1
SREDNJE VRIJEDNOSTI Srednja vrijednost je vrijednost statistikog obiljeja oko koje se grupiraju podaci statistikog niza. Dijele se na:
a) aritmetika sredina, b) geometrijska sredina, c) harmonijska sredina. d) mod, e) medijan.
2
Aritmetika sredina
negrupirani statistiki numeriki niz - rauna se jednostavna aritmetika sredina:
NXXX
N
XX N
N
ii +++
=
= =...211
grupirani statistiki numeriki niz - rauna se sloena, vagana ili ponderirana aritmetika sredina:
Nxfxfxf
fffxfxfxf
f
xfX kk
k
kkk
ii
k
iii +++
=++++++
=
=
=
= ......... 2211
21
2211
1
1
relativne frekvencije su upravno
proporcionalne apsolutnim frekvencijama:
k
kkk
ii
k
iii
frfrfrxfrxfrxfr
fr
xfrX
++++++
=
=
=
=
......
21
2211
1
1
3
Primjer Statistiki skup "zaposlene ene u graevinarstvu u RH, 31. 03. 2002. godine" promatran prema neprekidnom numerikom obiljeju "starost" dan je u tablici. Zadatak je izraunati aritmetiku sredinu. Tablica 3.5. Zaposlene ene u graevinarstvu u RH, 31. 03. 2002.
godine Starost
xi Broj ena
fi
Sredina razreda
xi
fixi
(18)-25 597 21,5 12835,5 25-30 1042 27,5 28655,0 30-35 1113 32,5 36172,5 35-40 1355 37,5 50812,5 40-45 1691 42,5 71867,5 45-50 1436 47,5 68210,0 50-65 977 57,5 56177,5
Ukupno: 8211 - 324731,0 Izvor: Statistiki ljetopis Republike Hrvatske, 2003. godine, str. 142.
55,398211
324731......
721
7722117
1
7
1 ==++++++
=
=
=
=
fffxfxfxf
f
xfX
ii
iii
god
Dakle aproksimativno, prosjena starost ena zaposlenih u graevinarstvu RH, (stanje 31.03.2004. god.) je 39,55 godina.
4
Aritmetika sredina zadovoljava slijedee kriterije:
a) maxmin xXx
b) 0)(1
=-=
XxN
ii , za negrupirani niz
0)(1
=-=
Xxf ik
ii , za grupirani niz
c) 21
2
1)()( axXx
N
ii
N
ii --
==, za negrupirani niz
2
1
2
1)()( axfXxf i
k
iii
k
ii --
==, za grupirani niz
5
Harmonijska sredina
Harmonijska sredina je reciprona vrijednost aritmetike sredine recipronih vrijednosti numerikog obiljeja u jednom nizu.
negrupirani statistiki numeriki niz - rauna se jednostavna harmonijska sredina:
=
=
==
N
i i
N
i i x
N
Nx
H
11
111
grupirani statistiki numeriki niz - rauna se sloena ili vagana harmonijska sredina:
=
=
=
=
=
=
k
i i
i
k
ii
k
ii
k
i i
i
xf
f
f
xfH
1
1
1
1
1
Specifino podruje njene primjene je izraunavanje srednjih vrijednosti relativnih brojeva koordinacije.
srednja vrijednost relativnih brojeva koordinacije:
=
=
=k
ii
k
ii
B
AR
1
1
6
mogue 3 situacije: a) Ako su dostupni podaci o relativnom broju
koordinacije (Ri) i o veliini s kojom se usporeuje veliina iz brojnika (Bi), srednja vrijednost (R ) e se izraunati pomou izraza za sloenu ili vaganu aritmetiku sredinu:
=
=
=k
ii
k
iii
B
BRR
1
1
veliina iz brojnika: ik
ii
k
ii BRA =
== 11.
b) Ako su dostupni podaci o relativnom broju
koordinacije (Ri), bez informacija o veliinama u brojniku (Ai) i nazivniku (Bi), srednju vrijednost R nije mogue izraunati.
c) Ako su dostupni podaci o relativnom broju
koordinacije (Ri) i o veliini koja se usporeuje (Ai), srednja vrijednost (R ) e se izraunati pomou izraza za sloenu ili vaganu harmonijsku sredinu:
=
=
=
k
i i
i
k
ii
RA
AR
1
1
veliina iz nazivnika: ===
k
iii
k
ii RAB
11.
7
Primjer Za nekoliko odabranih fakulteta u RH dani su podaci o broju studenata i broju studenata po 1 nastavniku u akademskoj godini 2002/03. Zadatak je izraunati prosjean broj studenata po 1 nastavniku za sve promatrane fakultete zajedno, odnosno prosjek relativnih brojeva koordinacije ( R ). Tablica
Broj studenata i broj studenata po 1 nastavniku u nekim odabranim fakultetima, u RH u akademskoj
godini 2002/03. Fakulteti Broj
studenata (Ai)
Broj studenata po 1 nastavniku
(Ri)
Broj nastavnika (Ai/Ri)=Bi
PMF 3238 11,647 278 Graevinski fakulteti
2480 8,702 285
Fakult. el. stroj. i brod.
7603 10,205 745
Medicinski fakulteti
3116 3,723 837
Ekonomski fakulteti
12217 36,038 339
Ukupno: 28654 70,316 2484 Izvor: Statistiki ljetopis Republike Hrvatske, 2003. godine, str. 447, 448, 450.
5354,11248428654
1
1
1
1 ==
=
=
=
=
=
=
k
i i
i
k
ii
k
i i
i
k
ii
RA
AR
xf
fH
8
Medijan
Medijan je vrijednost statistikog obiljeja koja statistiki niz dijeli na dva jednaka dijela.
Kod negrupiranog, a ureenog niza (po veliini vrijednosti obiljeja), medijan je vrijednost obiljeja koja pripada elementu statistikog niza koji se nalazi u sredini niza. Za paran broj elemenata statistikog niza za medijan se uzima jednostavan prosjek vrijednosti obiljeja dvaju lanova koji se nalaze na sredini statistikog niza.
Ako je statistiki niz grupiran u razrede: -izraunati frekvencije kumulativnog niza "manje od" - trai se prva frekvencija niza "manje od" koja sadri 2N . Razred koji odgovara ovoj frekvenciji kumulativnog niza "manje od" je medijalni razred. - Ako su veliine razreda obiljeja jednake 1, vrijednost obiljeja koja odgovara odabranoj frekvenciji kumulativnog niza je medijan.
9
- Ako su veliine razreda obiljeja razliite od 1, medijan se rauna po izrazu:
if
fN
LMemed
m
ii
-
+= =112 ,
gdje je:
1L - donja prava ili precizna granica medijalnog razreda, 2N - polovina elemenata statistikog niza,
=
m
iif
1- zbroj svih apsolutnih frekvencija do medijalnog
razreda, ne ukljuujui medijalni razred,
medf - apsolutna frekvencija medijalnog razreda, i- veliina medijalnog razreda.
10
Primjer Statistiki skup "sklopljeni brakovi u RH u 2002. godini" prema kontinuiranom numerikom obiljeju "starost nevjeste", prikazan je u tablici. Zadatak je izraunati medijan, odnosno starost nevjeste koja promatrani statistiki niz dijeli na dva jednaka dijela. Tablica 3.3.
Sklopljeni brakovi u RH u 2002. godini prema starosti nevjeste
Starost nevjeste
Sklopljeni brakovi
Kumulativni niz
"manje od"
Veliine razreda
Xi fi i 15-20 2263 2263 5 20-25 8661 10924 5 25-30 6895 17819 5 30-35 2446 20265 5 35-45 1456 21721 10
45-(80) 1073 22794 35 Ukupno: 22794 - - Izvor: Statistiki ljetopis Republike Hrvatske,2003. godine, str. 120.
34,2556895
1092411397252 11 =-
+=-
+= = if
fN
LMemed
m
ii
11
Kvantili
Kvantili su vrijednosti statistikog obiljeja koje statistiki niz dijele na q jednakih dijelova.
Kvartili su vrijednosti statistikog obiljeja koje statistiki niz dijele na 4 jednaka dijela. Kvartili se mogu podijeliti na:
a) donji kvartil (Q1) i b) gornji kvartil (Q3) .
Donji kvartil dijeli statistiki niz na etiri jednaka dijela u omjeru 1:3, odnosno 25% elemenata statistikog skupa ima vrijednost obiljeja manju od donjeg kvartila, a 75% elemenata statistikog skupa ima vrijednost obiljeja veu od donjeg kvartila.
Gornji kvartil dijeli statistiki niz na etiri jednaka
dijela u omjeru 3:1, odnosno 75% elemenata statistikog skupa ima vrijednost obiljeja manju od donjeg kvartila, a 25% elemenata statistikog skupa ima vrijednost obiljeja veu od gornjeg kvartila.
12
Ako je statistiki niz grupiran u razrede i ako su veliine razreda obiljeja razliite od 1, donji kvartil se rauna po izrazu:
if
fN
LQtk
q
ii
-
+= =
var
111
4,
- gornji kvartil se rauna po izrazu:
if
fN
LQtk
q
ii
-
+= =
var
113
43
,
13
Primjer Statistiki skup "sklopljeni brakovi u RH u 2002.
godini" prema kontinuiranom numerikom obiljeju "starost nevjeste", prikazan je u tablici 3.4.. (ve je prezentiran u primjeru 3.3.2.). Zadatak je izraunati donji i gornji kvartil. Tablica 3.3.
Sklopljeni brakovi u RH u 2002. godini prema starosti nevjeste
Starost nevjeste
Sklopljeni brakovi
Kumulativni niz
"manje od"
Veliine razreda
Xi fi i 15-20 2263 2263 5 20-25 8661 10924 5 25-30 6895 17819 5 30-35 2446 20265 5 35-45 1456 21721 10
45-(80) 1073 22794 35 Ukupno: 22794 - - Izvor: Statistiki ljetopis Republike Hrvatske,2003. godine, str. 120.
5,56984
227944
==N
.
98,2158661
22635,5698204var
111 =
-+=
-+= = i
f
fN
LQtk
q
ii
5,170954
2279434
3=
=
N.
48,2956895
109245,170952543
var
113 =
-+=
-+= = i
f
fN
LQtk
q
ii
14
Mod
Mod je vrijednost statistikog obiljeja koja se najee javlja u nekom nizu, tj. vrijednost obiljeja kojoj pripada najvea frekvencija.
moe se primijeniti na kvalitativne i kvantitativne statistike nizove, a spada u poloajne srednje vrijednosti.
kod nominalnih obiljeja mod se odreuje brojanjem.
15
Primjer Statistiki skup "prodane cipele u prodavaonici "K" na dan 05.05. 2004. god." grupiran je prema nominalnom obiljeju "boja". Modaliteti ovog obiljeja su: crna (C), bijela (B), roza (R), smea (S). Zadatak je odrediti mod. Ureeni podaci dobiveni evidencijom na odreeni dan su: C C C C C B R R R S
bojacrnaMo = . Statistiki niz grupiran u razrede prikazan je u tablici. Tablica Prodane cipele u prodavaonici "K" na dan 05.05. 2004. god. prema boji
Boja cipela
Broj prodanih
cipela Xi fi
crna 5 bijela 1 roza 3
smea 1 Ukupno: 10 Izvor: Evidencija prodavaonice "K", svibanj 2004. godine
najvea apsolutna frekvencija: 5max =f . bojacrnaMo = .