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MATEMÁTICAS 4º ESOÁMBITO CIENTÍTICO TECNOLÓGICO

DEPARATAMENTO DE ORIENTACIÓN

TEMA 2. EL NÚMERO REAL

1. NÚMEROS RACIONALES.

Números racionales son los que se pueden poner como cociente de dos números enteros. Es decir, se pueden expresar en forma de fracción.

Los números decimales exactos, los periódicos puros y los periódicos mixtos son racionales, pues, podemos escribirlos en forma fraccionaria.

Sin embargo no todos los números son racionales

NATURALES → 0; 4 ; ; N

ENTEROSZ

ENTEROS -11 ; NEGATIVOS

RACIONALES Q

FRACCIONARIOS 0,31; ;7,3131…

IRRACIONALES ; ; ;П

2. NÚMEROS IRRACIONALES

Un número irracional es aquel que no puede escribirse en forma de fracción y tiene infinitas cifras decimales no periódicas.

El número П es un número irracional. Por tanto su expresión decimal es infinita no periódica: П = 3,141592653……..

La raíz n- ésima de un número, si no es exacta, tampoco es racional. Por ejemplo, no son racionales , ,

28



ACTIVIDADES

1) Indica cuáles de los siguientes números son racionales y cuales irracionales:

a) 1,5

b)

c) 0,333333…

d)

e) 2,010010001….

f)

a) 3,2888888….

1. RAÍCESSe llama raíz n-ésima de un número a, y se escribe

, a un número b que cumple la siguiente condición:

se llama radical; a radicando, y n, índice de la raíz

Algunas peculiaridades de las raíces.

Si a ≥ 0, existe cualquiera que sea n Si a< 0, sólo existen raíces de índice impar Aunque 4 tiene dos raíces cuadradas, con nos referimos solo a

la positiva: = 2. En general, un número positivo, a, tiene dos raíces cuadradas:

Forma exponencial de los radicales.

Los radicales se pueden expresar como potencias de la siguiente manera:

y en general

29



Por ejemplo: =

ACTIVIDADES

2. Expresa en forma exponencial:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

3. Calcula:

a)

b)

30



c)

d)

e)

f)

Potencias y raíces con calculadora Raíces cuadradas

→ se da a las teclas 180 = 13.41640786

Potencias

Hay otra tecla, xy, con la que se pueden obtener potencias. Por ejemplo;

264 → se da a las teclas 2 xy 64 = 1.84467440719

Como sabes, este número es 1.844674407·1019

Tecla Con esta tecla, se obtienen directamente raíces n-ésimas ( el índice de la raíz es y)

→ 350 5 = 3.227108809

En otras calculadoras, en lugar de la tecla existe otra tecla . Se realiza así:

→ 5 350 = 3.227108809

31



ACTIVIDADES

4. Utilizando la calculadora, calcula:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g) 74

h) 2100

i) 1,4120

j)

k)

2. PROPIEDADES DE LOS RADICALES

Los radicales tienen una serie de propiedades que debemos conocer y utilizar con soltura. Todas ellas son consecuencias inmediatas de conocidas propiedades de las potencias.

Simplificar radicales

Expresando los radicales en forma exponencial vemos que, a veces se pueden simplificar. Por ejemplo:

32



Reducir radicales a índice común

Cuando queremos comparar dos radicales de distinto índice, no siempre resulta fácil. Si los expresamos con el mismo índice, es mucho más sencillo. En realidad, se trata simplemente de reducir a común denominador.Por ejemplo, para comparar

>

Sacar factores fuera de una raízPara simplificar algunos radicales, y para sumarlos y restarlos, a veces es necesario sacar factores fuera de una raíz. Por ejemplo:

Juntar dos radicales en uno soloPor ejemplo:

Poner productos y cocientes de radicales bajo una sola raíz

Por ejemplo:

Potencia de un radical

Por ejemplo:

Raíces de raíces

Por ejemplo:

33



Suma y resta de radicalesDos radicales distintos no pueden sumarse si no es obteniendo sus expresiones decimales aproximadas. Solo pueden sumarse radicales idénticos.

ó solo pueden realizarse de forma aproximada, o bien

dejarlas indicadas.

Sí puede simplificarse la expresión siguiente:

Hay casos en los que la posibilidad de simplificar una suma de radicales queda oculta. Previamente deberemos sacar los factores que podamos fuera de las raíces, o simplificarlas. Por ejemplo:

Racionalización de denominadores

Al proceso por el cual hacemos desaparecer los radicales del denominador se le llama racionalización de denominadores.

En cada caso, nos haremos la pregunta: ¿por qué expresión he de multiplicar el denominador para que el producto no tenga radicales?. Una vez encontrada la expresión, también multiplicaremos por ella el numerador para que el resultado final no varíe.

1er CASO: RAÍCES CUADRADAS.

Por ejemplo:

2º CASO: OTRAS RAÍCES

Por ejemplo:

3er CASO: SUMAS Y RESTAS DE RAÍCES.

Hay que tener en cuenta que: (a + b) · (a – b) = a2 – b2

Y que a la expresión se le llama conjugado de y, al revés, es el conjugado de .

34



Por ejemplo:

ACTIVIDADES

5. Simplifica:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

6.¿Cuál de los dos es mayor en cada caso?

35



a)

b)

7.Reduce:

a)

b)

c)

8.Saca del radical los factores que sea posible:

a)

36



b)

c)

9. Simplifica:

a)

b)

c)

d)

37



e)

f)

10. Efectúa:

a)

b)

11. Racionaliza los denominadores:

a)

b)

38



c)

d)

e)

f)

ACTIVIDADES DEL TEMA

12. Expresa en forma de potencia con exponente fraccionario:

a)

39



b)

c)

d)

e)

g)

h)

13. Expresa en forma de raíz:

a) 32/5

b) 23/4

c) a1/3

d) z1/2

e) x1/4

40



f) a3/2

g) x-1/2

h) x-3/2

14. Calcula:

a) 251/2

b) 271/3

c) 1252/3

d) 813/4

15. Calcula las siguientes raíces:

a)

b)

c)

d)

e)

g)

i)

16. Obtén con calculadora:

a)

b)

41



c)

d)

e)

f) 283/4

g) 8-1/3

h) 0,021/2

i) 0,2-1/2

17. Multiplica y simplifica el resultado:

a)

b)

c)

d)

18. Simplifica los siguientes radicales:

a)

b)

42



c)

d)

e)

f)

19. Reduce a índice común y ordena de menor a mayor en cada caso:

a)

b)

20. Divide y simplifica el resultado:

a)

b)

c)

43



d)

e)

f)

21. Extrae todos los factores que puedas de los siguientes radicales:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

44



22. Calcula y simplifica en cada caso:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

23. Calcula y simplifica:

a)

b)

c)

45



d)

e)

24. Efectúa:

a)

b)

c)

46



25. Racionaliza y simplifica

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

47



i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

48



p)

26. Expresa como potencia única:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

49



27. Expresa en forma exponencial:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

28. Reduce aun solo radical:

a)

50



b)

c)

51

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