T9-Probabilidade-3º ESO.pdf

¿Qué importancia creo que tendrá la capacidad de relacionarconocimientos en el estudio de esta unidad?

En el juego de la ruleta hay la misma cantidad de números rojos quede números negros, y la misma cantidad de números pares que deimpares.

Qué es más probable, ¿que salga rojo par o negro impar?

Probabilidad

09 ProbabilidadVolver

29/10/2015 Matemáticas académicas

https://edelvivesdigital.com/products/R1_EDELVIVES/version_web/index.html?package=../../108340_MATES_3E/version_web&session_id=2235a7d3f6a4… 1/6

Fíjate en las siguientes situaciones, en las queinterviene el azar:

En la primera tirada del parchís, Isidro quiere obtenerun 5.

Al salir de casa, Emma toma el paraguas porque elcielo está nublado.

Félix ha comprado una papeleta para la rifa de unjamón y confía en que le toque.

Mañana el profe de Matemáticas de Ruth elegirá atres alumnos al azar para salir a hacer los deberes enla pizarra.

Considera ahora estas otras situaciones, que sedesarrollan según lo previsto, es decir, no dependen delazar:

Chus lanza una piedra hacia arriba, que sube hastacierta altura y acaba cayendo.

Experimentos aleatorios.Espacio muestral01

Completo




Álex mide la longitud del lado de un cuadrado parapoder calcular su área.

Por lo tanto, cabe distinguir dos tipos de experimentosdependiendo de si se puede predecir o no su resultado.

Por ejemplo, un experimento aleatorio es girar la agujade la ruleta del margen. Por mucho que se realice esteexperimento nunca podrá saberse a ciencia cierta quénúmero saldrá. Lo único que se conoce es su espaciomuestral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Cada uno de loselementos que forman el espacio muestral se denominasuceso elemental, que en este caso son {1}, {2}, {3}, {4},{5}, {6}.

Por ejemplo, un experimento determinista seríaobservar qué ocurre con el agua que hay en unrecipiente si se calienta hasta alcanzar la temperaturade 100 °C. La respuesta es segura: el agua terminaráevaporándose.

Un experimento aleatorio es aquel en el que noes posible predecir el resultado antes derealizarlo.

El espacio muestral, E, de un experimentoaleatorio es el conjunto de los resultados que sepueden obtener al realizar dicho experimento.

Un experimento determinista, por el contrario, esaquel cuyo resultado se conoce antes derealizarlo. Si no se modifican las condiciones,siempre se obtiene el mismo resultado.



a. Los experimentos se clasifican en ..... y ..... .

b. En los experimentos deterministas ..... sabemos cuál será elresultado.

c. El conjunto de los resultados que se pueden obtener al realizar unexperimento aleatorio se denomina ..... .

d. Cada uno de los elementos que forma el espacio muestral en unexperimento aleatorio se denomina ..... .

a. Extraer una carta de una baraja.

aleatorios – espacio muestral – deterministas – siempre – sucesoelemental

ACTIVIDAD RESUELTA

En un estudio sobre la calidad deltransporte público, los encuestadospueden responder: bueno, regular,malo, NS / NC. Indica el espaciomuestral y un suceso elemental delestudio.

El espacio muestral son las diferentesrespuestas posibles: E = {bueno,regular, malo, NS / NC}. Un sucesoelemental es, por ejemplo, {regular}

ACTIVIDADES

Completa en tu cuaderno las siguientes frases con el término queconsideres más adecuado:

1

Indica si estas acciones son experimentos aleatorios odeterministas:

2



b. Adivinar un número elegido al azar por un compañero.

c. Teclear el pin de un teléfono móvil.

a. Lanzar un dado dodecaedro numerado del 1 al 12.

b. Adivinar con las hojas de una margarita si alguien nos quiere o no.

c. Elegir al azar una pieza de ajedrez independientemente de su color.

a. ¿Cuál es el espacio muestral?

b. Indica un suceso elemental.



c. ¿Es aleatorio el experimento?

a. Lanzar un dado cúbico numerado del 1 al 6.

b. Elegir una vocal al azar.

c. Escoger un mes del año para realizar una competición deportiva.

d. Pensar un múltiplo de 10 entre los cien primeros números naturalespara que lo adivine un compañero.

Indica el espacio muestral y un suceso elemental en los siguientesexperimentos aleatorios:

3

En una tienda de mascotas, un cliente elige al azar de entre lospeces de agua fría que hay en una pecera carpines, kois, chupa-algas y cebritas.

4

Dos amigos deciden a pares o nones quién de los dos preguntaráa María la edad que tiene.

5

Inventa un experimento que tenga el siguiente espacio muestral: E = {mal, regular, bien}

6

Indica el espacio muestral y un suceso elemental en los siguientescasos:

7

En una partida de ajedrez se decide a suerte el color de las piezas8





a. ¿Es un experimento aleatorio? Razona tu respuesta.

b. Escribe el espacio muestral.

c. Indica un suceso elemental.

a. Sacar un 1.

b. Sacar un número par mayor que 4.

c. Sacar un número compuesto menor de 6.

d. Sacar un número divisor de 9 que sea mayor que 1.

a. ¿Sería un experimento aleatorio? Razona tu respuesta.

b. Escribe el espacio muestral.


En una partida de ajedrez se decide a suerte el color de las piezascon las que se va a jugar.

8

Se extrae una bola de la siguiente urna y se anota el color: 9

Se lanza un dado numerado del 1 al 6. Indica los resultados quecomprenden los siguientes sucesos:

10

Fíjate en la siguiente urna:

Si se extrae una bola al azar y se comprueba si es impar:

11



Cada suceso puede estar formado por un elemento,varios o ninguno.

02.1 Tipos de sucesos

Si se lanza un dado cúbico, el espacio muestral de esteexperimento es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Los distintos tiposde sucesos que pueden obtenerse son:

Suceso elemental

Es el suceso formado por un único elemento delexperimento. Por tanto, son cada uno de loselementos del espacio muestral.

A 1 = {1}; A2 = {2}; A3 = {3};

A 4 = {4}; A5 = {5}; A6 = {6}

Suceso compuesto

Es el suceso formado por varios sucesos elementales.

Sucesos. Tipos de sucesos02Un suceso es cada uno de los subconjuntos delespacio muestral de un experimento aleatorio.Se representa con letras mayúsculas, y suselementos se escriben entre llaves y separadospor comas.

Completo




B 1 = «obtener un número par» = {2, 4, 6}

B 2= «obtener un número menor que 3» = {1, 2}

Suceso seguro

Es el suceso que se verifica siempre al realizar elexperimento. Coincide con el espacio muestral.

C = «obtener un número menor que 7» = {1, 2, 3, 4,5, 6} = E

Suceso imposible

Es el suceso que no se verifica nunca. Se designamediante el símbolo del conjunto vacío (∅).

D 1 = «obtener un 7»

D 2 = «obtener un número mayor de 8»

Dependiendo de la relación que haya entre dos o mássucesos, cabe distinguir los siguientes tipos:

Suceso contrario

El suceso contrario a un suceso A es el constituido porlos elementos del espacio muestral que no forman

parte del suceso A. Se designa mediante Ac o .

Si A = {1, 2}, entonces Ac = {3, 4, 5, 6}

Sucesos incompatibles

Sucesos incompatibles son los que no pueden ocurrir ala vez. Es decir, no tienen ningún suceso elemental en



común.

A = {1, 3} y B = {2, 5}

Sucesos compatibles

Sucesos compatibles son los que pueden ocurrir a lavez. Es decir, tienen algún suceso elemental encomún.

A = {1, 3} y B = {3, 4, 5}

ACTIVIDAD RESUELTA

a. Un suceso compuesto.

b. Dos sucesos compatibles.

c. Dos sucesos incompatibles.

d. Dos sucesos contrarios.

En la ruleta del margen indica:

a. Obtener un múltiplo de 3.

b. {obtener par} y {obtenermenor de 7}.

c. {obtener menor de 4} y{obtener múltiplo de 5}.

d. {obtener par} y {obtenerimpar}.



02.2 Sucesos dependientes e independientes

Consideremos, a continuación, el experimento deextraer dos bolas de la urna del margen. Se tienen encuenta dos sucesos: el primero es A = «obtener bolaroja en la primera extracción», y el segundo, B =«obtener bola roja en la segunda extracción ». Lasextracciones pueden realizarse de dos formas:

El suceso B = «obtener bola roja en la segundaextracción» no está formado por los mismos elementoscuando la primera bola se devuelve a la urna quecuando no se devuelve:

Sucesos independientes

Si se devuelve, son sucesos independientes, pues elresultado del suceso B no está condicionado por elsuceso A.

Los sucesos A y B estarían formados por estoselementos:

A = {R1, R2, R3} B = {R1, R2, R3}

Sucesos dependientes

Si no se devuelve, son sucesos dependientes, pues elresultado del suceso B sí está condicionado por elsuceso A.

El suceso A estaría formado por estos elementos:

Con reemplazamiento: se saca la primera bola, semira el color y se vuelve a introducir en la urna para,a continuación, extraer la segunda bola.

·

Sin reemplazamiento: se saca la primera bola, semira el color y se deja a un lado para, acontinuación, extraer la segunda bola.

·



A = {R1, R2, R3 }

El suceso B, si suponemos que la bola extraída es R1,

sería:

B = {R2, R3}

a. El espacio muestral.

b. Un suceso elemental.

c. Un suceso compuesto.

d. Un suceso seguro.

e. Un suceso imposible.

f. Dos sucesos compatibles.

a. Dos sucesos que sean incompatibles, pero no contrarios.

b. Dos sucesos que sean contrarios.

c. Dos sucesos compatibles.

d. Un suceso compuesto.

compatibles – elemental – imposible

ACTIVIDADES

En el experimento «sacar una bola y anotar su color», indica unejemplo de cada uno de los siguientes sucesos, teniendo encuenta la composición de esta urna:

12

Se lanza un dado cúbico. Indica:13

Completa en tu cuaderno las siguientes frases con el conceptoque consideres más adecuado:

14



a. Dos sucesos que tienen en común algún suceso elemental son ..... .

b. El suceso que no contiene ningún suceso elemental del espaciomuestral es el ..... .

c. Todos los de este tipo forman el espacio muestral: ..... .

a. Si, al elegir el primer amigo, se indica si ha acertado, ¿serán lossucesos dependientes?

b. ¿Cómo realizarías el experimento para que ambos amigos tuvieranla misma probabilidad de acertar?

compatibles – elemental – imposible

En el experimento «pensar un día de la semana y que dos amigoslo adivinen» se consideran los siguientes sucesos: A = {elegir undía el primer amigo} y B = {elegir un día el segundo amigo}.

15



Al igual que con los números, con los sucesos tambiénse pueden realizar operaciones, aunque sonoperaciones relativas a conjuntos.

Fíjate en la urna del margen. Está compuesta por cincobolas rojas numeradas del 1 al 5 y por cuatro bolasazules numeradas del 1 al 4.

A = «extraer bola roja» = {

}

B = «extraer número par»={

}

Entre estos dos sucesos cabe definir las siguientesoperaciones:

Operaciones con sucesos03

Considera los sucesos:·




A = «extraer bola roja» = { } B =

«extraer bola azul» = { }

La unión y la intersección de ambos da el siguienteresultado:

Unión de sucesos

La unión de los sucesos A y B, A ∪ B, es el sucesoformado por los elementos del suceso A junto con loselementos del suceso B:

A ∪ B = { }

Intersección de sucesos

La intersección de los sucesos A y B, A ∩ B, es el sucesoformado por los elementos comunes al suceso A y alsuceso B:

A ∩ B = { }

Considera ahora los sucesos:·



Observa que los sucesos A y B no tienen ningúnelemento en común. Se trata de dos sucesosincompatibles.

a. A ∪ B

b. A ∪ C

Unión de sucesos

A ∪ B = {

}

Intersección de sucesos

A ∩ B = {0}

Un suceso y sucontrariocumplen siempreestas dospropiedades:

A ∪ Ac = E·A ∩ Ac = ∅·

Dos sucesos, A y B, son incompatibles, cuandono tienen ningún elemento en común y suintersección, A ∩ B, es el conjunto vacío: ∅.

ACTIVIDADES

Se lanza un dado y se consideran los siguientes sucesos A= {3}, B= {1, 3, 6} y C = {2, 5}. Halla el resultado de estas operaciones:

16

Recuerda



b. A ∪ C

c. A ∩ B

d. B ∩ C

a. A ∪ C

b. B ∪ C

c. A ∩ B

d. A ∩ C

a. A ∪ B

b. A ∩ B

c. A ∩ C

d. B ∩ C

e. B ∪ C

f. A ∪ C

g. (A ∩ C) ∪ B

h. (B ∪ C) ∩ A

a. A ∪ B

b. A ∪ C

El presupuesto destinado a pensiones en España se distribuyeentre las siguientes clases: {jubilación, favor familiar, viudedad,orfandad, incapacidad permanente}. Si se consideran lassiguientes subclases: A = {jubilación, viudedad}, B = {orfandad} yC = {viudedad, incapacidad permanente}, indica el resultado decada una de estas operaciones:

17

Se extrae una carta de una baraja española. Considera lossucesos A = «extraer una copa», B = «extraer un cinco» y C =«extraer un rey» e indica las cartas que forman cada una de estasoperaciones:

18

Se lanza un dado cúbico y se definen los sucesos A = = «obtenernúmero par», B = «obtener un número mayor que cuatro» y C =«obtener un número menor o igual que tres». Halla el resultadode las siguientes operaciones:

19



b. A ∪ C

c. B ∪ C

d. A ∩ B

e. B ∩ C

f. A ∩ C

g. (A ∩ C) ∪ B

h. (B ∪ C) ∩ A


b. A ∪ B

c. Ac

d. Bc ∪ C

e. A ∩ B

f. A ∩ Cc

a. A ∪ B

b. A ∩ B

c. Ac

Fíjate en esta ruleta:

Considera los sucesos A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 6} y C = {3, 5, 7} eindica:

20

Se realiza el experimento «lanzar un dado cúbico». Escribe dossucesos compuestos, A y B, y realiza con ellos las operacionesindicadas:

21



c. Ac

a. B ∪ C

b. A ∩ C

c. Ac ∩ Bc

d. (A ∪ C)c

a. A ∩ B

b. Ac ∪ B

c. A ∩ Cc

d. (C ∩ B)c

a. A ∪ Ac

b. A ∩ Ac

Un estudio realizado sobre el empleo que hacen de Internet lasfamilias españolas destaca que se centra mayoritariamente aestas actividades: {uso del correo electrónico, información sobrebienes y servicios, lectura de periódicos on line, utilización deredes sociales, búsqueda de servicios de viajes y alojamiento,sintonización de radio o TV}. Considera los sucesos A = «uso delcorreo electrónico, lectura de periódicos on line, sintonización deradio o TV», B = «utilización de redes sociales, sintonización deradio o TV», C = «uso del correo electrónico, utilización de redessociales, búsqueda de servicios de viajes y alojamiento». Indica elresultado de cada apartado.

22

Considera un experimento cuyo espacio muestral sea el conjuntode los días de la semana. Si se parte de los sucesos A = «días quecomiencen por “m”», B = «días que acaben en “s”» y C = «díasque contengan la letra “n”», halla el resultado de las siguientesoperaciones:

23

Si consideramos un suceso, A, en un experimento, explica cuál esel resultado de realizar las siguientes operaciones:

24

Indica si estas afirmaciones son verdaderas o falsas y corrige25



a. La unión de dos sucesos siempre será mayor o igual que el mayor delos dos sucesos.

b. Si dos sucesos son incompatibles, su unión formará el espaciomuestral.

c. Si dos sucesos son compatibles, la intersección de sus respectivossucesos contrarios es el conjunto vacío.

a. Si se hace la unión de dos sucesos, se forma el espacio muestral.¿Cuáles son?

b. Indica la intersección de dos sucesos que no sea el conjunto vacío.

c. Comprueba que (A ∪ C)c = Ac ∩ Cc.

Indica si estas afirmaciones son verdaderas o falsas y corrigeestas últimas:

25

Considera el experimento consistente en extraer una bola de estaurna y los sucesos A = {sacar par}, B = {sacar impar} y C = {sacarmúltiplo de 3}:

26



Las frecuencias absoluta y relativa de un suceso sedefinen de forma análoga a como se definieron enestadística esos mismos conceptos aplicados a un valor.

Se lleva a cabo el experimento de lanzar una moneda alaire 10 veces y se obtienen los siguientes resultados:

C C + C + C + + C C

Si se ordenan en una tabla estos datos y se consideranlos sucesos A = «sacar cara» y B = «sacar cruz», lafrecuencia absoluta de cada suceso es la que semuestra en la tabla del margen. (1)

Si se desea relacionar la frecuencia absoluta con elnúmero de veces que se realiza el experimento, se hallala frecuencia relativa.

Frecuencia de un suceso04

La frecuencia absoluta, ni, de un suceso, A, es el

número de veces que ocurre el suceso al realizarun experimento.

(1)

Frecuencia

absoluta,

ni

N.º de

caras

(suceso

A)

6

N.º de

cruces

(suceso

B)

4

(2)

Frecuencia

relativa, fi

N.º de

caras

(suceso

A)

= 0,6

N.º de

La frecuencia relativa, fi, de un suceso, A, es el cociente

entre la frecuencia absoluta del suceso y el número deveces que se realiza el experimento:




Así, en el experimento del lanzamiento de la moneda, lafrecuencia relativa de cada suceso es la que se muestraen la tabla del margen. (2)

Propiedades de las frecuenciasrelativas

A partir de los valores de las frecuencias relativas de lossucesos A y B del experimento anterior, se puedencomprobar las siguientes propiedades:

Propiedad 1

La frecuencia relativa de cualquier suceso, A, estácomprendida entre 0 y 1:

0 ≤ fi (A) ≤ 1

Como consecuencia de esta propiedad, tenemos que:

• La frecuencia relativa del suceso imposible es 0:

f i (∅) = 0

• La frecuencia relativa del suceso seguro es 1: f i (E) = 1

Propiedad 2

La suma de las frecuencias relativas de todos los sucesoselementales es 1:

f i (A) + fi (B) = 1

(Si A y B forman el espacio muestral).

Propiedad 3

cruces

(suceso

B)

= 0,4



• La frecuencia relativa de la unión de sucesosincompatibles es igual a la suma de las frecuenciasrelativas de los sucesos:

f i (A ∪ B) = fi (A) + fi (B)

Como consecuencia de esta propiedad, tenemos que lasuma de la frecuencia relativa de un suceso y su opuestoes 1:

f i (A) + fi (Ac) = 1

• La frecuencia relativa de la unión de sucesoscompatibles es igual a la suma de las frecuenciasrelativas de esos sucesos menos la frecuencia relativadel suceso intersección de los mismos:

f i (A ∪ B) = fi (A) + fi (B) – fi (A ∩ B)

Dado Frecuencia absoluta, n i Frecuencia relativa, f i

1

2

3

4

ACTIVIDADES

En una partida de parchís se saca ficha de casa al obtener un cincoen el lanzamiento del dado. Goyo prefiere cambiar las reglas y sacarficha al conseguir un uno porque dice que le sale más veces. Realizaun experimento para comprobar si Goyo está en lo cierto. Con estefin, cada compañero de clase deberá lanzar 20 veces el dado ycompletar esta tabla en su cuaderno.

27



a. ¿Cuál es la frecuencia relativa del suceso A = «sacar 1»? ¿Y la delsuceso B = «sacar 5»?

b. Si lanzamos el dado muchas veces más, ¿cuál crees que será el númerocon mayor frecuencia relativa?

c. A tenor de estos resultados, ¿con qué número crees que sería más justosacar ficha de casa?

a. Calcula la frecuencia relativa de cada suceso elemental.

b. Calcula la frecuencia relativa del suceso A = «sacar marrón o verde».

c. Calcula la frecuencia relativa del suceso B = «no sacar marrón».

d. Calcula la frecuencia relativa de la unión de los sucesos C = «sacarrojo» y B = «no sacar marrón».

e. Calcula la frecuencia relativa de la intersección de los sucesos D =«sacar rojo o azul» y B = «no sacar marrón».

5

6

Total

Rojo Marrón Azul Verde

Frecuencia absoluta, n i 10 15 12 13

Se hace girar la ruleta de la figura 50 veces y se obtienen lossiguientes resultados:

28

Se hace girar la ruleta de la figura 100 veces y se obtienen losresultados que puedes ver en la tabla.

29




b. Calcula la frecuencia relativa del suceso A = «obtener rey o reina».

a. ¿Es la frecuencia relativa de cualquier suceso mayor o igual que 0?

b. ¿En qué suceso es 1 la frecuencia relativa?

c. ¿En qué suceso es 0 la frecuencia relativa?

d. ¿Es 1 la suma de las frecuencias relativas de todos los sucesoselementales?


b. Halla la suma de todas las frecuencias del apartado anterior.

c. Calcula la frecuencia relativa del suceso A = «sacar número par».

d. Calcula la frecuencia relativa del suceso B =«no sacar 3».

e. Calcula la frecuencia relativa del suceso C = «sacar 5».

Torre Peón Alfil Caballo Rey Reina

Frecuenciaabsoluta,

n i

12 15 19 21 13 20

1 2 3 4

Frecuencia absoluta, n i 18 22 20 20

Contesta las siguientes preguntas, razonando tu respuesta.30

Se lanza 80 veces un dado tetraédrico numerado del 1 al 4 y seobtienen los siguientes resultados:

31



f. Calcula la frecuencia relativa de la unión de los sucesos D = «sacarnúmero impar» y F = «sacar 1 o 4».

g. Halla la frecuencia relativa de la intersección G = «obtener un múltiplode 3» y H = «no sacar 4».



Lee las siguientes afirmaciones. Observa que vaaumentando el grado de posibilidad de que ocurra unsuceso.

Enrique tiene menos posibilidades de anotar que Juan.

Es posible que te inviten al cumpleaños.

05.1 Frecuencia relativa yprobabilidad

Al repetir un experimento un número de veces muyelevado, la frecuencia relativa de dicho suceso tiende aestabilizarse hacia un valor. Este valor se asigna comoprobabilidad de que ocurra dicho suceso. Es lo que seconoce como ley de los grandes números.

Para calcular la probabilidad de que salga cara,lanzamos una moneda al aire y vamos aumentando elnúmero de lanzamientos. Los resultados obtenidos semuestra en la tabla del margen.

Probabilidad. Propiedades05Cuanto más cerca esté

del 0, menos probable esque ocurra el suceso.

Cuanto más cerca estédel 1, más probable esque ocurra el suceso.

La probabilidad de un suceso mide el grado deposibilidad de que tenga lugar dicho suceso. Suvalor está comprendido entre 0 y 1.




Como ves, a medida que aumenta el número delanzamientos, la frecuencia relativa se aproxima a 0,5.

La probabilidad de un suceso, A, P (A), es el valor haciael que se aproxima su frecuencia relativa cuando elexperimento se repite un número elevado de veces.

Por tanto, la probabilidad de que salga cara es P (sacar

cara) = 0,5 =

N.º delanzamientos

Frecuenciaabsoluta, ni

Frecuenciarelativa, fii

10 6 0,600

50 34 0,680

100 38 0,380

500 272 0,544

1000 581 0,581

5000 2369 0,474

10 000 4 913 0,491

50 000 25 116 0,502

05.2 Propiedades de laprobabilidad

Las propiedades de la probabilidad son análogas a laspropiedades de la frecuencia.

Propiedad 1

Observa



La probabilidad de un suceso está comprendida entre0 y 1: 0 ≤ P (A) ≤ 1 Como consecuencia de esta propiedad tenemos que:

Propiedad 2

La suma de las probabilidades de todos los sucesoselementales es 1:

P (A) + P (B) = 1

(Si A y B forman el espacio muestral).

Propiedad 3

La probabilidad de la unión de sucesos incompatibleses igual a la suma de las probabilidades de lossucesos:

P (A ∪ B) = P (A) + P (B)

Como consecuencia de esta propiedad, tenemos quela suma de la probabilidad de un suceso y su contrario

es 1: P (A) + P (Ac) = 1. La probabilidad de la unión desucesos compatibles es igual a la suma de lasprobabilidades de esos sucesos menos la probabilidaddel suceso intersección de los mismos: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)

P (sacar cara) = 0,5

= .

Significa que, decada dos veces quese lance la moneda,una saldrá cara.

La probabilidad del sucesoimposible es 0: P (∅) = 0.

·La probabilidad del sucesoseguro es 1: P (E) = 1.

·

ACTIVIDADES



ACTIVIDADES

Copia en tu cuaderno la siguiente escala:

Sitúa en ella los sucesos indicados por la probabilidad que asignesa cada uno según esta urna:

A = {extraer una bola roja} B = {extraer el 1} C = {extraer un número menor que 8} D = {extraer una bola verde}

32

ACTIVIDAD RESUELTA

Se hace girar 20 veces esta ruleta:

Y los resultados obtenidos son:

10 veces rojo – 6 veces azul – 4 veces verde

33



a. La próxima vez es más probable que salga cara.

b. La próxima vez es más probable que salga cruz de nuevo.

c. La próxima vez hay las mismas posibilidades de que salga cara quede que salga cruz.

10 veces rojo – 6 veces azul – 4 veces verde

Asigna una probabilidad aproximada a obtenercada color.

El experimento se ha realizado 20 veces y lafrecuencia relativa de cada color es:

Rojo Azul Verde

Frecuenciaabsoluta,

ni

10 6 4

Frecuenciarelativa, fi

0,5 0,3 0,2

Aunque el experimento se ha repetido pocas veces,aproximamos la frecuencia relativa a laprobabilidad: P (rojo) = 0,5 P (azul) = 0,3 P (verde)= 0,2

Lanzamos una moneda 20 veces y en todas ellas ha salido cruz.Indica la opción que creas que es correcta si se vuelve a lanzaruna vez más.

34

Realiza el siguiente experimento en grupos de cinco compañeros.Cada integrante debe lanzar un dado cúbico 20 veces y anotar elresultado. Copiad cada uno la siguiente tabla en vuestro

35



a. ¿Hacia qué valor se aproximan las frecuencias relativas de cadanúmero?

b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cada número?

c. Contesta estas mismas preguntas, acumulando los lanzamientos detoda la clase. ¿Varían los resultados?

Tandas 1 2 3 4 5 6

Frecuencia absoluta, ni

Porcentajes

cuaderno y completadla con los resultados obtenidos:

Juntad todos los resultados de los cinco compañeros, de formaque se contabilicen los 100 lanzamientos.



ACTIVIDAD RESUELTA

a. P (A ∪ B)

b. P (B ∪ C) d

c. P (Ac)

d. P (A ∩ B)

En el lanzamiento de un dado cúbico se consideranlos siguientes sucesos: A = {sacar 2, 4}, B = {sacar 6}y C = {sacar múltiplo de 3}. Si sus probabilidadesson P (A) = 0,33, P (B) = 0,17 y P (C) = 0,33, hallalas siguientes probabilidades:

36

a. P (A ∪ B) = P (A ) + P (B) = 0,33 + 0,17 = 0,5

b. P (B ∪ C) = P (B) + P (C) – P (B ∩ C) = =0,17 + 0,33 –0,17 = 0,33

c. P (Ac) = 1 – P (A) = 1 – 0,33 = 0,67

d. P (A ∩ B) = P (Ø) = 0

Aplicando las propiedades de la probabilidad:



Hemos visto que la probabilidad de que ocurra unsuceso en un experimento es el valor al que seaproxima la frecuencia relativa cuando dichoexperimento se realiza un número elevado de veces.Ahora bien, si para calcular la probabilidad de unsuceso tuviéramos que realizar el experimento al menos50 000 veces, resultaría bastante pesado.

Por tanto, es necesario buscar un método que faciliteeste proceso. Esta es la función que cumple la regla deLaplace.

Regla de Laplace

Para aplicar esta regla, debemos considerar lossiguientes conceptos:

Regla de Laplace06

Retrato de Pierre - SimonLaplace, que junto conFermat y Pascal,desarrolló el cálculo deprobabilidades.

La probabilidadde que ocurra unsuceso seaproxima a lafrecuenciarelativa: P (A) ≈ fi

Suceso equiprobable: es cada uno de los sucesoselementales de un espacio muestral cuando laprobabilidad de que ocurran es la misma para todos.

·

Casos posibles: son los distintos resultados que sepueden obtener al realizar un experimento.

·Casos favorables: son los resultados que hacen quese verifique dicho suceso.

·

Recuerda




Laplace definió la probabilidad de unsuceso, A, P (A), como el cociente entrelos casos favorables y los casos posibles:

ACTIVIDAD RESUELTA

a. ¿Cuál es la probabilidad de que sea roja?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que sea azul?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que sea negra?

En una urna hay 16 papeletas de distinto color: 3 de color rojo, 5de color azul y 8 de color negro. Si se extrae una papeleta al azar:

a. El número de casos posibles es 16, puespuede extraerse cualquiera de las 16papeletas introducidas en la urna. Elnúmero de casos favorables es 3, ya que detodas las papeletas solo hay 3 de color rojo.Por tanto:

b. El número de casos posibles vuelve a ser16, y el número de casos favorables, 5,dado que hay 5 papeletas de color azul. Enconsecuencia:

Se aplica la regla de Laplace, puesto que la probabilidad deextraer cualquier papeleta es la misma.



a. Halla la probabilidad de extraer el cuatro de espadas.

b. Halla la probabilidad de extraer una espada.

c. Halla la probabilidad de extraer una figura.

a. Un seis doble.

b. Una blanca.

c. Una ficha que tenga en una de sus mitades una cifra que sea eldoble que la de la otra mitad.

consecuencia:

c. El número de casos posibles es 16, y elnúmero de casos favorables, 8, pues hay 8papeletas de color negro. De este modo:

ACTIVIDADES

Se extrae una carta de una baraja española.37

El juego del dominó consta de 28 fichas. Determina laprobabilidad de extraer:

38

ACTIVIDAD RESUELTA



a. A ∪ B

b. A ∪ C

Se lanza un dado numerado del 1 al 6 y seconsideran los sucesos A = {sacar número par}, B ={sacar 1, 3} y C = {sacar 2, 5}. Halla la probabilidaddel suceso:

39

a. Los sucesos A y B son incompatibles, pues no tienenningún elemento en común. En este caso se cumple que:P (A ∪ B) = P (A) + P (B)

Se verifica que se cumple esta propiedad:

P (A ∪ B) = P ({1, 2, 3, 4, 6}) = 5

6

P (A) = P ({2, 4, 6}) = 3

6 ; P (B)= P ({1, 3}) =

2

6

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) ⇒ 5

6 =

3

6 +

2

6

b. Los sucesos A y C son compatibles, puesto que tienenelementos en común. En este caso se cumple que:P (A ∪ C) = P (A) + P (C) – P (A ∩ C)

Se verifica que se cumple esta propiedad:

P (A ∪ C) = P ({2, 4, 5, 6}) = 4

6

P (A) = P ({2, 4, 6}) = 3

6

P (C)= P ({2, 5}) = 2

6 ; P (A ∩ C)= P ({2}) =

1

6



a. P (A)

b. P (C)

c. P (Ac)

d. P (A ∪ C)

e. P (A ∪ B)

f. P (Ac ∩ B)

a. A = «obtener bola verde»

b. B = «obtener bola marrón»

c. A ∪ B, Ac ∪ B y A ∩ Bc

Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos al extraer una bola:

P (C)= P ({2, 5}) = 6

; P (A ∩ C)= P ({2}) = 6

P (A U C) = P (A) + P (C) – P (A ∩ C) ⇒

⇒ 4

6 =

3

6 +

2

6 -

1

6

Se lanza un dado cúbico y se definen los siguientes sucesos: A =«sacar un múltiplo de 3», B = «sacar un número impar» y C =«sacar un número menor que tres». Halla las siguientesprobabilidades:

40

Fíjate en el contenido de la siguiente urna:41



a. ¿Cuál es la probabilidad de conseguir el premio?

b. Si el concursante tuviera la oportunidad de repartir él mismo las seisbolas en las dos urnas, ¿cómo le interesaría distribuirlas para tener lamáxima probabilidad de ganar el premio?

c. ¿Y si fueran tres urnas?

a. ¿Cuál es la probabilidad de que la ficha elegida tenga una parteblanca y no se pueda formar la fracción?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que la fracción formada sea igual a 1?

De un juego de dominó (28 fichas) se elige una al azar y se formauna fracción con los dos números que figuran en la ficha, deforma que sea menor o igual que 1.

42

Un participante de un concurso de televisión tiene la posibilidadde ganar un gran premio. Para ello, ha de realizar una extracción,sin mirar, de una de estas dos urnas y sacar una bola verde.

43



Un ejemplo de experimento compuesto sería lanzar unamoneda dos veces y anotar los resultados. Está formadopor dos experimentos simples iguales, cada uno de loscuales incluye el lanzamiento de la moneda y laanotación de los resultados.

Para obtener el espacio muestral asociado a unexperimento compuesto, se suelen utilizar losdiagramas de árbol.

A la hora de calcular una probabilidad, hay que tener encuenta dos reglas:

Experimentos compuestos.Diagramas de árbol07

Un experimento compuesto es aquel queestá formado por dos o más experimentossimples.

Un diagrama de árbol es una estructura en laque se organiza la información. Permite realizarun recuento de todas las posibilidades de unaforma ordenada, clara y sencilla.

Completo




Regla del producto o de la probabilidadcompuesta

La probabilidad de un camino en un diagrama deárbol es igual al producto de las probabilidadesde las ramas que lo forman.

Regla de la suma o de la probabilidad total

La probabilidad de varios caminos en undiagrama de árbol es igual a la suma de lasprobabilidades de cada uno de los caminos.

ACTIVIDAD RESUELTA



Daniel y Ana lanzan una moneda dos veces y apuestan por unresultado. Ana asegura que hay más probabilidad de obtener doscaras y Daniel defiende que es más probable sacar una cara y unacruz. ¿Quién lleva razón?

Dibujamos un diagrama de árbol en el que se representen losdos lanzamientos:

El espacio muestral de este experimento está formado portodos los casos obtenidos, en total cuatro: E = {(c, c), (c, +), (+,c), (+, +)}.

Aplicando la regla de Laplace en cada rama, se obtiene:

P (1 cara y 1 cruz) = 1

4 P (1 cara y 1 cruz) =

2

4=

1

2

El caso favorable es (c, c). Los casos favorables son (+, c) y (c,+). Si aplicamos la regla del producto: Si aplicamos la regla de lasuma:

P (dos caras) = 1

2.

1

2 P (cara y cruz) =

1

2.

1

2+

1

2.

1

2=

1

2

Por tanto, Daniel tiene razón, ya que la probabilidad de sacaruna cara y una cruz es mayor que la sacar dos caras.



a. Escribe los posibles resultados, ayudándote de un diagrama deárbol.

b. Calcula la probabilidad de que ambos obtengan el mismo númeroen una tirada.

c. Calcula la probabilidad de que el resultado de uno de ellos sea dobleque el del otro.

a. Halla la probabilidad de que salgan tres cruces.

b. Halla la probabilidad de que salgan dos cruces.

c. Halla la probabilidad de que salga una cruz.

d. Halla la probabilidad de que no salga ninguna cruz.

ACTIVIDADES

Esther y Rodrigo lanzan un dado cada uno.44

Tres amigos lanzan una moneda al aire cada uno y anotan elresultado.

45

En un grupo de diez personas, ¿cuántas parejas diferentes sepueden hacer para disputar partidas de ajedrez?

46



ACTIVIDAD RESUELTA

a. Sacar dos chicas.

b. Sacar dos chicos.

c. Sacar un chico y una chica.

En clase de Arturo hay 27 alumnos: 18 chicas y 9chicos. Si se eligen dos alumnos al azar para salir a lapizarra a realizar un ejercicio, halla la probabilidad de:

47

a. P (2 chicas) =

b. P (2 chicos) =

c. P (1 chico y 1 chica) =

Se pueden organizar los resultados posibles mediante undiagrama de árbol, pero hay que tener en cuenta que esta vezno todas las elecciones tienen la misma probabilidad.

De una urna como la de la figura se extrae dos bolas sinreemplazamiento (es decir, las bolas, una vez extraídas, no sedevuelven a la urna) y se anota su color.

48



a. El espacio muestral del experimento.

b. La probabilidad de extraer dos bolas rosas.

c. La probabilidad de extraer una bola rosa.

d. La probabilidad de no extraer ninguna bola rosa.

Según esto, determina:

En la final de 50 metros estilo libre de natación compiten 8nadadoras. ¿De cuántas formas diferentes se puede confeccionarel podio?

49

El príncipe de un reino lejano castigó con la pena de muerte a unode sus súbditos por las fechorías cometidas. Sin embargo,haciendo gala de su buena voluntad, le permitió pedir un últimofavor. El ladrón pidió dos bolsas y cuatro monedas, dos de oro ydos de plata. Repartiría las monedas en las bolsas, de forma queninguna estuviera vacía, y el príncipe extraería una moneda de labolsa que quisiera. Si la moneda fuera de oro, se llevaría a cabo laejecución, pero, si fuera de plata, quedaría en libertad. ¿Cómotendría que distribuir el ladrón las monedas en las bolsas paraque la probabilidad de salvarse fuese máxima? Realiza undiagrama de árbol donde se muestre la probabilidad de cadacaso.

50

Se extraen dos bolas de la siguiente urna:51



a. Sacar dos bolas rojas.

b. Sacar dos bolas azules.

c. Sacar dos bolas de distinto color.

d. Sacar dos bolas del mismo color.

Investiga la diferencia de las probabilidades pedidas considerandoextracciones con y sin devolución. Aplica la regla del producto yde la suma cuando sea necesario.

Por tanto, el número de posibles ordenaciones es 3! = 3 · 2 ·1 = 6

Juan debe hacer deberes de tres materias: Lengua, Inglés yMatemáticas, pero no tiene claro por cuál comenzar. ¿En quéorden puede realizar las tareas?

Para contar las diferentes ordenaciones, se usa un diagramade árbol:

Probabilidad mediante factoriales08

El factorial de n o n factorial, que se representa porn!, es el producto de los números naturales desde el1 hasta n y es igual a:

n! = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 2 · 1

Recuerda


Las permutacionesde un conjunto deelementos son lasdiferentes formasen que se puedenordenar esoselementos. En unconjunto de nelementos hay n!permutaciones:

P (n) = n!

ACTIVIDAD RESUELTA

Para confeccionar el menú de la semana en elcomedor, un colegio dispone de cinco platosprincipales: {cocido, pescado, estofado, lasaña,chuletas}.

a. ¿Cuántas posibilidades hay para ordenarla comida en los días de lunes a viernes?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que, si seeligen al azar, se coma lasaña el lunes?

a. Cada día quedará una posibilidad menos de elecciónde la comida, pues el plato seleccionado queda fijado:

Posibilidades

L 5

LM 4

Mi 3

J 2

V 1

P (5) = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

b. Se halla la probabilidad aplicando la regla de Laplace.Los casos posibles son los calculados en el apartadoanterior, y los casos favorables se obtienen fijando lalasaña para el lunes. En total, los casos favorables son: P(4) = 4 · 3 · 2 · 1 = 24.

P (lasaña el lunes)=

ACTIVIDADES

a. b. c. d.

a. 7! b. 1! c. 10! d. 11!

a.

b.

c.

d.

ACTIVIDADES

Halla estos factoriales:52

Simplifica las siguientes expresiones con factoriales:53

ACTIVIDAD RESUELTA

Simplifica esta expresión con factoriales:54

Simplifica las siguientes expresiones con factoriales:55

¿Cuántos números de cinco cifras diferentes se pueden formar con losdígitos 1, 2, 3, 4 y 5?

56

¿Cuántos números de cuatro cifras diferentes se pueden formar con losdígitos 0, 2, 4 y 6?

57

a. ¿De cuántas formas se pueden ordenar?

b. ¿Cuántas de las permutaciones anteriores comienzan con la letra T?

c. ¿Cuál es la probabilidad de elegir una de las posibles ordenaciones y quecomience por la letra P y termine con la letra O?

a. ¿Cuántos números de cinco cifras se pueden formar?

b. Halla la probabilidad de que, al elegir una combinación al azar, el númeroresultante sea mayor que 50 000.

a. Halla la probabilidad de que, al elegir una palabra, comience por la letra P.

b. Determina la probabilidad de que, al elegir una palabra, comience porvocal.

c. Establece la probabilidad de que, al elegir una palabra, comience con vocaly termine en consonante.

dígitos 0, 2, 4 y 6?

¿De cuántas maneras se pueden colocar en una estantería seis librosdiferentes?

58

Teniendo en cuenta las letras de la palabra PRÉSTAMO, responde a estascuestiones:

59

Considerando los dígitos impares:60

Considerando las letras de la palabra PISTA:61

ACTIVIDAD RESUELTA

a. Calcula de cuántas maneras pueden acomodarse si no hayninguna restricción.

b. Y si Mayte no puede ocupar ninguno de los dos extremos del sofá.

c. Y si Lupe debe sentarse en un extremo del sofá.

d. Halla la probabilidad de que, al elegir una disposición al azar,David y Laura estén sentados juntos.

David, Mayte, Manuel, Lupe y Laura se van a sentar en un sofáde cinco plazas.

62

a. P (5) = 5! = 120 formas

b. Veamos dos formas de resolverlo:1. A las disposiciones totales, P (5), se les restan las que seobtienen al restringir un puesto para una persona, P (4),duplicadas al tener que considerar cada extremo: P (5) – 2 · P(4) = 72 formas.

2. Se fijan las posibilidades en los puestos restringidos: en elprimer extremo pueden ir cuatro personas, y en el otroextremo, tres, pues ya se fijó una persona:

4___3

Se completa con el resto de puestos y personas que queden:43213 = 4 · 3 · 2 · 1 · 3 = 72.

c. 2 · P (4) = 48 formas

d. Si fijamos dos posiciones juntas para David y Laura, las otrastres se colocan de seis formas diferentes: P (3) = 3! = 6.

Estas dos posiciones juntas se pueden elegir de cuatro formasdiferentes entre los cinco puestos del sofá.

Además, estas posiciones se duplican al invertir el orden de losque se sientan juntos.

Por tanto, los casos favorables son 6 · 4 · 2 = 48.

P (David y Laura se sientan juntos ) =



En esta práctica vamos a calcular con Excel laprobabilidad experimental del suceso «obtener 5» en ellanzamiento de un dado. Para ello, seguiremos estospasos.

Cálculo de probabilidades con Excel

HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS

1. Se abre un documento de la hoja de cálculo y se escribe elencabezado del experimento en la primera fila de la hoja:«Probabilidad experimental de obtener 5 con un dado». Acontinuación se le da formato: se combinan celdas, se aplica color alfondo, a la fuente, etc. ( A )

2. Vamos a generar aleatoriamente 200 números entre 1 y 6simulando el lanzamiento de un dado 200 veces.

La función ALEATORIO() genera números reales aleatorios en elintervalo (0, 1). Si se quisiera generar un número real aleatorio en elintervalo (a, b), la sintaxis sería ALEATORIO()*(b-a)+a.

En nuestro caso debemos generar números naturales en el intervalo[1, 6], lo que puede conseguirse combinando la función ALEATORIO()con la función ENTERO, que toma la parte entera de un número dado.A continuación, nos situamos en la celda A3 y escribimos=ENTERO(ALEATORIO()*6+1). Pulsamos Intro y se obtiene un número




=ENTERO(ALEATORIO()*6+1). Pulsamos Intro y se obtiene un númeroentero aleatorio entre 1 y 6, ambos inclusive.( B )

3. Acto seguido, a fin de generan los 200 números aleatoriosautomáticamente, se arrastra el controlador de relleno + hasta lacelda A22, se seleccionan estos 20 números generados y se vuelve aarrastrar el controlador de relleno de la celda A22 hasta la columna J.( C )

4. Calculemos ahora la probabilidad del suceso «obtener 5». Para ello,se contabilizan los casos posibles y el número de veces que se haobtenido el número 5. Con este fin, se utiliza la función CONTAR.SI,que cuenta las celdas de un determinado rango que cumple en lacondición indicada.



Cada vez que se pulse la tecla F9, se generaránaleatoriamente 200 números nuevos y la probabilidadde obtener 5 irá cambiando.

condición indicada.

En la casilla L3 se escribe =CONTAR.SI(A3:J22;5), se pulsa Intro y seobtiene el número de veces que aparece el 5 en los 200 númerosgenerados.

En la casilla L4 se escriben los casos posibles, 200, mientras que en lacasilla L5 se calcula la probabilidad de obtener 5 dividiendo L3 entreL4, =L3/L4. ( D )

Copia, completa e ilustra en tu cuaderno el siguiente mapaconceptual y después contesta las preguntas. También lopuedes realizar en el ordenador con el programa CmapTools.

APRENDO A APRENDER

ACTIVIDADES


¿En qué se distingue un experimento aleatorio de uno determinista?1

Indica las diferencias entre dos sucesos compatibles y dos incompatibles.2

¿Entre qué valores está siempre la probabilidad de un suceso? ¿Cuál esla probabilidad del suceso seguro? ¿Y la del imposible?

3

¿Cuál es el resultado de la intersección de dos sucesos incompatibles?¿Cuál es su probabilidad?

4

¿Cuál es el resultado de la unión entre un suceso y su contrario? ¿Y el desu intersección? ¿Cuál es la probabilidad de cada uno de estosresultados?

5

¿Qué relación hay entre la probabilidad de que ocurra un suceso y sufrecuencia relativa?

6

¿Cuál es la probabilidad del espacio muestral?7

Realiza una presentación a tus compañeros. Puedes hacer un documentoPowerPoint, usar Glogster…

8


https://edelvivesdigital.com/products/R1_EDELVIVES/version_web/index.html?package=../../108340_MATES_3E/version_web&session_id=2235a7d3f6a… 1/10

a. Elegir un mes del año.

b. Elegir un curso de Educación Secundaria Obligatoria.

c. Apostar por el resultado del partido del próximo fin de semana.

d. Medir la temperatura a la que hierve el agua.

a. Un suceso elemental.

b. Un suceso compuesto.

c. Un suceso seguro.

d. Un suceso imposible.

e. Dos sucesos incompatibles.



b. Un suceso seguro.

c. Un suceso compuesto.

EXPERIMENTOS ALEATORIOS. ESPACIO MUESTRAL

SUCESOS. TIPOS DE SUCESOS

REPASO FINAL

Indica si los siguientes experimentos son aleatorios odeterministas, el espacio muestral y un suceso elemental:

1

En relación con el juego del dominó (28 fichas), escribe:2

En un juego de azar se lanza un dado que tiene seis caras condiferentes colores: rojo las numeradas con 1, 2 y 3, blanco lascaras 4 y 5 y rosa la cara 6. Indica un ejemplo de cada uno deestos sucesos:

3




d. Un suceso imposible.

e. Dos sucesos incompatibles.


a. La unión de dos sucesos compatibles nunca puede ser el espaciomuestral.

b. La intersección de un suceso y su contrario es el conjunto vacío.

c. La unión de dos sucesos incompatibles puede ser menor que elespacio muestral.

d. Un suceso seguro puede ser incompatible con un suceso compuesto.

e. Un suceso imposible es compatible con un suceso elemental.

f. El contrario de la unión de dos sucesos es igual a la unión de loscontrarios de esos dos sucesos.

a. A ∪ C

b. B ∪ C

c. A ∩ B

d. Bc

e. Ac ∩ C

f. Ac ∩ Bc

OPERACIONES CON SUCESOS

Señala si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.Escribe las falsas de forma correcta.

4

El espacio muestral de un experimento es E = {3, 5, 8, 9, 11, 12,13}. Considerando los siguientes sucesos: A = {5, 8}, B = {3, 9, 12}y C = {11, 12, 13}, halla:

5

En una encuesta sobre la preferencia por el tipo de películas seobtienen estos resultados:

6



a. A ∪ B

b. B ∩ C

c. Bc

d. (A ∪ C)c

e. Ac ∪ Bc

f. Ac ∩ C

a. Cada suceso elemental.

b. El suceso {extraer negro, azul}.

c. El suceso {no extraer marrón}.

FRECUENCIA DE UN SUCESO

Negro Marrón Azul Naranja

Frecuenciaabsoluta, n i

18 20 22 20

Considerando los siguientes sucesos A = {cómica, comediaromántica, infantil}, B = {de suspense, drama, de terror} y C = {desuspense, cómica, de acción}, indica el resultado de cadaapartado.

Se realizan 80 extracciones de la siguiente urna:7

Se han obtenido estos resultados:

Calcula la frecuencia relativa de:



c. El suceso {no extraer marrón}.

d. La unión de los sucesos {extraer azul} y {no extraer negro}.

a. ¿Hacia qué valor se aproximan las frecuencias relativas de obtenercara?

b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara?

a. P (A ∪ B)

PROBABILIDAD. PROPIEDADES

Tanda 1 2 3 4 5

Frecuencia absoluta, n i

Frecuencia relativa, f i

Junto con tu compañero, diseñad una ruleta como la de la figura,utilizando para ello papel, un lápiz y un clip.

8

A continuación, realizad el siguiente experimento: uno devosotros golpea el clip con el dedo para que gire alrededor dellápiz, mientras que el otro registra el color en el que se detiene elclip. Averiguad la frecuencia relativa con la que el clip se detieneen cada sector que pintéis en vuestra ruleta al realizar 20 veces elexperimento.

Lanza una moneda 10 veces en 5 tandas. Cada vez que salga caraanota el resultado. Para ello, copia en tu cuaderno esta tabla ycomplétala:

9

Considera los siguientes sucesos en el lanzamiento de un dadocúbico: A = «sacar múltiplo de 2», B = «sacar múltiplo de 4» y C= «sacar impar». Si sus probabilidades son P (A) = 0,5, P (B) =0,2 y P (C) = 0,5, halla:

10



a. P (A ∪ B)

b. P (A ∪ C)

c. P (Ac)

a. A = «Un 4»

b. B = «Un número par»

c. C = «Un número impar»

d. D = «Un número primo»

a. P {extraer rosa}

b. P {no extraer rosa}

c. P {extraer negra}

REGLA DE LAPLACE

Se lanza un dado con forma de dodecaedro numerado del 1 al 12.Halla la probabilidad de obtener:

11

Se extrae una bola de la siguiente urna y se anota de qué colores:

12

Calcula estas probabilidades:

ACTIVIDAD RESUELTA

Si dejamos caer una bola por la parte superior de lamáquina, y suponiendo que las posibilidades de ir porcada bifurcación se reparten equitativamente, ¿porqué abertura es más probable que salga la bola?

13



Como en cada bifurcación la bola sigue su caminoaleatoriamente, las probabilidades de itinerarios son lassiguientes:

Así, las probabilidades de que la bola salga por las diferentesaberturas son:

P (1) =1

3, P (2) = ,

1

3 , P (3) =

1

3 .

1

2 =

1

6, P (4) =

1

3 .

1

2 =

1

6

Por tanto, las aberturas con mayor probabilidad de salida sonla 1 y la 2.

Si dejamos caer 20 bolas por la parte superior de la máquina, ysuponiendo las posibilidades de ir por cada bifurcación sereparten equitativamente, ¿cuántas bolas crees que saldrán porcada una de las aberturas?

14

Paola va a una feria y allí encuentra un puesto en el que hay estasdos máquinas:

15



a. ¿En qué máquina aconsejarías jugar a Paola?

b. Calcula la probabilidad que tiene la bola de salir por cada una de lasaberturas en ambas máquinas.

a. ¿Cuántos grupos distintos de cuatro símbolos se pueden formar?

b. ¿En cuántos de ellos hay solamente una raya?

c. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar entre todos los grupos unoque tenga tres rayas?

EXPERIMENTOS COMPUESTOS. DIAGRAMAS DE ÁRBOL

Debe elegir una de las máquinas, soltar una bola y, si sale por laabertura 2, gana un premio.

¿Cuál es la probabilidad de que un cuadrado del ajedrez,escogido al azar entre los 64, no linde con ningún lado deltablero?

16

Visita la siguiente página de Internet. En ella encontrarásactividades para aplicar la ley de Laplace.

17

http://conteni2.educarex.es/mats/11968/contenido/

El código morse es un sistema para formar letras y númerosmediante dos símbolos, el punto «·» y la raya «–».

18

Utiliza un diagrama de árbol para obtener todos los segmentosdiferentes que se pueden trazar entre los cinco puntos A, B, C, D yE.

19

En un juego de estrategia se lanzan dos dados en cada turno parahacer avanzar las fichas. Si sale el mismo número en cada dado,es decir, un doble, hay opción de volver a tirar. ¿Cuál es la

20

http://http//conteni2.educarex.es/mats/11968/contenido/



a. No se repite ningún dígito.

b. Se repiten los dígitos.

probabilidad de que salga un doble?

¿Cuántos números de tres cifras se pueden obtener con los dígitos0, 2, 4, 6, sin repetir ninguno?

21

Se forman números de tres cifras con los dígitos 1, 2, 3 y 4.Calcula cuántos números se obtienen si:

22

Se dispone de dos urnas, cuya composición es la siguiente:23

Se elige una urna al azar (la elección de urnas es equiprobable) yse extrae una bola. Calcula la probabilidad de que la bolaextraída sea roja.

Toni ha invitado a merendar esta tarde a su casa a 7 amigos. Alacabar la merienda, todos se despiden con un apretón de manos.¿Cuántos saludos se realizan?

24

Halla la probabilidad de que, al lanzar dos dados cúbicos, la sumade los resultados sea 7.

25

Observa la siguiente urna:26



a. Las dos bolas extraídas sean azules.

b. Solamente una bola sea azul.

c. Ninguna bola sea azul.

a. A = «sacar más de 1 €»

b. B = «sacar menos de 1 €»

c. C = «sacar exactamente 1 €»

a. Encestar todos los lanzamientos.

b. Fallar todos los lanzamientos.

PROBABILIDAD MEDIANTE FACTORIALES

Si se extraen dos bolas con reemplazamiento, halla laprobabilidad de que:

Un trabajador debe tomar el tren de cercanías para desplazarse asu centro de trabajo. Si coge el tren de las 07:30 h, laprobabilidad de llegar puntual al trabajo es de 0,9. Sin embargo,si lo pierde, la probabilidad de llegar tarde es de 0,4. Sabiendoque lo pierde el 20 % de las veces, calcula la probabilidad de quellegue puntual.

27

Susana tiene en el bolsillo 3 monedas de 1 €, 2 de 50 céntimos y4 de 10 céntimos. Si saca dos monedas al azar, halla lasprobabilidades de los siguientes sucesos:

28

Un jugador de baloncesto encesta el 70 % de los tiros libres quelanza. Si realiza 4 lanzamientos, halla la probabilidad de:

29

Considerando las letras de la palabra PELOTA averigua cuántaspalabras, con o sin sentido, se pueden formar con todas sus letras

30


https://edelvivesdigital.com/products/R1_EDELVIVES/version_web/index.html?package=../../108340_MATES_3E/version_web&session_id=2235a7d3f6… 10/10

a. Comience por la letra T.

b. Comience por consonante.

c. Comience y termine por vocal.

d. Comience con la letra A y termine exactamente con dosconsonantes.

a. Indica todos los números posibles que se pueden obtener.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir uno al azar sea mayor que8 000?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir uno al azar sea númeropar?

a. ¿Cuántos números de seis dígitos pueden formarse sin repetirninguno?

b. Halla la probabilidad de que, al elegir uno de esos números al azar,sea múltiplo de 5.

c. Calcula la probabilidad de que, al elegir un número al azar, tengasus cifras correlativas.

y a continuación halla las siguientes probabilidades al elegir unade ellas al azar:

Con los dígitos 9, 8, 7 y 6, formamos números de cuatro cifras sinque se repita ninguna cifra.

31

¿De cuántas formas se pueden sentar cinco personas en sendassillas colocadas en una mesa circular?

32

Contesta a las siguientes preguntas usando los dígitos 1, 2, 3, 4, 5y 6:

33



a. Elemental.

b. Compuesto.

c. Seguro.

d. Imposible.

a. {Sacar 1, 3, 6}

b. {Sacar 3, 5, 7}

c. {Sacar 1, 3, 4, 5, 6}

d. {Sacar 3, 5}

a. {2, 3, 4, 5, 6}

b. {1}

c. {4, 5, 6}

d. {2}

EVALUACIÓN

1 ¿Qué tipo de suceso es «obtener impar en el lanzamiento de un

dado»?

2 El suceso contrario a obtener un 2 en el lanzamiento de un dado

cúbico es:

3 Al lanzar un dado cúbico se consideran los sucesos A = {1, 2} y B =

{1, 3, 6}. La intersección A ∩ Bc es:

4 En un bombo hay 100 bolas numeradas del 0 al 99. Si extraemos una

bola al azar, la probabilidad de que en sus cifras esté el 7 es:




a. 0,3

b. 0,19

c. 0,1

d. 0,20

a.

b.

c. 5

d. 0,05

a.

b.

c.

d.

a. 0,28

b. 0,52

5 De la palabra VECINDARIO se elige una letra al azar. La probabilidad

de «elegir vocal» es:

6 Un dado cúbico está trucado, de modo que la probabilidad de sacar

un 5 es tres veces mayor que la de sacar los otros números. Laprobabilidad de conseguir un 5 es:

7 Si A y B son dos sucesos tales que P (A) = 0,64, P (B) = 0,36 y P (A ∩B) = 0,12, la P (A ∪ B) es:



c. 1

d. 0,88

a.

b.

c.

d.

a.

b.

c.

d.

¿Sobre qué tema de esta unidad me siento preparado para debatir con miscompañeros?

8 La probabilidad de que, al lanzar dos dados cúbicos, los resultados

sumen 5 es:

9 Con las letras de la palabra SABIO se forman todas las ordenaciones

posibles. La probabilidad de que, al elegir una secuencia entre todasellas, comience por la letra B es:

T9-Probabilidade-3º ESO.pdf

Documents

Transcript of T9-Probabilidade-3º ESO.pdf