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intérêt simpleescompteintérêt composé

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  • Grer le portefeuille de valeurs mobilires

    Chapitre 13 Les mathmatiques financires

    Grer ses finances personnelles ou jouer le rle de conseiller dans ce domaine demande que lon ait une bonne connaissance des produits financiers et des marchs sur lesquels ils se ngocient. On devra aussi tre en mesure de compa-rer diffrents choix qui soffrent pour latteinte des objectifs de scurit et de progression financire. Plusieurs dcisions impliqueront que lon ait calcul de faon prcise les avantages montaires qui en dcoulent. Pour ce faire, le plani-ficateur financier a recours un ensemble de techniques de calcul que lon ap-pelle mathmatiques financires ou mathmatiques de lintrt. Celles-l font lobjet du prsent texte. De faon particulire, aprs sa lecture, vous pourrez:

    1. calculer la valeur capitalise ou future dun montant fixe ou dune srie de versements en utilisant le multiplicateur dune table conue cet effet ou une formule approprie;

    2. calculer la valeur actualise ou prsente dun montant fixe ou dune srie de versements en utilisant le multiplicateur dune table conue cet effet ou une formule approprie;

    3. expliquer comment rsoudre des problmes de mathmatiques financires en ayant recours des outils tels le calculateur financier et le chiffrier lectronique;

    4. utiliser la technique de lapproximation dun taux laide de la mthode de linterpolation, partir des multiplicateurs tirs dune table dintrt;

    5. rsoudre des problmes comprenant des annuits de dbut de priode laide dune table fournissant les facteurs dintrt pour des annuits de fin de priode;

    6. appliquer les notions de mathmatiques financires la solution de divers problmes lis la gestion des finances personnelles.

    Objectifs

  • 250 Chapitre 13 Les mathmatiques financires

    Grer le portefeuille de valeurs mobilires

    Une bonne familiarit avec les mathmatiques financires se rvle un prcieux atout pour qui veut grer ses finances personnelles ou conseiller dautres per-sonnes dans ce domaine. En effet, on peut mettre ces connaissances en pratique dans presque tous les aspects de la planification financire, quil sagisse de lanalyse de produits financiers visant latteinte de la scurit financire, tels les assurances et les rgimes dpargne-retraite, de lvaluation de placements en titres taux fixe, de lanalyse dactions ordinaires et de placements immobiliers ou, enfin, dun choix entre diffrentes options de stratgies fiscales.

    1. La notion dintrtLe dictionnaire Larousse donne diffrentes significations pour le mot intrt, dont celle-ci, qui correspond son utilisation habituelle dans les domaines lis la gestion des finances personnelles:

    Somme que le dbiteur paie au crancier pour de largent prt.

    Les mathmatiques financires permettent de calculer diffrentes valeurs sap-pliquant une situation o un intrt est encaiss ou pay, par exemple:

    le montant de lintrt payer sur un prt personnel; le montant dintrt gagn sur un placement taux fixe, au cours dune p-

    riode donne; le montant pargner pour engendrer un montant recherch une chance

    donne; le nombre de priodes pendant lesquelles un emprunt devra tre rembours,

    si lon suppose un remboursement dune somme de X$ et un taux dintrt de Y%.

    Non seulement les mathmatiques de lintrt sappliquent-elles toutes les si-tuations comprenant le paiement ou la rception dun intrt au sens strict, mais elles sont galement utilises pour calculer le taux de rendement dans des situations o on ne trouve pas dintrt, selon la dfinition que nous en avons donne. En effet, les techniques que nous verrons sous peu permettent aussi de calculer le rendement annuel moyen dun investissement en actions, dont les re-tombes pcuniaires se manifesteront sous forme de dividende et de gain en ca-pital. On pourra galement les utiliser pour calculer le rendement dun investissement dans limmobilier.

    A. Intrt simple et intrt composDans notre systme conomique, le capital est considr comme un facteur deproduction primordial pour le bon fonctionnement des entreprises et des autresagents conomiques. Cette contribution est rmunre juste titre par le verse-ment rgulier et priodique dintrt ou dautres formes de paiements (dividen-des, loyers, etc.). Les revenus dintrts que touche un prteur la fin dunepriode peuvent tre prts ou placs leur tour, augmentant du fait mme lecapital-prt de linvestisseur, et, dune priode lautre, le montant dintrtglobal que touche un prteur ou un investisseur. Ce phnomne par lequel un

  • Chapitre 13 Les mathmatiques financires 251

    Grer le portefeuille de valeurs mobilires

    capital initial est augment des revenus dintrts de chaque priode, ce quipermet de gagner au cours des priodes suivantes des intrts sur lintrt despriodes prcdentes en plus den retirer sur le capital initial, sappelle la com-position de lintrt ou, plus communment, lintrt compos. Il dcrit la con-ception que lon se fait aujourdhui de lintrt dans la presque totalit dessituations qui le concernent. Lexemple 1.1 illustre une application du conceptdintrt compos pour un placement taux fixe.

    Exemple 1.1

    M. Caron a investi 5 000$ dans un certificat de placement garanti intrt compos offert par une socit de fiducie exploitant une succursale dans la lo-calit o il rside. Ce placement comporte un taux dintrt de 8%, calcul an-nuellement. Lappellation intrt compos signifie que lintrt annuel ne sera pas vers M. Caron mais quil sajoutera plutt au capital pour rapporter un intrt suprieur au cours des priodes suivantes. lchance du place-ment, le fiduciaire remboursera le capital initial et paiera tous les intrts ga-gns. Le tableau ci-aprs illustre lvolution du revenu dintrt et du capital accumul de M. Caron au cours de la dure du placement.

    Comme on le constate, le montant dintrt gagn par M. Caron augmente dan-ne en anne, puisque le fiduciaire calcule lintrt non pas sur le capital initial de 5 000$, mais sur le capital accumul au dbut de la priode. Ainsi, lintrt applicable la 3e priode sobtient en multipliant le taux dintrt, 8%, par le ca-pital accumul la fin de la 2e priode, 5 832,00$, ce qui donne , soit 466,56 $.

    Lexemple qui prcde illustre une situation o lmetteur dun placement prend sa charge la composition de lintrt en ajoutant les montants dintrt gagns priodiquement au capital dj accumul et en versant, pour la priode

    Moment/priode

    Intrtgagn au cours de lapriode

    Capitalaccumul la fin de la priode

    Intrtcumulatif

    dbut du placement (temps 0) 0,00$ 5 000,00$ 0,00$

    1re anne (priode 1) 400,00$ 5 400,00$ 400,00$

    2e anne (priode 2) 432,00$ 5 832,00$ 832,00$

    3e anne (priode 3) 466,56$ 6 298,56$ 1 298,56$

    4e anne (priode 4) 503,88$ 6 802,44$ 1 802,44$

    5e anne (priode 5) 544,20$ 7 346,64$ 2 346,64$

    8 % 5 832,00 $u

  • 252 Chapitre 13 Les mathmatiques financires

    Grer le portefeuille de valeurs mobilires

    suivante, de lintrt sur le montant de capital rsultant de cette addition. Bien quun tel exemple illustre parfaitement ce quest lintrt compos, notons quil nest pas ncessaire que lmetteur dun placement assure le rinvestissement dun revenu pour que le concept dintrt compos sapplique. En effet, si M. Caron dtenait un certificat de placement intrt rgulier grce auquel il per-cevrait un montant annuel dintrt de 400$1 que lui verserait le fiduciaire, il aurait le loisir de placer de nouveau chaque paiement dintrt dans des pro-duits financiers distincts, bnficiant ainsi de la composition de lintrt sur les revenus dintrts produits par son capital initial.

    Par opposition lintrt compos, on dcrit lintrt simple comme un intrt pay ou peru, lchance dun contrat de prt ou de placement, et calcul, pour chaque priode, sur le capital initial non augment des intrts des prio-des prcdentes. tant donn que lintrt nest ni vers la fin de chaque p-riode ni ajout au capital initial aux fins du calcul de lintrt applicable aux priodes suivantes, il ny a pas, dans un tel cas, composition de lintrt. Les dif-frentes lgislations rgissant le fonctionnement des institutions financires de mme que les lois protgeant le consommateur ont pratiquement fait dispara-tre lintrt simple du domaine des finances personnelles.

    Les techniques de mathmatiques financires prsentes dans cette leon sap-pliquent strictement aux situations comprenant lintrt compos.

    B. Intrt priodique, intrt nominal et intrt effectifBien que, comme nous venons de lexpliquer, les contrats de placement et les contrats de prt en vigueur au Canada prvoient le calcul et lattribution de lin-trt de faon priodique, ce qui permet la composition de lintrt ou lintrt compos, il existe diffrentes faons de se rfrer au taux dintrt dun mme contrat. On distingue, en effet, le taux dintrt priodique, le taux dintrt no-minal et le taux dintrt effectif dun placement. Dans le cas o lintrt est cal-cul et accord au propritaire du capital une fois par anne, ces trois taux seront identiques. Par contre, si la priode de rfrence pour le calcul de lint-rt est de moins de 1 an, par exemple mensuelle, trimestrielle ou semestrielle, ces trois taux seront de valeurs diffrentes.

    i) Le taux priodique dun placement ou dun empruntLe taux priodique est le taux utilis chaque priode de calcul dintrt pour dterminer lintrt sur un emprunt ou sur un placement. Par exemple, si un certificat de placement de 1 000$ offre son dtenteur la possibilit de retirer un intrt semestriel de 40$, le taux priodique de ce placement est de 4%, soit

    . Mentionnons quon dsigne la priode retenue pour le calcul de lintrt par la priode de capitalisation ou composition de lintrt.

    1. Soit .8 % 5 000,00 $u

    4 % 1 000 $u

  • Chapitre 13 Les mathmatiques financires 253

    Grer le portefeuille de valeurs mobilires

    ii) Le taux nominal dun prt ou dun placementLe taux nominal dun placement est simplemen