Skurcz betonu - Konspekt

8/18/2019 Skurcz betonu - Konspekt

1/14

2015-08-

Marek Wesołowski

Politechnika Gdańska Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska

Skur cz betonu

Geneza, właściwości, konsekwencje

• A.Mitzel , Reologia betonu, Arkady, Warszawa 1972

• T.Szulczyński, Wpływ skurczu betonu na wielkość momentu zarysowania zginanychelementów żelbetowych, Archiwum Inżynierii Lądowej 2/1975

• H.Rüsch D.Jungwirth, Skurcz i pełzanie w konstrukcjach betonowych, Arkady,Warszawa 1979

• K. Flaga, Skurcz betonu i jego wpływ na nośność, użytkowalność i trwałośćkonstrukcji żelbetowych i sprężonych, Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej,

Kraków 2002

• K. Flaga, Zbrojenie przeciwskurczowe, obliczenia, zalecenia konstrukcyjne w

budownictwie powszechnym, XVII Ogólnopolska Konferencja Warsztat Pracy

Projektanta Konstrukcji, Ustroń 20 ÷ 23 lutego 2002

• W. Kiernożycki, Betonowe konstrukcje masywne, Polski Cement, Kraków 2003

• K. Flaga, Naprężenia skurczowe i zbrojenie przypowierzchniowe w konstrukcjach

betonowych, Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków 2004

• K. Flaga, Naprężenia skurczowe i zbrojenie przypowierzchniowe w konstrukcjach

betonowych, Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków 2011

• K. Flaga, Rola skurczu betonu w żelbetowych elementach konstrukcyjnych,

Inżynieria i Budownictwo 9/2014

Skurcz betonu – literatura

Norma europejska

EN 1992-1-1. Eur ocode 2. Design of concr ete structures , Part 1-1. General rules and rules for buildings,

European Commitee for Standarization, Brussels 2004

PN-EN 1992-1-1.Eur okod 2. Projektowanie konstrukcji z betonu ,Część 1-1. Reguły ogólne i reguły dla budynków,Polski Komitet Normalizacyjny, Warszawa 2008

Norma polska

PN-B-03264:2002. Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone,

Obliczenia statyczne i projektowanie,Polski Komitet Normalizacyjny, Warszawa 2002

Skurcz betonu – literatura Skurcz betonu – dane podstawowe

Skurcz betonu jest procesem zmian objętościowych, wywołanych złożonymi

zjawiskami fizyko-chemicznymi. Powstają one skutkiem wysychania

twardniejącego zaczynu cementowego – skurcz od wysychania (zwany także

fizycznym, wilgotnościowym) oraz wskutek zachodzących w młodym betonie

procesów przemian strukturalnych i chemicznych – skurcz samoczynny (zwany

także samorodnym, chemicznym, autogenicznym, właściwym, plastycznym).

Skurcz wilgotnościowy rozwija się powoli, gdyż wynika z powolnego procesu

migracji wody przez twardniejący beton.

Skurcz autogeniczny kształtuje się w trakcie procesu twardnienia masy

betonowej i dlatego ważna jego część narasta we wczesnym okresie po

zarobieniu mieszanki betonowej – jest on liniową funkcją wytrzymałości betonu.

Profesor Bronisław Bukowski nazywał go skurczem powstałym z kontrakcji(o charakterze fizyko-chemicznym), czyli z nieodwracalnego zmniejszania

objętości, towarzyszącego reakcjom chemicznym w betonie, w tym przypadku

zmniejszaniem objętości układu woda-cement w procesie tężenia oraz

początkowego okresu twardnienia betonu.

W najogólniejszym przypadku, dla bryły betonu o dowolnym kształcie, miarę

miarodajnego wymiaru przekroju można zdefiniować wzorem

gdzie

V c – objętość bryły betonu

Aout – zewnętrzna powierzchnia betonu, podlegająca wysychaniu

Skurcz betonu – dane podstawowe

Ponieważ dominującą składową skurczu betonu jest skurcz od wysychania, który

uzależniony jest głównie od stosunku powierzchni zewnętrznej elementu

(podlegającej wysychaniu) do jego objętości (zawierającej niezwiązaną wodę),

stąd jako praktyczną miarę stopnia zwartości zadanego elementu wprowadzono pojęcie miarodajnego wymiaru przekroju ho .

out

co A

V h

2


Dla prętowego elementu pryzmatycznego miarodajny wymiar przekroju

można obliczyć według relacji

gdzie

Ac – pole przekroju poprzecznego elementu

u – obwód przekroju poprzecznego elementu

l – długość elementu

l

Au A Al u l A AV h cc

c

c

out

co

22222

Ponieważ dla pręta o znacznej długości (teoretycznie dla l ∞) stosunek pola

przekroju poprzecznego do długości zmierza do zera, otrzymuje się

u A

h co

2

Jest to definicja normowa, lecz ważna jedynie dla pręta pryzmatycznego ,

o czym normy PN-EN oraz PN jednak nie wspominają!


2/14

2015-08-

Dla bryły betonu o dowolnym kształcie, miarę modułu powierzchniowegoelementu definiuje się wzorem

gdzie

V c – objętość bryły betonu

Aout – zewnętrzna powierzchnia betonu, podlegająca wysychaniu


Drugim parametrem, ważnym do oceny zjawiska skurczu betonu (obok

wspomnianego wcześniej miarodajnego wymiaru przekroju) jest inna miara

stopnia zwartości elementu w postaci modułu powierzchniowego mo .

c

out o V

Am

Dla zadanego prętowego elementu pryzmatycznego, związek pomiędzy

modułem powierzchniowym mo a miarodajnym wymiarem przekroju ho

opisanym normową zależnością


Na tej podstawie wyróżnia się trzy typy elementów, w zależności od ich modułu

powierzchniowego:

• elementy masywne mo 2 m-1

• elementy średniomasywne 2 < mo < 15 m-1

• elementy niemasywne mo 15 m-1

oo h

m 2

u A

h co

2

jest następujący


Skurcz od wysychania objawia się objętościowym zmniejszaniem się bryły

betonu (co w przypadku elementu prętowego prowadzi praktycznie do jego

dominującego skracania się podłużnego).

Natomiast w sytuacji ograniczenia swobody odkształceń betonu, powstają

wymuszone naprężenia wewnętrzne, które dla elementu prętowego mają

charakter stanu liniowego.

Wymuszenia powyższe wynikają z dwóch przyczyn:

• więzów wewnętrznych – generowanych przez istniejące zbrojenie elementu

żelbetowego,

• więzów zewnętrznych – związanych ze skrępowaniem elementu na

podporach lub w innych jego obszarach.

Teoretycznie , umożliwienie swobody odkształceń bryły betonu w każdym

dowolnym punkcie, prowadziłoby do beznaprężeniowej zmiany jej kształtu.


Należy jednak mieć dodatkowo na względzie, że nawet jeżeli nie będzie żadnych

więzów wewnętrznych (czyli przy braku zbrojenia) ani więzów zewnętrznych

(czyli przy umożliwieniu całkowitej swobody na podporach), a element zostanie

dodatkowo w pełni odizolowany od otoczenia zewnętrznego (czyli będzie

zabezpieczony przed wysychaniem) – to i tak objawią się w nim odkształcenia

skurczowe, spowodowane trzecią przyczyną: wewnętrznymi procesami

chemicznymi w betonie (skurcz autogeniczny).

W tej sytuacji generowane skutkiem tego nieliniowe i niestacjonarne pola

wilgotnościowe (wspomniane już wcześniej) pociągają za sobą powstanie

wypadkowego nieliniowego stanu naprężeń własnych, który charakteryzuje się

tym, że przypowierzchniowe pasma betonu są rozciągane, natomiast pasma

wewnętrzne są ściskane.

Naprężenia te powstają na skutek oporu jednych warstw betonu w stosunku do

innych (co wynika z tendencji do nierównomiernych odkształceń skurczowych

poszczególnych warstw betonu).

Według A.M.Freundenthala (1906-1977), przez długie lata będącego wzorcem

dla wielu norm, odkształcenia skurczowe można opisać relacją

gdzie

t – czas wysychania betonu, w latach

Skurcz betonu – ujęcie klasyczne

41041 6)( t t t cs

W tym ujęciu, dla czasu t ∞ wynika

końcowa wartość odkształceń skurczowych: 0,15·10 -3 = 0,15 ‰

Warto zauważyć, że wg powyższego wzoru otrzymuje się

• dla czasu t = 0,25 roku: 1/2 skurczu całkowitego



Ponieważ skurcz betonu polega na zmniejszaniu się jego objętości, nasuwa się

logiczny wniosek, że dla elementów liniowych można jego skutki modelować

adekwatnym spadkiem temperatury, według relacji

gdzie

αt – współczynnik liniowej rozszerzalności betonu ΔT – równoważny skurczowi spadek temperatury

Skurcz betonu – ujęcie klasyczne

Przyjmując średnią wartość współczynnika liniowej rozszerzalności betonu na

poziomie 1· 10-5 1/deg, to przy zastosowaniu wzoru A.M.Freundenthala, dla

którego końcowa wartość odkształceń skurczowych wynosi 0,15‰ wynika, że

skurcz ten jest równoważny z obniżeniem temperatury betonu o 15 stopni .

T t cs

Taką wartość przyjmowano w klasycznej teorii żelbetu oraz w wielu normach

projektowania konstrukcji z betonu w poprzednich dekadach.


3/14

2015-08-

Całkowite odkształcenia skurczowe betonu opisuje wzór

gdzie

cd – odkształcenie skurczowe od wysychania

ca – odkształcenie skurczowe autogeniczne

W normie PN-EN odkształcenia skurczowe betonu opisano z uwzględnieniem

wszystkich istotnych parametrów materiałowych i warunków środowiskowych,

a także biorąc pod uwagę technologię wykonywania konstrukcji oraz pielęgnację

świeżego betonu.

cacd cs

Skurcz betonu wg PN-EN:2008

W porównaniu do wcześniejszych norm należy mieć na uwadze istotny fakt, że

końcowe odkształcenia skurczowe w skrajnie niekorzystnych warunkach mogą

być znacznie większe, aniżeli klasyczna ich wartość wynosząca 0,15 ‰.

Końcowe wartości skurczu przy wysychaniu oblicza się z następującego

wzoru (odmiennego niż w PN ):

gdziek h – współczynnik zależny od miarodajnego wymiaru przekroju

εcd,o – nominalne odkształcenia skurczowe przy wysychaniu

ocd hcd k ,)(


Współczynnik korekcyjny k h wyznacza się z następującej tabeli:

Nominalne odkształcenia skurczowe przy wysychaniu opisuje relacja

gdzie

f cm – średnia wytrzymałość betonu na ściskanie

f cmo – porównawcza wytrzymałość betonu, równa 10 MPa

RH – współczynnik zależny od wilgotności otoczenia

ds1 – współczynnik zależny od rodzaju cementu

= 3 – dla cementów klasy (S)

= 4 – dla cementów klasy (N)

= 6 – dla cementów klasy (R)

ds2 – współczynnik zależny od rodzaju cementu

= 0,13 – dla cementów klasy (S)

= 0,12 – dla cementów klasy (N)

= 0,11 – dla cementów klasy (R)


6

21, 10exp)110220(85,0

RH

cmo

cmdsdsocd

f

f

Tempo narastania w czasie skurczu od wysychania przedstawia równanie

(odmienne niż w PN )

gdzie

t – czas (wiek betonu) w dniach

t s – wiek betonu (w dniach) na początku procesu wysychania

ho – miarodajny wymiar przekroju równy 2Ac /u

Ac – pole przekroju betonu

u – obwód części przekroju wystawionej na wysychanie

34,0),(

o s

s sds

ht t

t t t t


Przebieg skurczu od wysychania w funkcji czasu jest w tym ujęciu ostatecznie

opisany zależnością

ocd h sdscd k t t t ,),()(

Końcowe wartości skurczu autogenicznego oblicza się z następującego wzoru

(analogicznego jak w PN ):

gdzie

f ck – charakterystyczna wytrzymałość betonu (MPa)

610)10(5,2)(

ck ca f

f ck [MPa] ca (∞) [‰]

12 0,01

16 0,02

20 0,03

25 0,04

30 0,05

35 0,06

40 0,08

45 0,09

50 0,10


Tempo narastania w czasie skurczu autogenicznego przedstawia równanie

(analogiczne jak w PN ):

gdzie

t – czas (wiek betonu) w dniach

)2,0exp(1)( t t as

)()()( caasca t t


Przebieg skurczu autogenicznego w funkcji czasu jest ostatecznie opisany

zależnością


4/14

2015-08-

Odkształcenia skurczowe betonu niezbrojonego (swobodnego) cs realizują

się w stanie beznaprężeniowym.

Więzami wewnętrznymi dla elementu żelbetowego jest opór zbrojenia,

spowodowany faktem, że stal zbrojeniowa – w przeciwieństwie do betonu – nie

ulega samoistnie odkształceniom reologicznym.

Efekt skurczu betonu wskutek więzów wewnętrznych

Efekt działania więzów wewnętrznych w kontekście skurczu betonu zostanie przedstawiony poniżej, na przykładzie symetrycznego elementu zbrojonego,

o jednostkowej długości.

Odkształcenia skurczowe betonu zbrojonego (z więzami wewnętrznymi) cs RC

są mniejsze od odkształceń skurczu swobodnego i generują stan naprężeń

wewnętrznych w elemencie.


Schemat do wyznaczania odkształceń i naprężeń skurczowych

wskutek więzów wewnętrznych

Ponieważ wypadkowa siła normalna w przekroju żelbetowym musi być równa

zero, stąd otrzymujemy zależność


0 sc N N

Podstawiając odpowiednie wartości odkształceń, wynikające z zasady

zachowania płaskich przekrojów, dochodzimy do równania

0 s RC cs sc RC cscsc E A E A

Dzieląc obustronnie przez Ac· E c mamy

0 RC cs se RC

cscs

… i ostatecznie

cs

se

RC

cs

1

1 Skurcz elementu żelbetowego bez uwzględnienia relaksacji

betonu wskutek jego pełzania

Naprężenia normalne w betonie (rozciągające) wynoszą


csc se

sec

RC

cscsc E E

1

Naprężenia normalne w stali (ściskające) wynoszą

cs s

se

s

RC

cs s E E

1

1

Należy raz jeszcze wyraźnie podkreślić, że w wyniku działania więzów

wewnętrznych nie jest generowana żadna zewnętrzna siła normalna.

W metodzie uniwersalnej (która dalej będzie zamiennie nazywana metodą sił

uogólnionych N s – M s ) zakłada się, że najpierw swobodny beton (nie związany

ze stalą siłami przyczepności) uległ skurczowi beznaprężeniowemu o wielkości

jednostkowej cs – natomiast każdy pręt zbrojeniowy został oddzielnie ściśniętyadekwatną dla niego zewnętrzną siłą normalną, co wygenerowało w każdym z

nich naprężenia

Efekt skurczu dla więzów wewnętrznych wg metody uniwersalnej

scs s E

Następnie usunięto wspomniane zewnętrzne siły normalne w każdym pręcie,

których rolę przejęły naprężenia przyczepności na styku stali i betonu.

W konsekwencji tego, wskutek odkształcalności betonu, pierwotnie ściśnięte

pręty doznały stopniowego odprężenia, sukcesywnie rozciągając przy tym

beton, aż do osiągnięcia stanu równowagi w przekroju.

W tej sytuacji opisane powyżej zjawisko można analizować obliczeniowo biorąc

pod uwagę żelbetowy przekrój sprowadzony (z uwzględnieniem istniejącej stali

zbrojeniowej, co uwzględnia częściowe jej odprężenie), poddany działaniu

mimośrodowego rozciągania siłami w stali N si według poniższego szkicu (dla przykładowych dwóch warstw zbrojenia):


Schemat odpowiada sytuacji, gdy A s1 > As2 – w wyniku tego moment M s wygina element ku dołowi

(gdy As1 < As2 – wygięcie ku górze, natomiast dla As1 = As2 – tylko zmiana długości od siły N s )


5/14

2015-08-

Dla tego przypadku otrzymujemy wypadkową siłę normalną od stali


2121 s scs s scs s s s A E A E N N N

)()( 221121 a z N a z N M M M g sd s s s s

)()( 2211 a z A E a z A E g s scsd s scs

s scs g sd s scs S E a z Aa z A E )]()([ 2211

s scs s s scs A E A A E

)( 21

W ostatniej zależności wielkość S s jest momentem statycznym zbrojenia

względem środka ciężkości przekroju żelbetowego (fazy I lub fazy II).

oraz wypadkowy moment zginający od stali

Interpretując wpływ skurczu jako działanie pary sił uogólnionych N s – M s(odniesionych do przekroju sprowadzonego) otrzymujemy ze znanych wzorów

następujące relacje


Z powyższych równań wynikają zależności

g csc

s

csc

s

cg z J E

M

A E

N

d

csc

s

csc

scd z

J E

M

A E

N

cg cs g

cd csd

W szczególnym przypadku, dla zbrojenia symetrycznego ( A s2 = A s1), moment

zginający M s wynosi zero, skąd otrzymujemy


a po dalszych podstawieniach dochodzimy do wyrażenia

csc

sccd cg

A E

N

cs se se

cs

secc

s s

csc

s scsc

A E

A E

A E

A E

11

Jak widać, odkształcenia wyznaczone powyższą metodą mają identyczną postać

jak wcześniej obliczone w elementarnych rozważaniach wstępnych.


Obraz graficzny przekroju żelbetowego w stanie równowagi:

stal ściśnięta odkształceniami εs natomiast beton rozciągnięty odkształceniami εc

Po wyznaczeniu odkształceń d s1 s2 g można obliczyć towarzyszące im

naprężenia, oparte na bazie teorii liniowej sprężystości, która w tym przypadku

może mieć adekwatne zastosowanie:


W powyższych wzorach przyjęto następującą konwencję znakowania naprężeń:

rozciąganie ( + )

ściskanie ( – )

Należy raz jeszcze zwrócić uwagę na fakt, że powyższe wzory nie uwzględniają

pełzania betonu, powodującego relaksację naprężeń.

c g cs g E

cd csd E

s s s E 22

s s s E 11

Uwzględnienie relaksacji naprężeń wskutek pełzania betonu może być

dokonane przy założeniu stałych – niezależnych od czasu – naprężeń w betonie.

Wpływ pełzania betonu dla symetrycznego elementu zbrojonego

przy czym moduł sprężystości opóźnionej (reologicznej) opisuje równanie

,

11c

p

c

pel E E

p

cc

E E

1

,

Ten postulat z uwagi na fakt, że efekt skurczu ma charakter wymuszenia typukinematycznego, może być przyjęty bez większych zastrzeżeń.

Zostanie to przedstawione na przykładzie symetrycznego elementu zbrojonego,

w którym dla czasu t = ∞ mamy całkowite odkształcenia jednostkowe równe


6/14

2015-08-

Z wcześniejszych rozwiązań, bez uwzględnienia pełzania betonu (czyli według

interpretacji reologicznej dla czasu t = 0 ) uzyskano odkształcenia skurczowe

dla żelbetowego elementu symetrycznego w postaci

gdzie

Stosując metodę sił uogólnionych N s – M s dla czasu t = ∞ mamy z kolei

c

se

E

E

cs se

RC

cs

1

1

s scs s A E N

0 s M


W tej sytuacji obliczamy odkształcenia według wzoru

gdzie

,

,

c

se

E

E

cs se se

cs

secc

s s

csc

s scsc

A E

A E

A E

A E

,

,

,,,,

,11

,,

,

csc

sc

A E

N

czyli


Na tej podstawie otrzymujemy ostatecznie odkształcenia skurczowe elementu

żelbetowego z uwzględnieniem pełzania betonu (czyli według interpretacji

reologicznej dla czasu t = ∞ )

pe pc

s

c

se

E E

E E

11,

,

cs

se

cs

se

se

csccs

RC

cs

,,

,

,,1

1

1

Jak widać, jest to postać równania analogiczna jak dla czasu t = 0, z jedną tylko

różnicą: zamiast αe mamy αe∞ – przy czym między tymi dwiema wielkościamizachodzi relacja


W tej sytuacji można wyznaczyć związek zachodzący między odkształceniami

elementu z uwzględnieniem pełzania betonu, a odkształceniami bez

uwzględnienia pełzania betonu, otrzymując

p

se

se p se

se

se

se

RC

cs

RC

cs

11

1

11

1

1

1

,

,

Przyjmując następnie oznaczenie

se

se

1

mamy

3

,

1

1k

p

RC

cs

RC

cs


Uwaga: z definicji k 3 < 1

Aby uwzględnić efekt reologiczny w postaci starzenia betonu, we wzorze

opisującym współczynnik zmniejszający k 3 w jego pierwotnej postaci

dokonuje się modyfikacji, wprowadzając przy φ p dodatkowy mnożnik β

Przy analizie zjawisk skurczowych przyjmuje się najczęściej

80,0


p

k

1

13

p

k

1

13

Interpretacja graficzna efektu skurczu z uwzględnieniem pełzania betonu

rysunek górny: po czasie t = 0, rysunek dolny: po czasie t = ∞



7/14

2015-08-

Po czasie t = 0

cs

se

RC

cs s

1

1

cs

se

se RC

cscsc

1

s

RC

cs s E

c RC cscsc E


Po czasie t = ∞

s

RC

cscs

se

RC

cs s k k

33

,

,,1

1

s s

RC

cs s

RC

cs s k E k E 33,,

RC

cscscs

se

se RC

cscsc k

3

,

,

,,1

,3,,, c RC cscsc RC cscsc E k E


Mamy zatem następujące związki

33, k k

s

s

s

s

33, k k

s

s

s

s

3

,

,,1

1

1k p

se

se

se

se

c

c

33,,,

11 k E

E

k E

E

pc

c

pcc

cc

c

c

Wniosek : odkształcenia stali, naprężenia stali, naprężenia betonu zmieniają się

proporcjonalnie do k 3 – nie dotyczy to odkształceń betonu!


W najogólniejszym przypadku, dla elementu dowolnie zbrojonego, stan

odkształceń dla czasu t = ∞ uzyskamy metodą sił uogólnionych N s – M sstosując we wzorach obliczeniowych parametry materiałowe adekwatne dla

wyżej wymienionego czasu.

a następnie wyznaczamy odkształcenia krawędziowe betonu według wzorów

Przyjmujemy zatem wyjściowe siły uogólnione w znanej formule

Wpływ pełzania betonu dla dowolnego elementu zbrojonego

s scs s S E M

s scs s A E N

,,,,,, g csc

s

csc

s

cg

z J E

M

A E

N

,,,,,

, d

csc

s

csc

scd z

J E

M

A E

N

Po wyznaczeniu odkształceń krawędziowych betonu można łatwo obliczyć

dopełniające odkształcenia krawędziowe:

Powyższe odkształcenia stanowią punkt wyjścia do obliczenia odpowiednich

odkształceń stali zbrojeniowej w poszczególnych jej warstwach.

Wpływ pełzania betonu dla dowolnego elementu zbrojonego

,,,, cg cs RC

g cs g

,,,, cd cs RC

d csd

W tym celu wystarczy tylko znajomość usytuowania poszczególnych warstw

prętów zbrojeniowych, a następnie skorzystanie z elementarnych zależności

geometrycznych, wynikających z zasady zachowania płaskich przekrojów.

Więzami zewnętrznymi elementu żelbetowego są dodatkowe podpory, tworzące

ustrój statycznie niewyznaczalny, krępujące jego swobodne przemieszczenia.

Efekt skurczu betonu wskutek więzów zewnętrznych

Efekt działania więzów zewnętrznych w kontekście skurczu betonu zostanie przedstawiony na przykładzie symetrycznego elementu zbrojonego,

o jednostkowej długości, w schemacie pręta obustronnie utwierdzonego:


8/14

2015-08-

Przed analizą wpływu więzów zewnętrznych na zachowanie się elementu

żelbetowego poddanego skurczowi betonu, należy przypomnieć podstawowy

fakt, że każda zmiana odkształceń tegoż elementu, przy założeniu zgodności

odkształceń stali i betonu (co z definicji stanowi istotną cechę konstrukcji

żelbetowych, opisaną warunkiem: c = s = ), wymaga zaistnienia siły

normalnej o wartości


Po uporządkowaniu prowadzi to do znanej relacji

s scc s scc sc A E A E A A N N N )(

cc se

c

s

c

scc A E

A

A

E

E A E N 11)(

Przy więzach zewnętrznych niepodatnych (sztywnych) rozważanego

elementu, powstaje stan jego wymuszonego rozciągania o wartości cs RC .


Skutkiem tego generowana jest zewnętrzna siła normalna , której wartość

można obliczyć, w kontekście poczynionej przed chwilą uwagi, z zależności

Podstawiając do powyższego równania wyprowadzoną wcześniej wielkość

RC cscc seo RC

cs A E N N N 1)()(

cs

se

RC

cs

1

1

otrzymujemy wyrażenie alternatywne

cscccs se

cc seo A E A E N

1

11

Stal zbrojeniowa wskutek niepodatnych więzów zewnętrznych poddana

rozciąganiu jednostkowemu cs RC niejako powraca do swego położenia

wyjściowego, jak przed zabetonowaniem elementu, stąd naprężenia normalne

w stali są zerowe, a siła normalna wynosi


Beton od momentu zabetonowania elementu poddany został wypadkowemu

rozciąganiu jednostkowemu cs (odpowiadającemu skurczowi swobodnemu

elementu betonowego), wykazując naprężenia normalne (bez uwzględnienia

relaksacji betonu wskutek jego pełzania) o wartości

c RC

cs seccsc E E 1

Skutkiem tego globalna siła w betonie jest równa

cc RC

cs secccsccc A E A E A N 1

0 s s s A N

Warto zauważyć, że globalna siła w betonie, obliczona poprzednim wzorem,

jest dokładnierówna zewnętrznej sile normalnej, generowanej wskutek

więzów zewnętrznych w postaci niepodatnych podpór.


co powoduje, że na podporach nie jest potrzebna żadna siła zewnętrzna.

Nie powinno to jednak dziwić, gdyż w przypadku braku więzów zewnętrznych

sumaryczna siła rozciągająca w betonie jest równoważona sumaryczną siłą

ściskającą w stali, czyli zachodzi

Natomiast w przypadku niepodatnych więzów zewnętrznych, skutkiem czego

w stali naprężenia ponownie powracają do zera (jak przed zabetonowaniem),

celem zrównoważenia siły rozciągającej w betonie (która w międzyczasie

wzrosła w stosunku do stanu, gdy nie było niepodatnych więzów zewnętrznych)

musi na podporach powstać zewnętrzna siła normalna o takiej samej wartości

jak wspomniana siła w betonie.

sc N N

Opisany przed chwilą mechanizm powstawania zewnętrznej siły rozciągającej

oraz obliczona wielkość tej siły dotyczyły sytuacji, gdy element żelbetowy

wskutek rozciągania od skurczu nie uległ zarysowaniu.


Prowadzi to do zmniejszenia rozciągającej siły normalnej na podporze do

wartości

Po zarysowaniu sytuacja ulega istotnej jakościowej oraz ilościowej zmianie:

zakładając, że powstało n rys o rozwarciu wk – wymuszone jednostkowe

odkształcenia ε x wskutek niepodatnych więzów zewnętrznych są mniejsze niżdla elementu niezarysowanego, proporcjonalnie do sumy szerokości powstałych

rys, co dla elementu żelbetowego o długości l można wyrazić równaniem

l

wn k RC cs x

l

wn A E A E N k RC cscc se xcc se x 11

Po przekształceniach otrzymujemy siłę po zarysowaniu elementu w postaci


Ponieważ siła przed zarysowaniem elementu wynosiła

zatem siła rozciągająca po zarysowaniu może być opisana relacją

l

wn A E N

RC cs

k RC

cscc se x 11

RC cscc seo A E N 1

11 o RC

cs

k o x N

l

wn N N

RC

cs

x

RC

cs

k

o

x

l

wn

N

N

11

lub


9/14

2015-08-

Znając siłę po zarysowaniu elementu


oraz siłę przed zarysowaniem elementu

można wyznaczyć spadek siły wskutek zarysowania elementu

l

wn A E N

RC

cs

k RC

cscc se x

11

RC cscc seo A E N 1

Stąd względna miara ubytku siły rozciągającej wskutek zarysowania wynosi

l

wn

N

N RC

cs

k

o

l

wn A E N N N k cc se xo

1

Stal zbrojeniowa w elemencie zarysowanym, wskutek niepodatnych więzów

zewnętrznych wykazuje średnie naprężenia równe zero, przy czym w rysach

oraz w ich otoczeniu jest lokalnie rozciągana, natomiast pomiędzy rysami jest

lokalnie ściskana.


Beton w elemencie zarysowanym, wskutek niepodatnych więzów zewnętrznych

wykazuje spadek naprężeń rozciągających z pierwotnej wartości przed

zarysowaniem elementu:

c RC

cs seccso E E 1

do wartości po zarysowaniu elementu

1oc

Rzeczywiste i obliczeniowe naprężenia skurczowe w betonie

Zależność σ–ε dla betonu w strefie rozciąganej, wynikająca z jego nieliniowości materiałowej:

σ pl – naprężenia rzeczywiste (plastyczne), σ el – naprężenia obliczeniowe (sprężyste, elastyczne)

W nawiązaniu do poprzedniego rysunku, należy zwrócić uwagę na fakt, że

obliczając naprężenia rozciągające w betonie według teorii liniowej (co w

praktyce ma najczęściej miejsce), przeszacowuje się naprężenia obliczeniowe

w stosunku do rzeczywistych, z uwagi na nieliniowość materiałową betonu.

Przyjmując w strefie rozciąganej betonu przebieg zależności σ–ε wedługparaboli drugiego stopnia (co jest wystarczająco dokładne), otrzymuje się

zależność między naprężeniami sprężystymi – liniowymi ( σ el ), a naprężeniami plastycznymi – nieliniowymi ( σ pl ) w postaci

ct

el el pl

f

2

11

Przykładowo, dla φ = 1,7 (często przyjmowana wartość w praktyce)

242,07,1

17,1122

Rzeczywiste i obliczeniowe naprężenia skurczowe w betonie

Do tej pory były omawiane odkształcenia i naprężenia skurczowe, wynikające

z istnienia więzów wewnętrznych oraz zewnętrznych w rozpatrywanym

elemencie żelbetowym.

Naprężenia skurczowe własne

Istnieje jeszcze trzecia składowa odkształceń i naprężeń skurczowych: są to

naprężenia skurczowe własne, wynikające z nieliniowych i niestacjonarnych pól

wilgotnościowych w elemencie.

Jak wspomniano już wcześniej, naprężenia skurczowe własne są wynikiem

oporu poszczególnych warstw betonu w stosunku do warstw sąsiednich,

spowodowanego ich zróżnicowaną odkształcalnością skurczową.

Na następnym rysunku zostanie przedstawiony przykładowy rozkład

wspomnianych nieliniowych i niestacjonarnych pól wilgotnościowych w dwóch

różnych okresach czasu.

Interpretacja graficzna nieliniowych i niestacjonarnych pól wilgotnościowych w elemencie

z uwzględnieniem funkcji czasu



10/14

2015-08-

Na szkicu obrazującym pole wilgotności na grubości elementu żelbetowego

wyszczególniono następujące wielkości:

U o – wilgotność wyjściowa (po zarobieniu betonu)

U z – wilgotność zewnętrzna (powietrza) = constU w – wilgotność wnętrza elementu po czasie τ U p – wilgotność powierzchni betonu po czasie τ U śr – wilgotność średnia elementu po czasie τ U kr – wilgotność średnia początkowa elementu


Należy wspomnieć, że naprężenia skurczowe własne, będące skutkiem

nieliniowych i niestacjonarnych pól wilgotnościowych, mają przebieg podobny

do pól wilgotnościowych w rozważanym czasie.

Odkształcenia skurczowe wynikające z więzów zewnętrznych i wewnętrznych

(oporu zbrojenia) są funkcją średniej zmiany wilgotności w przekroju:


Natomiast odkształcenia skurczowe własne zależą od gradientu wilgotności

przypowierzchniowe j elementu:

śr w śr kr w

I

cs U U U

p śr w III cs U U

śr w śr kr w

II

cs U U U

W powyższych wzorach β w oznacza współczynnik liniowy względnejodkształcalności wilgotnościowej betonu dla jednostkowej względnej zmiany

wilgotności wagowej

Naprężenia skurczowe własne na tle pozostałych dwóch składowych naprężeń skurczowych w elemencie

(beznaprężeniowa część skurczu wynika z podatności więzów zewnętrznych)


Schemat do wyznaczania przypowierzchni owego zbroj enia przeciwskurczowego

dla elementów masywnych i średniomasywnych

Zbrojenie z uwagi na naprężenia skurczowe własne

W elementach o średniej masywności krzywa naprężeń skurczowych własnych

(w przybliżeniu podobna do kształtu pola wilgotności) zbliżona jest do paraboli

trzeciego stopnia, stąd szerokość przypowierzchniowej strefy rozciąganej wynosi

Mniejsze wartości odpowiadają elementom o dużej grubości (gdy moduł

powierzchniowy jest znacząco mniejszy od 2,0 m-1), natomiast większe wartości

odpowiadają elementom o współczynniku masywności zbliżonym do 2,0 m-1 .

bb 185,01

W elementach masywnych krzywa naprężeń skurczowych własnych (w ślad za

kształtem pola wilgotności) zbliża się do parabol wyższych stopni, stąd

szerokość przypowierzchniowej strefy rozciąganej wynosi

bb 15,005,01


Przekrój zbrojenia przeciwskurczowego w warstwie przypowierzchniowej

o szerokości b1 wyznacza się z warunku podobnego, jak przy klasycznym

obliczaniu zbrojenia minimalnego w elementach żelbetowych, czyli przy

założeniu, że w momencie pojawienia się rysy (w tym przypadku rysyskurczowej) cała bryła naprężeń rozciągających musi być przejęta przez stal.

przy czym powierzchnia strefy rozciąganej wynosi w tej sytuacji

Powyższy postulat można ująć w sposób przybliżony ogólnym warunkiem

ct ct y ss f A f A

00,11 b Act

Przybliżenie powyższej procedury polega na założeniu, że w strefie rozciąganej

naprężenia w betonie są stałe, równe wytrzymałości betonu na rozciąganie.



11/14

2015-08-

Po przekształceniach dochodzi się do relacji

W zależności od tego, jakie konkretne wartości przyjmuje się w odniesieniu do

wytrzymałości betonu na rozciąganie ( f ct ) oraz do wytrzymałości stali ( f y),

uzyskuje się różne formuły obliczeniowe do wyznaczania potrzebnego zbrojenia

przeciwskurczowego.

a po wykorzystaniu definicji stopnia zbrojenia w przypowierzchniowej warstwie

betonu uzyskuje się

y

ct

ct

ss

f

f

A

A

y

ct ss

f

f


Według F.Leonhardta

Według H.Rüscha – D.Jungwirtha

yk

ctm

yk

ctk

ss f

f

f

f 30,195.0,

yk

ctm

yk

ctmctm

yk

ctmctk

ss f

f

f

f f

f

f f

89,0

7,05,005,1

5,005,1

05.0,

Według K.Flagi

yk

ctm ss

f

f 10,1

Według PN-EN:2008

yk

ctm ss

f

f 00,1


Przy wyznaczaniu zbrojenia przypowierzchniowego z uwagi na działanie

naprężeń skurczowych własnych, należy mieć dodatkowo na względzie

spełnienie wymagań w zakresie ograniczenia szerokości rys.

Wykorzystując pierwszy i trzeci człon powyższej relacji uzyskuje się

Wychodząc z teorii przyczepnościowej, rozstaw rys sr wyznacza się z warunku

s sct ct r sbm A A f su


s

s

bm

sr

u

A s

przy czym τ bm opisuje średnie naprężenia przyczepności w betonie

Dla n jednakowych prętów zbrojeniowych o średnicy ϕ s otrzymuje się

Ponieważ odległość pomiędzy rysami w skrajnych przypadkach wynosi sr lub

2 sr – stąd średnia ich odległość jest równa

stąd rozstaw rys sr wynosi


44

2

s

s

s

s

s

n

n

u

A

4

s

bm

sr s

r r r

rm s s s

s

2

3

2

2

W tej sytuacji otrzymujemy

uzyskuje się ostatecznie

Przyjmując przybliżenie


bm

s s s

bm

srm s

8

3

42

3

3

1

9

3

8

3

bm

s srm s

3

Przy założeniu, że całe wydłużenie elementu realizuje się tylko w rysie (bez

uwzględnienia rozciągania betonu na odcinku między rysami, czyli bez efektu

tension stiffening ), średnią szerokość rysy wrm wyznacza się z warunku

pociąga za sobą

Zatem postulat ograniczenia szerokości rys


sbm

s s

bm

s s

s

srm srm

E E sw

33

2

limwwrm

2

lim3

s

sbm s

E w


12/14

2015-08-

Przy zastosowaniu minimalnego zbrojenia przeciwskurczowego, które z definicji

ulega uplastycznieniu po zarysowaniu, otrzymujemy

Jest to wzór H.Rüscha – D.Jungwirtha nakładany na średnicę zbrojenia przeciwskurczowego, celem kontroli szerokości rys skurczowych, przy czym dla

prętów zabetonowanych w pozycji poziomej autorzy dopuszczają przyjęcie

stąd warunek ograniczenia średnicy prętów zbrojeniowych przyjmuje postać


yk s f

2

lim3

yk

sbm s

f

E w

cmbm f 15,0

Warto zauważyć, że średnica prętów ϕ s odpowiadająca uplastycznieniuminimalnego zbrojenia przeciwskurczowego, może być zamieniona na średnicę

większą ϕ – przy czym, aby spełnić wymóg ograniczenia szerokości rys, należyzmienić któryś z innych parametrów wpływających na szerokość rys.

• dla wyjściowej średnicy ϕ s

Praktycznie mamy jedynie wpływ na zmniejszenie naprężeń w stali z wyjściowejwartości f yk na wartość σ s 3 mm), czyli

1262max s

632max slub

W świetle normy PN-EN:2008 wpływ korzystnego oddziaływania pręta

zbrojeniowego na zwiększenie wydłużalności granicznej betonu zachodzi w

paśmie o szerokości

przy czym c jest grubością otuliny betonowej pręta.


2

5max

c s

Przykładowo, przy otulinie zbrojenia wynoszącej c = 30 mm, mamy dla prętów

zbrojeniowych ϕ = 10 mm: c = 3ϕ i wówczas

5,172

35max s


13/14

2015-08-

Podstawowym pojęciem w analizie ugięć jest krzywizna, którą wyznaczyć

można z definicji miary łukowej kąta

Wpływ skurczu na ugięcia

ds

d

1

gdzie

κ – krzywizna w zadanym punkcie krzywej ρ – promień krzywizny w zadanym punkcie krzywej ds – przyrost długości łuku krzywej w zadanym punkcie

d φ – przyrost kąta stycznych do krzywej na długości ds

otrzymując ostatecznie

ds

d

W ortogonalnym układzie współrzędnych x – y krzywizna dowolnej krzywej,opisanej równaniem y( x), wynosi w miejscu o odciętej x


2/32

2

2

)(1

)(

dx

xdy

dx

x yd

x

Przy małych nachyleniach krzywej y( x) jej pierwsza pochodna podniesiona do

kwadratu przyjmuje bardzo małe wartości, w związku z czym można przyjąć, że

jest bliska zeru, otrzymując w wyniku tego

2

2)(

dx

x yd x

Dla elementów prętowych, przebiegających wzdłuż umownej osi x (co często

wykorzystujemy w praktyce), wychodzimy z definicji


dx

d

1

gdzie

κ – krzywizna w zadanym punkcie krzywej ρ – promień krzywizny w zadanym punkcie krzywej dx – przyrost długości elementu wzdłuż osi x

d φ – przyrost kąta stycznych do krzywej na długości dx

otrzymując w rezultacie

dx

d

Schemat do wyznaczania krzywizny elementu w zadanym przekroju, przy znanych odkształceniach

(na rysunku zaznaczono dodatnie wartości odkształceń jednostkowych)


Dla przypadku pokazanego na poprzednim rysunku otrzymujemy


gdzie

ε g εd – odkształcenia krawędziowe (górne i dolne) h – wysokość przekroju poprzecznego

Wykorzystując następnie definicję kąta d φ mamy

d

h

dx

h

dxdx d g g d

11

skąd ostatecznie krzywizna wynosi

h

d g

1

dx

h

dxd g

Znając odkształcenia krawędziowe od skurczu betonu w zadanym przekroju

wzdłuż umownej osi x, krzywiznę od skurczu, w nawiązaniu do ostatniego

wzoru, opisujemy analogicznie


Wykorzystując następnie fakt, że w przypadku skurczu będziemy mieli do

czynienia z małymi ugięciami (co jest najczęstsze w realnych konstrukcjach

budowlanych), możemy zapisać

przy czym znak minus oznacza, jak w wytrzymałości materiałów, że ugięcia

skierowane ku dołowi są traktowane jako dodatnie.

h

x d g

cs

xdx

xwd cs 2

2 )(


14/14

2015-08-

Jeżeli krzywizna od skurczu jest stała na całej długości elementu


otrzymujemy

Stałe całkowania C 1 oraz C 2 w powyższej relacji wyznaczamy z odpowiednich

warunków brzegowych.

cs

dx

xwd

2

2

212

2C xC

x xw cs

to po dwukrotnym scałkowaniu wyrażenia

csd g

cs const h

x

W szczególnym przypadku jednoprzęsłowego elementu swobodnie podpartego

o długości l mamy dwa warunki brzegowe:

• x = 0 w = 0

• x = l w = 0


z których ostatecznie uzyskujemy linię ugięcia od skurczu o równaniu

przy czym

22

2)(

l

x

l

x x xw cs

82

2

max

l l ww cs

Podstawiając następnie zdefiniowane wcześniej wyrażenie opisujące krzywiznę

od skurczu


uzyskujemy wartość maksymalnego ugięcia od skurczu

8

2

max

l

hw

d g

gdzie ε g εd – skurczowe odkształcenia krawędziowe (górne i dolne) h – wysokość przekroju poprzecznego

l – rozpiętość elementu

hconst

d g

cs

Jak widać, kluczowe dla problemu ugięć jest wyznaczenie adekwatnej krzywizny

od skurczu, której najogólniejszy wzór ma postać


Korzystanie z powyższej relacji może być w praktycznych zastosowaniach

niewygodne, w związku z czym celowe jest wykorzystanie opisanej wcześniej

uniwersalnej metody sił uogólnionych N s – M s w której dla standardowych

dwóch warstw zbrojenia (górnego i dolnego) mamy

h

d g

cs

s scs s s scs s A E A A E N )( 21

s scs g sd s scs s S E a z Aa z A E M )]()([ 2211

Ponieważ moment od stali M s można interpretować jako moment od skurczu

M cs (siła N s nie daje żadnego wygięcia, a jedynie skrócenie elementu), wobec

czego krzywizna od skurczu może w tej sytuacji być opisana relacją


cs

cs

se

csc

s scs

csc

cscs

J

S

J E

S E

J E

M

Powyższy wzór, dokładnie w takiej samej postaci, zamieszczono w normie

PN-EN:2008 (str.119), gdzie zdefiniowano:

S s – moment statyczny zbrojenia względem ś.c. przekroju

J cs – moment bezwładności przekroju sprowadzonego

εcs – swobodne odkształcenia skurczowe betonu

Dziękuję za uwagę

Skurcz betonu - Konspekt

Documents

Transcript of Skurcz betonu - Konspekt