T3-Sucesións-3º ESO.pdf

¿Puedo establecer alguna relación entre esta unidad y algunaanterior?

En la naturaleza existe multitud de ejemplos que se puedenrepresentar por sucesiones. Investiga con tu grupo, algunos de esosejemplos, escribe la serie numérica que representa y preparad unapresentación para exponerla al resto de la clase.

Sucesiones

03 SucesionesVolver

29/10/2015 Matemáticas académicas

https://edelvivesdigital.com/products/R1_EDELVIVES/version_web/index.html?package=../../108340_MATES_3E/version_web&session_id=2235a7d3f6a4… 1/6

Fíjate en las siguientes sucesiones:

an = {3, 7, 11, 15, ... }

bn = {8, 5, 2, –1, ...}

Progresiones aritméticas02

Una progresión aritmética es una sucesión en laque cada término, excepto el primero, se obtienesumando al anterior un número fijo, d, llamadodiferencia.

an es una progresión aritmética en la que d = 4,

es decir, cada término es 4 unidades mayor queel anterior porque se le suma 4.

bn es una progresión aritmética en la que d = –3,ya que cada término es 3 unidades menor que elanterior porque se le resta 3.

Fractal

03 SucesionesVolver



En una progresión aritmética, la diferencia se obtienerestando a cada término el anterior:

d = a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an – 1

Si an = {3, 7, 11, 15, …}, su diferencia es d = 7 – 3 = 11

– 7 = 15 – 11 = … = 4.

02.1 Término general

Si te fijas, en una progresión aritmética, cada uno de lostérminos es igual al anterior más la diferencia. Por tanto:

Generalizando la expresión anterior,en una progresión aritmética, dostérminos cualesquiera, an y ak, se

relacionan mediante la expresión:

an = ak + (n – k) · d

02.2 Monotonía de una progresiónaritmética

La monotonía de una progresión aritmética puede ser:

Un fractal es unobjeto en el queaparece unasucesión deimágenes quemantienen la mismaestructura.

Esta variedad de lacol, el romanescu,es uno de losejemplos de fractalque se presentan enla naturaleza.

El término general de una progresión aritméticaes an = a1 + (n – 1) · d.



02.3 Interpolación aritmética

Dados dos números, a y b, interpolar n medios aritméticos consiste en intercalar nnúmeros entre a y b, de forma que la sucesión obtenida, {a, x1, x2, …, xn, b}, sea

una progresión aritmética.

Creciented>0

Cada términosiempre es mayorque el anterior.

an = {

5, 9,13, 17,…}

Decreciented<0

Cada términosiempre es menorque el anterior.

an = {

7, 4, 1,–2, …}

Constanted=0

Cada términosiempre es igual alanterior.

an = {

4, 4, 4,4, …}

ACTIVIDAD RESUELTA



ACTIVIDAD RESUELTA

a. La diferencia.

b. Su término general.

Dada la progresión aritmética an = {4, 7, 10, 13, …},

calcula:

1

a. Como puedes ver, a1 = 4, y la diferencia es:

d = 7 – 4 = 10 – 7 = 3.

b. Aplicando la expresión del término general y sustituyendo los datos,se obtiene:an = a1 + (n – 1) · d

an = 4 + (n – 1) · 3 = 4 + 3n – 3 = 3n + 1

Interpola cuatro medios aritméticos entre 8 y 43.2

Hay que hallar cuatro números, x1, x2, x3 y x4, tales que 8, x1, x2, x3, x4 y

43 formen una progresión aritmética.

Para ello, se emplea la expresión an = a1 + (n – 1) · d, en la que a6 = 43 y

a1 = 8.

Así, 43 = 8 + (6 – 1) · d ⇒ 43 = 8 + 5d ⇒ ⇒ 35 = 5d ⇒ d = 7.

Luego, los cuatro números son:

x1 = a1 + d = 8 + 7 = 15; x2 = 15 + d = 15 + 7 = 22;

x3 = 22 + d = 22 + 7 = 29; x4 = 29 + d = 29 + 7 = 36

ACTIVIDADES



a. an = {–19, –15, –11, –3, …}

b. bn = {–21, –24, –27, –30, …}

c. cn = { 1

5,

2

5,

3

5,

4

5,...}

d. dn = { 3 ,2 3 ,3 3 ,4 3 ,...}

a. a1 = 4, d = –1; calcula a12.

b. a10 = 34, a1 = 7; calcula d.

c. a1 = 5, a13 = –19; calcula a8.

d. a6 = –2, a11 = 8; calcula d.

e. a11 = 3, ann = 47, d = 4; calcula n.

ACTIVIDADES

Determina si las siguientes sucesiones son progresionesaritméticas. En caso afirmativo, calcula la diferencia y el términogeneral y estudia su monotonía.

12

√ √ √ √

¿Es la sucesión { –3, 2, 7, 12, …} una progresión aritmética? Si loes, halla la diferencia, el término general y el término 38.

13

Determina los seis primeros términos y an de una progresiónaritmética en la que d = –3 y a1 = 6.

14

De una progresión aritmética se sabe que su noveno término es 9,y su diferencia, 5. Halla el primer término de la sucesión.

15

Halla el término general de una progresión aritmética de la que seconocen d = –3 y a2 = 5.

16

Los siguientes datos corresponden a progresiones aritméticas.Encuentra el valor del dato que se pide en cada caso.

17

18



a. –3 y 13

b. –6 y –38

c. 3

4 y

11

4

d. 5 y 13 5

a. ¿Cuánto pagará Berta por usar la bicicleta 5 horas?

b. ¿Hay alguna expresión general que permita expresar el precio delalquiler de las bicicletas según el número de horas?

Interpola tres medios aritméticos entre los números:18

√ √

El alquiler municipal de bicicletas cuesta 5 € la primera hora y0,25 € menos cada hora sucesiva.

19



Veamos cómo se obtiene una expresión para hallar lasuma de términos consecutivos de una progresiónaritmética a partir de la suma de los términosequidistantes de la progresión.

03.1 Suma de términos equidistantes de unaprogresión aritmética

Consideremos la progresión aritmética finita {2, 5, 8,11, 14, 17, 20, 23}. Fíjate en que, si se suman términosequidistantes, siempre se obtiene la misma cantidad:

En general, en una progresión aritmética finita de ntérminos se verifica que la suma de los términosequidistantes de los extremos es igual a la suma dedichos extremos:

Observa que la suma de los subíndicesde cada expresión es n + 1.

a1 + an = a2+ an-1 = a3 + an-2 = …

03.2 Suma de términos

Suma de los términos de unaprogresión aritmética03

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Cuando Gauss tenía 9 años,le propusieron en el colegio

que sumara los cienprimeros números naturales.

Gauss respondió casi deinmediato: 5 050. ¿Cómo

crees que lo hizo? En lugarde sumar los cien números

uno detrás de otro, comohacían sus compañeros,

Gauss observó que: 1 + 100= 2 + 99 = 3 + 98 = … =

50 + 51 Así, los ciennúmeros están agrupados

en cincuenta pares cuyasuma es 101. Luego, la

suma de los cien primerosnúmeros naturales es: 50 ·

101 = 5 050

03 SucesionesVolver



consecutivos de una progresiónaritmética

Dada la progresión aritmética {a1, a2, a3, …, an},vamos a calcular la suma de los n primeros términos.Para ello, se coloca la suma de los n términos y debajosu suma invertida. A continuación, se suman lostérminos que estén en la misma columna:

Suma → Sn = a1 + a2 + … + an-1 + an

Suma invertida → + Sn = an + an-1 + … + a2 +

a1

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an – 1) + … + (an – 1 + a2) +

(an + a1)

Teniendo en cuenta que la suma de los términosequidistantes de los extremos es igual a la suma de losextremos y que hay n sumandos:

2Sn = (a1 + an) · n ⇒ Sn =

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + … + (a1 + an) + (a1 + an)

n sumandos

La suma de los n primeros términos de unaprogresión aritmética es:

Sn =

ACTIVIDADES



a. an =–4n + 3 b. bn = n – 2 c. cn = – – n

a. an = {7, 12, 17, 22,...}

b. bn = {–15, –18, –21, –24,...}

c. cn= { 2

5,

16

15,

26

15,

12

5,...}

d. dn = {0,25 ; 0,5 ; 0,75 ; 1 ;...}

a. La diferencia y el primer término.

b. El término general.

c. La suma de los diecinueve primeros términos.

ACTIVIDADES

Si en una progresión aritmética a3 + a15 = 24, se puede afirmar

que a5 + a13 = 24? Razona la respuesta con tu compañero.

20

Calcula la suma de los doce primeros términos de las siguientesprogresiones aritméticas, de las que se conocen sus términosgenerales:

21

Calcula la suma de los quince primeros términos de las siguientesprogresiones aritméticas:

22

Dada la progresión aritmética {–2, 1, 4, 7, …}, ¿cuántos términoshan de sumarse para que el resultado sea 1 333?

23

De una progresión aritmética se conocen a2 = –10 y a 19 = 24;

calcula:

24

Calcula la suma de los veinte primeros números impares.25

Si a1 = 5 y S20 = 230, halla el valor del vigésimo término.26



Halla el valor de a1 en una progresión aritmética de la que se

conocen a16 = 6 y S16 = 72.

27

De una progresión aritmética se conocen a1 = 2 y S7 = 77. Halla

a7.

28

Calcula S12, sabiendo que el primer término y el octavo de la

progresión aritmética son, respectivamente, 8 y 2.

29

Un hortelano riega su huerto con el agua de un pozo. Si el lunesutiliza 150 L y cada día emplea 5 L menos que el anterior,¿cuántos litros habrá consumido el domingo? ¿Y en total?

30

ACTIVIDAD RESUELTA

Las edades de cinco hermanos forman una progresiónaritmética cuya suma es 45 años. Si el mayor tiene 12 añosmás que el menor, ¿cuáles son las edades de los hermanos?

31

Se sabe que a5 = a1 + 12 y S5 = 45.

Sustituyendo en la expresión de la suma:

S5 = ( a1 + a5) . 5

2

45 = ( a1 + a1+ 12 ) . 5

2 =

( 2a1 + 12 ) . 5

2

2a1 + 12 = 45.2

5 ⇒ 2a1 + 12 = 18 ⇒ a1

18 - 12

2 = 3

Luego, a5 = a1 + 12 = 3 + 12 = 15.



Calculemos ahora la diferencia:

a5 = a1 + (5 - 1) . d ⇒ d= ( a5 - a1)

4 =

15 - 3

4 = 3

Luego, las edades son:

3 , 3 + 3 = 6 , 6 + 3 = 9 , 9 + 3 = 12 y 15

Las alturas de cuatro amigos están en progresión aritmética. Si elmás bajo mide 24 cm menos que el más alto, y entre todos suman6,56 m, ¿cuál es la altura de cada uno?

32

Un alumno debe entregar, en un plazo de 7 días, un trabajo queconsta de 49 ejercicios. Si cada día hace 2 ejercicios más que elanterior y el último día ha hecho 13 ejercicios, ¿cuántos hizo elprimero?

33

En grupos de tres compañeros, construid una torre de naipes de1, 2, 3 y 4 pisos. ¿Cuántas cartas necesitáis para construir cadapiso? ¿Y para construir una torre de 25 pisos? Encontrad eltérmino general de la sucesión de cartas de cada piso.

34



Observa las siguientes sucesiones:

an = {3, 6, 12, 24, ...}

bn = {40, –20, 10, –5, …}

Progresiones geométricas04

La matrioska es unode los símbolos deRusia y consiste enuna sucesión demuñecas de maderaencerradas unadentro de la otra.

Una progresión geométrica es una sucesión en laque cada término, excepto el primero, se obtienemultiplicando el anterior por un número fijo, r,llamado razón.

an es una progresión geométrica en la que

r = 2.

bn es una progresión geométrica en la que

Matrioska

03 SucesionesVolver



En una progresión geométrica, la razón se calculadividiendo cada término por el anterior:

r =

Si an = {3, 6, 12, 24, …}, su razón es r

= = … = 2.

Generalizando la expresión anterior, en una progresióngeométrica, dos términos cualesquiera, an y ak, se

relacionan mediante la expresión:

04.1 Término general

Si te fijas, en una progresión geométrica, cada uno delos términos es igual al anterior multiplicado por larazón. Por tanto:

r = – . 1

2

El término general de una progresión geométrica

es an = a1 · rn – 1.



an = ak . rn – k

04.2 Monotonía de unaprogresión geométrica

La monotonía de una progresión geométrica puede ser:

04.3 Interpolación geométrica

Dados dos números, a y b, interpolar n mediosgeométricos consiste en intercalar n números entre a yb, de forma que la sucesión obtenida, {a, x1, x2, …, xn,

b}, sea una progresión geométrica.

Razón Si a1 > 0 Si a1 < 0

r < 0 Alternada Alternada

0 < r< 1

Decreciente Creciente

r = 1 Constante Constante

r > 1 Creciente Decreciente

ACTIVIDAD RESUELTA

a. La razón.


Dada la progresión geométrica an = {2, 6, 18, 54, …},

calcula:

1




a. Vemos que a1 = 2 y que la razón es = = 3

b. Aplicando la expresión del término general y sustituyendo losdatos, se obtiene:

a n = a1 . rn-1 ⇒ an = 2.3n-1

6

2

18

6

Interpola cuatro medios geométricos entre 5 y160.

2

Hay que hallar cuatro números, x1, x2, x3, x4, tales que 5, x1, x2, x3, x4 y

160 formen una progresión geométrica.

Para ello, se utiliza la expresión an = a1 · rn-1,en la que

a 6 = 160 y a1 = 5.

Así, a6 = a1 · r6 – 1 ⇒ 160 = 5 · r6 – 1 ⇒ 160 = 5 . r5 ⇒

r 5= = 32 ⇒ r = 32 = 2

Luego, los cuatro números son:

x1 = a1 · r = 5 · 2 = 10; x2 = 10 . r = 10 · 2 = 20;

x3 = 20 · r = 20 · 2 = 40; x4 = 40 · r = 40 · 2 = 80

160

5√5

ACTIVIDADES

Determina si las siguientes sucesiones son progresiones35



a. an = {6, –12, 24, –48, …}

b. bn =

c. cn =

d. dn =

a. a1 = 2, r = 3 b. a1 = 4, r = – c. a1 = 3, r =

a. a1 = 5 , r = –2; calcula a6.

b. a9 = 81 , r = 1

3 ; calcula a1.

geométricas. En caso afirmativo, calcula la razón y el términogeneral y estudia su monotonía.

35

Si en una progresión geométrica a6 · a21 = 16, ¿puede afirmarse

que a12 · a15 = 16? Razona la respuesta junto con tu compañero.

36

Escribe los cinco primeros términos y el término general de lassiguientes progresiones geométricas:

37

El quinto término de una progresión geométrica es 81 y elprimero es 1. Halla los cinco primeros términos de dichaprogresión.

38

Halla el término general de una progresión geométrica de razónpositiva, de la que se conocen su cuarto término, 256, y vigésimo,

1

256

39

Los siguientes datos corresponden a progresiones geométricas.Halla el valor del dato que se pide en cada caso.

40



c. a3 = 0,1 , a7 = 0,000 000 1; calcula r.

d. a1 = 3, an=96 , r = 2; calcula n.

a. a1 = –5, r = –2; calcula a6.

b. a9 = 81, r = ; calcula a1.

c. a3 = 0,1, a7 = 0,000 000 1; calcula r.

d. a1 = 3, an = 96, r = 2; calcula n.

a. 16 y 1

b. –162 y –2

c. y

d. 1 y 4

Interpola tres medios geométricos entre los números:40

En el laboratorio de Biología de su instituto, Laura estátrabajando con un cultivo formado por 30 bacterias. Si estosmicroorganismos se reproducen por bipartición cada 15 minutos,¿cuántas habrá en el cultivo al cabo de 6 horas?

41

En el laboratorio de Biología de su instituto, Laura estátrabajando con un cultivo formado por 30 bacterias. Si estosmicroorganismos se reproducen por bipartición cada 15 minutos,¿cuántas habrá en el cultivo al cabo de 6 horas?

42



Veamos a continuación cómo se obtiene una expresiónpara calcular el producto de los términos consecutivosde una progresión geométrica a partir del producto desus términos equidistantes.

05.1 Producto de los términos equidistantesde una progresión geométrica

Consideremos la progresión geométrica finita { 1

9,

1

31

3 9 27 81 243 }. Si multiplicas los términosequidistantes, constatarás que se obtiene siempre elmismo resultado:

En general, en una progresión geométrica finita de ntérminos se cumple que el producto de los términosequidistantes de los extremos es igual al producto dedichos extremos:

an · an =a2 · an-1 = a3 · an-2 = ...

Observa que la suma de los subíndices de cada

Producto de los términos deuna progresión geométrica05

03 SucesionesVolver



expresión es n + 1.

05.2 Producto de los términos consecutivosde una progresión geométrica

Vamos a partir de la progresión geométrica {a1 , a2 , a3 ,

… an } para calcular el producto de los n primeros

términos. Con este fin, se coloca el producto de los ntérminos y debajo su producto invertido. Acontinuación, se multiplican los términos que estén enla misma columna:

Producto → Pn = a1. a2

. … . an-1. an

Producto invertido → + Pn = an. an-1

. … . a2.

a1

Pn 2 = (a1

. an) . (a2

. an – 1) + … . (an – 1 . a2) . (an

.

a1)

Teniendo en cuenta que el producto de los términosequidistantes de los extremos es igual al producto delos extremos y que hay n productos:

Pn = (a1. an)

. (a1. an)

. … . (a1. an)

. (a1. an) = (a1

.

an) ⇒ Pn =

n productos



El producto de los n primeros términos de unaprogresión geométrica es:

pn =

ACTIVIDADES RESUELTAS

Dada la progresión geométrica an = 18. ( 1

3 ) n-1 ,calcula el producto de

los seis primeros términos.

1

Para calcular P6, es preciso determinar primero a1 y a6:

De este modo, el producto de los seis primeros términos es:

El producto de los cuatro primeros términos de una progresióngeométrica es 0,102 4. Si a1 = –0,2, calcula a4.

2

Hay que hallar cuatro números,



a. an = · 3n – 1c. cn = 4 · 0,1n – 1

b. bn = 2n – 1d. dn = 64 ·

a. an = {2, –6, 18, –54, ...}

b.

c. cn = {0,2 ; 0,02 ; 0,002 ; 0,000 2 ; ...}

ACTIVIDADES

Calcula el producto de los cinco primeros términos de lassiguientes progresiones geométricas:

43

Halla el producto de los seis primeros términos de estasprogresiones geométricas:

44

De una progresión geométrica se conocen a4 = – y r = .45



a. La razón de la progresión.

b. El primer término.

c. El producto de los seis primeros términos.

¿Cuánto vale el producto de sus seis primeros términos?

Se sabe que el tercer término de una progresión geométrica es1,6, y el sexto, 12,8. Calcula:

46

El producto de los cinco primeros términos de una progresióngeométrica es 32 768. Si a1 = –2, calcula a5.

47

ACTIVIDAD RESUELTA

De una progresión geométrica se sabe que a1 + a6= 33 y

que P6 = 32 768. Halla el valor de a1 y a6, sabiendo que

ambos son positivos.

48

Así: a1 + a6 = 33 y a1 · a6 = 32.

Despejando a6 de la segunda ecuación: a6 = 32

a1

Sustituyendo en la primera ecuación:



Se resuelve la ecuación de segundo grado y se obtiene como solucionesa1 = 1 y a1 = 32.

Por consiguiente, hay dos soluciones, que son:

De una progresión geométrica se sabe que a1 – a4 = 26 y que P4 =

729. Halla el valor de a1 y a4, sabiendo que ambos son positivos.

49



Vamos a obtener aquí la expresión de la suma de lostérminos de una progresión geométrica, distinguiendodos casos:

06.1 Suma de un número finito de términosde una progresión geométrica

Partamos de la progresión geométrica {a1 , a2 , a3 ,...,

an,... } para calcular la suma de sus n primeros términos:

Sn = 1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an

Primero, se multiplican por r los dos miembros de laigualdad anterior:

A continuación, se restan las dos expresionesanteriores:

Sn · r = a1 · r + a2 · r + … + an – 1 · r + an

· r = a2+ a3 + … + an + an · r

Suma de los términos de unaprogresión geométrica06

Suma de un número finito de términos.·Suma de los infinitos términos.·

Si r = 1, la progresiónes constante:

(an) = {a1, a1, a1, ...,

a1}

Por consiguiente, lasuma de los nprimeros términos es:

Sn = a1 · n

Observa

Observa

03 SucesionesVolver



Si se saca factor común a Sn en el primer miembro, se

obtiene:

Sn · (r – 1) = an · r – a1 ⇒ Sn =

Teniendo en cuenta

que an = a1 · rn – 1, la

expresión de la sumatambién puede ser:

S n = =

, si r ≠ 1

Así, la suma de los n primeros términos de unaprogresión geométrica es:

Sn = , si r ≠ 1




06.2 Suma de los infinitos términos de una


En una progresión geométrica cuya razón es r = calcula las potencias r2,

r3, r4 y r10.

1

Observa que las potencias de r toman valores cada vez más próximos acero:

r2 = = 1

4 = 0,25 ; r3 = =

1

8 = 0,125

r4 = = 1

16 = 0,062 5 ; r10 = =

1

1024 = 0,000 977

y calcula la suma de los seis primeros términos.

Considera la progresión geométrica an = {2, 4, 8, 16, ...}2

Para calcular S6, es necesario determinar primero r y a6.

r = = 2 y a6 = 2 · 26 – 1 = 64

Ahora se sustituye en la expresión para calcular la suma de los seisprimeros términos:

S6 = = 128 – 2 = 126

4

2

64.2 - 2

2 - 1



progresión geométrica con | r | < 1

Considera una progresión geométrica en la que | r | < 1,es decir, –1 < r < 1. En este caso, para calcular la sumade todos sus términos, hay que tener en cuenta laexpresión de la suma de los n primeros términosobtenida anteriormente:

Sn =

Como –1 < r < 1, a medida que se van sumando

términos, rn se acerca cada vez más a cero; luego, a1 · rn

se aproxima más a cero.

Por tanto, puede considerarse que a1 · rn = 0, cuando n

es un número muy grande. Al sustituir a1 · rn = 0 en la

expresión de la suma:

Sn =

La suma de los infinitos términos de una progresióngeométrica con razón | r | < 1 es:

S∞ , si | r | < 1

ACTIVIDADES

Dada la progresión geométrica an = {1, 3, 9, 27, ...}, halla su

término general y la suma de los diez primeros términos.

50

Efectúa la suma 1 + 5 + 25 + … + 56.51



a. an =

b. bn = {0,1 ; 0,4 ; 1,6 ; 6,4 ; …}

c. cn =

a. La razón, teniendo en cuenta que es positiva.

b. El primer término.

c. El noveno término.

d. La suma de los nueve primeros términos.

e. La suma de los infinitos términos.

Efectúa la suma 1 + 5 + 25 + … + 56.51

Halla el término general y la suma de los infinitos términos de unaprogresión geométrica de la que se conocen a 1 = 4 y r = 0,2.

52

Determina, si es posible, la suma de todos los términos de estasprogresiones geométricas:

53

Calcula la suma de las doce primeras potencias de 4.54

En una progresión geométrica, a1 = y S∞ = . ¿Cuánto vale la

razón?

55

Calcula la suma de los infinitos términos de una progresióngeométrica de razón 0,7, cuyo primer término es 4.

56

Se sabe que en una progresión geométrica a3 = 0,002 y a 7 =

0,000 000 2. Calcula:

57

Un grupo de amigos quiere hacer un tramo del Camino deSantiago. El primer día recorren 40 km; el segundo día, 20 km; eltercero, 10 km, y así sucesivamente. ¿Cuántos kilómetros habrán

58



tercero, 10 km, y así sucesivamente. ¿Cuántos kilómetros habránrecorrido en una semana?

Cuenta la leyenda que el inventor del ajedrez enseñó a jugar a unpríncipe, el cual prometió regalarle lo que pidiera. El inventor deljuego solicitó un grano de trigo por la primera casilla del tablero,dos por la segunda, el doble por la tercera, y así hasta llegar a lacasilla 64. Al príncipe no le pareció un precio desorbitado yaceptó, pero no tardó en darse cuenta de que la demanda eraimposible de pagar, ya que no había en el reino trigo suficiente.¿Cuántos granos de trigo había pedido en total el inventor delajedrez?

59



Las aplicaciones de las sucesiones son numerosas, peronos vamos a centrar en las siguientes:

La obtención de la fracción generatriz de losdecimales periódicos a partir de la suma de los infinitostérminos de una progresión geométrica.

La obtención de la expresión del interés compuesto apartir del término general de una progresióngeométrica.

07.1 Fracción generatriz de los decimalesperiódicos

Decimales periódicos puros

Vamos a calcular la fracción generatriz del número 5,7.

Observa que el número 5,7 se puede expresar como5,7 = 5 + 0,7.

A su vez, es posible expresar la parte periódica comouna suma de fracciones cuyos denominadores sonpotencias de base 10:

Repara en que en esta última expresión se obtiene la

Aplicaciones07

Observa

03 SucesionesVolver



Observamos que esta última expresión es la suma delos infinitos términos de una progresión geométrica en

suma de los infinitos términos de una progresión

geométrica en la que a1 = y r = . Puesto que | r |

= < 1, puede aplicarse la expresión de la suma de

los infinitos términos, S∞ = :

Decimales periódicos mixtos

Calculemos ahora la fracción generatriz del número4,153. El número 4,153 se puede expresar como 4,153= 4,1 + 0,053.

Ahora bien:

Las fraccionesgeneratricesobtenidas de 5,7 y4,153 coinciden conlas que resultan apartir de su expresión:

• La fraccióngeneratriz de 5,7 es:

• La fraccióngeneratriz de 4,153es:



la que a1 = y r = . Como | r | = < 1, es

posible aplicar la expresión de la suma de los infinitostérminos:

07.2 Interés simple y compuesto

Interés simple

Interés compuesto

Elinterés simple, I, es el beneficio que se obtieneal invertir un capital inicial, CI , durante un

período de tiempo, t (en años), a un réditodeterminado, r(en %), de modo que el capitalinicial permanezca constante, es decir, que losintereses se retiran al finalizar cada período de

inversión. Su expresión es I = CI· · t.

Períodos deinversión



El capital final al concluir cada añoserá:

Repitiendo el proceso, se observa que la sucesiónformada por los capitales finales es una progresión

geométrica en la que a1 = CI y r = 1 + .

El capital final obtenido al concluir el último año es CF =

CI · 1 + . t

• Si el período detiempo es mensual:

CF = CI ·

CF = CI ·

• Si el período de tiempo

es diario:

CF = CI ·

CF = CI ·

Interés simple

Interés

compuesto

Interés simple

Interés

compuesto

El interés compuesto es el beneficio que seobtiene al invertir un capital inicial, CI, durante

un período de tiempo, t (en años), a un réditodeterminado, r (en %), de modo que losintereses no se retiran al término de cadaperíodo de inversión, sino que se añaden alcapital inicial. Es decir, cada año, el capitalinicial es igual al capital final (CF) del año

anterior.

r

100

ACTIVIDADES



a. 0,7 b. 4,58 c. 12,4 d. 1,6

a. 0,032 b. 3,78 c. 6,05 d. 9,364

ACTIVIDADES

Halla la fracción generatriz de los siguientes números decimalesperiódicos puros:

60

Establece la fracción generatriz de estos números decimalesperiódicos mixtos:

61

Calcula el capital final y el beneficio obtenido al invertir 15 000 €durante 8 años, al 3 % de interés simple anual y al mismo interéscompuesto anual.

62

¿Cuánto dinero ha de invertir Berta durante 4 años al 5 % deinterés compuesto anual para que se convierta en un capital de 9724,05 €?

63

¿A qué rédito invirtió Sofía un capital de 5 000 € a interéscompuesto anual para que en 3 años se haya convertido en 5624,32 €?

64

En el banco A ofrecen un interés simple del 5 % anual pordepositar un capital de 6 000 € durante 3 años. En el banco B, porla misma cantidad y durante el mismo tiempo, ofrecen un interéscompuesto del 5 % anual. ¿Qué banco oferta mejorescondiciones?

65



Progresiones aritméticas y geométricascon WirisEste programa nos permite identificar los tipos de progresiones, calcular ladiferencia de una progresión aritmética y la razón de una progresión geométrica,así como efectuar operaciones con progresiones.

HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS

Identificación de progresiones aritméticas ygeométricas

Para averiguar si una sucesión es una progresión aritmética o geométrica, se

selecciona el menú a = progresión(a1, a2, a3); a continuación, se

pulsa y el programa nos responde con el término general y el tipo de

progresión.

( )

Cálculo de la diferencia de una progresiónaritmética

Para calcular la diferencia de una progresión aritmética, seescribe la progresión, se pulsa Intro y se introduce el comando

paso(a). Al pulsar en , aparecerá la diferencia. ( )

03 SucesionesVolver



Cálculo de términos de una sucesión

Si se desea calcular los k primeros términos de una sucesión, a partir de sutérmino general, se tiene que emplear el comando aplicar_ función(n → an,

1..k), donde el símbolo se obtiene de la barra de menús . ( )

Cálculo de la razón de una progresióngeométrica

Para calcular la razón de una progresión geométrica, se procede igual que enel caso de la diferencia, pero en este caso se empleará el comando razón(a). (

)

Suma de los términos de una progresión aritmética y geométrica

a. Para calcular la suma de los k primeros términos de una progresión,

aritmética o geométrica, se utiliza el símbolo , que se encuentra en la barra

de menús . En la parte inferior, a la izquierda del signo igual, se

escribe n, y a la derecha, 1. En la parte superior, se introduce el número detérminos que se va a sumar, k.

b. b. Para calcular la suma de los infinitos términos de una progresióngeométrica de razón | r | < 1, se escribe en el símbolo de la suma y el símbolo

en lugar de k, que se encuentra en el menú .( )

Copia, completa e ilustra en tu cuaderno el siguiente mapa conceptual y después contestalas preguntas. También lo puedes realizar en el ordenador con el programa CmapTools.

APRENDO A APRENDER

ACTIVIDADES

¿Cuál es la diferencia entre progresión aritmética y progresióngeométrica? Pon un ejemplo de cada tipo.

1

Halla el término general y la suma de los siete primeros términos decada uno de los ejemplos del apartado anterior.

2

Pon un ejemplo de progresión geométrica con razón r = 0,7. ¿Se puedecalcular la suma de todos los términos de esta progresión? En casoafirmativo, hállala.

3

¿Puede existir una progresión geométrica con a1 = 0? Razona la

respuesta con tu compañero.

4

¿Puede haber una progresión geométrica en la que todos los términossean negativos? Razona la respuesta con tu compañero. En caso

5

03 SucesionesVolver

sean negativos? Razona la respuesta con tu compañero. En casoafirmativo, poned un ejemplo.

¿Qué signo tiene la diferencia de una progresión aritmética creciente? ¿Ysi es decreciente?

6

¿Cómo es una progresión aritmética con d = 0?7

¿Qué condiciones debe cumplir una progresión aritmética para quetodos sus términos sean positivos?

8

¿Qué es una ley de recurrencia?9

Construye una sucesión definida por una ley de recurrencia. Halla susexto término.

10

¿Puede una sucesión ser una progresión aritmética y geométrica a lavez? En caso afirmativo, ilústralo con un ejemplo.

11

¿Cómo ha de ser la razón de una progresión geométrica para que seaalternada?

12

¿Cuál es la expresión del producto de los n primeros términos de unaprogresión geométrica de razón 1?

13

Prepara una presentación para tus compañeros. Puedes hacer undocumento PowerPoint, usar Glogster ...

14



a. an=

b. bn=

c. cn= {7 ,14 ,21 ,28 ,..... }

d. dn=

SUCESIONES

a. an = 3n2

b. cn =

c. bn =

d. dn = 5n – 4

a. an = {3, 7, 15, 21, ...}

b. bn = {1, 2, 5, 13, ...}

REPASO FINAL

Averigua si el 3 es un término de alguna de las siguientessucesiones:

1

Encuentra el término general y a8 de las siguientes sucesiones:2

Halla la ley de recurrencia de estas sucesiones:3

Determina los cuatro primeros términos de las siguientes sucesionesy estudia su monotonía:

4

03 SucesionesVolver



a. an =

b. cn = 3 +

c. bn =

d. dn = –1 + 2n + 1

PROGRESIONES ARITMÉTICAS

a. an = {–7, –5, –3, –1, …}

b. bn =

c. cn = {4, 7, 5, 8, …}

d. dn = {√2, √5, √8, √11,….}

y estudia su monotonía:

Pitágoras y sus discípulos descubrieron pautas numéricas en ladisposición geométrica de los números y, en función de ellas, losincluyeron dentro de una u otra categoría geométrica. Así,hablaban de números triangulares, cuadrados, pentagonales… Lassiguientes eran algunas construcciones geométricas pitagóricas, enlas que cada figura representa un número en función de la cantidadde puntos que contiene:

5

Encuentra el término general de la sucesión de los númerostriangulares y cuadrados.

Comprueba si las siguientes sucesiones son progresionesaritméticas. En caso afirmativo, halla la diferencia y el términogeneral. Utiliza Wiris para comprobar tus resultados.

6



d. dn = {√2, √5, √8, √11,….}

a. 5 y 20

b. y

SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓNARITMÉTICA

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

Interpola cuatro medios aritméticos entre estos números:7

Halla el término general de una progresión aritmética en la que a4

= –2 y a3 + a10 = 6.

8

Comprueba si los polinomios 4x + 2, x 2 + 4x y 2 x 2+ 4x – 2 estánen progresión aritmética. En caso afirmativo, halla la diferencia y eloctavo término.

9

Sea an la sucesión de Fibonacci y bn la sucesión: b1 = 1, b n = an

an-1

.

¿A qué importante número irracional se aproximan cada vez mássus términos?

10

Calcula la suma de los nueve primeros términos de una progresiónaritmética en la que a1 = 6 y d = –2.

11

La suma de los k primeros términos de una progresión aritmética es200. Si ak = 68 y a1 = 32, ¿cuántos términos de la progresión se han

sumado?

12

Una papelería vende a 10 € el primer lote de cuadernos, a 9,50 € elsegundo lote, a 9 € el tercero, y así sucesivamente. ¿Cuánto habríaque pagar por ocho lotes de cuadernos?

13

Comprueba si las siguientes sucesiones son progresionesgeométricas. En caso afirmativo, halla la razón y el término general.

14



a. an =

b. bn = {1, 6, 36, 216, …}

c. cn = {2, 10, –50, –250, …}

d. dn = {√7, 7 , 7√7, √49,….}

a. 4 y 324

b. 10 y

PRODUCTO DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓNGEOMÉTRICA

SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓNGEOMÉTRICA

geométricas. En caso afirmativo, halla la razón y el término general.Comprueba tus resultados con Wiris.

Halla la razón y el término general de una progresión geométrica dela que se conocen a1 = 32 y a6 = 1.

15

Encuentra el primer término de una progresión geométrica de laque se conocen a5 = 0,001 y r = 0,1.

16

Interpola tres medios geométricos entre los números:17

Una bicicleta ha costado 250 €. Si cada año pierde un 10 % de suvalor, ¿qué precio tendrá dentro de 5 años?

18

Calcula el producto de los ocho primeros términos de una

progresión geométrica en la que a 1 = y a8 = 2 187.

19

Sabiendo que en una progresión geométrica a5 = 16 y P 5 = 1 024,

calcula a1.

20

De una progresión geométrica se conocen la razón, r = 2, y la sumade los cinco primeros términos, S = 279. Calcula a .

21



APLICACIONES

a. 0,4

b. 1,8

c. 6,25

d. 0,52

e. 2,628

f. 4,01

de los cinco primeros términos, S5 = 279. Calcula a1.

Halla tres números en progresión geométrica sabiendo que su sumaes 525, y su producto, 1 000 000.

22

De una progresión geométrica se sabe que S∞ = 20 y a 1 + a2 =

18,2. Calcula a1.

23

¿Cuántos términos se han tomado de una progresión geométrica, sabiendo que el

primer término es ; el último término, 2, y su suma, ?

24

Encuentra la fracción generatriz de los siguientes númerosdecimales periódicos:

25

Calcula el capital final obtenido al poner 10 000 € al 7 % de interéscompuesto anual durante 3 y 5 años.

26



a. an =

b. an =

c. an =

d. an =

a. Las dos sucesiones son progresiones aritméticas.

b. La sucesión an es una progresión geométrica, y la sucesión bn, una

progresión aritmética.

c. Las dos sucesiones son progresiones geométricas.

d. La sucesión bn es una progresión geométrica, y la sucesión an, una

progresión aritmética.

a. 2,7 b. 8,3 c. 3,4 d. 4,1

EVALUACIÓN

1 Señala cuál de los términos generales que se presentan a

continuación se corresponde con la siguiente sucesión:

2 Sean las sucesiones an = {18, 6, 2, 2

3,... } y bn= {–3, 3, 9, 15, ...};

indica cuál de las siguientes afirmaciones es cierta:

3 De una progresión aritmética se sabe que d = 0,7 y a8 = 9. ¿Cuál es el

valor de a1?

03 SucesionesVolver



a. 2,7 b. 8,3 c. 3,4 d. 4,1

a. S6 = 3 367 y S∞ = –729

b. S6 = 3 367 y S∞ = 729

c. S6 = 3 367 y S∞ no se puede calcular.

d. No se pueden calcular ninguna de las dos sumas.

a. 5 624,32 €

b. 5 600 €

c. 600 €

d. 624,32 €

a.

b.

c.

d.

¿Para qué me ha servido lo que he estudiado en esta unidad?

4 En una progresión geométrica a1 = 243 y r = 4

3.El valor de la suma

de los seis primeros términos y de la de todos sus términos es,respectivamente:

5 El beneficio obtenido al poner 5 000 € al 4 % de interés compuesto

anual durante 3 años es:

6 Una progresión geométrica en la que a1 = 5 y S∞= 12 tiene por razón:

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