T6-Funcións-3º ESO.pdf

7/23/2019 T6-Funcións-3º ESO.pdf

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¿ P u e d o e s t a b l e c e r a l g u n a r e l a c i ó n e n t r e e s t a u n i d a d y a l g u n a

u n i d a d d e o t r a a s i g n a t u r a ?

I m a g i n a q u e e l p e r f i l d e l a s m o n t a ñ a s e s l a r e p r e s e n t a c i ó n d e u n a

g r á f i c a .

O b s e r v a a h o r a t o d a s l a s i m á g e n e s . ¿ Q u é c a r a c t e r í s t i c a s d e l a s

g r á f i c a s r e c u e r d a s ? E x p l í c a l o a t u s c o m p a ñ e r o s .

F u n c i o n e s . C a r a c t e r í s t i c a s

0 6 F u n c i o n e s .

C a r a c t e r í s t i c a s

V o l v e r



L a v a r i a b l e i n d e p e n d i e n t e , , d e b e s u n o m b r e a q u e

p u e d e t o m a r d i f e r e n t e s v a l o r e s , s i b i e n s o l o e n t r e

a q u e l l o s q u e t e n g a n s e n t i d o .

P o r s u p a r t e , l a v a r i a b l e d e p e n d i e n t e , s e d e n o m i n a

a s í p o r q u e s u v a l o r d e p e n d e d e l v a l o r q u e t o m e x .

P a r a s a b e r s i u n a g r á f i c a e s o n o u n a f u n c i ó n , h a y q u e

f i j a r s e e n s i h a y a l g ú n v a l o r d e l a v a r i a b l e x a l q u e l e

c o r r e s p o n d a n d o s o m á s i m á g e n e s d i s t i n t a s .

F u n c i o n e s

0 1

N o t i e n e s e n t i d o d a r

v a l o r e s n e g a t i v o s a

l a v a r i a b l e

i n d e p e n d i e n t e p a r a

c a l c u l a r e l á r e a d e

u n c u a d r a d o e n l a

f u n c i ó n :

y = x

2

A e s o e s a l o q u e

n o s r e f e r i m o s

c u a n d o a f i r m a m o s

q u e l o s v a l o r e s q u e

a s i g n e m o s t i e n e n

q u e t e n e r s e n t i d o .

U n a f u n c i ó n e s u n a r e l a c i ó n o c o r r e s p o n d e n c i a

e n t r e d o s v a r i a b l e s , x e y , d e f o r m a q u e a c a d a

v a l o r d e l a v a r i a b l e i n d e p e n d i e n t e , x

, l e

c o r r e s p o n d e u n ú n i c o v a l o r d e l a v a r i a b l e

d e p e n d i e n t e , y .

0 6 F u n c i o n e s .


V o l v e r



H a y v a l o r e s d e x a l o s q u e l e s c o r r e s p o n d e n d o s

v a l o r e s d e y : y 1 e y 2 . P o r l o t a n t o , e s t a g r á f i c a

r e p r e s e n t a u n a f u n c i ó n .

A c a d a v a l o r d e x

l e c o r r e s p o n d e u n ú n i c o v a l o r d e

y . P o r l o t a n t o , e s u n a f u n c i ó n .



A C T I V I D A D R E S U E L T A

¿ E s u n a f u n c i ó n l a r e l a c i ó n q u e h a c e c o r r e s p o n d e r a c a d a n ú m e r o

e n t e r o c o n s u c u a d r a d o ?

1

F í j a t e e n l a r e l a c i ó n q u e a s o c i a a c a d a n ú m e r o e n t e r o s u c u a d r a d o :

N ú m e r o s

e n t e r o s

C u a d r a d o

d e l n ú m e r o

– 1 1

0 0

2 4

x y = x

2

O b s e r v a m o s q u e , p a r a c a d a n ú m e r o e n t e r o , x , h a y u n ú n i c o n ú m e r o , y ,

p u e s c u a l q u i e r n ú m e r o e n t e r o t i e n e u n ú n i c o c u a d r a d o . L u e g o , l a r e l a c i ó n

q u e a s o c i a a c a d a n ú m e r o e n t e r o c o n s u c u a d r a d o e s , e n e f e c t o , u n a

f u n c i ó n .



0 1 . 1 F o r m a s d e r e p r e s e n t a r

u n a f u n c i ó n

u n a f u n c i ó n U n a f u n c i ó n s e p u e d e e x p r e s a r

m e d i a n t e u n e n u n c i a d o , u n a e x p r e s i ó n

a l g e b r a i c a , u n a t a b l a d e v a l o r e s o g r á f i c a .

U n e n u n c i a d o

L a f u n c i ó n s e i n d i c a m e d i a n t e f r a s e s t o m a d a s d e l

l e n g u a j e c o t i d i a n o :

« U n g r u p o d e a m i g o s d e c i d e i r a l t e a t r o . C a d a e n t r a d a

c u e s t a 2 0 € » .


¿ E s u n a f u n c i ó n l a r e l a c i ó n q u e h a c e c o r r e s p o n d e r a c a d a n ú m e r o

n a t u r a l c o n s u r a í z c u a d r a d a ?

2

L a r e l a c i ó n q u e a s o c i a a c a d a n ú m e r o n a t u r a l s u r a í z c u a d r a d a e s :

E n e s t e c a s o n o s e t r a t a d e u n a f u n c i ó n , p u e s l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s

t i e n e n a s o c i a d a s d o s r a í c e s c u a d r a d a s , l a p o s i t i v a y l a n e g a t i v a . A s í , p o r

e j e m p l o , a l n ú m e r o x = 1 l e c o r r e s p o n d e y = √ 1 = ± 1 , e s d e c i r , l e

c o r r e s p o n d e n d o s v a l o r e s d e y .



U n a e x p r e s i ó n a l g e b r a i c a

L a f u n c i ó n s e i n d i c a a t r a v é s d e u n a e x p r e s i ó n

a l g e b r a i c a q u e a s o c i a a c a d a v a l o r d e x u n ú n i c o

v a l o r d e y

. S e r e p r e s e n t a m e d i a n t e

y = f ( x ) , q u e s e l e e «

y e s f u n c i ó n d e

x » .

L a e x p r e s i ó n a l g e b r a i c a d e l e n u n c i a d o a n t e r i o r e s :

y = 2 0

x

U n a t a b l a d e v a l o r e s

L a f u n c i ó n v i e n e d a d a m e d i a n t e u n a t a b l a d e

v a l o r e s , e s d e c i r , a t r a v é s d e p a r e s d e v a l o r e s d e

l a s v a r i a b l e s x e y , ( x , y ) .

L a t a b l a d e v a l o r e s d e l e n u n c i a d o a n t e r i o r e s :

x = n . º d e e n t r a d a s y = p r e c i o € )

0 0

1 2 0

2 4 0

3 6 0



U n a g r á f i c a

L a f u n c i ó n v i e n e r e p r e s e n t a d a e n u n a g r á f i c a m e d i a n t e l o s p a r e s d e v a l o r e s ( x , y)

d i s p u e s t o s s o b r e l o s e j e s d e c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s :

a .

b .

A C T I V I D A D E S

¿ E s u n a f u n c i ó n l a r e l a c i ó n e n t r e u n n ú m e r o n a t u r a l y s u

s i g u i e n t e ? J u s t i f i c a t u r e s p u e s t a .

1

I n d i c a s i e s t a s g r á f i c a s s o n f u n c i o n e s :

2

3



a . ¿ C u á l d e e s a s f u n c i o n e s p a s a p o r e l p u n t o ?

b . ¿ E n q u é p u n t o s s e c o r t a n l a s f u n c i o n e s d e l á r e a d e u n c u a d r a d o y e l

v o l u m e n d e u n c u b o ?

c . ¿ E x i s t e a l g ú n p u n t o e n e l q u e s e c o r t e n t o d a s l a s f u n c i o n e s ?

¿ P o d r í a n c o i n c i d i r d e n u e v o t o d a s e l l a s e n o t r o p u n t o p a r a v a l o r e s d e x

m a y o r e s q u e 3 ?

d . A l a u m e n t a r l o s v a l o r e s d e l a v a r i a b l e i n d e p e n d i e n t e , ¿ d i s m i n u y e n o

a u m e n t a n l o s v a l o r e s d e l a v a r i a b l e d e p e n d i e n t e d e l a s d i s t i n t a s

f u n c i o n e s ?

a . f ( x

) = 3 x

– 5

b . f ( x

) =

c . f ( x

) =

H a l l a l a i m a g e n d e l o s v a l o r e s x

= – 2 , x

= 4 y x

= p a r a l a s

s i g u i e n t e s f u n c i o n e s :

3

R e p r e s e n t a e n u n m i s m o e j e d e c o o r d e n a d a s l a s f u n c i o n e s d e l

p e r í m e t r o y e l á r e a d e u n c u a d r a d o d e l a d o x , y l a s f u n c i o n e s d e l

á r e a y e l v o l u m e n d e u n c u b o d e a r i s t a x , p a r a v a l o r e s

c o m p r e n d i d o s e n t r e [ 0 , 3 ] .

4



E l d o m i n i o , e l r e c o r r i d o y l o s p u n t o s d e c o r t e s o n

c a r a c t e r í s t i c a s b á s i c a s d e u n a f u n c i ó n . A c o n t i n u a c i ó n ,

l a s d e f i n i r e m o s y a p r e n d e r e m o s a c a l c u l a r l a s .

0 2 . 1 D o m i n i o y r e c o r r i d o d e

u n a f u n c i ó n

E l d o m i n i o d e u n a f u n c i ó n , f ( x

) , e s e l c o n j u n t o d e

v a l o r e s q u e t o m a l a v a r i a b l e i n d e p e n d i e n t e , x

. S e

r e p r e s e n t a p o r D f ) .

E l r e c o r r i d o o i m a g e n d e u n a f u n c i ó n , f ( x

) , e s e l

c o n j u n t o d e v a l o r e s q u e t o m a l a v a r i a b l e d e p e n d i e n t e ,

y . S e r e p r e s e n t a p o r R f ) o I m f ) .

E l d o m i n i o y e l r e c o r r i d o d e u n a f u n c i ó n s e e x p r e s a n

c o m o u n i n t e r v a l o o c o m o l a u n i ó n d e i n t e r v a l o s . L o s

s i g u i e n t e s s o n l o s t i p o s d e i n t e r v a l o s p o s i b l e s :

D o m i n i o y r e c o r r i d o d e

u n a f u n c i ó n . P u n t o s d e

c o r t e c o n l o s e j e s

0 2

S i e n u n i n t e r v a l o a

= – ∞ o b = + ∞ , e l

i n t e r v a l o s e

e s c r i b i r á :

( – ∞ , b ) o ( – ∞

, b ]

( a , + ∞ ) o [ a ,

+ ∞ )

F í j a t e e n q u e e l

i n t e r v a l o s i e m p r e e s

a b i e r t o e n ± ∞ .

I n t e r v a l o c e r r a d o [ a , b ]

E s t á f o r m a d o p o r e l c o n j u n t o d e v a l o r e s d e x

t a l e s q u e l o s v a l o r e s a

y b

s í p e r t e n e c e n a l

i n t e r v a l o :

0 6 F u n c i o n e s .


V o l v e r



a ≤ x

≤ b

I n t e r v a l o a b i e r t o ( a , b )


t a l e s q u e l o s v a l o r e s a

y b

n o p e r t e n e c e n a l

i n t e r v a l o :

a < x

< b

I n t e r v a l o s e m i a b i e r t o p o r l a i z q u i e r d a ( a , b ]


t a l e s q u e e l v a l o r a n o p e r t e n e c e a l i n t e r v a l o ,

m i e n t r a s q u e e l v a l o r b

s í p e r t e n e c e a é l :

a < x

≤ b

I n t e r v a l o s e m i a b i e r t o p o r l a d e r e c h a [ a , b )


t a l e s q u e e l v a l o r a

p e r t e n e c e a l i n t e r v a l o , p e r o e l

v a l o r b

n o p e r t e n e c e a é l :



O b s e r v a q u e , s i u n p u n t o p e r t e n e c e a l i n t e r v a l o , s e

r e p r e s e n t a m e d i a n t e • , m i e n t r a s q u e , s i n o p e r t e n e c e a

é l , s e r e p r e s e n t a p o r

o

.

a ≤ x

< b


D e t e r m i n a e l d o m i n i o y e l r e c o r r i d o d e l a

f u n c i ó n d e l m a r g e n .

P a r a d e t e r m i n a r e l d o m i n i o ,

n o s f i j a m o s e n e l e j e X

: l a

f u n c i ó n t o m a v a l o r e s d e s d e x

=

– 2 h a s t a x

= 3 y d e s d e x

= 4

h a s t a x

= 5 .

P o r t a n t o , e l d o m i n i o e s D ( f ) =

[ – 2 , 3 ) U [ 4 , 5 ] .

( E s t á r e p r e s e n t a d o c o n l í n e a

v e r d e ) .

P a r a d e t e r m i n a r e l r e c o r r i d o ,

n o s f i j a m o s e n e l e j e Y

: l a

f u n c i ó n t o m a v a l o r e s d e s d e y

=

– 3 h a s t a y

= 3 .

L u e g o , e l r e c o r r i d o e s R ( f ) = [ –

3 , 3 ) .



0 2 . 2 P u n t o s d e c o r t e c o n l o s e j e s d e

c o o r d e n a d a s

L o s p u n t o s d e c o r t e c o n l o s e j e s d e u n a f u n c i ó n s o n l o s

p u n t o s d e i n t e r s e c c i ó n d e l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n c o n

l o s e j e s d e c o o r d e n a d a s .

f ( x

) = 0 P u n t o s d e c o r t e c o n e l e j e X : ( x

, 0 )

( E s t á r e p r e s e n t a d o c o n l í n e a

a z u l ) .

U n a f u n c i ó n s o l o

p u e d e t e n e r u n

p u n t o d e c o r t e c o n

e l e j e Y

, p u e s , d e l o

c o n t r a r i o , a l v a l o r x

= 0 l e

c o r r e s p o n d e r í a n d o s

v a l o r e s d e y

, c o n l o

q u e ,

c o n s e c u e n t e m e n t e ,

n o s e r í a u n a

f u n c i ó n .

L o s p u n t o s d e c o r t e d e u n a f u n c i ó n , f ( x

) , c o n e l e j e

s e c a r a c t e r i z a n p o r t e n e r t o d o s e l l o s s u v a r i a b l e

d e p e n d i e n t e , y

, i g u a l a c e r o . P a r a o b t e n e r l o s , s e

i g u a l a a c e r o l a e x p r e s i ó n a l g e b r a i c a d e l a f u n c i ó n y

s e r e s u e l v e l a e c u a c i ó n :

E l p u n t o d e c o r t e d e u n a f u n c i ó n , f ( x

) , c o n e l e j e

s e c a r a c t e r i z a p o r t e n e r s u v a r i a b l e i n d e p e n d i e n t e , x ,



x = 0 y

= f ( 0 ) P u n t o d e c o r t e

c o n e l e j e Y

: ( 0 , y )

a . T o d o s l o s n ú m e r o s p o s i t i v o s .

b . T o d o s l o s n ú m e r o s m a y o r e s o i g u a l e s q u e 5 .

c . T o d o s l o s n ú m e r o s m e n o r e s q u e – 3 .

d . L o s n ú m e r o s c o m p r e n d i d o s e n t r e – 4 y 7 .

a . ( 1 , 6 )

b . [ – 2 , 3 ]

c . ( 0 , 9 ]

d . [ – 3 , 4 )

i g u a l a c e r o . P a r a o b t e n e r l o , s e s u s t i t u y e l a v a r i a b l e

x p o r e l v a l o r c e r o ,

x = 0 , e n l a e x p r e s i ó n a l g e b r a i c a

d e l a f u n c i ó n y s e o p e r a :


E s c r i b e e n f o r m a d e i n t e r v a l o l o s s i g u i e n t e s c o n j u n t o s d e

n ú m e r o s :

5

I n d i c a t o d o s l o s n ú m e r o s e n t e r o s q u e p e r t e n e c e n a l o s s i g u i e n t e s

i n t e r v a l o s :

6



a .

b .

a . U n n ú m e r o c o n s u v a l o r a b s o l u t o .

b . U n n ú m e r o c o n s u c u b o .

c . U n n ú m e r o n a t u r a l c o n s u i n v e r s o .

H a l l a e l d o m i n i o , e l r e c o r r i d o y l o s p u n t o s d e c o r t e c o n l o s e j e s d e

e s t a s f u n c i o n e s :

7

R e p r e s e n t a u n a f u n c i ó n q u e t i e n e p o r d o m i n i o ( – 4 , 6 ] y c u y o

r e c o r r i d o e s [ 0 , 3 ] U ( 5 , 7 ] .

8

D e t e r m i n a e l d o m i n i o y e l r e c o r r i d o d e l a s f u n c i o n e s q u e

r e l a c i o n a n :

9




H a l l a l o s p u n t o s d e c o r t e d e l a f u n c i ó n y

= x

2

+ x

– 6 c o n l o s

e j e s d e c o o r d e n a d a s .

1 0

C o n e l e j e X :

I g u a l a m o s l a v a r i a b l e y

a c e r o : y

= 0 ⇒ x

2

+

x – 6 = 0

L o s p u n t o s d e c o r t e c o n e l e j e X

s o n A ( 2 , 0 )

y B ( – 3 , 0 ) .

C o n e l e j e Y

: I g u a l a m o s l a v a r i a b l e x

a c e r o :

x = 0 ⇒ y

= 0

2

+ 0 – 6 = – 6

E l p u n t o d e c o r t e c o n e l e j e

Y

e s C ( 0 , – 6 ) .

S i s e r e p r e s e n t a l a f u n c i ó n y

= x

2

+ x

– 6 , s e

c o n s t a t a q u e l o s p u n t o s d e c o r t e c o i n c i d e n

c o n l o s c a l c u l a d o s .



a . y

= 3 x

– 1 2

b . y

= 2 x

2

– 5 x

– 3

c . y

= x

2

+ 1

d . y =

H a l l a l o s p u n t o s d e c o r t e c o n l o s e j e s d e l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s :

1 1



A c o n t i n u a c i ó n , v a m o s a a n a l i z a r o t r a s d o s

c a r a c t e r í s t i c a s : e l s i g n o d e l a f u n c i ó n y l a s s i m e t r í a s .

0 3 . 1 S i g n o d e u n a f u n c i ó n

E s t u d i a r e l s i g n o d e u n a f u n c i ó n c o n s i s t e e n v e r e n q u é

i n t e r v a l o s e s t á s u g r á f i c a p o r e n c i m a o p o r d e b a j o d e l

e j e X , e s d e c i r , c o m p r o b a r p a r a q u é v a l o r e s d e l a

v a r i a b l e i n d e p e n d i e n t e , x , l a v a r i a b l e d e p e n d i e n t e , y , e s

p o s i t i v a , n e g a t i v a o n u l a .

L o s i n t e r v a l o s s e h a l l a n m e d i a n t e l o s p u n t o s d e c o r t e

c o n e l e j e , d o n d e l a f u n c i ó n p u e d e p a s a r d e t e n e r u n a

i m a g e n n e g a t i v a a o t r a p o s i t i v a , o v i c e v e r s a .

S e g ú n s u s i g n o , u n a f u n c i ó n p u e d e s e r :

S i g n o y s i m e t r í a d e u n a

f u n c i ó n

0 3

U n a f u n c i ó n p u e d e

t e n e r

s i m u l t á n e a m e n t e

i n t e r v a l o s d o n d e

s e a p o s i t i v a ,

n e g a t i v a y n u l a .

P o s i t i v a

U n a f u n c i ó n e s p o s i t i v a s i s u g r á f i c a e s t á p o r

e n c i m a d e l e j e X . L a v a r i a b l e d e p e n d i e n t e , y , e s

p o s i t i v a .

O b s e r v a

0 6 F u n c i o n e s .


V o l v e r



N e g a t i v a

U n a f u n c i ó n e s n e g a t i v a s i s u g r á f i c a e s t á p o r

d e b a j o d e l e j e X . L a v a r i a b l e d e p e n d i e n t e , y , e s

n e g a t i v a .

N u l a

U n a f u n c i ó n e s n u l a s i s u g r á f i c a e s t á s o b r e e l e j e

X . L a v a r i a b l e d e p e n d i e n t e , y , e s c e r o . E n e s t e

c a s o s e t r a t a d e l o s p u n t o s d e c o r t e c o n e l e j e X .




E s t u d i a e l s i g n o d e l a f u n c i ó n d e l m a r g e n :

P a r a e s t u d i a r e l s i g n o d e l a f u n c i ó n ,

f í j a t e e n e l e j e X :

L a z o n a a z u l e s t á p o r e n c i m a d e l e j e X ;

p o r t a n t o , s e c o r r e s p o n d e c o n l o s

i n t e r v a l o s d o n d e l a f u n c i ó n e s p o s i t i v a .

D e e s t e m o d o , e s p o s i t i v a e n [ – 4 , – 2 ) ∪

( 1 , 3 ] .

L a z o n a r o j a , p o r e l c o n t r a r i o , s e

e n c u e n t r a p o r d e b a j o d e l e j e X ; e n

c o n s e c u e n c i a , s e c o r r e s p o n d e c o n e l

i n t e r v a l o d o n d e l a f u n c i ó n e s n e g a t i v a .

L u e g o , e s n e g a t i v a e n ( – 2 , 1 ) .

L o s p u n t o s d e c o r t e c o n e l e j e X

d e t e r m i n a n l o s p u n t o s d o n d e l a f u n c i ó n

e s n u l a . A s í p u e s , e s n u l a e n x

= – 2 y e n

x = 1 .



0 3 . 2 S i m e t r í a d e u n a f u n c i ó n

U n a f u n c i ó n p u e d e t e n e r s i m e t r í a r e s p e c t o a l e j e d e

o r d e n a d a s o r e s p e c t o a l o r i g e n d e c o o r d e n a d a s o n o

t e n e r s i m e t r í a .

S i m e t r í a r e s p e c t o a l e j e d e o r d e n a d a s

U n a f u n c i ó n , f ( x

) , e s s i m é t r i c a r e s p e c t o a l e j e d e

o r d e n a d a s o t i e n e s i m e t r í a p a r s i , p a r a c u a l q u i e r v a l o r ,

x , d e s u d o m i n i o y s u o p u e s t o , s e v e r i f i c a q u e s u s

i m á g e n e s c o i n c i d e n :

f ) = f –

S i m e t r í a r e s p e c t o a l o r i g e n d e c o o r d e n a d a s

U n a f u n c i ó n , f ( x

) , e s s i m é t r i c a r e s p e c t o a l o r i g e n d e

c o o r d e n a d a s o t i e n e s i m e t r í a i m p a r s i , p a r a c u a l q u i e r

v a l o r , x , d e s u d o m i n i o y s u o p u e s t o , s e v e r i f i c a q u e s u s

i m á g e n e s s o n o p u e s t a s :

) = – f )

F u n c i ó n p a r .

F u n c i ó n i m p a r .



a .

b .


E s t u d i a s i l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s s o n s i m é t r i c a s :

a . f ( x

) = x

2

+ 1

S e c a l c u l a f ( – x ) :

f ( – x ) = ( –

x )

2

+ 1 = x

2

+ 1 = f ( x

) . P o r t a n t o , l a f u n c i ó n t i e n e

s i m e t r í a p a r .

b . f ( x

) = x

3

+ x

S e c a l c u l a f ( – x

) :

f ( – x ) = ( –

x )

3

+ ( – x

) = – ( x

3

+ x

) = – f ( x

) . E n c o n s e c u e n c i a , l a

f u n c i ó n t i e n e s i m e t r í a i m p a r .


E s t u d i a e l s i g n o d e l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s :

1 2



- D o m ( f ) = [ – 6 , 5 ] y R ( f ) = [ – 2 , 5 ]

- E s p o s i t i v a e n [ – 6 , – 3 ) U ( 1 , 3 ) U ( 4 , 5 ] .

- E s n e g a t i v a e n ( – 3 , 1 ) U ( 3 , 4 ) .

- S u p u n t o d e c o r t e c o n e l e j e Y e s ( 0 , – 2 ) .

a . f ( x

) = 3 x

+ 1

b . f ( x

) = 3 x

4

c . f ( x

) = 2 x

4

+ 5 x

2

+ 1

d . f ( x

) =

C o m p r u e b a s i l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s s o n s i m é t r i c a s :

1 3

R e p r e s e n t a g r á f i c a m e n t e u n a f u n c i ó n , f ( x

) , q u e c u m p l a l a s

s i g u i e n t e s c o n d i c i o n e s :

1 4

L a f u n c i ó n y = x

2

p r e s e n t a s i m e t r í a p a r , m i e n t r a s q u e l a f u n c i ó n y

= x

3

t i e n e s i m e t r í a i m p a r . ¿ Q u é t i p o d e s i m e t r í a t e n d r á n l a s

f u n c i o n e s y = x

4

, y = x

5

, y = x

6

e y = x

7

? ¿ Y l a s f u n c i o n e s y = x

1 0 0 0

e y = x

1 0 0 1

? E s t a b l e c e u n c r i t e r i o q u e p e r m i t a a v e r i g u a r s i u n a

f u n c i ó n d e l t i p o y = x

n

p r e s e n t a s i m e t r í a p a r o i m p a r , s i n

r e p r e s e n t a r l a .

1 5



E l c r e c i m i e n t o d e u n a f u n c i ó n s e d e t e r m i n a e s t u d i a n d o

e n q u é i n t e r v a l o s d e s u d o m i n i o e l v a l o r d e l a v a r i a b l e y

a u m e n t a o d i s m i n u y e a l a u m e n t a r e l v a l o r d e l a v a r i a b l e

x .

A p a r t i r d e l e s t u d i o d e l c r e c i m i e n t o d e u n a f u n c i ó n s e

d e f i n e n s u s e x t r e m o s , e s d e c i r , s u s m á x i m o s y m í n i m o s .

0 4 . 1 C r e c i m i e n t o y d e c r e c i m i e n t o d e u n a

f u n c i ó n

U n a f u n c i ó n e s c r e c i e n t e

e n u n i n t e r v a l o d e s u d o m i n i o

s i , a l a u m e n t a r e l v a l o r d e l a v a r i a b l e i n d e p e n d i e n t e , x ,

s e i n c r e m e n t a e l v a l o r d e l a f u n c i ó n . E s d e c i r , s i a < b ,

e n t o n c e s f ( a ) ≤ f ( b ) .

P o r e l c o n t r a r i o , u n a f u n c i ó n e s d e c r e c i e n t e

e n u n

i n t e r v a l o d e s u d o m i n i o s i , a l a u m e n t a r e l v a l o r d e l a

v a r i a b l e i n d e p e n d i e n t e , x , d i s m i n u y e e l v a l o r d e l a

f u n c i ó n . E s d e c i r , s i a < b , e n t o n c e s f ( a ) ≥ f ( b ) .

F i n a l m e n t e , u n a f u n c i ó n e s c o n s t n t e

e n u n i n t e r v a l o d e

s u d o m i n i o s i , a l a u m e n t a r e l v a l o r d e l a v a r i a b l e

C r e c i m i e n t o y

d e c r e c i m i e n t o d e u n a

f u n c i ó n . E x t r e m o s

0 4

E l c r e c i m i e n t o y e l

d e c r e c i m i e n t o d e

u n a f u n c i ó n s e

r e p r e s e n t a n c o n

i n t e r v a l o s a b i e r t o s ,

y a q u e e n l o s

p u n t o s e x t r e m o s d e

l o s i n t e r v a l o s l a

f u n c i ó n n o c r e c e n i

d e c r e c e .

0 6 F u n c i o n e s .


V o l v e r



i n d e p e n d i e n t e , x , l a f u n c i ó n n o c r e c e n i d e c r e c e . E s

d e c i r , s i a < b , e n t o n c e s f ( a ) = f ( b ) .

C r e c i e n t e D e c r e c i e n t e

C o n s t a n t e



0 4 . 2 E x t r e m o s d e u n a f u n c i ó n

L o s e x t r e m o s d e u n f u n c i ó n s o n l o s m á x i m o s y

m í n i m o s d e l a m i s m a . E s t o s p u e d e n s e r r e l a t i v o s o

a b s o l u t o s .

M á x i m o y m í n i m o r e l a t i v o


E s t u d i a e l c r e c i m i e n t o d e l a g r á f i c a d e l

m a r g e n , q u e m u e s t r a e l n ú m e r o d e

p e r s o n a s q u e a c u d e n a u n c e n t r o

c o m e r c i a l d u r a n t e u n d í a .

E l n ú m e r o d e v i s i t a n t e s a l c e n t r o

c o m e r c i a l c r e c e d e 1 0 h a 1 3 h y d e

1 6 h a 2 0 h , e s d e c i r , e n ( 1 0 , 1 3 ) ∪

( 1 6 , 2 0 ) .

E l n ú m e r o d e v i s i t a n t e s d e c r e c e d e

1 3 h a 1 4 h , d e 1 5 h a 1 6 h y d e 2 0 h

a 2 2 h , e s d e c i r , e n ( 1 3 , 1 4 ) ∪ ( 1 5 ,

1 6 ) ∪ ( 2 0 , 2 2 ) .

P o r ú l t i m o , e l n ú m e r o d e v i s i t a n t e s

e s c o n s t a n t e e n t r e l a s 1 4 h y l a s 1 5

h , e s d e c i r , e n e l i n t e r v a l o ( 1 4 , 1 5 ) .

U n a f u n c i ó n p u e d e t e n e r

v a r i o s e x t r e m o s r e l a t i v o s

y a b s o l u t o s .

U n a f u n c i ó n t i e n e u n m á x i m o r e l t i v o e n e l p u n t o x

= a a l p a s a r , e n d i c h o p u n t o , d e s e r c r e c i e n t e a

d e c r e c i e n t e . E l v a l o r d e l a f u n c i ó n e n e s e p u n t o , f

( a ) , e s m a y o r q u e e n l o s p u n t o s d e s u e n t o r n o .



M á x i m o y m í n i m o a b s o l u t o

U n a f u n c i ó n t i e n e u n m í n i m o r e l t i v o e n e l p u n t o x

= a a l p a s a r , e n e s e p u n t o , d e s e r d e c r e c i e n t e a

c r e c i e n t e . E l v a l o r d e l a f u n c i ó n e n e s e p u n t o , f ( a ) ,

e s m e n o r q u e e n l o s p u n t o s d e s u e n t o r n o .

E l m á x i m o b s o l u t o d e u n a f u n c i ó n e s e l m á x i m o

r e l a t i v o q u e a l c a n z a e l m a y o r v a l o r d e l a f u n c i ó n .

E l m í n i m o b s o l u t o

d e u n a f u n c i ó n e s e l m í n i m o

r e l a t i v o q u e a l c a n z a e l m e n o r v a l o r d e l a f u n c i ó n .


H a l l a l o s e x t r e m o s r e l a t i v o s y

a b s o l u t o s d e l a s i g u i e n t e f u n c i ó n :

L a f u n c i ó n t i e n e u n m á x i m o r e l a t i v o

e n e l p u n t o ( 2 , 3 ) , p e r o n o t i e n e

m á x i m o a b s o l u t o , p u e s e l m a y o r v a l o r

d e l a f u n c i ó n n o s e a l c a n z a e n u n

m á x i m o r e l a t i v o .

L a f u n c i ó n t i e n e d o s m í n i m o s

r e l a t i v o s e n l o s p u n t o s ( – 3 , – 5 ) y ( 4 ,

1 ) , r e s p e c t i v a m e n t e . A d e m á s , e l

p u n t o ( – 3 , – 5 ) e s u n m í n i m o

a b s o l u t o , d a d o q u e e n é l s e a l c a n z a e l

v a l o r m á s b a j o d e l a f u n c i ó n .


E s t u d i a e l c r e c i m i e n t o d e l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s :

1 6



a .

b .

a . E l d o m i n i o , e l r e c o r r i d o , e l s i g n o y l a s s i m e t r í a s .

b . E l c r e c i m i e n t o y l o s e x t r e m o s d e l a f u n c i ó n .

R e p r e s e n t a u n a f u n c i ó n q u e s e a c r e c i e n t e e n ( 0 , 4 ) , d e c r e c i e n t e

e n ( – 6 , 0 ) U ( 4 , 7 ) y c o n s t a n t e e n ( 7 , ∞ ) .

1 7

S i n r e p r e s e n t a r l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n , ¿ p o d r í a s d e c i r e n q u é

v a l o r e s d e x s e a l c a n z a n l o s m í n i m o s y l o s m á x i m o s d e u n a

f u n c i ó n c o n t i n u a c r e c i e n t e e n ( – 4 , 3 ) U ( 5 , 9 ) y d e c r e c i e n t e e n ( 3

, 5 ) U ( 9 , 1 1 ) ?

1 8

F o r m a d g r u p o s d e s i e t e a l u m n o s . D u r a n t e u n a s e m a n a , c a d a u n o

d e l o s a l u m n o s m e d i r á l a t e m p e r a t u r a a l o l a r g o d e u n d í a

d i f e r e n t e . R e p r e s e n t a d l o s d a t o s o b t e n i d o s e n u n a g r á f i c a y

e s t u d i a d :

1 9



A c o n t i n u a c i ó n , e s t u d i a r e m o s d o s n u e v a s c a r a c t e r í s t i c a s

d e l a s f u n c i o n e s : l a c o n t i n u i d a d y l a p e r i o d i c i d a d .

0 5 . 1 C o n t i n u i d a d d e u n a f u n c i ó n

U n a f u n c i ó n e s c o n t i n u a s i s u g r á f i c a s e p u e d e d i b u j a r

d e u n s o l o t r a z o , s i n l e v a n t a r e l l á p i z d e l p a p e l . P o r e l

c o n t r a r i o , u n a f u n c i ó n e s d i s c o n t i n u a s i l a g r á f i c a

p r e s e n t a a l g u n a i n t e r r u p c i ó n o s a l t o . L o s p u n t o s d o n d e

l a g r á f i c a s e i n t e r r u m p e s e l l a m a n p u n t o s d e

d i s c o n t i n u i d a d

T i p o s d e d i s c o n t i n u i d a d

E x i s t e n c u a t r o t i p o s d e d i s c o n t i n u i d a d e n u n p u n t o x

=

a :

C o n t i n u i d a d y

p e r i o d i c i d a d

0 5

F u n c i ó n c o n t i n u a .

0 6 F u n c i o n e s .


V o l v e r



L a f u n c i ó n s o l o t i e n e u n

s a l t o e n e l p u n t o d e

d i s c o n t i n u i d a d x

= a .

P u n t o d e s p l a z a d o

L a f u n c i ó n n o e s t á d e f i n i d a

e n e l p u n t o d e

d i s c o n t i n u i d a d x

= a .

N o e x i s t e f u n c i ó n e n e s e p u n t o

D i s c o n t i n u i d a d e v i t a b l e



L a f u n c i ó n p r e s e n t a u n

s a l t o d e l o n g i t u d i n f i n i t a e n

e l p u n t o d e d i s c o n t i n u i d a d

x = a .

S a l t o i n f i n i t o

L a f u n c i ó n p r e s e n t a u n

s a l t o d e l o n g i t u d f i n i t a e n

e l p u n t o d e d i s c o n t i n u i d a d

x = a .

S a l t o f i n i t o

D i s c o n t i n u i d a d i n e v i t a b l e



0 5 . 2 P e r i o d i c i d a d d e u n a f u n c i ó n

U n a f u n c i ó n e s p e r i ó d i c a s i s u g r á f i c a s e r e p i t e c a d a

c i e r t o i n t e r v a l o d e l a v a r i a b l e x .

S e l l a m a p e r í o d o a l a

l o n g i t u d d e l i n t e r v a l o y s e r e p r e s e n t a p o r T . E s d e c i r ,

c u m p l e q u e f ( x ) = f ( x + T ) = f ( x

+ 2 T ) = … = f ( x + n ·

T ) , d o n d e n e s u n n ú m e r o e n t e r o .


H a l l a l o s p u n t o s d e d i s c o n t i n u i d a d d e

l a f u n c i ó n d e l m a r g e n e i n d i c a e l t i p o

d e d i s c o n t i n u i d a d q u e p r e s e n t a n .

L a f u n c i ó n p r e s e n t a c u a t r o p u n t o s d e

d i s c o n t i n u i d a d :

E n x = – 6 , l a f u n c i ó n n o e s t á

d e f i n i d a .

E n x

= – 3 y e n x

= 0 , l a f u n c i ó n

t i e n e u n a d i s c o n t i n u i d a d d e t i p o

s a l t o i n f i n i t o .

E n x

= 4 , e l p u n t o e s t á

d e s p l a z a d o .



a .

b .


U n g u a r d i a d e s e g u r i d a d d e b e c u i d a r

d e t r e s a l m a c e n e s . L a g r á f i c a d e l

m a r g e n m u e s t r a e l r e c o r r i d o q u e h a c e

e l g u a r d i a d u r a n t e u n d í a d e t r a b a j o .

a . ¿ E s l a f u n c i ó n p e r i ó d i c a ? E n c a s o

a f i r m a t i v o , d i c u á n t o v a l e e l p e r í o d o .

b . ¿ A q u é d i s t a n c i a r e s p e c t o d e l o r i g e n

e s t a r á a l a s d o s h o r a s y m e d i a ?

a . E s u n a f u n c i ó n p e r i ó d i c a , d e

p e r í o d o T = 4 0 m i n .

b . f ( d o s h o r a s y m e d i a ) = f ( 1 5 0 ) = f

( 3 0 + 3 · 4 0 ) = f ( 3 0 ) = 5 0 m


S e ñ a l a l o s p u n t o s d e d i s c o n t i n u i d a d d e l a s f u n c i o n e s e i n d i c a e l

t i p o d e d i s c o n t i n u i d a d q u e p r e s e n t a n d i c h o s p u n t o s .

2 0



a . E l d o m i n i o , e l r e c o r r i d o y l o s p u n t o s d e c o r t e c o n l o s e j e s .

b . E l s i g n o y l a s s i m e t r í a s .

c . L o s i n t e r v a l o s d e c r e c i m i e n t o y d e c r e c i m i e n t o , y l o s p u n t o s m á x i m o s

y m í n i m o s r e l a t i v o s y a b s o l u t o s , s i e x i s t e n .

d . L o s p u n t o s d e d i s c o n t i n u i d a d y l o s t i p o s d e d i s c o n t i n u i d a d q u e

p r e s e n t a n .

a .

b .

P a r a l a s i g u i e n t e f u n c i ó n h a l l a :

2 1

I n d i c a s i l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s s o n p e r i ó d i c a s . E n c a s o

a f i r m a t i v o , d i c u á l e s e l p e r í o d o :

2 2



a . ¿ C u á n t o v a l e l a f u n c i ó n e n x = – 3 ?

b . ¿ E s ( 9 , 3 ) u n m á x i m o r e l a t i v o d e l a f u n c i ó n ?

E s t u d i a s i e s t a f u n c i ó n e s p e r i ó d i c a y , e n c a s o a f i r m a t i v o , h a l l a s u

p e r í o d o . ¿ C u á n t o v a l d r á f ( 1 8 ) ? ¿ Y f ( 2 1 ) ?

2 3

R e p r e s e n t a u n a f u n c i ó n p e r i ó d i c a d e p e r í o d o 4 q u e s e a s i m é t r i c a

i m p a r , q u e p a s e p o r e l p u n t o ( 0 , 0 ) y t e n g a u n m á x i m o r e l a t i v o

e n e l p u n t o ( 1 , 3 ) y u n m í n i m o r e l a t i v o e n ( 3 , – 4 ) .

2 4



G e o G e b r a n o s p e r m i t e r e p r e s e n t a r g r á f i c a m e n t e

p u n t o s , t a b l a s d e v a l o r e s y g r á f i c a s d e f u n c i o n e s .

A l a b r i r l a a p l i c a c i ó n , a p a r e c e e s t a p a n t a l l a : ( A )

E n l a b a r r a s u p e r i o r v e m o s l a b a r r a d e h e r r a m i e n t a s :

R e p r e s e n t a c i ó n g r á f i c a c o n G e o G e b r a

E n l a p a r t e i n f e r i o r s e e n c u e n t r a l a b a r r a d e E n t r a d a d e e x p r e s i o n e s :

R e p r e s e n t a c i ó n d e u n p u n t o

P a r a r e p r e s e n t a r u n p u n t o s e h a c e c l i c c o n e l b o t ó n d e r e c h o d e l r a t ó n

y s e d e s p l e g a r á e l s i g u i e n t e m e n ú : ( B )

H E R R A M I E N T A S T E C N O L Ó G I C A S

C o m p l e t o

0 6 F u n c i o n e s .


V o l v e r



y s e d e s p l e g a r á e l s i g u i e n t e m e n ú : ( B )

P i n c h a n d o s o b r e C u a d r í c u l a a p a r e c e r á u n a c u a d r í c u l a e n l o s e j e s d e

c o o r d e n a d a s .

S e h a c e c l i c s o b r e e l i c o n o y s e p i n c h a e n l a c u a d r í c u l a s o b r e e l

p u n t o q u e s e q u i e r a r e p r e s e n t a r .

R e p r e s e n t a c i ó n d e u n a t a b l a d e v a l o r e s

P a r a r e p r e s e n t a r u n a t a b l a d e v a l o r e s , h a y q u e i n t r o d u c i r c a d a u n o d e

l o s p u n t o s d e l a t a b l a c o m o a c a b a m o s d e i n d i c a r m á s a r r i b a .

O b s e r v a c ó m o q u e d a r e p r e s e n t a d a e s t a t a b l a d e v a l o r e s : ( C )



C o p i a , c o m p l e t a e i l u s t r a e n t u c u a d e r n o e l s i g u i e n t e

m a p a c o n c e p t u a l y d e s p u é s c o n t e s t a a l a s p r e g u n t a s .

R e p r e s e n t a c i ó n d e l a g r á f i c a a p a r t i r d e l a t a b l a d e

v a l o r e s

S i n o s e c o n o c e l a e x p r e s i ó n a l g e b r a i c a d e l a f u n c i ó n , p e r o s í s u t a b l a

d e v a l o r e s , s e p u e d e r e p r e s e n t a r l a g r á f i c a d e f o r m a a p r o x i - m a d a :

1 . º S e r e p r e s e n t a n l o s p u n t o s d e l a t a b l a d e v a l o r e s .

2 . º S e p i n c h a s o b r e y s e s e l e c c i o n a . M o v i e n d o l u e g o e l

r a t ó n p a r a u n i r l o s p u n t o s r e p r e s e n t a d o s , a p a r e c e r á l a g r á f i c a

a p r o x i m a d a d e l a f u n c i ó n : ( D )



T a m b i é n l o p u e d e s r e a l i z a r e n e l o r d e n a d o r c o n e l

p r o g r a m a C m a p T o o l s .


¿ P u e d e u n a f u n c i ó n a s o c i a r a u n v a l o r d e l a v a r i a b l e y d o s v a l o r e s

d e l a v a r i a b l e x ? ¿ Y a l r e v é s ?

1

¿ T o d a r e l a c i ó n e n t r e d o s m a g n i t u d e s e s u n a f u n c i ó n ? E n c a s o

a f i r m a t i v o , j u s t i f i c a t u r e s p u e s t a , y e n c a s o c o n t r a r i o , p o n u n

c o n t r a e j e m p l o .

2

¿ P u e d e u n a f u n c i ó n t e n e r e l m i s m o d o m i n i o y r e c o r r i d o ? J u s t i f i c a

t u r e s p u e s t a m e d i a n t e u n a g r á f i c a .

3

¿ Q u é c a r a c t e r i z a a l o s p u n t o s d e c o r t e c o n e l e j e d e o r d e n a d a s y

c o n e l e j e d e a b s c i s a s ? ¿ P u e d e e x i s t i r m á s d e u n p u n t o d e c o r t e

c o n e l e j e Y ? ¿ Y c o n e l e j e X ?

4

¿ P u e d e u n a f u n c i ó n s e r s i m é t r i c a c o n r e s p e c t o a l e j e d e a b s c i s a s ?

R a z o n a t u r e s p u e s t a .

5

¿ P u e d e s e r u n a f u n c i ó n s i m u l t á n e a m e n t e s i m é t r i c a p a r e i m p a r ?

6



S i u n a f u n c i ó n s i m é t r i c a i m p a r c u m p l e q u e f ( x ) = y , ¿ c u á l e s e l

v a l o r d e f ( – x ) ? ¿ Y s i f u e s e s i m é t r i c a p a r ?

7

S i u n a f u n c i ó n e s s i e m p r e p o s i t i v a , ¿ p u e d e t e n e r p u n t o s d e c o r t e

c o n e l e j e X ? ¿ Y c o n e l e j e Y ?

8

L o s e x t r e m o s d e u n a f u n c i ó n p u e d e n s e r r e l a t i v o s y a b s o l u t o s .

¿ C u á l e s l a d i f e r e n c i a e n t r e u n o s y o t r o s ? ¿ P u e d e s e r u n e x t r e m o

r e l a t i v o t a m b i é n a b s o l u t o ? ¿ Y a l r e v é s ?

9

¿ T i e n e n t o d a s l a s f u n c i o n e s c o n t i n u a s p u n t o s d e c o r t e c o n e l e j e

d e a b s c i s a s ?

1 0

¿ P o d r í a s r e p r e s e n t a r u n a f u n c i ó n q u e t e n g a d o s t i p o s d e

d i s c o n t i n u i d a d e s d i f e r e n t e s e n u n m i s m o v a l o r d e x ?

1 1

P r e p a r a u n a p r e s e n t a c i ó n p a r a t u s c o m p a ñ e r o s . P u e d e s h a c e r u n

d o c u m e n t o P o w e r P o i n t , u t i l i z a r G l o s t e r …

1 2



a . T o d o s l o s n ú m e r o s m e n o r e s q u e 9 .

b . T o d o s l o s n ú m e r o s m a y o r e s o i g u a l e s q u e – 7 .

c . L o s n ú m e r o s n e g a t i v o s .

d . L o s n ú m e r o s c o m p r e n d i d o s e n t r e 3 y 9 .

F U N C I O N E S

x 1 2 3 4 5

y 4 5 6 7 8

D O M I N I O Y R E C O R R I D O D E U N A

F U N C I Ó N . P U N T O S D E C O R T E C O N L O S

E J E S

R E P A S O F I N A L

C o n s i d e r a l a f u n c i ó n q u e a s o c i a a c a d a n ú m e r o c o n s u t r i p l e

m e n o s 2 . E s c r i b e s u e x p r e s i ó n a l g e b r a i c a , c o n s t r u y e u n a t a b l a d e

v a l o r e s y h a z l a r e p r e s e n t a c i ó n g r á f i c a . C a l c u l a l a o r d e n a d a p a r a

x = – 1 , x = 1 y x = 2 .

1

E n c u e n t r a l a e x p r e s i ó n a l g e b r a i c a q u e s e c o r r e s p o n d e c o n l a

s i g u i e n t e t a b l a d e v a l o r e s y h a z s u r e p r e s e n t a c i ó n g r á f i c a :

2

C o m p r u e b a e l r e s u l t a d o q u e h a s o b t e n i d o u t i l i z a n d o G e o G e b r a .

C o n s t r u y e u n a t a b l a d e v a l o r e s p a r a l a f u n c i ó n y = 2 x · ( x + 3 ) y

r e p r e s é n t a l a .

3

E s c r i b e e n f o r m a d e i n t e r v a l o l o s s i g u i e n t e s c o n j u n t o s d e

n ú m e r o s :

4

0 6 F u n c i o n e s .


V o l v e r



a . [ 2 , 6 )

b . [ – 2 , 1 ]

c . ( – 5 , 5 )

d . ( – 4 , 1 0 ]

a .

b .

a .

I n d i c a t o d o s l o s n ú m e r o s e n t e r o s q u e p e r t e n e c e n a l o s s i g u i e n t e s

i n t e r v a l o s :

5

I n d i c a s i e s t a s g r á f i c a s s o n f u n c i o n e s y , e n c a s o a f i r m a t i v o , h a l l a

s u d o m i n i o y s u r e c o r r i d o .

6

¿ E s t á e l n ú m e r o 3 i n c l u i d o e n e l i n t e r v a l o ( – 7 , 3 ] ? ¿ Y e n e l ( 3 ,

8 ) ?

7

D e t e r m i n a e l d o m i n i o , e l r e c o r r i d o y l o s p u n t o s d e c o r t e c o n l o s

e j e s d e l a s g r á f i c a s s i g u i e n t e s :

8



b .

a . f ( x ) = – 6 x + 2

b . f ( x ) =

c . f ( x ) = x

3

– 4 x

S I G N O Y S I M E T R Í A D E U N A F U N C I Ó N

a . f ( x ) = 2 x

2

– 6

b . f ( x ) = 4 x

3

+ 8 X

H a l l a l o s p u n t o s d e c o r t e c o n l o s e j e s d e l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s :

9

E s t u d i a e l s i g n o d e l a s i g u i e n t e f u n c i ó n :

1 0

D e t e r m i n a s i l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s s o n s i m é t r i c a s p a r e s o

i m p a r e s :

1 1



b . f ( x ) = 4 x

3

+ 8 X

c . f ( x ) =

a .

b .

c .

d .

C R E C I M I E N T O Y D E C R E C I M I E N T O D E

E s t u d i a l a s s i m e t r í a s q u e p r e s e n t a n l a s s i g u i e n t e s g r á f i c a s :

1 2



a . E s t u d i a s u c r e c i m i e n t o .

b . D e t e r m i n a s u s m á x i m o s y m í n i m o s a b s o l u t o s .

C R E C I M I E N T O Y D E C R E C I M I E N T O D E

U N A F U N C I Ó N . E X T R E M O S

C O N T I N U I D A D Y P E R I O D I C I D A D

a .

D e t e r m i n a l o s i n t e r v a l o s d o n d e l a f u n c i ó n e s c r e c i e n t e ,

d e c r e c i e n t e y c o n s t a n t e , a s í c o m o l o s m á x i m o s y m í n i m o s

r e l a t i v o s y a b s o l u t o s .

1 3

L a s i g u i e n t e g r á f i c a m u e s t r a l a t e m p e r a t u r a m í n i m a a l c a n z a d a e n

u n a c i u d a d a l o l a r g o d e u n a ñ o :

1 4

S e ñ a l a l o s p u n t o s d e d i s c o n t i n u i d a d d e e s t a s f u n c i o n e s e i n d i c a e l

t i p o d e d i s c o n t i n u i d a d q u e p r e s e n t a n d i c h o s p u n t o s :

1 5



b .

C o n s t r u y e u n a f u n c i ó n q u e p r e s e n t e l a s s i g u i e n t e s

d i s c o n t i n u i d a d e s : e n x = – 3 , d e t i p o s a l t o f i n i t o ; e n x = – 1 , d e

p u n t o d e s p l a z a d o ; e n x = 3 , d e t i p o s a l t o i n f i n i t o ; y e n x = 7 n o

e x i s t e l a f u n c i ó n .

1 6

V i s i t a e s t a d i r e c c i ó n d e I n t e r n e t y r e p a s a l o s c o n t e n i d o s d e l a

u n i d a d d e f o r m a d i v e r t i d a :

1 7

h t t p : / / c o n t e n i 2 . e d u c a r e x . e s / m a t s / 1 1 8 1 6 / c o n t e n i d o /

http://conteni2.educarex.es/mats/11816/contenido/



a . b .

c . d .

a . x = 1

b . x = – 1

c . x = 2

d . x = 4

V A L U A C I Ó N

1 ¿ C u á l d e l a s s i g u i e n t e s g r á f i c a s e s u n a f u n c i ó n ?

2 D a d a l a f u n c i ó n y = x

2

– 1 , ¿ q u é v a l o r d e b e t e n e r x p a r a q u e s e c u m p l a q u e

y = 3 ?

3 L o s g l ú c i d o s m á s s e n c i l l o s s e l l a m a n :

0 6 F u n c i o n e s .


V o l v e r



a . D ( f ) = [ – 4 , 0 ) U [ 0 , 9 ] y R ( f ) = [ – 3 , 7 ]

b . D ( f ) = ( – 4 , 9 ] y R ( f ) = ( – 3 , 7 ]

c . D ( f ) = [ – 3 , 7 ] y R ( f ) = ( – 4 , 9 ]

d . D ( f ) = ( – 3 , 7 ] y R ( f ) = [ – 4 , 0 ) U [ 0 , 9 ]

a . ( 0 , 4 ) y ( 0 , – 3 )

b . ( 4 , 0 ) y ( – 3 , 0 )

c . ( 4 , 0 ) , ( – 3 , 0 ) y ( 0 , – 1 2 )

d . ( 0 , 4 ) , ( 0 , – 3 ) y ( – 1 2 , 0 )

a . E s s i m é t r i c a p a r .

b . E s s i m é t r i c a i m p a r .

c . E s s i m é t r i c a p a r e i m p a r .

d . N o e s s i m é t r i c a .

¿ C ó m o m e h e s e n t i d o e n l a s o c a s i o n e s e n l a s q u e h e a y u d a d o a u n c o m p a ñ e r o a

e n t e n d e r a l g ú n c o n t e n i d o d e e s t a u n i d a d ? ¿ Y c u a n d o h e s i d o a y u d a d o ?

4 L o s p u n t o s d e c o r t e c o n l o s e j e s d e l a f u n c i ó n y = x

2

– x – 1 2 s o n :

5 L a f u n c i ó n f ( x ) = 3 x

2

– 4 x + 2 :

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