Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3

1 Ordenamos los polinomios, si no lo están.

Q(x) = 2x 3 − 3x2 + 4xP(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x)

2 Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3

3 Sumamos los monomios semejantes.

P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2 Q(x) = 6x3 + 8x +3

P(x) + Q(x) = = 7x4 + 6x3 + 4x2 + 15x + 5 Resta de polinomiosLa resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x) P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4xP(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x − 4x − 3P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3

a resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x - 3) − (2x3  - 3x2 + 4x)P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x - 3 − 2x3 + 3x2 − 4xP(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x - 3P(x) − Q(x) = 3x2 + x - 3También podemos restar polinomios escribiendo el opuesto de uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.

1. Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y

como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio

por el número y dejando las mismas partes l iterales.

Ejemplo

3 · (2x3  − 3x2  + 4x − 2) = 6x3  − 9x2  + 12x − 6

2. Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multipl ica el monomio por todos y cada uno de los monomios

que forman el polinomio.

Ejemplo:  

3x2   · (2x3  − 3x2  + 4x − 2) =

= 6x5− 9x4  + 12x3  − 6x2

3. Multiplicación de polinomios

Este tipo de operaciones se puede l levar a cabo de dos formas

distitnas.

Mira la demostración con el siguiente ejemplo:

P(x) = 2x2  − 3          Q(x) = 2x3  − 3x2  + 4x

OPCIÓN 1

1 Se multipl ica cada monomio del primer polinomio por todos

los elementos del segundo polinomio.

P(x) · Q(x) = (2x 2  − 3) · (2x3  − 3x2  + 4x) = 

= 4x5  − 6x4  + 8x3  − 6x3+ 9x2  − 12x =

2 Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x5  − 6x4  + 2x3  + 9x2  − 12x

3 Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los

grados de los polinomios que se multipl ican.

Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3

= 5

Suma y diferencia de cuadrados

Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos

términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta.

Al estudiar los productos notables teníamos que:

En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este

capítulo es el caso contrario:

Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la

suma por la diferencia de sus bases.

Pasos:

1. Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.

2. Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el

segundo termino del binomio negativo es la raíz del termino del

binomio que es negativo).

Ejemplo explicativo:

Ejemplos:

3.9. FACTORIZACIÓNFactorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta.

La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado.

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión. 

Factorización

Multiplicación Al factorizar una expresión, escribimos la expresión como un producto de sus factores. Supongamos que tenemos dos números 3 y 5 y se pide que los multipliquemos,

escribiremos  . En el proceso inverso, tenemos el producto 15 y se nos pide

que lo factoricemos; entonces tendremos  

Al factorizar el número 20, tendremos   o  . 

Advierte que   y   no están factorizados por completo. Contienen factores que no son números primos. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, etc. Puesto que ninguna de esas factorizaciones está completa, notamos que en la

primera factorización  , de modo que   mientras que la

segunda factorización  , de modo que  , en cualquier caso la

factorización completa para 20 es  . De ahora en adelante cuando digamos factorizar un número, queremos decir factorizarlo por completo. Además se supone que los factores numéricos son números

primos. De esta manera no factorizamos 20 como  .Con estos preliminares fuera del camino, ahora podem

ECUACIONES ENCONTRANDO EL VALOR X

Hay varias maneras de calcular x, ya sea que trabajes con exponentes y radicales o que tengas que dividir o multiplicar. Sin importar el proceso que uses, siempre deberás encontrar una manera de aislar x a un lado de la ecuación para encontrar su valor. Sigue leyendo para saber cómo hacerlo.

1.

2Resuelve el exponente. Recuerda el orden de las operaciones: PEMDAS

(paréntesis, exponentes, multiplicación o división y adición o sustracción). No

puedes resolver antes el paréntesis porque x está dentro del paréntesis, así

que debes empezar con el exponente, 22. 22 = 4

4(x+3) + 9 - 5 = 32

2.

3Haz la multiplicación. Solo distribuye el 4 en (x + 3). De esta manera:

4x + 12 + 9 - 5 = 32

3.

4Haz la adición y la sustracción. Solo suma o resta el resto de los números.

De esta manera:

4x+21-5 = 32

4x+16 = 32

4x + 16 - 16 = 32 - 16

4x = 16

4.

5Aísla la variable. Para hacerlo, solo divide ambos lados de la ecuación por 4

para encontrar x. 4x/4 = x y 16/4 = 4, así x = 4.

4x/4 = 16/4

x = 4

5.

6Comprueba tu trabajo. Solo reemplaza x por 4 en la ecuación original para

asegurar que esté bien. De esta manera:

22(x+3)+ 9 - 5 = 32

22(4+3)+ 9 - 5 = 32

22(7) + 9 - 5 = 32

4(7) + 9 - 5 = 32

28 + 9 - 5 = 32

37 - 5 = 32

32 = 32

RAIZ CUADRADA DE 4 CIFRAS

Vamos a sacar la raíz cuadrada del número √2915 

1). Lo que haremos es separar la cantidad de dos en dos 

√29,15 = 

2). Buscamos un numero que multiplicado por si mismo me de 29 o un numero muy cercano ( 5 x 5) = 25, entonces el 5 nos servirá y lo ponemos en la parte derecha de la raíz y le restamos el 25 a 29 y no da 4. 

√29,15 ----- 5 .-25 ..--- ....4 

3) al 4 le agregamos las otras 2 cifras y nos queda el numero 415 

√29,15 ----- 5 .-25 ..--- ....415 

4) ahora utilizamos el doble del 1er numero que utilizamos (5) = 10 y le agregamos un numero que me de 415 o algo muy cerca (104) * 4 = 416 el cuatro se pasa de 415, entonces (103) * 3 = 309, nos sirve el 3 

√29,15 ----- 53 .-25 ----- 103 ...--- ....415 ...-309 ---------- ....106 

5). a 106 le vamos a agregar 2 ceros y agregamos un punto después del 3 y utilizamos el doble del numero 53=106 al cual le agregaremos un numero 1069 y lo multiplicaremos por el numero agregado (1069)*9=9621 

√29,15 ----- 53.9 .-25 -------- 103 ------ ....415 ----- 1069 ...-309 ------- ....10600 .....-9621 

------------- ........979 

5) Le agregamos un 0 a 979 = 9790 y tomamos el doble de (539)=1078 y lo multiplicaremos por un numero para encontrar un numero cercano o igual a 9790. (1078)*9=9702 

√29,15 ----- 53.99 ..-25 ----- 103 --------- ....415 ----- 1069 ...-309 ----- 1078 --------- ...10600 ....-9621 ------------ .......9790 ......-9702 ------------ ...........88 

El resultado es √2915 = 53.99 

TANTO POR CIENTO DE UN NUMERO

¿Cuánto es el 15% de 18 000 euros?

Para calcular ese porcentaje a través de la regla de 3 tenemos que seguir este

procedimiento:

PRIMER PASO:

Escribir en una columna los porcentajes y en otra columna sus cantidades respectivas

(Como no conocemos el 15% llamaremos a su cantidad X).

Porcentajes Cantidad

100 % 18 000 euros

15 % X euros

SEGUNDO PASO:

Multiplicar los números en cruz e igualar los resultados. Es decir: 100 · X = 15 · 18 000

TERCER PASO:

Despejar la X. Para ello tenemos que mandar el 100 que está multiplicando en la izquierda

de la igualdad, dividiendo a la parte derecha de la ecuación: X = 15 · 18 000/100. Esto

quiere decir que X, la cantidad que queremos hallar, será el resultado de multiplicar 15 por

18 000 y dividir entre 100.

Realizando esta operación, obtenemos que el 15 % de 18 000 euros, son 2 700 euros.

RESOLUCIÓN SIMPLE:

También puede realizar la operación de forma directa multiplicando el porcentaje que

quiere hallar por la cantidad total y dividir entre 100: 15 (% que quiere hallar) · 18 000

(Cantidad total) / 100 = 2 700

¿Qué es interés simple y compuesto?El interés simple se refiere a los intereses que produce un capital inicial en un período de tiempo, el cual no se acumula al capital para producir los intereses del siguiente período; concluyéndose que el interés simple generado o pagado por el capital invertido o prestado será igual en todos los períodos de la inversión o préstamo mientras la tasa de interés y el plazo no cambien.

El interés compuesto se presenta cuando los intereses obtenidos al final del período de inversión o préstamo no se retiran o pagan sino que se reinvierten y se añaden al capital principal.

INTERÉS SIMPLE:   siendo

  Capital final

  Capital inicial  Interés anual  Número de años

 

Si la capitalización no es anual la fórmula es: donde 

  Número de períodos de capitalización que se hace al año. Así si la capitalización es: semestral, cuatrimestral, 

trimestral, mensual,   

INTERÉS COMPUESTO:   siendo

  Capital final

  Capital inicial  Interés anual  Número de años

 

Si la capitalización no es anual la fórmula es: donde 

  Número de períodos de capitalización que se hace al año. Así si la capitalización es: semestral, cuatrimestral, trimestral, mensual,  

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a) Multiplicar por 1 seguido de ceros

Por ejemplo:

456 x 10

2.356 x 100

7.896 x 1.000

Para calcular el resultado:

Empezamos escribiendo el primer número y luego le añadimos tantos ceros como acompañen al 1.

 

Veamos los ejemplos:

456 x 10 = 4.560 (Hemos repetido 456 y le hemos añadido un cero, ya que lo hemos multiplicado por 10 que tiene un cero)

2.356 x 100 = 235.600 (Hemos repetido 2.356 y le hemos añadido dos ceros, ya que lo hemos multiplicado por 100 que tiene dos ceros)

7.896 x 1.000 = 7.896.000 (Hemos repetido 7.896 y le hemos añadido tres ceros, ya que lo hemos multiplicado por 1.000 que tiene tres ceros)