribución de probabilidad sobre el conjunto deestrategias puras del segundo jugador. De este modo, el conjunto de todas las estrategiasmixtas X* del primer jugador será el conjunto de todas las m-plas (x1,...,xm) tales quexi>=0 para todo i y x1+...+xm=1. El conjunto de todas las estrategias mixtas del segundo

jugador, Y

*

, es el conjunto de todas las n-plas (y1,...,yn) tales que y j>=0 para todo j yy1+...+yn=1.Es decir, una estrategia mixta ξ del primer jugador tiene la forma (x1,...,xm) y elconjunto de todas las estrategias mixtas del primer jugador –al que llamamos S m- es

( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=∈∀≥= ∑=

m

i

iimm xmi x x xS 1

1 1:,...,10:,...,

Análogamente, una estrategia mixta η del segundo jugador tiene la forma (y1,...,yn) y elconjunto de todas las estrategias mixtas del segundo jugador –al que llamamos Sn- es

( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=∈∀≥= ∑=

n

i

iinn yni y y yS 1

1 1:,...,10:,...,

Por ejemplo, S2 es el segmento de recta y=1-x contenido entre los ejes de coordenadasen el primer cuadrante. S3 es la parte del plano x+y+z=1 contenido entre los tres ejes decoordenadas.EXTENSIÓN DE LA FUNCIÓN DE PAGO PARA UN JUEGO MATRICIAL: Hemosvisto en el tema 4 que la forma natural de extender la función del pago al productocartesiano de los conjuntos de estrategias mixtas venía dada por la expresión

.( ) ( ) ( ) ([ ]∫ ××=

Y X y xd y x M M η ξ η ξ ,, )

Ahora, la probabilidad asignada a la combinación de la estrategia pura i-ésima delprimer jugador con la estrategia pura j-ésima del segundo jugador viene dada por elproducto xiy j , de donde se deduce que la forma que toma ahora la función de pago paralas estrategias mixtas es

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

==×= ∫ ×

nmnm

n

mY X

y

y

aa

aa

x x A y xd y x M M ...

...

.........

...

,...,',,1

1

111

1η ξ η ξ η ξ

Aplicando los resultados de la sección 4.3 tenemos que

( ) ( ) ( ) jG E P ξ

n j

Mínξ ,y M

Y y'

,...,1

inf

∈=

∈=Λ ξ

( ) ( ) ( )

η η η γ iG E Qmi

Max x, M

X x'

,...,1

sup

∈=

∈=




5.3 Teorema fundamental

Dado que las funciones ( ) ( )ξ G E Λ y ( ) ( )η γ G E definidas respectivamente sobre Sm y Sn

son continuas y los conjuntos sobre los que están definidas son compactos –obviamenteson cerrados y acotados-, existen estrategias maximín y minimax para el primer y

segundo jugador respectivamente.Sólo falta demostrar que todo juego rectangular posee valor para afirmar que estasestrategias maximín y minimax son estrategias óptimas del juego.TEOREMA DEL MINIMAX: Todo juego matricial posee valor en estrategias mixtas ycomo todo juego matricial tiene al menos una estrategia maximín para J1 y unaestrategia minimax para J2, se tiene que todo juego matricial tiene estrategias mixtasóptimas. A los conjuntos de estrategias óptimas de J1 y J2 en el juego matricialGA=(Im,In,A) los representamos por O(J1;A) y O(J2;A) y quedan definidos por:

( ) ( )

( ) ( ) vS A J O

vS A J O

n

m

=∈=

=Λ∈=

002

001

:;

:;

η γ η

ξ ξ

El teorema fundamental afirma que O(J1;A) y O(J2;A) de un juego matricial son novacíos.

TEMA 6. MÉTODOS GEOMÉTRICOS DE RESOLUCIÓNDE JUEGOS MATRICIALESEn este tema se dan tres métodos geométricos para la resolución de juegos matriciales orectangulares.

6.1 Método basado en la demostración del teorema fundamental

Método aplicable a los juegos matriciales 2xn y mx2.Primer caso: Se trata de resolver un juego (2xn) con matriz de pagos

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

n

n

aa

aa A

221

111

...

...

• Se dibujan los puntos en unos ejes de coordenadas colocando la

variable t

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

j

j

j a

a P

2

1

1 en abscisas y la variable t2 en ordenadas.• Se construye la envoltura convexa de los P j, que será un poliedro al que

denominaremos S*.

• Se deslizan a lo largo de la diagonal del primer y del tercer cuadrantes (esto es, alo largo de la recta de ecuación t2=t1 escuadras de la formahasta que toquen al conjunto S( ) at at t t T a ≤≤= 2121 ,:, * “por abajo”, es decir,

consideramos aquella escuadra donde*aT vacioS T aa a =∩= ** :sup

• El valor del juego es precisamente a*.• La estrategia óptima del primer jugador viene dada por la ecuación del

hiperplano que separa los conjuntos -interior de - y S*aT & *a

T *, de manera que si

la ecuación de dicho hiperplano es u1t1+u2t2=c, la estrategia óptima del primer

jugador viene dada por ( )⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

++

=21

2

21

10 ,

uu

u

uu

ut ξ . Puede haber más de una

estrategia óptima para el primer jugador.




• La estrategia óptima del segundo jugador viene dada por la intersección. Puede haber más de una estrategia óptima para el segundo jugador.*

* S T a

∩

Segundo caso: Se trata de resolver un juego matricial (mx2) con matriz de pagos

Se dibujan los puntos en unos ejes de coordenadas colocando la variable

q

( 21 ,' iii aaQ = )

1 en abscisas y la variable q2 en ordenadas.

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=21

1211

......mm aa

aa

A

• Se construye la envoltura convexa de los Q’ i, que será un poliedro al quedenominaremos R*.

• Se deslizan a lo largo de la diagonal del primer y del tercer cuadrantes (esto es, alo largo de la recta de ecuación q2=q1 escuadras de la forma

hasta que toquen al conjunto R* “por arriba”, es

decir, consideramos aquella escuadra donde

( ) bqbqqqQb ≥≥= 2121 ,:,

*bQ vacio RQbb b=∩=

**

:inf • El valor del juego es precisamente b*.• La estrategia óptima del segundo jugador viene dada por la ecuación del

hiperplano que separa los conjuntos -interior de - y R*bQ& *b

Q*, de manera que si

la ecuación de dicho hiperplano es u1q1+u2q2=c, la estrategia óptima del segundo

jugador viene dada por ( ) ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++=

21

2

21

10 ,

uu

u

uu

ut η . Puede haber más de una

estrategia óptima para el segundo jugador.• La estrategia óptima del primer jugador viene dada por la intersección .

Puede haber más de una estrategia óptima para el primer jugador.

** RQ

b∩

6.2 Segundo método geométrico

Se basa en la forma especial de las funciones en el

caso de los juegos matriciales 2xn y mx2. Estas funciones son poligonales cóncavas yconvexas respectivamente.

( ) ( ) η ξ i j Qi

Máxηy γ P

j

Mínξ Λ '' ==

Primer caso: Se trata de resolver un juego (2xn) con matriz de pagos

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

= n

n

aa

aa

A221

111

...

...

Sabemos que .( )( ) ( ) jG E P ξ

n j

Mínξ ,y M

Y y'

,...,1

inf

∈=

∈=Λ ξ

Además, cualquier estrategia mixta del primer jugador , de donde⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

x

x

1ξ

( ) ( )

( )

( ) xa xan j

Mín

a

a x x

n j

Mín P ξ

n j

Mín j j

j

j

jG E −+∈

=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

∈=

∈=Λ 1

,...,11

,...,1'

,...,1 212

1ξ

Así, es una función continua y

cóncava.( ) ( ) ( ) [

1011 21

,con x xa xa ,...,n j

Mín x Λ

j jG E ∈−+

∈=

]




El máximo de dicha función proporciona el valor del juego.Los puntos de [0,1] donde se alcanza este máximo determinan la primera coordenada delas estrategias óptimas del primer jugador.El cálculo de las estrategias óptimas del segundo jugador se hace seleccionandoaquellos puntos de [0,1] donde se alcanza el máximo y considerando las rectas que

intervienen en el valor de la función en dicho punto –digamos las correspondientes a lascolumnas j y j’- La estrategia óptima del segundo jugador será una mixtura de las doscolumnas implicadas determinando los coeficientes de la mixtura la solución de laecuación ( ) 01 '00 =−+

j j p p λ λ siendo p j y p j’ las pendientes de las rectas consideradas.

Segundo caso: Se trata de resolver un juego matricial (mx2) con matriz de pagos

Sabemos que .( )

( ) ( )

η η η γ iG E

Qmi

Max x, M

X x'

,...,1

sup

∈=

∈=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

21

1211

......

mm aa

aa

A

Además, cualquier estrategia mixta del segundo jugador es de la forma , de

donde

que es una función continua y convexa.

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

y

y

1η

( ) ( )

( )

( ) [ ]101111

'1 2121 ,con y ya ya

,...,mi

Max

y

yaa

,...,mi

MaxηQ

,...,mi

Maxηγ iiiiiG E ∈−+

∈=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−∈=

∈=

El mínimo de dicha función proporciona el valor del juego.Los puntos de [0,1] donde se alcanza dicho mínimo proporcionan la primera coordenada

de las estrategias óptimas del segundo jugador.Las estrategias óptimas del primer jugador se determinan considerando las rectas queconfiguran los valores mínimos de la función. La estrategia óptima del primer jugadorserá una mixtura de las filas involucradas –digamos i e i’- y los coeficientes de lamixtura vendrán dados por la solución de la ecuación ( ) 01 '00 =−+ ii qq µ µ siendo qi y

qi’ las pendientes de las rectas consideradas.

6.3 Método de los puntos fijos Este método puede ser aplicado a juegos matriciales en los que los jugadores no estánobligados a utilizar todas sus estrategias sino que la elección se ve restringida por

imposiciones de carácter lineal sobre sus posibles estrategias mixtas (¡cuidado! verejercicio de autocomprobación 7 de la página 228 de las unidades didácticas).Teorema del minimax generalizado: Sea G=(X,Y,M) un juego bipersonal de suma ceroen donde X e Y son subconjuntos convexos y compactos de espacios euclideos dedimensión m y n respectivamente y M es una función continua y cóncava de x para todo

y convexa de y para todoY y ∈ X x ∈ . Entonces G está determinado estrictamente yexisten estrategias óptimas para ambos jugadores.Aplicación del teorema del minimax generalizado al caso de la extensión mixta de un

juego matricial: Sea GA=(Im,In,A) un juego matricial y sea E(GA)=(Sm,Sn,M) su

extensión mixta, con ,( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=∈∀≥= ∑=

m

i

iimm xmi x x xS 1

1 1:,...,10:,...,




( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=∈∀≥= ∑=

n

i

iinn yni y y yS 1

1 1:,...,10:,..., y

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜

⎜⎜

⎝

⎛

⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜

⎜⎜

⎝

⎛

==×= ∫ ×

nmnm

n

mY X

y

y

aa

aa

x x A y xd y x M M ...

...

.........

...

,...,',,1

1

111

1η ξ η ξ η ξ

Obviamente, los conjuntos Sm y Sn son conjuntos convexos y compactos de Rm y Rn respectivamente y la función ( )η ξ , M es concavo-convexa. De aquí que este juego –laextensión mixta- esté determinado estrictamente y ambos jugadores posean estrategiasóptimas.El método geométrico consiste en la construcción de los conjuntos

( ) ( ) y x M xY y B x ,: =Λ∈= y ( ) ( ) y x M y X x A y ,: =∈= γ , ambos convexos y

compactos y la posterior construcción de las correspondencias e y la

búsqueda posterior de los puntos fijos de estas correspondencias. x B x → y A y →

TEMA 7. PROPIEDADES DE LAS SOLUCIONES DE UNJUEGO MATRICIALEn el tema 5 se ha enunciado el teorema fundamental de los juegos matriciales (teoremadel minimax para juegos matriciales, que se ha extendido en el tema 6) que afirma quelos conjuntos de estrategias óptimas de los jugadores en la extensión mixta de un juegomatricial son no vacíos. En este tema vamos a estudiar los conjuntos de estrategiasóptimas.

7.1 Propiedades de las estrategias óptimas

Teorema 1: Los conjuntos de estrategias óptimas O(J1,A) y O(J2,A) de un juegorectangular de matriz A son subconjuntos convexos y compactos de Rm y Rn respectivamente.COLUMNA RELEVANTE: Sea A la matriz de un juego rectangular. Una columna P j de la matriz se dice que es relevante si existe alguna estrategia óptima del segundo

jugador ***1

* ,...,..., n j y y y=η con . Una columna es relevante si juega algún

papel en alguna estrategia óptima del segundo jugador.

0* > j y

FILA RELEVANTE: Sea A la matriz de un juego rectangular. Una fila Q’ i de la matrizse dice que es relevante si existe alguna estrategia óptima del primer jugador

***1

* ,...,..., mi x x x=ξ con . Una fila es relevante si juega algún papel en alguna

estrategia óptima del primer jugador.

0* >i x

COLUMNA (FILA) IRRELEVANTE: Aquella que no es relevante.Teorema 2: Si la columna P j es relevante y 0ξ es una estrategia óptima del primer

jugador entonces v P j =0'ξ . Análogamente si la fila Q’i es relevante y 0η es una

estrategia óptima del segundo jugador entonces vQ i =0' η . Comentario importante:

nótese que por ser 0ξ una estrategia óptima se cumple que

, luego( )( ) jG E P ξ

n j

Mínv '

,...,1 00∈

=Λ= ξ v P j ≥0'ξ para toda columna sea ésta relevante

o no. Análogamente, por ser 0η una estrategia óptima para el segundo jugador se

cumple que vQ i ≤0' η para toda fila, sea ésta relevante o no. Para las filas y columnasrelevantes se da la igualdad. Tenemos así un criterio para determinar si una columna




(fila) es o no relevante. Si su producto por alguna estrategia óptima del jugadorcorrespondiente no coincide con el valor del juego podemos asegurar que la columna(fila) es irrelevante.Teorema 3: Sea G un juego matricial de matriz A de dimensiones mxn. Entonces, lasestrategias óptimas de los jugadores son una mixtura de a lo sumo minm,n estrategias

puras.

7.2 Dominancia y admisibilidad Buscamos la eliminación de filas o columnas de la matriz de modo que los conjuntos deestrategias óptimas de los jugadores no se vean afectados.COLUMNA QUE DOMINA ESTRICTAMENTE A OTRA: Se dice que la columna Pjdomina estrictamente a la columna Pk si todas los elementos de la columna Pj sonmenores que los correspondientes elementos de la columna Pk.FILA QUE DOMINA ESTRICTAMENTE A OTRA: Se dice que la fila Q’j domina

estrictamente a la fila Q’i si todas los elementos de la fila Q’j son mayores que loscorrespondientes elementos de la fila Q’i.Teorema 4: Si la columna Pj (fila Q’j) domina estrictamente a la columna Pk (fila Q’i)entonces la columna Pk (fila Q’i) es irrelevante.Teorema 5: Si una columna (fila) está dominada estrictamente por una combinaciónlineal convexa de otras columnas (filas) entonces la columna (fila) es irrelevante.Corolario: Si de una matriz se eliminan las filas y las columnas dominadasestrictamente, los conjuntos de estrategias óptimas de los dos jugadores permaneceninalterados ya que las columnas y filas eliminadas no jugaban ningún papel en ningunaestrategia óptima de ninguno de los dos jugadores. También permanece inalterado elvalor del juego.COLUMNA DOMINADA POR OTRA COLUMNA: Se dice que la columna Pj está

dominada por la columna Pk si todos los elementos de la columna Pk son menores oiguales que los correspondientes elementos de la columna Pj y al menos una de lasdesigualdades es estricta.FILA DOMINADA POR OTRA FILA: Se dice que la fila Q’i está dominada por la filaQ’j si todos los elementos de la fila Q’i son menores o iguales que los correspondienteselementos de la fila Q’j y al menos una de las desigualdades es estricta.Corolario: Si de una matriz se eliminan las filas y las columnas dominadas el valor del

juego permanece inalterado. Además, cualquier estrategia óptima del juego una vezeliminadas las columnas o las filas también es una estrategia óptima del juego originalaunque es posible que el conjunto de estrategias óptimas del juego original se haya vistoreducido por el hecho de que algunas estrategias óptimas estaban dominadas por otras

(pero no estrictamente).ESTRATEGIA MIXTA DOMINADA Y ESTRICTAMENTE DOMINADA: SeaG=(X,Y,M) un juego y sea E(G)=(X*,Y*,M) su extensión mixta. Se dice que laestrategia está dominada estrictamente por la estrategia*

1 Y ∈η 0η si

( ) ( ) X x x M x M ∈∀< 10 ,, η η . Asimismo, se dice que la estrategia está

dominada por la estrategia

*1 Y ∈η

0η si( ) ( )

( ) (⎩⎨⎧

<∈∃

∈∀≤

10

10

,,:

,,

η η

η η

x M x M X x

X x x M x M

).




Paralelamente, se dice que la estrategia está dominada estrictamente por la

estrategia

*1 X ∈ξ

0ξ si ( ) ( ) Y y y M y M ∈∀> ,, 10 ξ ξ . Asimismo, se dice que la estrategia

está dominada por la estrategia*1 X ∈ξ 0ξ si

( ) ( )( ) (⎩

⎨⎧

>∈∃

∈∀≥

y M y M Y y

Y y y M y M

,,:

,,

10

10

ξ ξ

ξ ξ

).

ESTRATEGIA ADMISIBLE: Sea G=(X,Y,M) un juego y sea E(G)=(X*,Y*,M) suextensión mixta. Se dice que la estrategia es admisible si no está dominada por

ninguna otra estrategia de J

*1 Y ∈η

2. Asimismo, se dice que la estrategia es admisible si no está dominada por ninguna otra estrategia de J

*1 X ∈ξ

1.Teorema 6: En todo juego matricial siempre existe al menos una estrategia óptima paracada jugador que es admisible.Teorema 7: Sea A la matriz de un juego rectangular y sea B la matriz del juego queresulta de eliminar aquellas filas y columnas que están dominadas por otras estrategias;entonces se verifica que las estrategias admisibles de los conjuntos O(J1;A) y O(J1;B)son idénticas (y lo mismo para J2).

Comentarios importantes:• Si una estrategia óptima está dominada por otra estrategia ,

entonces es una estrategia óptima. Es decir, una estrategia óptima sólopuede estar dominada por otra estrategia óptima.

*0 X ∈ξ

*1 X ∈ξ

*1 X ∈ξ

• Una estrategia óptima no puede estar estrictamente dominada por

ninguna otra estrategia. En efecto, hemos visto que la estrategia está

dominada estrictamente por la estrategia

*1 X ∈ξ

*1 X ∈ξ

0ξ si ( ) ( ) Y y y M y M ∈∀> ,, 10 ξ ξ .

Esto implica que lo que supone que noes una estrategia óptima.

( ) ( y M Y y

mín

y M Y y

mín

,, 10 ξ ξ ∈>∈ )*

1 X ∈ξ

En consecuencia, cuando eliminamos las columnas y las filas estrictamente dominadas,no estamos eliminando ninguna estrategia óptima ya que ninguna estrategia óptima estáestrictamente dominada por ninguna otra (ni siquiera por una óptima). Si eliminamoscolumnas o filas dominadas (no estrictamente) estamos eliminando aquellas estrategiasóptimas que están dominadas –pero no estrictamente- por otras estrategias –quenecesariamente deben ser óptimas-, esto es, estamos eliminando estrategias óptimasinadmisibles. En resumen:

• Si eliminamos filas y columnas estrictamente dominadas, el valor del juego y las

estrategias óptimas de ambos jugadores permanecen inalteradas.• Si eliminamos filas y columnas dominadas, el valor del juego permaneceinalterado, pero las estrategias óptimas de ambos jugadores pueden versemodificadas; no obstante, el conjunto de estrategias óptimas admisibles deambos jugadores permanece inalterado.

7.3 Juegos completamente mixtos ESTRATEGIA ÓPTIMA COMPLETAMENTE MIXTA: Una estrategia óptima escompletamente mixta si todos sus componentes son estrictamente positivos, esto es, si laestrategia óptima es una mixtura de todas las estrategias puras del jugador. En caso deque exista una estrategia óptima completamente mixta todas las columnas (si se trata deJ2) o todas las filas (si se trata de J1) son relevantes.




Teorema 8: Sea A la matriz de un juego de dimensiones mxn cuyo valor es v(A)=0. Sitoda estrategia óptima de J1 es completamente mixta, entonces el rango de la matriz Asatisface y si el rango de A es m-1, entonces J1 tiene exactamente

una estrategia óptima

( ) 11 −≤≤− n Ar m

0ξ tal que 0'0r

= Aξ .

Teorema 9: Si A es la matriz de un juego de dimensiones mxn con m>n entonces existeuna estrategia óptima de J1 que no es completamente mixta.Teorema 10: Si A es una matriz cuadrada de orden n y si existe una estrategia óptimapara J2 que no es completamente mixta entonces J1 posee una estrategia óptima que noes completamente mixta.JUEGO RECTANGULAR COMPLETAMENTE MIXTO: Un juego matricial se dicecompletamente mixto si todas las estrategias óptimas de los jugadores soncompletamente mixtas.Teorema 11: Sea G un juego rectangular de matriz A y de dimensiones mxn con valordel juego cero. Una condición necesaria y suficiente para que el juego seacompletamente mixto es que se cumplan las tres condiciones siguientes:

• m=n• r(A)=n-1• Todos los elementos Aij de la matriz adjunta A* son del mismo signo y no nulos

Comentario importante: Nótese que si un juego es completamente mixto se cumplen lascondiciones del teorema 8 (y del simétrico para J2) de modo que J1 tiene exactamenteuna estrategia óptima 0ξ tal que 0'0

r= Aξ y J2 tiene exactamente una estrategia óptima

0η tal que .00

r=η A

Teorema 12: Sea A, matriz cuadrada de orden n, la matriz de un juego completamentemixto GA y sea v el valor del juego. Entonces el valor del juego viene dado por

nn J A J

Av *'= , la única estrategia óptima de J1 es y la única estrategia

óptima de J

10 ''−

= AvJ nξ

2 es .n J vA 10

−=η

Comentario final: Hemos obtenido que los juegos completamente mixtos -es decir,aquellos que cumplen que todas sus estrategias óptimas utilizan todas las estrategiaspuras de los jugadores- tienen una sola solución óptima para J1 y una sola soluciónóptima para J2.

TEMA 8. EL MÉTODO DE LAS SUBMATRICESEn el tema 5 se ha mostrado que los conjuntos de estrategias óptimas para un juego

matricial O(J1,A) y O(J2,A) son no vacíos. Asimismo, en el tema 7 se ha mostrado(teorema 1) que los conjuntos de estrategias óptimas O(J1,A) y O(J2,A) de un juegorectangular de matriz A son subconjuntos convexos y compactos de Rm y Rn respectivamente. En este tema se va a mostrar (teorema de Shapley y Snow) que losconjuntos O(J1,A) y O(J2,A) son de tipo poliédrico, es decir, tienen un número finito depuntos extremos. En este tema se estudiará también un procedimiento sistemático paradeterminar todos los puntos extremos de O(J1,A) y O(J2,A), que se conoce como“método de las submatrices”.

8.1 Soluciones simples SOLUCIÓN SIMPLE DE UN JUEGO EN FORMA NORMAL: Sea G=(X,Y,M) un

juego bipersonal de suma cero y sean y estrategias mixtas de J** X ∈ξ ** Y ∈η 1 y J2




respectivamente tales que ) ) Y y X xc x M y M ∈∀∈∀== ** ,, η ξ . Entonces al par

( )*,* η ξ se le denomina una solución simple de G. Resulta obvio que

y que y como

, se deduce que el juego tiene valor –

concretamente su valor es c- en estrategias mixtas y que

( ) ( ) ( ) cinf ** =∈

=Λ ,yξ M Y y

G E ξ ( ) ( ) ( ) c x, M X x

G E =∈

= ** supη η γ

( )( ) ( ) ( ) ( )( )η γ η

ξ ξ

G E

*

G E

*

G E G E Y

V λ X **

inf sup∈

=≤=Λ∈

*,* η ξ es una estrategiaóptima. Es decir, toda solución simple es un par de soluciones óptimas para ambos

jugadores.SOLUCIÓN SIMPLE DE UN JUEGO MATRICIAL: Sea A la matriz de un juegorectangular y sean 0ξ y soluciones óptimas de J*

η 1 y J2 respectivamente. Se dice que el

par ( 0ξ , ) es una solución simple de la matriz A si se verifica que*η

Y y X xc x M y M ∈∀∈∀== **

,, η ξ , es decir, si , siendoc el valor del juego.

⎩⎨

⎧

∈∀=

∈∀=

micQ

n jc P

i

j

,...,1'

,...,1'

*

0

η

ξ

Comentario: como se deduce fácilmente, todas las soluciones simples son óptimas perono todas las soluciones óptimas son simples. De hecho, toda solución óptima ( 0ξ , )

debe cumplir que

*η

⎩

⎨⎧

∈∀≤

∈∀≥

micQ

n jc P

i

j

,...,1'

,...,1'*

0

η

ξ

. Si se da la igualdad, entonces tenemos una

solución simple.Teorema 1: Sea A una matriz cuadrada de orden n y no singular y sea A*=(Aij) la matrizadjunta. Una condición necesaria y suficiente para que la matriz A tenga alguna

solución simple es que las cantidades y

sean del mismo signo. Además se tiene que:

ni A Rn

j

iji ,...,2,11

== ∑=

n j AC n

i

ij j ,...,2,11

== ∑=

∑=

j

jC

Av

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=∑

ni

i R

R

R...

11

0ξ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ =

∑n j

jC

C

C ...

11

*η

Corolario: Si una matriz cuadrada no singular admite soluciones simples, estassoluciones simples son las únicas soluciones óptimas del juego correspondiente.

8.2 Teorema de Shapley-Snow Teorema 2: TEOREMA DE SHAPLEY-SNOW: Sea G un juego matricial de matriz Ay de dimensiones mxn, cuyo valor es v<>0. Entonces, el conjunto de estrategias óptimas

extremas –esto es, el conjunto de puntos extremos de O(J1,A) y O(J2,A)- es finito. Unapareja de estrategias óptimas ( 0ξ , ) son puntos extremos de O(J*η 1,A) y O(J2,A)




respectivamente si y sólo si la matriz A posee una submatriz cuadrada no singular Bpara la cual ( B0ξ , ) es una solución simple de B, en donde*

Bη B0ξ es el vector que se

obtiene de 0ξ eliminando aquellas componentes que corresponden a las filas eliminadas

al obtener B de A y es el vector que se obtiene de eliminando aquellas

componentes que corresponden a las columnas eliminadas al obtener B de A.

* Bη

*η

Observaciones: Si el valor del juego es 0 se puede añadir una constante a todos loselementos de la matriz, lo que no altera los conjuntos de estrategias óptimas –aunque sí el valor del juego- y de ese modo se consiguen las condiciones para aplicar el teorema.Por otra parte, como el número de matrices cuadradas de A que admiten solucionessimples es finito, y cada una de ellas caracteriza de modo único una estrategia óptimaextrema en el conjunto de estrategias óptimas, los subconjuntos O(J1,A) y O(J2,A)quedan perfectamente caracterizados como conjuntos convexos, compactos ypoliédricos.

8.3 Método práctico de determinar todas las soluciones

El método práctico consiste, por tanto, en estudiar todas las matrices cuadradas de lamatriz A y determinar sus soluciones simples. El esquema es el siguiente:Paso I: Nos aseguramos de que el valor del juego es distinto de cero. Si no lo es,añadimos una constante a todos los elementos de la matriz A. Conviene añadir unelemento tal que todos los elementos de la nueva matriz tengan el mismo signo –digamos positivo-.Paso II: Se examinan las matrices 1x1 y se determina su optimalidad, lo cual equivale aanalizar si la matriz posee un punto de silla.Paso III: Se examinan todas las matrices no singulares de orden 2.Paso IV:Se escogen aquellas matrices no singulares de orden 2 que admiten soluciones

simples (mediante la aplicación del teorema 1). Si admite soluciones simples se pasa alpaso V. En caso contrario, la matriz se desecha.Paso V: Las soluciones simples (determinadas por el teorema 1) del paso IV secompletan con ceros en los lugares correspondientes y se comprueba si, en efecto, sonsoluciones óptimas de la matriz A.Paso VI. Si son óptimas hemos conseguido (por el teorema de Shapley-Snow) unaestrategia óptima extrema. En caso contrario se examinan las matrices no singulares deorden 3.Paso VII. Se continúa el proceso hasta examinar todas las submatrices de ordenminm,n y así se obtienen todos los puntos extremos de los conjuntos de estrategiasóptimas de los dos jugadores.

TEMA 9. ALGUNOS TIPOS PARTICULARES DEJUEGOS

9.1 Juegos simétricos

JUEGO SIMÉTRICO: Un juego bipersonal de suma cero G=(X,Y,M) es simétrico siX=Y y para todo X x ∈ y para todo Y y ∈ se verifica que ( ) ( x y M y x M ,, )−= , es decir,si ambos jugadores tienen el mismo conjunto de estrategias puras y reciben los mismospagos cuando se intercambian las estrategias (de aquí el signo’-‘).JUEGO MATRICIAL SIMÉTRICO: Un juego matricial G, cuya matriz es A se dice

simétrico si la matriz A es antisimétrica, es decir, A At −= .




Teorema 1: Sea G un juego matricial simétrico. Entonces su valor es cero y todaestrategia óptima de J1 es óptima de J2 y recíprocamente.Teorema 2: Un juego simétrico en el que el orden n de la matriz es par no puede sercompletamente mixto.

9.2 Simetrización de juegos A cualquier juego se le puede asociar un juego simétrico mediante una correspondenciaque relaciona también los conjuntos de estrategias óptimas del juego con las del juegosimétrico asociado.En particular, existen dos métodos propuestos para la simetrización de juegosmatriciales de dimensión mxnTeorema 3 (PRIMER MÉTODO DE SIMETRIZACIÓN): Sea GA un juego matricial dematriz A de dimensión mxn, cuyo valor es vA>0. Entonces el juego GB cuya matriz depago es la matriz antisimétrica B de orden m+n+1 definida por

es tal que si⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−−

−

=0''

0

0

nm

n

t

m

J J J A

J A

B ( )',,...,,,..., 110 θ nm vvuuW =

r

es una estrategia

óptima de GB, entonces y011

>== ∑∑==

avun

j

j

m

i

i

'

210 ,...,, ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

a

u

a

u

a

u mξ y

'

21* ,...,, ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

a

v

a

v

a

v nη son estrategias óptimas de J1 y de J2 en GA. Ademása

v A

θ = .

Recíprocamente, si 0ξ y son estrategias óptimas de J*η 1 y de J2 en GA, entonces

(',,

2

1 *

00 A A

vv

W η ξ

+=

)

res óptima de G

B.

Teorema 4 (SEGUNDO MÉTODO DE SIMETRIZACIÓN): Sea A una matriz dedimensión mxn. Se considera la matriz B=(bpq) de orden mn en donde

. Entonces B es antisimétrica. Además si( ) ( ) kjil l nk jni aab −=+−+− 1,1 ( )mnλ λ λ ,...,1=r

es una

estrategia óptima del juego cuya matriz es B, entonces los vectores ξ y η definidos por

y donde e son

estrategias óptimas de J

( )t

m x x ,...,1=ξ ( )t

n y y ,...,1=η ( )∑=

+−=n

j

jnii x1

1λ ( )∑=

+−=m

i

jni j y1

1λ

1 y J2 respectivamente en el juego de matriz A.

9.3 Juegos matriciales paramétricos Vamos a considerar juegos matriciales en los que la matriz de pagos A depende de unparámetro vectorial θ que varía en cierta región del espacio euclídeo Rk.JUEGO MATRICIAL PARAMÉTRICO: Es un juego matricial en el que la matriz depagos A depende de un parámetro vectorial θ que varía en cierta región del espacioeuclídeo Rk, es decir ( )( )θ θ A I I G nm ,,= .

Vamos a estudiar las propiedades de la familia de juegos θ G y en particular el

comportamiento del valor del juego y de las estrategias óptimas como función de θ .Teorema 5: Si la familia de juegos θ G es tal que los elementos ( )θ ija de la matriz

( )θ A son funciones continuas de θ , entonces ( ) θ θ vGv=

es una función continua de θ .




Además las funciones ( )( )θ θ A J O J O ;);( 11 = y ( )( )θ θ A J O J O ;);( 22 = que para cada θ definen el conjunto de soluciones óptimas de J1 y J2 respectivamente.Teorema 6: Si la familia de juegos θ G es tal que los elementos ( )θ ija de la matriz

( )θ A , donde es un intervalo de la recta real, son funciones monótonas crecientes

(decrecientes) de

Ω

θ , entonces ( ) θ θ vGv = es una función monótona creciente(decreciente) de θ . Además si todos los ( )θ ija lo son estrictamente, también lo es

.( ) θ θ vGv =

El método sistemático para la determinación de las funciones ( ) θ θ vGv = ;

( )( )θ θ A J O J O ;);( 11 = y ( )( )θ θ A J O J O ;);( 22 = es el método de las submatricesconvenientemente modificado para recoger la variabilidad del parámetro θ .

TEMA 10. PROGRAMACIÓN LINEAL Y TEORÍA DEJUEGOS

10.1 Idea de la programación lineal Visto en Métodos De Programación Matemática.

10.2 Dualidad Visto en Métodos De Programación Matemática.

10.3 Paso de un juego a un programa lineal El problema de determinar las estrategias óptimas de los dos jugadores de un juegomatricial se puede reducir a sendos problemas de programación lineal con la

característica adicional de que éstos son duales.Razonando desde el punto de vista de J1, si el primer jugador elige una estrategia mixta

( m x x ,...,' 1= )ξ puede garantizarse que el pago que va a obtener será mayor o igual que

un cierto valor α . El valor del juego matricial es el máximo de los α que el primer jugador se puede garantizar.Así, el problema de J1 se puede resumir en:Maximizar α

Sujeto a α ξ ≥ j P ' ; 1' =m J ξ (es decir, la suma de los x i debe ser 1); 0r

≥ξ (todos los xi

deben ser no negativos).A partir de la formulación de este problema lineal conviene eliminar de los ladosderechos de las restricciones la constante α . Así, la restricción α ξ ≥ j P ' se convierte

en 1'1

≥ j P ξ α

o lo que es lo mismo 1,...,1 ≥⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ j

m P x x

α α . Si definimos las nuevas

variables mi x

u ii ,...,1∈∀=

α la restricción queda ( ) 1,...,1 ≥ jm P uu .

Procediendo análogamente, la restricción 1' =m J ξ se convierte en ( )α

1,...,1 =mm J uu y

podemos sustituir la maximización de α por la minimización deα

1.

Así, el problema lineal transformado para J1 es:




Minimizar ( )α

1,...,1 =mm J uu

Sujeto a ( y ( )) 1,...,1 ≥ jm P uu 0,...,1

r≥muu

Razonando ahora desde el punto de vista de J2, si elige una estrategia mixta

( n y y ,...,1= )η tiene que β η ≤iQ' , siendo β el pago máximo que le garantiza la

estrategia ( n y y ,...,1= )η elegida. Lógicamente, J2 busca minimizar β eligiendo la

estrategia ( n y y ,...,1= )η más adecuada. En otras palabras, J2 persigue:

Minimizar β

Sujeto a 1' =η n J ; β η ≤iQ' y 0r

≥η

Nuevamente conviene modificar las restricciones y la función objetivo para que elproblema lineal sea de más fácil resolución mediante el algoritmo del simplex.

Así, la restricción β η ≤iQ' se convierte en 1'1

≤η β

iQ o lo que es equivalente

1...'

1

≤

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

β

β

n

i

y

y

Q . Si ahora definimos las nuevas variables β

j

j

yw = tenemos que la

restricción β η ≤iQ' se convierte en .1...'1

≤⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

n

i

w

w

Q

Por su parte la restricción 1' =η n J se convierte en β 1...'

1

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

n

n

w

w

J . La función objetivo

pasa de ser la minimización de β a la maximización de β

1. En resumen, el programa

lineal para el jugador J2 es el siguiente:

Maximizar β

1...'

1

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

n

n

w

w

J

sujeto a: y1...'1

≤⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

n

i

w

w

Q 0...1

≥⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

nw

w

10.4 Equivalencia entre juegos y programas lineales Hemos visto como todo juego matricial se puede convertir en sendos programas linealesque son duales.En este apartado vamos a ver que todo programa lineal (y su dual) puede convertirse enun juego matricial simétrico.Dado el problema de programación lineal siguiente:Maximizar xcrr




sujeto a yb A x t rr

≤ 0rr

≥ x consideremos el juego GB de matriz . El

juego es simétrico y por tanto su valor es cero; además las estrategias óptimas de los dos

jugadores son idénticas. Una estrategia del juego vendrá dada por

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

0

0

0

t t

t

bc

b A

c A

Brr

r

r

λ ,,...,,,..., 11 nm y y x x .

Teorema 6: El juego GB posee una estrategia óptima para la cual λ es mayor que 0 si ysólo si el programa lineal y su dual son factibles y acotados, es decir, poseen solución.

10.5 Exposición práctica del método del simplex Visto en Métodos De Programación Matemática.

TEMA 11. S-JUEGOS Y EXTENSIONES

11.1 Definición y propiedades

11.2 Extensión del teorema del minimax

11.3 Relación con la teoría de la decisión


teoría de juegos - uned

Documents

Transcript of teoría de juegos - uned