1

SREDNJE VRIJEDNOSTI Srednja vrijednost je vrijednost statistikog obiljeja oko koje se grupiraju podaci statistikog niza. Dijele se na:

a) aritmetika sredina, b) geometrijska sredina, c) harmonijska sredina. d) mod, e) medijan.

2

Aritmetika sredina

negrupirani statistiki numeriki niz - rauna se jednostavna aritmetika sredina:

NXXX

N

XX N

N

ii +++

=

= =...211

grupirani statistiki numeriki niz - rauna se sloena, vagana ili ponderirana aritmetika sredina:

Nxfxfxf

fffxfxfxf

f

xfX kk

k

kkk

ii

k

iii +++

=++++++

=

=

=

= ......... 2211

21

2211

1

1

relativne frekvencije su upravno

proporcionalne apsolutnim frekvencijama:

k

kkk

ii

k

iii

frfrfrxfrxfrxfr

fr

xfrX

++++++

=

=

=

=

......

21

2211

1

1

3

Primjer Statistiki skup "zaposlene ene u graevinarstvu u RH, 31. 03. 2002. godine" promatran prema neprekidnom numerikom obiljeju "starost" dan je u tablici. Zadatak je izraunati aritmetiku sredinu. Tablica 3.5. Zaposlene ene u graevinarstvu u RH, 31. 03. 2002.

godine Starost

xi Broj ena

fi

Sredina razreda

xi

fixi

(18)-25 597 21,5 12835,5 25-30 1042 27,5 28655,0 30-35 1113 32,5 36172,5 35-40 1355 37,5 50812,5 40-45 1691 42,5 71867,5 45-50 1436 47,5 68210,0 50-65 977 57,5 56177,5

Ukupno: 8211 - 324731,0 Izvor: Statistiki ljetopis Republike Hrvatske, 2003. godine, str. 142.

55,398211

324731......

721

7722117

1

7

1 ==++++++

=

=

=

=

fffxfxfxf

f

xfX

ii

iii

god

Dakle aproksimativno, prosjena starost ena zaposlenih u graevinarstvu RH, (stanje 31.03.2004. god.) je 39,55 godina.

4

Aritmetika sredina zadovoljava slijedee kriterije:

a) maxmin xXx

b) 0)(1

=-=

XxN

ii , za negrupirani niz

0)(1

=-=

Xxf ik

ii , za grupirani niz

c) 21

2

1)()( axXx

N

ii

N

ii --

==, za negrupirani niz

2

1

2

1)()( axfXxf i

k

iii

k

ii --

==, za grupirani niz

5

Harmonijska sredina

Harmonijska sredina je reciprona vrijednost aritmetike sredine recipronih vrijednosti numerikog obiljeja u jednom nizu.

negrupirani statistiki numeriki niz - rauna se jednostavna harmonijska sredina:

=

=

==

N

i i

N

i i x

N

Nx

H

11

111

grupirani statistiki numeriki niz - rauna se sloena ili vagana harmonijska sredina:

=

=

=

=

=

=

k

i i

i

k

ii

k

ii

k

i i

i

xf

f

f

xfH

1

1

1

1

1

Specifino podruje njene primjene je izraunavanje srednjih vrijednosti relativnih brojeva koordinacije.

srednja vrijednost relativnih brojeva koordinacije:

=

=

=k

ii

k

ii

B

AR

1

1

6

mogue 3 situacije: a) Ako su dostupni podaci o relativnom broju

koordinacije (Ri) i o veliini s kojom se usporeuje veliina iz brojnika (Bi), srednja vrijednost (R ) e se izraunati pomou izraza za sloenu ili vaganu aritmetiku sredinu:

=

=

=k

ii

k

iii

B

BRR

1

1

veliina iz brojnika: ik

ii

k

ii BRA =

== 11.

b) Ako su dostupni podaci o relativnom broju

koordinacije (Ri), bez informacija o veliinama u brojniku (Ai) i nazivniku (Bi), srednju vrijednost R nije mogue izraunati.

c) Ako su dostupni podaci o relativnom broju

koordinacije (Ri) i o veliini koja se usporeuje (Ai), srednja vrijednost (R ) e se izraunati pomou izraza za sloenu ili vaganu harmonijsku sredinu:

=

=

=

k

i i

i

k

ii

RA

AR

1

1

veliina iz nazivnika: ===

k

iii

k

ii RAB

11.

7

Primjer Za nekoliko odabranih fakulteta u RH dani su podaci o broju studenata i broju studenata po 1 nastavniku u akademskoj godini 2002/03. Zadatak je izraunati prosjean broj studenata po 1 nastavniku za sve promatrane fakultete zajedno, odnosno prosjek relativnih brojeva koordinacije ( R ). Tablica

Broj studenata i broj studenata po 1 nastavniku u nekim odabranim fakultetima, u RH u akademskoj

godini 2002/03. Fakulteti Broj

studenata (Ai)

Broj studenata po 1 nastavniku

(Ri)

Broj nastavnika (Ai/Ri)=Bi

PMF 3238 11,647 278 Graevinski fakulteti

2480 8,702 285

Fakult. el. stroj. i brod.

7603 10,205 745

Medicinski fakulteti

3116 3,723 837

Ekonomski fakulteti

12217 36,038 339

Ukupno: 28654 70,316 2484 Izvor: Statistiki ljetopis Republike Hrvatske, 2003. godine, str. 447, 448, 450.

5354,11248428654

1

1

1

1 ==

=

=

=

=

=

=

k

i i

i

k

ii

k

i i

i

k

ii

RA

AR

xf

fH

8

Medijan

Medijan je vrijednost statistikog obiljeja koja statistiki niz dijeli na dva jednaka dijela.

Kod negrupiranog, a ureenog niza (po veliini vrijednosti obiljeja), medijan je vrijednost obiljeja koja pripada elementu statistikog niza koji se nalazi u sredini niza. Za paran broj elemenata statistikog niza za medijan se uzima jednostavan prosjek vrijednosti obiljeja dvaju lanova koji se nalaze na sredini statistikog niza.

Ako je statistiki niz grupiran u razrede: -izraunati frekvencije kumulativnog niza "manje od" - trai se prva frekvencija niza "manje od" koja sadri 2N . Razred koji odgovara ovoj frekvenciji kumulativnog niza "manje od" je medijalni razred. - Ako su veliine razreda obiljeja jednake 1, vrijednost obiljeja koja odgovara odabranoj frekvenciji kumulativnog niza je medijan.

9

- Ako su veliine razreda obiljeja razliite od 1, medijan se rauna po izrazu:

if

fN

LMemed

m

ii

-

+= =112 ,

gdje je:

1L - donja prava ili precizna granica medijalnog razreda, 2N - polovina elemenata statistikog niza,

=

m

iif

1- zbroj svih apsolutnih frekvencija do medijalnog

razreda, ne ukljuujui medijalni razred,

medf - apsolutna frekvencija medijalnog razreda, i- veliina medijalnog razreda.

10

Primjer Statistiki skup "sklopljeni brakovi u RH u 2002. godini" prema kontinuiranom numerikom obiljeju "starost nevjeste", prikazan je u tablici. Zadatak je izraunati medijan, odnosno starost nevjeste koja promatrani statistiki niz dijeli na dva jednaka dijela. Tablica 3.3.

Sklopljeni brakovi u RH u 2002. godini prema starosti nevjeste

Starost nevjeste

Sklopljeni brakovi

Kumulativni niz

"manje od"

Veliine razreda

Xi fi i 15-20 2263 2263 5 20-25 8661 10924 5 25-30 6895 17819 5 30-35 2446 20265 5 35-45 1456 21721 10

45-(80) 1073 22794 35 Ukupno: 22794 - - Izvor: Statistiki ljetopis Republike Hrvatske,2003. godine, str. 120.

34,2556895

1092411397252 11 =-

+=-

+= = if

fN

LMemed

m

ii

11

Kvantili

Kvantili su vrijednosti statistikog obiljeja koje statistiki niz dijele na q jednakih dijelova.

Kvartili su vrijednosti statistikog obiljeja koje statistiki niz dijele na 4 jednaka dijela. Kvartili se mogu podijeliti na:

a) donji kvartil (Q1) i b) gornji kvartil (Q3) .

Donji kvartil dijeli statistiki niz na etiri jednaka dijela u omjeru 1:3, odnosno 25% elemenata statistikog skupa ima vrijednost obiljeja manju od donjeg kvartila, a 75% elemenata statistikog skupa ima vrijednost obiljeja veu od donjeg kvartila.

Gornji kvartil dijeli statistiki niz na etiri jednaka

dijela u omjeru 3:1, odnosno 75% elemenata statistikog skupa ima vrijednost obiljeja manju od donjeg kvartila, a 25% elemenata statistikog skupa ima vrijednost obiljeja veu od gornjeg kvartila.

12

Ako je statistiki niz grupiran u razrede i ako su veliine razreda obiljeja razliite od 1, donji kvartil se rauna po izrazu:

if

fN

LQtk

q

ii

-

+= =

var

111

4,

- gornji kvartil se rauna po izrazu:

if

fN

LQtk

q

ii

-

+= =

var

113

43

,

13

Primjer Statistiki skup "sklopljeni brakovi u RH u 2002.

godini" prema kontinuiranom numerikom obiljeju "starost nevjeste", prikazan je u tablici 3.4.. (ve je prezentiran u primjeru 3.3.2.). Zadatak je izraunati donji i gornji kvartil. Tablica 3.3.

Sklopljeni brakovi u RH u 2002. godini prema starosti nevjeste

Starost nevjeste

Sklopljeni brakovi

Kumulativni niz

"manje od"

Veliine razreda

Xi fi i 15-20 2263 2263 5 20-25 8661 10924 5 25-30 6895 17819 5 30-35 2446 20265 5 35-45 1456 21721 10

45-(80) 1073 22794 35 Ukupno: 22794 - - Izvor: Statistiki ljetopis Republike Hrvatske,2003. godine, str. 120.

5,56984

227944

==N

.

98,2158661

22635,5698204var

111 =

-+=

-+= = i

f

fN

LQtk

q

ii

5,170954

2279434

3=

=

N.

48,2956895

109245,170952543

var

113 =

-+=

-+= = i

f

fN

LQtk

q

ii

14

Mod

Mod je vrijednost statistikog obiljeja koja se najee javlja u nekom nizu, tj. vrijednost obiljeja kojoj pripada najvea frekvencija.

moe se primijeniti na kvalitativne i kvantitativne statistike nizove, a spada u poloajne srednje vrijednosti.

kod nominalnih obiljeja mod se odreuje brojanjem.

15

Primjer Statistiki skup "prodane cipele u prodavaonici "K" na dan 05.05. 2004. god." grupiran je prema nominalnom obiljeju "boja". Modaliteti ovog obiljeja su: crna (C), bijela (B), roza (R), smea (S). Zadatak je odrediti mod. Ureeni podaci dobiveni evidencijom na odreeni dan su: C C C C C B R R R S

bojacrnaMo = . Statistiki niz grupiran u razrede prikazan je u tablici. Tablica Prodane cipele u prodavaonici "K" na dan 05.05. 2004. god. prema boji

Boja cipela

Broj prodanih

cipela Xi fi

crna 5 bijela 1 roza 3

smea 1 Ukupno: 10 Izvor: Evidencija prodavaonice "K", svibanj 2004. godine

najvea apsolutna frekvencija: 5max =f . bojacrnaMo = .