Continuità e derivabilità di una funzione.
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PUNTI DI CONTINUITA’ E DISCONTINUITA’
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INDICE
Punti di continuità Punti di discontinuitàPunti di continuità ma non derivabilità di una funzione
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PUNTI DI CONTINUITA’
Data la funzione y=f(x) e considerato un punto x0 appartenente al suo dominio diremo che f(x) è continua in x0 se
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PUNTI DI DISCONTINUITA’ una funzione discontinua in un punto quando non
sussistono le condizioni di continuità e possono verificarsi tre tipi di discontinuità:
Discontinuità di prima specieDiscontinuità di seconda specieDiscontinuità di terza specie
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Data la funzione y=f(x) definita in dom {(-∞; c) U (c; +∞)} avremo in x=c una discontinuità di prima specie se nell’intorno di c esistono e sono finiti, ma diversi fra loro, i seguenti limiti:
Se
h≠k
P (c; f(c))
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Esempio di discontinuità di prima specie:
Dominio:2x-2≠0 dom:{(-∞;1)U(1;+∞)}x≠1
Punto di discontinuità di prima specie
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Seconda specie (asintoto verticale)
se almeno uno dei due limiti ( e )o non esiste o è infinito
x=c discontinuità di seconda specie
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Esempio discontinuità di seconda specie
dominio x+2≠0
x≠-2 Dom={(-∞;-2)U(-2; +∞)}
x=-2 punto di discontinuità di seconda specie
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Terza specieSe il limite destro e sinistro per x tendente a c esiste finito
ma in c la funzione o non esiste o ha un valore diverso dal limite
f(c) non esiste o f(c) ≠ h
(c; f(c)) discontinuità di terza specie
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Esempio discontinuità di Terza specie
Dominio x≠0x≠2 Dom={(-∞;0)U(0;2)U(2;+∞)}
x=0 Punto di discontinuità di seconda specie
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P ( ) punto di discontinuità di terza specie
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PUNTI DI CONTINUITA’ MA NON DERIVABILITA’ DI UNA FUNZIONE.
Data la funzione y= f(x) conDom {( -∞; + ∞)}Calcolo: y=f’(x)Ipotizzo che il dominio della derivata sia:Dom*={(- ∞; c) U (c; + ∞)}In x=c la funzione è continua ma non derivabile
perché c appartiene al dominio della funzione ma non a quello della sua derivata.
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Calcolo i limiti nell’intorno del punto c di continuità ma non derivabilità se ottengo:
1.
con h≠k alloraP(c; f(c)) punto angoloso
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Se, invece, dovessi ottenere 2.
essendo gli infiniti concordi avremo:
+∞ → +∞ flesso a tangente verticale crescente
-∞ → - ∞ flesso a tangente verticale decrescente
(c; f(x)) flesso a tangente verticale
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Se, infine, si verificasse la seguente situazione3.
essendo gli infiniti discordi avremo
+∞ → -∞ cuspide con vertice in alto
-∞ → + ∞ cuspide con vertice in basso
(c; f(c)) cuspide
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Presentazione a cura di :Elisabetta Accornero
Ermira AlijaEmanuela Ilardo
Sara MagagliniNoemi Carluccio