Studio di una funzioneSchema esemplificativo

GeneralitStudiare una funzione significa determinarne le propriet ovveroIl dominio.Il segno.Gli intervalli in cui cresce o decresce.Minimi e massimi relativi.Gli intervalli in cui concava o convessa.I flessi.Gli asintoti.

Dominio della funzionePer ricercare il dominio della funzione f(x) bisogna prima classificare la funzione stessa e in base alle sue caratteristiche ricercare il campo di esistenza.

Dominio della funzioneAd esempio, se f(x) razionale intera il dominio R.Se razionale fratta occorre trovare gli zeri a, b, del denominatore. Il dominio allora R-{a, b, }.Se la funzione irrazionale algebrica per ogni radicale di indice pari bisogna imporre la non negativit del radicando.Se logaritmica necessario che largomento sia positivo.

Segno della funzioneStudiare il segno della funzione significa determinare in quali intervalli il suo grafico situato al di sopra o al di sotto dellasse delle x.

Segno della funzioneBisogna risolvere la disequazionef(x)>0 per individuare gli intervalli di positivit della funzione.Le soluzioni della disequazionef(x)

Intersezioni con gli assiRisolvendo lequazionef(x)=0 si individuano gli eventuali punti di intersezione del grafico con lasse delle x (zeri della funzione f(x)).

Intersezioni con gli assiPonendox=0 (se f(x) ivi definita)si trova invece leventuale punto di intersezione del grafico con lasse delle y.

Minimi e massimi relativiPer trovare i minimi e i massimi relativi di una funzione f(x), derivabile nei punti interni del suo dominio, si possono utilizzare due metodi.

Minimi e massimi relativiPrimo metodoSi calcola f(x) e se ne studia il segno.Negli intervalli in cui f(x)>0 la funzione data crescente.Negli intervalli in cui f(x)

Minimi e massimi relativiSe per xa la funzione decrescente, allora in x=a c un punto di massimo relativo.Se invece la decrescenza precede la crescenza, allora x=a un punto di minimo relativo.

Minimi e massimi relativiSi calcola infine il valore del minimo o massimo trovato sostituendo il numero reale a alla variabile x nellespressione della funzione.

Minimi e massimi relativiSecondo metodoSe f(x) dotata di f(x) e f(x) continue in a, allora la funzione ha un minimo relativo nel punto considerato sef(a) = 0 e f(a)>0.Se si verifica invecef(a)=0 e f(a)

Concavit e convessitSe si verificaf(a)>0la funzione concava (ha concavit rivolta verso lalto).Se si verifica invecef(a)

Punti di flessoPer trovare i flessi di una funzione f(x), derivabile nei punti interni del suo dominio, si procede in modo analogo a quello gi visto per la determinazione di minimi e massimi relativi.

Punti di flessoPrimo metodoSe in x=a si ha il passaggio dalla concavit alla convessit e a appartiene al dominio allora in tale punto si ha un flesso discendente.Se invece la convessit precede la concavit allora si ha un flesso ascendente.

Punti di flessoSecondo metodoSi determinano le radici a dellequazione f(x)=0.Si ha un flesso in x=a solo se la prima derivata, successiva alla seconda, che non si annulla in a di ordine dispari. In tal caso se in a si annulla la derivata prima il flesso a tangente orizzontale.Altrimenti un flesso a tangente obliqua.

AsintotiAsintoti verticaliSe il dominio della funzione del tipoR-{a, b, c,}bisogna calcolare il limite di f(x) per xa.Se questo limite infinito allora c lasintoto verticale di equazione x=a.Si ripete il calcolo per gli altri punti b, c, nei quali la funzione non definita.

AsintotiSi procede in modo analogo se il dominio di f(x) ununione di intervalli e in qualche estremo inferiore o superiore di tali intervalli la funzione non definita.

AsintotiAsintoti orizzontaliSe il limite di f(x), per x +, il numero finito l, allora c lasintoto orizzontale di equazioney=l.Se tale limite invece infinito si passa allesame delleventuale asintoto obliquo.Analogamente per x -.

AsintotiAsintoti obliquiSe il limite di f(x)/ x, per x +, infinito non c neppure lasintoto obliquo.Se invece tale limite il numero finito m allora si calcola il limite di f(x)mx. Solo se anche questo limite un numero finito q possiamo dire che esiste, per x +, un asintoto obliquo. La sua equazione y=mx+q.Analogamente per x -.

Esempio di funzione

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