PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE. INTEGRALE INDEFINITO....

Angela Donatiello 1

PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE. INTEGRALE INDEFINITO.

INTEGRALI IMMEDIATI O RICONDUCIBILI AD IMMEDIATI. METODI DI INTEGRAZIONE.

Angela Donatiello 2

DEF. Una funzione F(x) si dice primitiva di una funzione y = f(x) definita nell’intervallo [a;b] se

1) F(x) è derivabile in [a;b] 2) F ’(x) = f(x) (la sua derivata è f(x))

Attenzione!!! La primitiva di una funzione non è unica!!!

.......

12xy

21

xy

2xy

3xy

2

2

2

2

+=

−=

−=

+=

x2y =

Operatore derivata

Angela Donatiello 3

Osservazione: Se una funzione ammette primitive, allora ammette infinite primitive del tipo F(x) + c, con c numero reale, (differiscono tutte per una costante). Infatti (F(x) + c)’ = F’(x) = f(x), in quanto la derivata di una costante è nulla. Inoltre: se F(x) e G(x) sono primitive di f(x), allora

[F(x)-G(x)]’= F’(x)-G’(x) = f(x) – f(x) = 0, ossia F(x) – G(x) = costante Le funzioni y = F(x) + c sono tutte e sole le primitive della funzione y = f(x) e rappresentano tutte le funzioni ottenute dalla primitiva y = F(x) mediante traslazioni verticali.

Primitive di 2x3y =

5xy

3xy

21

xy

2xy

xy

3

3

3

3

3

−=

−=

−=

+=

=

Angela Donatiello 4

La primitiva che si ottiene con c = 0 è detta primitiva fondamentale.

DEFINIZIONE DI INTEGRALE INDEFINITO Si chiama integrale indefinito della funzione y = f(x) e si indica con il simbolo

∫ dx)x(f l’insieme di tutte le infinite primitive F(x) + c della funzione f(x), dove c è

un numero reale qualunque.

∫ += c)x(Fdx)x(f tale che )x(f)'c)x(F( =+

f (x) è detta FUNZIONE INTEGRANDA x è detta VARIABILE d’INTEGRAZIONE Teorema. Se una funzione y = f(x) è continua in [a;b] allora è integrabile.

y = F(x)

F’(x) = f(x)

derivazione

integrazione

Angela Donatiello 5

Ricordiamo le derivate

Angela Donatiello 6

Angela Donatiello 7

INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI

1) ∫ −−∈α++α

=+α

α }1{R,c1

xdxx

1

In particolare:

∫ += cxdx ∫ += c2x

xdx2

cx32

dxx 3 +=∫

2) ∫ += c|x|lndxx1

3) ∫ += caaln

1dxa xx

In particolare: ∫ += cedxe xx

4) ∫ +−= cxcosdxsenx 5) ∫ += csenxdxxcos

6) ∫ += ctgxdxxcos

12

7) ∫ +−= cgxcotdxxsen

12

Angela Donatiello 8

8) ∫ +−=+=−

cxarccoscxarcsindxx1

12

9)∫ +=+

carctgxdxx1

12

PROPRIETA’ DEGLI INTEGRALI INDEFINITI

1) ∫ ∫⋅=⋅ dx)x(fkdx)x(fk

2) ∫ ∫ ∫+=+ dx)x(gdx)x(fdx)]x(g)x(f[

3) ∫ ∫∫ +=⋅+⋅ dx)x(ghdx)x(fkdx)]x(gh)x(fk[

NOTA: Non esistono proprietà degli integrali su prodotti o quozienti, pertanto tali casi andranno analizzati mediante opportuni metodi risolutivi.

Angela Donatiello 9

Esempi:

• ∫ ∫ ∫ ++=++=+=+ csenxxcsenx3x

3xdxcosdxx3dx)xcosx3( 33

22

• ∫ ∫ +−=+−=++−

== −+−

− cx1

cxc12

xdxxdx

x

1 112

22

• cx2c

21

xc

121

xdx)x(dx

x1 2

11

2

1

2

1

+=+=++−

==+−

−∫ ∫

• ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =+=+=

+=+dx

x1

2xdx3dxx2

xdx3dxx2

x3dxx

2x3 2

c|x|ln22x

32

++=

Angela Donatiello 10

• ∫ ∫ ∫ =−

++

=

−+

+dx

x1

15dx

x1

13dx

x1

5

x1

32222

cxarcsin5arctgx3 ++=

• ctgx5xcos4dxxcos

5senx4

2+−−=

−∫

• ∫ ++=

+ c|x|ln3e6dxx3

e6 xx


INTEGRALI INDEFINITI DI FUNZIONI LA CUI PRIMITIVA E’ UNA FUNZIONE COMPOSTA


Esempi.

� c9

)5x(c

3)5x(

31

dx)5x(x331

dx)5x(x3333

232232 ++=++⋅=+=+ ∫∫

� ∫ ∫ ∫ +−=−−== c|xcos|lndxxcos

senxdx

xcossenx

tgxdx

� ∫ ∫ ∫ +=+

=+

=+

c)x2(arctg21

dx)x2(1

221

dx)x2(1

1dx

x41

1222

� ∫∫ +−+=−+

+=−+

+c|3x2x|ln

21

dx3x2x

2x221

dx3x2x

1x 222


Esercizi.

� ∫ ∫ ∫ ∫ +==⋅=⋅=+

c2ln

24dx24dx

2

24dx

2

44dx

8

4 xx

x3

x4

x3

x2

x

x21

� ∫ ∫∫ ++=+=+=+ c

23

)1x(21

dx)1x(x221

dx)1x(xdx1xx2

32

2

122

122

= c)1x(31 32 ++

� ∫ +−= c)xcos(lndxx

)x(lnsen


� ∫ ∫ ++=+

+=+

+c)x4x(tg

21

dx)x4x(cos

4x221

dx)x4x(cos

2x 22222

� ∫ ∫ +=+

=+

c)e(arctgdx)e(1

edx

e1

e x2x

x

x2

x

� ∫ ∫ +=−

=−

c)e(arcsendx)e(1

edx

e1

e x2x

x

x2

x

� ∫ ∫ ∫ =

+

=

+=

+dx

x43

1

1161

dxx

163

116

1dx

x316

1222

∫ +=+=

+

⋅= cx43

arctg12

3cx

43

arctg34

1dx

x43

1

43

34

161

2


INTEGRAZIONE DELLE FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

1° CASO: IL NUMERATORE È RICONDUCIBILE ALLA DERIVATA DEL DENOMINATORE

∫ =−−+

−+dx

1x4x3x2

2x3x323

2 a meno della costante 2 il numeratore è la

derivata del denominatore

∫ =−−+

−+= dx1x4x3x2

4x6x621

23

2 RICORDO: ∫ += c|)x(f|lndx

)x(f)x('f

c|1x4x3x2|ln21 23 +−−+=


2° CASO: IL DENOMINATORE E’ DI PRIMO GRADO

∫ +++

dx1x2

1x5x2 2 (Esame 19/06/12)

Effettuo la divisione tra polinomi:

Ricordo: )x(B)x(R

)x(Q)x(B)x(A +=

1x21

2x1x2

1x5x2 2

+−+=

+++

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ =+

−+=+

−+=+

++dx

1x22

21

dx2xdxdx1x2

1dx2xdxdx

1x21x5x2 2

c|1x2|ln21

x2x21 2 ++−+=

2x2 + 5x +1 2x + 1 -2x2 - x x+2 // 4x +1 -4x -2 // -1


3° CASO: IL DENOMINATORE E’ DI SECONDO GRADO (e non posso ricondurmi al primo caso in maniera immediata) - sottocaso 1: 0>∆ (si riconduce ad integrali di tipo logaritmo)

∫++

−dx

6x5x

1x2

1) Calcolo il discriminante 012425ac4b2 >=−=−=∆ 2) Scompongo il polinomio al denominatore nella forma

)xx)(xx(acbxax 212 −−=++ con x1 e x2 radici o zeri dell’equazione

associata.

2

15x

±−= 3x1 −= 2x2 −= )2x)(3x(6x5x2 ++=++

3) Riscrivo la frazione algebrica nella forma 21 xx

B)xx(a

A)x(G)x(F

−+

−=

In questo caso 2x

B3x

A

6x5x

1x2 +

++

=++

−


4) Cerco i parametri A e B in modo che sia verificata l’uguaglianza:

)2x)(3x()3x(B)2x(A

6x5x

1x2 ++

+++=++

−

)2x)(3x(B3BxA2Ax

6x5x

1x2 ++

+++=++

−

)2x)(3x(

B3A2x)BA(

6x5x

1x2 ++

+++=++

− tale uguaglianza è vera se e solo se

−==

⇒

−=−=

⇒

−=+=+

3B

4A

3B

B1A

1B3A2

1BA

Pertanto: 2x

33x

4

6x5x

1x2 +

−+

=++

−


5) Riscrivo l’integrale che ora si riconduce a due integrali quasi immediati di tipo logaritmo

∫ ∫ ∫∫ +−

+=

+

−+

=++

−dx

2x3

dx3x

4dx

2x3

3x4

dx6x5x

1x2

c|2x|ln3|3x|ln4 ++−+= - sottocaso 2: 0=∆ (si riconduce ad integrali di tipo logaritmo e di tipo potenza)

∫++

+dx

9x6x

5x2

1) Calcolo il discriminante 03636ac4b2 =−=−=∆ 2) Scompongo il polinomio al denominatore nella forma

21

2 )xx(acbxax −=++

In questo caso 22 )3x(9x6x +=++


3) Riscrivo la frazione algebrica nella forma 2

11 )xx(

B)xx(a

A)x(G)x(F

−+

−=

In questo caso: 22 )3x(

B)3x(

A

9x6x

5x

++

+=

+++

4) Cerco i parametri A e B in modo che sia verificata l’uguaglianza:

22 )3x(

B)3x(

A

9x6x

5x

++

+=

+++

22 )3x(

B)3x(A

9x6x

5x

+++=

+++

22 )3x(

BA3Ax

9x6x

5x

+++=

+++

tale uguaglianza è vera se e solo se

=−==

⇒

=+=

235B

1A

5BA3

1A


Pertanto: 22 )3x(

2)3x(

1

9x6x

5x

++

+=

+++

5) Riscrivo l’integrale che ora si riconduce a due integrali quasi immediati di

tipo logaritmo e di tipo potenza

∫ ∫ ∫∫−++

+=

++

+=

+++

dx)3x(2dx3x

1dx

)3x(

2)3x(

1dx

9x6x

5x 222

c3x

2|3x|lnc

12)3x(

2|3x|ln12

++

−+=++−

+⋅++=+−


- sottocaso 3: 0<∆

a) il numeratore è di grado zero

∫++

dxcbxax

12

0a ≠

E’ necessario effettuare il completamento del quadrato dei primi due termini al denominatore e poi ricondurre all’integrale immediato la cui primitiva è arcotangente.

∫++

dx1xx

12

• Calcolo il discriminante 0341 <−=−=∆ • Si cerca di ricondurre l’integrale al modello

∫ +=+

ck

)x(farctg

k1

dx)]x(f[k

)x('f22


• Bisogna riguardare i due termini x2 e x rispettivamente come il quadrato di x e come il doppio prodotto del primo termine x per un secondo termine e sommare e sottrarre il termine mancante per completare il quadrato di binomio.

43

21

x141

41

xx1xx2

22 +

+=+−++=++

• ∫ ∫ ++

=+

+=

++c

2321

xarctg

23

1dx

43

21

x

1dx

1xx

122

c3

1x2arctg

32 ++=

b) Il numeratore è un polinomio di primo grado e il denominatore di secondo con discriminante negativo

∫ =++

+dx

1xx

3x2


• Calcolo il discriminante 0341 <−=−=∆ • Trasformo il numeratore in modo da vederlo come somma di due parti, una

che costituisce la derivata del denominatore e l’altra che ci permetterà di ricondurci all’arcotangente come nel caso precedente.

∫ ∫∫ =++

+=++

+=++

+dx

1xx

6x221

dx1xx

)3x(221

dx1xx

3x222

∫ ∫ ∫ =++

+++

+=++++= dx

1xx

521

dx1xx

1x221

dx1xx

51x221

222

Il primo integrale si è riconduce ad integrali di tipo logaritmo, mentre il secondo è integrabile come arcotangente (caso precedente)

c3

1x2arctg

32

25

|1xx|ln21 2 ++⋅+++=

c3

1x2arctg

35

)1xxln(21 2 +++++=


Metodo di integrazione per sostituzione

∫ dx)x(f

1) Si pone x = g(t) (continua e invertibile) oppure t = g -1 (x) 2) Si calcola il differenziale dt)t('gdx =

3) Si sostituisce dt)t('g))t(g(fdx)x(f ⋅=∫

4) Si scrive prima il risultato dell’integrale nella variabile t e successivamente nella variabile x.

Esempi.

� ∫ =+

dxx1

1 pongo tdt2dxtxxt 2 =⇒=⇒=

∫ ∫ +=⋅

+= dt

t1t2

tdt2t1

1 effettuo la divisione tra polinomi


Quindi ricordo che

)x(B)x(R

)x(Q)x(B)x(A +=

1t

22

1tt2

+−=

+

∫ ∫ ∫ =++−=+

−=

+

−= c|1t|ln2t2dtt1

12dt2dt

1t2

2

c)1xln(2x2c|1x|ln2x2 ++−=++−=

� ∫ =+dx

xe1 x

pongo tdt2dxtxxt 2 =⇒=⇒=

( )∫ ∫ ∫ ∫ =++=+=+=⋅+= ce2t2dte2dt2dte22tdt2te1 ttt

t

ce2x2 x ++=

2t t+1

2 -2t-2

-2


� ∫+

+dx

1e

eex2

xx2 pongo dt

t1

dxtlnxet x =⇒=⇒=

∫ ∫ ∫ ∫∫∫+

++

=+

+=⋅++=⋅

++=

++

dt1t

1dt

1t

tdt

1t

1tdt

t1

1t

)1t(tdt

t1

1t

ttdx

1e

ee22222

2

x2

xx2

∫ ∫ =+++=+

++

= c)t(arctg)1tln(21

dt1t

1dt

1t

t221 2

22

c)e(arctg)1eln(21 xx2 +++=

� =−∫ dx1ex pongo 1et1et x2x −=⇒−=

)1tln(x1te 22x +=⇒+=

dt1t

t2dx

2 +=


∫∫∫∫+

=+

=+

⋅=− dt1t

t2dt

1t

t2dt

1t

t2tdx1e

2

2

2

2

2x

devo riscrivere il numeratore in modo da poter spezzare la frazione riconducendo ad integrali immediati

∫ ∫ ∫ +−=+

−++=

+−+= c)t(arctg2t2dt

1t

12dt

1t

1t2dt

1t

11t2

22

2

2

2

c)1e(arctg21e2 xx +−−−=

� Un particolare integrale risolubile con sostituzione

∫ − dxx1 2 pongo sentx = nell’intervallo

ππ−2

;2

in

modo che la funzione seno risulti invertibile )xarcsin(t =

dttcosdx = con 0tcos > nell’intervallo considerato


Sostituisco =⋅=⋅−=− ∫∫∫ dttcostcosdttcostsen1dxx1 222

Nell’intervallo di invertibilità della funzione seno, il coseno è sempre positivo, pertanto

∫ ∫ ∫+==⋅= dt

2t2cos1

dttcosdttcostcos 2

Attenzione: Abbiamo applicato la formula di bisezione del coseno

2t2cos1

tcos2cos1

2cos

+±=⇒α+±=α

ma 0tcos > quindi

2t2cos1

tcos2

t2cos1tcos 2 +=⇒

+=

Pertanto, ritornando all’integrale,

∫ ∫ ∫ ∫ ++=⋅+=+= ct2sen41

2t

dtt2cos221

21

dt21

dt2

t2cosdt

21

ctcossent241

2t +⋅+=

formula di duplicazione del seno: αα=α cossen22sen


Inoltre: sentx = quindi )xarcsin(t = e 22 x1tsen1tcos −=−=

Quindi: cx1x21

xarcsin21

dxx1 22 +−+=−∫

Generalizzando tale integrale e svolgendo un procedimento analogo con la posizione asentx = si ottiene che:

cxax21

ax

arcsin2a

dxxa 222

22 +−+=−∫

Esempio.

cx9x21

3x

arcsin29

dxx9 22 +−+=−∫


Metodo di integrazione per parti Si considerino due funzioni f(x) e g(x) derivabili con derivata continua in un intervallo [a;b]. Se si considera la derivata del loro prodotto si ottiene:

)x('g)x(f)x(g)x('f)]'x(g)x(f[ +=⋅ Integrando ambo i membri si ha che:

dx])x('g)x(f)x(g)x('f[dx)]'x(g)x(f[ ∫∫ +=⋅

dx)x('g)x(fdx)x(g)x('fdx)]'x(g)x(f[ ∫ ∫∫ +=⋅

Isoliamo ∫ dx)x('g)x(f si ottiene la formula di integrazione per parti

∫ ∫−= dx)x(g)x('f)x(g)x(fdx)x('g)x(f


Tale formula è utile nel caso in cui si possa pensare la funzione integranda come composta di due fattori, un fattore finito e un fattore differenziale. Di norma si seguono le seguenti indicazioni:


� ∫ dxxlnx considero

2x

gx'g

x1

'fxlnf

2=⇒=

=⇒=

c21

xln2x

c2x

21

xln2x

dxxx1

21

cxln2x

dxxlnx222

22

+

−=+−=⋅−+= ∫∫

� ∫ dxxsenx considero xcosgsenx'g

1'fxf

−=⇒==⇒=

∫∫ ++−=−−−= csenxxcosxdxxcosxcosxdxxsenx


Esercizi svolti in aula

� ∫+−

−dx

3x2x

1x22

� ∫ xdxlnx3 dxxcos∫

� ∫ + dx)e1ln(e xx2 (Esame 19/07/12)

� ∫ + dxarctgx)1x2( ∫+− dxe)1x( 1x2

� dxsenxex ∫

� ∫ +−

dx3x

2x ∫ ++ 3x2)2x(

dx

Esercizi consigliati per esercitazioni

� ∫ + dx4xlnx

� ∫ dx)xcos(ln

(Si suggerisce di svolgere gli integrali indefiniti di riepilogo presenti su un buon libro di scuole superiori)

PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE. INTEGRALE INDEFINITO....

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