PREDICTIONS  

English  for  Scien/sts  Maria  Cris/na  Teodorani  

 

PREDICTIONS  

•  Will  +  base  form  à  predic9ons  based  on  some  (scien9fic)  evidence    

•  The  ac9on  poten9al  will  cause  the  signal  to  travel  across  the  axon.  

•  Will  +  base  form  à  predic9ons  based  on  hypothesis  (if  clause  1)  

•  If  the  companion  star  in  the  binary  is  close  enough  or  massive  enough,  it  will  begin  to  tear  the  outer  layers  of  the  red  giant  away.  

PREDICTIONS  

•  Be  going  to  +  base  form  à  predic9ons  based  on  stronger  (scien9fic)  evidence    

•  In  the  forma9on  of  NaCl,  Na  is  going  to  give  electrons  and  Cl  is  going  to  get  them.  

•  When  there  are  mul9ple  different  kind  of  alleles,  for  example  in  blood  types,  we  are  going  to  have  a  combina9on  between  co-­‐dominant  and  recessive  genes.    

PREDICTIONS  

•  Be  bound  to  +  base  form  à  predic9on  of  certainty  

•  Posi9vely  and  nega9vely  charged  par9cles  are  bound  to  a5ract  each  other.  

•  Possessing  two  different  alleles,  he  is  bound  to  be  a  heterozygous  genotype    

•  Get  is  also  possible:  •  The  molecule  is  bound  to  get  spli5ed  during  the  process  

PREDICTIONS  

•  Be  likely  to  +  base  form  à  predic9ons  of  probability  

•  Likelihood  à  probability  •  Which  of  these  elements  is  most  likely  to  be  a  good  conductor  of  electricity?  

•  These  are  the  orbitals  where  the  electron  is  most  unlikely  to  be  found.  

•  Spin  relaxa9on  is  likely  to  occur  in  these  processes.  

PREDICTIONS  •  May,  might,  could  à  regulate  the  degree  of  possibility  in  predic9on  of  events  

•  May  à  more  formal,  high  possibility  •  HMMs  may  be  employed  for  decoding  the  iden9ty  of  visual  s9muli  from  recorded  neuronal  spiking  ac9vi9es.  

•  The  electron  may  interact  with  the  electron  cloud,  resul9ng  in  a  small  angular  devia9on  

•  Bacteria  may  become  an9bio9c  resistant  through  muta9on  of  their  gene9c  material.  

PREDICTIONS  

•  The  next  stage  (on  a  temporale  line  corresponding  to  ti+1  )  may  involve…  

•  Here  the  predic9on  is  stronger,  we  have  material  enough  to  state  our  conclusions  

•  What  if  the  system  is  caho9c  (i.e.  logis9c  map,  atmosphere,  metastasis  diffusion,  etc.)?  

•  Predic9ons  rela9ve  to  state  ti+2    ?  •  What  if  there  is  also  more  than  one  possibility?  

PREDICTIONS  

•  Might  à  lower  possibility.  •  We  are  referring  to  a  ti+2  state  of  a  system    •   The  next  stage  might  involve  invasion,  breach  of  the  extracellular  membrane,  and  intravasa9on.    

•  As  for  incomplete  dominance,  where  no  trait  is  dominant,  you  might  have  mixing  or  blending  of  the  traits.  

PREDICTIONS  

•  The  hypothesis/predic9on  on  the  state  is  less  strong:  

•  If  we  consider  this  variable,  then  it  might  (well)  turn  out  that  ….  

•  We  might  (well)  consider  the  fact  that…  •  You  can  add  well  to  make  it  stronger  

PREDICTIONS  

•  Might  à  used  in  the  past  to  show  the  event  has  not  occurred.  

•  The  process  might  have  started  with  invasion  (àbut  it  did  not  turn  out  like  that).  

•  Might  à  hypothesis  when  the  situa9on  is  not  ‘real’:  

•  If  A  were  B,  it  might  do  that  (A  is  not  B)  à  here  may  is  not  possible  

•  If  A  had  been  B,  it  might  have  done  …  

PREDICTIONS  

•  May/might  as  well  à  the  only  thing  le\  to  do  •  We  are  arranging  the  system  so  that  electrons  may  pass  through  the  foils  of  copper  as  well.  

•  Try  as  +  subject  +  may/might  à  there  is  no  way  out  

•  Try  as  they  may  the  par9cles  will  never  follow  this  path.  

•  Try  as  they  might…  (same  thing  in  the  past).      

PREDICTIONS  

•  Could  à  remote  possibility,  predic9on  of  uncertainty    

•  Assuming  that  current  could  flow  out  of  the  posi9ve  terminal,  through  the  circuit  and  into  the  nega9ve  terminal  of  the  source  is  a  wrong  conven9on.  

•  Secondary  colonies  could  re-­‐metastasize  to  form  ter9ary  and  quaternary  colonies.  

PREDICTIONS  

•  Could  à  predic9ons  with  compara9ves  in  order  to  express  possibility  or  impossibility  

•  Here  poten9al  levels  could  be  higher  (not  may  or  might)  

•  The  point  could  not  be  worse  for  measuring  the  output  of  ….  

•  The  atom  could  gain  more  negaEve  par9cles  than  it  did  previously.  

PREDICTIONS  

•  Could  à  we  are  moving  further  in  9me,  our  predic9ons  are  less  and  less  strong  

•  At  this  level  the  effect  of  ….  could  be  ….  •  It  is  currently  unclear  if  secondary  colonies  could  re-­‐metastasize  to  form  ter9ary  and  quaternary  colonies  

PREDICTIONS  

•  Future  perfect  à  we  look  at  a  state  back  from  a  future  state  

•  In  three  steps  the  system  will  have  completed  its  cycle  

•  By  the  end  of  the  tenth  step  it  will  be  producing  energy  for  a  big  while.    

•  May,  might  and  could  are  also  possible  to  regulate  the  degree  of  probability  

PREDICTIONS  

•  Is/are  to  be  à  formal  disposi9ons  •  Par9cles  are  to  assemble  in  that  region  •  On  the  point  of  /about  to  à  immediatly  a\er  •  The  atom  is  on  the  point  of  yielding  one  electron  

•  At  this  level  the  signal  is  about  to  be  sent  

PREDICTIONS  

•  We  can  use  adverbs  to  reinforce  the  predic9on:  

•  Could  possibly  à  stronger  predic9on  •  Will  definitely  à  certainty  •  Will  probably  à  less  sure  •  Highly  likely  à  strongly  probable  •  Adjec9ves  are  also  possible:  •  May/might  well  à  stronger  predic9on  

EXERCISES  

•  Choose  any  topics  of  your  area  and  make  predic9ons  using  will,  going  to  and  the  future  perfect  (both  simple  and  con9nuous).  

•  Make  predic9ons  using  may/might  /could  for  sta9ng  events’  possibili9es  .  

•  Use  bound  to,  likely  to  and  other  future  expressions  to  build  appropriate  texts.  Use  adverbs  or  adjec9ves  to  reinforce  your  points.  

TEXT  BUILDING:  CANCER  (1)  

•  Let’s  consider  any  cells  of  any  9ssues  of  the  body;  as  that  9ssue  is  growing  the  cells  will  experience  mitosis  and  replicate  themselves  making  copies  of  each  other,  which  may  experience  mitosis  as  well;  as  soon  as  they  realize  the  neighborhood  is  becoming  too  crowded  they  will  undergo  contact  inhibi9on.  Some  of  them  will  experience  a  licle  defect  and  kill  themselves  –actually  they  are  kind  of  make  way  for  other  healthy  cells.    

CANCER  

•  The  cell  might  even  kill  itself  if  it  realizes  that  there  is  something  wrong.  There  is  actually  a  cellular  mechanism  for  this,  namely  apoptosis.  There  is  some  type  of  outside  influence  on  the  cell:  it  self-­‐recognizes  that  there  might  be  some  outer  damage  and  just  destroys  itself.  It  is  a  regular  circumstance,  even  when  there  is  a  muta9on.    

CANCER  

•  Even  when  muta9on  is  rela9vely  infrequent  in  certain  types  of  9ssues,  there  will  be  on  the  overall  a  hundred  billion  of  cells  experiencing  apoptosis  (and  so  new  cells)  per  day.  So  we  will  experience  a  lot  of  muta9ons.  One  of  the  muta9ons  may  keep  the  cell  from  destroying  itself,  another  muta9on  will  make  it  replicate  faster  than  its  neighbor,  so  that,  through  mitosis,  the  cell  is  bound  to  make  a  bunch  of  copies  of  itself.  

CANCER  

•  All  this  body  of  cells  is  going  to  be  essen9ally  defec9ve.  It  is  mostly  a  body,  a  big  lump  of  defec9ve  cells  called  neoplasm,  or  tumor.  If  this  lump  is  not  replica9ng  out  of  control,  a  lot  faster  than  its  neighbor  cells,  if  it  is  not  harming  the  environment,  we  will  call  it  a  benign  tumor,  which  essen9ally  means  a  harmless  one.  But  one  of  these  may  experience  another  muta9on  that  makes  it  go  like  crazy,  so  that  it  may  well  become  invasive,  breaking  the  DNA  replica9on  scheme.  

CANCER  

•  As  a  consequence,  muta9ons  become  more  frequent  un9l  one  of  these  muta9ons  will  allow  itself  to  break  off  to  travel  to  other  parts  of  the  body.  Once  infiltrated,  it  will  start  to  take  over  all  other  cells.  In  this  case  we  say  the  cell  has  metastasized.  They  are  known  as  cancer  cells.  Cancer  is  a  whole  class  of  muta9ons  where  the  cells  start  exhibi9ng  this  fast  invasive  growth  and  these  metastasis  because  of  DNA  replica9on.    

CANCER  

•  We  can  think  of  it  as  the  by-­‐product  of  broken  mitosis  or,  even  more  specifically,  broken  DNA  replica9on.  The  cell  starts  replica9ng  taking  over  resources  and  spreading  through  the  body.  If  every  malignancy  remained  at  its  ini9al  loca9on,  most  solid  cancers  could  be  treated  effec9vely  with  surgery.  

CANCER  (2)  

•  Metastasis,  or  the  spread  of  cancer  to  mul9ple  new  loca9ons,  however,  makes  it  increasingly  hard  to  track  and  remove  new  colonies  of  afflicted  cells.  Anyway,  an  unexpected  diversity  of  assumpEons  across  experts  has  lead  to  a  striking  lack  of  agreement  over  the  basic  stages  and  sequence  of  metastasis.  

CANCER  

•  The  en9re  process  could  possibly  follow  some  stages.    At  the  primary  stage,  an  individual  renegade  cell  may  become  malignant  and  begin  uncontrollable  prolifera9on:  it  will  learn  to  avoid  the  immune  system  and  an9-­‐growth  signals  and  form  the  ini9al  (primary)  tumor  with  access  to  its  own  blood  supply.  This  stage  might  be  followed  by  a  stage  of  detachment  (migra9on).  

CANCER  

•  Here  tumor  cells  will  get  disconnected  from  the  primary  colony  to  begin  their  journey  through  the  body.  The  next  stage  might  involve  invasion,  breach  of  the  extracellular  membrane  (ECM),  and  intravasa9on.  At  this  stage  the  cancer  cell  will  have  to  overcome  several  obstacles  to  ac9vely  reach  and  penetrate  the  wall  of  a  blood  or  lymph  vessel  (intravasa9on).    

CANCER  

•  In  so  doing  it  gains  access  to  the  body's  transport  system  that  will  carry  it  to  unaffected  9ssues.  Next,  blood  or  lymph  will  carry  the  cancer  cell  to  new  loca9ons—the  stage  of  migra/on  (transport).  The  extravasa/on  stage  may  be  considered  as  intravasa9on  in  reverse:  the  cancer  cell  will  escape  the  blood  or  lymph  vessel  that  has  carried  it  by  penetra9ng  its  wall  and  will  invade  the  new  organ  or  9ssue.    

CANCER  

•  This  stage  will  be  followed  by  coloniza/on  of  the  9ssue/organ  and  cell  prolifera/on.  Early  stages  of  this  infesta9on  may  be  described  as  micrometastasis,  or  forma9on  of  a  small  secondary  tumor,  usually  without  its  own  blood  supply  (no  angiogenesis  occurs  at  early  stages)  and  with  a  balance  of  prolifera9on  and  apoptosis.  

CANCER  

•  When  the  secondary  tumor  manages  to  ac9vate  growth  of  its  own  blood  vessels  (angiogenesis)  that  provide  small  colonies  with  sufficient  nutrients,  it  will  enter  the  stage  of  macrometastasis,  culmina9ng  in  the  growth  of  a  large  secondary  tumor.  It  is  currently  unclear  if  secondary  colonies  could  re-­‐metastasize  to  form  ter9ary  and  quaternary  colonies  (doced  line  indica9ng  a  cyclic  process).  

CANCER  

•  Describe  the  figure  below  making  predic9ons(3).  

MODELING  SEQUENCES  

•  The  concept  of  predictability  is  intrinsic  to  language  

•  In  English  language  predic9ons  can  be,  as  seen,  independent  of  or  dependent  on  the  9me  of  speaking,  at  any  point  on  a  temporal  axis  

•  The  same  idea  is  present  in  the  past  (past  simple/present  perfect/past  perfect)  

•  Can  we  model  temporal  sequences  to  quan9fy  real  world’s  varia9ons?  

MODELING  SEQUENCES  

•  Is  a  state  of  a  system    bound  to  depend,  for  instance,  on  the  immediately  prior  stage?    Do  transi9on  probabili9es  from  one  state  to  another  vary  across  the  sequence?  

•  Math  modeling,  numerical  methods  •  Dealing  with  caho9c  systems.      •  For  example  atmosphere  and  weather  forecas9ng,  chemical  reac9ons,  lasers,  par9cle  accelerators.  

MODELING  SEQUENCES  

•  Some9mes  we  are  not  able  to  solve  par9al  differen9al  equa9ons  analy9cally.  So  we  ini9alize  them  from  data  in  order  for  rates  of  change  to  be  determined.    

•  Rates  of  change  predict  the  state  of  the  system  a  short  9me  into  the  future  by  an  increment  in  9me,  or  step.    

MODELING  SEQUENCES  

•  In  order  to  find  new  rates  of  change  we  apply  the  equa9ons  to  this  new  state.  

•  The  new  rates  of  change  allow  us  to  make  predic9on  at  a  further  9me  step  into  the  future.    

•  The  length  of  this  procedure  depends  on  the  distance  between  the  points  on  a  (computa9onal)  grid.  

PREVIOUS  OUTCOMES  AND  PAST  TENSES  

•  ti-­‐1  :  present  perfect    •  The  past  event  is  relevant  to  the  present  state  (ti)  at  the  9me  of  speaking  (à  if  ti-­‐1  affects  ti  when  quan9ta9vely  measuring  it  or  qualita9vely  describing  it).  

•  The  immediately  previous  state  has  brought  about  a  change  in  the  actual  posi9on,  due  to….  

PREVIOUS  OUTCOMES  AND  PAST  TENSES  

•  Past  perfect:  the  past  event  has  already  happened  before  the  past  event  we  are  actually  considering.  We  want  to  emphasise,  for  instance,  the  way  ti-­‐2  had  effected    ti-­‐1  before  the  lacer  has  effected  ti  .  

•  Before  genng  into  the  previous  posi9on,  the  system  had  already  shown  a  similar  behaviour.  

PREVIOUS  OUTCOMES  AND  PAST  TENSES  

•  Dura9on:  present  perfect  conEnuous  •  We  want  to  emphasize  the  fact  that  a  variable  has  been  effec9ng  the  system  for  an  amount  of  9me.  

•  The  size  of  the  x  deriva9ve  has  been  modeling  the  trend  since  the  very  beginning  of  the  simula9on  

•  It  has  been  causing  this  effect  since  three  steps.  •  For  à  dura9on    •  Since  à  beginning  of  the  dura9on  

TENSE  PERCOLATE  

ti-­‐n   ti-­‐2     ti-­‐1   ti   ti+1   Ti+2     Ti+n  

Dura9on  forms  à  ti  

Past  perfect  

Present  perfect  

Time  of  speaking  

Will  May  

Might  Could  

Future  perfect  ti  ß  

EXERCISE  

•  Considering,  every  9me,  the  present  state  of  a  system,  write  a  250-­‐line  text  in  your  scien9fic  area  making  predic9ons  and,  at  the  same  9me,  referring  to  the  previous  events.  Compound  your  statements  forwards  and  backwards  so  as  to  produce  a  coherent  text.  Include  data  analysis  (equa9ons  and  graph)  and  write  an  appropriate  introduc9on  and  conclusion.  

READING  

•  When  trying  to  quan9ta9vely  embracing  the  massive  varia9on  in  the  natural,  or  real,  world  one  is  bound  to  tease  out  their  underlying  pacerns.  The  idea  of  expecta9on  is  then  going  to  be  vital  to  this  modeling  –that  is,  es9ma9on  of  (random)  probability  of  some  event.  The  expected  value  will  thus  converge  on  something,  or  the  ra9o  of  something  to  its  counterpart,  as  the  number  of  trials  increases.    

READING  

•  If  observa9on  of  all  events  be  con9nued  for  the  en9re  infinity,  it  will  be  no9ced  that  everything  in  the  world  is  governed  by  precise  ra9os  and  a  constant  law  of  change.  Since  also  the  probabili9es  away  from  averages  has  been  seen  to  follow  a  (binomial)  distribu9on,  the  concept  of  independence  may  well  be  made  for  a  basic  condi9on  when  dealing  with  large  numbers.    

READING  

•  This  essen9ally  means  that  outcome  of  previous  events  is  not  going  to  change  the  probability  of  future  events.  Anyway,  most  things  in  the  physical  world  are  dependent  on  prior  outcomes,  or  they  are  condi9oned    -­‐that  is,  they  are  depending  variables.  So  the  law  of  large  numbers  might  apply  the  depending  variables  as  well.  As  long  as  any  state  is  reachable,  when  running  in  a  sequence  we  will  get  equilibrium.    

READING  

•  No  macer  where  we  start,  once  we  begin  the  sequence,  the  number  of  9mes  we  visit  each  state  is  going  to  converge  to  some  specific  ra9os,  or  probability.  This  therefore  disproves  that  only  independent  events  could  converge  on  predictable  distribu9ons.  We  can  thus  model  sequences  of  random  events  using  states  and  transi9ons  between  states.  This  has  become  known  as  Markov  chain.    

READING  COMPREHENSION  

•  Answer  the  following  qes9ons  •  Are  pacerns  and  expecta9ons  going  to  be  connected?  In  what  way?  

•  In  what  way  does  independence  affect  probability?  

•  Why  and  in  what  way  can  we  model  sequences?  Refer  to  the  text  and  support  your  arguments  with  further  examples.  

MODELING(4)  

•  Since  metastasis  show  a  sequen9al  nature,  the  sequence  of  possible  metasta9c  events  may  be  modeled  with  a  Mathema9cal  code,  namely  the  simple  yet  powerful  Markov  chain.  Math  modeling  is  a  way  of  making  these  events  predictable.  Let’s  consider  an  ordered  sequence  of  random  variables  X0,  X1,  …,  XK,  which  correspond  to  the  sequence  of  events.  

MODELING  

•  Each  of  these  variables  will  take  values  (X0  =  x0,  X1  =  x1,  …,  Xk=  xk)  from  a  set  of  states  Σ  =  {1,  2,  …,  N}  that  may  correspond  to  the  expert  proposed  stages  of  metastasis  (e.g.,  primary  tumor,  detachment,  invasion,  etc).    

•  This  modeling  involves  condi9on  probabili9es.  

MODELING  

•  Markov  chains  are  o\en  described  by  a  sequence  of  directed  graphs  where  the  edges  of  graph  n  are  labeled  by  the  probabili9es  of  going  from  one  state  at  9me  n  to  the  other  states  at  9me  n+1,      

•  The  same  informa9on  is  represented  by  the  transi9on  matrix  from  9me  n  to  9me  n+1.  

•  (read  P(A|B)  as  “the  probability  of  A  given  B”)  

MODELING  

•  P(A|B)  is  the  probability  of  A  given  B  •  P(A|B)  is  the  probability  that  the  event  A  may  occur  given  the  fact  that  the  event  B  has  occurred.  

•  Or:  assumed  to  •  AssumpEons  ó  predicEons  ó  expectaEons  

MODELING  

•  We  could  noEce  that  a  Markov  chain  is  a  sequence  of  random  variables  X1,  X2,  X3,  ...  with  the  Markov  property,  namely  that,  given  the  present  state,  the  future  and  past  states  are  independent.  Formally,  

MODELING  

•  Thus,  the  sequence  of  random  variables  are  likely  to  follow  a  homogeneous  Markov  process  under  these  condi9on  probabili9es:  

         where  ρ  is  the  probability  that  malignancy  will  go  from  one  state  to  another  and  λ  may  be  assumed  as  a  the  vector  component.    

MODELING  

•  This  implies  that  each  metasta9c  stage  is  bound  to  depend  only  on  the  immediately  prior  stage,  and  that  the  transi9on  probabili9es  from  one  stage  to  another  will  not  vary  across  the  sequence.  In  this  way,  the  Markov  process  is  likely  to  be  determined  by  a  vector  and  a  matrix  

MODELING  

•  and  

•  where  ρij  is  the  condi9onal  probability  of  transi9on  from  stage  i  to  stage  j  so  that  

   

MODELING  

•  Since  the  probability  of  transi9oning  from  one  state  to  another  one  must  be  1,  this  matrix  is  a  right  stochas9c  matrix.  Anyway,  diagonal  elements  in  a  stochas9c  matrix  defining  a  Markov  process  might  be  posi9ve.  Because  this  analysis  focuses  on  the  sequence  of  metasta9c  stages  rather  than  the  9ming  involved  in  the  transi9on  between  stages,  we  could  not  allow  a  metasta9c  stage  to  transi9on  to  itself.  

MODELING  

•  We  get  

•  We  may  define  N  states  of  the  process,  and  assume  that  it  is  likely  to  start  at  ar9ficially  defined  stage  S  (state  0),  and  to  end  up  at  another  ar9ficially  defined  stage  E  (state  N,  where  N  =  28).    

MODELING  

•  In  other  words,  we  may  start  in  state  S  with  probability  1  such  that  

       and  we  will  end  the  chain  once  state  E  is  reached  such  that  the  steady  state  or  sta9onary  distribu9on  vector  of  metasta9c  stages  (π)  will  be  defined  as  

 

MODELING  

•   For  data  with  mi  observed  transi9ons  from  state  i  to  any  other  state,  the  set  of  observed  counts  of  transi9ons  across  all  expert  stories,  {cij},  j  =  1,…,N  (where  i≠j)  are  bound  to  follow  a  mul9nomial  distribu9on  with  expected  values  {ρij},  j  =  1,…,N    

•  The  distribu9on  will  be  in  the  form  

MODELING  

                               where          •   (read:  the  probability  of  A  given  B  equals  the  binomial  coefficient  9mes  the  productoria  for  N  of  the  probability  cancer  cells  diffuse).  

MODELING  

•  The  prior  distribu9on  of  transi9on  probabili9es  will  be  defined  by  a  Dirichlet  distribu9on  

MODELING(5)  

•  The  posterior  expecta9on  es9mate  of  ρij  will  be  given  by  

•         We  might  also  obtain  a  maximum  a  posteriori  probability  es9mate  of  ρij:  

TEXT  BUILDING:  NEURONS(6)  

•  A  neuron  essen9ally  transmits  signals  across  its  length,  depending  on  the  signals  it  receives.  The  body  of  the  neuron  is  cons9tuted  by  the  soma,  around  the  nerve  cell  nucleus.  Neurons  shows  peculiar  structures  s9cking  out  from  the  soma  that  keep  branching  off.  These  branches  off  of  the  soma  of  the  neuron  are  called  the  dendrites,  which  keep  splinng  off.  They  tend  to  be  the  place  where  neurons  receive  their  signals.    

NEURONS  

•  Neurons  show  a  kind  of  tail  called  axon:  this  is  where  the  distance  of  the  signal  gets  traveled.  It  ends  at  the  axon  terminal,  where  can  connect  to  other  dendrites  or  maybe  to  other  types  of  9ssue  like  muscles.  The  point  at  which  the  soma  connects  to  the  axon  is  called  the  axon  hillock.  There  are  insula9ng  cells  around  the  axon,  known  as  Schwann  cells,  which  make  up  the  myelin  sheath  in  the  peripheral  nervous  system.    

NEURONS  

•  The    Schwann  cells’  intersec9ons  are  the  so-­‐called  nodes  of  Ranvier.  The  general  idea  is  that  the  neuron  gets  s9mulated  at  the  dendrites  so  that  the  combined  effect  of  the  signals  gets  summed  up  and  travel  to  the  hillock.  If  they  are  large  enough  and  meet  some  threshold  level,  they  will  trigger  an  ac9on  poten9al  on  the  axon.    

NEURONS  

•  It  will  cause  the  signal  to  travel  down  the  bonds  of  the  axon  and  reach  other  dendrites  terminal  where  it  may  be  connected  via  synapses,  from  where  other  processes  might  be  triggered  on,  by  s9mula9ng  other  neurons.  An  interes9ng  aspect  in  neuroscience  predic9ons  is  indeed  the  voltage  poten9al  across  the  membrane  of  a  neuron.    

MODELING(7)  

•  Neurons  emit  ac9on  poten9als,  which  may  be  seen  as  brief  and  stereotyped  electrical  events  that  might  be  recorded  with  extracellular  electrodes  in  behaving  animals.  Hidden  Markov  Models  (HMMs)  are  actually  used  in  this  way.  HMMs  may  be  thought  of  as  being  useful  tools  for  model-­‐based  analyses  of  complex  behavioral  and  neurophysiological  data.    

MODELING  

•  They  take  into  account  the  probabilis9c  nature  of  behavior  and  brain  ac9vity.  Actually,  the  trend  in  neuroscience  is  to  observe  and  manipulate  brain  ac9vity  in  freely  moving  animals  during  natural  behaviors  and  to  record  from  several  dozens  of  neurons  at  the  same  9me.    

MODELING  

•  For  example,  an  experimenter  could  be  interested  in  recovering  from  noisy  measurements  of  brain  ac9vity  the  underlying  electrical  ac9vity  of  single  brain  cells  using  the  constraint  that  ac9vity  has  to  agree  with  cellular  biophysics  (such  as  in  the  spike  sor9ng  problem).  Or,  the  experimenter  may  want  to  describe  the  variance  in  some  behavior  and  relate  it  to  causes  encoded  in  the  neural  recordings.  

MODELING  

•  The  observed  variable  (the  output  of  the  HMM)  might  be  a  test  subject's  decision,  or  an  animal's  motor  output.  What  many  studies  have  in  common  is  the  quest  to  iden9fy  underlying  brain  states  that  correlate  with  the  measured  signals.  Spike  data  recorded  from  single  or  mul9ple  nerve  cells  (neurons)  is  amenable  to  modeling  with  HMMs.    

MODELING  

•  A  popular  applica9on  of  HMMs  is  decoding  informa9on  from  recorded  spike  data.  An  HMM  may  be  used  to  model  neuronal  responses  in  the  visual  cortex  or    cor9cal  ac9vity  as  a  9me-­‐dependent  Poisson  process.  The  Poisson  means  are  hidden  parameters.  The  recorded  spike  trains  might  be  divided  into  small  9me  bins  in  which  the  spike  counts  are  assumed  to  obey  a  Poisson  distribu9on  with  9me-­‐dependent  mean  rate.    

MODELING  

•  These  models  are  likely  to  be  considered  as  yielding  to  a  temporal  segmenta9on  of  spike  data  into  a  sequence  of  'cogni9ve'  states,  each  with  its  dis9nguished  vector  of  Poisson  means.  In  this  way  HMMs  may  be  employed  for  decoding  the  iden9ty  of  visual  s9muli  from  recorded  neuronal  spiking  ac9vi9es.  

MODELING  

•  They  could  possibly  be  obtained  from  several  neurons  in  the  visual  cortex  of  during  the  presenta9on  of  different  visual  s9muli.  For  each  s9mulus,  an  HMM  on  a  subset  of  the  respec9ve  trials  might  be  trained.  These  trained  HMMs,  then,  may  be  used  to  decode  s9mulus  iden9ty  from  neural  responses  by  selec9ng  the  s9mulus  for  which  the  HMM  gives  the  largest  likelihood  for  genera9ng  the  neural  responses.    

MODELING  

•  Imagine  two  spike  trains  S1  and  S2  both  represented  by  vectors  of  inter-­‐spike  intervals.  One  modeling  could  possibly  transform  one  spike  train  into  the  other  by  (i)  adding  spike  intervals,  (ii)  removing  spike  intervals  and  (iii)  changing  the  dura9on  of  a  spike  interval  by  Δt  .  There  will  be  a  unit  cost  for  (i)  and  (ii),  and  a  cost  of  q  *  Δt  for  (iii).  The  'distance'  or  dissimilarity  between  two  spike  trains  may  be  defined  as  the  minimal  cost  to  transform  S1  into  S2  using  (i-­‐iii).    

MODELING  

•  This  measure  may  be  calculated  efficiently  using  dynamic  programming.  

•  Instead  of  considering  spike  intervals,  we  might  well  deal  with  exact  spike  9mes,  where  the  parameter  q  will  determine  the  cost  of  shi\ing  a  spike  in  9me.  Again,  spikes  could  also  be  added  or  removed.    

•  The  two  measures  may  also  be  realized  using  a  pair  HMM  

MODELING  •  In  such  a  pair  HMM  there  will  be  two  states  corresponding  to  unmatched  inter-­‐spike  intervals  in  the  two  sequences,  which  may  be  dealt  with  by  adding  or  removing  spike  inter-­‐spike  intervals,  respec9vely.  There  might  be  also  one  match  state  in  which  the  two  inter-­‐spike  intervals  are  going  to  be  matched  with  associated  emission  probability  in  the  form  (  )  (  )  exp  M  bΔt  =  −qΔt  ,  where  q  is  a  free  parameter  and  Δt  the  interval  difference.  The  total  costs  of  adding,  removing,  and  matching  intervals  will  be  encoded  in  the  emission  and  transi9on  probabili9es  of  the  pair  HMM.  

MODELING  

•  The  iden9fica9on  and  classifica9on  of  spikes  from  the  raw  data  is  called  spike  sor9ng.  Most  spike  sor9ng  methods  consist  of  two  steps.  In  a  first  step,  spike  events  will  be  extracted  from  the  raw  data.  In  a  second  step  these  events  will  be  classified.  Difficul9es  arise  when  spikes  overlap  on  the  recorded  trace  (arising  when  neurons  are  densely  packed  and  fire  at  high  rate).  

MODELING  (8)  

MODELING  

•  HMMs  thus  provide  a  framework  for  addressing  the  spike  sor9ng  problem.  Spikes  may  be  described  by  independent  random  variables  (the  hidden  variables),  whereas  the  recorded  voltage  will  be  the  probabilis9c  outcome  condi9onal  on  the  state  of  the  hidden  variables.  

MODELING  

•  These  'overlaps'  are  notoriously  difficult  to  sort.  The  shape  of  such  an  overlap  can  be  complex,  because  the  number  of  different  spikes  contribu9ng  to  the  shape  is  unknown,  as  is  the  exact  9me  delay  between  them.  These  models  are  likely  to  be  considered  as  yielding  to  a  temporal  segmenta9on  of  spike  data  into  a  sequence  of  'cogni9ve'  states,  each  with  its  dis9nguished  vector  of  Poisson  means.    

EXERCISE  

•  Choose  any  systems  in  your  area  of  interest  and  describe  it  emphasising  predic9ons  where  necessary.  The  system  being  consistent  with  numerical  predic9ons,  refer  to  its  next  step  behaviour  as  a  func9on  of  the  previous  one  using  appropriate  tenses.  The  text  must  be  coherent  within  a  layout  including  an  introduc9on,  a  descrip9on  of  the  involved  events  and  a  conclusion.  

PREDICTION  METHODS  (9)  

•  Single-­‐step  methods  (like  Eulero’s  or  Runge-­‐Kuca’s)  use  only  the  informa9on  from  one  previous  point  to  compute  the  next  one,  that  is,  only  the  ini9al  point  (t0  ,  y0)  is  used  to  compute  (t1  ,  y1)  and  in  general  yk  is  used  to  compute  yk+1.  

•  Using  a  combina9on  of  a  predictor  and  a  corrector  requires  only  two  func9on  evalua9ons  of  f(t,y)  per  step.    

EXERCISE  •  The  Math  model  for  epidemics  is  as  follows:              Assume  there  is  a  community  of  L  members  containing  P  infected  

individuals.  Let  y(t)  denote  the  number  of  infected  at  9me  t.  for  a  mild  illness  such  as  cold  everyone  con9nues  to  be  ac9ve,  and  the  epidemics  spreads  from  those  who  are  infected  to  those  uninfected.  Since  there  are  PQ  possible  contacts  between  these  two  groups,  the  rate  of  change  of  y(t)  is  propor9onal  to  PQ.  So  the  problem  can  be  stated  as  

                                                                               y’  =  ky  (L  –  y)                    with  y(0)  =  0  •  Use  L=  25,000,  K  =  .00003,  h  =  .2  with  the  ini9al  condi9on  y(0)=250  

and  compute  any  approximate  solu9ons  (for  instance  Euler’s)  over  [0,12]  wri9ng  a  coherent  text  using  predic9ons  and  compounding  statements  forwards  and  backwards.  

 

PREDICTION  METHODS(10)  

•  The  classical  astrophysical  N-­‐body  problem  consists  of  each  member  of  an  aggregate  of  N(i=1,…,N)  point  masses,  having  masses  mI,  experiencing  an  accelera9on  from  the  gravita9onal  acrac9ons  of  all  the  other  bodies  in  the  system.  

PREDICTION  METHODS  

PREDICTION  METHODS  

•  The  descrip9on  of  the  problem  will  be  completed  by  specifying  the  ini9al  posi9ons  (xi  at  t  =  0)  and  veloci9es  (vi  at  t=0)  for  the  N  par9cles.  Solu9ons  of  this  problem  may  range  from  the  orbit  of  the  moon  to  the  structure  of  the  Kirkwood  gaps  in  the  asteroid  belt  and  countless  other  phenomena.  This  richness  arises  from  strong  nonlinearity  in  the  equa9on  as  a  slight  change  in  ini9al  condi9ons  may  lead  to  very  different  outcomes  –  chaos.  

PREDICTION  METHODS  

•  The  N-­‐body  problem  involves  calcula9ng  •  1.  the  force  on  each  par9cle  at  a  given  9me  •  2.  determining  the  new  posi9on  of  the  par9cle  at  a  future  9me  

PREDICTION  METHODS  •  Methods  for  advancing  par9cle  posi9ons  may  be  considered:  

•  Euler  –  the  simplest  possible  approach  •  Runge-­‐Kuca  –  standard  for  ordinary  differen9al  equa9on  

•  Bulirsch-­‐Stoer  –  accurate  but  limited  to  few  bodies  –  with  Richardson  extrapola9on  

•  Symplec9c  map  –  accurate  for  very  long  integra9ons  (no  close  encounters)  

•  Predictor-­‐corrector  –  large  numbers  of  par9cles  with  reasonable  accuracy  (Leapfrog)  

PREDICTION  METHODS  

•  In  astronomy  we  o\en  want  to  study  large  systems  (e.g.  a  galaxy  with  >100G  objects).  

•  It  will  take  the  Sun  250  Myr  to  orbit  the  Galaxy  so  it  has  only  orbited  ~18  9mes.  

•  myr  à  1  million  years.    •  Es9mated  age  of  the  universeà13,798  myr.  

PREDICTOR-­‐CORRECTOR  

•  Addi9onally,  there  are  mul9ple  9me  scales,  e.g.  star  clusters  need  small  9me  steps.  

•  One  solu9on  to  these  problems  may  be  to  use  a  so  called  ‘leapfrog’  method,  which  is  a  simple  predictor-­‐corrector  method,  with  9me  step  halving.  

•  The  largest  9me  step  can  be  es9mated  from  

PREDICTOR-­‐CORRECTOR  

PREDICTOR-­‐CORRECTOR  

•  where  ai  is  the  accelera9on  of  the  i-­‐th  par9cle  and  η  is  a  small  factor  

•  The  method  is  a  simple  second-­‐order  integra9on  that  will  allow  us  to  advance  posi9ons  and  veloci9es  defined  in  intervals  separated  by  Δti  /2.  

PREDICTOR-­‐CORRECTOR  

PREDICTOR-­‐CORRECTOR  

•  Here  posi9on  is  going  to  be  advanced  at  half  9me-­‐steps  and  velocity  at  full  9me.  

•  Addi9onally,  more  sophis9cated  versions  could  be  made.  

•  These  are  known  more  generally  as  as  predictor  corrector  methods.  

 SCATTERING  PREDICTIONS(11)    

 •  If  we  consider  an  isolated  single  atom,  elas9c  scacering  may  occur  in  one  of  two  ways:  

•  The  electron  may  interact  with  the  electron  cloud,  resul9ng  in  a  small  angular  devia9on.    

•  Alterna9vely,  if  an  electron  penetrates  the  electron  cloud  and  approaches  the  nucleus,  it  will  be  strongly  a5racted  and  may  be  sca5ered  through  a  larger  angle.  

 

SCATTERING  PREDICTIONS  

•  Many  electron-­‐electron  interac9ons  are  inelas9c.  For  instance,  the  nuclear  interac9on  may  result  in  the  genera9on  of  a  bremsstrahlung  X-­‐ray,  or  may  even  result  in  the  displacement  of  the  atom  from  its  site  in  the  crystal,  both  of  which  involve  some  energy  loss  for  the  electron.  

•  May  even  +  base  form  à  predic9ons  of  fairly  unexpected  results  

EXERCISE  Describe  the  system  emphasized  by  the  figure  (11/A)  using  

predic9ons.  

EXERCISE  Describe  the  system  emphasized  by  the  figure  (11/B)  using  

predic9ons.  Here  the  method  is  Monte  Carlo.  

CELLULAR  AUTOMATA  

•  Cellular automata may ideally reproduce a physical system, typically nonlinear dynamic systems

•  Space and time are discretized onto an N-dimension grid. Physical quantities get a finite set of values according to transition rules which define the local physics.

CELLULAR  AUTOMATA  

•  There are simple rules of local interactions (neighbour cells) which can reproduce general behaviours of the system (auto-organization at a threshold: always the same slope).

•  There exists a transition function that allows the system to evolve while describing the ‘local’ physics.

CELLULAR  AUTOMATA  

•  Sandpile are self-organizing cellular automata: singoli elements interacting using simple local rules, show a scaling global trend. We define a lattice where we randomly insert grains of sand. At a critical state (threshold value) the system gets auto-organized: it has always the same slope. Namely, we observe a power law distribution.

CELLULAR  AUTOMATA  

•  One target of these simulations (sandpile models) can be the study of a 3D-lattice evolution, to which we approximate the solar atmosphere, undergoing a perturbation where relaxation is brought about by a local instantaneous redistribution of energy (avalanche à solar flares).

CELLULAR  AUTOMATA  

-  The lattice, for instance, can be a cube with initial conditions. Perturbation time (the falling grain of sand) is longer than relaxation’s (neighbour cells’ energy re-distribution), which is considered as being instantaneous. At each step a small perturbation (with respect to threshold) is being added. Initially all cells are at the same energy.

CELLULAR  AUTOMATA  

•  A\er  a  threshold  the  flare  is  caused  to  happen    

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       (12)  

       where  Fi  is  the  energy  of  the  i-­‐th  element,    (1/6)  ∑nn  Fnn  is  the  average  energy  of  the  neighbour  cells  and  δc  is  the  threshold  value.  

CELLULAR  AUTOMATA  

•  When  flares  happen,  the  average  energy  is  being  distributed  as  follows:  

•  Fi  loses  a  certain  amount  of  energy,  while  the  neighbours  earn  some.  

EXERCISE  

•  Write  a  coherent  text  using  the  previous  informa9on  on  sandpiles  and  solar  flares.  Describe  the  actual  system’s  percolate  appropriately  using  the  ‘tense  percolate’  table  as  shown  above.    

IMPLICIT  DIFFERENTIATION(13)  

•  When  dealing  with  curves  like  a  circle  with  equa9on  x2  +  y2  =  1,  for  instance,  we  cannot  explicit  x  or  y,  for  we  have  both.  In  order  to  find  the  slope  of  the  tangent  line  at  a  point  on  the  circle,  say  P(√2/2,  √2/2),  we  will  have  to  calculate  the  deriva9ve  in  terms  of  x  and  y  than  define  y  as  a  func9on  of  x,  for  that  will  give  us  two  solu9ons,  namely  y  =  √  (1-­‐  x2)  and  y  =  -­‐  √  (1-­‐  x2).  

IMPLICIT  DIFFERENTIATION  

•  Consequently  there  is  going  to  be  another  way  to  find  the  deriva9ve  in  terms  of  both.  This  is  called  implicit  differen9a9on,  and  it  is  an  applica9on  of  the  chain  rule.  More  formally,  given  a  differen9able  rela9on  F(x,y)=0,  which  defines  the  differen9able  func9on  y=f(x),  it  is  possible  to  find  the  deriva9ve  f’  even  in  the  case  when  we  could  not  symbolically  find  f.    

IMPLICIT  DIFFERENTIATION  •  That  means  we  will  apply  the  operator  d/dx  (deriva9ve  with  respect  to  x)  on  both  sides  of  the  equa9on  and  solve  in  terms  of  the  differen9al  dy/dx:  

•  d/dx(x2  +  y2)  =  d/dx(1)    •  d/dx(2x)  +  d/dy(y2)*dy/dx  =  0  •  2x  +  2y*dy/dx  =  0    •  dy/dx  =  -­‐x/y  •  (read:  the  deriva9ve  of  x  squared  plus  y  squared  with  respect  to  x  is  equal  to  ….,  so  that  the  deriva9ve  of  y  with  respect  to  x,  or  the  differen9al,  is  equal  to  nega9ve  x  over  y).  

IMPLICIT  DIFFERENTIATION  

•  Consequently  the  slope  at  P  equals  -­‐1,  which  means  we  must  have  found  the  value  of  the  deriva9ve  in  terms  of  both  x  and  y.  

•  Implicit  differen9a9on  may  well  recall  the  chain  rule,  something  we  are  likely  to  use  any  9me  we  have  a  composi9on  of  func9ons  and  we  search  for  the  deriva9ve,  which  tells  us  the  slope  at  any  point  along  a  curve  f.    

IMPLICIT  DIFFERENTIATION  

•  Given  the  curve    (x-­‐y)2  =  x+y+1      if  we  differen9ate  it  implicitly  we  will  get                                  d/dx  [(x-­‐y)2  ]=  d/dx(x+y+1)  which  means  •                   2(x  –  y)  (1  –  dy/dx)  =  1  *  dy/dx  

IMPLICIT  DIFFERENTIATION  

•  where  2(x  –  y)  =  d/d(x-­‐y)  [(x  –  y)2)],  that  is,  the  deriva9ve  of  something  squared  with  respect  to  that  same  something;  while  (1  –  dy/dx)  =  d/dx  (x  –  y),  that  is,  the  deriva9ve  of  something  inside  the  brackets  with  respect  of  x  and  y,  which  is  what  we  are  trying  to  solve  for.  And  this  is  just  the  chain  rule!  –namely,  the  deriva9ve  of  the  sub-­‐func9on  and  the  deriva9ve  of  the  en9re  func9on.  

IMPLICIT  DIFFERENTIATION  

•  Finally  we  get        2x  –  2y(1  –  dy/dx)  =    =  1  +  dy/dx  à  dy/dx  =  2y-­‐2x+1/2y-­‐2x-­‐1  

IMPLICIT  DIFFERENTIATION  

•  EXAMPLE  •  Given  f(x)  =  sin2  (x),  then  df/dx  =  2sinx  *  d/dx(sinx)  =  2sinx  *  cosx  

•  (read:  given  f  of  x  equal  to  the  sine  squared  of  x,  then  the  deriva9ve  of  f  with  respect  to  x  is  equal  to  twice  the  sine  of  x  9mes  the  deriva9ve  of  the  sine  of  x  with  respect  to  x,  which  is  equal  to  twice  the  sine  of  x  (or  two  sine  of  x)  9mes  the  cosine  of  x).  

IMPLICIT  DIFFERENTIATION  

•  Why  2sinx?  Because  we  apply  the  chain  rule  and  we  get  d/d(sinx)  [sin2  (x)]  =  2sinx  

•  Why  cosx?  Because  d/d(sinx)  [sinx]  =  cosx      •  EXERCISE:  differen9ate  implicitly  x√  y=1;  exp(xy2)  =  x  –  y;  sin(2x-­‐7y)=16y;  y  =  xp/q  ;  x2  +  y2  =  100,  building  up  a  coherent  text.  

   

EXERCISE  

•  Itera9ve  techniques,  nonlinear  func9ons.  Consider              f1(x,y)  =  x2  –  2x  –  y  +  0.5    ;    f2(x,y)  =  x2  +  4y2  –  4.  (14)            Seek  for  a  method  of  solu9on  for  the  system  of  nonlinear  equa9ons  f1(x,y)  =  0,  f2(x,y)  =  0.  No9ce  the  equa9ons  implicitly  define  curves  in  the    x-­‐y  plane.  Hence  a  solu9on  of  the  system  is  a  point  (p,q)  where  the  two  curves  cross  (i.e.  both  f1(p,q)=0  and  f2(p,q)=0).  You  may  use  a  fixed-­‐point  itera9on  genera9ng  a  sequence  {(pk,  qk)}  that  converges  to  the  solu9on  (p,q).  Write  a  text  both  coherently  describing  the  procedure  and  appropriately  inser9ng  numerals  and  tables.  

REFERENCES  •  1. Listening exercise at https://www.khanacademy.org/science/biology/cellular-molecular-biology/stem-cells-and-

cancer/v/cancer. All Khan Academy content is available for free at www.khanacademy.org. Listen to the texts carefully, take notes and build a coherent text.

•  2. Adapted from Divoli et al. “Conflicting Biomedical Assumptions for Mathematical Modeling: The Case of Cancer Metastasis” , PLoS Comput Biol. 2011 Oct; 7(10): e1002132.

•  3. In Davoli et al, quoted. •  4. Adapted from Davoli et al., quoted, and from http://en.wikipedia.org/wiki/Markov_chain •  5. From Davoli et al., quoted. •  6. Listening exercise at https://www.khanacademy.org/science/biology/human-biology/neuron-nervous-system/v/

anatomy-of-a-neuron •  7. Adapted from B. Florian et al., “Hidden Markov Models in the Neurosciences”, Institute of Neuroinformatics,

University of Zurich, online http://cdn.intechopen.com/pdfs-wm/15362.pdf •  8. In Florian et al., quoted. •  9. See J.H. Mathews, “Numerical Methods”, Prentice Hall 1987, p.434-435. •  10. D. Hobbs, “Computational Astrophysics” online http://www.astro.lu.se/~david/teaching/SPH/notes/

ComputationalAstrophysicsL5 •  11- 11/A – 11/B. from http://web.pdx.edu/~jiaoj/phy452/lecture_2_TEM_12.pdf •  12. The values have been proposed by O. Podladchikova, B. Lefebvre in “Lattice Models for Solar Flares and Coronal

Heating”, 2006 International Astronomical Union DOI: 07.2006/reviews.287.5461.2267. •  13. Listening exercise at https://www.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/

implicit_differentiation/v/implicit-differentiation-1 and following. Listen to the texts carefully, take notes and build a coherent text.

•  14. In Mathews, quoted, p. 369-70.