1. Prove that:

and give examples to show that either inequality may

be an equality.

(Cauchy-Schwarz inequality) and

generalize it to n terms, that is,

2. Represent the following numbers in trigonometric and exponential forms.

3. Resuelva

satisfies the Cauchy–Riemann equations at z = 0 but is not differentiable there.

satisfies the Cauchy–Riemann equations at every point of the plane without being analytic in the whole plane.

4. Use Cauchy’s Theorem to show that the following integrals are zero.

5. Evaluate the following integrals where the path C is taken counterclockwise.

6. Comment about a problem in electronic engineering application where the use of complex functions necessary rigorously justified.

DESARROLLO

1. Demostrar

a)

SOLUCION:

Sabemos por números complejos que:

Entonces:

Finalmente demostramos que:

b) Y dar ejemplos para mostrar que, o bien la desigualdad puede ser una igualdad.

SOLUCION:

Si:

Elevamos al cuadrado en ambos lados:

Y como :

Sumamos a cada lado :

Sacando raíz cuadrado a ambos lados , abremos demostrado que:

c) (Cauchy-Schwarz desigualdad) y generalizar a n

términos, es decir,

SOLUCION:

Sea:

Como:

Entonces:

Operando:

Además:

Demostramos que:

Deneralizando en términos de n :

Sea:

; ;

;

Finalmente demostramos en términos de “n” que :

d)

SOLUCION:

Por el teorema de moivre:

Entonces:

Donde:

Para:

Reemplazando:

Tenemos que :

Por lo tanto demostramos que:

2.Representar los siguientes números en formas trigonométricas y exponenciales.

a)

SOLUCION:

Racionalizando:

;

Por potencia de complejo, tenemos:

Forma exponencial:

Forma trigonométrica:

b)

SOLUCION:

;

Por potencia de complejo, tenemos:

Forma exponencial:

Forma trigonométrico:

c)

SOLUCION:

Racionalizando :

;

Forma exponencial:

Forma trigonométricas:

d)

SOLUCION:

;

forma exponencial:

forma trigonometrica:

3. Resulva:

a) Mostrar que satisface las ecuaciones de cauchy-riemann en z=0,pero no es diferenciable allí.

SOLUCION:

sea:

Entonces tenemos:

Analizaremos si existe :

,

b) probar que la función satisface las ecuaciones de Cauchy-

Riemann en cada punto del plano sin ser analítica en todo el plano

SOLUCION:

:

c) Encontrar todas las soluciones posibles de la siguiente ecuación cosh z=¿2 i¿

SOLUCION:

Dónde: y

Sabemos que: y

4. Utilice el teorema de cauchy para mostrar que las siguientes integrales son cero:

a) ,donde C es la unidad de círculo.

SOLUCION:

Graficando:

ℂ es un conjunto simplemente conexo,y C es

un entorno cerrado simple contenido en ℂ.Solo nos quedaria demostrar que es analítica.

Si una funcion es derivable entonces es analitica .

Demostrando que es derivable :

Partiendo de:

…………… (1)

……………(2)

Hacemos:

……….. (a)

………… (b)

………… (c)

Entonces:

En (2):

….. (3)

Reemplazando (b) en (3) :

De (1) tenemos que:

…. (4)

Reemplazando (a) y (c) en (4):

Finalmente demostramos que es derivable, entonces queda demostrado que es analítica por lo tanto se cumple el teorema de cauchy.

b) ,donde c es el cuadrado con vértices en , , ,

SOLUCION:

Graficando:

Si una función es derivable entonces es analítica

Demostrando que es derivable:

Sabemos que:Entonces si :

Dicha función es derivable, por lo tanto es analítica.Se cumple el teorema de cauchy

c) ,donde C es la unidad de círculo,

SOLUCION:

Tenemos , en el cual el dominio R de Z es Como R no es un conjunto simplemente conexo,tomamos un conjunto D que sea conexo y que pertenzca al dominio de f y que contenga a C; como C es un conjunto cerrado solo nos queda

demostrar que es analitica. Si una funcion es derivable entonces es analitica

Demostrando que es derivable Graficando:

Sabemos que:

Entonces si:

𝑑𝑖𝑐ℎ𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒,𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑆𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑢𝑐ℎ𝑦

d) ,donde C es la unidad de círculo,

SOLUCION:

Tenemos , en el cual el dominio R de Z es

Graficando:

Como R no es un conjunto simplemente conexo,tomamos un conjunto D que sea conexo y que pertenzca al dominio de f y que contenga a C; como C es un conjunto cerrado solo nos

queda demostrar que es analitica.

Si una funcion es derivable entonces es analítica.

Demostrando que es derivable :

Sabemos que:

Entonces si:

𝑑𝑖𝑐ℎ𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒,𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑆𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑢𝑐ℎ𝑦

5. Evalue las siguientes integrales donde se toma la ruta C antihorario.

Resolveremos los problemas siguientes usando el teorema del residuo.

Demostración:

Sea una función analítica y univoca en el interior y dentro de una curva C, excepto en las

singularidades en el interior de C, las cuales tienen residuos dados por

De este modo, el teorema del residuo establece que:

Donde:

a−1=limz→ a

1(k−1 ) !

dk−1

d zk−1 {( z−a )k f (z )}

Si k=1 (polo simple), la fórmula es aún más sencilla y está dada por:

a−1=limz→ a

( z−a ) f (z)

Que es un caso especial 0 !=1

De este modo, es decir, la integral de a lo largo de C es 2πi veces la suma de los residuos de

en las singularidades contenidas en C. El teorema de Cauchy y las formulas integrales son casos especiales de este teorema.

a) ,cuando C es el circulo

SOLUCIÓN:

Resolveremos los problemas siguientes usando el teorema del residuo.

En el caso de nuestro ejercicio analizamos los polos los cuales serían Z=-3 y Z=1

Sin embargo solo Z=1 está dentro de C ya que la circunferencia que está en el origen de radio 2 va de -2 a 2, por lo que Z=-3 no pertenece y su integral seria 0.

;

Donde:

Los polos de la función serian:

Ambos de orden 1.

El residuo en :

limz→−3

¿

Pero z=−3 pertenece a C.

Por lo tanto es cero.

El residuo en :

limz→ 1

¿

Por lo tanto:

b) ,cuando C es el cuadrado de los vértices: , ,

,

SOLUCION:

z1=0 z2=2 z3=2+2 i z4=2i

0≤ zx≤2 0≤ z y≤2i

z1=−3 z2=3+3√3 i2

z3=3−3√3 i2

z4=i

El residuo es z=i

limz→ i

( z−i ) 1+z2

( z+3 )(z−3+3√3i2 )( z−3−3√3i

2 ) ( z−i )=0

Por lo tanto:

C) cuando C es el circulo

SOLUCION:

Por el teorema del residuo:

Los polos de la función son:

Ambos de orden 1.

El residuo en

limz→−2

( z+2 ) z2cosz( z+2 ) ( z−2 )

=4cos (−2)

−4=−cos (2)

Pero no pertenece a C, por lo tanto es cero.

El residuo en

limz→2

( z−2 ) z2 cosz( z+2 ) (z−2 )

=4cos (2)4

=cos (2)

Por lo tanto:

c) cuando C es el circulo

SOLUCION:

0≤ z≤4

Por el teorema del residuo:

Los polos de la función son: z=−3 i z=3 i

Ambos de orden 1.

El residuo en z=−3 i no pertenece aC por lo tanto el residuoes cero .El residuo en z=3 i:

limz→3 i

( z−3 i ) ez ( z+4 )( z+3 i ) ( z−3 i )

=e3 i(3 i+4)6 i

Por lo tanto:

6. Comentario about ONU Problema en la Aplicación de Ingeniería Electrónica en el BSG de las Funciones complejas necesarias rigurosamente Justificado.

a) En el circuito mostrado calcular la corriente en el condensador, el voltaje en el bobina y las potencias aparente y activa de todo el circuito. (Đ es el argumento del numero complejo en forma polar).

SOLUCION:

Transformar la fuente Vf = 100V * Sen (10t); Vf = 100 0° V. Calcular impedancias para frecuencias de la fuente

w = 10 r/s Zc = -j (1 / w.c) = -j * 1/(10(r/s)*0.06F) = -j 1.66= 1.66 -90° ZR = R = 3Ω

ZL = j w L = j* 10 (r/s) * 0.4 H = j 4 = 4 90°

Circuito para análisis fasorial:

La corriente en el condensador se puede hallar:Aplicando la ley de Ohm:

Ic= Vc / Zc = Vf / Zc = (100 0° v)/(1.66 Ω -90°) = 100/1.66 (0° - (-90°)) A = 60A -90°

El voltaje en la bobina se puede hallar por divisor de voltaje:

VL = Vf*ZL /(ZR + ZL) = 100V 0° * 4 90°/(3 Ω + 4 Ω)

= 400 Ð (0 +90°) V Ω. /(5 Ω 53.1°)= 80 V (90° - 53.1°)

VL =80 V 36.9°Las respuestas obtenidas se pasan al dominio del tiempo.

Ic = 60 A 90° * ic = 60 A * Sen (10t + 90°)

VL = 80 v 90° * VL = 80 v * Sen (10t + 36.9°)

Como se conoce el voltaje de la fuente, para hallar la potencia necesitamos calcular toda la corriente que consume el circuito, podemos hallar la impedancia equivalente del circuito y con la Ley de Ohm hallar corriente total, o podemos calcular la corriente que va por la rama RL y sumarla a la corriente del condensador. De la segunda forma:

ZCL = ZR + ZL = 3+ j4= 5 Ω 53.1°Corriente en la rama RL:

IRL = VRL/ZRL = Vt/ZRL = 100V 0° /(5 53.1° )= 100A (0° - 53.1°)/5 = 20A - 53.1°

Aplicando la Ley de corrientes de Kirchhoff:

IT = Ic + IRC = 60A 90° + 20A -53.1°

Se transforma a cartesianas:

IT = j 60A + 12A - j 16A = 12 + j 44A = 45.6A 74.7°

En el dominio del tiempo: iT = 45.6A * sen (10t + 74.7°) Como el valor usado en la fuente es el valor pico, la respuesta de 45.6 A es la corriente pico, para calcular las potencias se necesitan los valores efectivos:

Vef = Vp/ = 100V/ = 70.7 VRMS

Ief = Ip/ = 45.A/ = 32.24 VRMS

Potencia aparente del circuito : S = Vef * Ief = 70.7 V*32.24A = 2279.7 VA Potencia efectiva del circuito : P = Vef * Ief * cos q

q es el ángulo de fase entre el voltaje y la corriente, el ángulo del voltaje es 0° y el de la corriente es 74.7°, entonces: P = 70.7 V * 32.24 A * cos (74.7°) = 607.5w

b) Si tenemos un generador sinusoidalV=10cos (ωt) de 10 voltios de amplitud y de una frecuencia de 10 kHz. en serie hay una inductancia de 10 mH y una resistencia de 1,2 k .Calculemos la corriente I que circula en el circuito: (en estos cálculos para no confundir la “i” compleja con la “I” de la intensidad de corriente, se le asigna el símbolo “j” al la unidad compleja.

SOLUCION:

I= VZ L+ZR

= VjωL+R

= 10

j 2π 103 .0 .01+1200

I= 101200+ j 628.3

=0.00654− j0.003424 A

Es necesaria la aplicación del cálculo con números complejos si se utiliza esta notación.El módulo de la corriente es:

I=| 101200+ j 628.3|=7.38mA

Como el valor de la tensión del generador que tomamos fue un valor pico (amplitud), el valor de la corriente obtenido también es un valor pico. La corriente eficaz es:

I=7.38√2

=5.22mA

La fase de la corriente es el argumento del número complejo:

Z I=10

1200+ j628.3

.

La corriente está en retardo de fase con respecto a la fase del generador. Eso es lógico, ya que el circuito es inductivo.Solo la resistencia disipa potencia:

La fracción aparece porque el valor de la corriente es el valor pico.La tensión entre los extremos de la resistencia es

V R=I .R=(0.00654− j 0.003424 ) .1200=7.84− j 4.109V pico

La tensión entre las extremidades de la inductancia es:V L= jωLI= j 628.3 (0.00654− j 0.003424 )=2.15+ j 4.109V