SIMULACION NUMERICA DE YACIMIENTOSESCUELA DE INGENIERIA DE PETROLEOS

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDERPRIMER SEMESTRE ACADEMICO DE 2012

TALLER No2. LINEALIZACION DE MODELOS EMPIRICOS

MODELO EXPONENCIAL

Y=aebx LnY=ln a+bx

MODELO POTENCIA

Y=axb

LogY=loga+b log x

Posee una restricción ya que no pueden haber números negativos tanto en X como en Y.

MODELO CRECIMIENTO DE SATURACION

Y= axb+x

1Y

=b+ xax

1Y

=ba1x+ 1a

MODELO DECRECIMIENTO DE SATURACION

Y=ax+bx

Y=a+ bx

1Y

=a+b 1x

Posee una restricción ya que x no puede ser cero.

Realice los gráficos de cada uno de los modelo sin y linealizados

MODELO EXPONENCIAL

El crecimiento de poblaciones puede modelarse a través del modelo exponencial, suponiendo que la población crece continuamente en el tiempo con una rapidez proporcional al número de individuos presentes en ese tiempo.

∂N (t)∂ t

=αN (t)

Solución analítica: N (t )=Noeαt

Donde N(t) es el número de individuos en el tiempo t, No es el la población inicial y alfa es la razón de crecimiento de la población. Para una población con inmigrantes la ecuación quedaría:

∂N (t)∂ t

=αN ( t )+ I

Donde I es la razón constante de inmigrantes.

Eje 1. Supóngase que se conoce que se tiene inicialmente una comunidad con una población de 950.000 individuos, al cabo del primer semestre inmigran a la comunidad 545.000 individuos; y al final del primer semestre se encuentran un total de 1.786.000 individuos.

Obtenga la solución analítica

Calcule la constante alfa

Calcule la población al final del 5 año.

Eje 2. Se tiene la población mundial desde 1950 hasta el año 2010

FECHA POBLACION, millones1950 25191955 27561960 29821965 33351970 36921975 40681980 44501985 48311990 52641995 56742000 60712005 64542010 6851

Verifique con cuál de los anteriores modelos se puede ajustar los datos registrados históricamente?

Realice un pronóstico futuro de cual debería ser la población mundial en el año 2050.

Consultar por el Peak Oil y los aportes de Huber King

MODELO LOGISTICO

El modelo matemático que modifica la ecuación exponencial es el modelo logístico, el cual considera que la población de una comunidad no crece infinitamente sino que llega hasta un límite máximo, tiempo en el cual la población empieza a disminuir como consecuencia de la reducción de los recursos y el espacio para albergar dicha población, entre otros factores.

La siguiente ecuación representa el modelo logístico de crecimiento de poblaciones donde P(t) es la población en cualquier instante de tiempo, Pmax es la población máxima que puede sostener el medio y alfa es la tasa de crecimiento neta de la población.

∂P (t)∂t

=αP (t)( Pmax−P( t)Pmax )

Encuentre la solución analítica al modelo de crecimiento logístico.

Obtenga la primera y la segunda derivada de la expresión hallada en el paso anterior.