SymboleundBezeichnungsweisen A - rd.springer.com978-3-658-02081-1/1.pdf · 466...
Transcript of SymboleundBezeichnungsweisen A - rd.springer.com978-3-658-02081-1/1.pdf · 466...
ASymbole und Bezeichnungsweisen
= gleich�= ungleich≈ ungefähr gleich< kleiner als≤ kleiner oder gleich> größer als≥ größer oder gleich� sehr viel kleiner als� sehr viel größer als∼ proportional± plus oder minus∓ minus oder plusn∑
k=1
ak = a1 + a2 + a3 + . . .+ an; Summe über ak von k = 1 bis k = n
n∏
k=1
ak = a1 · a2 · a3 · . . . · an; Produkt über ak von k = 1 bis k = n
{a, b, c} Menge aus den Elementen a, b, c{x|E(x)} Menge aller x, die die Eigenschaft E(x) haben∈ Element von�∈ nicht Element von⊆ Teilmenge∅ leere Menge∪ Vereinigung von Mengen∩ Durchschnitt von Mengen|M| Mächtigkeit der MengeMA ∧ B A und B
A. Kemnitz,Mathematik zum Studienbeginn, 465DOI: 10.1007/978-3-658-02081-1, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014
466 Symbole und Bezeichnungsweisen
A ∨ B A oder B¬A nicht A (Negation von A)A ⇒ B aus A folgt BA ⇔ B A und B sind äquivalent (gleichwertig)(a, b) geordnetes Paar(a, b, c) geordnetes Tripel‖ parallelAB Gerade durch die Punkte A und BAB Strecke AB|AB| Länge (Betrag) der Strecke AB�a Vektor a−→PQ Vektor PQ|�a|, |−→PQ| Länge des Vektors∼ ähnlich∼= kongruentN = {1, 2, 3, . . .}; Menge der natürlichen ZahlenZ = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}; Menge der ganzen ZahlenQ = {mn |m, n ∈ Z, n �= 0}; Menge der rationalen Zahlen
R Menge der reellen Zahlen
C = {z = a + bi|a, b ∈ R, i = √−1}; Menge der komplexen Zahlen
Z∗ = {. . . ,−3,−2,−1, 1, 2, 3, . . .} = {x|x ∈ Z, x �= 0};
Menge der ganzen Zahlen ohne die Null
Q∗ = {mn |m, n ∈ Z
∗} = {x|x ∈ Q, x �= 0};Menge der rationalen Zahlen ohne die Null
R∗ = {x|x ∈ R, x �= 0}; Menge der reellen Zahlen ohne die Null
Z+ = N = {1, 2, 3, . . .} = {x|x ∈ Z, x > 0};
Menge der positiven ganzen ZahlenQ
+ = {mn |m, n ∈ N} = {x|x ∈ Q, x > 0};Menge der positiven rationalen Zahlen
R+ = {x|x ∈ R, x > 0}; Menge der positiven reellen Zahlen
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, . . .}; Menge der Primzahleni = √−1; imaginäre Einheit∞ unendlich (größer als jede reelle Zahl)−∞ minus unendlich (kleiner als jede reelle Zahl)n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n; n Fakultät(nk
)= n!
k!(n − k)! = n(n − 1)(n − 2) · . . . · (n − k + 1)1 · 2 · 3 · . . . · k ;
Binomialkoeffizient „n über k“
Symbole und Bezeichnungsweisen 467
|a| Betrag oder Absolutbetrag einer Zahl aan a hoch n, n-te Potenz von a√a Wurzel aus a
n√a n-te Wurzel aus aloga b Logarithmus b zur Basis alg b dekadischer Logarithmus (Zehnerlogarithmus),
Logarithmus zur Basis a = 10
ln b natürlicher Logarithmus,Logarithmus zur Basis a = e = 2, 718 281 82 . . .
ld b binärer Logarithmus (Zweierlogarithmus),Logarithmus zur Basis a = 2
[a, b] = {x|x ∈ R und a ≤ x ≤ b};abgeschlossenes beschränktes Intervall
(a, b) = {x|x ∈ R und a < x < b}; offenes beschränktes Intervall[a, b) = {x|x ∈ R und a ≤ x < b}; halboffenes beschränktes Intervall(a, b] = {x|x ∈ R und a < x ≤ b}; halboffenes beschränktes Intervall[a,∞) = {x|x ∈ R und x ≥ a};
halboffenes Intervall, nach rechts unbeschränkt
(a,∞) = {x|x ∈ R und x > a};offenes Intervall, nach rechts unbeschränkt
(−∞, a] = {x|x ∈ R und x ≤ a};halboffenes Intervall, nach links unbeschränkt
(−∞, a) = {x|x ∈ R und x < a};offenes Intervall, nach links unbeschränkt
(−∞,∞) = {x|x ∈ R};offenes Intervall, nach links und nach rechts unbeschränkt
(an) = (a1, a2, a3, . . .); Folge, Zahlenfolgen∑
k=1
ak endliche Reihe
∞∑
k=1
ak unendliche Reihe
limn→∞ an Limes, Grenzwert der Folge (an)
limx→a
f (x) Grenzwert (Limes) der Funktion f (x) für x gegen a
468 Symbole und Bezeichnungsweisen
limx→a−0
f (x) linksseitiger Grenzwert der Funktion y = f (x) an der Stelle x = a
limx→a+0
f (x) rechtsseitiger Grenzwert der Funktion y = f (x) an der Stelle x= a
f ′(x0) Ableitung von f (x) an der Stelle x = x0dfdx(x0) Ableitung von f (x) an der Stelle x = x0
f ′(x) Ableitung der Funktion f (x)f ′′(x) zweite Ableitung der Funktion f (x)f ′′′(x) dritte Ableitung der Funktion f (x)f (n)(x) n-te Ableitung der Funktion f (x)∫
f (x) dx unbestimmtes Integral der Funktion y = f (x)∫ b
af (x) dx bestimmtes Integral der Funktion y = f (x) von x = a bis x = b
(fn(x)) = (f1(x), f2(x), f3(x), . . .); Funktionenfolge
∞∑
k=0
fk(x) Funktionenreihe
∞∑
k=0
ak(x − x0)k Potenzreihe
P(n, k) Anzahl verschiedener k-Permutationen einer n-elementigenMenge
V(n, k) Anzahl verschiedener k-Variationen einer n-elementigen Menge
C(n, k) Anzahl verschiedener k-Kombinationen einer n-elementigenMenge
W(n, k) Anzahl verschiedener k-Kombinationen einer n-elementigenMenge mit Wiederholung
Pn(n1, n2, . . . , nk) Anzahl verschiedener n-Permutationen mit eingeschränkterWiederholung
hn(A) absolute Häufigkeit des Ereignisses Arn(A) relative Häufigkeit des Ereignisses AP(A) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Ap(ω) Wahrscheinlichkeit des Elementarereignisses ω
BMathematische Konstanten
√2 = 1, 414 213 562 373 095
1√2
= 0, 707 106 781 186 543
√3 = 1, 732 050 807 568 877
1√3
= 0, 577 350 269 189 626
√10 = 3, 162 277 660 168 379
1√10
= 0, 316 227 766 016 838
π = 3, 141 592 653 589 7931π
= 0, 318 309 886 183 791
π2 = 9, 869 604 401 089 3591π2 = 0, 101 321 183 642 338
√π = 1, 772 453 850 905 516
1√π
= 0, 564 189 583 547 756
e = 2, 718 281 828 459 0451e
= 0, 367 879 441 171 442
e2 = 7, 389 056 098 930 6501e2
= 0, 135 335 283 236 613
√e = 1, 648 721 270 700 128
1√e
= 0, 606 530 659 712 633
lg e = 0, 434 294 481 903 2521lg e
= ln 10 = 2, 302 585 092 994 046
lg 2 = 0, 301 029 995 663 9811lg 2
= log2 10 = 3, 321 928 094 887 362
Ist die letzte Ziffer unterstrichen, dann ist die Konstante aufgerundet, im anderen Fallabgerundet.
A. Kemnitz,Mathematik zum Studienbeginn, 469DOI: 10.1007/978-3-658-02081-1, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014
CDas griechische Alphabet
Alpha A α Jota I ι Rho P ρ
Beta B β Kappa K κ Sigma σ
Gamma � γ Lambda λ Tau T τ
Delta � δ My M μ Ypsilon ϒ υ
Epsilon E ε Ny N ν Phi � ϕ
Zeta Z ζ Xi � ξ Chi X χ
Eta H η Omikron O o Psi � ψ
Theta � ϑ Pi ! π Omega " ω
A. Kemnitz,Mathematik zum Studienbeginn, 471DOI: 10.1007/978-3-658-02081-1, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014
Literturverzerichnis
1. Beutelspacher, A.: Das ist o. B. d. A. trivial!, 9. Aufl. Vieweg+Teubner, Wiesbaden(2009)
2. Beutelspacher, A.: Lineare Algebra, 7. Aufl. Vieweg+Teubner, Wiesbaden (2010)3. Bosch, K.: Mathematik-Taschenbuch, 5. Aufl. Oldenbourg, München, Wien (1998)4. Bronstein, I.N., Semendjajew, K.A., Musiol, G., Mühlig, H.: Taschenbuch der Mathe-
matik, 8. Aufl. Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/Main (2012)5. Fischer, G.: Analytische Geometrie, 7. Aufl. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden (2001)6. Fischer, G.: Lineare Algebra, 17. Aufl. Vieweg+Teubner, Wiesbaden (2010)7. Forster, O.: Analysis 1, 10. Aufl. Vieweg+Teubner, Wiesbaden (2011)8. Gellert, W., Küstner, H., Hellwich, M., Kästner, H.: Handbuch der Mathematik. Buch
und Zeit, Köln (o. J.)9. Gellert, W., Kästner, H., Ziegler, D.: Fachlexikon ABC Mathematik. Harri Deutsch,
Thun und Frankfurt/Main (1978)10. Henze, N.: Stochastik für Einsteiger, 9. Aufl. Vieweg+Teubner, Wiesbaden (2011)11. Kemnitz, F., Engelhard, R.: Mathematische Formelsammlung. Vieweg, Braun-
schweig/Wiesbaden (1977)12. Papula, L.: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Übungsbuch und
Formelsammlung, Bd. 3, Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden (2009–2011)13. Schäfer, W., Georgi, K., Trippler, G.: Mathematik-Vorkurs, 6. Aufl. Vieweg+Teubner,
Wiesbaden (2006)14. Scharlau, W.: Schulwissen Mathematik: Ein Überblick, 3. Aufl. Vieweg, Braun-
schweig/Wiesbaden (2001)15. Tietze, J.: Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik, 16. Aufl. View-
eg+Teubner, Wiesbaden (2011)
A. Kemnitz,Mathematik zum Studienbeginn, 473DOI: 10.1007/978-3-658-02081-1, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014
474 Literturverzerichnis
16. Tittmann, P.: Einführung in die Kombinatorik. Spektrum, Heidelberg (2000)17. Wendeler, J.: Vorkurs der Ingenieurmathematik, 2. Aufl. Harri Deutsch, Thun und
Frankfurt/Main (2002)
Sachverzeichnis
AAbbildung, siehe FunktionAbleitung, 362, 369, 370, 372, 373
höhere, 368Ableitungsfunktion, 362Abrunden, 36Absolutbetrag, 44Absolutglied, 97Abstand
Gerade - Gerade, 289Punkt - Gerade, 290Punkt - Punkt, 289
Abszisse, 200Abszissenachse, 48, 200, 276Achsenabschnitt, 215, 284Achsenabschnittsform, 286Achsensymmetrie, 168Addition, 11
korrespondierende, 70Additionsprinzip, siehe SummenregelAdditionssystem, 33Additionstheoreme, 261Additionsverfahren, 97, 99, 102Adjunkte, 111ähnliche Figuren, 170Ähnlichkeit, 170Äquatorebene, 281äquivalente Gleichungen, 66äquivalente Umformung, 66Äquivalenz, 5äußeres Produkt, 336Algebraische Form einer komplexen Zahl, 48Algebraische Gleichung, 9
Algebraische irrationale Zahl, 9Allquantor, 7Amplitude, 207Analyse
harmonische, 412Analytische Geometrie, 275Ankathete, 251Antisymmetrie, 43Apollonios
Satz von, 149von Perge (∼262–190 v. u. Z.), 149
Arcus, 166Argument, 49, 198Arkusfunktion, 269
Hauptwert, 272Arkuskosinus, 272Arkuskosinusfunktion, 271Arkuskotangens, 272Arkuskotangensfunktion, 272Arkussinus, 270Arkussinusfunktion, 270Arkustangens, 272Arkustangensfunktion, 271Assoziativgesetz, 14, 331Asymptote, 234, 248, 309Aufrunden, 36Ausdruck, boolescher, 6Ausdrücke
unbestimmte, 358Ausprägung, 441Aussage, 4Aussageform, 6, 7Aussagenlogik, 4
A. Kemnitz,Mathematik zum Studienbeginn, 475DOI: 10.1007/978-3-658-02081-1, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014
476 Sachverzeichnis
Aussagenvariable, 5Aussagenverbindung, 6, 7Auswahlen, 425, 429
geordnete, 425mit Wiederholung, 425ohne Wiederholung, 425ungeordnete, 425
Außenglied, 69Axialsymmetrie, 168
BBasis, 24, 36Basisvektor, 332Bayes
Formel von, 460Behauptung, 6, 58Beizahl, siehe KoeffizientBelegung, 7Bernoulli
J. (1654–1705), 441Bernoulli-Experiment, 441Bernoulli-Kette, 441Bestimmungsgleichung, 63Betrag, 44, 329Beweis, 58
direkter, 58durch Kontraposition, 59indirekter, 59mit starker vollständiger Induktion, 60mit vollständiger Induktion, 59Widerspruchs-, 59
Bild, 197Bildmenge, 197Binärcode, 35binärer Logarithmus, 38Binärsystem, siehe DualsystemBinärsystem, 35Binom, 18Binomialkoeffizient, 422binomische Formeln, 18binomische Gleichungen, 18binomischer Lehrsatz, 18, 424Bit, 35Bogenlänge, 399Bogenmaß, 122, 166, 255boolesche Formel, 6, 7boolesche Variable, 5boolescher Ausdruck, 6
BrahmaguptaSatz des, 153
Breitenkoordinate, 281Brennpunkt, 304, 308, 314Briggs
H. (1556-1630), 37briggsscher Logarithmus, 37Bruch, 19
echt, 19gleichnamig, 21unecht, 19ungleichnamig, 21
Bruchgleichung, 89Buchstabenrechnen, 12Byte, 35
Ccardanische Formel, 78Cartesius, siehe DescartesCauchy
A. L. (1789–1857), 409Cauchy-Produkt, 409Cavalieri
B. (1598–1647), 187cavalierisches Prinzip, 187Cheopspyramide, 185Computer, 35Cramer, G. (1704–1752), 110cramersche Regel, 110
DDefinitionsbereich, 197Definitionsmenge, 197dekadischer Logarithmus, 37Descartes
R. (1596–1650), 277Determinante, 109
dreireihige, 110zweireihige, 109
Dezimalbruch, 34endlicher, 9unendlicher periodischer, 9
Dezimalschreibweise, 34Dezimalsystem, 34Dezimalzahl, 9, 34Diagonale, 147Diagonalmatrix, 104
Sachverzeichnis 477
DiagrammVenn-, 3
Differential- und IntegralrechnungHautsatz, 396
Differentialquotient, 362Differentialrechnung
Mittelwertsatz, 399Differentiationsregeln, 364Differenz, 11
symmetrische, 3von Mengen, 3
Differenz von Ereignissen, 439Differenzenquotient, 362Differenzierbarkeit, 362direkter Beweis, 58Dirichlet
P. G. L. (1805–1859), 412Satz von, 412
disjunkte Vereinigung, 4Disjunktion, 5Diskriminante, 74, 75, 225, 227Distributivgesetz, 14, 331Dividend, 11Division, 11Divisor, 11Dodekaeder, 190Doppelindex, 103Doppelkreiskegel, 301Drachen, 151Drachenviereck, 151Dreieck, 131
Außenwinkel, 132Außenwinkelsumme, 132Eckpunkte, 131Flächeninhalt, 132gleichschenklig, 133gleichseitig, 133Grundkonstruktionen, 143Höhe, 135Inkreis, 135Innenwinkel, 131Innenwinkelsumme, 131Kongruenzsätze, 141Median, 137Mittelsenkrechte, 135Orthozentrum, 135rechtwinkliges, 132, 134regelmäßiges, 134reguläres, 134
Schwerpunkt, 138Seiten, 131Seitenhalbierende, 137Seitenlängen, 131spitzwinkliges, 132stumpfwinkliges, 132Umfang, 132Umkreis, 135Winkelhalbierende, 137
Dreieckeähnliche, 171
Dreieckpuls, 414Dreiecksberechnung
Grundaufgaben, 265Dreiecksmatrix
obere, 104untere, 105
Dreiecksungleichung, 45Dreiecksungleichungen, 132dualer Logarithmus, 38Dualsystem, 35Dualzahl, 35Durchmesser, 157Durchschnitt von Ereignissen, 439Durchschnitt von Mengen, 3
Ee, siehe eulersche Zahlechte Teilmenge, 2e-Funktion, 247, 249Einheitskreis, 157Einheitskugel, 192Einheitsmatrix, 104Einheitsvektor, 330Einsetzungsverfahren, 97, 101Element, 1Elementarereignis, 438Elemente einer Matrix, 103Ellipse, 301, 304
Brennpunkte, 304Fadenkonstruktion, 308Gärtnerkonstruktion, 308Halbparameter, 305Hauptachse, 305Hauptscheitelpunkte, 305lineare Exzentrizität, 305Nebenachse, 305Nebenscheitelpunkte, 305
478 Sachverzeichnis
numerische Exzentrizität, 305Ellipsengleichung, 306
Mittelpunktsform, 306Normalform, 306Parameterdarstellung, 306
endliche Menge, 2Entwickeln einer Determinante, 110Entwicklungspunkt, 406Ereignis, 438
entgegengesetztes, 439sicheres, 438unmögliches, 438zufälliges, 438
Ereignissedisjunkte, 439, 458unvereinbare, 458
erfüllbar, 7erfüllt, 7Ergänzungskegel, 188Ergänzungspyramide, 187Ergebnismenge, 437Erwartungswert, 464Erweitern, 20Erzeugende, 180, 185, 301Euklid
Erster Satz des, 139von Alexandria (∼365–300 v. u. Z.), 139Zweiter Satz des, 141
EulerL. (1707–1783), 38, 372
eulersche Formel, 261eulersche Zahl, 37, 57, 247, 372eulerscher Polyedersatz, 190Existenzquantor, 7Exklusion, 434Exponent, 24Exponentialform einer komplexen Zahl, 57Exponentialfunktion, 246, 248, 249, 372, 373,
393natürliche, 247
Exponentialgleichung, 65, 93Extremum, siehe ExtremwertExtremwert, 375Exzentrizität
lineare, 305, 310numerische, 305, 310
FFadenkonstruktion, 308, 314, 318Faktor, 11
kubischer, 81linearer, 81quadratischer, 81
Faktor eines Polynoms, 81Faktorregel, 364, 387Fakultät, 421Folge, 341
alternierende, 342arithmetische, 343beschränkte, 342, 343, 345bestimmt divergente, 346divergente, 344, 346endliche, 341geometrische, 343Glied, 341Grenzwert, 344, 345konstante, 342konvergente, 344Limes, 344monoton fallende, 342monoton wachsende, 342monotone, 342nach oben beschränkte, 342nach unten beschränkte, 343streng monoton fallende, 342streng monoton wachsende, 342unbestimmt divergente, 346unendliche, 341
Folgenglied, 341Formel von Bayes, 460Formel, boolesche, 6, 7Fourier
J.-B.-J. (1768–1830), 411Fourier-Koeffizient, 411Fourier-Reihe, 410, 411Fundamentalsatz der Algebra, 65Funktion, 197
Ableitung, 362algebraische, 210, 369, 392Argument, 198beschränkte, 204bijektive, 206differenzierbare, 362echt gebrochene rationale, 212, 233elementare, 210Extremwert, 375
Sachverzeichnis 479
ganze rationale, 211ganze rationale n-ten Grades, 228gebrochene lineare, 212, 233gebrochene rationale, 211, 232gerade, 203goniometrische, 252Graph, 198, 200Grenzwert, 354implizite, 199injektive, 205integrierbare, 386inverse, 207inverse trigonometrische, 270irrationale, 211, 243, 369, 393komplexe, 210konkave, 376konstante, 211, 214, 364konvexe, 376Krümmung, 376kubische, 211, 227, 244Kurve, 200lineare, 211, 215Maximum, 227Minimum, 227monoton fallende, 201monoton wachsende, 201monotone, 201nach oben beschränkte, 204nach unten beschränkte, 204Nullstelle, 233periodische, 207, 410Pol, 233, 360Pol k-ter Ordnung, 233quadratische, 211, 218, 243, 316rationale, 211, 369, 392reelle, 199, 209Schaubild, 198, 200Sprungstelle, 360stetig differenzierbare, 363, 384stetige, 359, 383streng monoton fallende, 201streng monoton wachsende, 201surjektive, 206symmetrische, 203T-periodische, 410transzendente, 210, 246, 393trigonometrische, 251, 254, 370, 373, 393unecht gebrochene rationale, 212ungerade, 203
unstetige, 360Wendepunkt, 378Wertetabelle, 198, 201zyklometrische, 270
Funktionenfolge, 404gleichmäßig konvergente, 405konvergente, 404punktweise konvergente, 404
Funktionenreihe, 405absolut konvergente, 406gleichmäßig konvergente, 405konvergente, 405punktweise konvergente, 405
Funktionsgleichung, 63, 65, 198explizite Darstellung, 198implizite Darstellung, 199Parameterdarstellung, 199
Funktionswert, 197Fußballtoto, 427
GGärtnerkonstruktion, 308ganze Zahl, 9Gauß
C. F. (1777–1855), 48gaußsche Zahlenebene, 9, 48Gay-Lussacsches Gesetz, 217gebrochene lineare, 212, 233Geburtstagsproblem, 456Gegenkathete, 251Gerade, 121, 215, 283
Richtungskoeffizient, 284Steigung, 284
Geradenparallele, 121
GeradengleichungAchsenabschnittsform, 286allgemeine, 283Hauptform, 284hessesche Normalform, 286Normalform, 284Punktsteigungsform, 285Zweipunkteform, 285
Geschwindigkeitkonstante, 69Weg-Zeit-Diagramm, 217
GizehPyramiden von, 185
480 Sachverzeichnis
Gleichheitvon Mengen, 2
gleichnamige Brüche, 21gleichschenkliges Dreieck, 133
Basis, 133Basiswinkel, 133Schenkel, 133Spitze, 133
gleichseitiges Dreieck, 133Gleichsetzungsverfahren, 97, 99Gleichung, 63
algebraische, 65biquadratische, 84graphisches Lösen, 324kubische, 65, 78, 326lineare, 65, 67, 68, 325logarithmische, 65, 94quadratische, 65, 71, 75, 325transzendente, 65, 328trigonometrische, 65, 95
Gleichung n-ten Grades, 86Gleichungssystem, 96
graphisches Lösen, 328lineares, 97, 328
goldene Zahl, 175goldener Schnitt, 174Gon, 123goniometrische Form einer komplexen Zahl, 49goniometrische Gleichung, 95Grad, 123Grad einer Gleichung, 65Gradmaß, 122, 166, 255Grenzfunktion, 405Grenzwert, 344, 354, 357
einseitiger, 356linksseitiger, 356rechtsseitiger, 356
Grundaufgabe SSS, 266Grundaufgabe SSW, 266Grundaufgabe SWS, 266Grundaufgabe SWW, 266Grundaufgabe WSW, 266Grundgesamtheit, 442Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal,
126Grundzahl, siehe BasisGuldin
P. (1577–1643), 402guldinsche Regeln, 402
HHäufigkeit
absolute, 440, 442relative, 440, 442
Häufigkeitsverteilungempirische, 442
Halbgerade, 121Halbparameter, 305, 309Halbraum, 282Harmonische Analyse, 412Hauptachse, 305, 309Hauptdiagonale, 109Hauptform der Kreisgleichung, 291Hauptform der Kugelgleichung, 300Hauptnenner, 21Hauptscheitelpunkt, 305Heron
von Alexandria (1. Jh. u. Z.), 133heronische Flächenformel, 133Hesse
L. O. (1811–1874), 286hessesche Normalform, 286Hexadezimalsystem, 35Hexaeder, 190Histogramm, 443Hochzahl, siehe ExponentHöhensatz, 140Hohlzylinder, 182, 403hookesches Gesetz, 69, 216Horner
W. G. (1786–1837), 232Horner-Schema, 231Hyperbel, 233, 302, 308
Brennpunkte, 308Fadenkonstruktion, 314Halbparameter, 309Hauptachse, 309lineare Exzentrizität, 310n-ter Ordnung, 233numerische Exzentrizität, 310Scheitelpunkte, 309
Hyperbelachse, 309Hyperbelgleichung, 310
Mittelpunktsform, 310Normalform, 310
Hypotenuse, 134, 251
Sachverzeichnis 481
Iidentische Gleichung, 63Identität, 64Ikosaeder, 190imaginäre Achse, 48imaginäre Einheit, 10, 47imaginäre Zahl, 10, 48Imaginärteil, 10, 47Implikation, 5, 6, 58Index, 17indirekter Beweis, 59indisch-arabische Ziffern, 34Induktion
starke vollständige, 60vollständige, 59
Induktionsanfang, 60Induktionsannahme, 60Induktionsschluss, 60Induktionsschritt, 60Induktionsverankerung, 60Induktionsvoraussetzung, 60Inklusion, 434Inklusion und Exklusion
Prinzip der, 434Innenglied, 69inneres Produkt, 334Integral
bestimmtes, 394, 396unbestimmtes, 386, 392, 393, 396
Integralzeichen, 386, 394Integrand, 386, 394Integration, 386
partielle, 388Integrationsgrenze
obere, 394untere, 394
Integrationskonstante, 386Integrationsregeln, 387Integrationsvariable, 386, 394Intervall, 45
beschränktes, 45halboffenes, 45nicht beschränktes, 45offenes, 45
irrationale Zahl, 9
JJunktor, 6
KKardinalität einer Menge, 2Kathete, 134, 251Kathetensatz, 139Kegel, 185, 187
allgemeiner, 185gerader, 186schiefer, 186
Kegelmantel, 195Kegelschnitt, 301
entarteter, 303Kegelschnittgleichung, 304Kegelstumpf, 188Kehrwert, 12Kennzahl, 40Kennzahlen einer Stichprobe, 446Kettenregel, 367Klammerrechnung, 14Koeffizient, 9, 65, 406Kolmogorov
A. N. K. (1903–1987), 448Kombination, 425, 427
mit Wiederholung, 428mit Zurücklegen, 428
kommutativ, 4Kommutativgesetz, 14, 331Komplement, 433Komplementärereignis, 439Komplementwinkel, 124, 254komplexe Zahl, 9, 10, 47Komponente, 332, 334Kongruente Figuren, 141Kongruenz, 141konjugiert komplexe Zahlen, 48Konjunktion, 5Konkav, 376Konklusion, 6, 58Konstante, 207Kontradiktion, 7Kontraposition, 59Konvergenz, 404
gleichmäßige, 405punktweise, 404
Konvergenzbereich, 406Konvergenzkriterium, 345
leibnizsches, 354Konvergenzradius, 407Konvex, 376Koordinaten
482 Sachverzeichnis
geographische, 282kartesische, 276, 280sphärische, 282
Koordinatenachse, 276, 280Koordinatensystem
kartesisches, 48, 200, 276, 280–282Kugel-, 280Polar-, 277rechtwinkliges, 276Zylinder-, 282
Koordinatenursprung, 276, 280Kosinus, 251Kosinusfunktion, 258, 371Kosinuskurve, 257Kosinussatz, 264Kotangens, 251Kotangensfunktion, 259, 371Kotangenskurve, 257Kreis, 157, 291, 294, 301
Durchmesser, 157entarteter, 157Fläche, 158Mittelpunkt, 157, 291Radius, 157, 291Umfang, 158Winkelsätze, 161
Kreisabschnitt, siehe KreissegmentKreisausschnitt, siehe KreissektorKreisbogen, 158Kreisdiagramm, 443Kreise
exzentrische, 159konzentrische, 159, 182
Kreisfläche, 157Kreisfunktion, 252Kreisgleichung, 291
allgemeine Form, 291Hauptform, 291Mittelpunktsform, 291Parameterdarstellung, 292
Kreiskegel, 186gerader, 186, 301, 401
Kreiskegelstumpf, 189Kreisperipherie, 157Kreisrand, 157Kreisring, 159Kreissegment, 160Kreissektor, 159Kreiszahl, 159
Kreiszylinder, 181gerader, 181, 401
Kreuzprodukt, 336Krümmung, 376Krümmungskreis, 377Krümmungsradius, 377Krümmungsverhalten, 376Kubikwurzel, 28Kürzen, 20Kugel, 192, 300, 401
Durchmesser, 193Mittelpunkt, 192, 300Radius, 192, 300
Kugelabschnitt, siehe KugelsegmentKugelausschnitt, siehe KugelsektorKugelfläche, 192Kugelgleichung, 300
Hauptform, 300Mittelpunktsform, 300
Kugelkappe, 193, 195Kugelkoordinaten, 281Kugelkoordinatensystem, 280Kugeln
konzentrische, 193Kugelschicht, 195Kugelsegment, 193Kugelsektor, 194Kugelzone, 195Kurvendiskussion, 379
LLängenkoordinate, 281Lagemaß, 446Laplace
P. S. (1749–1827), 450Laplace-Experiment, 451Laplace-Wahrscheinlichkeit, 451leere Menge, 2Leibniz
G.W. (1646–1716), 354, 396Leibnizsches Konvergenzkriterium, 354Leitkurve, 180, 185, 301Leitlinie, 314Limes, 344, 354Lineare, 115linearer, 115Linearfaktor, 76Lösung, 9, 64
Sachverzeichnis 483
Lösungsmenge, 64, 115Logarithmentafel, 40logarithmische Gleichung, 65, 94Logarithmus, 36Logarithmusfunktion, 248, 249, 372, 373, 393
natürliche, 248, 372Logik, 4logische Zeichen, 5Lot, 126, 128
MMächtigkeit einer Menge, 2Mantelfläche, 177, 180, 183, 185, 186, 193Mantellinie, 177, 180, 185, 186, 301Mantisse, 40Massenträgheitsmoment, 402, 403mathematisch positiver Sinn, 146, 276Matrix, 103
antisymmetrische, 106inverse, 108orthogonale, 108quadratische, 104symmetrische, 106transponierte, 105
Matrizen vom gleichen Typ, 105Maximum
absolutes, 375globales, 375relatives, 374
Maßstab, 276, 277Median, 446Menge, 1
Differenz-, 3endliche, 2Gleichheit, 2Kardinalität, 2leere, 2Mächtigkeit, 2Schnitt-, 3unendliche, 2Vereinigungs-, 3
Merkmal, 441diskretes, 441qualitatives, 441quantitatives, 441stetiges, 441
Merkmalsausprägung, 441Merkmalswert, 441
Minimumabsolutes, 375globales, 375relatives, 375
Minuend, 11Mittel
arithmetisches, 41geometrisches, 41harmonisches, 42quadratisches, 42
Mittelpunktswinkel, 158Mittelsenkrechte, 135Mittelwert, 446Mittelwertsatz, 399Modalwert, 446Modul, 49Moivre
Formel von, 262Moivre, A. de (1667–1754), 54Müller
J. (1436–1476), 153Multinomialkoeffizient, 432Multinomialsatz, 432Multiplikation, 11Multiplikationsprinzip, siehe Produktregel
NNäherungslösung, 324, 383Näherungsverfahren, 86, 325, 383natürliche Zahl, 9natürlicher Logarithmus, 37Nebenachse, 305Nebendiagonale, 109Nebenscheitelpunkt, 305Nebenwinkel, 125n-Eck, 154, 155
Innenwinkelsumme, 154regelmäßiges, 154reguläres, 154
Negation, 5Nenner, 19Neper
J. (1550–1617), 37neperscher Logarithmus, 37Neugrad, 123Newton
I. (1642–1727), 385, 396newtonsches Verfahren, 86, 384
484 Sachverzeichnis
Nordrichtung, 281Normale, 297Normalform der Geradengleichung, 284Normalform der biquadratischen Gleichung, 84Normalform der kubischen Gleichung, 78Normalform der linearen Gleichung, 68Normalform der quadratischen Funktion, 225Normalform der quadratischen Gleichung, 72Normalparabel, 219, 244
gespiegelte kubische, 227gespiegelte verschobene, 222kubische, 227verschobene, 219
n-seitige Pyramide, 183n-seitiges Prisma, 177n-te Ableitung, 368n-te Einheitswurzeln, 56n-te Potenz, 24n-te Wurzel, 28Nullfolge, 344Nullmatrix, 104Nullpunkt, 276Nullrichtung, 281Nullstelle, 233, 383, 384
reelle, 82Nullstelle eines Polynoms, 82Nullvektor, 330Nullwinkel, 123Numerus, 36
OObermenge, 2Oktaeder, 190Oktalsystem, 35Operation
kommutative, 4Ordinate, 200Ordinatenachse, 48, 200, 276Orientierung, 276, 277, 281Ort
geometrischer, 130Ortsvektor, 330
PParabel, 218, 224, 301, 314
Brennpunkt, 314Fadenkonstruktion, 318
kubische, 227Leitlinie, 314n-ter Ordnung, 229Parameter, 314Scheitelpunkt, 219Streckungsfaktor, 224
Parabelachse, 314Parabelgleichung, 315
Normalform, 315Scheitelpunktsform, 315
Parabolspiegel, 314Parallele, 128Parallelepiped, 178, 338Parallelflach, 178, 338Parallelogramm, 149Parallelprojektion, 129Parameter, 199, 314Partialbruchzerlegung, 240, 391Partialbrüche, 241Partialsumme, 348, 405Partition, 4, 459Pascal
B. (1623–1662), 423Pascalsches Dreieck, 423, 424Passante, 161, 193, 295Periode, 207, 410Peripheriewinkel, 158Permutation, 425, 426
mit eingeschränkter Wiederholung, 431π , 159Planimetrie, siehe VariablePlaton
(427–347 v. u. Z.), 190platonische Körper, 179, 184, 190Platzhalter, siehe VariablePol, 233, 277, 280, 360
k-ter Ordnung, 233Polarachse, 277Polarkoordinaten, 49, 277
räumliche, 282Polarkoordinatensystem, 277Polarwinkel, 277Polyeder, 190
konvexes, 190konvexes reguläres, 190
Polygon, 156, 190einfaches, 156Flächeninhalt, 156Innenwinkelsumme, 156
Sachverzeichnis 485
konvexes, 156regelmäßiges, 156reguläres, 156Seiten, 156Umfang, 156
Polynom, 80Polynomdivision, 79, 81Polynome
teilerfremde, 234Positionssystem, 33, 34Potenz, 24Potenzfunktion, 229, 366Potenzieren, 13, 24Potenzrechnung, 13, 24Potenzregel, 387Potenzreihe, 406(p, q)-Formel, 73Prädikat, 7Prädikatenlogik, 4Prämisse, 6, 58Primfaktorzerlegung, 9Primzahl, 9Prinzip
der Zweiwertigkeit, 5vom ausgeschlossenen Dritten, 5
Prisma, 177, 180, 187, 190allgemeines, 177gerades, 177physikalisches, 178schiefes, 177
Produkt, 11, 17Produktregel, 365, 420Produktzeichen, 17Proportion, 69
stetige, 69Proportionale, 69
mittlere, 69Proportionalfunktion, 216Proportionalitätsfaktor, 216Ptolemaios
von Alexandria (∼83–161 u. Z.), 153Ptolemäus
Satz des, 152verallgemeinerter Satz des, 147
Punkt, 121Punktmenge, 1Punktrechnung, 13Punktsteigungsform, 285Punktsymmetrie, 168
Pyramide, 182, 186, 187, 190allgemeine, 182gerade, 183gerade quadratische, 184reguläre n-seitige, 183schiefe, 183
Pyramidenstumpf, 187Pythagoras
Satz des, 139, 140, 264von Samos (∼580–500 v. u. Z.), 140
QQuader, 178Quadrant, 255Quadrat, 151quadratische Ergänzung, 72quadratische Säule, 179Quadratwurzel, 28Quadratwurzelfunktion, 244Quantor, 7Quersumme, 12
alternierende, 13Quotient, 11Quotientenregel, 367
RRadiant, 166Radikand, 28Radius, 157rationale Zahl, 9Raute, 150Realteil, 10, 47Rechteck, 150Rechteckpuls, 412Rechtssystem, 276, 280Reduktionsmethode, 79reelle Achse, 48reelle Zahl, 9Reflexivität, 43Regula falsi, 86, 383Reihe, 347
alternierende, 353alternierende harmonische, 352arithmetische, 350bestimmt divergente, 348divergente, 348endliche, 347
486 Sachverzeichnis
geometrische, 351Glied, 347harmonische, 352konvergente, 348Partialsumme, 348Summe, 348Teilsumme, 348trigonometrische, 410unbestimmt divergente, 348unendliche, 347
Reihenglied, 347Rekursion, 341reziproker Wert, 12Rhombus, 150Richtung
mathematisch positive, 254Richtungskoeffizient, 284Riemann
B. (1826-1866), 394römisches Zahlensystem, 34Rotationskörper, 400Runden, 36
SSarrus
P. F. (1798-1861), 112Regel von, 112
Sattelpunkt, 378Scheitelform der quadratischen Funktion, 225Scheitelpunkt, 122, 309, 314Scheitelwinkel, 124Schenkel, 122Schnittmenge, 3Schubfachprinzip, 421Sehne, 152, 157, 193, 373Sehnensatz, 165Sehnenviereck, 152Sekante, 157, 161, 193, 295, 373Sekantensatz, 165Sekantentangentensatz, 166Sekantenverfahren, 383Senkrechte, 126, 127Sinus, 251Sinusfunktion, 258, 370Sinuskurve, 257Sinussatz, 264Skalar, 329Skalarprodukt, 334
Skat, 432, 456Spaltenvektor, 332Spat, 178, 338Spatprodukt, 338Sprungstelle, 360Stabdiagramm, 443Stammbruch, 19Stammfunktion, 386, 396Standardabweichung, 446, 447starke vollständige Induktion, 60Steigung, 215, 284Stellenwert, 34Stellenwertsystem, 33Stereometrie, 177Stetigkeit, 359Stichprobe, 442Stichprobe vom Umfang n, 442Stichprobenstandardabweichung, 447Stichprobenvarianz, 447Strahl, 121Strahlensatz
erster, 169zweiter, 169
Strecke, 121, 126Betrag einer, 122Länge einer, 122
Streckenteilung, 172äußere, 173harmonische, 173innere, 172stetige, 174
Streckungzentrische, 168
Streuung, 447Streuungsmaß, 446Strichrechnung, 13Stufenwinkel, 125Substitution, 85Substitutionsmethode, 389Substitutionsverfahren, 97Subtrahend, 11Subtraktion, 11
korrespondierende, 70Summand, 11Summe, 11, 17Summe von Ereignissen, 439Summenregel, 365, 387, 420Summenzeichen, 17Supplementwinkel, 124
Sachverzeichnis 487
Symbol, 1, 11Symmetrieachse, 168Symmetriezentrum, 168symmetrische Differenz, 3
TTangens, 251Tangensfunktion, 259, 371Tangenskurve, 257Tangente, 161, 193, 295, 297, 374Tangenten
äußere, 164innere, 165
Tangentenverfahren, 385Tangentenviereck, 153Tangentialebene, 193Tautologie, 7Teilbarkeitsregeln, 12Teilmenge, 2
echte, 2Teilmenge eines Ereignisses, 439Teilsumme, 348Term, 63Tetraeder, 184, 190, 339Thales
Satz von, 161von Milet (∼ 624–546 v. u. Z.), 162
Thaleskreis, 162Transformation, 277Transitivität, 43transzendente Zahl, 9Trapez, 148
gleichschenkliges, 148Grundlinien, 148Höhe, 148Mittellinie, 148Schenkel, 148
Treppenfunktion, 462Trigonometrie, 251trigonometrische Form einer komplexen Zahl,
49trigonometrische Gleichung, 65, 95
UUmfangswinkel, 158Umkehrfunktion, 207, 244, 368unbestimmte Zahl, 12
Unendlich, 46unendliche Menge, 2Unendlichkeitsstelle, 360ungleichnamige Brüche, 21Ungleichung, 43, 115
lineare, 115Ungleichungskette, 43Ungleichungssystem
lineares, 115Unstetigkeitsstelle, 359, 360Unvereinbare Ereignisse, 439Urbild, 197Urbildmenge, 197Urnenmodell I, 453Urnenmodell II, 454
VVariable, 1, 6, 11, 64
abhängige, 198unabhängige, 198
Variable, boolesche, 5Varianz, 446, 447Variation, 425, 426Vektor, 329
Betrag, 329freier, 330kartesische Koordinaten, 332, 334Komponenten, 332, 334Komponentendarstellung, 332, 333Länge, 329normierter, 330Skalarmultiplikation, 330
Vektoraddition, 330Vektoren
orthogonale, 335Vektorprodukt, 336Vektorsubtraktion, 331Venn-Diagramm, 3Veränderliche, siehe VariableVereinigung
disjunkte, 4Vereinigung von Ereignissen, 439Vereinigung von Mengen, 3Verknüpfungsgesetz, siehe AssoziativgesetzVertauschungsgesetz, siehe KommutativgesetzVerteilungsfunktion, 462Viëta
Satz von, 77, 87
488 Sachverzeichnis
Viéte, F. (1540–1603), 77Vieleck, siehe PolygonVielfachheit einer Nullstelle, 82Viereck, 146
Diagonalen, 147Eckpunkte, 146Flächeninhalt, 148regelmäßiges, 151reguläres, 151Seiten, 146Seitenlängen, 146Umfang, 147Winkelsumme, 147
vollständige Induktion, 59Vollwinkel, 123Voraussetzung, 6, 58Vorzeichenregeln, 15
WWahrheitstafel, 6Wahrheitswert, 6, 7Wahrscheinlichkeit, 448
Additivität, 448axiomatische Definition, 448bedingte, 457klassische Definition, 451Normierung, 448totale, 459
Wahrscheinlichkeitsmaß, 449Wahrscheinlichkeitsraum, 449
diskreter, 449Wahrscheinlichkeitsverteilung, 449, 462Walze, siehe gerader KreiszylinderWechselwinkel, 125Wendepunkt, 378Wertebereich, 197Wertemenge, 197Widerspruchsbeweis, 59Winkel, 122, 127
gestreckter, 123halbgleichliegende, 126rechter, 123spitzer, 123stumpfer, 123überstumpfer, 123
Winkeldifferenz, 261Winkelfunktion, 252Winkelhalbierende, 136
Winkelsumme, 261Winkelvielfache, 261, 262Würfel, 179, 190Wurzel, 28, 64Wurzelexponent, 28Wurzelfunktion, 243, 244Wurzelgleichung, 90Wurzelrechnung, 28Wurzelziehen, 28
Xx-Achse, 200, 276, 280
Yy-Achse, 200, 276, 280y-Achsenabschnitt, 284
Zz-Achse, 280Zähler, 19Zahlenebene
gaußsche, 9, 48Zahlenfolge, 341Zahlengerade, 9Zahlenintervall, 45Zahlenlotto, 430Zahlzeichen, siehe ZifferZehnerlogarithmus, 37Zehnersystem, siehe DezimalsystemZeichen
logische, 5Zentralprojektion, 129, 130Zentralsymmetrie, 168Zentralwert, 446Zentriwinkel, 158Zerlegung, 459Zerlegungsgesetz, siehe DistributivgesetzZiehen mit Zurücklegen, 454Ziehen ohne Zurücklegen, 453Ziffer, 12, 33Zufallsexperiment, 437
Sachverzeichnis 489
Zufallsvariable, 461diskrete, 461Wahrscheinlichkeitsverteilung, 462
Zweierlogarithmus, 38Zweiersystem, siehe DualsystemZweipunkteform, 285
Zylinder, 180, 187, 402allgemeiner, 180gerader, 180schiefer, 180
Zylinderkoordinaten, 282Zylinderkoordinatensystem, 282