Taller No. 6 2011
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ecuaciones Diferenciales Taller No. 6 En los problemas 1 y 2 use la definici´on para calcular directamente la transformada de Laplace de las funciones dadas 1. f (t)= t 2. f (t)= t 2 Enlos problemas 3 al 5 trace la gr´aficade la funci´ondada. Determine si f es continua, continua por partes o ninguna de las dos en el intervalo [0, 3] 3. f (t)= t 2 , si 0 ≤ t ≤ 1 2+ t, si 1 <t ≤ 2 6 - t, si 2 <t ≤ 3 4. f (t)= t 2 , si 0 ≤ t ≤ 1 (t - 1) −1 , si 1 <t ≤ 2 1, si 2 <t ≤ 3 5. f (t)= t, si 0 ≤ t ≤ 1 3 - t, si 1 <t ≤ 2 1, si 2 <t ≤ 3 En los problemas 6 al 11 encuentre la transformada de Laplace inversa de la funci´on dada 6. 3 s 2 +4 7. 4 (s - 1) 3 8. 2 s 2 +3s - 4 9. 2s +2 s 2 +2s +5 10. 2s - 3 s 2 - 4 11. 2s - 3 s 2 +2s + 10 En los problemas 12 al 21 use la transformada de Laplace para resolver el P.V.I dado 12. y ′′ - y ′ - 6y = 0, y(0) = 1, y ′ (0) = -1 13. y ′′ +3y ′ +2y = 0, y(0) = 1, y ′ (0) = 0 14. y ′′ - 2y ′ - 2y = 0, y(0) = 2, y ′ (0) = 0 15. y ′′ +2y ′ +5y = 0, y(0) = 2, y ′ (0) = -1 16. y ′′ - 4y ′ +5y =4e 3t , y(0) = 2, y ′ (0) = 7 17. y ′′ - 7y ′ + 10y = 9 cos t + 7 sen t, y(0) = 5, y ′ (0) = -4 18. y ′′ - y = t - 2, y(2) = 3, y ′ (2) = 0 19. w ′′ - 2w ′ + w =6t - 2, w(-1) = 3, w ′ (-1) = 7 20. y (4) - y = 0, y(0) = 1, y ′ (0) = 0, y ′′ (0) = 1, y ′′′ (0) = 0 21. y ′′′ - y ′′ + y ′ - y = 0, y(0) = 1, y ′ (0) = 1, y ′′ (0) = 3 1
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Matemáticas universitarias
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIAEcuaciones Diferenciales
Taller No. 6
En los problemas 1 y 2 use la definicion para calcular directamente la transformada de Laplacede las funciones dadas
1. f(t) = t 2. f(t) = t2
En los problemas 3 al 5 trace la grafica de la funcion dada. Determine si f es continua, continuapor partes o ninguna de las dos en el intervalo [0, 3]
3.
f(t) =
t2, si 0 ≤ t ≤ 1
2 + t, si 1 < t ≤ 2
6− t, si 2 < t ≤ 3
4.
f(t) =
t2, si 0 ≤ t ≤ 1
(t− 1)−1, si 1 < t ≤ 2
1, si 2 < t ≤ 3
5.
f(t) =
t, si 0 ≤ t ≤ 1
3− t, si 1 < t ≤ 2
1, si 2 < t ≤ 3
En los problemas 6 al 11 encuentre la transformada de Laplace inversa de la funcion dada
6.3
s2 + 4
7.4
(s− 1)3
8.2
s2 + 3s− 4
9.2s+ 2
s2 + 2s+ 5
10.2s− 3
s2 − 4
11.2s− 3
s2 + 2s+ 10
En los problemas 12 al 21 use la transformada de Laplace para resolver el P.V.I dado
12. y′′ − y′ − 6y = 0, y(0) = 1, y′(0) = −1
13. y′′ + 3y′ + 2y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0
14. y′′ − 2y′ − 2y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 0
15. y′′ + 2y′ + 5y = 0, y(0) = 2, y′(0) = −1
16. y′′ − 4y′ + 5y = 4e3t, y(0) = 2, y′(0) = 7
17. y′′ − 7y′ + 10y = 9 cos t+ 7 sen t, y(0) = 5, y′(0) = −4
18. y′′ − y = t− 2, y(2) = 3, y′(2) = 0
19. w′′ − 2w′ + w = 6t− 2, w(−1) = 3, w′(−1) = 7
20. y(4) − y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0, y′′(0) = 1, y′′′(0) = 0
21. y′′′ − y′′ + y′ − y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 1, y′′(0) = 3
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En los problemas 22 al 24, exprese la funcion dada en terminos de funciones escalon unitario ycalcule su transformada de Laplace
22.
f(t) =
0, si t < 1
2, si 1 < t < 2
1, si 2 < t < 3
3, si t > 3
23.
f(t) =
{0, si t < 2
(t− 2)2, si t > 2
24.
f(t) =
0, si t < π
t− π, si π < t < 2π
0, si t > 2π
En los problemas 25 al 28, use la transformada de Laplace para resolver el P.V.I dado
25. y′′ + y = u3(t), y(0) = 1, y′(0) = −1
26. w′′ + w = u2(t)− u4(t), w(0) = 1, w′(0) = 0
27. y′′ + 2y′ + 2y = u2π(t)− u4π(t), y(0) = 1, y′(0) = −1
28. y′′ + 2y′ + 10y = g(t), y(0) = −1, y′(0) = 0, donde
g(t) =
10, si 0 ≤ t ≤ 10
20, si 10 < t < 20
0, si t > 20
29. Graficar la funcion periodica f(t) = t, 0 < t < 2, f(t) = f(t+ 2). Ademas, halle L{f(t)}.
30. Descanse!!!
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