Tải về bài nghiên cứu trao đổi tại đây

1

I. ĐẶT VẤN ĐỀ. Khi giải quyết những vấn đề kinh tế, người ta thường gặp các

bài toán xác định trị số tối ưu (lớn nhất hoặc nhỏ nhất) của một chỉ tiêu nào đó

trong những điều kiện nhất định (chẳng hạn năng suất cao nhất, lợi nhuận cao nhất,

chi phí bé nhất ...). Trong toán học, đó chính là bài toán tìm cực tiểu hoặc cực đại

của một hàm f(x) (gọi là hàm mục tiêu) xác định trên một tập hợp nào đó trong

không gian. Bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng, trong bài viết này tác giả chỉ

giới thiệu về một số ứng dụng của cực trị không có điều kiện (cực trị tự do) của

hàm một biến và hai biến số trong các bài toán kinh tế.

II. NỘI DUNG

1. Cực trị của hàm một biến

Định nghĩa

Cho hàm số y f x xác định trên a,b , và 0x a,b . Điểm 0x được gọi

là điểm cực đại của hàm số y f x nếu tồn tại khoảng mở I 0x I sao cho

0 0 0f x f x , x I \ x

Điểm 0x được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y f x nếu tồn tại khoảng

mở I 0x I sao cho 0 0 0f x f x , x I \ x

Điểm 0x được gọi là điểm cực trị nếu

0x là điểm cực đại hoặc điểm cực tiểu

Định lý

Nếu điểm 0x là điểm thỏa mãn 0f x 0 và đạo hàm đổi dấu từ âm sang

dương thì điểm 0x là điểm cực tiểu của hàm số

Nếu điểm 0x là điểm thỏa mãn 0f x 0 và đạo hàm đổi dấu từ dương sang

âm thì điểm 0x là điểm cực đại của hàm số

Định lý

Nếu điểm 0x là điểm thỏa mãn 0f x 0 và 0f x 0 thì điểm

0x là điểm

cực tiểu của hàm số

Nếu điểm 0x là điểm thỏa mãn 0f x 0 và 0f x 0 thì điểm

0x là điểm

cực đại của hàm số

2. Cực trị địa phương của hàm hai biến

2.1. Cực trị địa phương của hàm hai biến

Định nghĩa: Cho hàm số f(x, y) xác định trong miền 2D R , M0(x0, y0) D.

- Hàm f(x, y) đạt cực đại địa phương tại M0 nếu tồn tại tập

2

0S M(x,y) D d(M ,M) , 0

sao cho:

f(x, y) f(x0, y0), (x,y) S D .

- Hàm f(x, y) đạt cực tiểu địa phương tại M0 nếu tồn tại tập

0S M(x,y) D d(M ,M) , 0

sao cho:

f(x0, y0) f(x, y), (x,y) S D .

- Cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương gọi chung là cực trị địa phương.

Định lý (Điều kiện cần của cực trị địa phương)

Nếu hàm số f(x, y) đạt cực trị tại M0 mà tại đó các đạo hàm riêng tồn tại thì ' '

x 0 0 y 0 0f (x ,y ) 0;f (x ,y ) 0.

Những điểm M(x0, y0) thỏa mãn ' '

x 0 0 y 0 0f (x ,y ) 0;f (x ,y ) 0 được gọi là điểm dừng.

Định lý (Điều kiện đủ của cực trị địa phương)

Cho hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong lân cận của

điểm dừng M0(x0, y0).

Xét ma trận

" "

xx xy

" "

yx yy

f fH

f f

gọi là ma trận Hesse.

Đặt "

1 xxH f ;

" "

xx xy

2 " "

yx yy

f fH

f f

+ Nếu H1(M0) > 0 và H2(M0) > 0 thì điểm M0 là điểm cực tiểu.

+ Nếu H1(M0) < 0 và H2(M0) > 0 thì điểm M0 là điểm cực đại.

+ Nếu H2(M0) < 0 thì điểm M0 là không phải là điểm cực trị.

+ Nếu H2(M0) = 0 thì ta chưa kết luận được gì về điểm M0.

2.2. Cực trị toàn cục của hàm hai biến

Định nghĩa. Cho hàm số f(x, y) xác định trong miền 2D R , M0(x0, y0) D.

+ Hàm f(x, y) đạt cực đại toàn cục tại M0 nếu f(x, y) f(x0, y0), (x,y) D .

+ Hàm f(x, y) đạt cực tiểu toàn cục tại M0 nếu f(x0, y0) f(x, y), (x,y) D .

3

Định lý. Cho hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục trong lân cận

của điểm dừng M0(x0, y0).

+ Nếu H1 > 0 và H2 > 0, (x, y) D thì điểm M0 là điểm cực tiểu toàn cục trên D.

+ Nếu H1 < 0 và H2 > 0, (x, y) D thì điểm M0 là điểm cực đại toàn cục trên D.

Các kết quả trên đây tạo cơ sở toán học cho việc giải các bài toán tối ưu. Một

trong những tiên đề của kinh tế học thị trường là : Các nhà sản xuất theo đuổi mục

tiêu cực tiểu chi phí và tối đa hóa lợi nhuận. Dưới đây là một số ví dụ phân tích

hành vi tối đa hóa lợi nhuận của các doanh nghiệp.

3. Ứng dụng trong kinh tế

3.1. Một số ứng dụng cực trị của hàm một biến

3.1.1. Bài toán tìm sản lượng để doanh nghiệp độc quyền có lợi nhuận cao nhất

Giả sử một doanh nghiệp độc quyền một loại hàng, biết hàm cầu của doanh

nghiệp đối với mặt hàng đó là DQ D P

Hàm tổng chi phí C C Q

Trong đó :

+ DQ : Lượng cầu về hàng hóa của doanh nghiệp

+ P : Giá bán của hàng hóa

+ C : Chi phí của doanh nghiệp

+ Q : Sản lượng sản phẩm được sản xuất trong một đơn vị thời gian

Hãy xác định mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực

đại

Phương pháp giải

Gọi Q là mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại

Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì

DQ Q

Q D P

P P Q

Doanh thu của doanh nghiệp

R P.Q P Q .Q

Chi phí

C C Q

Lợi nhuận

R C P Q .Q C Q

Bài toán trở thành tìm Q để hàm đạt cực đại

4

Ví dụ : Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại hàng với D

1Q 656 P

2

Hàm chi phí 3 2C Q Q 77Q 1000Q 100

Giải : Gọi Q là mức sản lượng cần tìm


1

Q Q D 656 P2

P 1312 2Q


2R P.Q 1312 2Q .Q 1312Q 2Q

Chi phí

3 2C Q 77Q 1000Q 100

Lợi nhuận

3 2R C Q 75Q 312Q 100

Bài toán trở thành tìm Q để hàm đạt cực đại

23Q 150Q 312

Q 20

Q 52

6Q 150

+ Tại điểm nghi ngờ Q = 2

6.2 150 138 0 đạt cực tiểu tại Q = 2 (Đây không phải mức sản lượng cần tìm)

+ Tại điểm nghi ngờ Q = 52

6.52 150 0 đạt cực đại tại Q = 52

Vậy để có lợi nhuận cao nhất, doanh nghiệp phải sản xuất ở mức sản lượng

Q = 52

3.1.2. Bài toán xác định mức thuế để thu được tổng thuế tối đa

Giả sử một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại hàng hóa biết hàm cầu

của doanh nghiêp về loại hàng trên là DQ D P và hàm tổng chi phí C C Q

Hãy xác định mức thuế t định trên một đơn vị sản phẩm để thu được của

doanh nghiệp nhiều thuế nhất.

5


Gọi t là mức thuế định trên một đơn vị sản phẩm và Q là mức sản lượng

doanh nghiệp sản xuất để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại


DQ Q

Q D P

P P Q


R P.Q P Q .Q

Chi phí

C C Q

Tổng thuế doanh nghiệp phải nộp

T t.Q

Lợi nhuận

R C P Q .Q C Q t.Q

Trước hết tìm Q Q t để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại

Sau đó tìm mức thuế t để tổng thuế T t.Q t đạt cực đại.

Ví dụ : Cho

D

2

Q 2000 P

C Q Q 1000Q 50

Hãy xác định mức thuế t định trên một đơn vị sản phẩm để thu được của

doanh nghiệp nhiều thuế nhất.

Giải: Gọi t là mức thuế định trên một đơn vị sản phẩm và Q là mức sản lượng

doanh nghiệp sản xuất để lợ nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại

Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì DQ Q

Q 2000 P

P 2000 Q


2R P.Q 2000 Q .Q 2000Q Q

Chi phí

2C Q 1000Q 50

6

Tổng thuế doanh nghiệp phải nộp T t.Q

Lợi nhuận

2R C T 2Q 1000 t Q 50

Trước hết tìm Q Q t để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại

4Q 1000 t

1000 t0 Q

4

Vì 4 0 nên 1000 t

Q4

là mức sản lượng doanh nghiệp cần sản

xuất để lợi nhuận cực đại

Khi đó

1000 tT t.Q t.

4

1

T 1000 2t4

1000T 0 t 500

2

1T 0

2

Nên tổng thuế T sẽ đạt cực đại tại t = 500

Vậy t = 500 chính là mức thuế cần tìm để thu được của doanh nghiệp nhiều

thuế nhất

Khi đó doanh nghiệp sẽ sản xuất với mức sản lượng 1000 500

Q 1252

3.1.3. Bài toán xác định mức thuế hàng nhập khẩu

Cho hàm cung và hàm cầu cho sản xuất và tiêu dùng nội địa về một mặt

hàng là

s

D

Q S P

Q D P

Giả sử nhà nước cho phép một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu mặt hàng

trên, biết rằng đơn giá trên thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập khẩu (chưa kể

thuế) cho một đơn vị hàng là 0P . Hãy tính mức thuế nhập khẩu t định trên một đơn

vị hàng nhập khẩu để tổng thuế nhập khẩu thu được là lớn nhất.

7


Gọi t t 0 là mức thuế định trên một đơn vị hàng nhập khẩu và Q là lượng

hàng doanh nghiệp nhập khẩu

Khi đó để tiêu thụ hết lượng hàng nhập khẩu thì

D SQ Q Q (Chênh lệch cầu và cung trong thị trường nội địa, D SQ Q )

Q D P S P (Sản lượng là hàm số theo biến P)

Doanh thu

R P.Q P D P S P (Doanh thu là hàm số theo biến P)

Chi phí

0 0C P .Q P D P S P

Tổng thuế nhập khẩu phải nộp

T t.Q t D P S P

Lợi nhuận

0R C T D P S P P P t

Trước hết tìm P P t để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại

Sau đó tìm mức thuế t để tổng thuế T t D P t S P t đạt cực đại.

Ví dụ : Cho một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu một loại hàng hóa biết hàm

cung và cầu của hàng hóa đó trong thị trường nội địa là DQ 4200 P và

SQ 200 P

Giá bán trên thị trường quốc tế và chi phí nhập khẩu của một đơn vị hàng là

0P 1600

Tìm mức thuế định trên một đơn vị hàng nhập khẩu để thu được nhiều thuế

nhập khẩu nhất

Giải: Gọi t là mức thuế định trên một đơn vị hàng nhập khẩu và Q là lượng hàng

cần phải nhập khẩu

Để tiêu thu hết hàng nhập khẩu thì

D SQ Q Q 4200 P 200 P 4400 2P

Doanh thu

R P.Q P 4400 2P

Chi phí

0C P .Q 1600 4400 2P

8


T t T t.Q t 4400 2P

Lợi nhuận

R C T 4400 2P P 1600 t

2 P 1600 t 4400 2P 7600 2t 4P

0 7600 2t 4P 0

tP 1900

2

4 0 nên đạt lợi nhuận cực đại tại mức giá t

P 19002

Khi đó tổng thuế

t

T t.Q t 4400 2P t 4400 2 1900 t 600 t2

T 600 2t

T 0 t 300

T 2 nên hàm T đạt cực đại tại mức thuế t = 300

Giá bán trên thị trường nội địa lúc đó là 300

P 1900 20502

3.1.4. Bài toán xác định mức thuế xuất khẩu

Cho hàm cung và hàm cầu cho sản xuất và tiêu dùng nội địa về một mặt

hàng là

S

D

Q S P

Q D P

Giả sử nhà nước cho phép một doanh nghiệp độc quyền xuất khẩu mặt hàng

trên, biết rằng đơn giá trên thị trường quốc tế trừ chi phí xuất khẩu (chưa kể thuế)

cho một đơn vị hàng là P0

Hãy tính mức thuế xuất khẩu t định trên một đơn vị hàng xuất khẩu để tổng

thuế xuất khẩu thu được là lớn nhất


Gọi t (t > 0) là mức thuế định trên một đơn vị hàng xuất khẩu

Và Q là lượng hàng doanh nghiệp xuất khẩu

9

Khi đó lượng hàng có thể xuất khẩu là

S DQ Q Q

Q S P D P

Doanh thu

0 0R P .Q P S P D P

Chi phí

C P.Q P. S P D P


T t.Q t S P D P

Lợi nhuận

0R C T S P D P P P t

Trước hết tìm P P t để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại

Sau đó tìm mức thuế t để tổng thuế T t S P t D P t đạt cực đại.

Ví dụ : Cho một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu một loại hàng hóa biết hàm

cung và cầu của hàng hóa đó trong thị trường nội địa là

D SQ 4200 P, Q 200 P

Giá bán trên thị trường quốc tế (không bao gồm chi phí xuất khẩu của một

đơn vị hàng) là 0P 3200

Tìm mức thuế định trên một đơn vị hàng xuất khẩu để thu được nhiều thuế

xuất khẩu nhất.

Giải: Gọi t là mức thuế định trên một đơn vị hàng xuất khẩu

Và Q là lượng hàng xuất khẩu

P là giá doanh nghiệp thu mua mặt hàng đó để xuất khẩu

Khi đó lượng hàng có thể xuất khẩu là

S DQ Q Q 200 P 4200 P 2P 4400

Doanh thu

0 0R P .Q P 2P 4400 3200 2P 4400

Chi phí

C P.Q P 2P 4400

10


T t.Q t 2P 4400

Lợi nhuận

R C T 2P 4400 3200 P t

2 3200 P t 2P 4400 10800 2t 4P

0 10800 2t 4P 0

tP 2700

2

4 0 nên đạt lợi nhuận cực đại tại mức giá t

P 27002

Khi đó tổng thuế

t

T t.Q t 2P 4400 t 2 2700 4400 t 1000 t2

T 1000 2t

T 0 t 500

T 2 hàm T đạt cực đại tại mức thuế t = 500

Giá bán trên thị trường nội địa lúc đó sẽ là 500

2700 24502

3.1.5. Bài toán tìm kích thước lô hàng tối ưu

Giả sử n là số đơn vị một loại hàng mà một cửa hàng bán được trong một

năm, h là chi phí lưu kho một đơn vị hàng trong một năm, p là chi phí cho mỗi

chuyến đặt hàng, còn Q là kích thước của mỗi chuyến đặt hàng (kích thước của mỗi

lô hàng). Ta xem n, h, p là những hằng số, còn Q là biến số. Khi đó tổng chi phí

trong một năm của cửa hàng đối với loại hàng hóa trên là hàm số C Q bao gồm

hai loại chi phí: Chi phí lưu kho và chi phí các chuyến hàng.

Chi phí lưu kho: Q

.h2

Chi phí cho các chuyến hàng: n

.PQ

Ví dụ: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái ti vi mỗi năm. Chi phí gửi trong kho là

10$ một cái trong một năm. Để đặt hàng, chi phí cố định là 20$, cộng them 9$ mỗi

cái. Cửa hàng nên đặt bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần đặt bao nhiêu cái để

chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất.

11

Giải: Ta có n 2500, h 10

Gọi Q là số ti vi mà cửa hàng đặt hàng mỗi lần. Khi đó Q 1;2500

Khi đó số lượng tivi gửi trong kho trung bình mỗi năm là Q

2. Do đó chi phí

lưu kho mỗi năm là Q

10. 5Q2

Số lần đặt hàng mỗi năm là 2500

Q

Do đó chi phí đặt hàng mỗi năm là 2500 50000

20 9Q 22500Q Q

Vậy chi phí của cửa hàng là 50000

C Q 5Q 22500Q

Ta có 2

50000C Q 5

Q

2

2

C Q 0 5Q 50000

Q 10000

100 Q

100

Vì Q 1;2500 nên Q = 100

3

100000C Q 0

Q với Q > 0 nên

Q 1;2500min C Q C 100 23500

Khi đó số lần đặt hàng mỗi năm là 2500

25100

Vậy để chi phí hàng tồn kho nhỏ nhất thì mỗi năm cửa hàng nên đặt hàng 25

lần mỗi năm và mỗi lần đặt 100 cái tivi.

Kết luận: Như vậy, nhiều bài toán kinh tế được đưa về tìm cực trị của hàm

một biến y f x . Ta gọi P là đơn giá, hàm sản lượng Q Q P , hàm doanh thu

R P.Q , hàm chi phí C C Q , hàm lợi nhuận R C . Trong kinh tế ta

thường gặp các bài toán sau:

- Tìm P để sản lượng Q đạt tối đa

- Tìm P hoặc Q để doanh thu đạt tối đa

- Tìm Q để chi phí đạt tối thiểu

12

3.2. Một số ứng dụng cực trị hàm nhiều biến

3.2.1. Bài toán tối đa hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiều mặt

hàng trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo (nhà sản xuất phải bán hết hàng với

giá do thị trường quyết định)

Giả sử doanh nghiệp sản xuất n loại hàng hóa trong điều kiện cạnh tranh

hoàn hảo với các mức giá 1 2 nP ,P , ,P

Hàm chi phí 1 2 nC C Q ,Q , ,Q với iQ i 1,n là mức sản lượng thứ i mà

doanh nghiệp sản xuất.

Tìm các mức sản lượng 1 2 nQ ,Q , ,Q mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi

nhuận cực đại.


Gọi 1 2 nQ ,Q , ,Q là các mức sản lượng cần tìm

Doanh thu n

1 1 2 2 n n i i

i 1

R PQ P Q P Q PQ

Chi phí

1 2 nC C Q ,Q , ,Q

Lợi nhuận

n

i i 1 2 n

i 1

R C PQ C Q ,Q , ,Q

Bài toán trở thành tìm 1 2 nQ ,Q , ,Q để hàm đạt cực đại.

Ví dụ: Một công ty sản xuất 2 loại sản phẩm. Gọi Qi là số lượng sản phẩm của mặt

hàng thứ i ( i 1,2 ); Pi là đơn giá của mặt hàng thứ i ( i 1,2 ).

Hàm lợi nhuận của công ty là:

1 1 2 2R C PQ P Q C

Biết P1 = 400; P2 = 600 và hàm tổng chi phí là:

2 2

1 2 1 2C Q 2Q 2Q 4Q 300

Yêu cầu: Tìm Q1 và Q2 để đạt giá trị max?

Giải: Ta có hàm lợi nhuận

2 2

1 2 1 2 1 2400Q 600Q Q 2Q 2Q 4Q 300

2 2

1 2 1 2398Q 596Q Q 2Q 300

Điều kiện cần để hàm đạt cực trị tại (Q1, Q2) là:

13

1

2

'

Q 1 1

'2Q 2

2Q 398 0 Q 199

Q 2984Q 596 0

Ta có ma trận Hesse:

1 1 1 2

2 1 2 2

'' ''

Q Q Q Q

'' ''

Q Q Q Q

2 0H

0 4

Vì 1 2 1 2H 2 0;H 8 0, Q ,Q do đó hàm đạt cực đại toàn cục tại

(Q1, Q2) = (199, 298).

3.2.2. Bài toán sử dụng tối ưu các yếu tố đầu vào

Xét trường hợp một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy sản xuất một loại sản

phẩm. Mục tiêu của doanh nghiệp là thu lợi nhuận tối đa trên cơ sở sử dụng hợp lý

các yếu tố đầu vào là lao động và tư bản (với giả thiết các yếu tố khác giữ nguyên).

Mọi doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy phải chấp nhận giá cả thị trường, kể cả giá

đầu vào và giá đầu ra. Giả sử hàm lợi nhuận của một công ty đối với một sản phẩm

là:

R C PQ wL rK

trong đó: là lợi nhuận, R là doanh thu, C là chi phí, L là lượng lao động, w là tiền

lương của một lao động, K là tiền vốn, r là lãi suất của tiền vốn, P là đơn giá bán.

Giả sử Q là hàm sản xuất Cobb-Douglas dạng:

1 1

3 3Q L K , w = 1, r = 0,02, P = 3.

Khi đó, ta có:

1 1

3 3PQ wL rK 3L K L 0,02K

Yêu cầu: Tìm L, K sao cho đạt giá trị lớn nhất.

Giải: Điều kiện cần để hàm đạt cực trị tại (L, K) là:

' 2/3 1/3

L

' 1/3 2/3

K

L K 1 0

L K 0,02 0

2

2 3

L K 1

LK (0,02)

2

3 2 3 4

K L

L (0,02) K (0,02) L

K 2500

L 50 (do L 0)

14

Ta có ma trận Hesse:

5/3 1/3 2/3 2/3'' ''

LL LK

'' ''2/3 2/3 1/3 5/3KL KK

2 1L K L K

3 3H

1 2L K L K

3 3

Vì 5/3 1/3

1

2H L K 0, L,K 0

3

; 4/3 4/3

2

1H L K 0, L,K 0

3

Do đó đạt cực đại toàn cục tại (K, L) = (2500; 50).

3.2.3. Bài toán tối đa hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất một mặt

hàng nhưng bán trên nhiều thị trường

Một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trên n thị

trường tách biệt. Giả sử hàm cầu trên n thị trường như sau :

1

2

n

D 1 1

D 2 2

D n n

Q D P

Q D P

Q D P

Hàm tổng chi phí C = C(Q) với 1 2 nQ Q Q Q

Trong đó :

Q là sản lượng của doanh nghiệp

Qi là lượng hàng phân phối trên thị trường thứ i i 1,n

Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường để doanh nghiệp đạt lợi

nhuận cực đại


Gọi 1 2 nQ ,Q , ,Q là lượng hàng phân phối trên từng thị trường cần tìm

Để doanh nghiệp bán hết hàng thì

11

2 2

n n

D 1 11 D 1 1 1

2 D D 2 2 2 2 2

n D n n nD n n

Q D PQ Q P P Q

Q Q Q D P P P Q

Q Q P P QQ D P

Doanh thu

n n

1 1 2 2 n n i i i i i

i 1 i 1

R Q P Q P Q P Q P Q P Q

Chi phí

1 2 nC C Q C Q ,Q , ,Q vì 1 2 nQ Q Q Q

15

Lợi nhuận

n

i i i 1 2 n

i 1

R C Q P Q C Q ,Q , ,Q

Bài toán trở thành tìm 1 2 nQ ,Q , ,Q để hàm cực đại

Ví dụ: Giả sử một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ tại hai

thị trường tách biệt. Giả sử các hàm cầu trên hai thị trường lần lượt là:

1 2

1 2D D

P PQ 80 ;Q 80

3 4

Hàm tổng chi phí:

C(Q) = Q2 + 30Q + 10

Và Q = Q1 + Q2 là tổng sản lượng.

Yêu cầu: Tìm lượng sản phẩm Q1, Q2 mà công ty cung cấp cho các thị

trường sao cho lợi nhuận đạt cao nhất?

Giải: Giả sử công ty cung cấp cho thị trường 1 là Q1 sản phẩm, thị trường 2 là Q2

sản phẩm.

1 21 2

P PQ 80 ;Q 80

3 4

và Q = Q1 + Q2

P1 = 240 – 3Q1, P2 = 320 – 4Q2.

Do đó doanh thu trên các thị trường lần lượt là:

R1 = (240 – 3Q1)Q1

R2 = (320 – 4Q2)Q2

Khi đó tổng lợi nhuận là:

= R1 + R2 – C

= (240 – 3Q1)Q1 + (320 – 4Q2)Q2 - Q2 + 30Q + 10 (Q = Q1 + Q2)

Cực đại toàn cục của hàm là (Q1, Q2) = (20, 25).

Vậy công ty cung cấp cho thị trường thứ nhất là Q1 = 20 đơn vị hàng với đơn

giá P1 = 240 – 3Q1 = 180.

Cung cấp cho thị trường thứ hai là Q2 = 25 đơn vị hàng hóa với đơn giá là

P2 = 320 – 4Q2 = 220.

16

3.2.4. Bài toán tối đa hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiều mặt hàng

trong điều kiện độc quyền

Cho một doanh nghiệp độc quyền sản xuất và kinh doanh n loại hàng hóa,

biết hàm cầu của các hàng hóa trên là

1

2

n

D 1 1

D 2 2

D n n

Q D P

Q D P

Q D P

Trong đó:

iDQ : Lượng hàng cầu của loại hàng hóa thứ i

1 2 nP ,P , ,P : Giá bán của loại hàng hóa thứ i

1 2 nQ ,Q , ,Q : Sản lượng của loại hàng hóa thứ i

Hàm tổng chi phí 1 2 nC C Q C Q ,Q , ,Q

Tìm mức sản lượng 1 2 nQ ,Q , ,Q mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi

nhuận đạt cực đại.


Gọi 1 2 nQ ,Q , ,Q là các mức sản lượng cần tìm

Để doanh nghiệp bán hết hàng thì

11

2 2

n n

D 1 1 2 n1 D 1 1 1 2 n

2 D D 2 1 2 n 2 2 1 2 n

n D n n 1 2 nD n 1 2 n

Q D P ,P , ,PQ Q P P Q ,Q , ,Q

Q Q Q D P ,P , ,P P P Q ,Q , ,Q

Q Q P P Q ,Q , ,QQ D P ,P , ,P

Doanh thu

n n

1 1 2 2 n n i i i i 1 2 n

i 1 i 1

R Q P Q P Q P Q P Q P Q ,Q , ,Q

Chi phí

1 2 nC C Q C Q ,Q , ,Q

17

Lợi nhuận

n

i i 1 2 n 1 2 n

i 1

R C Q P Q ,Q , ,Q C Q ,Q , ,Q

Bài toán trở thành tìm 1 2 nQ ,Q , ,Q để hàm cực đại

Ví dụ: Cho một doanh nghiệp độc quyền sản xuất và kinh doanh 2 loại hàng, biết

hàm cầu của 2 loại hàng hóa đó như sau:

1

2

D 1 2

D 1 2

Q 40 2P P

Q 15 P P

Hàm chi phí 2 2

1 1 2 2C Q Q Q Q

Tìm các mức sản lượng từng loại mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận

của doanh nghiệp đạt cực đại.

Giải: Gọi 1 2Q ,Q là các mức sản lượng cần tìm

Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng

1

2

1 D 1 1 2 1 1 2

2 D 2 1 2 2 1 2

Q Q Q 40 2P P P 55 Q Q

Q Q Q 15 P P P 70 Q 2Q

Doanh thu

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2

2 2

1 2 1 2 1 2

R Q P Q P Q 55 Q Q Q 70 Q 2Q

R Q 2Q 2Q Q 55Q 70Q

Chi phí

2 2

1 1 2 2C Q Q Q Q

Lợi nhuận 2 2

1 2 1 2 1 2R C 2Q 3Q 3Q Q 55Q 70Q

Bài toán trở thành tìm 1 2Q ,Q để hàm đạt cực đại

Điểm dừng là nghiệm của hệ

1

2

1Q 1 2

Q 1 2 2

Q 80 55 4Q 3Q 023

0 70 3Q 6Q 0 Q3

Xét các đạo hàm riêng cấp hai

2 21 1 2 2 1 2Q Q Q Q Q Q

4; 3; 6

18

Khi đó ma trận Hesse

4 3H

3 6

1

2

H 4 0

4 3H 15 0

3 6

Vậy hàm đạt cực đại tại mức sản lượng 1 2

23Q 8, Q

3

Vậy doanh nghiệp có lợi nhuận cực đại nếu sản xuất 8 đơn vị hàng hóa thứ

nhất và 23

3 đơn vị hàng hóa thứ hai.

III. KẾT LUẬN

Với các kiến thức toán học về cực trị hàm hai biến số ta có thể giải được một

số bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các bài toán kinh tế. Sau đây là một

số ví dụ mà các bạn có thể tự giải.

BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1. Số hàng hóa của một cửa hàng bán ra trong một năm là n = 400000 sản

phẩm, chi phí lưu kho của mỗi đơn vị hàng hóa là 2$, chi phí cho mỗi chuyến đặt

hàng là 10$. Xác định kích thước lô hàng Q để tổng chi phí của cửa hàng là nhỏ

nhất.

Bài 2. Cho hàm cầu Q = 300 – P và hàm chi phí 3 2C Q 19Q 333Q 10 . Tìm Q

để lợi nhuận lớn nhất.

Bài 3. Một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm, biết hàm tổng chi phí

2C Q 1000Q 100 và hàm cầu P

Q 41002

a. Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để tổng lợi nhuận và tổng

thuế chính phủ thu được đạt cực đại.

b. Muốn công ty sản xuất ít nhất là 200 sản phẩm thì mức thuế thu trên mỗi đơn vị

sản phẩm là bao nhiêu.

Bài 4. Một nhà máy sản xuất máy tính xác định rằng để bán x sản phẩm mới, giá

mỗi sản phẩm phải là p = 1000 – x. Nhà sản xuất cũng xác định được tổng giá trị

của x sản phẩm làm ra cho bởi C x 3000 2x

a. Tìm tổng thu nhập R x

19

b. Tìm tổng lợi nhuận P x

c. Nhà máy phải sản xuất và bán bao nhiêu loại sản phẩm để lợi nhuận lớn nhất.

Khi đó lợi nhuận lớn nhất là bao nhiêu

d. Giá mỗi sản phẩm là bao nhiêu để lợi nhuận lớn nhất

Bài 5. Cho hàm lợi nhuận của một doanh nghiệp như sau:

= 80X – X2 – XY - 2Y2 + 60Y – 10

Hãy xác định sản lượng X và Y để doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận. Tìm lợi

nhuận tối đa đó ?

Bài 6. Cho hàm tổng doanh thu và tổng chi phí của một doanh nghiệp như sau:

R = 26X – X2 + 60Y

C = 20X - 2X2 + XY - Y2 + 20Y + 5

Hãy xác định sản lượng X và Y để doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận. Tìm lợi

nhuận tối đa đó ?

Bài 7. Cho hàm tổng chi phí của một doanh nghiệp như sau:

C = 40X – X2 – XY - Y2 + 45Y + 6

Hãy xác định sản lượng X và Y để doanh nghiệp tối thiểu hóa chi phí. Tìm chi phí

tối thiểu đó?

Trong đó:

X, Y là số lượng hàng hóa X, Y ;

là lợi nhuận

R là hàm tổng doanh thu

C là hàm tổng chi phí )

Bài 8. Số hàng hóa của một cửa hàng bán ra trong một năm là n = 400000 sản

phẩm, chi phí lưu kho của mỗi đơn vị hàng hóa là 2$, chi phí cho mỗi chuyến đặt

hàng là 10$. Xác định kích thước lô hàng Q để tổng chi phí của cửa hàng là nhỏ

nhất.

IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Quốc Hưng (2009), Toán cao cấp và một số ứng dụng trong kinh

doanh, Nxb Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh.

[2] Lê Đình Thúy (2010), Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, Nxb Giáo dục.

[3] Nguyễn Huy Hoàng (2010), Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà

kinh tế, Nxb Đại học Kinh tế Quốc dân.

Tải về bài nghiên cứu trao đổi tại đây

Documents

Transcript of Tải về bài nghiên cứu trao đổi tại đây