1. Concepto de fracción

1.1. Definición y elementos de una fracción

Las fracciones expresan cantidades en las que los objetos es-tán partidos en partes iguales

Una fracción es el cociente de dos números. Es decir, es una división sin realizar.

Una fracción expresa el valor o número que resulta al realizar esa división.

Los elementos que forman la fracción son:

• El numerador. Es el número de arriba, indica las partes que tenemos.

• El denominador. Es el número de abajo, indica el número de partes en que dividimos a cada unidad.

• La raya de fracción. Es una raya horizontal que los separa.

1.2. Cómo se lee una fracción

Primero se lee el numerador como cualquier número, des-pués se lee el denominador de esta manera:

Representación gráfica de fracciones

• Si es el 1 se lee enteros. • Si es el 2 se lee medios.• Si es el 3 se lee tercios.

• Si es el 4 se lee cuartos. • Si es el 5 se lee quintos. • Si es el 6 se lee sextos.

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TEMA IVEL NÚMERO RACIONAL O FRACCIONARIO

Centro de Adultos de Cieza

• Si es el 7 se lee séptimos. • Si es el 8 se lee octavos. • Si es el 9 se lee novenos.

• Si es el 10 se lee décimos.

• Si es más de 10 se lee el número terminado en “avos”. Ejemplo: onceavos, doceavos,...

1.3. El valor de una fracción

Puesto que una fracción representa una división, para saber cuál es el valor de una fracción deberíamos realizar esa división, es decir, dividir el numerador entre el denominador, y el cociente obtenido sería ese valor.

No obstante podemos apreciar el valor de una fracción si nos fijamos en su numerador y su denomina -dor:

• Si el numerador es más pequeño que el denominador, entonces la fracción vale menos de 1.

• Si el numerador es igual al denominador, entonces la fracción vale 1.

• Si el numerador es mayor que el denominador, entonces la fracción vale más de 1.

Su valor será más grande cuanto mayor tenga el numerador, y será más pequeño cuanto mayor tenga el denominador.

1.4. Comparación de fracciones que tienen igual el numerador o el denominador

Si dos fracciones tienen igual denominador es mayor la que tiene el numerador mayor (y viceversa):

Si dos fracciones tienen igual numerador es mayor la que tiene el denominador menor (y viceversa):

2. Fracciones equivalentes. Número racional.

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Las fracciones equivalentes tienen distinto numerador y de-nominador, pero valen lo mismo.

Cada fracción tiene infinitas fracciones equivalentes a ella.

Para obtener otra fracción equivalente a una dada nos basta con multiplicar o dividir sus términos por el mismo número.

Como una fracción representa una división, si dividimos 4 en-tre 12, 1 entre 3 y 2 entre seis se obtiene el mismo cociente, 0'3333...

Pero un método más fácil para comprobar si dos fracciones son equivalentes es el de los productos cruzados:

Multiplicamos sus términos en aspa: El producto del numerador de una fracción por el denominador de la otra ha de dar lo mismo en ambos casos.

Estas fracciones son equivalentes

Para obtener varias fracciones equivalentes a otra lo más sencillo es multiplicar el numerador y denominador de la fracción por 2, 3, 4, 5,... hasta obtener el número de fracciones equivalentes deseado.

A veces, cuando hacemos cálculos con fracciones nos interesa emplear la fracción más simple, ésa será la que ten-ga el numerador y denominador más pequeños.

A esa fracción se le llama fracción irreducible porque ya no se puede simplificar más.

Nos valemos de la propiedad fundamental de la división. Sabemos que si multiplicamos o dividimos al numerador y al denominador por el mismo número obtenemos otra fracción equivalente, debemos buscar un número que sea divisor del numerador y del denominador para dividirlos por él. Este paso lo debemos realizar varias veces. Si que -remos hacerlo en un solo paso, nos interesa dividirlos por el número mayor posible, ese número es el máximo co-mún divisor de ambos, así, de una sola vez, habremos llegado a la fracción irreducible.

Número racional. El conjunto de las infinitas fracciones equivalentes a una dada se llama número racio-nal. Normalmente se suele representar por la fracción irreducible.

es un número racional que se representa por 2/3.

EJERCICIOS:

1.- Ordena de mayor a menor estas fracciones:

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2.- cada fracción de abajo es equivalente a otra de arriba, emparéjalas:

3.- Escribe el término que falta en estas fracciones equivalentes:

4.- Simplifica hasta obtener la fracción irreducible:

3. Operaciones con fracciones.

a) suma y resta.- • Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, se suman o se restan los numera-

dores y se deja el denominador común:

• Para sumar o restar frac-ciones con distintos denominadores se reducen éstas a denominador común, y se realiza la suma o la resta.

Para reducir a denominador común, habrá usar el método del m.c.m.: se calcula el m.c.m. de los deno -minadores, que será el denominador común; el numerador de cada fracción se obtiene dividiendo el m.-c.m. por ese denominador y multiplicando el resultado obtenido por el numerador.

Ejercicio resuelto. Vamos a reducir a igual denominador las fracciones: 10/12 y 6/8

Hallamos el m.c.m. de los denominadores m.c.m. (12,8) = 24 que será el nuevo denominador de las frac-ciones.

Dividimos el m.c.m. entre el primer denominador: 24: 12 = 2 y multiplicamos el resultado por el primer numerador: 2· 10 = 20, que será el nuevo primer numerador.

Ahora el m.c.m. lo dividimos entre el segundo denominador: 24: 8 = 3 y multiplicamos el resultado por el segundo numerador: 3· 6 = 18, que será el nuevo segundo numerador.

Así, las fracciones quedan: 20/24 y 18/24

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Reducir a común denominador se usa para comparar fracciones cuando no tienen igual el numerador o el denominador y también se emplea en las operaciones con fracciones.

EJERCICIOS:

1.- Suma las siguientes fracciones:

2.- Realiza las siguientes operaciones:

3.- Calcula:

4.- Resuelve:

b) producto de fracciones

El resultado de multiplicar dos o más fracciones es una fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador, el producto de los denominadores.

El resultado obtenido, si se puede, se simplifica. También se puede simplificar antes de realizar los pro -ductos.

c) cociente de fracciones: Para dividir dos fracciones se multiplica la primera por la inversa de la segunda (SE MULTIPLICAN EN CRUZ)

La inversa de una fracción es otra fracción con los términos cambiados: La fracción inversa de la fracción

EJEMPLO:

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Recuerda que siempre debes simplificar los resultados.

EJERCICIOS:

1.- Realiza las siguientes operaciones:

2.- Resuelve:

3.- Realiza las siguientes operaciones simplificando el resultado final:

4.- Realiza las siguientes divisiones y simplifica:

a) b) c)

5.- Resuelve:

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a)

b)

2.- Efectúa las siguientes operaciones:

c) d)

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e) f)

g)

4.- Realiza las siguientes operaciones:

● A veces hay que preparar una operación antes de realizar las sumas y restas o las multiplica-ciones y divisiones:

Esto ocurre cuando nos encontramos signos en el numerador o en el denominador, y también cuando nos encontramos paréntesis o corchetes. Recuerda que hasta que no hayamos quitado los paréntesis y los signos estén delante de las fracciones no podemos empezar las su-mas o las restas.

Para los signos utilizaremos la regla de los signos y para los paréntesis nos fijaremos en el signo que tenga delante y si es positivo se quita sin alterar los signos, pero si el signo que tie-ne delante el paréntesis es negativo, habrá que cambiar el signo de todas las fracciones que es-tén dentro del paréntesis.

Ejemplo:

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Primero vamos a quitar los signos de los numeradores y de los denominadores:

Ahora la operación solo con los signos delante de las fracciones quedaría así:

En segundo lugar quitaremos los paréntesis. Como el primer paréntesis es positivo lo quitamos dejando lo de dentro como está, pero el segundo como es negativo lo quitamos cam-biando el signo de las fracciones que hay dentro.

Ahora solo nos queda realizar las sumas y restas:

Primero calculamos el Mínimo Común Múltiplo de los denominadores;

mcm (5,4,6,2,8 y 3)= 120 empezamos a dividir y a multiplicar:

=

Ahora sumamos positivos con positivos y negativos con negativos, y restamos los resultados poniendo el signo delante de la fracción:

=

Solo nos queda simplificar el resultado dividiendo el numerador y el denominador por tres:

=

EJERCICIO: Resuelve las siguientes sumas de fracciones:

a)

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b)

● Multiplicación de fracciones con signos en cualquier posición: Basta con contar los sig-nos negativos (estén en la posición que estén), si el numero de signos es impar el resultado va a ser negativo y si es par el resultado será positivo; el signo se colocará delante de la fracción y se multiplicarán los numeradores y denominadores.

Ejemplo:

Primero para obtener el signo del resultado contamos los signos negativos que hay, y como son 7 (impar), el resultado será negativo. Después realizamos la multiplicación, solo de los números sin tener en cuenta los sig-

nos:

Ahora solo nos queda simplificar:

EJERCICIO: Realiza las siguientes operaciones:

a)

b)

c)

• Estructura de CASTILLO: Habitualmente se utiliza el signo ( :) para la división, pero también podemos encontrar una división de fracciones con la raya de fracción entre las dos fracciones y

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una debajo de la otra como por ejemplo: =

para resolverla las colocamos una al lado de la otra con el signo ( : ) y resolvemos como hemos

visto en las divisiones de fracciones:

g) problemas de aplicación

PROBLEMA 1. La semana pasada he leído 1/7 de un libro. A lo largo de esta semana he podido leer4/5 del resto. En total he leído 87 páginas del libro. ¿Cuántas páginas en total tiene el libro?

Solución: 105 páginas

PROBLEMA 2. Hemos vaciado agua contenida en un barril, en 41 recipientes de 3/4 litros cada uno. To -dos han quedado llenos salvo uno que se ha llenado por la mitad. En el barril han sobrado 14 litros. ¿Cuántos litros de agua contenía el barril?

Solución: 44,37 litros

PROBLEMA 3. Está previsto destinar 3/14 de una finca a plazas de aparcamiento. Pero se han destinado 3/4 de lo previsto a zonas ajardinadas. ¿Qué fracción de la finca se ha destinado finalmente a zonas de aparcamiento?

Solución: 3/56 para aparcamientos

PROBLEMA 4. De un depósito de cereales se han extraído los 8/10. Al día siguiente se extrae 1/4 del res-to. ¿Qué fracción del total se ha extraído del depósito?

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Solución: 17/20 del total

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