Universidad Nacional Autonoma de Honduras

Departamento de Fsica

POLINOMIOS DE LEGENDRE Y FUNCIONES ASOCIADAS DELEGENDRE

Gerardo Gamez Aguilera, Angel Alexander Zelaya, Walter Geovanny JerezanoEstudiantes de Maestra en Fsica

24 de Agosto del 2013

Resumen: El actual artculo tiene como proposito mostrar el desarrollo de los Polinomiosde Legendre y los Polinomios Asociados de Legendre a partir de la ecuacion de Legendre, loscuales, son de importancia por su naturaleza en la resolucion de problemas de electrostatica,en el calculo de potenciales electricos con simetras avanzadas, en transferencia de calor, engravitacion clasica y en el tratamiento de las soluciones de la ecuacion de Schrodinger. Se tra-tan tambien los armonicos esfericos para configuracion de simetra azimutal y polar, as comoejemplos, mostrando aplicaciones de resolucion utilizando los polinomios de Legendre y suspropiedades.

Palabras claves: Polinomio, Legendre, ecuacion diferencial, solucion, series de potencias,polinomio ortogonal, linealmente independiente, Funcion de Legendre, funcion generatriz,recurrencia, formula de Rodrguez, ortogonalidad, norma, simetra.

Abstract: The present paper aims to show the unfolding of the Legendre Polynomials andAssociated Legendre Functions from Legendres equation, which are of importance for itsnature in solving electrostatic problems, in the calculation of electric potentials with advan-ced symmetries, in heat transfer, in classical gravitation and the treatment of the solutionsof Schrodinger equation. They also lead the spherical harmonics for azimuthal and polarsymmetry as well as examples, showing resolution applications using Legendre polynomialsand their properties.

Key words: Polynomial, Legendre, differential equation, solution, power series, orthogonalpolynomial, linearly independent, Legendre function, generatrix function, recurrence, Rodri-guez formula, orthogonality, norm, symmetry.

RESENA BIOGRAFICA DE LEGENDRE

Adrien-Marie LegendreFue un matematico frances, hizo numerosas contribuciones a las matematicas y fsica. Concep-tos muy conocidos e importantes tales como los Polinomios de Legendre y la transformacionde Legendre fueron nombrados por en honor a el.

Nacio en Paris el 18 de Septiembre de 1752 en una familia adinerada. Recibio una exce-lente educacion en el colegio Mazarin en Paris, defendiendo su tesis de fsica y matematicas

1

en 1770. Desde 1775 a 1780 el enseno en el Ecole Militaire en Paris, y desde 1795 en el EcoleNormale y fue asociado en el Bureau des Longitudes. En 1782 gano el premio ofrecido porla academia de Berlin por su tratado sobre proyectiles en un medio con resistencia, lo queatrajo hacia el la atencion de Lagrange.

En 1783 se convertio en adjunto de la Academie des Sciences y un asociado en 1785. En1789 fue electo como companero de la Royal Society. Durante la revolucion francesa, en1793, perdio su fortuna privada, pero fue habilitado para poner sus negocios en orden conla ayuda de su esposa, Marguerite-Claudine Couhin, con quien se caso en el mismo ano. En1795 se convirtio en uno de los seis miembros de la seccion de matematicas del reconstituidoAcademie des Sciences, llamado despues Institut National des Sciences et des Arts, y mastarde, en 1803, de la seccion de la geometra como reorganizado bajo Napoleon. En 1824,como consecuencia de la negativa a votar por el candidato del gobierno en el Instituto Nacio-nal, Legendre fue privado por el Ministre de lInterieur del gobierno ultrarrealista, el comtede Corbie`re, de su pension de la ecole Militaire, donde tuvo servicio en 1799-1815 como exa-minador de matematicas para los estudiantes graduados de artillera. Esto fue parcialmenterestablecido con el cambio de gobierno en 1828 y en 1831 fue nombrado oficial de la Legionde Honor .

Murio en Pars el 9 de enero de 1833, despues de una larga y dolorosa enfermedad. Sunombre es uno de los 72 nombres inscritos en la Torre Eiffel.

Actividad CientficaLa mayor parte de su trabajo fue completado o perfeccionado por otros: su trabajo sobre lasraces de polinomios inspiro la teora de Galois, el trabajo de Abel en las funciones elpti-cas fue construido por Legendre, algunos trabajos de Gauss en las estadstica y la teora denumeros completo la de Legendre. Desarrollo el metodo de mnimos cuadrados, que tieneuna amplia aplicacion en la regresion lineal, procesamiento de senales, estadstica y ajustede curvas, lo que fue publicado en 1806 como apendice de su libro sobre las trayectorias delos cometas. Hoy en da, el termino metodo de los mnimos cuadradosse utiliza como unatraduccion directa del frances methode des moindres carres.

En teora de numeros, conjeturo la ley de reciprocidad cuadratica, posteriormente demos-trado por Gauss, en relacion a esto, el smbolo de Legendre lleva su nombre. Tambien hizoun trabajo pionero en la distribucion de los numeros primos, y en la aplicacion del analisisde la teora de numeros. Su conjetura 1798 del teorema del numero primo fue rigurosamenteprobada por Hadamard y de la Vallee-Poussin en 1896.Legendre hizo una impresionante cantidad de trabajo en las funciones elpticas, como la clasi-ficacion de las integrales elpticas, pero tomo la genialidad de Abel para estudiar las funcionesinversas de Jacobi y resolver el problema por completo.

Es conocido por la transformacion de Legendre, que se utiliza para pasar de la formula-cion Lagrangiana a la formulacion hamiltoniana en la mecanica clasica. En la termodinamicaque tambien se utiliza para obtener la entalpa y la energa libre de Helmholtz y Gibbs de la

2

energa interna. A el tambien se debe el nombre de los polinomios de Legendre, las solucio-nes a la ecuacion diferencial de Legendre, que se producen con frecuencia en la fsica y lasaplicaciones de ingeniera, por ejemplo, la electrostatica.

Legendre fue el autor de Elements de geometrie, que se publico en 1794 y fue el textoelemental lder en el tema por unos 100 anos. Este texto enormemente reorganizo y sim-plifico muchas de las proposiciones de los Elementos de Euclides para crear un libro de textomas eficaz.

Retrato debateDurante dos siglos, hasta el reciente descubrimiento del error en 2005, libros, pinturas yartculos han mostrado incorrectamente un retrato del poltico frances Louis Legendre (1752-1797) como el Legendre matematico. El error surgio del hecho de que el boceto fue etiquetadosimplemente Legendre. El unico retrato conocido de Legendre, recientemente descubierto,se encuentra en el libro de 1820 album de 73 retratos de carga acuarelas des membres deIInstitut, un libro de caricaturas de los miembros de setenta y tres del Instituto de Franciaen Pars por el artista frances Julien-Leopold Boilly como se muestra a continuacion:

(a) Perfil poltico Louis Legen-dre

(b) Matematico frances Adrien-Marie Legendre(izq.) y Joseph Fourier (der.) por el artista francesJulien-Leopold Boilly

Figura 1: Durante 200 anos se estuvo mostrando una imagen erronea de Legendre (a), hastaque en 2005 se mostro la imagen (b) que aparece en acuarela el matematico frances Legendre

3

POLINOMIOS DE LEGENDRE

Ecuacion de Legendre y Polinomios de LegendreEn matematica y sus aplicaciones, una ecuacion clasica es la de Sturm-Liouville, que es unaecuacion diferencial de segundo orden de la forma:

ddx

[p(x)

dy

dx

]+ q(x)y = w(x)y (1)

Para el caso particular = n(n + 1), donde n N = 0, 1, 2, ... se tiene la ecuacion deLegendre:

(1 x2)y 2xy + n(n+ 1)y = 0 (2)Ahora utilizamos el metodo de series de potencia, especcamente una serie de potenciascentrada en 0, esto es

y = f(x) =k=0

akxk (3)

as, obtenemos una familia de polinomios ortogonales, llamados Polinomios de Legendre, ge-nerados por las soluciones de la ecuacion. Derivando (3) y sustituyendo en (2), obtenemos

(1 x2)k=2

k(k 1)akxk2 2xk=1

kakxk1 + n(n+ 1)

k=0

akxk = 0

k=2

k(k 1)akxk2 x2k=2

k(k 1)akxk2 2xk=1

kakxk1 + n(n+ 1)

k=0

akxk = 0 (4)

puesto que

k=2

k(k 1)akxk2 =k=0

(k + 2)(k + 1)ak+2xk (5)

x2k=2

k(k 1)akxk2 = x2k=2

k(k 1)akxkx2

k=2

k(k 1)akxk = k=0

k(k 1)akxk (6)

2xk=1

kakxk1 = 2x

k=1

kakxkx1 = 2

k=1

kakxk = 2

k=0

kakxk (7)

sustituyendo (5), (6) y (7) en (4), obtenemos

k=0

(k + 2)(k + 1)ak+2xk

k=0

k(k 1)akxk 2k=0

kakxk + n(n+ 1)

k=0

akxk = 0

4

aplicando las propiedades de la sumatoria y factorizando, obtenemos

k=0

((k + 2)(k + 1)ak+2 k(k 1)ak 2kak + n(n+ 1)ak)xk = 0

k=0

((k + 2)(k + 1)ak+2 + (n(n+ 1) k(k + 1))ak)xk = 0 (8)

la ecuacion (8) se verifica si los coeficientes de xk son igual a 0, esto es

(k + 2)(k + 1)ak+2 + (n(n+ 1) k(k + 1))ak) = 0Notese que para k = 2, a0 asume cualquier valor; de igual manera para k = 1, a1asume cualquier valor.Ahora despejando ak+2, obtenemos

ak+2 = n(n+ 1) k(k + 1)(k + 2)(k + 1)

ak k = 0, 1, 2, 3, .... (9)

En (9), hagamos las siguientes consideraciones:

i) Sean a0 6= 0 y a1 = 0 entonces

a2 = n(n+ 1)2 1 a0 =

n(n+ 1)

2!a0

a4 = n(n+ 1) 2 34 3 a2 =

n(n+ 1)(n(n+ 1) 2 3)4 3 2! a0 =

n(n+ 1)(n(n+ 1) 2 3)4!

a0,

a6 = n(n+ 1) 4 56 5 a4 =

n(n+ 1)((n(n+ 1) 2 3)(n(n+ 1) 4 5)6!

a0,

Notese, que para k impar: a1 = a3 = a5 = = 0.

Luego, (3) se transforma en

y1 = f1(x) =k=0

a2kx2k = a0x

0 n(n+ a)2!

a0x2 +

n(n+ 1)(n(n+ 1) 2 3)4!

a0x4

=

(1 n(n+ 1)

2!x2 +

n(n+ 1)(n(n+ 1) 2 3)4!

x4 )a0

que es una solucion par de la ecuacion de Legendre.

ii) Ahora consideremos a0 = 0 y a1 6= 0 entonces

5

a3 = n(n+ 1) 1 23 2 a1 =

n(n+ 1) 1 23!

a1

a5 = n(n+ 1) 3 45 4 a3 =

(n(n+ 1) 1 2)(n(n+ 1) 3 4)5!

a1

a7 = n(n+ 1) 5 67 6 a5 =

(n(n+ 1) 1 2)(n(n+ 1) 3 4)(n(n+ 1) 5 6)7!

a1,

Notese, que para k par:a0 = a2 = a4 = = 0.

Luego, (3) se transforma en

y2 = f2(x) =k=0

a2k+1x2k+1

= a1x n(n+ 1) 1 23!

a1x3 +

(n(n+ 1) 1 2)(n(n+ 1) 3 4)5!

a1x5

=

(x n(n+ 1) 1 2

3!x3 +

(n(n+ 1) 1 2)(n(n+ 1) 3 4)5!

x5 )a1

que es una solucion impar de la ecuacion de Legendre.

Ya que, estas dos soluciones son linealmente independientes, por intermedio de ellas ob-tenemos la solucion general de la ecuacion de Legendre,

y(x) = Ay1(x) +By2(x).

Las series y1 y y2, para n Z, convergen en |x| < 1, pero divergen en x = 1. Para n N, unade estas series finaliza, es decir, es un polinomio y la otra converge en |x| < 1, pero divergeen x = 1.Puesto que, por lo general n = 0, 1, 2, 3, , seguidamente consideramos algunas solucionespolinomicas:

1, x, 1 3x2, x 53x3,

luego, una solucion de la ecuacion de Legendre es un polinomio de grado n.Hallemos con precision estas soluciones polinomicas, para ello consideremos la ecuacion ob-tenida de (8), esto es

(k + 2)(k + 1)ak+2 + (n(n+ 1) k(k + 1))ak = 0 n Nhaciendo k : n 2, n 4, n 6, , n 2i i = 1, 2, 3, , obtenemos

n(n+ 1)an = 2(2n 1)an2 = 2 1(2n 1)an2(n 2)(n 3)an2 = 4(2n 3)an4 = 2 2(2n 3)an4(n 4)(n 5)an4 = 6(2n 5)aa6 = 2 3(2n 5)aa6

6

.....................

(n 2i 2)(n 2i+ 1)an2i+2 = 2 i(2n 2i+ 1)an2iefectuando el producto, miembro a miembro, de estas igualdades, obtenemos

n(n 1) (n 2i+ 1)an = (1)i2ii!(2n 1)(2n 3) (2n 2i+ 1)an2i (10)utilizando la notacion factorial y sus propiedades, tenemos

n(n 1) (n 2i+ 1) = n(n+ 1) (n 2i+ 1)(n 2i)!(n 2i)! =

n!

(n 2i)! (11)

(2n 1)(2n 3) (2n 2i+ 1) =

=2n(2n 1) (2n 2i+ 1)(2n 2)(2n 4) (2n 2i+ 2)(2n 2i)!

2n(2n 2)(2n 4) (2n 2i+ 2)(2n 2i)!

=(2n)!

2in(n 1)(n 2) (n i+ 1)(2n 2i)! =(2n)!(n i)!2in!(2n 2i)! (12)

sustituyendo (11) y (12) en (10), obtenemos

=n!

(n 2i)!an = (1)i2ii!

(2n)!(n i)!2in!(2n 2i)!an2i

luego

an2i = (1)i (n!)2(2n 2i)!

i!(2n)!(n 2i)!(n i)!an

sea an =(2n)!

2n(n!)2, esto es posible, puesto que no hay alguna condicion sobre an entonces

an2i = (1)i (2n 2i)!2ni!(n 2i)!(n i)!

Como se dijo anteriormente, si n es par (n = 2j), se obtiene una solucion par, es decirun polinomio par y si n es impar (n = 2j + 1), se obtiene una solucion impar, es decirun polinomio impar. En cualesquiera de las dos alternativas, la solucion de la ecuacion deLegendre se denomina polinomio de Legendre de grado n y viene dada por

y = Pn(x) =ii=0

(1)i (2n 2i)!2ni!(n 2i)!(n i)!x

n2i

Desarrollando Pn(x), utilizando las propiedades del factorial y factorizando obtenemos

Pn(x) =ii=0

(1)i (2n 2i)!2ni!(n 2i)!(n i)!x

n2i

7

=(2n)!

20 0!n!n!xn (2n 2i)!

211!(n 2)!(n 1)!xn2 +

(2n 4)!222!(n 4)!(n 2)!x

n4

(2n 6)!233!(n 6)!(n 3)!x

n6+(2n 8)!

244!(n 8)!(n 4)!xn8 +(1)j (2n 2j)!

2nj!(n 2j)!(n j)!xn2j

Pn(x) =(2n)!

200!(n!)2xn (2n)!n(n 1)

211!2(n)!2(2n 1)xn2 +

(2n)!n(n 1)(n 2)(n 3)222!22(n!)2(2n 1)(2n 3) x

n4

(2n)!n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)(n 5)233!23(n!)2(2n 1)(2n 3(2n 5) x

n6

(2n)!n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)(n 5)(n 6)(n 7)244!24(n!)2(2n 1)(2n 3)(2n 5) (2n 7)x

n8

=(2n)!

2n(n!)2

(xn n(n 1)

2 1!(2n 1)xn2 +

n(n 1)(n 2)(n 3)222!(2n 1)(2n 3) x

n4

n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)(n 5)23 3!(2n 1)(2n 3)(2n 5) x

n6

+n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)(n 5)(n 6)(n 7)

24 4!(2n 1)(2n 3)(2n 5)(2n 7 xn8)

Ahora, si podemos dar con precision las soluciones polinomicas de la ecuacion de Legendre,as como el trazado de sus graficas

8

Propiedades Basicas de los Polinomios de Legendrei) Funcion generatriz para los polinomios de Legendre

11 2sx+ s2 =

n=0

Pn(x)sn

Segun Arfken:

g(t, x) = (1 2xt+ t2)1/2 = n=0 Pn(x)tnUsando el teorema del binomio expandimos la funcion generatriz:

(1 2xt+ t2)1/2 =n=0

(2n)!

22n(n!)2(2xt t2)n

De acuerdo a esto ultimo:

P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) =3

2x2 1

2

ii) Funcion recurrencia para los polinomios de Legendre

Pn+1(x) =2n+ 1

n+ 1xPn(x) n

n+ 1Pn 1(x)

Segun el texto de Arfken

2(n+ 1)xPn(x) = (n+ 1)Pn+1(x) + nPn 1(x)

9

iii) Formula de Rodrguez para los polinomios de Legendre

Pn(x) =1

2nn!

dn

dxn(x2 1)n

iv) Ortogonalidad de los polinomios de Legendre.

Esta es una valiosa propiedad, ya que configuran un sistema ortogonal sobre el intervalo1 6 x 6 1 con respecto al nucleo p(x) = 1. Esto es, son ortogonales con respecto al pro-ducto escalar definido en L2 en este intervalo. 11Pm(x)Pn(x)dx =

2

2n+ 1mn mn=

{0 si m 6= n1 si m = n

FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE

En matematicas, las Funciones Asociadas de Legendre son las soluciones canonicas de laecuacion general Legendre,

(1 x2)y 2xy +(n[n+ 1] m

2

1 x2)y = 0

o de forma equivalente

(1 x2)y +(n(n+ 1) m

2

1 x2)y = 0

Observe que para m = 0, la ecuacion se reduce a la ecuacio de Legendre. La solucion sellaman las funciones asociadas de Legendre y pueden ser desarrolladas directamente de laecuacion de Legendre y sus soluciones.Para mostrar esto ocupamos la formula de Leibniz para la m-derivada de un producto,

dm

dxm(fg) =

mk=0

(m

k

)dmkfdxmk

dkg

dxk, m = 1, 2, 3,....

Si z es una solucion de la ecuacion de Legendre, se desea demostrar que

y = (1 x2)m/2 dmz

dxm

es una solucion de la ecuacion asociada de Legendre.Tomando la m-derivada se tiene,

dm

dxm[(1 x2)z] 2 dm

dxm(xz) + n(n+ 1)

dmz

dxm= 0

10

Aplicando la formula de Leibniz, se obtiene

(1 x2)dm+2z

dxm+2 2mxd

m+1z

dxm+1m(m 1)d

mz

dxm 2

[xdm+1z

dxm+1+m

dmz

dxm

]+ n(n+ 1)

dmz

dxm= 0

Recolectando terminos semejantes da:

(1 x2) d2

dx2 2(m+ 1)xdu

dx+ [n(n+ 1)m(m+ 1)]u = 0

donde, por conveniencia de notacion, se coloca u = dmzdxm

. Luego introduciendo la nueva variabley = (1 x2)m/2u, o equivalentemente,

u = y(1 x2)m/2Encontramos,

(1x2) d2

dx2[y(1x2)m/2]2(m+1)x d

dx[y(1x2)m/2]+[n(n+1)m(m+1)]y(1x2)m/2 = 0

Llevando a cabo las derivadas indicadas lleva a,

d

dx[y(1 x2)m/2] = y(1 x2)m/2 +mxy(1 x2)1m/2 =

[y +

mxy

1 x2]

(1 x2)m/2

y similarmente,

d2

dx2[y(1 x2)m/2] =

[y +

m(2xy + y)1 x2 +

m(m+ 2)x2y

(1 x2)2]

(1 x2)m/2

Finalmente sustituyendo estas ecuaciones,

(1x2)[y +

m(2xy + y)1 x2 +

m(m+ 2)x2y

(1 x2)2]2(m+1)x

[y +

mxy

1 x2]+[n(n+1)m(m+1)]y = 0

La anterior se reduce luego del desarrollo algebraico a,

(1 x2)y 2xy +(n[n+ 1] m

2

1 x2)y = 0

Entonces se define las funciones asociadas de Legendre para (m = 0, 1, 2,...,n)

Pmn (x) = (1 x2)m/2 dm

dxmPn(x)

Propiedades basicas de las Funciones Asociadas de Legendrea) Relaciones de recurrencia

11

Utilizando la formula de Rodriguez y la diferienciacion de Liebniz,

Pmn (x) =1

2nn!(1 x2)m/2 d

n+m

dxn+m[(x2 1)n]

Tomamos importancia al lado derecho para encontrar la siguiente relacion:

Pmn (x) = (1)m(nm)!(n+m)!

Pmn (x)

Otra relacion de recurrencia importante es:

(nm+ 1)Pmn+1(x) (2n+ 1)xPmn (x) + (n+m)Pmn1(x) = 0La relacion de paridad que relaciona x x,

Pmn+1(x) = (1)n+mPmn+1(x)

b) Ortogonalidad. 11Pmp (x)P

mq (x)dx =

2

2q + 1 (q +m)!

(q m)!pq,y 1

1Pmn (x)P

kn (x)(1 x2)1dx =

(n+m)!

m(nm)!m,k.

Armonicos esfericosUna de las aplicaciones es la solucion de la ecuacio de Laplace, la ecuacio de Helmontz y laecuacio de onda de Schrodinger,

2 + k2f(r) = 0

La dependencia angular, proveniente enteramente del operador Laplaciano, es

()

sin

d

d

(sin

d

d

)+

()

sin2

d2()

d2+ n(n+ 1)()() = 0

La ecuacion azimutal separada es,

1

()

d2()

d2= m2

con soluciones() = expim, expim

con m entero, la cual satisface la condicion ortogonal 2pi0

expim1) expim2 d = 2pim1m2

12

Para la condicion ortonormal

m =12pi

exp im

Separando esta dependencia azimutal, la dependencia del angulo polar () dirige a la ecuacionasociada de Legendre

1

sin

d

d

(sin

d

d

)+

[n(n+ 1) m

2

sin2

] = 0

Por lo que su solucion sera de la misma forma que la solucio encontrada para la ecuacionasociada de Legendre, es decir,

() = Pmn (cos ) =1

2nn!(1 x2)m/2 d

m+n

dxm+n(x2 1)n, n m n

Normalizando la funcion asociada de Legendre, obtenemos2n+ 1

2

(nm)!(n+m)!

Pmn (cos ), n m n

La funcion m() es ortonormal con respecto al angulo azimutal , la cual tomada junto conla funcion ortonormal en el angulo polar nos da la funcion de esfericos armonicos,

Y mn (, ) (1)m

2n+ 1

4pi

(nm)!(n+m)!

Pmn (cos ) expim

Figura 2: Armonicos Esfericos

13

Figura 3: [RY mn (, )]2

Ejemplos1.1) Una distribucion de carga electrica sobre la superficie T de un conductor aislado el cualdescansa totalmente en el interior de una superficie esferica S: r = R es simetrica con respectoal eje z y es tal que sobre S el potencial V de la distribucion de carga es igual a C(1 + cos4 )donde C es una constante y es el angulo de coordenadas esfericas. Obtenga la ecuacionpara V valida para todos los puntos en el exterior a S.

Desarrollo.V es una funcion solamente de r y : V = V (r, ). El potencial V satisface la ecuacion deLaplace en cualquier punto exterior a T , se tiene

2V = 0V = V (r, )

Al aplicar el Laplaciano en coordenadas esfericas,

V =n=0

[Cnr

n +Bnrn+1

]Pn(cos).

Se debe tomar Cn = 0, en la region exterior de S, ya que la ecuacion no puede contener ninguntermino en series positivas de r, esto implicara que V (r, ) llegara a infinito en magnitud ar , por lo que la ecuacion anterior se reduce a

V (r, ) =n=0

Bnrn+1

Pn(cos)

14

La anterior converge para r R e igual a C(1 cos4 ) sobre S donde r = R. Haciendou = cos, se requiere,

C(1 + u4) =n=0

BnRn+1

Pn(u).

Para encontrar los Bn, se utiliza ortogonalidad,

BnRn+1

=2n+ 1

2

11C(1 + u4)Pn(u)du,

Bn =(2n+ 1)CRn+1

2

[ 11Pn(u)du+

11u4Pn(u)du

].

P0(x) = 1

P2(x) =1

2(3x2 1)

P4(x) =1

8(35x4 30x2 + 3)

B0 =(2(0) + 1)CR0+1

2

( 11du 1

2

11u4du+

3

8

11u4du

)=

6CR

5

B2 =(2(2) + 1)CR2+1

2

(3

2

11u4u2du+

30

8

11u4u2du

)=

4CR3

7

B4 =(2(4) + 1)CR4+1

2

(35

8

11u4u4du

)=

8CR5

35

Por lo que la solucion es,

V = V (r, ) = C

[6

5

(R

r

)P0(cos) +

4

7

(R

r

)3P2(cos) +

8

35

(R

r

)5P4(cos)

]

1.2) Calcular el potencial electrostatico producido por dos cargas q1 = +q y q2 = q sepa-radas por una distancia 2d en un punto P cualquiera de un plano (x, y).

Desarrollo.El potencial en ese punto generico viene dado por

V = q

(1

R 1R

)Como se aprecia en la figura

(R)2 = r2 + d2 2rd cos() R2 = r2 + d2 2rd cos(pi ),

15

Figura 4: Potencial electrostatico de un dipolo electrico

por lo cual

1

R=

1

r

[1 2 cos()

(d

r

)+

(d

r

)2] 121

R=

1

r

[1 2 cos(pi )

(d

r

)+

(d

r

)2] 12y consecuentemente

1

R=

1

r

n=0

Pn(cos())

(d

r

)n1

R=

1

r

n=0

Pn[cos(pi )](d

r

)n=

1

r

n=0

Pn( cos())(d

r

)nEl potencial sera

V =q

r

n=0

[Pn(cos()) Pn( cos())](d

r

)ndonde todos los terminos pares de Pn(cos()) se anulan y finalmente tendremos la expresiondel potencial para cualquier punto del plano

V =2q

r

n=0

P2n+1(cos())

(d

r

)2n+1Nos quedamos con el primer termino de la serie, si

d

r 1 = V q

r22d cos().

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BibliografaAndrews, L. (1985). Special Functions for Engineers and Applied Mathematicians. New York:MACMILLAN PUBLISHING COMPANY.

Hernandez, H., Nunez, L. (2010). Series de Polinomios Ortogonales. Universidad de LosAndes, Merida, 12.

J. Farrell, O., Ross, B. (1963). SOLVED PROBLEM IN ANALYSIS as applied to Gam-ma, Beta, Legendre, Bessel Functions. New York: Dover Publications, Inc.

Nunez Rincon, C. E. (2002). Polinomios de Legendre-Notas. UNET, 22.

WEBER, A. (2005). MATHEMATICAL METHODS FOR PHYSICISTS (Sixth ed.). SanDiego, USA: Elsevier Academic Press.

Wikipedia. (10 de 10 de 2010). Recuperado el 20 de 08 de 2013, de www.wikipedia.org

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